sistem omogen ecuatii lineare AX = 0 mereu împreună. Are soluții non-triviale (diferite de zero) dacă r= rang A< n .
Pentru sisteme omogene variabilele de bază (coeficienții la care formează un minor de bază) sunt exprimate în termeni de variabile libere prin relații de forma:
Apoi n - r soluțiile vectoriale liniar independente vor fi:
iar orice altă soluție este combinația lor liniară. Decizie-vector 
formează un sistem fundamental normalizat.
ÎN spațiu liniar mulţimea soluţiilor unui sistem omogen de ecuaţii liniare formează un subspaţiu de dimensiune n - r; 
este baza acestui subspațiu.
Sistem m ecuații liniare cu n necunoscut(sau, sistem liniar
 |
Aici X 1 , X 2 , …, x n A 11 , A 12 , …, amn- coeficienții sistemului - și b 1 , b 2 , … b m aiji) și necunoscut ( j
Sistemul (1) este numit omogenb 1 = b 2 = … = b m= 0), în caz contrar - eterogen.
Sistemul (1) este numit pătrat dacă numărul m ecuații este egală cu numărul n necunoscut.
Soluţie sisteme (1) - set n numerele c 1 , c 2 , …, c n, astfel încât înlocuirea fiecăruia c iîn loc de x iîn sistem (1) transformă toate ecuațiile sale în identități.
Sistemul (1) este numit comun incompatibil
Soluții c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) și c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n variat
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
anumit incert. Dacă există mai multe ecuații decât necunoscute, se numește redefinit.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
Rezolvarea ecuațiilor matriceale ~ Metoda Gauss
Metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare sunt împărțite în două grupe:
1. metode precise, care sunt algoritmi finiți pentru calcularea rădăcinilor unui sistem (rezolvarea sistemelor folosind o matrice inversă, regula lui Cramer, metoda Gauss etc.),
2. metode iterative, care fac posibilă obținerea unei soluții a sistemului cu o precizie dată prin intermediul unor procese iterative convergente (metoda iterației, metoda Seidel etc.).
Datorită rotunjirii inevitabile, rezultatele chiar și ale metodelor exacte sunt aproximative. La folosirea metodelor iterative, în plus, se adaugă eroarea metodei.
Aplicarea eficientă a metodelor iterative depinde în esență de o alegere bună aproximare initialași viteza de convergență a procesului.
Rezolvarea ecuațiilor matriceale
Luați în considerare sistemul n ecuații algebrice liniare în raport cu n necunoscut X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matricea DAR, ale căror coloane sunt coeficienții pentru necunoscutele corespunzătoare, iar rândurile sunt coeficienții pentru necunoscutele din ecuația corespunzătoare, se numește matricea sistemului; matricea coloanei b, ale cărui elemente sunt părțile din dreapta ale ecuațiilor sistemului, se numește matricea din partea dreaptă sau pur și simplu partea dreaptă a sistemului. matricea coloanei X, ale cărui elemente sunt necunoscute necunoscute, se numește soluție de sistem.
Dacă matricea DAR- nesingular, adică det A n e este egal cu 0, atunci sistemul (13) sau ecuația sa matriceală echivalentă (14) are o soluție unică.
Într-adevăr, sub condiția det A nu este egal 0 există matrice inversă DAR-unu . Înmulțirea ambelor părți ale ecuației (14) cu matricea DAR-1 obținem:
| (16) |
Formula (16) oferă o soluție pentru ecuația (14) și este unică.
Este convenabil să rezolvi sisteme de ecuații liniare folosind funcția rezolv.
rezolv( A, b)
Se returnează vectorul de decizie X astfel încât Oh= b.
Argumente:
DAR este o matrice pătrată, nesingulară.
b este un vector care are tot atâtea rânduri câte rânduri sunt în matrice DAR .
Figura 8 prezintă soluția unui sistem de trei ecuații liniare în trei necunoscute.
metoda Gauss
Metoda Gaussiană, numită și metoda eliminării Gauss, constă în faptul că sistemul (13) este redus prin eliminarea succesivă a necunoscutelor la un sistem echivalent cu matrice triunghiulară:
În notația matriceală, aceasta înseamnă că prima (cursul direct al metodei Gauss) operațiile elementare pe rânduri aduc matricea augmentată a sistemului la o formă de pas:
și apoi (cursul invers al metodei gaussiene) această matrice de etape este transformată astfel încât în primul n coloanele s-au dovedit a fi o matrice de identitate:
.
Ultimul, ( n+ 1) coloana acestei matrice conține soluția sistemului (13).
În Mathcad, mișcările înainte și înapoi ale metodei gaussiene sunt efectuate de funcție ref(A).
Figura 9 prezintă soluția unui sistem de ecuații liniare prin metoda Gaussiană, care utilizează următoarele caracteristici:
rref( A)
Returnează forma de pas a matricei DAR.
spori( A, ÎN)
Returnează o matrice formată din locație A Și ÎN unul langa altul. Matrice A Și ÎN trebuie să aibă același număr de linii.
submatrice( A, ir, jr, ic, jc)
Se returnează o submatrice, constând din toate elementele cu ir pe jr si coloane cu IC pe jc. Asigura-te ca ir jrȘi
IC jc,în caz contrar, ordinea rândurilor și/sau coloanelor va fi inversată.
Figura 9
Descrierea metodei
Pentru un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute (pe un câmp arbitrar)
cu determinantul matricei sistemului Δ diferit de zero, soluția se scrie ca
(coloana i-a a matricei sistemului este înlocuită cu o coloană de termeni liberi).
Într-o altă formă, regula lui Cramer este formulată după cum urmează: pentru orice coeficienți c1, c2, ..., cn, egalitatea este adevărată:
În această formă, formula lui Cramer este valabilă fără a presupune că Δ este diferit de zero, nici măcar nu este necesar ca coeficienții sistemului să fie elemente ale unui inel integral (determinantul sistemului poate fi chiar un divizor zero în inel). de coeficienţi). De asemenea, putem presupune că fie mulțimile b1,b2,...,bn și x1,x2,...,xn, fie mulțimea c1,c2,...,cn, nu sunt formate din elemente ale inelului coeficient. a sistemului, ci a unui modul peste acest inel. În această formă, formula lui Cramer este folosită, de exemplu, pentru a demonstra formula pentru determinantul lui Gram și Lema lui Nakayama.
| 35) Teorema Kronecker-Capelli |
Pentru ca un sistem de m ecuații liniare neomogene în n necunoscute să fie consistent, este necesar și suficient ca Dovada necesității. Fie sistemul (1.13) consecvent, adică există astfel de numere X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n \u003d α n, ce  (1.15) Scădeți din ultima coloană a matricei extinse prima ei coloană înmulțită cu α 1 , a doua - cu α 2 , …, a n-a - înmulțită cu α n , adică din ultima coloană a matricei (1.14) ar trebui să scadă părțile din stânga egalităților ( 1.15). Apoi obținem matricea  al cărui rang ca urmare transformări elementare nu se va schimba și . Dar este evident, și de aici dovada suficienței. Fie și fie, pentru certitudine, un minor diferit de zero de ordinul r situat în colțul din stânga sus al matricei:  Aceasta înseamnă că restul rândurilor matricei pot fi obținute ca combinații liniare Primele r rânduri, adică m-r rânduri ale matricei, pot fi reprezentate ca sume ale primelor r rânduri înmulțite cu unele numere. Dar atunci primele r ecuații ale sistemului (1.13) sunt independente, iar restul sunt consecințele lor, adică soluția sistemului primelor r ecuații este automat soluția ecuațiilor rămase. Două cazuri sunt posibile. 1. r=n. Atunci sistemul format din primele r ecuații are același număr de ecuații și necunoscute și este consistent, iar soluția sa este unică. 2.r |
36) us-e certitudine, incertitudine
Sistem m ecuații liniare cu n necunoscut(sau, sistem liniar) în algebra liniară este un sistem de ecuații de forma
 |
Aici X 1 , X 2 , …, x n sunt necunoscute de stabilit. A 11 , A 12 , …, amn- coeficienții sistemului - și b 1 , b 2 , … b m- membri liberi - se presupune că sunt cunoscuți. Indici de coeficienți ( aij) sistemele denotă numerele ecuației ( i) și necunoscut ( j), la care se situează, respectiv, acest coeficient.
Sistemul (1) este numit omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), în caz contrar - eterogen.
Sistemul (1) este numit comun dacă are cel puțin o soluție și incompatibil daca nu are solutie.
Un sistem de îmbinare de forma (1) poate avea una sau mai multe soluții.
Soluții c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) și c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) se numesc sisteme de îmbinare de forma (1). variat dacă cel puțin una dintre egalități este încălcată:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Un sistem comun de forma (1) se numește anumit dacă are o soluție unică; dacă are cel puțin două soluții diferite, atunci se numește incert
37) Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss
Lăsați sistemul original să arate așa
Matricea A se numește matricea principală a sistemului, b- o coloană de membri liberi.
Apoi, conform proprietății transformărilor elementare peste rânduri, matricea principală a acestui sistem poate fi redusă la o formă în trepte (aceași transformări trebuie aplicate coloanei de membri liberi):
Apoi variabilele sunt numite principalele variabile. Toți ceilalți sunt chemați gratuit.
[editează] Condiție de consistență
Condiția de mai sus pentru toți poate fi formulată ca o condiție necesară și suficientă pentru compatibilitate:
Amintiți-vă că rangul unui sistem comun este rangul matricei sale principale (sau extins, deoarece acestea sunt egale).
Algoritm
Descriere
Algoritmul pentru rezolvarea SLAE prin metoda Gaussiană este împărțit în două etape.
§ În prima etapă se realizează așa-numita mutare directă, când, prin intermediul transformărilor elementare peste rânduri, sistemul este adus la o formă în trepte sau triunghiulară, sau se stabilește că sistemul este inconsecvent. Și anume, dintre elementele primei coloane a matricei, se alege una diferită de zero, aceasta este mutată în poziția cea mai de sus prin permutarea rândurilor, iar primul rând obținut după permutare se scade din rândurile rămase, înmulțindu-l. cu o valoare egală cu raportul dintre primul element al fiecăruia dintre aceste rânduri și primul element al primului rând, reducând astfel coloana de sub acesta. După ce transformările indicate au fost efectuate, primul rând și prima coloană sunt tăiate mental și continuă până când rămâne o matrice de dimensiune zero. Dacă la unele dintre iterațiile dintre elementele primei coloane nu a fost găsită una diferită de zero, atunci mergeți la următoarea coloană și efectuați o operație similară.
§ În a doua etapă se realizează așa-numita mișcare inversă, a cărei esență este exprimarea tuturor variabilelor de bază rezultate în termeni de variabile nebazice și construirea unui sistem fundamental de soluții sau, dacă toate variabilele sunt de bază , apoi exprimă numeric singura soluție a sistemului de ecuații liniare. Această procedură începe cu ultima ecuație, din care variabila de bază corespunzătoare este exprimată (și există doar una acolo) și substituită în ecuațiile anterioare și așa mai departe, urcând „treptele”. Fiecare linie corespunde exact unei variabile de bază, așa că la fiecare pas, cu excepția ultimului (cel mai de sus), situația se repetă exact cazul ultimei linii.
Metoda Gauss necesită ordine O(n 3) acțiuni.
Această metodă se bazează pe:
38)Teorema Kronecker-Capelli.
Un sistem este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul matricei sale extinse.
6.3. SISTEME OMOGENE DE ECUAȚII LINEARE
Să fie acum în sistem (6.1).
Un sistem omogen este întotdeauna consistent. Soluție () se numește zero, sau banal.
Sistemul omogen (6.1) are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă rangul său ( 
) este mai mic decât numărul de necunoscute. În special, un sistem omogen în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă determinantul său este zero.
Pentru că de data aceasta totul
, în loc de formulele (6.6) obținem următoarele:
(6.7)
Formulele (6.7) conțin orice soluție a sistemului omogen (6.1).
1. Mulțimea tuturor soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare (6.1) formează un spațiu liniar.
2. Spațiul liniarRa tuturor soluţiilor sistemului omogen de ecuaţii liniare (6.1) cunnecunoscute și rangul matricei principale egal cur, are dimensiunen–r.
Orice set de (n–r) soluțiile liniar independente ale sistemului omogen (6.1) formează o bază în spațiuRtoate deciziile. Se numeste fundamental mulţimea soluţiilor sistemului omogen de ecuaţii (6.1). A sublinia "normal" setul fundamental de soluții ale sistemului omogen (6.1):
(6.8)
Prin definiția unei baze, orice soluție X sistem omogen (6.1) poate fi reprezentat sub forma
(6.9)
Unde 
sunt constante arbitrare.
Deoarece formula (6.9) conține orice soluție a sistemului omogen (6.1), ea dă decizie comună acest sistem.
Exemplu.
Se numește un sistem de ecuații liniare în care toți termenii liberi sunt egali cu zero omogen :
Orice sistem omogen este întotdeauna consistent, din moment ce a fost întotdeauna zero (banal ) soluție. Se pune întrebarea în ce condiții un sistem omogen va avea o soluție nebanală.
Teorema 5.2.Un sistem omogen are o soluție netrivială dacă și numai dacă rangul matricei de bază este mai mic decât numărul necunoscutelor sale.
Consecinţă. Un sistem omogen pătrat are o soluție netrivială dacă și numai dacă determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero.
Exemplul 5.6. Determinați valorile parametrului l pentru care sistemul are soluții netriviale și găsiți următoarele soluții:
Soluţie. Acest sistem va avea o soluție netrivială atunci când determinantul matricei principale este egal cu zero:
Astfel, sistemul este netrivial când l=3 sau l=2. Pentru l=3, rangul matricei principale a sistemului este 1. Apoi, lăsând o singură ecuație și presupunând că y=AȘi z=b, primim x=b-a, adică
Pentru l=2, rangul matricei principale a sistemului este 2. Apoi, alegând ca minor de bază:
obținem un sistem simplificat
De aici aflăm că x=z/4, y=z/2. Presupunând z=4A, primim
Ansamblul tuturor solutiilor unui sistem omogen are o foarte importanta proprietate liniară : dacă X coloane 1 și X 2 - soluții ale sistemului omogen AX = 0, apoi orice combinație liniară a acestora A X 1+b X 2 va fi si solutia acestui sistem. Într-adevăr, din moment ce TOPOR 1 = 0 Și TOPOR 2 = 0 , apoi A(A X 1+b X 2) = a TOPOR 1+b TOPOR 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Datorită acestei proprietăți, dacă un sistem liniar are mai multe soluții, atunci vor exista infinite dintre aceste soluții.
Coloane liniar independente E 1 , E 2 , E k, care sunt soluții ale unui sistem omogen, se numește sistem fundamental de decizie sistem omogen de ecuații liniare dacă soluția generală a acestui sistem poate fi scrisă ca o combinație liniară a acestor coloane:
Dacă un sistem omogen are n variabile, iar rangul matricei principale a sistemului este egal cu r, apoi k = n-r.
Exemplul 5.7. Găsiți sistemul fundamental de soluții al următorului sistem de ecuații liniare:
Soluţie. Aflați rangul matricei principale a sistemului:
Astfel, mulțimea de soluții a acestui sistem de ecuații formează un subspațiu liniar de dimensiune n - r= 5 - 2 = 3. Alegem ca minor de bază
Apoi, lăsând doar ecuațiile de bază (restul va fi o combinație liniară a acestor ecuații) și variabilele de bază (transferăm restul, așa-numitele variabile libere în dreapta), obținem un sistem simplificat de ecuații:
Presupunând X 3 = A, X 4 = b, X 5 = c, găsim
Presupunând A= 1, b=c= 0, obținem prima soluție de bază; presupunând b= 1, a = c= 0, obținem a doua soluție de bază; presupunând c= 1, a = b= 0, obținem a treia soluție de bază. Ca rezultat, sistemul fundamental normal de soluții ia forma
Folosind sistemul fundamental, soluția generală a sistemului omogen poate fi scrisă ca
X = aE 1 + fi 2 + cE 3 . A
Să notăm câteva proprietăți ale soluțiilor sistemului neomogen de ecuații liniare AX=Bși relația lor cu sistemul omogen de ecuații corespunzător AX = 0.
Soluție generală a unui sistem neomogeneste egală cu suma soluției generale a sistemului omogen corespunzător AX = 0 și a unei soluții particulare arbitrare a sistemului neomogen. Într-adevăr, să Y 0 este o soluție particulară arbitrară a unui sistem neomogen, adică AY 0 = B, Și Y este soluția generală a unui sistem neomogen, adică. AY=B. Scăzând o egalitate din cealaltă, obținem
A(A-Y 0) = 0, adică A-Y 0 este soluția generală a sistemului omogen corespunzător TOPOR=0. Prin urmare, A-Y 0 = X, sau Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Fie ca un sistem neomogen să aibă forma AX = B 1 + B 2 . Atunci soluția generală a unui astfel de sistem poate fi scrisă ca X = X 1 + X 2 , unde AX 1 = B 1 și AX 2 = B 2. Această proprietate exprimă proprietatea universală a oricăror sisteme liniare în general (algebric, diferențial, funcțional etc.). În fizică, această proprietate se numește principiul suprapunerii, în inginerie electrică și radio - principiul suprapunerii. De exemplu, în teoria circuitelor electrice liniare, curentul din orice circuit poate fi obținut ca o sumă algebrică a curenților provocați de fiecare sursă de energie separat.
Metoda Gaussiană are o serie de dezavantaje: este imposibil să știm dacă sistemul este consistent sau nu până când nu au fost efectuate toate transformările necesare în metoda Gauss; metoda Gaussiană nu este potrivită pentru sistemele cu coeficienți de litere.
Luați în considerare alte metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare. Aceste metode folosesc conceptul de rang al unei matrice și reduc soluția oricărui sistem comun la soluția unui sistem căruia i se aplică regula lui Cramer.
Exemplul 1 Găsiți soluția generală a următorului sistem de ecuații liniare folosind sistemul fundamental de soluții al sistemului omogen redus și o soluție particulară a sistemului neomogen.
1. Facem o matrice Ași matricea augmentată a sistemului (1)
2. Explorați sistemul (1) pentru compatibilitate. Pentru a face acest lucru, găsim rândurile matricelor Ași https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Dacă se dovedește că , atunci sistemul (1) incompatibil. Dacă primim asta , atunci acest sistem este consistent și îl vom rezolva. (Studiul de consistență se bazează pe teorema Kronecker-Capelli).
A. Găsim rA.
A găsi rA, vom lua în considerare succesiv minori non-zero ale primului, al doilea, etc. ordine ale matricei Ași minorii din jurul lor.
M1=1≠0 (1 este luat din colțul din stânga sus al matricei DAR).
învecinat M1 al doilea rând și a doua coloană a acestei matrice. 
. Continuăm la graniță M1 a doua linie și a treia coloană..gif" width="37" height="20 src=">. Acum marginim minorul diferit de zero М2′ a doua comanda.
Avem: 
(pentru că primele două coloane sunt aceleași)
(deoarece a doua și a treia linie sunt proporționale).
Noi vedem asta rA=2, și este baza minoră a matricei A.
b. Găsim .
Suficient de bază minoră М2′ matrici A chenar cu o coloană de membri liberi și toate liniile (avem doar ultima linie).
. De aici rezultă că М3′′ rămâne baza minoră a matricei https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
pentru că М2′- baza minoră a matricei A sisteme (2) , atunci acest sistem este echivalent cu sistemul (3) , constând din primele două ecuații ale sistemului (2) (pentru М2′ se află în primele două rânduri ale matricei A).
(3)
Deoarece minorul de bază este https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
În acest sistem, două necunoscute gratuite ( x2 Și x4 ). De aceea FSR sisteme (4) constă din două soluții. Pentru a le găsi, le atribuim necunoscute gratuite (4) valorile mai întâi x2=1 , x4=0 , și apoi - x2=0 , x4=1 .
La x2=1 , x4=0 primim:
.
Acest sistem are deja singurul lucru soluție (se poate găsi prin regula lui Cramer sau prin orice altă metodă). Scăzând prima ecuație din a doua ecuație, obținem:
Decizia ei va fi x1= -1 , x3=0 . Având în vedere valorile x2 Și x4 , pe care l-am dat, primim primul decizie fundamentală sisteme (2) : .
Acum punem (4) x2=0 , x4=1 . Primim:
.
Rezolvăm acest sistem folosind teorema lui Cramer:
.
Obținem a doua soluție fundamentală a sistemului (2) : .
Soluții β1 , β2 si machiaza FSR sisteme (2) . Atunci soluția sa generală va fi
γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Aici C1 , C2 sunt constante arbitrare.
4. Găsiți unul privat soluţie sistem eterogen(1) . Ca în paragraful 3 , în loc de sistem (1) luați în considerare sistemul echivalent (5) , constând din primele două ecuații ale sistemului (1) .
(5)
Transferăm necunoscutele gratuite în partea dreaptă x2Și x4.
(6)
Să dăm necunoscute gratuite x2 Și x4 valori arbitrare, de exemplu, x2=2 , x4=1 și conectați-le la (6) . Să luăm sistemul
Acest sistem are o soluție unică (deoarece determinantul său М2′0). Rezolvând-o (folosind teorema Cramer sau metoda Gauss), obținem x1=3 , x3=3 . Având în vedere valorile necunoscutelor libere x2 Și x4 , primim soluție particulară a unui sistem neomogen(1)α1=(3,2,3,1).
5. Acum rămâne de scris soluţia generală α a unui sistem neomogen(1) : este egal cu suma decizie privată acest sistem şi soluţie generală a sistemului său omogen redus (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Acest lucru înseamnă: 
(7)
6. Examinare. Pentru a verifica dacă ați rezolvat corect sistemul (1) , avem nevoie de o soluție generală (7) înlocuire în (1) . Dacă fiecare ecuație devine o identitate ( C1 Și C2 ar trebui distrus), atunci soluția este găsită corect.
Vom înlocui (7) de exemplu, numai în ultima ecuație a sistemului (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .
Se obține: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Unde -1=-1. Avem o identitate. Facem acest lucru cu toate celelalte ecuații ale sistemului (1) .
Cometariu. Verificarea este de obicei destul de greoaie. Vă putem recomanda următoarea „verificare parțială”: în soluția generală a sistemului (1) atribuiți unele valori constantelor arbitrare și înlocuiți soluția particulară rezultată numai în ecuațiile aruncate (adică în acele ecuații din (1) care nu sunt incluse în (5) ). Dacă obțineți identități, atunci probabil, soluția sistemului (1) găsit corect (dar o astfel de verificare nu oferă o garanție deplină a corectitudinii!). De exemplu, dacă în (7) a pune C2=- 1 , C1=1, atunci obținem: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Inlocuind in ultima ecuatie a sistemului (1), avem: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , adică –1=–1. Avem o identitate.
Exemplul 2 Găsiți o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare (1) , exprimând principalele necunoscute sub aspectul celor libere.
Soluţie. Ca în exemplu 1, compune matrice Ași https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ale acestor matrici. Acum lăsăm doar acele ecuații ale sistemului (1) , ai căror coeficienți sunt incluși în acest minor de bază (adică avem primele două ecuații) și considerăm sistemul format din ei, care este echivalent cu sistemul (1).
Să transferăm necunoscutele libere în partea dreaptă a acestor ecuații.
sistem (9) rezolvăm prin metoda gaussiană, considerând părțile potrivite drept membri liberi.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Opțiunea 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opțiunea 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opțiunea 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opțiunea 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
2.4.1. Definiție. Să fie dat un sistem neomogen de ecuații liniare
Luați în considerare un sistem omogen
pentru care matricea coeficienților coincide cu matricea coeficienților sistemului (2.4.1). Apoi se numește sistemul (2.4.2). sistem omogen redus (2.4.1).
2.4.2. Teorema. Soluția generală a unui sistem neomogen este egală cu suma unei soluții particulare a sistemului neomogen și soluția generală a sistemului omogen redus.
Astfel, pentru a găsi soluția generală a sistemului neomogen (2.4.1), este suficient:
1) Examinați-l pentru compatibilitate. În caz de compatibilitate:
2) Aflați soluția generală a acestui sistem omogen.
3) Găsiți orice soluție specială la cea originală (neomogenă).
4) Adăugând soluția particulară găsită și soluția generală a celei date, găsiți soluția generală a sistemului original.
2.4.3. Exercitiul. Investigați sistemul pentru compatibilitate și, în cazul compatibilității, găsiți soluția generală a acestuia sub forma sumei coeficientului și a generalului redus.
Soluţie. a) Pentru a rezolva problema, folosim schema de mai sus:
1) Examinăm sistemul pentru compatibilitate (prin metoda minorilor învecinați): rangul matricei principale este 3 (vezi soluția exercițiului 2.2.5, a), iar minorul de ordin maxim nenulu este compus din elemente de 1, 2 , al 4-lea rând și 1-a, 3-a, 4-a coloană. Pentru a găsi rangul matricei extinse, o marginim cu al 3-lea rând și cu a 6-a coloană a matricei extinse: =0. Mijloace, rg A =rg=3, iar sistemul este consistent. În special, este echivalent cu sistemul
2) Găsiți o soluție generală X 0 omogen redus al acestui sistem
X 0 ={(-2A - b ; A ; b ; b ; b ) | A , b Î R}
(vezi soluția exercițiului 2.2.5, a)).
3) Găsiți o anumită soluție x h a sistemului original . Pentru a face acest lucru, în sistemul (2.4.3), care este echivalent cu cel original, necunoscutele libere X 2 și X Setăm 5 egal, de exemplu, cu zero (acestea sunt datele cele mai convenabile):
și rezolvați sistemul rezultat: X 1 =- , X 3 =- , X 4=-5. Astfel, (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ este o soluție particulară a sistemului.
4) Găsim soluția generală X n a sistemului original :
X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2A - b ; A ; b ; b ; b )}=
={(- -2A - b ; A ; - + b ; -5+b ; b )}.
Cometariu. Comparați răspunsul dvs. cu al doilea răspuns din exemplul 1.2.1 c). Pentru a obține un răspuns în prima formă pentru 1.2.1 c), luăm drept necunoscute de bază X 1 , X 3 , X 5 (minorul pentru care, de asemenea, nu este egal cu zero), și ca liber ¾ X 2 și X 4 .
§3. Unele aplicații.
3.1. Cu privire la problema ecuațiilor matriceale. Vă reamintim că ecuația matriceală peste câmp F este o ecuație în care o matrice de peste câmp acționează ca o necunoscută F .
Cele mai simple ecuații matriceale sunt ecuații de formă
TOPOR=B , XA =B (2.5.1)
Unde A , B ¾ date (cunoscute) matrici pe câmp F , dar X ¾ astfel de matrice, când se înlocuiesc ecuațiile (2.5.1) care se transformă în egalități matriceale adevărate. În special, metoda matricei a anumitor sisteme se reduce la rezolvarea unei ecuații matriceale.
Când matricele A în ecuațiile (2.5.1) sunt nedegenerate, au soluții, respectiv X =A B Și X =BA .
În cazul în care cel puțin una dintre matricele din partea stângă a ecuațiilor (2.5.1) este degenerată, aceasta metoda nu mai este potrivit, deoarece matricea inversă corespunzătoare A nu exista. În acest caz, găsirea de soluții la ecuațiile (2.5.1) se reduce la rezolvarea sistemelor.
Dar mai întâi, să introducem câteva concepte.
Se numește mulțimea tuturor soluțiilor sistemului solutie comuna . O soluție individuală a unui sistem nedefinit, să o numim decizie privată .
3.1.1. Exemplu. Rezolvați ecuația matriceală pe câmp R.
dar) X = ; b) X = ; în) X = .
Soluţie. a) Deoarece \u003d 0, atunci formula X =A B nu este potrivit pentru rezolvarea acestei ecuații. Dacă în muncă XA =B matricea A are 2 rânduri, apoi matricea X are 2 coloane. Numărul de linii X trebuie să se potrivească cu numărul de rânduri B . De aceea X are 2 linii. În acest fel, X ¾ unele matrice pătrată a doua comanda: X = . Substitui X în ecuația inițială:
Înmulțind matricele din partea stângă a (2.5.2), ajungem la egalitate
Două matrici sunt egale dacă și numai dacă au aceleași dimensiuni și elementele lor corespunzătoare sunt egale. Prin urmare (2.5.3) este echivalent cu sistemul
Acest sistem este echivalent cu sistemul
Rezolvând-o, de exemplu, prin metoda Gauss, ajungem la un set de soluții (5-2 b , b , -2d , d ), Unde b , d rulează independent unul de celălalt R. În acest fel, X = .
b) Similar cu a) avem X = și.
Acest sistem este inconsecvent (verificați-l!). Prin urmare, această ecuație matriceală nu are soluții.
c) Notați această ecuație prin TOPOR =B . pentru că A are 3 coloane și B are 2 coloane atunci X ¾ vreo matrice 3´2: X = . Prin urmare, avem următorul lanț de echivalențe:
Rezolvăm ultimul sistem folosind metoda Gauss (omitem comentariile)
Astfel, ajungem la sistem
a cărui soluție este (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Unde z , w rulează independent unul de celălalt R.
Raspuns: a) X = , b , d Î R.
b) Nu există soluții.
în) X = z , w Î R.
3.2. Cu privire la problema permutabilității matricelor.În general, produsul matricelor este nepermutabil, adică dacă A Și B astfel încât AB Și BA definit, atunci, în general, AB ¹ BA . Dar exemplul matricei identitare E arată că comutabilitatea este de asemenea posibilă AE =EA pentru orice matrice A , doar daca AE Și EA au fost determinati.
În această subsecțiune, luăm în considerare problemele de găsire a mulțimii tuturor matricelor care comută cu una dată. În acest fel,
Necunoscut X 1 , y 2 și z 3 poate lua orice valoare: X 1 =A , y 2 =b , z 3 =g . Apoi
În acest fel, X = .
Răspuns. dar) X d ¾ orice număr.
b) X ¾ set de matrici de forma , unde A , b Și g ¾ orice numere.