Lasa este un sistem de vectori m din . Transformări elementare de bază ale unui sistem de vectori sunteți

1. - adăugând la unul dintre vectori (vector ) o combinație liniară a restului.

2. - înmulțirea unuia dintre vectori (vector ) cu un număr diferit de zero.

3. permutarea a doi vectori () pe alocuri. Sistemele de vectori , vor fi numite echivalente (notație ) dacă există un lanț de transformări elementare care transformă primul sistem în al doilea.

Remarcăm proprietățile conceptului introdus de echivalență a vectorilor

(reflexivitate)

Rezultă că (simetrie)

Dacă și , atunci (tranzitivitate) Teorema. Dacă un sistem de vectori este liniar independent și este echivalent cu acesta, atunci sistemul este liniar independent. Dovada. Evident, este suficient să demonstrăm teorema pentru sistemul obţinut din cu ajutorul unei transformări elementare Să presupunem că sistemul de vectori este liniar independent. Apoi din rezultă că . Fie ca sistemul să fie obținut cu ajutorul unei transformări elementare. Evident, permutarea vectorilor sau înmulțirea unuia dintre vectori cu un număr diferit de zero nu se schimbă independență liniară sisteme vectoriale. Să presupunem acum că sistemul de vectori se obține din sistem adăugând la vector o combinație liniară a restului, . Este necesar să se stabilească că (1) implică că Deoarece , atunci din (1) se obține . (2)

pentru că sistemul este liniar independent, atunci din (2) rezultă că pentru toate .

De aici obținem. Q.E.D.

57. Matrici. adunarea matricei multiplicarea matricei prin scalare matricei as spațiu vectorial dimensiunea acestuia.

Tipul matricei: pătrat

Adăugarea matricei

Proprietăți de adăugare a matricei:

1. comutativitate: A+B = B+A;

Înmulțirea unei matrice cu un număr

Înmulțirea unei matrice A cu un număr ¥ (notația: ¥A) constă în construirea unei matrice B ale cărei elemente se obțin prin înmulțirea fiecărui element al matricei A cu acest număr, adică fiecare element al matricei B este egal cu: Bij=¥Aij

Proprietățile înmulțirii matricelor cu un număr:

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

Vector rând și vector coloană

Matricele de dimensiunea m x 1 și 1 x n sunt elemente ale spațiilor K^n și, respectiv, K^m:

o matrice de dimensiunea m x1 se numește vector coloană și are o notație specială:

O matrice 1 x n se numește vector rând și are o notație specială:

58. Matrici. Adunarea și înmulțirea matricelor. Matrici ca inel, proprietăți ale unui inel matrice.

O matrice este un tabel dreptunghiular de numere, format din m rânduri de lungime egală sau n stroboscopuri de lungime egală.

aij - element de matrice situat în al-lea rând și j-a coloană.

Tipul matricei: pătrat

matrice pătrată este o matrice cu număr egal coloane și rânduri.

Adăugarea matricei

Adunarea matricelor A + B este operația de găsire a unei matrici C, ale cărei toate elementele sunt egale cu suma pe perechi a tuturor elementelor corespunzătoare ale matricelor A și B, adică fiecare element al matricei este \u200b \u200bCij \u003d Aij + Bij

Proprietăți de adăugare a matricei:

1. comutativitate: A+B = B+A;

2.asociativitate: (A+B)+C =A+(B+C);

3. adunare cu matrice zero: A + Θ = A;

4.existenţa matricei opuse: A + (-A) = Θ;

Toate proprietățile operațiilor liniare repetă axiomele unui spațiu liniar și, prin urmare, următoarea teoremă este adevărată:

Mulțimea tuturor matricelor de aceeași dimensiune mxn cu elemente din câmpul P (câmpurile tuturor reale sau numere complexe) forme spațiu liniar peste câmpul P (fiecare astfel de matrice este un vector al acestui spațiu).

Înmulțirea matricei

Înmulțirea matriceală (denumirea: AB, mai rar cu semnul de înmulțire A x B) este operația de calcul a unei matrice C, fiecare element al cărei element este egal cu suma produselor elementelor din rândul corespunzător al primului factor și coloana celui de-al doilea.

Numărul de coloane din matricea A trebuie să se potrivească cu numărul de rânduri din matricea B, cu alte cuvinte, matricea A trebuie să fie compatibilă cu matricea B. Dacă matricea A are dimensiunile mxn , B - nxk , atunci dimensiunea produsului lor AB=C este mxk.

Proprietăți de multiplicare a matricei:

1.asociativitatea (AB)C = A(BC);

2.necomutativitate (în general): AB BA;

3. Produsul este comutativ în cazul înmulțirii cu o matrice de identitate: AI = IA;

4. distributivitatea: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.asociativitatea și comutativitatea față de înmulțirea cu un număr: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

59.*Matrici inversabile. Speciale și nespeciale transformări elementare rânduri de matrice. Matrici elementare. Înmulțirea prin matrici elementare.

matrice inversă este o astfel de matrice A -1, atunci când este înmulțit cu care, matricea originală A dă matricea identităţii E:

Transformări elementare de șiruri numit:

The transformări elementare ale coloanei.

Transformări elementare reversibil.

Denumirea indică faptul că matricea poate fi obținută din transformări elementare (sau invers).

Două sisteme ecuatii lineare dintr-o mulțime x 1 ,..., x n de necunoscute și, respectiv, din ecuațiile m și p

Ele sunt numite echivalente dacă seturile lor soluții și coincid (adică submulțimile și în K n coincid, ). Aceasta înseamnă că fie sunt ambele submulțimi goale (adică ambele sisteme (I) și (II) sunt inconsecvente), fie sunt simultan nevide și (adică fiecare soluție a sistemului I este o soluție a sistemului II și fiecare soluție a sistemului II). este o soluție la sistemul I).

Exemplul 3.2.1.

metoda Gauss

Planul algoritmului propus de Gauss a fost destul de simplu:

1. aplicăm transformări secvențiale sistemului de ecuații liniare care nu modifică setul de soluții (astfel salvăm setul de soluții din sistemul original), și mergem la un sistem echivalent care are o „formă simplă” (așa-numitul pas formă);
2. pentru " formă simplă„A unui sistem (cu matrice de etape) descrie un set de soluții care coincide cu setul de soluții al sistemului original.

Rețineți că metoda strâns legată „fan-chen” era deja cunoscută în matematica chineză antică.

Transformări elementare ale sistemelor de ecuații liniare (rânduri de matrice)

Definiția 3.4.1 (conversie elementară de tip 1). Când ecuația i-a a sistemului este adăugată la a-a-a ecuație înmulțită cu numărul (notația: (i)"=(i)+c(k) ; adică numai o i-a ecuație (i) este înlocuită printr-o nouă ecuație (i)"=(i)+c(k) ). Noua ecuație i-a are forma (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a în +ca kn)x n =b i +cb k, sau, pe scurt,

Adică în noua ecuație i-a a ij "=a ij +ca kj, b i"=b i + cb k.

Definiția 3.4.2 (conversie elementară de tip 2). Pentru ecuațiile i-a și k-a sunt interschimbate, ecuațiile rămase nu se schimbă (notația: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; pentru coeficienți aceasta înseamnă următoarele: pentru j=1 ,.. .,n

Observație 3.4.3. Pentru comoditate, în calcule specifice, puteți aplica o transformare elementară de al treilea tip: ecuația i-a este înmulțită cu un număr diferit de zero , (i)"=c(i) .

Propunerea 3.4.4. Dacă am trecut de la sistemul I la sistemul II cu ajutorul unui număr finit de transformări elementare de tipul I și II, atunci din sistemul II putem reveni la sistemul I și prin transformări elementare de tipul I și II.

Dovada.

Observație 3.4.5. Afirmația este adevărată și cu includerea unei transformări elementare de tipul 3 în numărul de transformări elementare. Dacă și (i)"=c(i), atunci și (i)=c -1 (i)" .

Teorema 3.4.6.După aplicarea succesivă a unui număr finit de transformări elementare de tipul I sau al II-lea la un sistem de ecuații liniare se obține un sistem de ecuații liniare echivalent cu cel inițial.

Dovada. Rețineți că este suficient să luăm în considerare cazul trecerii de la sistemul I la sistemul II cu ajutorul unei transformări elementare și să dovedim includerea pentru mulțimile de soluții (deoarece, în virtutea propoziției dovedite, este posibil să revenim din sistemul II). la sistemul I și prin urmare vom avea includerea , adică se va dovedi egalitatea).

Transformările matriceale elementare includ:

1. Schimbarea ordinii rândurilor (coloanelor).

2. Renunțarea la zero rânduri (coloane).

3. Înmulțirea elementelor oricărui rând (coloană) cu un număr.

4. Adăugarea elementelor oricărui rând (coloană) a elementelor altui rând (coloană), înmulțit cu un număr.

Sisteme de ecuații algebrice liniare slu (Concepte și definiții de bază).

1. Sistem m ecuații liniare cu n necunoscut este numit sistem de ecuații de forma:

2.Decizie sistemul de ecuații (1) se numește mulțime de numere X 1 , X 2 , … , X n , transformând fiecare ecuație a sistemului într-o identitate.

3. Sistemul de ecuații (1) se numește comun dacă are cel puțin o soluție; dacă sistemul nu are soluții, se numește incompatibil.

4. Sistemul de ecuații (1) se numește anumit dacă are o singură soluție și incert daca are mai multe solutii.

5. Ca urmare a transformărilor elementare, sistemul (1) este transformat într-un sistem echivalent cu acesta (adică având același set de soluții).

La transformări elementare sistemele de ecuații liniare includ:

1. Aruncarea șirurilor nule.

2. Schimbarea ordinii liniilor.

3. Adunarea la elementele oricărui rând a elementelor altui rând, înmulțită cu un număr.

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare.

1) Metoda matricei inverse (metoda matricei) pentru rezolvarea sistemelor de n ecuații liniare cu n necunoscute.

sistem n ecuații liniare cu n necunoscut este numit sistem de ecuații de forma:

Să scriem sistemul (2) sub formă de matrice, pentru aceasta introducem notația.

Matricea coeficienților înaintea variabilelor:

X = ‒ matricea variabilelor.

B = este matricea termenilor liberi.

Atunci sistemul (2) va lua forma:

A× X = B‒ ecuație matriceală.

Rezolvând ecuația, obținem:

X = A -1 × B

Exemplu:

; ;

1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 matricea A -1 există.

3)

à =

4) A -1 = × Ã = ;

X \u003d A -1 × B

Răspuns:

2) Regula lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de n - ecuații liniare cu n - necunoscute.

Considerăm un sistem de 2 - x ecuații liniare cu 2 - necunoscute:

Să rezolvăm acest sistem folosind metoda de substituție:

Din prima ecuație rezultă:

Înlocuind în a doua ecuație, obținem:

Inlocuim valoarea din formula pentru, obtinem:

Determinant Δ - determinant al matricei sistemului;

Δ X 1 - determinant variabil X 1 ;

Δ X 2 - determinant variabil X 2 ;

Formule:

X 1 =;X 2 =;…,X n = ;Δ  0;

sunt numite formulele lui Cramer.

La găsirea determinanților necunoscutelor X 1 , X 2 ,…, X n coloana de coeficienţi ai variabilei al cărei determinant se găseşte se înlocuieşte cu o coloană de termeni liberi.

Exemplu: Rezolvați sistemul de ecuații prin metoda lui Cramer

Soluţie:

Mai întâi, compunem și calculăm principalul determinant al acestui sistem:

Deoarece Δ ​​≠ 0, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită folosind regula lui Cramer:

unde Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 se obțin din determinantul Δ prin înlocuirea coloanei 1, 2 sau 3, respectiv, cu coloana de termeni liberi.

În acest fel:

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.

Luați în considerare sistemul:

Matricea extinsă a sistemului (1) este o matrice de forma:

metoda Gauss este o metodă de eliminare succesivă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului, pornind de la a doua ecuație de-a lungul m- acea ecuație.

În acest caz, prin transformări elementare, matricea sistemului este redusă la una triunghiulară (dacă m = nși determinantul sistemului ≠ 0) sau treptat (dacă m< n ) formă.

Apoi, pornind de la ultima ecuație după număr, se găsesc toate necunoscutele.

Algoritmul metodei Gauss:

1) Compilați o matrice extinsă a sistemului, inclusiv o coloană de membri liberi.

2) Dacă dar 11  0, apoi împărțim primul rând la dar 11 și înmulțiți cu (- A 21) și adăugați a doua linie. În mod similar, ajunge m- din acea linie:

Împărțim pagina cu dar 11 și înmulțiți cu (- dar m 1) și adăugați m- acea pagină

În acest caz, din ecuații, începând de la a doua până la m- adică variabila va fi exclusă X 1 .

3) La pasul 3, a doua linie este folosită pentru transformări elementare similare ale șirurilor de la 3 la m- tuiu. Aceasta va elimina variabila X 2, începând de la a 3-a linie în jos m- tuia etc.

Ca urmare a acestor transformări, sistemul va fi redus la o formă triunghiulară sau în trepte (în cazul unei forme triunghiulare, există zerouri sub diagonala principală).

Aducerea unui sistem într-o formă triunghiulară sau în trepte se numește metoda Gauss directă, iar găsirea necunoscutelor din sistemul rezultat se numește înapoi.

Exemplu:

Mișcare directă. Să prezentăm matricea augmentată a sistemului

cu ajutorul transformărilor elementare la forma în trepte. Schimbați primul și al doilea rând al matricei A b, obținem matricea:

Să adăugăm al doilea rând al matricei rezultate cu primul înmulțit cu (‒2) și al treilea rând cu primul rând înmulțit cu (‒7). Obțineți matricea

La al treilea rând al matricei rezultate, adăugăm al doilea rând înmulțit cu (‒3), în urma căruia obținem o matrice de pas

Astfel, am redus acest sistem de ecuații la o formă în trepte:

,

Mișcare inversă. Pornind de la ultima ecuație a sistemului de ecuații treptat obținut, găsim succesiv valorile necunoscutelor:

Mai jos considerăm sisteme de ecuații liniare peste câmpul de variabile EXTINS. Se spune că două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă fiecare soluție pentru oricare dintre aceste sisteme este o soluție pentru celălalt sistem.

Propozițiile următoare exprimă proprietățile echivalenței, care decurg din definiția echivalenței și proprietățile succesiunii sistemelor notate mai sus.

PROPUNEREA 2.2. Două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă și numai dacă fiecare dintre aceste sisteme este o consecință a celuilalt sistem.

PROPUNEREA 2.3. Două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă și numai dacă mulțimea tuturor soluțiilor unui sistem coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor celuilalt sistem.

PROPUNEREA 2.4. Două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă și numai dacă predicatele definite de aceste sisteme sunt echivalente.

DEFINIȚIE. Următoarele transformări se numesc transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare:

(a) înmulțirea ambelor părți ale unei ecuații a sistemului cu un scalar diferit de zero;

(P) adunarea (scăderea) la ambele părți ale oricărei ecuații a sistemului a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații a sistemului, înmulțită cu un scalar;

Excluderea din sistem sau adăugarea la sistem a unei ecuații liniare cu coeficienți zero și un membru liber zero.

TEOREMA 2.5. Dacă un sistem de ecuații liniare este obținut dintr-un alt sistem de ecuații liniare ca rezultat al unui lanț de transformări elementare, atunci aceste două sisteme sunt echivalente.

Dovada. Lasă sistemul

Dacă înmulțim una dintre ecuațiile sale, de exemplu, prima, cu un scalar X diferit de zero, atunci obținem sistemul

Fiecare soluție a sistemului (1) este și o soluție a sistemului (2).

În schimb, dacă este vreo soluție a sistemului (2),

apoi, înmulțind prima egalitate cu și fără modificarea egalităților ulterioare, obținem egalități care arată că vectorul este o soluție a sistemului (1). Prin urmare, sistemul (2) este echivalent cu sistemul original (1). De asemenea, este ușor de verificat că o singură aplicare a transformării elementare (P) sau a sistemului (1) conduce la un sistem echivalent cu sistemul original (1). Întrucât relația de echivalență este tranzitivă, aplicarea repetată a transformărilor elementare conduce la un sistem de ecuații echivalent cu sistemul original (1).

COROLAR 2.6. Dacă adăugăm o combinație liniară a altor ecuații ale sistemului la una dintre ecuațiile sistemului de ecuații liniare, atunci obținem un sistem de ecuații care este echivalent cu cel original.

COROLAR 2.7. Dacă excludem din sistemul de ecuații liniare sau adăugăm la acesta o ecuație care este o combinație liniară a altor ecuații ale sistemului, atunci obținem un sistem de ecuații care este echivalent cu sistemul original.

Transformările elementare sunt:

1) Adunarea la ambele părți a unei ecuații a părților corespunzătoare ale celeilalte, înmulțită cu același număr, diferit de zero.

2) Permutarea ecuațiilor pe locuri.

3) Eliminarea din sistemul de ecuații care sunt identități pentru tot x.

TEOREMA KRONECKER-CAPELLI

(condiția de compatibilitate a sistemului)

(Leopold Kronecker (1823-1891) matematician german)

Teorema: Sistemul este consistent (are cel puțin o soluție) dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.

În mod evident, sistemul (1) poate fi scris astfel:

x 1 + x 2 + … + x n

Dovada.

1) Dacă există o soluție, atunci coloana de membri liberi este combinație liniară coloane ale matricei A, ceea ce înseamnă adăugarea acestei coloane la matrice, adică. tranziția A®A * nu schimbă rangul.

2) Dacă RgA = RgA * , atunci aceasta înseamnă că au același minor de bază. Coloana de membri liberi este o combinație liniară a coloanelor de bază minoră, notațiile date mai sus sunt corecte.

Exemplu. Determinați compatibilitatea sistemului de ecuații liniare:

~ . Rga = 2.

A* = RgA* = 3.

Sistemul este inconsecvent.

Exemplu. Determinați compatibilitatea sistemului de ecuații liniare.

A = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Sistemul este colaborativ. Rezolvari: x 1 = 1; x 2 \u003d 1/2.

2.6 METODA GAUSS

(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matematician german)

Spre deosebire de metoda matriceiși metoda lui Cramer, metoda Gauss poate fi aplicată sistemelor de ecuații liniare cu număr arbitrar ecuații și necunoscute. Esența metodei este eliminarea secvenţială a necunoscutelor.

Luați în considerare un sistem de ecuații liniare:

Împărțiți ambele părți ale primei ecuații la 11 ¹ 0, apoi:

1) înmulțiți cu 21 și scădeți din a doua ecuație

2) înmulțiți cu 31 și scădeți din a treia ecuație

, Unde d 1 j = a 1 j /a 11 , j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij – a i1 d 1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Exemplu. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss.

, de unde obținem: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1 = 1.

Exemplu. Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss.

Să compunem matricea extinsă a sistemului.

Astfel, sistemul original poate fi reprezentat astfel:

, de unde obținem: z = 3; y=2; x = 1.

Raspunsul obtinut coincide cu raspunsul obtinut pentru acest sistem prin metoda Cramer si metoda matriciala.

Pentru o soluție de sine stătătoare:

Răspuns: (1, 2, 3, 4).

TEMA 3. ELEMENTE DE ALGEBRE VECTORALE

DEFINIȚII DE BAZĂ

Definiție. Vector se numește segment direcționat (o pereche ordonată de puncte). Se aplică și vectorilor. nul un vector al cărui început și sfârșit sunt aceleași.

Definiție. Lungime (modul) vector este distanța dintre începutul și sfârșitul vectorului.

Definiție. Se numesc vectorii coliniare daca sunt situate pe aceleasi linii sau paralele. Vectorul zero este coliniar cu orice vector.

Definiție. Se numesc vectorii coplanare dacă există un plan cu care sunt paralele.

Vectorii coliniari sunt întotdeauna coplanari, dar nu toți vectorii coliniari sunt coliniari.

Definiție. Se numesc vectorii egal dacă sunt coliniare, au aceeași direcție și au aceeași valoare absolută.

Orice vector poate fi redus la o origine comună, de ex. construiți vectori corespunzători egali cu datele și având o origine comună. Din definiția egalității vectoriale rezultă că orice vector are infiniti vectori egali cu el.

Definiție. Operații liniare peste vectori se numește adunare și înmulțire cu un număr.

Suma vectorilor este vectorul -

Muncă - , fiind în același timp coliniar.

Vectorul este codirecțional cu vectorul ( ) dacă a > 0.

Vectorul este opus vectorului ( ¯ ) dacă a< 0.

PROPRIETĂȚI VECTOTORILOR

1) + = + - comutativitate.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – asociativitate

6) (a + b) = a + b - distributivitatea

7) a( + ) = a + a

Definiție.

1) Bazăîn spațiu se numesc orice 3 vectori necoplanari, luați într-o anumită ordine.

2) Bazăîn plan sunt oricare 2 vectori necoliniari luați într-o anumită ordine.

3)Bază orice vector diferit de zero este numit pe linie.