Axiomatica numerelor reale. Studiul axiomelor teoriei numerelor întregi Definirea axiomatică a unui sistem de numere întregi

Numerele reale, notate cu (așa-numitul R tocat), se introduce operația de adunare (“+”), adică fiecare pereche de elemente ( X,y) din decor numere reale elementul este atribuit X + y din aceeași mulțime, numită sumă XȘi y .

Axiomele înmulțirii

Se introduce operația de înmulțire ("·"), adică fiecare pereche de elemente ( X,y) din mulțimea numerelor reale se atribuie un element (sau, pe scurt, Xy) din același set, numit produs XȘi y .

Relația dintre adunare și înmulțire

Axiomele ordinii

Relația de ordine „” (mai mică sau egală cu) este dată pe, adică pentru orice pereche X y a cel puţin uneia dintre condiţii sau .

Relația dintre ordine și adunare

Relația dintre ordine și înmulțire

Axioma continuității

Un comentariu

Această axiomă înseamnă că dacă XȘi Y- două seturi nevide de numere reale astfel încât orice element din X nu depaseste nici un element din Y, atunci se poate introduce un număr real între aceste seturi. Pentru numerele raționale, această axiomă nu este valabilă; exemplu clasic: luați în considerare numerele raționale pozitive și atribuiți-le mulțimii X acele numere al căror pătrat este mai mic de 2, iar restul - la Y. Apoi între XȘi Y nu puteți introduce un număr rațional (nu este un număr rațional).

Această axiomă cheie oferă densitate și astfel face posibilă construcția calculului. Pentru a-i ilustra importanța, subliniem două consecințe fundamentale ale acesteia.

Consecințele axiomelor

Unele proprietăți importante ale numerelor reale rezultă direct din axiome, de exemplu,

unicitatea lui zero,
unicitatea elementelor opuse și inverse.

Literatură

Zorich V. A. Analiza matematică. Volumul I. M .: Fazis, 1997, capitolul 2.

Vezi si

Legături

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Axiomatica numerelor reale” în alte dicționare:

Un număr real sau real este o abstractizare matematică care a apărut din necesitatea de a măsura geometric și mărimi fizice lumea din jurul nostru, precum și efectuarea unor astfel de operațiuni precum extragerea unei rădăcini, calcularea logaritmilor, rezolvarea ... ... Wikipedia

Numerele reale sau reale sunt o abstractizare matematică care servește, în special, la reprezentarea și compararea valorilor mărimilor fizice. Un astfel de număr poate fi reprezentat intuitiv ca descriind poziția unui punct pe o dreaptă. ... ... Wikipedia

Wikționarul are un articol despre „axiom” Axiom (dr. greacă ... Wikipedia

O axiomă care apare în diferite sisteme axiomatice. Axiomatica numerelor reale Axiomatica lui Hilbert a geometriei euclidiene Axiomatica lui Kolmogorov a teoriei probabilităților ... Wikipedia

La construirea unei teorii axiomatice a numerelor naturale, termenii primari vor fi „element” sau „număr” (pe care, în contextul acestui manual, le putem considera sinonime) și „mulțime”, relațiile principale: „apartenere” ( un element aparține unei mulțimi), „egalitatea” și „ urmare”, notat cu a / (se citește „numărul un accident vascular cerebral urmează numărul a”, de exemplu, un doi este urmat de un trei, adică 2 / \u003d 3, numărul 10 este urmat de numărul 11, adică 10 / \u003d 11 etc.).

Multe numere naturale(serie naturală, numere întregi pozitive) este o mulțime N cu relația introdusă „urmează după”, în care sunt îndeplinite următoarele 4 axiome:

A 1 . Mulțimea N conține un element numit unitate, care nu urmează niciun alt număr.

A 2 . Pentru fiecare element al seriei naturale, urmează un singur element.

A 3 . Fiecare element al lui N urmează cel mult un element al seriei naturale.

A 4 .( Axioma inducției) Dacă o submulțime M a unei mulțimi N conține o unitate și, de asemenea, împreună cu fiecare dintre elementele sale a, conține și elementul a / care o urmează, atunci M coincide cu N.

Aceleași axiome pot fi scrise pe scurt folosind simboluri matematice:

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

Dacă elementul b urmează elementul a (b = a /), atunci spunem că elementul a este predecesorul elementului b (sau precede b). Acest sistem de axiome se numește sistemele axiomelor lui Peano(de vreme ce a fost introdus în secolul al XIX-lea de către matematicianul italian Giuseppe Peano). Acesta este doar unul dintre seturi posibile axiome, permițând definirea mulțimii numerelor naturale; există și alte abordări echivalente.

Cele mai simple proprietăți ale numerelor naturale

Proprietatea 1. Dacă elementele sunt diferite, atunci următoarele elemente sunt diferite, adică

a  b => a /  b / .

Dovada se realizează prin metoda contradicţiei: să presupunem că a / = b / , atunci (după A 3) a = b, ceea ce contrazice condiţia teoremei.

Proprietatea 2. Dacă elementele sunt diferite, atunci cele care le preced (dacă există) sunt diferite, adică

a /  b / => a  b.

Dovada: să presupunem că a = b, atunci, conform A 2, avem a / = b / , ceea ce contrazice condiția teoremei.

Proprietatea 3. Niciun număr natural nu este egal cu următorul.

Dovada: Introducem in considerare multimea M, formata din astfel de numere naturale pentru care aceasta conditie este indeplinita

М = (a  N | a  a / ).

Demonstrarea se va baza pe axioma inducției. Prin definiție, mulțimea M este o submulțime a mulțimii numerelor naturale. Mai departe 1M, întrucât unitatea nu urmează niciun număr natural (A 1), ceea ce înseamnă că pentru a = 1 avem: 1  1 / . Să presupunem acum că unele a  M. Aceasta înseamnă că a  a / (prin definiție M), de unde a /  (a /) / (proprietatea 1), adică a /  M. Din toate cele de mai sus, pe baza pe axiomele de inducție, putem concluziona că M = N, adică teorema noastră este adevărată pentru toate numerele naturale.

Teorema 4. Pentru oricine numar natural diferit de 1, există un număr care îl precede.

Dovada: Luați în considerare setul

М = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

M dat este o submulțime a mulțimii numerelor naturale, unitatea aparține în mod clar mulțimii date. A doua parte a acestei mulțimi sunt elementele pentru care există elemente anterioare, prin urmare, dacă a  M, atunci a / aparține și lui M (a doua parte a sa, deoarece a / are una anterioară, este a). Astfel, pe baza axiomei de inducție, M coincide cu mulțimea tuturor numerelor naturale, ceea ce înseamnă că toate numerele naturale sunt fie 1, fie acelea pentru care există un element precedent. Teorema a fost demonstrată.

Consistența teoriei axiomatice a numerelor naturale

Ca model intuitiv al mulțimii numerelor naturale, putem considera seturi de liniuțe: numărul 1 va corespunde cu |, numărul 2 || etc., adică seria naturală va arăta astfel:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

Aceste rânduri de liniuțe pot servi ca model de numere naturale, dacă folosim „atribuirea unei liniuțe unui număr” ca relație de „urmărire”. Valabilitatea tuturor axiomelor este evidentă intuitiv. Desigur, acest model nu este strict logic. Pentru a construi un model riguros, trebuie să existe o altă teorie axiomatică evident consistentă. Dar o astfel de teorie nu este la dispoziția noastră, așa cum am menționat mai sus. Astfel, fie suntem nevoiți să ne bazăm pe intuiție, fie să nu apelăm la metoda modelelor, ci să ne referim la faptul că de mai bine de 6 milenii, timp în care se efectuează studiul numerelor naturale, nu există contradicții cu aceste axiome. a fost găsit.

Independența sistemului Peano de axiome

Pentru a demonstra independența primei axiome, este suficient să construim un model în care axioma A 1 este falsă, iar axiomele A 2 , A 3 , A 4 sunt adevărate. Să considerăm numerele 1, 2, 3 ca termeni primari (elemente) și să definim relația „urmează” prin relațiile: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.

Nu există niciun element din acest model care să nu urmeze niciunul (axioma 1 este falsă), dar toate celelalte axiome sunt satisfăcute. Astfel, prima axiomă nu depinde de celelalte.

A doua axiomă constă din două părți - existență și unicitate. Independența acestei axiome (din punct de vedere al existenței) poate fi ilustrată printr-un model de două numere (1, 2) cu relația „urmează după” dată de relația unică: 1 / = 2:

Pentru doi, nu există niciun element următor, în timp ce axiomele A 1 , A 3 , A 4 sunt adevărate.

Independența acestei axiome, în ceea ce privește unicitatea, este ilustrată de un model în care mulțimea N va fi mulțimea tuturor numerelor naturale obișnuite, precum și tot felul de cuvinte (seturi de litere care nu au neapărat sens) compuse de litere ale alfabetului latin (după litera z, următoarea va fi aa, apoi ab ... az, apoi ba ...; toate cuvintele posibile de două litere, ultimul dintre acestea fiind zz, vor fi urmate de cuvântul aaa și așa mai departe). Introducem relația „urmăr după” așa cum se arată în figură:

Aici sunt adevărate și axiomele A 1 , A 3 , A 4, dar 1 este urmat imediat de două elemente 2 și a. Astfel, axioma 2 nu depinde de celelalte.

Independența axiomei 3 este ilustrată de modelul:

în care A 1 , A 2 , A 4 sunt adevărate, dar numărul 2 urmează atât numărul 4, cât și numărul 1.

Pentru a demonstra independența axiomei de inducție, folosim mulțimea N, care constă din toate numerele naturale și, de asemenea, trei litere(a, b, c). Următoarea relație în acest model poate fi introdusă așa cum se arată în figura următoare:

Aici, pentru numerele naturale, se folosește relația de succesiune uzuală, iar pentru litere, relația „urmează după” este definită prin următoarele formule: a / = b, b / = c, c / = a. Evident, 1 nu urmează niciun număr natural, pentru fiecare există un următor și, mai mult, doar unul, fiecare element urmează cel mult un element. Totuși, dacă luăm în considerare o mulțime M formată din numere naturale obișnuite, atunci aceasta va fi o submulțime a acestei mulțimi care conține o unitate, precum și următorul element pentru fiecare element din M. Totuși, această submulțime nu va coincide cu întregul model luat în considerare, deoarece nu va conține literele a, b, c. Astfel, axioma de inducție nu este valabilă în acest model și, prin urmare, axioma de inducție nu depinde de celelalte axiome.

Teoria axiomatică a numerelor naturale este categoric(complet în sens restrâns).

 (n /) =( (n)) / .

Principiul inducției matematice complete.

Teorema inducției. Să fie formulată o afirmație Р(n) pentru toate numerele naturale și fie a) Р(1) adevărată, b) din faptul că Р(k) este adevărată, rezultă că Р(k /) este și adevărată. Atunci afirmația P(n) este adevărată pentru toate numerele naturale.

Pentru a demonstra acest lucru, introducem o mulțime M de astfel de numere naturale n (M  N) pentru care afirmația Р(n) este adevărată. Să folosim axioma A 4 , adică vom încerca să demonstrăm că:

k  M => k /  M.

Dacă reușim, atunci, conform Axiomei A 4 , putem concluziona că M = N, adică P(n) este adevărat pentru toate numerele naturale.

1) Prin condiția a) a teoremei, P(1) este adevărată, prin urmare, 1  M.

2) Dacă unele k  M, atunci (prin construcția lui M) P(k) este adevărată. Prin condiția b) a teoremei, aceasta implică adevărul lui P(k /), și deci k /  M.

Astfel, prin axioma de inducție (A 4) M = N și, prin urmare, P(n) este adevărată pentru toate numerele naturale.

Astfel, axioma inducției permite crearea unei metode de demonstrare a teoremelor „prin inducție”. Aceasta metoda joacă un rol cheie în demonstrarea teoremelor fundamentale de aritmetică referitoare la numerele naturale. Se compune din următoarele:

1) validitatea afirmaţiei pentrun=1 (inductie de baza) ,

2) se presupune că această afirmație este adevărată pentrun= k, Undekeste un număr natural arbitrar(ipoteza de inducție) , și ținând cont de această ipoteză, valabilitatea declarației pentrun= k / (etapa de inducție ).

O demonstrație bazată pe acest algoritm se numește demonstrație prin inductie matematica .

Sarcini pentru soluție independentă

Nr. 1.1. Aflați care dintre sistemele enumerate satisface axiomele lui Peano (sunt modele ale mulțimii numerelor naturale), stabiliți care axiome sunt îndeplinite și care nu.

a) N \u003d (3, 4, 5 ...), n / \u003d n + 1;

b) N =(n  6, n  N), n/ = n + 1;

c) N \u003d (n  - 2, n  Z), n/ = n + 1;

d) N \u003d (n  - 2, n  Z), n/ = n + 2;

e) numere naturale impare, n / = n +1;

f) numere naturale impare, n / = n +2;

g) Numerele naturale cu raportul n / = n + 2;

h) N =(1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;

i) N =(1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;

j) Numerele naturale divizibile cu 3 cu raportul n / = n + 3

k) Numere naturale pare cu raportul n / = n + 2

m) numere întregi,
.

Sistemul dat de axiome ale teoriei numerelor întregi nu este independent, așa cum s-a observat în Exercițiul 3.1.4.

Teorema 1. Teoria axiomatică a numerelor întregi este consecventă.

Dovada. Vom demonstra consistența teoriei axiomatice a numerelor întregi, pornind de la presupunerea că teoria axiomatică a numerelor naturale este consecventă. Pentru a face acest lucru, construim un model pe care sunt satisfăcute toate axiomele teoriei noastre.

Să construim mai întâi un inel. Luați în considerare setul

N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.

a, b) numere naturale. Prin o astfel de pereche înțelegem diferența numerelor naturale a-b. Dar până când nu s-a dovedit existența unui sistem de numere întregi în care există o astfel de diferență, nu avem dreptul să folosim o astfel de denumire. În același timp, această înțelegere ne oferă posibilitatea de a stabili proprietățile perechilor după cum avem nevoie.

Știm că diferențele diferite ale numerelor naturale pot fi egale cu același număr întreg. În consecință, vă prezentăm pe platou N´ N relație de egalitate:

(a, b) = (c, d) Û a + d = b + c.

Este ușor de observat că această relație este reflexivă, simetrică și tranzitivă. Prin urmare, este o relație de echivalență și are dreptul să fie numită egalitate. Factor set de seturi N´ N Z. Elementele sale vor fi numite numere întregi. Sunt clase de echivalență pe un set de perechi. Clasa care conține perechea
(a, b), notat cu [ a, b].

Z a, b] ce zici de diferență a-b

[a, b] + [c, d] = [a+c, b+d];

[a, b] × [ c, d] = [ac+bd, ad+bc].

Trebuie avut în vedere faptul că, strict vorbind, utilizarea simbolurilor de operare nu este în întregime corectă aici. Același simbol + denotă adăugarea numerelor naturale și a perechilor. Dar, deoarece este întotdeauna clar în ce set se efectuează o anumită operație, nu vom introduce aici notații separate pentru aceste operații.

Este necesar să se verifice corectitudinea definițiilor acestor operații, și anume, că rezultatele nu depind de alegerea elementelor AȘi b definirea perechii [ a, b]. Într-adevăr, să

[a, b] = [A 1 ,b 1 ], [c, d] = [din 1 , d 1 ].

Înseamnă că a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + din unu . Adăugând aceste egalități, obținem

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + din 1 Þ[ a + b, c + d] = [A 1 +din 1 ,b 1 + d 1 ]

Þ [ a, b] + [c, d] = [A 1 ,b 1 ] + [c 1 , d 1 ].

Corectitudinea definiției înmulțirii este definită în mod similar. Dar aici trebuie să verificăm mai întâi că [ a, b] × [ c, d] = [A 1 ,b 1]×[ c, d].

Acum ar trebui să verificăm că algebra rezultată este un inel, adică axiomele (Z1) - (Z6).

Să verificăm, de exemplu, comutativitatea adunării, adică axioma (Z2). Avem

[c, d] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [c, d].

Comutativitatea adunării pentru numere întregi este derivată din comutativitatea adunării pentru numerele naturale, care se presupune că este deja cunoscută.

Axiomele (Z1), (Z5), (Z6) sunt verificate în mod similar.

Rolul lui zero este jucat de un cuplu. Să o notăm prin 0 . Într-adevăr,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a+ 1,b+ 1] = [a, b].

In cele din urma, -[ a, b] = [b, a]. Într-adevăr,

[a, b] + [b, a] = [a+b, b+a] = = 0 .

Acum să verificăm axiomele de extensie. Trebuie avut în vedere că în inelul construit nu există numere naturale ca atare, deoarece elementele inelului sunt clase de perechi de numere naturale. Prin urmare, este necesar să se găsească o subalgebră izomorfă cu semi-inelul numerelor naturale. Aici din nou noțiunea de pereche [ a, b] ce zici de diferență a-b. Numar natural n poate fi reprezentat ca diferența a două numere naturale, de exemplu, după cum urmează: n = (n+ 1) - 1. De aici propunerea de a stabili o corespondență f: N ® Z conform regulii

f(n) = [n + 1, 1].

Această corespondență este injectivă:

f(n) = f(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) n=m.

Prin urmare, avem o corespondență unu-la-unu între Nși un subset Z, pe care o notăm prin N*. Să verificăm dacă salvează operațiunile:

f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m + 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(m) = [n+ 1, 1]× [ m + 1, 1] = [nm+n + m + 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Astfel, s-a stabilit că N* forme în Z sub operațiile de adunare și înmulțire, o subalgebră izomorfă la N

Indicați o pereche [ n+ 1, 1] din N* n, peste n a, b] avem

[a, b] = [A + 1, 1] + = [A + 1, 1] – [b + 1, 1] = A – b .

Astfel, în sfârșit, conceptul de pereche [ a, b] ca diferență de numere naturale. În același timp, s-a stabilit că fiecare element din mulțimea construită Z reprezentată ca diferența a două numere naturale. Acest lucru va ajuta la testarea axiomei minimalității.

Lasa M - subset Z, conținând N*și împreună cu orice elemente darȘi b diferența lor a - b. Să demonstrăm că în acest caz M =Z. Într-adevăr, orice element al Z reprezentată ca diferența a două numere naturale, cărora prin condiție îi aparțin Mîmpreună cu diferența lui.

Teorema 2. Teoria axiomatică a numerelor întregi este categorică.

Dovada. Să demonstrăm că oricare două modele pe care sunt valabile toate axiomele teoriei date sunt izomorfe.

Lasă a Z 1, +, ×, N 1 c și b Z 2 , +, ×, N 2 ñ sunt două modele ale teoriei noastre. Strict vorbind, operațiunile din ele trebuie notate prin simboluri diferite. Ne vom abate de la această cerință pentru a nu aglomera calculele: este clar de fiecare dată ce operațiune este în discuție. Elementele aparținând modelelor luate în considerare vor fi prevăzute cu indicii corespunzători 1 sau 2.

Vom defini o mapare izomorfă de la primul model la al doilea. pentru că N 1 și N 2 sunt semi-inele de numere naturale, atunci există o mapare izomorfă j a primului semi-inel pe al doilea. Să definim maparea f: Z 1® Z 2. Fiecare număr întreg X 1 О Z 1 este reprezentat ca diferența a două numere naturale:
X 1 = a 1 – b unu . Noi credem

f (X 1) = j( A 1) – j( b 1).

Să demonstrăm asta f este un izomorfism. Maparea este bine definită: dacă X 1 = la 1, unde y 1 = c 1 – d 1, atunci

A 1 – b 1 = c 1 – d 1 A 1 +d 1 = b 1 + c 1 Þ j( A 1 +d 1) = j( b 1 + c 1)

Þ j( A 1) + j( d 1) = j( b 1) + j( c 1) Þ j( A 1)–j( b 1)=j( c 1) – j( d 1) f(X 1) =f (y 1).

De aici rezultă că f- cartografiere neechivocă Z 1 in Z 2. Dar pentru oricine X 2 din Z 2 pot găsi elemente naturale A 2 și b 2 astfel încât X 2 = a 2 – b 2. Deoarece j este un izomorfism, aceste elemente au imagini inverse A 1 și b unu . Mijloace, X 2 = j( A 1) – j( b 1) =
= f (A 1 – b 1), și fiecare element din Z 2 este un prototip. De aici corespondența f reciproc fără ambiguitate. Să verificăm dacă salvează operațiunile.

Dacă X 1 = a 1 – b 1 , y 1 = c 1 – d 1, atunci

X 1 + y 1 = (A 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(X 1 + y 1) = j( A 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( A 1)+ j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( A 1) – j( b 1)+ j( c 1)– j( d 1) =f(X 1) + f(y 1).

În mod similar, verificăm dacă înmulțirea este păstrată. Astfel, s-a stabilit că f este un izomorfism, iar teorema este demonstrată.

Exerciții

1. Demonstrați că orice inel care conține sistemul numerelor naturale include și inelul numerelor întregi.

2. Demonstrați că fiecare inel comutativ ordonat minim cu unitate este izomorf cu inelul întregilor.

3. Demonstrați că fiecare inel ordonat cu unitate și fără divizori zero conține doar un sub-inel izomorf cu inelul întregilor.

4. Demonstrați că matricea de ordinul doi inelă peste câmp numere reale conține infinit de subinele izomorfe cu inelul de numere întregi.

Câmpul numerelor raționale

Definirea și construcția unui sistem de numere raționale se realizează în același mod ca și pentru un sistem de numere întregi.

Definiție. Un sistem de numere raționale este un câmp minim care este o extensie a inelului de numere întregi.

În conformitate cu această definiție, obținem următoarea construcție axiomatică a sistemului de numere raționale.

Termeni primari:

Q este mulțimea numerelor raționale;

0, 1 sunt constante;

+, × sunt operații binare pe Q;

Z- submult Q, mulţimea numerelor întregi;

Å, Ä sunt operații binare pe Z.

Axiome:

eu. Axiome de câmp.

(Î1) A+ (b+c) = (a+b) + c.

(Q2) a + b = b + a.

(Î3)(" A) A + 0 = A.

(Î4)(" A)($(–A)) A + (–A) = 0.

(Î5) A× ( b× c) = (A× b) × c.

(Î6) A× b = b× A.

(Î7) dar× 1 = dar.

(Î8)(" A¹ 0)($ A –1) A × A –1 = 1.

(Î9) ( a+b) × c = a × c + b× c.

II. Axiome de extensie.

(Î10) a Z, M, L, 0, 1ñ fie inelul numerelor naturale.

(Q11) Z Í Q.

(Întreb. 12)(" a,bÎ Z) a+b=aÅ b.

(Î13)(" a,bÎ Z) A× b = aÄ b.

III. Axioma minimalității.

(Întreb. 14) MÍ Q, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® A× b–1 О M)Þ M = Q.

Număr A× b-1 se numește coeficient darȘi b, notat A/b sau .

Teorema 1. Fiecare număr rațional este reprezentat ca un coeficient de două numere întregi.

Dovada. Lasa M este mulțimea numerelor raționale reprezentabile ca un coeficient de două numere întregi. Dacă n este un număr întreg, atunci n = n/1 aparține M, Prin urmare, ZÍ M. Dacă a, bÎ M, apoi a = k/l, b = m/n, Unde k, l, m, nÎ Z. Prin urmare, A/b=
= (kn) / (lm)Î M. Prin axiomă (Q14) M= Q, iar teorema este demonstrată.

Teorema 2. Câmpul numerelor raționale poate fi ordonat liniar și strict și într-un mod unic. Ordinea în domeniul numerelor raționale este arhimediană și continuă ordinea în inelul numerelor întregi.

Dovada. Notează prin Q+ un set de numere reprezentabile sub formă de fracție, unde kl> 0. Este ușor de observat că această condiție nu depinde de tipul de fracție care reprezintă numărul.

Să verificăm asta Q + – parte pozitivă a domeniului Q. Deoarece pentru un număr întreg kl sunt posibile trei cazuri: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, atunci pentru a = obținem una dintre cele trei posibilități: a = 0, aн Q+ , –aО Q + . În plus, dacă a = , b = aparțin Q+ , atunci kl > 0, mn> 0. Atunci a + b = , și ( kn+ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Prin urmare, a + bн Q + . Se poate verifica în mod similar că abн Q + . În acest fel, Q + este partea pozitivă a domeniului Q.

Lasa Q++ este o parte pozitivă a acestui domeniu. Avem

l =.l 2 н Q ++ .

De aici NÍ Q++ . Prin teorema 2.3.4 îi aparțin și reciprocele numerelor naturale Q++ . Apoi Q + Í Q++ . Prin teorema 2.3.6 Q + =Q++ . Prin urmare, și ordinele definite de părțile pozitive coincid. Q+ și Q ++ .

pentru că Z + = NÍ Q+ , apoi ordinea în Q continuă comanda Z.

Fie acum a => 0, b => 0. Deoarece ordinea în inelul întregilor este arhimediană, pentru pozitiv knȘi ml există un firesc din astfel încât din× kn>ml. De aici din a = din>= b. Prin urmare, ordinea în domeniul numerelor raționale este arhimediană.

Exerciții

1. Demonstrați că câmpul numerelor raționale este dens, adică pentru orice numere raționale A < b există un rațional r astfel încât A < r < b.

2. Demonstrați că ecuația X 2 = 2 nu are soluții în Q.

3. Demonstrează că setul Q numărabile.

Teorema 3. Teoria axiomatică a numerelor raționale este consecventă.

Dovada. Consistența teoriei axiomatice a numerelor raționale este demonstrată în același mod ca și pentru numerele întregi. Pentru a face acest lucru, se construiește un model pe care sunt îndeplinite toate axiomele teoriei.

Ca bază, luăm setul

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.

Elementele acestui set sunt perechi ( a, b) numere întregi. Prin o astfel de pereche înțelegem coeficientul de numere întregi A/b. În conformitate cu aceasta, setăm proprietățile perechilor.

Vă prezentăm pe platou Z´ Z* relație de egalitate:

(a, b) = (c, d) Û ad = bc.

Observăm că este o relație de echivalență și are dreptul de a fi numită egalitate. Factor set de seturi Z´ Z*în ceea ce priveşte această relaţie de egalitate, notăm prin Q. Elementele sale vor fi numite numere raționale. O clasă care conține o pereche ( a, b), notat cu [ a, b].

Introducem in setul construit Q operatii de adunare si inmultire. Ne va ajuta să ne facem o idee despre elementul [ a, b] ce zici de privat A/b. În conformitate cu aceasta, presupunem prin definiție:

[a, b] + [c, d] = [ad+bc, bd];

[a, b] × [ c, d] = [ac, bd].

Verificăm corectitudinea definițiilor acestor operații, și anume, că rezultatele nu depind de alegerea elementelor AȘi b definirea perechii [ a, b]. Acest lucru se face în același mod ca în demonstrația teoremei 3.2.1.

Rolul lui zero este jucat de un cuplu. Să o notăm prin 0 . Într-adevăr,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [a, b].

Opus [ a, b] este perechea –[ a, b] = [–a, b]. Într-adevăr,

[a, b] + [–a, b]= [ab-ab, bb] = = 0 .

Unitatea este o pereche = 1 . Inversa la pereche [ a, b] - pereche [ b, a].

Acum să verificăm axiomele de extensie. Să stabilim o corespondență
f: Z ® Q conform regulii

f(n) = [n, 1].

Verificăm că aceasta este o corespondență unu-la-unu între Zși un subset Q, pe care o notăm prin Z*. Verificăm în continuare că păstrează operațiile, deci stabilește un izomorfism între Zși subring Z*în Q. Prin urmare, axiomele de extensie au fost verificate.

Indicați o pereche [ n, 1] din Z* corespunzător numărului natural n, peste n . Atunci pentru o pereche arbitrară [ a, b] avem

[a, b] = [A, 1] × = [ A, 1] / [b, 1] = A /b .

Aceasta fundamentează conceptul de pereche [ a, b] ca despre câtul de numere întregi. În același timp, s-a stabilit că fiecare element din mulțimea construită Q reprezentat ca un coeficient de două numere întregi. Acest lucru va ajuta la testarea axiomei minimalității. Verificarea se efectuează ca în Teorema 3.2.1.

Astfel, pentru sistemul construit Q toate axiomele teoriei numerelor întregi sunt satisfăcute, adică am construit un model al acestei teorii. Teorema a fost demonstrată.

Teorema 4. Teoria axiomatică a numerelor raționale este categorică.

Demonstrația este similară cu demonstrația teoremei 3.2.2.

Teorema 5. Câmpul ordonat arhimedian este o extensie a câmpului numerelor raționale.

Dovada este ca un exercițiu.

Teorema 6. Lasa F este un câmp ordonat arhimedian, A > b, Unde a, bÎ F. Există un număr rațional н F astfel încât A > > b.

Dovada. Lasa A > b³ 0. Apoi a-b> 0 și ( a-b) –1 > 0. Există un firesc T astfel încât m×1 > ( a-b) –1 , de unde m –1 < a-b £ dar. În plus, există un firesc k astfel încât k× m-1³ A. Lasa k este cel mai mic număr pentru care se aplică această inegalitate. pentru că k> 1, atunci putem pune k = n + 1, n Î N. în care
(n+ 1)× m-1³ A, n× m –1 < A. Dacă n× m-1 £ b, apoi A = b + (a-b) > b+m-1³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1)× m-unu . Contradicţie. Mijloace, A >n× m –1 > b.

Exerciții

4. Demonstrați că orice câmp care conține inelul numerelor întregi include și câmpul numerelor raționale.

5. Demonstrați că fiecare câmp ordonat minim este izomorf cu câmpul numerelor raționale.

Numere reale

UNIVERSITATEA PEDAGOGICĂ DE STAT OMSK
SUCURSALA OMSPU din TARE
BBK Publicat prin decizie a redacției și a editurii
Sectorul 22 73 al filialei OmSPU din Tara
Ch67

Recomandările sunt pentru studenți universități pedagogice studiind disciplina „Algebră și teoria numerelor”. În cadrul acestei discipline, în conformitate cu standard de statîn semestrul al VI-lea se studiază secțiunea „Sisteme numerice”. Aceste recomandări prezintă material privind construcția axiomatică a sistemelor de numere naturale (sistemul de axiome al lui Peano), a sistemelor de numere întregi și a numerelor raționale. Această axiomatică vă permite să înțelegeți mai bine ce este un număr, care este unul dintre conceptele de bază ale unui curs de matematică școlar. Pentru o mai bună asimilare a materialului se oferă sarcini pe teme relevante. La finalul recomandărilor se află răspunsuri, instrucțiuni, soluții la probleme.

Referent: dr., prof. Dalinger V.A.

Semnat spre publicare - 22.10.98

hârtie de ziar
Tiraj 100 de exemplare.
Metoda operațională de imprimare
OmGPU, 644099, Omsk, nab. Tuhacevski, 14 ani
filiala, 644500, Tara, str. Scoala, 69

1. NUMERE NATURALE.

În construcția axiomatică a unui sistem de numere naturale, vom presupune că sunt cunoscute conceptul de mulțime, relații, funcții și alte concepte teoretice.

1.1 Sistemul axiomelor lui Peano și cele mai simple corolare.

Conceptele inițiale din teoria axiomatică a lui Peano sunt mulțimea N (pe care o vom numi mulțimea numerelor naturale), numărul special zero (0) din acesta și relația binară „urmează” pe N, notată cu S(a) ( sau un().
AXIOME:
1. ((a(N) a"(0 (Există un număr natural 0 care nu urmează niciunui număr.)
2. a=b (a"=b" (Pentru fiecare număr natural a, există următorul număr natural a", și doar unul.)
3. a"=b" (a=b (Fiecare număr natural urmează cel mult un număr.)
4. (axioma de inducție) Dacă mulțimea M(N și M îndeplinește două condiții:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M® a"(M, apoi M=N.
În terminologia funcțională, aceasta înseamnă că maparea S:N®N este injectivă. Axioma 1 implică faptul că harta S:N®N nu este surjectivă. Axioma 4 este baza pentru demonstrarea afirmațiilor prin „metoda inducției matematice”.
Notăm câteva proprietăți ale numerelor naturale care decurg direct din axiome.
Proprietatea 1. Fiecare număr natural a(0 urmează unui singur număr.
Dovada. Notăm cu M mulțimea numerelor naturale care conțin zero și toate acele numere naturale, fiecare dintre ele urmând un număr. Este suficient să arătăm că M=N, unicitatea rezultă din axioma 3. Să aplicăm axioma inducției 4:
A) 0(M - prin construcția mulțimii M;
B) dacă a(M, atunci a"(M, deoarece a" urmează a.
Prin urmare, în virtutea axiomei 4, M=N.
Proprietatea 2. Dacă a(b, atunci a"(b".
Proprietatea este dovedită prin metoda „prin contradicție”, folosind axioma 3. Următoarea proprietate 3 este demonstrată în mod similar, folosind axioma 2.
Proprietatea 3. Dacă a"(b", atunci a(b.
Proprietatea 4. ((a(N)a(a). (Nici un număr natural nu se urmărește.)
Dovada. Fie M=(x (x(N, x(x")). Este suficient să arătăm că M=N). Deoarece prin axioma 1 ((x(N)x"(0), în special, 0"(0, și astfel condiția A) a axiomei 4 0(M este îndeplinită. Dacă x(M, adică x(x), atunci prin proprietatea 2 x"((x")", ceea ce înseamnă că condiția B) x( M ® x „(M. Dar apoi, conform Axiomei 4, M=N.
Fie ( o proprietate a numerelor naturale. Faptul că numărul a are proprietatea (, vom scrie ((a).
Sarcina 1.1.1. Demonstrați că axioma 4 din definiția mulțimii numerelor naturale este echivalentă cu următoarea afirmație: pentru orice proprietate (, dacă ((0) și, atunci.
Sarcina 1.1.2. Pe mulțimea de trei elemente A=(a,b,c), operația unară (: a(=c, b(=c, c(=a)) este definită după cum urmează. Care dintre axiomele Peano sunt adevărate pe setați A cu operația (?
Sarcina 1.1.3. Fie A=(a) o mulțime de un element, a(=a. Care dintre axiomele Peano sunt adevărate pentru mulțimea A cu operația (?
Sarcina 1.1.4. Pe multimea N definim o operatie unara prin setarea pentru oricare. Aflați dacă afirmațiile axiomelor lui Peano exprimate în termenii unei operații sunt adevărate în N.
Sarcina 1.1.5. Lasa. Demonstrați că A este închis sub operația (. Verificați adevărul axiomelor Peano pe mulțimea A cu operația (.
Sarcina 1.1.6. Lasa, . Definim o operație unară pe A prin setare. Care dintre axiomele lui Peano sunt adevărate pentru o mulțime A cu o operație?

1.2. Consistența și categoricitatea sistemului de axiome ale lui Peano.

Un sistem de axiome se numește consistent dacă este imposibil să se demonstreze teorema T și negația sa din axiomele sale. Prin urmare, consistența sistemului de axiome este o cerință absolut necesară.
Dacă într-o teorie axiomatică nu există teorema T și negația ei (T), atunci aceasta nu înseamnă că sistemul de axiome este consistent, astfel de teorii pot apărea în viitor.De aceea, consistența sistemului de axiome trebuie demonstrată. Cea mai obișnuită modalitate de a dovedi consistența este metoda de interpretare bazată pe faptul că, dacă există o interpretare a unui sistem de axiome într-o teorie consistentă cunoscută S, atunci sistemul de axiome în sine este consistent. Într-adevăr, dacă sistemul axiomelor au fost inconsecvente, atunci teoremele T și (T) ar fi dovedite în ea, dar atunci aceste teoreme ar fi valabile și în interpretarea ei, iar acest lucru contrazice consistența teoriei S. Metoda de interpretare permite să se demonstreze doar consistența relativă a teoriei.
Multe interpretări diferite pot fi construite pentru sistemul axiomelor lui Peano. Teoria mulţimilor este deosebit de bogată în interpretări. Să indicăm una dintre aceste interpretări. Ca numere naturale vom considera multimile (, ((), ((()), (((())),..., ca numar special vom considera zero (. Relatia „urmeaza” va fi interpretata după cum urmează: mulţimea M este urmată de mulţimea (M) al cărui singur element este însuşi M. Astfel, ("=((), (()"=((())) etc. Valabilitatea axiomelor 1-4 poate fi verificat fără dificultate.Totuși, eficacitatea unei astfel de interpretări este mică: arată că sistemul de axiome ale lui Peano este consecvent dacă teoria mulțimilor este consecventă.Dar demonstrarea consistenței sistemului de axiome al teoriei mulțimilor este o egal sarcină mai dificilă.Cea mai convingătoare interpretare a sistemului axiomelor lui Peano este aritmetica intuitivă, a cărei consistență este confirmată de secole de experiență în dezvoltarea sa.
Un sistem consistent de axiome se numește independent dacă fiecare axiomă a acestui sistem nu poate fi demonstrată ca teoremă pe baza altor axiome. Pentru a demonstra că axioma (nu depinde de alte axiome ale sistemului
(1, (2, ..., (n, ((1))
este suficient să demonstrăm că sistemul de axiome este consistent
(1, (2, ..., (n, (((2))
Într-adevăr, dacă (s-ar fi dovedit pe baza axiomelor rămase ale sistemului (1), atunci sistemul (2) ar fi inconsecvent, deoarece teorema (și axioma ((.
Deci, pentru a demonstra independența axiomei (față de restul axiomelor sistemului (1), este suficient să construim o interpretare a sistemului de axiome (2).
Independența sistemului de axiome este o cerință opțională. Uneori, pentru a evita demonstrarea teoremelor „dificile”, se construiește un sistem de axiome (dependent) redundant în mod deliberat. Cu toate acestea, axiomele „de prisos” fac dificilă studierea rolului axiomelor într-o teorie, precum și conexiunile logice interne dintre diferitele secțiuni ale teoriei. În plus, construirea interpretărilor pentru sisteme dependente axiomele sunt mult mai dificile decât pentru cele independente; la urma urmei, trebuie să verificăm validitatea axiomelor „de prisos”. Din aceste motive, chestiunii dependenței dintre axiome i s-a acordat de multă importanță capitală. La un moment dat, încercările de a demonstra că al 5-lea postulat din axiomatica lui Euclid „Există cel mult o dreaptă care trece prin punctul A paralel cu dreapta” este o teoremă (adică depinde de axiomele rămase) și au condus la descoperirea geometriei lui Lobaciovski.
Un sistem consistent se numește complet deductiv dacă orice propoziție A a unei anumite teorii poate fi fie dovedită, fie infirmată, adică fie A, fie incompletă din punct de vedere deductiv. Completitudinea deductivă nu este, de asemenea, o cerință obligatorie. De exemplu, sistemul de axiome ale teoriei grupurilor, inelul teorie, teoria câmpurilor este incompletă; deoarece există atât grupuri finite, cât și infinite, inele, câmpuri, atunci în aceste teorii este imposibil să se demonstreze sau să infirme propoziția: „Un grup (inel, câmp) conține un număr finit de elemente. "
De remarcat că în multe teorii axiomatice (și anume, în cele neformalizate), setul de propoziții nu poate fi considerat exact definit și, prin urmare, este imposibil să se dovedească completitudinea deductivă a sistemului de axiome al unei astfel de teorii. Un alt sentiment de completitudine se numește categoric. Un sistem de axiome este numit categoric dacă oricare dintre interpretările sale sunt izomorfe, adică există o astfel de corespondență unu-la-unu între seturile de obiecte inițiale ale uneia și celeilalte interpretări, care este păstrată pentru toate relațiile inițiale. Categorismul este, de asemenea, o condiție opțională. De exemplu, sistemul de axiome al teoriei grupurilor nu este categoric. Aceasta rezultă din faptul că un grup finit nu poate fi izomorf grup infinit. Cu toate acestea, atunci când se axiomatizează teoria unui sistem de numere, categoricitatea este obligatorie; de exemplu, natura categorială a sistemului de axiome care definesc numerele naturale înseamnă că, până la izomorfism, există o singură serie naturală.
Să demonstrăm categoricitatea sistemului de axiome lui Peano. Fie (N1, s1, 01) și (N2, s2, 02) oricare două interpretări ale sistemului de axiome ale lui Peano. Este necesar să se indice o astfel de mapare bijectivă (unu-la-unu) f:N1®N2 pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) pentru orice x din N1;
b) f(01)=02
Dacă ambele operații unare s1 și s2 sunt notate cu același prim, atunci condiția a) este rescrisă ca
a) f(x()=f(x)(.
Să definim o relație binară f pe mulțimea N1(N2) prin următoarele condiții:
1) 01f02;
2) dacă xfy, atunci x(fy(.
Să ne asigurăm că această relație este o mapare a lui N1 la N2, adică pentru fiecare x din N1
(((y(N2)xfy(1))
Se notează cu M1 mulțimea tuturor elementelor x din N1 pentru care condiția (1) este îndeplinită. Apoi
A) 01(M1 datorita 1);
B) x(M1 ® x((M1 datorită lui 2) și proprietățile 1 de la punctul 1.
Prin urmare, conform Axiomei 4, concluzionăm că M1=N1, ceea ce înseamnă că relația f este o mapare a lui N1 la N2. Mai mult, din 1) rezultă că f(01)=02. Condiția 2) se scrie după cum urmează: dacă f(x)=y, atunci f(x()=y(. Rezultă că f(x()=f(x)(. Astfel, pentru maparea f din condiția a) şi b) sunt satisfăcute. Rămâne de demonstrat că harta f este bijectivă.
Se notează cu M2 mulțimea acelor elemente din N2, fiecare dintre ele fiind imaginea unuia și a unui singur element din N1 sub maparea f.
Deoarece f(01)=02, atunci 02 este o imagine. Mai mult, dacă x(N2 și x(01), atunci, prin proprietatea 1 a punctului 1, x urmează un element c din N1 și atunci f(x)=f(c()=f(c)((02. Prin urmare, 02 este imaginea singurului element 01, adică 02(M2.
Fie mai departe y(M2 și y=f(x), unde x este singura preimagine a elementului y. Apoi, prin condiția a) y(=f(x)(=f(x()), adică y (este imaginea elementului x (. Fie c orice imagine inversă a elementului y(, adică f(c)=y(. c)=f(d()=f(d)(, de unde, în virtutea axiomei 3, y=f(d).Dar întrucât y(M2, atunci d=x, de unde c=d(=x(.. Am demonstrat că dacă y este imaginea unui element unic, atunci y(). este imaginea unui element unic, adică y(M2 ® y((M2. Ambele condiții ale Axiomei 4 sunt îndeplinite și, prin urmare, M2=N2, care completează demonstrația categoricității).
Toată matematica pre-greacă era de natură empirică. Elemente separate ale teoriei au fost înecate în masa de metode empirice de rezolvare a problemelor practice. Grecii au supus acest material empiric unei prelucrări logice, au încercat să găsească o legătură între diverse informații empirice. În acest sens, Pitagora și școala sa (sec. V î.Hr.) au jucat un rol important în geometrie. Ideile metodei axiomatice au fost exprimate clar în scrierile lui Aristotel (secolul al IV-lea î.Hr.). Cu toate acestea, implementarea practică a acestor idei a fost realizată de Euclid în „Începuturile” sale (secolul III î.Hr.).
În prezent, se pot distinge trei forme de teorii axiomatice.
unu). Axiomatică semnificativă, care a fost singura până la mijlocul secolului trecut.
2). O axiomatică semi-formală care a apărut în ultimul sfert al secolului trecut.
3). Axiomatică formală (sau formalizată), a cărei dată de naștere poate fi considerată 1904, când D. Hilbert a publicat faimosul său program despre principiile de bază ale matematicii formalizate.
Fiecare formă nouă nu o nega pe cea anterioară, ci este dezvoltarea și rafinamentul ei, astfel încât nivelul de severitate al fiecărei forme noi este mai mare decât cel al celei anterioare.
O axiomatică semnificativă se caracterizează prin faptul că conceptele inițiale au un sens intuitiv clar chiar înainte de formularea axiomelor. Deci, în Elementele lui Euclid, un punct este înțeles exact ca ceea ce ne imaginăm intuitiv sub acest concept. În acest caz, se utilizează limbajul obișnuit și logica intuitivă obișnuită, care datează de la Aristotel.
Teoriile axiomatice semi-formale folosesc, de asemenea, limbajul obișnuit și logica intuitivă. Cu toate acestea, spre deosebire de axiomatica semnificativă, conceptelor originale nu li se dă niciun sens intuitiv, ele sunt caracterizate doar de axiome. Acest lucru crește rigoarea, deoarece intuiția interferează într-o oarecare măsură cu rigoarea. În plus, se câștigă generalitate, deoarece fiecare teoremă dovedită într-o astfel de teorie va fi valabilă în orice interpretare a acesteia. Un exemplu de teorie axiomatică semi-formală este teoria lui Hilbert prezentată în cartea sa „Fundamentals of Geometry” (1899). Exemple de teorii semi-formale sunt, de asemenea, teoria inelelor și o serie de alte teorii prezentate în cursul algebrei.
Un exemplu de teorie formalizată este calculul propozițional, studiat într-un curs de logică matematică. Spre deosebire de axiomatica substanțială și semi-formală, teoria formalizată folosește un limbaj simbolic special. Și anume, este dat alfabetul teoriei, adică un anumit set de simboluri care joacă același rol ca și literele în limbajul obișnuit. Orice succesiune finită de caractere se numește expresie sau cuvânt. Dintre expresii, se distinge o clasă de formule și este indicat un criteriu exact care permite fiecărei expresii să afle dacă este o formulă. Formulele joacă același rol ca propozițiile în limbajul obișnuit. Unele dintre formule sunt declarate axiome. În plus, setați reguli logice concluzie; fiecare astfel de regulă înseamnă că dintr-un anumit set de formule urmează imediat complet formula definita. Dovada unei teoreme în sine este un lanț finit de formule, în care ultima formulă este teorema însăși, iar fiecare formulă este fie o axiomă, fie o teoremă demonstrată anterior, fie decurge direct din formulele anterioare ale lanțului conform uneia. a regulilor de derivare. Astfel, problema severității probelor este complet exclusă: fie acest lanț este o dovadă, fie nu este, nu există dovezi dubioase. În acest sens, axiomatica formalizată este folosită în întrebări deosebit de subtile de fundamentare a teoriilor matematice, când logica intuitivă obișnuită poate duce la concluzii eronate, care apar în principal din cauza inexactităților și ambiguităților din limbajul nostru obișnuit.
Întrucât într-o teorie formalizată se poate spune despre fiecare expresie - dacă este o formulă, atunci setul de propoziții ale unei teorii formalizate poate fi considerat definit. În acest sens, se poate pune în principiu problema dovedirii completității deductive, precum și a dovedirii consistenței, fără a recurge la interpretări. Într-un număr cazuri simple acest lucru se poate face. De exemplu, consistența calculului propozițional este dovedită fără interpretări.
În teoriile neformalizate, setul de propoziții nu este clar definit, astfel încât problema dovedării consistenței, fără a se face referire la interpretări, este lipsită de sens. Același lucru este valabil și pentru problema dovedirii completității deductive. Totuși, dacă există o astfel de propunere a unei teorii neformalizate care nu poate fi nici dovedită, nici infirmată, atunci teoria este evident incompletă din punct de vedere deductiv.
Metoda axiomatică a fost folosită de mult timp nu numai în matematică, ci și în fizică. Primele încercări în această direcție au fost făcute de Aristotel, dar metoda axiomatică și-a primit aplicarea reală în fizică doar în lucrările lui Newton despre mecanică.
În legătură cu procesul turbulent de matematizare a științelor, se desfășoară și procesul de axiomatizare. În prezent, metoda axiomatică este folosită chiar și în unele ramuri ale biologiei, de exemplu, în genetică.
Și totuși, posibilitățile metodei axiomatice nu sunt nelimitate.
În primul rând, observăm că nici în teoriile formalizate nu este posibil să se evite complet intuiția. Teoria formalizată în sine fără interpretări nu are sens. Prin urmare, apar o serie de întrebări cu privire la relația dintre o teorie formalizată și interpretarea ei. În plus, ca și în teoriile formalizate, se ridică întrebări cu privire la consistența, independența și completitudinea sistemului de axiome. Totalitatea tuturor acestor întrebări constituie conținutul unei alte teorii, care se numește metateoria unei teorii formalizate. Spre deosebire de o teorie formalizată, limbajul unei metateorii este unul obișnuit limbajul cotidian, iar raționamentul logic este efectuat de regulile logicii intuitive obișnuite. Astfel, intuiția, complet exclusă din teoria formalizată, reapare în metateoria ei.
Dar principala slăbiciune a metodei axiomatice nu este în aceasta. Am menționat deja programul lui D. Hilbert, care a pus bazele metodei axiomatice formalizate. Ideea principală a lui Hilbert a fost să exprime matematica clasică ca o teorie axiomatică formalizată și apoi să-i demonstreze consistența. Cu toate acestea, acest program s-a dovedit a fi utopic în punctele sale principale. În 1931, matematicianul austriac K. Gödel și-a demonstrat celebrele teoreme, din care rezultă că ambele sarcini principale stabilite de Hilbert erau imposibile. El a reușit să folosească metoda sa de codificare pentru a exprima unele ipoteze adevărate din metateorie folosind formule de aritmetică formalizată și pentru a demonstra că aceste formule nu sunt derivabile în aritmetica formalizată. Astfel, aritmetica formalizată s-a dovedit a fi incompletă din punct de vedere deductiv. Din rezultatele lui Gödel a rezultat că, dacă această formulă nedemonstrabilă este inclusă printre axiome, atunci va exista o altă formulă nedemonstrabilă care exprimă o propoziție adevărată. Toate acestea au însemnat că nu numai toată matematica, ci chiar și aritmetica, cea mai simplă parte a ei, nu putea fi complet formalizată. În special, Gödel a construit o formulă corespunzătoare propoziției „Aritmetica formalizată este consecventă” și a arătat că această formulă nu este, de asemenea, derivabilă. Acest fapt înseamnă că consistența aritmeticii formalizate nu poate fi dovedită în cadrul aritmeticii în sine. Desigur, este posibil să se construiască o teorie formalizată mai puternică și să se demonstreze consistența aritmeticii formalizate prin intermediul ei, dar apoi există mai multe întrebare grea despre consistența acestei noi teorii.
Rezultatele lui Gödel indică limitările metodei axiomatice. Și totuși, nu există absolut niciun temei pentru concluzii pesimiste în teoria cunoașterii că există adevăruri de necunoscut. Faptul că există adevăruri aritmetice care nu pot fi dovedite în aritmetica formalizată nu înseamnă că există adevăruri de necunoscut și nici nu înseamnă că gândirea umană este limitată. Înseamnă doar că posibilitățile gândirii noastre nu se limitează la proceduri complet formalizabile și că omenirea încă nu a descoperit și inventat noi principii de probă.

1.3.Adunarea numerelor naturale

Operatiile de adunare si inmultire a numerelor naturale nu sunt postulate de axiomele Peano, vom defini aceste operatii.
Definiție. Adunarea numerelor naturale este o operație algebrică binară + pe mulțimea N, care are următoarele proprietăți:
1s. ((a(N)a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Se pune întrebarea - există o astfel de operație și, dacă da, este unică?
Teorema. Există o singură adunare a numerelor naturale.
Dovada. O operație algebrică binară pe mulțimea N este maparea (:N(N®N. Este necesar să se demonstreze că există o mapare unică (:N(N®N cu proprietăți: 1)) ((x(N) (( x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))(. Dacă pentru fiecare număr natural x demonstrăm existența unei mapări fx): N®N cu proprietăți 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(, apoi funcția ((x,y) definită de egalitatea ((x,y) ( fx(y) și va îndeplini condițiile 1) și 2).
Pe mulțimea N, definim relația binară fx prin condițiile:
a) 0fxx;
b) dacă yfxz, atunci y(fxz(.
Să ne asigurăm că această relație este o mapare a lui N la N, adică pentru fiecare y din N
(((z(N) yfxz (1))
Notăm cu M mulțimea numerelor naturale y pentru care condiția (1) este îndeplinită. Apoi, din condiția a) rezultă că 0(M, iar din condiția b) și proprietatea 1 a elementului 1 rezultă că dacă y(M, atunci și y((M). Prin urmare, pe baza axiomei 4, concluzionăm că M =N, ceea ce înseamnă că relația fx este o mapare de N la N. Această mapare satisface următoarele condiții:
1() fx(0)=x - datorita lui a);
2() fx((y)=fx(y() - datorita lui b).
Astfel, se dovedește existența adunării.
Să dovedim unicitatea. Fie + și ( oricare două operații algebrice binare pe mulțimea N cu proprietăți 1c și 2c. Este necesar să se demonstreze că
((x,y(N)x+y=x(y
Să reparăm număr arbitrar x și notăm cu S mulțimea acelor numere naturale y pentru care egalitatea
x+y=x(y (2)
efectuat. Deoarece conform 1c x+0=x și x(0=x, atunci
A) 0(S
Fie acum y(S, adică egalitatea (2). Deoarece x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y))(și x+y=x(y)), atunci axioma) 2 x+y(=x(y(, adică condiția
C) y(S® y((S.
Prin urmare, prin axioma 4, S=N, care completează demonstrația teoremei.
Să demonstrăm câteva proprietăți ale adunării.
1. Numărul 0 este un element neutru de adunare, adică a+0=0+a=a pentru fiecare număr natural a.
Dovada. Egalitatea a+0=a rezultă din condiția 1c. Să demonstrăm egalitatea 0+a=a.
Se notează cu M mulțimea tuturor numerelor pentru care se află. Evident, 0+0=0 și deci 0(M. Fie a(M, adică 0+a=a. Atunci 0+a(=(0+a)(=a(și deci a((M. Prin urmare, M) =N, care trebuia să fie demonstrat.
În continuare, avem nevoie de o lemă.
Lema. a(+b=(a+b)(.
Dovada. Fie M mulțimea tuturor numerelor naturale b pentru care egalitatea a(+b=(a+b)(este adevărată pentru orice valoare a lui a. Atunci:
A) 0(M, deoarece a(+0=(a+0)(;
C) b(M ® b((M.) Într-adevăr, din faptul că b(M și 2c, avem
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b()(,
adică b((M. Prin urmare, M=N, care trebuia demonstrat.
2. Adunarea numerelor naturale este comutativă.
Dovada. Fie M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Este suficient să demonstrăm că M=N). Avem:
A) 0(M - datorită proprietății 1.
C) a(M ® a((M. Într-adevăr, aplicând lema și faptul că a(M), obținem:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Prin urmare, a((M și prin Axioma 4 M=N.
3. Adunarea este asociativă.
Dovada. Lasa
M=(c(c(N(((a,b(N))(a+b)+c=a+(b+c)))
Se cere să se demonstreze că M=N. Deoarece (a+b)+0=a+b și a+(b+0)=a+b, atunci 0(M. Fie c(M, adică (a+b)+c=a+(b+c). Apoi
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Prin urmare, c((M și prin Axioma 4 M=N.
4. a+1=a(, unde 1=0(.
Dovada. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Dacă b(0, atunci ((a(N)a+b(a).
Dovada. Fie M=(a(a(N(a+b(a). Deoarece 0+b=b(0, atunci 0(M). În plus, dacă a(M, adică a+b(a),), atunci prin proprietatea 2 elementul 1 (a+b)((a(sau a(+b(a(. Deci a((M și M=N).
6. Dacă b(0, atunci ((a(N)a+b(0).
Dovada. Dacă a=0, atunci 0+b=b(0, dar dacă a(0 și a=c(, atunci a+b=c(+b=(c+b))((0. Deci, în orice caz, a +b(0.
7. (Legea tricotomiei adunării). Pentru orice numere naturale a și b, una și numai una dintre cele trei relații este adevărată:
1) a=b;
2) b=a+u, unde u(0;
3) a=b+v, unde v(0.
Dovada. Fixăm un număr arbitrar a și notăm cu M mulțimea tuturor numerelor naturale b pentru care cel puțin una dintre relațiile 1), 2), 3) este valabilă. Se cere să se demonstreze că M=N. Fie b=0. Atunci dacă a=0, atunci relația 1) este satisfăcută, iar dacă a(0, atunci relația 3) este adevărată, deoarece a=0+a. Deci 0 (M.
Să presupunem acum că b(M, adică pentru a ales, una dintre relațiile 1), 2), 3) este satisfăcută. Dacă a=b, atunci b(=a(=a+1, adică pentru b(relația 2 este valabilă). Dacă b=a+u, atunci b(=a+u(, adică pentru b(relația) 2) Dacă a=b+v, atunci sunt posibile două cazuri: v=1 și v(1. Dacă v=1, atunci a=b+v=b", adică pentru b" relația 1 este satisfăcută). v(1, atunci v=c", unde c(0 și apoi a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, unde c(0, adică pentru b" relația 3 Astfel, am demonstrat că b(M®b"(M, și, prin urmare, M=N, adică pentru orice a și b, cel puțin una dintre relațiile 1), 2), 3 este satisfăcută. ).că nu pot fi valabile două dintre ele simultan. Într-adevăr, dacă relațiile 1) și 2) ar fi îndeplinite, atunci am avea b=b+u, unde u(0, iar aceasta contrazice proprietatea 5. Imposibilitatea satisfiabilității 1) și 3) În sfârșit, dacă relațiile 2) și 3) ar fi îndeplinite, atunci am avea a=(a+u)+v = a+ +(u+v), ceea ce este imposibil datorită proprietăților 5 și 6. Proprietatea 7 este complet dovedit.
Sarcina 1.3.1. Fie 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9).)). Demonstrați că 3+5=8, 2+4=6.

1.4. MULTIPLICAREA NUMERELOR NATURALE.

Definiție 1. Înmulțirea numerelor naturale este o astfel de operație binară (pe mulțimea N, pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:
1u. ((x(N) x(0=0;
2 ani. ((x,y(N)x(y)=x(y+x.
Din nou se pune întrebarea - există o astfel de operațiune și, dacă da, este unică?
Teorema. Există o singură operație pentru înmulțirea numerelor naturale.
Dovada este aproape aceeași ca și pentru adunare. Este necesar să se găsească o astfel de mapare (:N(N®N) care să îndeplinească condițiile
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Fixați un număr arbitrar x. Dacă demonstrăm pentru fiecare x(N existența unei mapări fx: N®N cu proprietățile
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
atunci funcția ((x,y) definită de egalitatea ((x,y)=fx(y) va îndeplini condițiile 1) și 2).
Astfel, demonstrarea teoremei se reduce la demonstrarea existenței și unicității pentru fiecare x al funcției fx(y) cu proprietăți 1") și 2"). Să stabilim o corespondență pe mulțimea N după următoarea regulă:
a) numărul zero este comparabil cu numărul 0,
b) dacă numărul y este asociat cu numărul c, atunci cu numărul y (asociem numărul c+x.
Să ne asigurăm că, printr-o astfel de comparație, fiecare număr y are singura imagine: aceasta va însemna că corespondența este o mapare a lui N în N. Se notează cu M mulțimea tuturor numerelor naturale y având o imagine unică. Din condiția a) și axioma 1 rezultă că 0(M. Fie y(M. Apoi din condiția b) și axioma 2 rezultă că y((M. Prin urmare, M=N, adică corespondența noastră este o mapare a lui N în N , notați-l cu fx Apoi fx(0)=0 prin condiția a) și fx(y()=fx(y)+x prin condiția b).
Deci, se dovedește existența operației de înmulțire. Acum să fie (și (fie oricare două operații binare pe mulțimea N cu proprietăți 1y și 2y. Rămâne de demonstrat că ((x,y(N)) x(y=x(y. Fixați un număr arbitrar x și fie
S=(y?y(N(x(y=x(y))
Deoarece, în virtutea lui 1y, x(0=0 și x(0=0), atunci 0(S. Fie y(S, adică x(y=x(y). Atunci
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
și, în consecință, y((S. Prin urmare, S=N, care completează demonstrația teoremei.
Remarcăm câteva proprietăți ale înmulțirii.
1. Elementul neutru în ceea ce privește înmulțirea este numărul 1=0(, adică ((a(N) a(1=1(a=a).
Dovada. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Astfel, se dovedește egalitatea a(1=a). Rămâne de demonstrat egalitatea 1(a=a. Fie M=(a). ?a(N (1(a=a). Deoarece 1(0=0, atunci 0(M. Fie a(M, adică 1(a=a). Atunci 1(a(=1(a+1=) a+1= a(, și, în consecință, a((M. Prin urmare, prin Axioma 4, M=N, care trebuia demonstrat.
2. Pentru înmulțire este valabilă legea distributivă a dreptului, adică
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Dovada. Fie M=(c (c(N) (((a,b(N)) (a+b)c=ac+bc). Deoarece (a+b)0=0 și a(0+b(0=0 , atunci 0(M. Dacă c(M, adică (a+b)c=ac+bc, atunci (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a +b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Deci c((M și M=N.
3. Înmulțirea numerelor naturale este comutativă, adică ((a,b(N) ab=ba.
Dovada. Să demonstrăm mai întâi pentru orice b(N egalitatea 0(b=b(0=0. Egalitatea b(0=0) rezultă din condiția 1у. Fie M=(b (b(N (0(b=0)) . Deoarece 0( 0=0, atunci 0(M. Dacă b(M, adică 0(b=0), atunci 0(b(=0(b+0=0 și, prin urmare, b((M. Prin urmare, , M=N, adică, egalitatea 0(b=b(0) a fost demonstrată pentru toți b(N. Mai mult, fie S=(a (a(N (ab=ba).) Deoarece 0(b=b( 0), atunci 0(S. Fie a (S, adică ab=ba. Atunci a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, adică a((S) Deci S=N, care trebuia demonstrat.
4. Înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea. Această proprietate rezultă din proprietățile 3 și 4.
5. Înmulțirea este asociativă, adică ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
Demonstrarea se realizează, ca și pentru adunare, prin inducție pe c.
6. Dacă a(b=0, atunci a=0 sau b=0, adică nu există divizori zero în N.
Dovada. Fie b(0 și b=c(. Dacă ab=0, atunci ac(=ac+a=0), de unde rezultă, prin proprietatea 6, itemul 3, că a=0.
Sarcina 1.4.1. Fie 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9).)). Demonstrați că 2(4=8, 3(3=9.
Fie n, a1, a2,...,an numere naturale. Suma numerelor a1, a2,...,an este numărul notat și determinat de condiții; pentru orice număr natural k
Produsul numerelor a1, a2,...,an este un număr natural, care se notează și se definește prin condițiile: ; pentru orice număr natural k
Dacă, atunci numărul este notat cu un.
Sarcina 1.4.2. Demonstrează asta
dar) ;
b) ;
în);
G) ;
e) ;
e) ;
g);
h) ;
Și) .

1.5. ORDONAREA SISTEMULUI NUMERELOR NATURALE.

Relația „urmează” este antireflexivă și antisimetrică, dar nu tranzitivă și, prin urmare, nu este o relație de ordine. Vom defini relația de ordine pe baza adunării numerelor naturale.
Definiția 1.a
Definiția 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Să ne asigurăm că relația Să notăm câteva proprietăți ale numerelor naturale legate de relațiile de egalitate și inegalitate.
1.
1,1 a=b (a+c=b+c.
1,2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b.
1,6 ac=bc (c(0 (a=b.
1,7a+c
1,8ac
1.9a
1.10a
Dovada. Proprietățile 1.1 și 1.2 decurg din unicitatea operațiilor de adunare și înmulțire. În cazul în care un
2. ((a(N) a
Dovada. Deoarece a(=a+1, atunci a
3. Cel mai mic element din N este 0, iar cel mai mic element din N\(0) este numărul 1.
Dovada. Deoarece ((a(N) a=0+a, atunci 0(a și, prin urmare, 0 este cel mai mic element din N. În plus, dacă x(N\(0), atunci x=y(, y(N , sau x = y + 1. Aceasta implică faptul că ((x(N \ (0))) 1 (x, adică 1 este cel mai mic element din N \ (0).
4. Relația ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Dovada. Evident, pentru orice natural a există un număr natural n astfel încât
a Un astfel de număr este, de exemplu, n=a(. În plus, dacă b(N\(0), atunci prin proprietatea 3
1(b(2)
Din (1) și (2) pe baza proprietăților 1.10 și 1.4 obținem aa.

1.6. COMANDAREA COMPLETĂ A SISTEMULUI NUMERELOR NATURALE.

Definiție 1. Dacă fiecare submulțime nevidă a unei mulțimi ordonate (M; Să verificăm că ordinea totală este liniară. Fie a și b oricare două elemente dintr-o mulțime bine ordonată (M; Lema) . 1) a
Dovada.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0)) (a)
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0)) (a)
Teorema 1. Ordinea naturală pe mulțimea numerelor naturale este ordinea completă.
Dovada. Fie M orice mulțime nevidă de numere naturale și S fie mulțimea limitelor sale inferioare în N, adică S=(x (x(N (((m(M)) x(m). Din proprietatea 3 elementul 5). rezultă că 0(S. Dacă a doua condiție a axiomei 4 n(S (n((S),), atunci am avea S=N. De fapt, S(N; și anume, dacă a(M, atunci a(( S)
Teorema 2. Orice mulțime nevidă de numere naturale mărginite mai sus are un element maxim.
Dovada. Fie M orice mulțime nevidă de numere naturale mărginite mai sus și S fie mulțimea limitelor sale superioare, adică S=(x(x(N) (((m(M) m(x).). Notăm cu x0). cel mai mic element din S. Atunci inegalitatea m(x0 este valabilă pentru toate numerele m din M, iar inegalitatea strictă m
Problema 1.6.1. Demonstrează asta
dar) ;
b) ;
în) .
Problema 1.6.2. Fie ( o proprietate a numerelor naturale și k un număr natural arbitrar. Demonstrați că
a) orice număr natural are proprietatea (, de îndată ce 0 are această proprietate pentru fiecare n (0
b) orice număr natural mai mare sau egal cu k are proprietatea (, de îndată ce k are această proprietate și pentru fiecare n (k(n)) din ipoteza că n are proprietatea (, rezultă că numărul n + 1 are si aceasta proprietate;
c) orice număr natural mai mare sau egal cu k are proprietatea ( de îndată ce k are această proprietate și pentru orice n (n>k) din ipoteza că toate numerele t definite de condiția k(t)

1.7. PRINCIPIUL INDUCȚIEI.

Folosind ordonarea completă a sistemului de numere naturale, putem demonstra următoarea teoremă, pe care se bazează una dintre metodele de demonstrare, numită metoda inducției matematice.
Teorema (principiul inducției). Toate afirmațiile din șirul A1, A2, ..., An, ... sunt adevărate dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
1) afirmația A1 este adevărată;
2) dacă afirmațiile Ak sunt adevărate pentru k
Dovada. Presupunem contrariul: condițiile 1) și 2) sunt îndeplinite, dar teorema nu este adevărată, adică mulțimea M=(m(m(N\(0), Am este fals) nu este goală. Conform teoremei 1 , itemul 6, M are cel mai mic element, pe care îl notăm cu n. Deoarece conform condiției 1) A1 este adevărat și An este fals, atunci 1(n, și deci 1
La demonstrarea prin inducție se pot distinge două etape. În prima etapă, care se numește bază de inducție, se verifică satisfacabilitatea condiției 1). La a doua etapă, numită pas de inducție, se dovedește condiția 2). În acest caz, de cele mai multe ori există cazuri când, pentru a demonstra adevărul propoziției An, nu este nevoie să se folosească adevărul propozițiilor Ak pentru k.
Exemplu. Demonstrați inegalitatea Fie =Sk. Se cere să se dovedească adevărul enunţurilor Ak=(Sk) Sirul enunţurilor la care se face referire în teorema 1 poate fi obţinută din predicatul A(n) definit pe mulţimea N sau pe submulţimea ei Nk=(x (x(N). , x(k), unde k - orice număr natural fix.
În special, dacă k=1, atunci N1=N\(0), iar numerotarea enunțurilor poate fi efectuată folosind egalitățile A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Dacă k(1, atunci succesiunea de afirmații poate fi obținută folosind egalitățile A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n -1), .. În conformitate cu o astfel de notație, Teorema 1 poate fi formulată sub altă formă.
Teorema 2. Predicatul A(m) este identic adevărat pe mulțimea Nk dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
1) afirmația A(k) este adevărată;
2) dacă afirmațiile A(m) sunt adevărate pentru m
Problema 1.7.1. Demonstrați că următoarele ecuații nu au soluții în domeniul numerelor naturale:
a) x+y=1;
b) 3x=2;
c) x2=2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Problema 1.7.2. Demonstrați folosind principiul inducției matematice:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b) ;
în);
G) ;
e) ;
e).

1.8. Scăderea și împărțirea numerelor naturale.

Definiție 1. Diferența numerelor naturale a și b este un număr natural x astfel încât b+x=a. Diferența dintre numerele naturale a și b se notează cu a-b, iar operația de găsire a diferenței se numește scădere. Scăderea nu este o operație algebrică. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.
Teorema 1. Diferența a-b există dacă și numai dacă b(a. Dacă există o singură diferență.
Dovada. Dacă b(a, atunci prin definiția relației (există un număr natural x astfel încât b+x=a. Dar asta înseamnă și că x=ab. În schimb, dacă diferența ab există, atunci prin Definiția 1 există un astfel de număr natural x, încât b+x=a, dar asta înseamnă și că b(a.
Să demonstrăm unicitatea diferențe a-b. Fie a-b=x și a-b=y. Apoi, conform definiției 1 b+x=a, b+y=a. Prin urmare, b+x=b+y și deci x=y.
Definitia 2. Un cat de doua numere naturale a si b(0) este un numar natural c astfel incat a=bc.Operatia de aflare a unui cat se numeste impartire.Problema existentei unui cat se rezolva in teoria lui divizibilitate.
Teorema 2. Dacă există un coeficient, atunci doar unul.
Dovada. Fie =x și =y. Apoi conform definiției 2 a=bx și a=by. Prin urmare, bx=by și deci x=y.
Rețineți că operațiile de scădere și împărțire sunt definite aproape textual în același mod ca în manualele școlare. Aceasta înseamnă că în paragrafele 1-7, pe baza axiomelor lui Peano, este pusă o bază teoretică solidă pentru aritmetica numerelor naturale și prezentarea ulterioară a acesteia este realizată în mod consecvent în cursul școlar de matematică și în cursul universitar „Algebră și Teoria numerelor”.
Problema 1.8.1. Demonstrați validitatea următoarelor afirmații, presupunând că există toate diferențele care apar în formulările lor:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Problema 1.8.2. Demonstrați validitatea următoarelor afirmații, presupunând că există toți coeficientii care apar în formulările lor.
dar) ; b) ; în); G) ; e) ; e) ; g); h) ; Și) ; la) ; l); m) ; m) ; despre) ; P); R).
Problema 1.8.3. Demonstrați că următoarele ecuații nu pot avea două soluții naturale diferite: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (a,b(N).
Problema 1.8.4. Rezolvați ecuațiile în numere naturale:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; f) x+y+z=x(y(z.
Problema 1.8.5. Demonstrați că următoarele ecuații nu au soluții în domeniul numerelor naturale: a) x2-y2=14; b) x-y=xy; în); G) ; e) x2=2x+1; f) x2=2y2.
Problema 1.8.6. Rezolvați în numere naturale inegalitățile: a) ; b) ; în); d) x+y2 Problema 1.8.7. Demonstrați că în domeniul numerelor naturale sunt valabile următoarele relații: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9. SENS CANTITATIV NUMERE NATURALE.
În practică, numerele naturale sunt folosite în principal pentru numărarea elementelor, iar pentru aceasta este necesar să se stabilească semnificația cantitativă a numerelor naturale în teoria lui Peano.
Definiție 1. Mulțimea (x (x(N, 1(x(n))) se numește un segment al seriei naturale și se notează cu (1;n(.
Definiția 2. O mulțime finită este orice mulțime care este echivalentă ca putere cu un anumit segment al seriei naturale, precum și o mulțime goală. O mulțime care nu este finită se numește infinită.
Teorema 1. O mulțime finită A nu este echivalentă cu nici una dintre propriile sale submulțimi (adică o altă submulțime decât A).
Dovada. Dacă A=(, atunci teorema este adevărată, deoarece mulțimea goală nu are submulțimi proprii. Fie A((și A echivalent cu (1,n((A((1,n().). Vom demonstra teorema). inducție pe n. Dacă n= 1, adică A((1,1(, atunci singura submulțime proprie a mulțimii A este mulțimea goală. Este clar că A( și, prin urmare, pentru n=1 teorema) este adevărată. Să presupunem că teorema este adevărată pentru n=m, adică toate mulțimile finite echivalente cu segmentul (1,m( nu au submulțimi proprii echivalente. Fie A orice mulțime echivalentă cu segmentul (1,m+1). (și (:(1,m+1(®A - o hartă bijectivă a segmentului (1,m+1(în A. Dacă ((k)) se notează cu ak, k=1,2,...), m+1, atunci mulțimea A poate fi scrisă ca A=(a1, a2, ... , am, am+1).Sarcina noastră este să dovedim că A nu are submulțimi proprii echipotente. Să presupunem contrariul: fie B (A, B(A, B(A și f: A®B) să fie o mapare bijectivă. (și f astfel încât am+1(B și f(am+1)=am+1).
Luați în considerare mulțimile A1=A\(am+1) și B1=B\(am+1). Deoarece f(am+1)=am+1, funcția f va efectua o mapare bijectivă a mulțimii A1 pe mulțimea B1. Astfel, mulțimea A1 va fi echivalentă cu propria sa submulțime B1. Dar din moment ce A1((1,m(, aceasta contrazice ipoteza de inducție.
Corolarul 1. Mulțimea numerelor naturale este infinită.
Dovada. Din axiomele Peano rezultă că maparea S:N®N\(0), S(x)=x(este bijectivă. Prin urmare, N este echivalent cu submulțimea proprie N\(0) și, în virtutea teoremei 1 , nu este finită.
Corolarul 2. Orice mulțime finită nevide A este echivalentă ca mărime cu unul și doar un segment al seriei naturale.
Dovada. Fie A((1,m(și A((1,n(. Atunci (1,m(((1,n(, de unde, în virtutea teoremei 1), rezultă că m=n). Într-adevăr, dacă presupunem că m
Corolarul 2 ne permite să introducem o definiție.
Definiția 3. Dacă A((1,n(, atunci numărul natural n se numește numărul de elemente ale mulțimii A, iar procesul de stabilire a unei corespondențe unu-la-unu între mulțimile A și (1,n(). se numeşte numărătoarea elementelor mulţimii A. Este firesc să luăm în considerare numărul de elemente ale mulţimii goale numărul zero.
Este de prisos să vorbim despre enorma semnificație a numărării în viața practică.
De remarcat că, cunoscând semnificația cantitativă a unui număr natural, s-ar putea defini operația de înmulțire prin adunare și anume:
.
Nu am urmat în mod deliberat această cale pentru a arăta că aritmetica în sine nu are nevoie de un sens cantitativ: sensul cantitativ al unui număr natural este necesar doar în aplicațiile aritmeticii.

1.10. SISTEMUL NUMERELOR NATURALE CA UN SET DISCRET COMPLET COMANDAT.

Am arătat că mulțimea numerelor naturale în raport cu ordinea naturală este bine ordonată. În acest caz, ((a(N) a
1. pentru orice număr a(N există un număr vecin care îl urmează în relație 2. pentru orice număr a(N\(0) există un număr vecin care îl precede în relație O mulțime bine ordonată (A;() cu proprietăți) 1 și 2 se vor numi bine discret. Se dovedește că ordonarea completă cu proprietățile 1 și 2 este o proprietate caracteristică a unui sistem de numere naturale.după cum urmează: a(=b dacă b este un element adiacent după a în relație (. Este este clar că cel mai mic element al mulțimii A nu urmează niciun element și, prin urmare, axioma 1 a lui Peano este satisfăcută.
Deoarece relația (este ordine liniară, atunci pentru orice element a există un element unic care îl urmează și cel mult un element vecin anterior. Aceasta implică fezabilitatea axiomelor 2 și 3. Acum să fie M orice submulțime a mulțimii A pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:
1) a0(M, unde a0 este cel mai mic element din A;
2) a(M (a((M.
Să demonstrăm că M=N. Să presupunem opusul, adică A\M((. Notăm cu b cel mai mic element din A\M. Deoarece a0(M, atunci b(a0 și, prin urmare, există un element c astfel încât c(=b. Deoarece c
Deci, am demonstrat posibilitatea unei alte definiții a sistemului de numere naturale.
Definiție. Un sistem de numere naturale este orice mulțime bine ordonată în care sunt îndeplinite următoarele condiții:
1. pentru orice element urmează un element vecin;
2. pentru orice element, altul decât cel mai mic, există un element vecin care îl precede.
Există și alte abordări pentru determinarea sistemului de numere naturale, asupra cărora nu ne oprim aici.

2. NUMERE INTEGRE ŞI RATIONALE.

2.1. DEFINIȚIA ȘI PROPRIETĂȚI ALE SISTEMULUI DE NUMERE ÎNTREGI.
Se știe că mulțimea numerelor întregi în înțelegerea lor intuitivă este un inel în ceea ce privește adunarea și înmulțirea, iar acest inel conține toate numerele naturale. De asemenea, este clar că nu există un subinel propriu în inelul întregilor care ar conține toate numerele naturale. Aceste proprietăți, se dovedește, pot fi folosite ca bază pentru o definiție riguroasă a sistemului de numere întregi. În secțiunile 2.2 și 2.3, se va dovedi corectitudinea unei astfel de definiții.
Definiții 1. Un sistem de numere întregi se numește sistem algebric, pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:
1. Un sistem algebric este un inel;
2. Mulțimea numerelor naturale este conținută în, iar adunarea și înmulțirea din inelul de pe submulțime coincid cu adunarea și înmulțirea numerelor naturale, adică
3. (condiție minimă). Z este o mulțime minimă de incluziune cu proprietățile 1 și 2. Cu alte cuvinte, dacă un subinel al inelului conține toate numerele naturale, atunci Z0=Z.
Definiției 1 i se poate da un caracter axiomatic detaliat. Conceptele inițiale din această teorie axiomatică vor fi:
1) Mulțimea Z, ale cărei elemente se numesc numere întregi.
2) Un întreg special numit zero și notat cu 0.
3) Relații ternare + și (.
Ca de obicei, N desemnează mulțimea numerelor naturale cu adunare (și înmulțire (. În conformitate cu Definiția 1, un sistem de numere întregi este un sistem algebric (Z; +, (, N)) pentru care sunt valabile următoarele axiome:
1. (Axiome de inel.)
1.1.
Această axiomă înseamnă că + este o operație algebrică binară pe mulțimea Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z)a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, adică numărul 0 este un element neutru în raport cu adunarea.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), adică pentru fiecare număr întreg există un număr opus a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Această axiomă înseamnă că înmulțirea este o operație algebrică binară pe mulțimea Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b))=c(a+c(b.
2. (Axiome de conectare a inelului Z cu sistemul numerelor naturale.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N)a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Axioma minimalității.)
Dacă Z0 este un subinel al inelului Z și N(Z0, atunci Z0=Z.
Remarcăm câteva proprietăți ale sistemului de numere întregi.
1. Fiecare număr întreg este reprezentabil ca diferență a două numere naturale. Această reprezentare este ambiguă, cu z=a-b și z=c-d, unde a,b,c,d(N, dacă și numai dacă a+d=b+c.
Dovada. Notăm cu Z0 mulțimea tuturor numerelor întregi, fiecare dintre acestea putând fi reprezentată ca diferența a două numere naturale. În mod evident, ((a(N) a=a-0 și, prin urmare, N(Z0.
În continuare, fie x,y(Z0, adică x=ab, y=cd, unde a,b,c,d(N. Atunci xy=(ab)-(cd)=(a+d)--(b + c)=(a(d)-(b(c), x(y=(ab)(cd)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)-( a) (d(b(c). Aceasta arată că xy, x(y(Z0 și, în consecință, Z0 este un subinel al inelului Z care conține mulțimea N). Dar apoi, prin axioma 3, Z0=Z, și astfel primul parte a proprietății 1 este dovedită A doua afirmație a acestei proprietăți este evidentă.
2. Inelul numerelor întregi este un inel comutativ cu o unitate, iar zeroul acestui inel este numărul natural 0, iar unitatea acestui inel este numărul natural 1.
Dovada. Fie x,y(Z. Conform proprietății 1 x=ab, y=cd, unde a,b,c,d(N. Atunci x(y=(ab)((cd)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c),), y(x=(cd)(ab))=(ca+db)-(da+cb)=(c ( a(d(b)-(d(a(c(b).). Prin urmare, datorită comutativității înmulțirii numerelor naturale, concluzionăm că xy=yx. Se demonstrează comutativitatea înmulțirii în inelul Z. Restul aserțiunile proprietății 2 rezultă din următoarele egalități evidente, unde 0 și 1 denotă numere naturale zero și unu: x+0=(ab)+0=(a+(-b))+0=(a+0)+(- b)=(a(0)+ (-b)=ab=x.x(1=(ab)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=ab=x).

2.2. EXISTENTA UNUI SISTEM DE NUMERE INTEGERE.

Sistemul de numere întregi este definit în 2.1 ca un inel minim de incluziune care conține toate numerele naturale. Apare întrebarea - există un astfel de inel? Cu alte cuvinte, este consecvent sistemul de axiome din 2.1? Pentru a demonstra consistența acestui sistem de axiome, este necesar să se construiască interpretarea sa într-o teorie consistentă cunoscută. Aritmetica numerelor naturale poate fi considerată o astfel de teorie.
Astfel, se trece la construirea unei interpretări a sistemului de axiome 2.1. Vom lua în considerare setul inițial. Pe această mulțime, definim două operații binare și o relație binară. Deoarece adunarea și înmulțirea perechilor se reduce la adunarea și înmulțirea numerelor naturale, atunci, ca și în cazul numerelor naturale, adunarea și înmulțirea perechilor sunt comutative, asociative, iar înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea. Să verificăm, de exemplu, comutativitatea adunării perechilor: +===+.
Luați în considerare proprietățile relației ~. Deoarece a+b=b+a, atunci ~, adică relația ~ este reflexivă. Dacă ~, adică a+b1=b+a1, atunci a1+b=b1+a, adică ~. Prin urmare, relația ~ este simetrică. Lasă mai departe ~ și ~. Atunci sunt valabile egalitățile a+b1=b+a1 și a1+b2=b1+a2. Adunând aceste egalități, obținem a+b2=b+a2, adică ~. Prin urmare relația ~ este și tranzitivă și deci o echivalență. Clasa de echivalență care conține o pereche va fi notată cu. Astfel, o clasă de echivalență poate fi notată prin oricare dintre perechile sale și, în plus,
(1)
Setul tuturor claselor de echivalență va fi notat cu. Sarcina noastră este să arătăm că această mulțime, având în vedere definiția adecvată a operațiilor de adunare și înmulțire, va fi interpretarea sistemului de axiome din 2.1. Operațiile pe mulțime sunt definite prin egalități:
(2)
(3)
Dacă și, adică pe mulțimea N, egalitățile a+b(=b+a(, c+d(=a+c(),), atunci egalitatea (a+c)+(b(+d()) =(b +d)+(a(+c()), din care, în virtutea (1), obținem și unicitatea înmulțirii clasei. Astfel, egalitățile (2) și (3) definesc operații algebrice binare pe a stabilit.
Deoarece adunarea și înmulțirea claselor se reduce la adunare și înmulțire de perechi, aceste operații sunt comutative, asociative, iar înmulțirea claselor este distributivă în raport cu adunarea. Din egalități, concluzionăm că clasa este un element neutru în raport cu adunarea, iar pentru fiecare clasă există o clasă opusă acesteia. Aceasta înseamnă că mulțimea este un inel, adică axiomele grupului 1 din 2.1 sunt îndeplinite.
Luați în considerare un subset în inel. Dacă a(b, atunci în virtutea (1) și dacă a
Pe o mulțime, definim o relație binară (urmează(; și anume, o clasă este urmată de o clasă, unde x(este un număr natural care urmează pe x. Este firesc să notăm clasa după x cu (. Este clar că un clasă nu urmează nicio clasă și fiecare clasă urmează o clasă și, în plus, doar una. Aceasta din urmă înseamnă că relația (urmează (este o operație algebrică unară pe mulțimea N.
Să luăm în considerare o mapare. În mod evident, această mapare este bijectivă și condițiile f(0)= , f(x()==(=f(x)(. Aceasta înseamnă că maparea f este un izomorfism al algebrei (N;0,() pe algebra (;, (). Cu alte cuvinte, algebra (;, () este o interpretare a sistemului de axiome lui Peano. Identificarea acestor algebre izomorfe, adică presupunând că mulțimea N în sine este o submulțime a inelului. Aceeași identificare în egalități evidente conduce la egalitățile a(c =a+c, a(c=ac), ceea ce înseamnă că adunarea și înmulțirea într-un inel pe o submulțime N coincid cu adunarea și înmulțirea numerelor naturale. Astfel, satisfacabilitatea se stabileşte axiomele grupului 2. Rămâne de verificat satisfacabilitatea axiomei minimalităţii.
Fie Z0 orice subinel al inelului care conține mulțimea N și. Rețineți că și, prin urmare, . Dar, deoarece Z0 este un inel, diferența acestor clase aparține și inelului Z0. Din egalitățile -= (= concluzionăm că (Z0 și, în consecință, Z0=. Se demonstrează consistența sistemului de axiome din Secțiunea 2.1).

2.3. UNICITATEA SISTEMULUI DE NUMERE INTEGERE.

Există un singur sistem de numere întregi în sensul lor intuitiv. Aceasta înseamnă că sistemul de axiome care definește numerele întregi trebuie să fie categoric, adică oricare două interpretări ale acestui sistem de axiome sunt izomorfe. Categoric și înseamnă că, până la izomorfism, există un singur sistem de numere întregi. Să ne asigurăm că acest lucru este adevărat.
Fie (Z1;+,(,N) și (Z2;(,(,N)) oricare două interpretări ale sistemului de axiome din Secțiunea 2.1. Este suficient să se demonstreze existența unei mapări bijective f:Z1®Z2 astfel încât numerele naturale rămân fixe și, pe lângă În plus, pentru orice elemente x și y din inelul Z1, egalitățile
(1)
. (2)
Rețineți că, deoarece N(Z1 și N(Z2), atunci
, a(b=a(b. (3))
Fie x(Z1 și x=ab, unde a,b(N. Asociați cu acest element x=ab elementul u=a(b, unde (scădere în inelul Z2. Dacă ab=cd, atunci a+d=b) +c, de unde, în virtutea lui (3), a(d=b(c) și, în consecință, a(b=c(d. Aceasta înseamnă că corespondența noastră nu depinde de reprezentantul elementului x în formă). a diferenței a două numere naturale și astfel se determină maparea f: Z1®Z2, f(ab)=a(b. Este clar că dacă v(Z2 și v=c(d, atunci v=f(cd) Prin urmare, fiecare element din Z2 este o imagine sub maparea f și, prin urmare, maparea f este surjectivă.
Dacă x=ab, y=cd, unde a,b,c,d(N și f(x)=f(y), atunci a(b=c(d. Dar atunci a(d=b(d, în (3) a+d=b+c, adică ab=cd Am demonstrat că egalitatea f(x)=f(y) implică egalitatea x=y, adică maparea f este injectivă.
Dacă a(N, atunci a=a-0 și f(a)=f(a-0)=a(0=a. Prin urmare, numerele naturale sunt fixate sub maparea f. În plus, dacă x=ab, y= cd, unde a,b,c,d(N, apoi x+y=(a+c)- și f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c)( (b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Se demonstrează egalitatea (1). Să verificăm egalitatea (2). Deoarece f(xy)=( ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c)), iar pe de altă parte f(x)(f(y))=(a(b)) )((c (d)=(a(c(b(d))((a(d(b(c).). Prin urmare, f(xy)=f(x))(f(y)), care completează dovada că sistemul de axiome n. 2.1.

2.4. DEFINIȚIA ȘI PROPRIETĂȚILE SISTEMULUI NUMERELOR RAȚIONALE.

Mulțimea Q de numere raționale în înțelegerea lor intuitivă este un câmp pentru care mulțimea Z de numere întregi este un subinel. Este evident că dacă Q0 este un subcâmp al câmpului Q care conține toate numerele întregi, atunci Q0=Q. Aceste proprietăți le vom folosi ca bază pentru o definiție riguroasă a sistemului de numere raționale.
Definiție 1. Un sistem de numere raționale este un sistem algebric (Q;+,(;Z) pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:
1. sistemul algebric (Q;+,() este un câmp;
2. inelul Z de numere întregi este un subinel al câmpului Q;
3. (condiția de minimalitate) dacă subcâmpul Q0 al câmpului Q conține subinelul Z, atunci Q0=Q.
Pe scurt, un sistem de numere raționale este un câmp minim de incluziune care conține un sub-inger de numere întregi. Este posibil să oferim o definiție axiomatică mai detaliată a sistemului de numere raționale.
Teorema. Fiecare număr rațional x poate fi reprezentat ca un coeficient de două numere întregi, adică
, unde a,b(Z, b(0. (1))
Această reprezentare este ambiguă, în plus, unde a,b,c,d(Z,b(0,d(0).
Dovada. Notăm cu Q0 mulțimea tuturor numerelor raționale reprezentabile în forma (1). Este suficient să vă asigurați că Q0=Q. Fie, unde a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Atunci, prin proprietățile câmpului, avem: este un subcâmp al câmpului Q. Deoarece orice număr întreg a poate fi reprezentat în forma, apoi Z(Q0. Prin urmare, în virtutea condiției de minimalitate, rezultă că Q0=Q. Dovada celei de-a doua părți a teoremei este evidentă.

2.5. EXISTA UNUI SISTEM DE NUMERE RAȚIONALE.

Sistemul de numere raționale este definit ca câmpul minim care conține un subring de numere întregi. În mod firesc, se pune întrebarea dacă un astfel de câmp există, adică dacă sistemul de axiome care definește numerele raționale este consistent. Pentru a dovedi consistența, este necesar să construim o interpretare a acestui sistem de axiome. În acest caz, se poate baza pe existența unui sistem de numere întregi. Atunci când construim o interpretare, vom considera ca punct de plecare mulțimea Z(Z\(0). Pe această mulțime, definim două operații algebrice binare
, (1)
(2)
și relație binară
(3)
Necesitatea unei astfel de definiții a operațiilor și a relației ~ rezultă din faptul că în interpretarea pe care o construim, perechea va exprima coeficientul.
Este ușor de verificat dacă operațiile (1) și (2) sunt comutative, asociative, iar înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea. Toate aceste proprietăți sunt testate împotriva proprietăților corespunzătoare de adunare și înmulțire a numerelor întregi. Să verificăm, de exemplu, asociativitatea înmulțirii perechilor: .
În mod similar, se verifică că relația ~ este o echivalență și, în consecință, mulțimea Z(Z\(0) se împarte în clase de echivalență. Mulțimea tuturor claselor se va nota cu, iar clasa care conține perechea cu. Astfel, clasa poate fi notată prin oricare dintre perechile sale și datorită condiției (3) obținem:
. (4)
Sarcina noastră este să definim operația de adunare și înmulțire pe o mulțime în așa fel încât să fie un câmp. Aceste operații sunt definite prin egalități:
, (5)
(6)
Dacă, adică, ab1=ba1 și, adică cd1=dc1, atunci înmulțind aceste egalități, obținem (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), ceea ce înseamnă că Aceasta ne convinge că egalitatea (6 ) definește într-adevăr o operație cu valoare unică asupra setului de clase, independent de alegerea reprezentanților din fiecare clasă. Unicitatea funcționării (5) este verificată în mod similar.
Deoarece adunarea și înmulțirea claselor se reduce la adunare și înmulțire de perechi, operațiile (5) și (6) sunt comutative, asociative, iar înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea.
Din egalități, concluzionăm că clasa este un element neutru în raport cu adunarea, iar pentru fiecare clasă există un element opus acesteia. În mod similar, din egalități rezultă că o clasă este un element neutru în ceea ce privește înmulțirea, iar pentru fiecare clasă există o clasă inversă. Prin urmare, este un câmp în ceea ce privește operațiunile (5) și (6); prima condiție din definiția punctului 2.4 este îndeplinită.
Luați în considerare în continuare setul. Evident, . Mulțimea este închisă sub scădere și înmulțire și, prin urmare, este un subring al câmpului. Într-adevăr, . Luați în considerare în continuare maparea, . Surjectivitatea acestei cartografii este evidentă. Dacă f(x)=f(y), adică, atunci x(1=y(1 sau x=y. Prin urmare, maparea f și este injectivă. Mai mult, . Astfel, maparea f este un izomorfism al unui inel într-un inel.Identificând acestea sunt inele izomorfe, putem presupune că inelul Z este un subinel al câmpului, adică este îndeplinită condiția 2 din definiția articolului 2.4. Rămâne de demonstrat minimalitatea câmpului.Fie orice subcâmp câmpuri și, și lasa. De când, ei bine, atunci. Dar deoarece este un câmp, și câtul acestor elemente aparține câmpului. Astfel, se demonstrează că dacă , atunci, adică. Se dovedește existența unui sistem de numere raționale.

2.6. UNICITATEA SISTEMULUI NUMERELOR RAȚIONALE.

Deoarece există un singur sistem de numere raționale în înțelegerea lor intuitivă, teoria axiomatică a numerelor raționale, care este prezentată aici, trebuie să fie categorică. Categoric și înseamnă că, până la izomorfism, există un singur sistem de numere raționale. Să arătăm că acesta este într-adevăr cazul.
Fie (Q1;+, (; Z) și (Q2; (, (; Z)) oricare două sisteme de numere raționale. Este suficient să se demonstreze existența unei mapări bijective astfel încât toate numerele întregi să rămână fixe și, în plus, condițiile
(1)
(2)
pentru orice elemente x și y din câmpul Q1.
Coeficientul elementelor a și b din câmpul Q1 va fi notat cu, iar în câmpul Q2 - cu a:b. Deoarece Z este un subinel al fiecăruia dintre câmpurile Q1 și Q2, pentru orice numere întregi a și b avem egalitățile
, . (3)
Lasă și unde, . Asociați acest element x cu elementul y=a:b din câmpul Q2. Dacă egalitatea este adevărată în câmpul Q1, unde, atunci, prin teorema 2.4, egalitatea ab1=ba1 este valabilă în inelul Z, sau, în virtutea (3), egalitatea și apoi, după aceeași teoremă, egalitatea a:b=a1:b1 este adevărată în câmpul Q2 . Aceasta înseamnă că prin potrivirea unui element din câmpul Q1 cu elementul y=a:b din câmpul Q2, definim o mapare, .
Orice element din câmpul Q2 poate fi reprezentat ca a:b, unde și, prin urmare, este imaginea unui element din câmpul Q1. Prin urmare, maparea f este surjectivă.
Dacă, atunci în câmpul Q1 și apoi. Astfel, maparea f este bijectivă și toate numerele întregi rămân fixe. Rămâne de demonstrat validitatea egalităților (1) și (2). Fie și, unde a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Atunci și, de unde, în virtutea lui (3), f(x+y)=f(x)(f(y) ). În mod similar, și unde.
Se demonstrează izomorfismul interpretărilor (Q1;+, (; Z) și (Q2; (, (; Z)).

RĂSPUNSURI, INSTRUCȚIUNI, SOLUȚII.

1.1.1. Soluţie. Fie adevărată condiția axiomei 4 (o astfel de proprietate a numerelor naturale care ((0) și. Fie. Atunci M satisface premisa axiomei 4, deoarece ((0)(0(M și. Prin urmare, M=N, adică, orice număr natural are proprietatea (. În schimb, să presupunem că pentru orice proprietate (din faptul că ((0) și, rezultă. Fie M o submulțime a lui N astfel încât 0(M și. Vom arăta că M). =N. Fie proprietatea (, presupunând. Atunci ((0), deoarece, și. Astfel, prin urmare, M=N.
1.1.2. Răspuns: Afirmațiile axiomelor 1 și 4 ale lui Peano sunt adevărate. Afirmația celei de-a doua axiome este falsă.
1.1.3. Răspuns: afirmațiile 2,3,4 din axiomele lui Peano sunt adevărate. Afirmația primei axiome este falsă.
1.1.4. Afirmațiile 1, 2, 3 din axiomele lui Peano sunt adevărate. Afirmația celei de-a patra axiome este falsă. Sugestie: demonstrați că mulțimea satisface premisa axiomei 4, formulată în termenii operației, dar.
1.1.5. Sugestie: pentru a demonstra adevărul afirmației axiomei 4, considerăm o submulțime M a lui A care îndeplinește condițiile: a) 1((M, b) și o mulțime. Demonstrați că. Atunci M=A.
1.1.6. Afirmațiile axiomelor 1, 2, 3 ale lui Peano sunt adevărate. Afirmația celei de-a patra axiome a lui Peano este falsă.
1.6.1. a) Rezolvare: Mai întâi dovediți că dacă la 1 dimineața. Înapoi. Lasă-mă
1.6.2. a) Rezolvare: Presupunem contrariul. Notăm cu M mulțimea tuturor numerelor care nu au proprietatea (. Prin presupunerea, M((. În virtutea teoremei 1, M are cel mai mic element n(0. Orice număr x)
1.8.1. f) Folosiți e) și c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, prin urmare (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Utilizați proprietatea.
l) Folosiți punctul b).
m) Folosiți punctul b) și punctul h).
1.8.2. c) Avem, prin urmare, . Asa de, .
d) Avem. Prin urmare, .
g).
1.8.3. a) Dacă (și (sunt soluții diferite ale ecuației ax2+bx=c, atunci a(2+b(=a(2+b). Pe de altă parte, dacă, de exemplu, (b)) Fie (și ( fie soluții diferite ale ecuației. Dacă ((. Totuși, (2=a(+b>a(, prin urmare, (>a. Avem o contradicție).
c) Fie (și (fie rădăcini diferite ale ecuației și (>(. Atunci 2((-())=(a(2+b)-(a(2+b))=a((-())((() +( ) Deci a((+()=2, dar (+(>2, deci a((+()>2, ceea ce este imposibil.
1.8.4. a) x=3; b) x=y=2. Sugestie: deoarece și, avem x=y; c) x=y(y+2), y - orice număr natural; d) x=y=2; e) x=2, y=1; f) Până la permutările x=1, y=2, z=3. Soluție: Fie, de exemplu, x(y(z. Atunci xyz=x+y+z(3z, adică xy(3. Dacă xy=1, atunci x=y=1 și z=2+z), ceea ce este imposibil dacă xy=2 atunci x=1, y=2 În acest caz 2z=3+z adică z=3 Dacă xy=3 atunci x=1 y=3 Atunci 3z= 4+z, adică z=2, ceea ce contrazice presupunerea y(z.
1.8.5. b) Dacă x=a, y=b este soluția ecuației, atunci ab+b=a, adică. a>ab, ceea ce este imposibil. d) Dacă x=a, y=b este soluția ecuației, atunci b
1.8.6. a) x=ky, unde k,y sunt numere naturale arbitrare și y(1. b) x este un număr natural arbitrar, y=1. c) x este un număr natural arbitrar, y=1. d) Nu există soluție. e) x1=1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Dacă a=b, atunci 2ab=a2+b2. Să fie, de exemplu, a

LITERATURĂ

1. Redkov M.I. Sisteme numerice. /Recomandări metodologice pentru studiul cursului „Sisteme numerice”. Partea 1. - Omsk: OmGPI, 1984. - 46s.
2. Ershova T.I. Sisteme numerice. / Dezvoltare metodică pentru exerciţii practice.- Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68s.

Metoda axiomatică în matematică.

Concepte de bază și relații ale teoriei axiomatice a seriilor naturale. Definiția unui număr natural.

Adunarea numerelor naturale.

Înmulțirea numerelor naturale.

Proprietățile mulțimii numerelor naturale

Scăderea și împărțirea numerelor naturale.

Metoda axiomatică în matematică

În construcția axiomatică a oricărei teorii matematice, cel anumite reguli:

1. Unele concepte ale teoriei sunt alese ca majorși acceptat fără definiție.

2. Formulat axiome, care în această teorie sunt acceptate fără dovezi, ele relevă proprietățile conceptelor de bază.

3. Fiecare concept al teoriei, care nu este cuprins în lista celor de bază, este dat definiție, își explică sensul cu ajutorul acestui concept principal și precedent.

4. Fiecare propoziție a teoriei care nu este cuprinsă în lista de axiome trebuie dovedită. Se numesc astfel de propuneri teoremeși demonstrează-le pe baza axiomelor și teoremelor premergătoare celei luate în considerare.

Sistemul de axiome ar trebui să fie:

a) consistent: trebuie să fim siguri că, trăgând tot felul de concluzii dintr-un sistem dat de axiome, nu vom ajunge niciodată la o contradicţie;

b) independent: nicio axiomă nu ar trebui să fie o consecință a altor axiome ale acestui sistem.

în) complet, dacă în cadrul său este întotdeauna posibil să se dovedească fie afirmația dată, fie negația acesteia.

Prezentarea geometriei de către Euclid în „Elementele” sale (sec. III î.Hr.) poate fi considerată prima experiență a construcției axiomatice a unei teorii. O contribuție semnificativă la dezvoltarea metodei axiomatice de construcție a geometriei și algebrei a avut-o N.I. Lobaciovski și E. Galois. La sfârşitul secolului al XIX-lea Matematicianul italian Peano a dezvoltat un sistem de axiome pentru aritmetică.

Concepte de bază și relații ale teoriei axiomatice a numerelor naturale. Definiția unui număr natural.

Ca un concept de bază (nedefinit) într-un anumit set N Este ales atitudine , precum și conceptele teoretice de mulțimi, precum și regulile logicii.

Elementul imediat care urmează elementului dar, desemna dar".

Relația „urmărire imediată” satisface următoarele axiome:

Axiomele lui Peano:

Axioma 1. în multitudine N există un element, direct nu următorul pentru orice element al acestui set. Să-l sunăm unitateși simbolizează 1 .

Axioma 2. Pentru fiecare element dar din N există un singur element dar" imediat după dar .

Axioma 3. Pentru fiecare element dar din N există cel mult un element urmat imediat de dar .

Axioma 4. Orice subset M seturi N coincide cu N , dacă are proprietățile: 1) 1 cuprins în M ; 2) din ce dar cuprins în M , rezultă că şi dar" cuprins în M.

Definiția 1. Multe N , pentru ale căror elemente se stabilește relația "Urmeaza direct» care satisface axiomele 1-4 se numeste set de numere naturale, iar elementele sale sunt numere naturale.

ÎN această definiție nu se spune nimic despre natura elementelor multimii N . Deci ea poate fi orice. Alegerea ca set N un anumit set pe care este dată o anumită relație de „urmărire directă” care satisface axiomele 1-4, obținem modelul acestui sistem axiome.

Modelul standard al sistemului de axiome lui Peano este o serie de numere care au apărut în procesul dezvoltării istorice a societăţii: 1,2,3,4, ... Seria naturală începe cu numărul 1 (axioma 1); fiecare număr natural este urmat imediat de un singur număr natural (axioma 2); fiecare număr natural urmează imediat cel mult unui număr natural (axioma 3); plecând de la numărul 1 și trecând în ordinea numerelor naturale imediat ce urmează unul altuia, obținem întreaga mulțime a acestor numere (axioma 4).

Deci, am început construcția axiomatică a unui sistem de numere naturale cu alegerea principalului relație „urmărește direct”.și axiome care îi descriu proprietățile. Construirea ulterioară a teoriei implică luarea în considerare a proprietăților cunoscute ale numerelor naturale și a operațiilor asupra acestora. Ele ar trebui să fie dezvăluite în definiții și teoreme, de ex. derivate într-un mod pur logic din relația „urmează imediat”, și axiomele 1-4.

Primul concept pe care îl introducem după definirea unui număr natural este atitudine "precede imediat" , care este adesea folosit când se consideră proprietăţile seriei naturale.

Definiția 2. Dacă un număr natural b urmează direct numar natural dar, acel număr dar numit imediat precedent(sau anterior) numărul b .

Relația „înainte” are lângă proprietăți.

Teorema 1. Unul nu are un număr natural precedent.

Teorema 2. Fiecare număr natural dar, altul decât 1, are un singur număr anterior b, astfel încât b"= dar.

Construcția axiomatică a teoriei numerelor naturale nu este considerată nici în inițială, nici în liceu. Totuși, acele proprietăți ale relației „urmează direct”, care sunt reflectate în axiomele lui Peano, fac obiectul de studiu în curs primar matematică. Deja în clasa întâi, luând în considerare numerele primelor zece, rezultă cum se poate obține fiecare număr. Sunt folosiți termenii „urmează” și „înainte”. Fiecare număr nou acționează ca o continuare a segmentului studiat al seriei naturale de numere. Elevii sunt convinși că fiecare număr este urmat de următorul și, mai mult, de unul singur, că seria naturală a numerelor este infinită.

Adunarea numerelor naturale

Conform regulilor de construire a unei teorii axiomatice, definiția adunării numerelor naturale trebuie introdusă folosind doar relația „urmărește direct”, și concepte "numar natural"Și "numar anterior".

Să prefațăm definiția adunării cu următoarele considerații. Dacă pentru orice număr natural dar adunăm 1, obținem numărul dar", imediat după dar, adică dar+ 1= a"și prin urmare obținem regula de a adăuga 1 la orice număr natural. Dar cum să adaugi la număr dar numar natural b, diferit de 1? Să folosim următorul fapt: dacă se știe că 2 + 3 = 5, atunci suma 2 + 4 = 6, care urmează imediat după numărul 5. Acest lucru se întâmplă deoarece în suma 2 + 4 al doilea termen este numărul imediat. urmând numărul 3. Deci 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". ÎN vedere generala avem , .

Aceste fapte stau la baza definiției adunării numerelor naturale în teoria axiomatică.

Definiția 3. Adunarea numerelor naturale este o operație algebrică care are următoarele proprietăți:

Număr a + b numit suma de numere darȘi b , și numerele în sine darȘi b - termeni.