Cu alte cuvinte, dependența liniară a unui grup de vectori înseamnă că există un vector printre aceștia care poate fi reprezentat printr-o combinație liniară a altor vectori ai acestui grup.
Sa spunem . Apoi
De aici vectorul X dependentă liniar de vectorii acestui grup.
Vectori X, y, ..., z se numesc liniare vectori independenți dacă din egalitatea (0) rezultă că
α=β= ...= γ=0.
Adică, grupurile de vectori sunt liniar independente dacă niciun vector nu poate fi reprezentat printr-o combinație liniară a altor vectori din acel grup.
Determinarea dependenței liniare a vectorilor
Fie m vectori de rânduri de ordinul n:
Făcând excepția gaussiană, aducem matricea (2) la forma triunghiulară superioară. Elementele ultimei coloane sunt modificate numai atunci când rândurile sunt rearanjate. După m pași de eliminare, obținem:
Unde i 1 , i 2 , ..., i m - indicii de șiruri obținuți dintr-o posibilă permutare a șirurilor. Luând în considerare rândurile primite din indicii de rând, le excludem pe cele care corespund vectorului nul al rândurilor. Rândurile rămase formează vectori liniar independenți. Rețineți că la compilarea matricei (2), prin schimbarea secvenței de vectori rând, se poate obține un alt grup de vectori liniar independenți. Dar subspațiul pe care îl formează ambele grupuri de vectori este același.
Conceptele de dependență liniară și independență a unui sistem de vectori sunt foarte importante în studiul algebrei vectoriale, deoarece conceptele de dimensiune și bază spațială se bazează pe ele. În acest articol, vom da definiții, vom lua în considerare proprietățile dependenței și independenței liniare, vom obține un algoritm pentru studierea unui sistem de vectori pentru dependența liniară și vom analiza în detaliu soluțiile exemplelor.
Navigare în pagină.
Determinarea dependenței liniare și a independenței liniare a unui sistem de vectori.
Considerați o mulțime de vectori p n-dimensionali, notați-i după cum urmează. Compuneți o combinație liniară a acestor vectori și numere arbitrare 
(real sau complex): . Pe baza definiției operațiilor pe vectori n-dimensionali, precum și a proprietăților operațiilor de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr, se poate susține că combinație liniară este un vector n-dimensional , adică .
Așa că am ajuns la definiția dependenței liniare a sistemului de vectori.
Definiție.
Dacă o combinație liniară poate fi un vector zero atunci când este printre numere 
există cel puțin unul decât zero, atunci se numește sistemul de vectori dependent liniar.
Definiție.
Dacă combinația liniară este un vector nul numai când toate numerele sunt egale cu zero, atunci sistemul de vectori se numește liniar independent.
Proprietăți ale dependenței și independenței liniare.
Pe baza acestor definiții, formulăm și dovedim proprietățile dependenței liniare și ale independenței liniare ale unui sistem de vectori.
Dacă se adaugă mai mulți vectori la un sistem de vectori dependent liniar, atunci sistemul rezultat va fi dependent liniar.
Dovada.
Deoarece sistemul de vectori este dependent liniar, egalitatea este posibilă dacă există cel puțin un număr diferit de zero din numere. . Lasa .
Să adăugăm mai mulți vectori la sistemul original de vectori 
și obținem sistemul. Deoarece și , atunci combinația liniară de vectori ai acestui sistem de formă
este un vector nul și . Prin urmare, sistemul de vectori rezultat este dependent liniar.
Dacă mai mulți vectori sunt excluși dintr-un sistem de vectori liniar independent, atunci sistemul rezultat va fi liniar independent.
Dovada.
Presupunem că sistemul rezultat este dependent liniar. Adăugând toți vectorii aruncați la acest sistem de vectori, obținem sistemul original de vectori. Prin condiție, este liniar independent și, datorită proprietății anterioare a dependenței liniare, trebuie să fie liniar dependent. Am ajuns la o contradicție, prin urmare presupunerea noastră este greșită.
Dacă un sistem de vectori are cel puțin un vector zero, atunci un astfel de sistem este dependent liniar.
Dovada.
Fie vectorul din acest sistem de vectori zero. Să presupunem că sistemul original de vectori este liniar independent. Atunci egalitatea vectorială este posibilă numai atunci când . Totuși, dacă luăm orice diferit de zero, atunci egalitatea va fi în continuare valabilă, deoarece . Prin urmare, presupunerea noastră este greșită, iar sistemul original de vectori este dependent liniar.
Dacă un sistem de vectori este dependent liniar, atunci cel puțin unul dintre vectorii săi este exprimat liniar în termenii celorlalți. Dacă sistemul de vectori este liniar independent, atunci niciunul dintre vectori nu poate fi exprimat în termenii celorlalți.
Dovada.
Să demonstrăm mai întâi prima afirmație.
Fie ca sistemul de vectori să fie dependent liniar, atunci există cel puțin un număr diferit de zero și egalitatea este adevărată. Această egalitate poate fi rezolvată cu privire la , deoarece , în acest caz, avem 
În consecință, vectorul este exprimat liniar în termeni de vectori rămași ai sistemului, ceea ce urma să fie demonstrat.
Acum demonstrăm a doua afirmație.
Deoarece sistemul de vectori este liniar independent, egalitatea este posibilă numai pentru .
Să presupunem că un vector al sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți. Fie acest vector , atunci . Această egalitate poate fi rescrisă ca , pe partea stângă există o combinație liniară a vectorilor sistemului, iar coeficientul din fața vectorului este diferit de zero, ceea ce indică o dependență liniară a sistemului original de vectori. Deci am ajuns la o contradicție, ceea ce înseamnă că proprietatea este dovedită.
Din ultimele două proprietăți rezultă o afirmație importantă:
dacă sistemul de vectori conține vectori și , unde – număr arbitrar, atunci este dependent liniar.
Studiul sistemului de vectori pentru dependența liniară.
Să stabilim sarcina: trebuie să stabilim o dependență liniară sau o independență liniară a sistemului de vectori.
Întrebarea logică este: „cum se rezolvă?”
Ceva util din punct de vedere practic poate fi derivat din definițiile și proprietățile de mai sus ale dependenței și independenței liniare a unui sistem de vectori. Aceste definiții și proprietăți ne permit să stabilim o dependență liniară a unui sistem de vectori în următoarele cazuri:
Dar în alte cazuri, care sunt majoritatea?
Să ne ocupăm de asta.
Reamintim formularea teoremei privind rangul unei matrice, pe care am citat-o în articol.
Teorema.
Lasa r este rangul matricei A de ordinul p cu n , 
. Fie M minorul de bază al matricei A . Toate rândurile (toate coloanele) ale matricei A care nu participă la formarea minorului de bază M sunt exprimate liniar prin rândurile (coloanele) matricei care generează minorul de bază M .
Și acum să explicăm legătura dintre teorema privind rangul unei matrice cu studiul unui sistem de vectori pentru o dependență liniară.
Să facem o matrice A, ale cărei rânduri vor fi vectorii sistemului studiat: 
Ce ar însemna independență liniară sisteme vectoriale?
Din a patra proprietate a independenței liniare a unui sistem de vectori, știm că niciunul dintre vectorii sistemului nu poate fi exprimat în termenii celorlalți. Cu alte cuvinte, niciun rând al matricei A nu va fi exprimat liniar în termenii altor rânduri, prin urmare, independența liniară a sistemului de vectori va fi echivalentă cu condiția Rank(A)=p.
Ce va însemna dependența liniară a sistemului de vectori?
Totul este foarte simplu: cel puțin un rând al matricei A va fi exprimat liniar în ceea ce privește restul, prin urmare, dependența liniară a sistemului de vectori va fi echivalentă cu condiția Rank(A)
.
Deci, problema studierii unui sistem de vectori pentru o dependență liniară se reduce la problema găsirii rangului unei matrice compuse din vectorii acestui sistem.
Trebuie remarcat că pentru p>n sistemul de vectori va fi liniar dependent.
cometariu: la compilarea matricei A, vectorii de sistem pot fi luați nu ca rânduri, ci ca coloane.
Algoritm pentru studierea unui sistem de vectori pentru o dependență liniară.
Să analizăm algoritmul cu exemple.
Exemple de studiere a unui sistem de vectori pentru dependență liniară.
Exemplu.
Dat un sistem de vectori . Examinați-l pentru o relație liniară.
Soluţie.
Deoarece vectorul c este zero, sistemul original de vectori este dependent liniar datorită celei de-a treia proprietăți.
Răspuns:
Sistemul de vectori este dependent liniar.
Exemplu.
Examinați sistemul de vectori pentru dependența liniară.
Soluţie.
Nu este greu de observat că coordonatele vectorului c sunt egale cu coordonatele corespunzătoare ale vectorului înmulțite cu 3, adică . Prin urmare, sistemul original de vectori este dependent liniar.
Dependența liniară și independența vectorilor
Definiții ale sistemelor de vectori liniar dependente și independente
Definiția 22
Să avem un sistem de n-vectori și să avem un set de numere 
, apoi
(11)
se numește combinație liniară a unui sistem dat de vectori cu un set dat de coeficienți.
Definiția 23
Sistem vectorial 
se numește dependent liniar dacă există un astfel de set de coeficienți 
, dintre care cel puțin unul nu este egal cu zero, astfel încât combinația liniară a sistemului dat de vectori cu acest set de coeficienți este egală cu vectorul zero:
Lasa 
, apoi
Definiția 24 ( prin reprezentarea unui vector al sistemului ca o combinație liniară a celorlalți)
Sistem vectorial 
se numește dependent liniar dacă cel puțin unul dintre vectorii acestui sistem poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți vectori ai acestui sistem.
Afirmația 3
Definițiile 23 și 24 sunt echivalente.
Definiția 25(prin combinație de linii zero)
Sistem vectorial 
se numește liniar independent dacă combinația liniară zero a acestui sistem este posibilă numai pentru toți 
egal cu zero.
Definiția 26(prin imposibilitatea de a reprezenta un vector al sistemului ca o combinație liniară a restului)
Sistem vectorial 
se numește liniar independent dacă niciunul dintre vectorii acestui sistem nu poate fi reprezentat ca o combinație liniară a altor vectori ai acestui sistem.
Proprietăți ale sistemelor de vectori liniar dependente și independente
Teorema 2 (vector zero în sistemul de vectori)
Dacă există un vector zero în sistemul de vectori, atunci sistemul este dependent liniar.
Să 
, apoi .
obține 
, prin urmare, prin definiția unui sistem de vectori dependent liniar în termenii unei combinații liniare zero (12)
sistemul este dependent liniar.
Teorema 3 (subsistem dependent în sistemul de vectori)
Dacă un sistem de vectori are un subsistem dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.
Să 
- subsistem dependent liniar 
, dintre care cel puțin unul nu este egal cu zero:
Prin urmare, prin Definiția 23, sistemul este dependent liniar.
Teorema 4
Orice subsistem al unui sistem liniar independent este liniar independent.
Dimpotrivă. Fie sistemul să fie liniar independent și să aibă un subsistem dependent liniar. Dar apoi, prin teorema 3, întregul sistem va fi, de asemenea, dependent liniar. Contradicţie. Prin urmare, un subsistem al unui sistem liniar independent nu poate fi dependent liniar.
Semnificația geometrică a dependenței liniare și a independenței unui sistem de vectori
Teorema 5
Doi vectori 
Și 
dependent liniar dacă și numai dacă 
.
Nevoie.
Și 
- dependente liniar 
că starea 
. Apoi 
, adică 
.
Adecvarea.
Dependent liniar.
Corolarul 5.1
Vectorul zero este coliniar cu orice vector
Corolarul 5.2
Pentru ca doi vectori să fie independenți liniar este necesar și suficient ca 
nu era coliniar 
.
Teorema 6
Pentru ca un sistem de trei vectori să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca acești vectori să fie coplanari .
Nevoie.
- sunt dependente liniar, prin urmare, un vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți doi.
,
(13)
Unde 
Și 
. Conform regulii paralelogramului 
este diagonala unui paralelogram cu laturile 
, dar un paralelogram este o figură plată 
coplanare 
sunt de asemenea coplanare.
Adecvarea.
- coplanare. Aplicăm trei vectori în punctul O:
C
B`
– dependent liniar
Corolarul 6.1
Vectorul zero este coplanar cu orice pereche de vectori.
Corolarul 6.2
Pentru ca vectorii 
sunt liniar independente dacă și numai dacă nu sunt coplanare.
Corolarul 6.3
Orice vector plan poate fi reprezentat ca o combinație liniară a oricăror doi vectori necoliniari ai aceluiași plan.
Teorema 7
Oricare patru vectori din spațiu sunt dependenți liniar .
Să luăm în considerare 4 cazuri:
Să desenăm un plan prin vectori, apoi un plan prin vectori și un plan prin vectori. Apoi desenăm planele care trec prin punctul D, paralele cu perechile de vectori ; ; respectiv. Construim un paralelipiped de-a lungul liniilor de intersecție a planurilor OB 1 D 1 C 1 ABDC.
Considera OB 1
D 1
C 1
- paralelogram prin construcţie după regula paralelogramului 
.
Luați în considerare OADD 1 - un paralelogram (din proprietatea paralelipiped) 
, apoi
Ecuația EMBED.3.
Prin teorema 1 
astfel încât . Apoi 
, iar prin definiție 24 sistemul de vectori este dependent liniar.
Corolarul 7.1
Suma a trei vectori necoplanari din spațiu este un vector care coincide cu diagonala paralelipipedului construit pe acești trei vectori atașați unei origini comune, iar începutul vectorului sumă coincide cu originea comună a acestor trei vectori.
Corolarul 7.2
Dacă luăm 3 vectori necoplanari într-un spațiu, atunci orice vector al acestui spațiu poate fi descompus într-o combinație liniară a acestor trei vectori.
A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
Soluţie. Căutăm o soluție generală a sistemului de ecuații
A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ
metoda gaussiana. Pentru a face acest lucru, scriem acest sistem omogen în coordonate:
Matricea sistemului
Sistemul permis arată astfel: 
(r A = 2, n= 3). Sistemul este consistent și nedefinit. Soluția sa generală ( X 2 - variabilă liberă): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Prezența unei soluții private diferite de zero, de exemplu, , indică faptul că vectorii A
1 , A
2 , A
3
dependent liniar.
Exemplul 2
Aflați dacă este acest sistem vectori liniar dependenți sau liniar independenți:
1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.
Soluţie. Luați în considerare sistemul omogen de ecuații A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ
sau extins (prin coordonate)
Sistemul este omogen. Dacă este nedegenerat, atunci are o soluție unică. Când sistem omogen este soluția zero (trivială). Prin urmare, în acest caz sistemul de vectori este independent. Dacă sistemul este degenerat, atunci are soluții diferite de zero și, prin urmare, este dependent.
Verificarea sistemului pentru degenerare:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
Sistemul este nedegenerat și, prin urmare, vectorii A 1 , A 2 , A 3 sunt liniar independente.
Sarcini. Aflați dacă sistemul dat de vectori este liniar dependent sau liniar independent:
1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.
2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.
4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.
5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.
6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.
7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. Demonstrați că un sistem de vectori va fi dependent liniar dacă conține:
a) doi vectori egali;
b) doi vectori proporționali.
Definiție. Combinație liniară de vectori a 1 , ..., a n cu coeficienți x 1 , ..., x n se numește vector
x 1 a 1 + ... + x n a n .
banal, dacă toți coeficienții x 1 , ..., x n sunt egali cu zero.
Definiție. Se numește combinația liniară x 1 a 1 + ... + x n a n nebanală, dacă cel puțin unul dintre coeficienții x 1 , ..., x n nu este egal cu zero.
liniar independent, dacă nu există o combinație netrivială a acestor vectori egală cu vectorul zero .
Adică, vectorii a 1 , ..., a n sunt independenți liniar dacă x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 dacă și numai dacă x 1 = 0, ..., x n = 0.
Definiție. Se numesc vectorii a 1 , ..., a n dependent liniar, dacă există o combinație netrivială a acestor vectori egală cu vectorul zero .
Proprietățile vectorilor dependenți liniar:
Pentru vectori n -dimensionali.
n + 1 vectori sunt întotdeauna dependenți liniar.
Pentru vectori cu 2 și 3 dimensiuni.
Două liniare vectori dependenți- coliniare. (Vectorii coliniari sunt dependenți liniar.) .
Pentru vectori tridimensionali.
Trei vectori dependenți liniar sunt coplanari. (Cei trei vectori coplanari sunt dependenți liniar.)
Exemple de sarcini pentru dependența liniară și independența liniară a vectorilor:
Exemplul 1. Verificați dacă vectorii a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) sunt liniar independenți .
Soluţie:
Vectorii vor fi dependenți liniar, deoarece dimensiunea vectorilor este mai mică decât numărul de vectori.
Exemplul 2. Verificați dacă vectorii a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) sunt liniar independenți.
Soluţie:
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + x3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
scade pe al doilea din primul rând; adăugați a doua linie la a treia linie:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Această soluție arată că sistemul are multe soluții, adică există o combinație diferită de zero de valori ale numerelor x 1 , x 2 , x 3 astfel încât combinația liniară a vectorilor a , b , c este egală la vectorul zero, de exemplu:
A + b + c = 0
ceea ce înseamnă că vectorii a , b , c sunt liniar dependenți.
Răspuns: vectorii a , b , c sunt liniar dependenți.
Exemplul 3. Verificați dacă vectorii a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) sunt liniar independenți.
Soluţie: Să găsim valorile coeficienților la care combinația liniară a acestor vectori va fi egală cu vectorul zero.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Această ecuație vectorială poate fi scrisă ca un sistem ecuatii lineare
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + 2x3 = 0 |
Rezolvăm acest sistem folosind metoda Gauss
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
scade primul din a doua linie; scade primul din al treilea rând:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
scade pe al doilea din primul rând; adăugați a doua linie la a treia linie.