Articolul descrie elementele de bază ale algebrei liniare: spațiu liniar, proprietățile sale, conceptul de bază, dimensiunile spațiului, intervalul liniar, conexiunea spații liniareși rangul matricelor.
spațiu liniar
Multe L numit spațiu liniar, dacă pentru toate elementele sale operaţiile de adunare a două elemente şi de înmulţire a unui element cu un număr satisfăcător eu grup Axiomele lui Weyl. Elementele unui spațiu liniar se numesc vectori. Acest definiție completă; mai pe scurt, putem spune că un spațiu liniar este un set de elemente pentru care sunt definite operațiile de adunare a două elemente și de înmulțire a unui element cu un număr.
Axiomele lui Weyl.
Herman Weil a sugerat că în geometrie avem două tipuri de obiecte ( vectori și puncte), ale căror proprietăți sunt descrise de următoarele axiome, care au stat la baza secțiunii algebră liniară. Axiomele pot fi împărțite convenabil în 3 grupuri.
Grupa I
- pentru orice vector x și y egalitatea x+y=y+x este satisfăcută;
- pentru orice vector x, y și z, x+(y+z)=(x+y)+z;
- există un vector o astfel încât pentru orice vector x egalitatea x + o = x este adevărată;
- pentru orice vector X există un vector (-x) astfel încât x+(-x)=o;
- pentru orice vector X are loc egalitatea 1x=x;
- pentru orice vector XȘi lași orice număr λ, egalitatea λ( X+la)=λ X+λ la;
- pentru orice vector Xși orice numere λ și μ avem egalitatea (λ+μ) X=λ X+μ X;
- pentru orice vector Xși orice numere λ și μ, egalitatea λ(μ X)=(λμ) X;
Grupa II
Grupa I definește conceptul combinație liniară de vectori, dependență liniară și independență liniară. Acest lucru ne permite să formulăm încă două axiome:
- sunt n liniare vectori independenți;
- orice vector (n+1) este dependent liniar.
Pentru planimetrie n=2, pentru stereometrie n=3.
Grupa III
Acest grup presupune că există o operație de multiplicare scalară care asociază o pereche de vectori XȘi la număr ( X y). în care:
- pentru orice vector XȘi la egalitatea este valabilă ( X y)=(y, x);
- pentru orice vector X , laȘi z egalitatea este valabilă ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
- pentru orice vector XȘi lași orice număr λ, egalitatea (λ X y)=λ( X y);
- pentru orice vector x, inegalitatea ( x, x)≥0 și ( x, x)=0 dacă și numai dacă X=0.
Proprietățile spațiului liniar
În cea mai mare parte, proprietățile unui spațiu liniar se bazează pe axiomele lui Weyl:
- Vector despre, a cărui existență este garantată de Axioma 3, este definită în mod unic;
- Vector(- X), a cărei existență este garantată de Axioma 4, este definită în mod unic;
- Pentru oricare doi vectori darȘi b aparținând spațiului L, există un singur vector X, aparținând tot spațiului L, care este o soluție a ecuației a+x=bși numită diferența vectorială b-a.
Definiție. Subset L' spațiu liniar L numit subspațiu liniar spaţiu L, dacă este el însuși un spațiu liniar în care suma vectorilor și produsul unui vector cu un număr sunt definite în același mod ca în L.
Definiție. Înveliș liniar L(x1, x2, x3, …, xk) vectori x1, x2, x3,Și xk numit multimea tuturor combinații liniare acești vectori. Despre intervalul liniar, putem spune că
-intervalul liniar este un subspațiu liniar;
– intervalul liniar este subspațiul liniar minim care conține vectorii x1, x2, x3,Și xk.
Definiție. Un spațiu liniar se numește n-dimensional dacă satisface Grupul II al sistemului de axiome ale lui Weyl. Se numește numărul n dimensiune spațiu liniar și scrieți dimL=n.
Bază este orice sistem ordonat n vectori liniar independenți ai spațiului . Semnificația bazei este astfel încât vectorii care alcătuiesc baza pot fi utilizați pentru a descrie orice vector din spațiu.
Teorema. Orice n vectori liniar independenți din spațiul L formează o bază.
Izomorfism.
Definiție. Spații liniare LȘi L' se numesc izomorfe dacă se poate stabili o astfel de corespondență unu-la-unu între elementele lor x↔x', ce:
- dacă x↔x', y↔y', apoi x+y↔x’+y’;
- dacă x↔x', apoi λ x↔λ X'.
Această corespondență se numește izomorfism. Izomorfismul ne permite să facem următoarele afirmații:
- dacă două spații sunt izomorfe, atunci dimensiunile lor sunt egale;
- oricare două spații liniare peste același câmp și de aceeași dimensiune sunt izomorfe.
Fie un sistem de vectori din . Înveliș liniar 
sisteme vectoriale se numește mulțimea tuturor combinațiilor liniare de vectori ai unui sistem dat, i.e.
Proprietăți shell liniare: Dacă , atunci pentru și .
Învelișul liniar are proprietatea de a fi închis în raport cu operațiile liniare (operații de adunare și înmulțire cu un număr).
O submulțime a spațiului care are proprietatea de a fi închis în raport cu operațiile de adunare și înmulțire cu numere se numeștesubspațiul liniar al spațiului .
Spațiul liniar al unui sistem de vectori este un subspațiu liniar al spațiului.
Sistemul de vectori din se numește bază 
,dacă
Orice vector poate fi exprimat ca o combinație liniară de vectori de bază:
2. Sistemul de vectori este liniar independent.
Lema Coeficienții de expansiune vectorială 
sunt definite în mod unic din punct de vedere al bazei.
Vector 
, compus din coeficienții de dilatare ai vectorului pe baza se numeste vectorul de coordonate al vectorului în bază 
.
Desemnare 
. Această intrare subliniază faptul că coordonatele vectorului depind de bază.
Spații liniare
Definiții
Să fie dat un set de elemente de natură arbitrară. Să fie definite două operații pentru elementele acestei mulțimi: adunarea și înmulțirea cu oricare real număr : , și setați închis cu privire la aceste operaţiuni: . Lasă aceste operații să se supună axiomelor:
3. există un vector zero cu proprietate pentru ;
4. pentru fiecare există un vector invers cu proprietatea ;
6. pentru , ;
7. pentru , ;
Atunci se numește un astfel de set spațiu liniar (vector)., elementele sale se numesc vectori, și - pentru a sublinia diferența dintre numerele de la - acestea din urmă sunt numite scalari unu) . Se numește un spațiu format dintr-un singur vector zero banal .
Dacă în axiomele 6 - 8 permitem înmulțirea cu scalari complecși, atunci un astfel de spațiu liniar se numește cuprinzător. Pentru a simplifica raționamentul, peste tot mai jos vom lua în considerare doar spații reale.
Un spațiu liniar este un grup în raport cu operația de adunare și un grup abelian.
Este elementar să se demonstreze unicitatea vectorului zero și unicitatea vectorului invers față de vector: 
, este denumit în mod obișnuit ca .
Un subset al unui spațiu liniar care este el însuși un spațiu liniar (adică închis sub adunare vectorială și înmulțire cu un scalar arbitrar) se numește subspațiu liniar spatii. Subspații triviale spațiul liniar se numește el însuși și spațiul format dintr-un vector zero.
Exemplu. Spațiul triplelor ordonate ale numerelor reale
operații definite prin egalități:
Interpretarea geometrică este evidentă: un vector în spațiu, „atașat” originii, poate fi dat în coordonatele capătului său. Figura arată și un subspațiu tipic al spațiului: un plan care trece prin origine. 
Mai exact, elementele sunt vectori care încep de la origine și se termină în puncte din plan. Închiderea unui astfel de set sub adăugarea vectorilor și extinderea lor 2) este evidentă.
Pe baza acestei interpretări geometrice, se vorbește adesea despre vectorul unui spațiu liniar arbitrar ca punct în spațiu. Acest punct este uneori denumit „sfârșitul vectorului”. În afară de comoditatea percepției asociative, acestor cuvinte nu li se dă niciun sens formal: conceptul de „sfârșit vectorial” este absent în axiomatica spațiului liniar.
Exemplu. Pe baza aceluiași exemplu se poate da o altă interpretare. spațiu vectorial(inerent, de altfel, deja în însăși originea cuvântului „vector” 3)) - definește un set de „deplasări” de puncte în spațiu. Aceste schimbări – sau cratime paralele orice figură spațială - sunt selectate paralel cu planul.
În general, cu astfel de interpretări ale conceptului de vector, lucrurile nu sunt atât de simple. Încercări de a face apel la el sens fizic- ca obiect care are valoareȘi direcţie- evoca o respingere corectă din partea matematicienilor stricti. Definiția unui vector ca element al unui spațiu vectorial amintește foarte mult de episodul cu mormintelor din celebra poveste fantastică a lui Stanisław Lem (vezi ☞AICI). Să nu ne agățăm de formalism, ci să explorăm acest obiect neclar în manifestările sale particulare.
Exemplu. O generalizare naturală este spațiul: un spațiu vectorial de rânduri sau o coloană 
. O modalitate de a defini un subspațiu este definirea unui set de constrângeri.
Exemplu. Mulțimea soluțiilor unui sistem liniar ecuații omogene:
formează un subspațiu liniar al spațiului . Într-adevăr, dacă
Soluția sistemului, deci
Aceeași soluție pentru orice. Dacă
O altă soluție pentru sistem, atunci
Va fi și soluția ei.
De ce o mulțime de soluții de sistem eterogen ecuațiile nu formează un subspațiu liniar?
Exemplu. Generalizând în continuare, putem considera spațiul șirurilor „infinite” sau secvente 
, care face de obicei obiectul analizei matematice - atunci când se consideră secvențe și serii. Puteți considera șirurile (secvențele) „infinite în ambele direcții” - sunt folosite în TEORIA SEMNALULUI.
Exemplu. Mulțime de -matrici cu elemente reale cu operații de adunare și înmulțire a matricei cu numere reale formează un spațiu liniar.
In spatiu matrici pătrateîn ordine, se pot distinge două subspații: subspațiul matricelor simetrice și subspațiul matricelor simetrice. În plus, subspații formează fiecare dintre mulțimile: matrice triunghiulară superioară, triunghiulară inferioară și diagonală.
Exemplu. O mulțime de polinoame de un grad variabil exact egal cu coeficienții din (unde este oricare dintre mulțimi sau ) cu operațiile obișnuite de adunare a polinoamelor și de înmulțire cu un număr din nu se formează spațiu liniar. De ce? - Pentru că nu este închis sub adunare: suma polinoamelor și nu va fi un polinom de gradul al-lea. Dar aici este un set de polinoame de grade nu mai sus
forme spațiale liniare; numai acestei multimi trebuie sa i se dea si un polinom identic nul 4) . Subspațiile evidente sunt . În plus, subspațiile vor fi mulțimea de polinoame pare și mulțimea de polinoame impare de grad cel mult . Mulțimea tuturor polinoamelor posibile (fără restricții de grade) formează, de asemenea, un spațiu liniar.
Exemplu. Generalizarea cazului anterior este spatiul polinoamelor mai multor variabile de grad cel mult cu coeficienti din . De exemplu, mulțimea de polinoame liniare
formează un spațiu liniar. Mulțimea de polinoame (forme) omogene de grad (cu adăugarea unui polinom identic zero la această mulțime) este, de asemenea, un spațiu liniar.
În ceea ce privește definiția de mai sus, setul de șiruri de caractere cu componente întregi
luate în considerare cu privire la operaţiile de adunare şi înmulţire pe componente prin întreg scalari, nu este un spațiu liniar. Cu toate acestea, toate axiomele 1 - 8 vor fi valabile dacă permitem doar înmulțirea cu scalari întregi. În această secțiune, nu ne vom concentra asupra acestui obiect, dar este destul de util în matematică discretă, de exemplu în ☞ TEORIA CODIFICARII. Spațiile liniare peste câmpuri finite sunt discutate ☞ AICI.
Variabilele sunt izomorfe cu spațiul matricelor simetrice de ordinul al treilea. Izomorfismul se stabileste prin corespondenta, pe care o vom ilustra pentru cazul :
Conceptul de izomorfism este introdus astfel încât studiul obiectelor care apar în diferite zone ale algebrei, dar cu proprietăți „similare” ale operațiilor, să fie efectuat folosind exemplul unui eșantion, elaborând rezultate pe acesta, care pot fi apoi ieftin. replicat. Ce spațiu liniar să ia „pentru eșantion”? - Vezi sfârșitul următorului paragraf
L- intersecție M toate subspațiile L conținând X .Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiu generat X. De obicei notat. Se mai spune că intervalul liniar întins peste Multe X .
Proprietăți
Vezi si
Legături
Fundația Wikimedia. 2010 .
Vedeți ce este „Linear shell” în alte dicționare:
Intersecția M a tuturor subspațiilor care conțin mulțimea E a spațiului Avector Mai mult, Mnas. de asemenea, un subspațiu generat de A. M. I. Voitsekhovsky ... Enciclopedie matematică
Anvelopă liniară a vectorilor
Anvelopă liniară a vectorilor- multime de combinatii liniare ale acestor vectori ∑αiai cu toti coeficientii posibili (α1, …, αn) … Dicţionar economic şi matematic
interval liniar al vectorilor- Multimea combinatiilor liniare ale acestor vectori ??iai cu toti coeficientii posibili (?1, ..., ?n). Subiecte economie EN carenă liniară...
algebră liniară- Disciplina matematică, ramură a algebrei care cuprinde, în special, teoria ecuatii lineare, matrice și determinanți, precum și teoria spațiilor vectoriale (liniare). Dependență liniară„o relație de forma: a1x1 + a2x2 + … +… … Manualul Traducătorului Tehnic
Dependență liniară- „o relație de forma: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, unde a1, a2, …, an sunt numere, dintre care cel puțin unul este diferit de zero; x1, x2, …, xn sunt anumite obiecte matematice pentru care sunt definite operații de adunare… Dicţionar economic şi matematic
coajă- vezi Shell liniar... Dicţionar economic şi matematic
Spațiul liniar sau spațiul vectorial este obiectul principal de studiu al algebrei liniare. Cuprins 1 Definiție 2 Proprietăți cele mai simple 3 Definiții și proprietăți înrudite... Wikipedia
grup transformări liniare spațiu vectorial V de dimensiune finită n peste un corp K. Alegerea unei baze în spațiul V realizează L.g. Enciclopedie matematică
Cărți
- Algebră liniară. Manual și atelier pentru software gratuit
- Algebră liniară. Manual și atelier pentru bacalaureat academic, Kremer N.Sh.. Acest manual include o serie de concepte noi și întrebări suplimentare, cum ar fi norma unei matrice, metoda de completare a unei baze, izomorfismul spațiilor liniare, subspații liniare, liniare. ...
vector(sau liniar) spaţiu- o structură matematică, care este un set de elemente, numite vectori, pentru care se definesc operațiile de adunare între ele și de înmulțire cu un număr - un scalar. Aceste operații sunt supuse opt axiome. Scalarii pot fi elemente ale unui câmp real, complex sau al oricărui alt câmp numeric. Un caz special al unui astfel de spațiu este spațiul euclidian tridimensional obișnuit, ai cărui vectori sunt utilizați, de exemplu, pentru a reprezenta forțele fizice. Trebuie remarcat faptul că un vector, ca element al unui spațiu vectorial, nu trebuie să fie specificat ca segment direcționat. Generalizarea conceptului de „vector” la un element al unui spațiu vectorial de orice natură nu numai că nu provoacă confuzii de termeni, dar ne permite și să înțelegem sau chiar să anticipăm o serie de rezultate care sunt valabile pentru spații de natură arbitrară. .
Spațiile vectoriale sunt obiectul de studiu în algebra liniară. Una dintre principalele caracteristici ale unui spațiu vectorial este dimensiunea acestuia. Dimensiunea este numărul maxim de elemente liniar independente ale spațiului, adică prin recurgerea la o interpretare geometrică grosieră, numărul de direcții care sunt inexprimabile între ele doar prin operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar. Spațiul vectorial poate fi dotat cu structuri suplimentare, cum ar fi norma sau produsul punctual. Astfel de spații apar în mod natural în calcul, predominant ca spații funcționale cu dimensiuni infinite (Engleză), unde vectorii sunt funcțiile . Multe probleme în analiză necesită a afla dacă o secvență de vectori converge către vector dat. Luarea în considerare a unor astfel de întrebări este posibilă în spații vectoriale cu structură suplimentară, în majoritatea cazurilor o topologie adecvată, care permite definirea conceptelor de proximitate și continuitate. Astfel de spații vectoriale topologice, în special spațiile Banach și Hilbert, permit un studiu mai profund.
Primele lucrări care au anticipat introducerea conceptului de spațiu vectorial datează din secolul al XVII-lea. Atunci au primit dezvoltarea geometria analitică, doctrina matricelor, sistemele de ecuații liniare și vectorii euclidieni.
Definiție
Liniar sau spațiu vectorial V (F) (\displaystyle V\stanga(F\dreapta)) peste câmp F (\displaystyle F) este un cvadruplu ordonat (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Unde
- V (\displaystyle V)- un set nevid de elemente de natură arbitrară, care sunt numite vectori;
- F (\displaystyle F)- un câmp ale cărui elemente sunt numite scalari;
- Operațiune definită adaosuri vectori V × V → V (\displaystyle V\time V\to V), potrivirea fiecărei perechi de elemente x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) seturi V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) chemându-i sumăși notat x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
- Operațiune definită multiplicarea vectorilor cu scalari F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), care se potrivește cu fiecare element λ (\displaystyle \lambda ) câmpuri F (\displaystyle F)și fiecare element x (\displaystyle \mathbf (x) ) seturi V (\displaystyle V) singurul element al setului V (\displaystyle V), notat λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) sau λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );
Spațiile vectoriale definite pe același set de elemente, dar peste câmpuri diferite vor fi spații vectoriale diferite (de exemplu, setul de perechi numere reale R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) poate fi un spațiu vectorial bidimensional peste câmpul numerelor reale sau unidimensional - peste câmpul numerelor complexe).
Cele mai simple proprietăți
- Spațiul vectorial este un grup abelian prin adunare.
- element neutru 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
- 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) pentru oricine .
- Pentru oricine x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) element opus − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) este singurul care rezultă din proprietățile grupului.
- 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) pentru oricine x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
- (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) pentru orice și x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
- α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) pentru oricine α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).
Definiții și proprietăți înrudite
subspațiu
Definiție algebrică: Subspațiu liniar sau subspațiu vectorial este un submult nevid K (\displaystyle K) spațiu liniar V (\displaystyle V) astfel încât K (\displaystyle K) este el însuși un spațiu liniar în raport cu cele definite în V (\displaystyle V) operatiile de adunare si inmultire cu un scalar. Setul tuturor subspațiilor este de obicei notat ca L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Pentru ca o submulțime să fie un subspațiu, este necesar și suficient ca
Ultimele două afirmații sunt echivalente cu următoarele:
Pentru orice vector x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vector α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) a aparținut și K (\displaystyle K) pentru orice α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).
În special, un spațiu vectorial format dintr-un singur vector zero este un subspațiu al oricărui spațiu; orice spațiu este un subspațiu al lui însuși. Subspațiile care nu coincid cu aceste două sunt numite proprii sau nebanală.
Proprietăți subspațiu
Combinații liniare
Suma finală a vederii
α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α nxn (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))Combinația liniară se numește:
Bază. Dimensiune
Vectori x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) numit dependent liniar, dacă există o combinație liniară netrivială a acestora, a cărei valoare este egală cu zero; adică
α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α nxn = 0 (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )cu niște coeficienți α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots,\alpha _(n)\in F,)și cel puțin unul dintre coeficienți α i (\displaystyle \alpha _(i)) diferit de zero.
În caz contrar, acești vectori sunt numiți liniar independent.
Această definiție permite următoarea generalizare: un set infinit de vectori din V (\displaystyle V) numit dependent liniar, dacă unele final subsetul său și liniar independent, dacă este cazul final submulțimea este liniar independentă.
Proprietăți de bază:
x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α nxn (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).Înveliș liniar
Înveliș liniar subseturi X (\displaystyle X) spațiu liniar V (\displaystyle V)- intersecția tuturor subspațiilor V (\displaystyle V) conținând X (\displaystyle X).
Învelișul liniar este un subspațiu V (\displaystyle V).
Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiu generat X (\displaystyle X). Se mai spune că intervalul liniar V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- spatiu, întins peste Multe X (\displaystyle X).
L- intersecție M toate subspațiile L conținând X .Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiu generat X. De obicei notat. Se mai spune că intervalul liniar întins peste Multe X .
Proprietăți
Vezi si
Legături
Fundația Wikimedia. 2010 .
- Jangar
- Sold de plată
Vedeți ce este „Linear shell” în alte dicționare:
COCASA LINEARĂ- intersectia lui M toate subspatiile continand multimea spatiului Avector E. In acest caz, Mnas. de asemenea, un subspațiu generat de A. M. I. Voitsekhovsky ... Enciclopedie matematică
Anvelopă liniară a vectorilor
Anvelopă liniară a vectorilor- multime de combinatii liniare ale acestor vectori ∑αiai cu toti coeficientii posibili (α1, …, αn) … Dicţionar economic şi matematic
interval liniar al vectorilor- Multimea combinatiilor liniare ale acestor vectori ??iai cu toti coeficientii posibili (?1, ..., ?n). Subiecte economie EN carenă liniară...
algebră liniară- Disciplina matematică, o secțiune de algebră, care conține, în special, teoria ecuațiilor liniare, matricelor și determinanților, precum și teoria spațiilor vectoriale (liniare). Dependență liniară „relație de forma: a1x1 + a2x2 + ... + ... ... Manualul Traducătorului Tehnic
Dependență liniară- „o relație de forma: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, unde a1, a2, …, an sunt numere, dintre care cel puțin unul este diferit de zero; x1, x2, …, xn sunt anumite obiecte matematice pentru care sunt definite operații de adunare… Dicţionar economic şi matematic
coajă- vezi Shell liniar... Dicţionar economic şi matematic
Dependență liniară
Combinație liniară- Spațiul liniar, sau spațiul vectorial este obiectul principal de studiu al algebrei liniare. Cuprins 1 Definiție 2 Proprietăți cele mai simple 3 Definiții și proprietăți înrudite... Wikipedia
GRUP DE LINII este grupul de transformări liniare ale unui spațiu vectorial V de dimensiune finită n peste un corp K. Alegerea unei baze în spațiul V realizează L. r. Enciclopedie matematică
Cărți
- Algebră liniară. Manual și atelier pentru software open source Cumpărați pentru 1471 UAH (numai Ucraina)
- Algebră liniară. Manual și atelier pentru bacalaureat academic, Kremer N.Sh.. Acest manual include o serie de concepte noi și întrebări suplimentare, cum ar fi norma unei matrice, metoda de completare a unei baze, izomorfismul spațiilor liniare, subspații liniare, liniare. ...