2. Mulțimea R este densă: între doi diverse numere a și b conține un număr infinit de numere reale X, adică numere care satisfac inegalitatea a

Există și o a treia proprietate, dar este imensă, îmi pare rău

Seturi limitate. Proprietățile marginilor de sus și de jos.

set limitat- o mulțime care într-un anumit sens are o dimensiune finită.

mărginit de sus, dacă există un număr astfel încât toate elementele să nu depășească:

Se numește mulțimea numerelor reale mărginit de jos, dacă există un număr ,

astfel încât toate elementele să fie cel puțin:

Se numește o mulțime mărginită deasupra și dedesubt limitat.

Se numește o mulțime care nu este mărginită nelimitat. După cum reiese din definiție, o mulțime nu este mărginită dacă și numai dacă aceasta nelimitat de sus sau nelimitat de jos.

Secvență numerică. Limită de secvență. Lema despre doi polițiști.

Secvență numerică este o succesiune de elemente ale spațiului numeric.

Fie fie mulțimea numerelor reale, fie mulțimea numerelor complexe. Apoi se numește șirul de elemente ale mulțimii succesiune numerică.

Exemplu.

Funcția este o succesiune infinită de numere raționale. Elementele acestei secvențe, începând de la prima, au forma .

Limită de secvență este obiectul pe care membrii secvenței îl abordează pe măsură ce numărul crește. În special, pentru secvențele numerice, limita este un număr în orice vecinătate din care se află toți membrii secvenței, începând de la unul.

Teorema celor doi polițiști...

Dacă funcția este de așa natură încât pentru toate în apropierea punctului , iar funcțiile și au aceeași limită la , atunci există o limită a funcției la , egală cu aceeași valoare, adică

Mulțimea numerelor naturale este formată din numerele 1, 2, 3, 4, ... folosite la numărarea obiectelor. Setul tuturor numerelor naturale este de obicei notat cu literă N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Legile adunării numerelor naturale

1. Pentru orice numere naturale AȘi b egalitate adevărată A + b = b + A . Această proprietate se numește legea comutativă (comutativă) a adunării.

2. Pentru orice numere naturale A, b, c egalitate adevărată (A + b) + c = A + (b + c) . Această proprietate se numește legea combinației (asociativă) a adunării.

Legile înmulțirii numerelor naturale

3. Pentru orice numere naturale AȘi b egalitate adevărată ab = ba. Această proprietate se numește legea comutativă (comutativă) a înmulțirii.

4. Pentru orice numere naturale A, b, c egalitate adevărată (Ab)c = A(bc) . Această proprietate se numește legea combinației (asociativă) a înmulțirii.

5. Pentru orice valori A, b, c egalitate adevărată (A + b)c = ac + bc . Această proprietate se numește legea distributivă (distributivă) a înmulțirii (cu privire la adunare).

6. Pentru orice valori A egalitate adevărată A*1 = A. Această proprietate se numește legea înmulțirii cu unu.

Rezultatul adunării sau înmulțirii a două numere naturale este întotdeauna un număr natural. Sau, altfel spus, aceste operații pot fi efectuate rămânând în mulțimea numerelor naturale. În ceea ce privește scăderea și împărțirea, acest lucru nu se poate spune: de exemplu, din numărul 3 este imposibil, rămânând în mulțimea numerelor naturale, să se scadă numărul 7; Numărul 15 nu poate fi împărțit la 4.

Semne de divizibilitate a numerelor naturale

divizibilitatea sumei. Dacă fiecare termen este divizibil cu un număr, atunci și suma este divizibilă cu acel număr.

Divizibilitatea lucrării. Dacă cel puțin unul dintre factorii din produs este divizibil cu un anumit număr, atunci produsul este și el divizibil cu acest număr.

Aceste condiții, atât pentru sumă, cât și pentru produs, sunt suficiente, dar nu necesare. De exemplu, produsul 12*18 este divizibil cu 36, deși nici 12, nici 18 nu este divizibil cu 36.

Semn de divizibilitate cu 2. Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 2, este necesar și suficient ca ultima lui cifră să fie pară.

Semnul divizibilității cu 5. Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 5, este necesar și suficient ca ultima lui cifră să fie fie 0, fie 5.

Semnul divizibilității cu 10. Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 10, este necesar și suficient ca cifra unităților să fie 0.

Semnul divizibilității cu 4. Pentru ca un număr natural care conține cel puțin trei cifre să fie divizibil cu 4, este necesar și suficient ca ultimele cifre să fie 00, 04, 08 sau numărul de două cifre format din ultimele două cifre ale acestui număr să fie divizibil cu 4.

Semn de divizibilitate cu 2 (cu 9). Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 3 (cu 9), este necesar și suficient ca suma cifrelor sale să fie divizibil cu 3 (cu 9).

Set de numere întregi

Luați în considerare o dreaptă numerică cu originea în punct O. Coordonata numărului zero de pe acesta va fi un punct O. Numerele situate pe o linie numerică într-o direcție dată se numesc numere pozitive. Fie dat un punct pe dreapta numerică A cu coordonata 3. corespunde numărului pozitiv 3. Să lăsăm acum deoparte de trei ori segmentul unitar din punct O, în direcția opusă celei date. Atunci obținem un punct A", simetric la punct A relativ la origine O. coordonata punctului A" va fi un număr - 3. Acesta este numărul opus numărului 3. Numerele situate pe linia numerică în direcția opusă celei date se numesc numere negative.

Numerele opuse numerelor naturale formează un set de numere N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Dacă combinăm seturile N , N" și set singleton {0} , apoi primim un set Z toate numerele întregi:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

Pentru numere întregi, toate legile adunării și înmulțirii enumerate mai sus sunt adevărate, ceea ce este adevărat pentru numerele naturale. În plus, se adaugă următoarele legi ale scăderii:

A - b = A + (- b) ;

A + (- A) = 0 .

Set de numere raționale

Pentru a face posibilă operația de împărțire a numerelor întregi la orice număr diferit de zero, se introduc fracții:

Unde AȘi b sunt numere întregi și b nu este egal cu zero.

Dacă adunăm mulțimea tuturor fracțiilor pozitive și negative la mulțimea numerelor întregi, atunci obținem mulțimea numerelor raționale Q :

.

Mai mult, fiecare număr întreg este și un număr rațional, deoarece, de exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca , unde numărătorul și numitorul sunt numere întregi. Acest lucru este important în operațiunile cu numere raționale, dintre care unul poate fi un întreg.

Legile operațiilor aritmetice asupra numerelor raționale

Proprietatea de bază a fracției. Dacă numărătorul și numitorul unei fracții date sunt înmulțite sau împărțite cu același număr natural, atunci se va obține o fracție egală cu cea dată:

Această proprietate este utilizată la reducerea fracțiilor.

Adunarea fracțiilor. Adunarea fracțiilor obișnuite este definită după cum urmează:

.

Adică, pentru a adăuga fracții cu numitori diferiți, fracțiile sunt reduse la un numitor comun. În practică, la adunarea (scăderea) fracțiilor cu numitori diferiți, fracțiile sunt reduse la cel mai mic numitor comun. De exemplu, așa:

Pentru a adăuga fracții cu același numărător, trebuie doar să adăugați numărătorii și să lăsați numitorul același.

Înmulțirea fracțiilor.Înmulțirea fracțiilor ordinare este definită după cum urmează:

Adică, pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și să scrieți produsul în numărătorul noii fracții și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul în numitorul noii fracții.

Împărțirea fracțiilor.Împărțirea fracțiilor ordinare este definită după cum urmează:

Adică, pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții și să scrieți produsul în numărătorul noii fracții și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul în numitorul noii fracții.

Ridicarea unei fracții la o putere cu un exponent natural. Această operațiune este definită după cum urmează:

Adică, pentru a ridica o fracție la o putere, numărătorul este ridicat la acea putere și numitorul este ridicat la acea putere.

zecimale periodice

Teorema. Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție periodică finită sau infinită.

De exemplu,

.

Un grup de cifre care se repetă în mod constant după punctul zecimal din notația zecimală a unui număr se numește perioadă, iar o fracție zecimală finită sau infinită care are o astfel de perioadă în notația sa se numește periodică.

În acest caz, orice fracție zecimală finită este considerată o fracție periodică infinită cu zero în perioadă, de exemplu:

Rezultatul adunării, scăderii, înmulțirii și împărțirii (cu excepția împărțirii cu zero) a două numere raționale este, de asemenea, un număr rațional.

Mulțimea numerelor reale

Pe dreapta numerelor, pe care am considerat-o în legătură cu mulțimea numerelor întregi, pot exista puncte care nu au coordonate sub forma unui număr rațional. Astfel, nu există un număr rațional al cărui pătrat este 2. Prin urmare, numărul nu este un număr rațional. De asemenea, nu există numere raționale ale căror pătrate sunt egale cu 5, 7, 9. Prin urmare, numerele , , sunt iraționale. Numărul este, de asemenea, irațional.

Niciun număr irațional nu poate fi reprezentat ca o fracție periodică. Ele sunt reprezentate ca fracții neperiodice.

Unirea mulțimilor de numere raționale și iraționale este mulțimea numerelor reale R .

Definiția 19. Multe E numit deschis dacă toate punctele sale sunt interioare, adică dacă nu conține punctele sale limită.

Definiția 20. Multe E numit închis , dacă conține toate punctele sale limită, adică. (In caz contrar,
).

Exemplul 1 Orice n-integrala dimensională este o mulțime deschisă. Orice segment este un set închis.

Ar trebui să acordați o atenție deosebită faptului că clasele de mulțimi închise și deschise nu acoperă toate seturile împreună, în plus, aceste clase se intersectează. Există seturi care nu sunt nici închise, nici deschise, precum și seturi care sunt atât închise, cât și deschise în același timp.

Exemplul 2 Setul gol ar trebui considerat închis, deși este și deschis în același timp. Multe R numerele reale este atât închisă, cât și deschisă în același timp.

Multe Q numerele raționale nu sunt nici închise, nici deschise. Un semi-interval liniar nu este nici un set închis, nici un set deschis.

Teorema 3. Orice minge S(A, r) - set deschis.

Dovada:

Lasa . Hai sa luam
. Să demonstrăm că mingea
(asta va însemna că orice punct al mingii
- intern, adică
este un set deschis). Să o luăm. Să demonstrăm asta
, pentru aceasta estimăm distanța
:

Prin urmare,
, adică
, adică S(A, r) - set deschis.

Teorema 4. Set derivat
orice set Eînchis.

Dovada:

Lasa
. Apoi în orice cartier
puncte exista cel putin un punct seturi
, diferit de . pentru că - punctul limită al setului E, apoi în oricare dintre cartierele sale (inclusiv unul arbitrar mic conținut în
) există cel puțin un punct seturi E, diferit de punct . Astfel, prin definiție, ideea este un punct limită pentru set E. Asa de,
, care prin definiție înseamnă că mulțimea E.

Trebuie remarcat faptul că într-un caz anume mulțimea derivată
poate fi goală.

Proprietățile seturi deschise și închise

Teorema 5. Unirea oricărui număr finit de mulțimi închise este o mulțime închisă.

Dovada:

Lasa
sunt seturi închise. Să demonstrăm asta
este un set închis.

Lasa - punctul limită al setului

. Apoi - punctul limită a cel puțin unuia dintre seturi
(demonstrat prin contradicție). pentru că este un set închis, atunci
. Dar apoi
. Deci orice punct limită al setului
îi aparține, adică
închis.

Teorema 6. Intersecția oricărui număr de mulțimi închise este o mulțime închisă.

Dovada:

Lasa
- orice colecție de seturi închise. Să demonstrăm asta
este un set închis.

Lasa - punctul limită al setului

. Apoi, prin Teorema 1, în orice cartier

. Dar toate punctele setului
sunt, de asemenea, puncte ale setului
. Prin urmare, în
conţine infinit de puncte din
. Dar toate seturile închis, deci

Și
, adică
închis.

Teorema 7. Dacă setul F este închis, apoi complementul său CF deschis.

Dovada:

Lasa . pentru că
închis, atunci nu este punctul său limită (
). Dar asta înseamnă că există un cartier
puncte , care nu conține puncte ale mulțimii F, adică
. Apoi
prin urmare - punctul intern al setului
. pentru că - punctul arbitrar al multimii CF, atunci toate punctele acestui set sunt interne, adică CF deschis.

Teorema 8. Dacă setul G deschis, apoi complementul său CGînchis.

Dovada:

Lăsați împreună cu un cartier. Prin urmare, nu este un punct limită al setului CG. Asa de,
nu este un punct limitativ pentru
, adică
conține toate punctele sale limită. Prin definitie,
închis.

Teorema 9. Unirea oricărui număr de seturi deschise este un set deschis.

Dovada:

Lasa
- colecție arbitrară de seturi deschise Și
. Să demonstrăm asta - set deschis. Avem:

.

De la decoruri deschis
, apoi prin Teorema 8 multimile
închis
. Apoi prin Teorema 6 intersecția lor

deschis.

Teorema 10. Intersecția oricărui număr finit de mulțimi deschise este o mulțime deschisă.

Dovada:

Lasa
- intersecția oricărui număr finit de mulțimi deschise
. Să demonstrăm asta - set deschis. Avem:

.

De la decoruri deschis
, apoi prin Teorema 8 multimile
închis
. Apoi prin Teorema 5 unirea lor

închis. Prin teorema 7, mulțimea
deschis.

Definiție: Multe A numit închis în ceea ce privește operația *, dacă rezultatul aplicării acestei operații asupra oricăror elemente ale mulțimii A este, de asemenea, un element al setului A. (Dacă pentru oricare a,bÎ A, A*bÎ A, apoi setul Aînchis sub operațiune *)

Pentru a demonstra închiderea unei mulțimi în raport cu operația, este necesar fie să se verifice acest lucru prin enumerarea directă a tuturor cazurilor (Exemplul 1b), fie să se efectueze raționamentul într-o formă generală (Exemplul 2). Pentru a respinge închiderea, este suficient să oferim un exemplu care să demonstreze încălcarea închiderii (Exemplul 1a).

Exemplul 1.

Lasa A = {0;1}.

a) Ca operație *, luăm operația aritmetică de adunare (+). Explorând platoul A pentru închidere în ceea ce privește operația de adăugare (+):

0 + 1 = 1 О A; 0 + 0 = 0 О A; 1 + 0 = 1О A; 1 + 1 = 2 П A.

Avem ca intr-un caz (1 + 1) rezultatul aplicarii operatiei (+) la elementele multimii A nu aparține setului A. Pe baza acestui fapt, tragem concluzia că setul A nu este închis în cadrul operației de adăugare.

b) Acum, ca operație *, luăm operația de înmulțire (×).

0×1 = 0 О A; 0×0 = 0 О A; 1×0 = 0 О A; 1×1 = 1 О A.

Pentru orice elemente ale setului A rezultatul aplicării operației de înmulțire este și el un element al mulțimii A. Prin urmare, Aînchis sub operaţia de înmulţire.

Exemplul 2.

Investigați pentru închiderea în patru operații aritmetice mulțimea numerelor întregi care sunt multipli ai lui 7.

Z 7 = {7n, nÎ Z ) este mulțimea de numere care sunt multipli de șapte.

Este evident că Z 7 nu este închisă în ceea ce privește operațiunea de divizare, deoarece, de exemplu,

7 О Z 7, 14 О Z 7 dar 7: 14 = ½ Ï Z 7 .

Să demonstrăm închiderea setului Z 7 privind operația de adăugare. Lasa m, k sunt numere întregi arbitrare, apoi 7 mÎ Z 7 și 7 kÎ Z 7. Luați în considerare suma 7 m+ 7 k= 7∙(m+ k).

Avem mÎ Z , kÎ Z . Z este închisă sub adaosul z m+ k = l -întreg, adică lÎ Z Þ 7 lÎ Z 7 .

Astfel, pentru numere întregi arbitrare mȘi k a demonstrat că (7 m+ 7 k) Î Z 7. Prin urmare, setul Z 7 este închis sub adaos. Închiderea sub scădere și înmulțire se dovedește în mod similar (do it yourself).

1.

a) mulțimea numerelor pare (cu alte cuvinte: mulțimea numerelor întregi divizibile cu 2( Z 2));

b) mulțimea numerelor întregi negative ( Z –);

în) A = {0;1};

G) C= {–1;0;1}.

2. Investigați următoarele mulțimi pentru închidere în ceea ce privește operațiile aritmetice de adunare, scădere, înmulțire și împărțire:

a) un set de numere impare;

b) mulţimea numerelor naturale a căror ultima cifră este zero;

în) B = {1};

G) D = {–1;1}.

3.

a) multe N numere naturale;

b) set Q numere rationale;

în) D = {–1;1};

d) un set de numere impare.

4. Examinați următoarele seturi pentru închidere în ceea ce privește exponentiația:

a) multe Z numere întregi;

b) set R numere reale;

c) un set de numere pare;

G) C = {–1; 0; 1}.

5. Lasă decorul G, constând numai din numere raționale, este închisă sub adunare.

a) Indicați oricare trei numere conținute în mulțimea G, dacă se știe că conține numărul 4.

b) Demonstrați că mulțimea G conține numărul 2 dacă conține numerele 5 și 12.

6. Lasă decorul K, format numai din numere întregi, este închisă prin scădere.

a) Indicați oricare trei numere conținute în set K, dacă se știe că conține numărul 5.

b) Demonstrați că mulțimea K conține numărul 6 dacă conține numerele 7 și 3.

7. Dați un exemplu de mulțime formată din numere naturale și neînchise sub operație:

a) adaos;

b) înmulţire.

8. Dați un exemplu de set care conține numărul 4 și închis sub operațiuni:

a) adunarea și scăderea;

Setați tipurile de linie reală

Poziția punctului în raport cu setul A

Cartiere cu sens unic

Topologia liniei reale

Seturi numerice

Seturile de bază de numere sunt secțiuneȘi interval(a; b).

Se numește setul de numere A mărginit de sus, dacă există un număr M astfel încât un £ M pentru orice a н A. Numărul M în acest caz se numește fata superioara sau majorant seturi.

Supremum multimile A, sup A se numeste...

... cel mai mic dintre majoranții săi;

… un număr M astfel încât a £ M pentru orice a н A și în orice vecinătate a lui M este un element al mulțimii A;

La fel, conceptele mărginit de jos», « minorant„ (limită inferioară) și „ infim» (limită inferioară exactă).

Completitudinea liniei reale (formulări echivalente)

1. Proprietatea segmentelor imbricate. Să fie date segmentele É É … É É … Au cel puțin un punct comun. Dacă lungimile segmentelor pot fi alese arbitrar mici, atunci un astfel de punct este unic.

Corolar: metoda dihotomiei pentru teoreme de existență. Să fie dat un segment. O împărțim în jumătate și alegem una dintre jumătăți (astfel încât să aibă proprietatea dorită). Această jumătate va fi notată cu . Continuăm acest proces pe termen nelimitat. Obținem un sistem de segmente imbricate ale căror lungimi se apropie de 0. Prin urmare, ele au exact un punct comun. Rămâne de demonstrat că va fi cel cerut.

2. Pentru orice mulțime nevidă mărginită mai sus, există un supremum.

3. Pentru oricare două mulțimi nevide, dintre care unul se află la stânga celuilalt, există un punct care le separă (existența secțiunilor).

Cartier:

U(x) = (a, b), a< x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;

U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;

U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).

Cartiere perforate:

Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ (x); Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) ​​​​= Ue(x) \ (x)

Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = )