Fie P un câmp. Elementele a, b, ... н R vom suna scalari.

Definiția 1. Clasă V obiecte (elemente) , , , ... de natură arbitrară se numește spațiu vectorial peste câmpul P, iar elementele clasei V se numesc vectori, dacă V este închis sub operația „+” și operația de înmulțire cu scalari din Р (adică, pentru orice , нV + н V;"aО Р aОV) și sunt îndeplinite următoarele condiții:

A 1: Algebră - grup abelian;

A 2: pentru orice a, bОР, pentru orice ОV, a(b)=(ab)- este valabilă legea asociativă generalizată;

A 3: pentru orice a, bОР, pentru orice ОV, (a+b)= a+ b;

A 4: pentru orice a din P, pentru orice , din V, a(+)=a+a(legi distributive generalizate) este valabilă;

A 5: pentru oricare dintre V, 1 = este satisfăcut, unde 1 este unitatea câmpului P - proprietatea unitarității.

Elementele câmpului P se vor numi scalari, iar elementele mulţimii V se vor numi vectori.

Cometariu.Înmulțirea unui vector cu un scalar nu este o operație binară pe mulțimea V, deoarece este o mapare P´V®V.

Luați în considerare exemple de spații vectoriale.

Exemplul 1 Zero (zero-dimensional) spațiu vectorial- spaţiul V 0 =() - format dintr-un vector nul.

Și pentru orice aОР a=. Să verificăm satisfacabilitatea axiomelor spațiului vectorial.

Rețineți că spațiul vectorial zero depinde în esență de câmpul P. Astfel, spațiile zero-dimensionale peste câmpul numerelor raționale și peste câmpul numere reale sunt considerate diferite, chiar dacă constau dintr-un singur vector nul.

Exemplul 2 Câmpul P este el însuși un spațiu vectorial peste câmpul P. Fie V=P. Să verificăm satisfacabilitatea axiomelor spațiului vectorial. Deoarece P este un câmp, P este un grup abelian aditiv și A 1 este valabil. În virtutea fezabilității în P a asociativității înmulțirii, A 2 este satisfăcută. Axiomele A3 și A4 sunt valabile deoarece înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea în P. Deoarece există un singur element 1 în câmpul P, atunci proprietatea de unitaritate A 5 este îndeplinită. Astfel, câmpul P este un spațiu vectorial peste câmpul P.

Exemplul 3 Spațiu vectorial n-dimensional aritmetic.

Fie P un câmp. Se consideră mulțimea V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i н P, i=1,…, n). Pe mulțimea V, introducem operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un scalar conform următoarelor reguli:

„= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, „aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + mld) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Se vor numi elementele multimii V vectori n-dimensionali. Se spune că doi vectori n-dimensionali sunt egali dacă componentele lor corespunzătoare (coordonatele) sunt egale. Să arătăm că V este un spațiu vectorial peste câmpul P. Din definirea operațiilor de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un scalar rezultă că V este închis sub aceste operații. Deoarece adăugarea elementelor din V se reduce la adăugarea elementelor câmpului P și P este un grup abelian aditiv, atunci V este un grup abelian aditiv. Mai mult, = , unde 0 este zero al câmpului Р, -= (-a 1 , -a 2 , … , -a n). Astfel, A 1 este îndeplinită. Deoarece înmulțirea unui element din V cu un element din P se reduce la înmulțirea elementelor câmpului P, atunci:

A 2 se realizează datorită asociativității înmulțirii cu P;

A 3 și A 4 sunt îndeplinite datorită distributivității înmulțirii față de adunarea pe P;

A 5 este satisfăcut, deoarece 1 Î P este un element neutru în raport cu înmulțirea cu P.

Definiția 2. Mulțimea V= P n cu operații, anumite formule(1) și (2) se numește spațiu vectorial aritmetic n-dimensional peste câmpul P.

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

vector(sau liniar) spaţiu- o structură matematică, care este un set de elemente, numite vectori, pentru care se definesc operațiile de adunare între ele și de înmulțire cu un număr - un scalar. Aceste operații sunt supuse opt axiome. Scalarii pot fi elemente ale unui câmp real, complex sau al oricărui alt câmp numeric. Un caz special al unui astfel de spațiu este spațiul euclidian tridimensional obișnuit, ai cărui vectori sunt utilizați, de exemplu, pentru a reprezenta forțele fizice. În același timp, trebuie remarcat că un vector ca element al unui spațiu vectorial nu trebuie să fie specificat sub forma unui segment direcționat. Generalizarea conceptului de „vector” la un element al unui spațiu vectorial de orice natură nu numai că nu provoacă confuzii de termeni, dar ne permite și să înțelegem sau chiar să anticipăm o serie de rezultate care sunt valabile pentru spații de natură arbitrară. .

Spațiile vectoriale sunt obiectul de studiu în algebra liniară. Una dintre principalele caracteristici ale unui spațiu vectorial este dimensiunea acestuia. Dimensiunea este numărul maxim de elemente liniar independente ale spațiului, adică prin recurgerea la o descriere geometrică grosieră, numărul de direcții care sunt inexprimabile între ele doar prin operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar. Spațiul vectorial poate fi dotat cu structuri suplimentare, cum ar fi norma sau produsul punctual. Astfel de spații apar în mod natural în calcul, predominant ca spații funcționale cu dimensiuni infinite ( Engleză), unde vectorii sunt funcțiile . Multe probleme în analiză necesită a afla dacă o secvență de vectori converge către vector dat. Luarea în considerare a unor astfel de întrebări este posibilă în spații vectoriale cu structură suplimentară, în cele mai multe cazuri o topologie adecvată, care permite definirea conceptelor de proximitate și continuitate. Astfel de spații vectoriale topologice, în special spațiile Banach și Hilbert, permit un studiu mai profund.

Pe lângă vectori, algebra liniară studiază și tensorii de rang superior (un scalar este considerat un tensor de rang 0, un vector este considerat un tensor de rang 1).

Primele lucrări care au anticipat introducerea conceptului de spațiu vectorial datează din secolul al XVII-lea. Atunci geometria analitică, doctrina matricelor, sistemele de ecuații liniare și vectorii euclidieni și-au primit dezvoltarea.

Definiție

Liniar, sau spațiu vectorial $V\stânga(F\dreapta)$ peste câmp $F$ este un cvadruplu ordonat $(V,F,+,\cdot)$ , Unde

$V$ - un set nevid de elemente de natură arbitrară, care sunt numite vectori;
$F$ - câmp (algebric) ale cărui elemente sunt numite scalari;
Operațiune definită adaosuri vectori $V\ori V\la V$ , potrivirea fiecărei perechi de elemente $\mathbf(x), \mathbf(y)$ seturi $V$ $V$ chemându-i sumăși notat $\mathbf(x) + \mathbf(y)$ ;
Operațiune definită multiplicarea vectorilor cu scalari $F\ori V\la V$ , care se potrivește cu fiecare element $\lambda$ câmpuri $F$ și fiecare element $\mathbf(x)$ seturi $V$ singurul element al setului $V$ , notat $\lambda\cdot \mathbf(x)$ sau $\lambda\mathbf(x)$ ;

Spațiile vectoriale definite pe același set de elemente, dar peste câmpuri diferite vor fi spații vectoriale diferite (de exemplu, setul de perechi de numere reale $\mathbb(R)^2$ poate fi un spațiu vectorial bidimensional peste câmpul numerelor reale sau unidimensional - peste câmpul numerelor complexe).

Cele mai simple proprietăți

Spațiul vectorial este un grup abelian prin adunare.
element neutru $\mathbf(0) \în V$
$0\cdot\mathbf(x) = \mathbf(0)$ pentru oricine $\mathbf(x) \in V$ .
Pentru oricine $\mathbf(x) \in V$ element opus $-\mathbf(x) \în V$ este singurul care rezultă din proprietățile grupului.
$1\cdot\mathbf(x) = \mathbf(x)$ pentru oricine $\mathbf(x) \in V$ .
$(-\alpha)\cdot\mathbf(x) = \alpha\cdot(-\mathbf(x)) = -(\alpha\mathbf(x))$ pentru orice $\alpha \în F$ și $\mathbf(x) \in V$ .
$\alpha\cdot \mathbf(0) = \mathbf(0)$ pentru oricine $\alpha \în F$ .

Definiții și proprietăți înrudite

subspațiu

Definiție algebrică: Subspațiu liniar sau subspațiu vectorial este un submult nevid $K$ spațiu liniar $V$ astfel încât $K$ este el însuși un spațiu liniar în raport cu cele definite în $V$ operatiile de adunare si inmultire cu un scalar. Setul tuturor subspațiilor este de obicei notat ca $\mathrm(Lat)(V)$ . Pentru ca o submulțime să fie un subspațiu, este necesar și suficient ca

pentru orice vector $\mathbf(x)\în K$ , vector $\alpha\mathbf(x)$ a aparținut și $K$ , pentru orice $\alpha\în F$ ;
pentru orice vector $\mathbf(x), \mathbf(y) \in K$ , vector $\mathbf(x)+\mathbf(y)$ a aparținut și $K$ .

Ultimele două afirmații sunt echivalente cu următoarele:

Pentru orice vector $\mathbf(x), \mathbf(y) \in K$ , vector $\alpha\mathbf(x)+\beta\mathbf(y)$ a aparținut și $K$ pentru orice $\alpha, \beta \în F$ .

În special, un spațiu vectorial format dintr-un singur vector zero este un subspațiu al oricărui spațiu; orice spațiu este un subspațiu al lui însuși. Subspațiile care nu coincid cu aceste două sunt numite proprii sau nebanală.

Proprietăți subspațiu

Intersecția oricărei familii de subspații este din nou un subspațiu;
Suma subspațiilor $K_i\quad|\quad i \în 1\ldots N$ definită ca o mulțime care conține toate sumele posibile de elemente K_i: \sum_(i=1)^N (K_i):= $\mathbf(x)_1 + \mathbf(x)_2 + \ldots + \mathbf(x)_N\quad|\quad \mathbf(x)_i \în K_i\quad (i\în 1\ldots N)$.
- Suma unei familii finite de subspații este din nou un subspațiu.

Combinații liniare

Suma finală a vederii

$\alpha_1\mathbf(x)_1 + \alpha_2\mathbf(x)_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf(x)_n$

Combinația liniară se numește:

Bază. Dimensiune

Vectori $\mathbf(x)_1, \mathbf(x)_2, \ldots, \mathbf(x)_n$ numit dependent liniar, dacă există o combinație liniară non-trivială a acestora egală cu zero:

În caz contrar, acești vectori sunt numiți liniar independent.

Această definiție permite următoarea generalizare: un set infinit de vectori din $V$ numit dependent liniar, dacă unele final subsetul său și liniar independent, dacă este cazul final submulțimea este liniar independentă.

Proprietăți de bază:

Orice $n$ elemente liniar independente $n$ -forma spatiala dimensionala bază acest spatiu.
Orice vector $\mathbf(x) \in V$ poate fi imaginat ( singura cale) sub formă de finală combinație liniară elemente de baza:

\mathbf(x) = \alpha_1\mathbf(x)_1 + \alpha_2\mathbf(x)_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf(x)_n

Înveliș liniar

Înveliș liniar $\mathcal V(X)$ subseturi $X$ spațiu liniar $V$ - intersecția tuturor subspațiilor $V$ conținând $X$ .

Învelișul liniar este un subspațiu $V$ .

Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiu generat $X$ . Se mai spune că intervalul liniar $\mathcal V(X)$ - spatiu, întins peste Multe $X$ .

Înveliș liniar $\mathcal V(X)$ constă din toate combinațiile liniare posibile ale diferitelor subsisteme finite de elemente din $X$ . În special, dacă $X$ este o mulțime finită, atunci $\mathcal V(X)$ constă din toate combinațiile liniare de elemente $X$ . Astfel, vectorul nul aparține întotdeauna intervalului liniar.

În cazul în care un $X$ este o mulțime liniar independentă, atunci este o bază $\mathcal V(X)$ și determină astfel dimensiunea acestuia.

Exemple

Un spațiu nul al cărui singur element este zero.
Spațiul tuturor funcțiilor $X\la F$ cu suport finit formează un spațiu vectorial de dimensiune egală cu $X$ .
Câmpul numerelor reale poate fi privit ca un spațiu vectorial continuu-dimensional peste câmpul numerelor raționale.
Orice câmp este un spațiu unidimensional deasupra lui însuși.

Structuri suplimentare

Vezi si

Scrieți o recenzie la articolul „Spațiul vectorial”

Note

Literatură

Gelfand I. M. Prelegeri de algebră liniară. - a 5-a. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
Gelfand I. M. Prelegeri de algebră liniară. a 5-a ed. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6.
Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Algebră liniară și geometrie. a 2-a ed. - M .: Nauka, 1986. - 304 p.
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea 2: Algebră liniară. - al 3-lea. - M .: Nauka ., 2004. - 368 p. - (Manual universitar).
Maltsev A.I. Fundamentele algebrei liniare. - al 3-lea. - M .: Nauka, 1970. - 400 p.

Postnikov M. M. Algebră liniară (Prelegeri de geometrie. Semestrul II). - al 2-lea. - M .: Nauka, 1986. - 400 p.
Strang G. Algebra liniară și aplicațiile sale = Linear Algebra si este aplicatii. - M .: Mir, 1980. - 454 p.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Algebră liniară. a 6-a ed. - M .: Fizmatlit, 2010. - 280 p. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
Halmosh P. Spații Vectoriale Finite-Dimensionale = Spații Vectoriale Finite-Dimensionale. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 263 p.
Faddeev D.K. Prelegeri despre algebră. - a 5-a. - St.Petersburg. : Lan, 2007. - 416 p.
Şafarevici I.R., Remizov A.O. Algebră liniară și geometrie. - primul. - M .: Fizmatlit, 2009. - 511 p.
Schreyer O., Shperner G. Introducere în algebra liniară în prezentarea geometrică = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (tradus din germană). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 p.

Vectori și matrice

Vectori

Noțiuni de bază

Tipuri de vectori

Operații pe vectori

Tipuri de spațiu

matrici

Noțiuni de bază

Alte

Un fragment care caracterizează spațiul vectorial

Kutuzov a mers prin rânduri, oprindu-se din când în când și spunând câteva cuvinte amabile ofițerilor, pe care îi cunoștea din războiul turcesc, și uneori soldaților. Aruncând o privire la pantofi, a clătinat cu tristețe din cap de mai multe ori și i-a arătat spre generalul austriac cu o asemenea expresie, încât părea să nu reproșeze nimănui acest lucru, dar nu a putut să nu vadă cât de rău era. Comandantul regimentului alerga de fiecare dată înainte, de teamă să nu rateze cuvântul comandantului-șef cu privire la regiment. În spatele lui Kutuzov, la o distanță atât de mare încât se auzea orice cuvânt slab rostit, mergea un bărbat de 20 de suită. Domnii aleiului vorbeau între ei și uneori râdeau. Cel mai aproape în spatele comandantului-șef era un adjutant frumos. Era prințul Bolkonski. Alături de el era tovarășul său Nesvitsky, înalt sediu un ofițer, extrem de gras, cu o față frumoasă și zâmbitoare și cu ochi umezi; Nesvitski cu greu se putea abține să nu râdă, stârnit de ofițerul husar negricios care mergea lângă el. Ofițerul de husar, fără să zâmbească, fără să-și schimbe expresia ochilor ținți, privi cu o față serioasă în spatele comandantului de regiment și mima fiecare mișcare a acestuia. De fiecare dată când comandantul de regiment se înfioră și se apleca în față, exact în același mod, exact în același mod, ofițerul de husar se cutremură și se apleca în față. Nesvitski a râs și i-a împins pe ceilalți să se uite la omul amuzant.
Kutuzov a trecut încet și nepăsător pe lângă o mie de ochi care le-au rostogolit din orbite, urmărindu-l pe șef. După ce a ajuns la a treia companie, s-a oprit brusc. Suita, neprevăzând această oprire, a înaintat involuntar spre el.
- Ah, Timokhin! – spuse comandantul-șef, recunoscându-l pe căpitanul cu nasul roșu, care suferea pentru un pardesiu albastru.
Părea că nu se poate întinde mai mult decât se întindea Timokhin, în timp ce comandantul regimentului îl mustra. Dar în clipa aceea i s-a adresat comandantul șef, căpitanul s-a întins astfel încât să pară că dacă comandantul șef s-ar fi uitat puțin la el, căpitanul n-ar fi putut să suporte; și de aceea Kutuzov, înțelegându-și aparent poziția și dorind, dimpotrivă, toate cele bune căpitanului, s-a întors în grabă. Un zâmbet abia perceptibil străbătu chipul plinuț și rănit al lui Kutuzov.
— Un alt tovarăș Izmaylovsky, spuse el. — Ofițer curajos! Ești mulțumit de el? îl întrebă Kutuzov pe comandantul regimentului.
Iar comandantul de regiment, parcă reflectat într-o oglindă, invizibil pentru el însuși, în ofițerul de husar, s-a cutremurat, a mers înainte și a răspuns:
„Foarte mulțumit, Excelența Voastră.
„Nu suntem cu toții lipsiți de slăbiciuni”, a spus Kutuzov, zâmbind și îndepărtându-se de el. „A avut un atașament față de Bacchus.
Comandantul de regiment s-a temut că nu este de vină pentru asta și nu a răspuns. În acel moment, ofițerul a observat fața căpitanului cu nasul roșu și stomacul înfundat și și-a mimat atât de asemănător fața și postura, încât Nesvitsky nu s-a putut abține să râdă.
Kutuzov se întoarse. Era evident că ofițerul își putea stăpâni fața așa cum dorea: în momentul în care Kutuzov s-a întors, ofițerul a reușit să facă o grimasă, iar după aceea să capete expresia cea mai serioasă, respectuoasă și inocentă.
A treia companie a fost ultima și se gândi Kutuzov, amintindu-și aparent ceva. Printul Andrei a iesit din suita si a spus linistit in franceza:
- Ai ordonat să-ți amintești de Dolokhov retrogradat din acest regiment.
- Unde este Dolokhov? întrebă Kutuzov.
Dolokhov, îmbrăcat deja într-un pardesiu gri de soldat, nu a așteptat să fie chemat. Silueta zveltă a unui soldat blond cu ochi albaștri limpezi ieși din față. S-a apropiat de comandantul șef și a făcut gardă.
- Revendicare? - Încruntându-se ușor, întrebă Kutuzov.
„Acesta este Dolokhov”, a spus prințul Andrei.
- A! spuse Kutuzov. – Sper că această lecție vă va corecta, serviți bine. Împăratul este milostiv. Și nu te voi uita dacă meriți.
Ochi albaștri limpezi îl priveau pe comandantul șef la fel de îndrăzneț ca și cum îl priveau pe comandantul regimentului, de parcă prin expresia lor ar fi smuls vălul convenționalității care despărțea atât de departe comandantul șef de soldat.
— Vă întreb un lucru, Excelență, spuse el cu vocea lui rezonantă, fermă și negrabită. „Îți cer să-mi dai șansa de a-mi despăgubi vina și de a-mi dovedi devotamentul față de împărat și Rusia.
Kutuzov se întoarse. Același zâmbet al ochilor i-a fulgerat pe față ca în momentul în care s-a întors de la căpitanul Timokhin. Se întoarse și se strâmbă, de parcă ar fi vrut să exprime prin asta că tot ce i-a spus Dolokhov și tot ce putea să-i spună, știa de mult, de mult timp că toate acestea îl plictisiseră deja și că toate acestea erau deloc ce avea nevoie... Se întoarse și se îndreptă spre trăsură.
Regimentul s-a aranjat în companii și s-a îndreptat spre apartamentele alocate nu departe de Brăunau, unde spera să se încalțe, să se îmbrace și să se odihnească după tranziții grele.
- Nu te prefaci cu mine, Prokhor Ignatich? – spuse comandantul regimentului, înconjurând compania a 3-a îndreptându-se spre loc și conducând până la căpitanul Timokhin, care mergea în fața acesteia. Fața comandantului de regiment, după o revizuire fericită plecată, exprima o bucurie ireprimabilă. - Serviciul regal... nu poți... altă dată te vei tăia din față... Eu voi fi primul care își cere scuze, mă cunoști... Mulțumesc mult! Și a întins mâna către comandant.
„Scuzați-mă, generale, îndrăznesc!” – răspunse căpitanul, înroșindu-se cu nasul, zâmbind și dezvăluind cu un zâmbet lipsa celor doi dinți din față, doborâți de un cap lângă Ismael.
- Da, spune-i domnului Dolokhov că nu-l voi uita, ca să fie liniştit. Da, te rog spune-mi, am tot vrut să întreb, ce este, cum se comportă? Si totul...
„Este foarte util în serviciul său, Excelența Voastră... dar carakhterul...” a spus Timokhin.
- Și ce, care este personajul? întrebă comandantul regimentului.
„Găsește, Excelența Voastră, de zile întregi”, a spus căpitanul, „e deștept, învățat și amabil. Și asta e o fiară. În Polonia, a ucis un evreu, dacă știi, te rog...
„Ei bine, da, bine, da”, a spus comandantul regimentului, „totul trebuie regretat”. tânărîn nenorocire. Dupa toate acestea conexiuni mari… Deci tu…
„Te ascult, Excelență”, a spus Timokhin, cu un zâmbet făcând să simtă că a înțeles dorințele șefului.
- Da Da.
Comandantul regimentului l-a găsit pe Dolokhov în rânduri și și-a frânat calul.
„Înainte de primul caz, epoleți”, îi spuse el.
Dolokhov se uită în jur, nu spuse nimic și nu schimbă expresia gurii lui zâmbitoare batjocoritoare.
„Ei bine, asta e bine”, a continuat comandantul regimentului. „Oamenii iau un pahar de vodcă de la mine”, a adăugat el, pentru ca soldații să audă. - Va multumesc tuturor! Slava Domnului! - Și el, după ce a depășit o companie, a mers cu mașina la alta.
- Ei bine, el, corect, om bun; Poți sluji cu el, îi spuse subalternul Timokhin ofițerului care mergea lângă el.
- Un cuvânt, roşu!... (comandantul regimentului era supranumit regele roşu) - spuse râzând ofiţerul subaltern.
Dispoziţia fericită a autorităţilor după revizuire a trecut la soldaţi. Rota se distra. Vocile soldaților vorbeau din toate părțile.
- Cum au spus, Kutuzov strâmb, despre un ochi?
- Dar nu! Total strâmb.
- Nu... frate, cu ochi mai mari decât tine. Cizme și gulere - am privit totul în jur...
- Cum se uită el, fratele meu, la picioarele mele... ei bine! gândi…
- Iar celălalt e austriac, era cu el, parcă mânjit cu cretă. Ca făina, albă. Sunt ceai, cum se curăță muniția!
- Ce, Fedeshow!... spuse el, poate, când încep gărzile, ai stat mai aproape? Au spus totul, Bunaparte însuși stă în Brunov.
- Bunaparte stă în picioare! minti, prostule! Ce nu stie! Acum prusacul este în revoltă. Austriacul, așadar, îl liniștește. De îndată ce se împacă, atunci războiul se va deschide cu Bounaparte. Și atunci, zice, în Brunov, Bunaparte stă în picioare! Este evident că e un idiot. Ascultă mai mult.
„Uite, naibii de chiriași! A cincea companie, uite, se transformă deja în sat, vor găti terci și nu vom ajunge încă la locul.
- Dă-mi un biscuit, la naiba.
— Ai dat tutun ieri? Asta e, frate. Ei bine, Dumnezeu este cu tine.
- Dacă s-au oprit, altfel nu vei mânca încă cinci mile de proprem.
- A fost frumos cum ne-au dat nemții cărucioare. Du-te, știi: este important!
- Și iată, frate, oamenii s-au înnebunit complet. Acolo totul părea a fi polonez, totul era din coroana rusă; iar acum, frate, un german solid a plecat.
- Compozitorii înainte! - Am auzit strigătul căpitanului.
Și douăzeci de oameni au fugit în fața companiei din diferite grade. Toboșarul cântă întoarse cu fața cărților de cântece și, făcându-și mâna, a cântat un cântec de soldat întins, începând: „Nu-i așa că răsare soarele...” și terminând cu cuvintele: „ Asta, fraților, va fi glorie pentru noi cu tatăl lui Kamensky...” Acest cântec a fost compus în Turcia și acum a fost cântat în Austria, doar cu schimbarea că cuvintele „tatăl lui Kutuzov” au fost introduse în locul „tatălui lui Kamensky”.
Smulgând aceste ultime cuvinte ca un soldat și fluturând brațele de parcă ar arunca ceva la pământ, toboșarul, un soldat uscat și chipeș de vreo patruzeci de ani, s-a uitat cu severitate în jur la soldații compozitorilor și a închis ochii. Apoi, asigurându-se că toate privirile erau ațintite asupra lui, păru că ridică cu grijă cu ambele mâini un lucru invizibil și prețios deasupra capului său, îl ținu așa câteva secunde și îl aruncă deodată cu disperare:
O, tu, baldachinul meu, baldachinul meu!
„Canopy my new...”, s-au ridicat douăzeci de voci, iar spoonmanul, în ciuda greutății muniției, a sărit vioi înainte și a mers înapoi în fața companiei, mișcându-și umerii și amenințând pe cineva cu linguri. Soldații, legănându-și brațele în ritmul cântecului, mergeau cu un pas încăpător, lovind involuntar piciorul. În spatele companiei se auzea zgomotele roților, zgomotul arcurilor și zgomotul cailor.
Kutuzov cu alaiul său se întorcea în oraș. Comandantul șef a făcut semn că oamenii trebuie să continue să meargă în voie, iar pe chipul lui și pe toate fețele alaiului i s-a exprimat plăcere la sunetul cântecului, la vederea soldatului care dansează și a celui vesel și vioi. soldații de marș ai companiei. În al doilea rând, din flancul drept, din care trăsura a depășit companiile, a atras involuntar în ochi un soldat cu ochi albaștri, Dolokhov, care a mers deosebit de vioi și grațios în ritmul cântecului și a privit chipurile trecători cu o asemenea expresie de parcă i-ar fi milă de toți cei care nu mergeau în acest moment cu o companie. Un cornet de husar din alaiul lui Kutuzov, mimându-l pe comandantul regimentului, a rămas în urmă trăsurii și s-a dus până la Dolokhov.
Husarul cornet Jherkov, la un moment dat, la Sankt Petersburg a aparținut acelei societăți violente conduse de Dolokhov. Jherkov l-a întâlnit pe Dolokhov în străinătate ca soldat, dar nu a considerat necesar să-l recunoască. Acum, după conversația lui Kutuzov cu cel retrogradat, s-a întors către el cu bucuria unui vechi prieten:
- Dragă prietene, ce mai faci? – spuse el la auzul cântecului, egalând pasul calului său cu pasul companiei.
- Sunt ca? - răspunse Dolohov rece, - după cum vezi.
Cântecul plin de viață acorda o importanță deosebită tonului de veselie obraznică cu care vorbea Jherkov și răcelii deliberate a răspunsurilor lui Dolokhov.
- Deci, cum vă înțelegeți cu autoritățile? întrebă Jherkov.
- Nimic, oameni buni. Cum ai intrat în sediu?
- Detaşat, sunt de serviciu.
Au tăcut.
„Am lăsat șoimul din mâneca mea dreaptă”, a spus cântecul, stârnind involuntar un sentiment vesel, vesel. Conversația lor ar fi fost probabil diferită dacă nu ar fi vorbit la sunetul unui cântec.
- Ce este adevărat, austriecii au fost bătuţi? întrebă Dolokhov.
„Diavolul știe, spun ei.
„Mă bucur”, a răspuns Dolokhov scurt și clar, așa cum cerea cântecul.
- Ei bine, vino la noi când seara, faraonul va amanet, - a spus Jherkov.
Sau ai multi bani?
- Vino.
- Este interzis. A făcut un jurământ. Nu beau și nu mă joc până nu se termină.
Ei bine, înainte de primul lucru...
- O să vezi acolo.
Din nou au tăcut.
„Intră, dacă ai nevoie de ceva, toți cei de la sediu te vor ajuta...”, a spus Jherkov.
Dolohov chicoti.
„Ar fi bine să nu-ți faci griji. Ce am nevoie, nu o să întreb, o să-mi iau eu.
„Da, bine, sunt atât de...
- Ei bine, la fel sunt.
- La revedere.
- Fii sănătos…
... și sus și departe,
Pe partea gazdă...
Jherkov și-a atins calul cu pintenii, care de trei ori, emoționat, a dat cu piciorul, neștiind de unde să înceapă, a făcut față și a galopat, depășind compania și ajungând din urmă trăsura, tot în timp cu cântecul.

Revenind de la revizuire, Kutuzov, însoțit de generalul austriac, s-a dus la biroul său și, chemându-l pe adjutant, a poruncit să-și dea niște hârtii referitoare la starea trupelor sosite și scrisori primite de la arhiducele Ferdinand, care comanda armata de avans. . Prințul Andrei Bolkonsky cu actele necesare a intrat în biroul comandantului șef. În fața planului așezat pe masă stăteau Kutuzov și un membru austriac al Hofkriegsrat-ului.
— Ah... spuse Kutuzov, uitându-se înapoi la Bolkonsky, ca și cum prin acest cuvânt l-ar fi invitat pe adjutant să aștepte, și a continuat conversația începută în franceză.
„Spun doar un lucru, domnule general”, a spus Kutuzov cu o grație plăcută a expresiei și a intonației, forțând pe cineva să asculte fiecare cuvânt rostit pe îndelete. Era evident că Kutuzov se asculta cu plăcere. - Un singur lucru spun, domnule general, că dacă problema ar depinde de dorința mea personală, atunci voința Majestății Sale împăratului Franz s-ar fi împlinit de mult. M-aș fi alăturat Arhiducelui de mult. Și credeți onoarea mea, că pentru mine personal să transfer comanda superioară a armatei mai mult decât sunt unui general priceput și priceput, cum ar fi Austria este atât de abundent, și să-mi depun toată această grea responsabilitate pentru mine personal ar fi o bucurie. . Dar circumstanțele sunt mai puternice decât noi, generale.
Și Kutuzov a zâmbit cu o asemenea expresie de parcă ar fi spus: „Ai tot dreptul să nu mă crezi și nici măcar mie nu-mi pasă dacă mă crezi sau nu, dar nu ai de ce să-mi spui asta. Și asta este ideea.”
Generalul austriac părea nemulțumit, dar nu a putut să-i răspundă lui Kutuzov pe același ton.
„Dimpotrivă”, a spus el pe un ton morocănos și supărat, atât de contrar sensului măgulitor al cuvintelor rostite, „dimpotrivă, participarea Excelenței Voastre la cauza comună este foarte apreciată de Majestatea Sa; dar credem că o adevărată încetinire îi privează pe glorioasele trupe rusești și pe comandanții lor de acei lauri pe care sunt obișnuiți să-i culeagă în luptă ”, a încheiat el fraza aparent pregătită.
Kutuzov se înclină fără să-și schimbe zâmbetul.
- Și sunt atât de convins și, pe baza ultimei scrisori pe care Alteța Sa Arhiducele Ferdinand mi-a onorat-o, presupun că trupele austriece, sub comanda unui asistent atât de priceput precum generalul Mack, au câștigat deja o victorie decisivă și nu mai am nevoie de ajutorul nostru, - a spus Kutuzov.
Generalul se încruntă. Deși nu au existat vești pozitive despre înfrângerea austriecilor, au fost prea multe împrejurări care au confirmat zvonurile generale nefavorabile; și de aceea presupunerea lui Kutuzov despre victoria austriecilor era foarte asemănătoare cu o batjocură. Dar Kutuzov a zâmbit blând, toți cu aceeași expresie care spunea că are dreptul să-și asume asta. Într-adevăr, ultima scrisoare pe care a primit-o de la armata lui Mack l-a informat despre victoria și cea mai avantajoasă poziție strategică a armatei.
„Dă-mi această scrisoare aici”, a spus Kutuzov, întorcându-se către prințul Andrei. - Aici ești, dacă vrei să-l vezi. - Iar Kutuzov, cu un zâmbet batjocoritor pe vârfurile buzelor, a citit următorul pasaj din scrisoarea arhiducelui Ferdinand de la generalul germano-austriac: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu know. Wir know, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte worsill ganzer Machtabald sewenden mitin auch jeden Augenblick. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient.” [Avem o forță complet concentrată, aproximativ 70.000 de oameni, astfel încât să putem ataca și învinge inamicul dacă trece Lech. Deoarece deținem deja Ulm, putem păstra avantajul de a comanda ambele maluri ale Dunării, prin urmare, în fiecare minut, dacă inamicul nu trece Lech, trece Dunărea, se grăbește la linia lui de comunicație, trece Dunărea mai jos și inamicul. , dacă se hotărăște să-și îndrepte toată puterea asupra aliaților noștri credincioși, pentru a preveni împlinirea intenției sale. Astfel, vom aștepta cu bucurie momentul în care imperialul armata rusă complet gata, iar apoi împreună putem găsi cu ușurință o oportunitate de a pregăti soarta inamicului, pe care o merită.

Golovizin V.V. Prelegeri despre algebră și geometrie. patru

Prelegeri despre algebră și geometrie. Semestrul 2.

Cursul 22. Spații vectoriale.

Rezumat: definiția unui spațiu vectorial, proprietățile sale cele mai simple, sisteme de vectori, combinație liniară a unui sistem de vectori, combinație liniară trivială și netrivială, sisteme de vectori dependente și independente liniar, condiții dependență liniară sau independența unui sistem de vectori, un subsistem al unui sistem de vectori, un sistem de coloane ale unui spațiu vectorial aritmetic.

elementul 1. Definirea unui spațiu vectorial și proprietățile sale cele mai simple.

Aici, pentru comoditatea cititorului, repetăm conținutul paragrafului 13 al prelegerii 1.

Definiție. Fie o mulțime arbitrară nevidă, ale cărei elemente le vom numi vectori, K este un câmp, ale cărui elemente le vom numi scalari. Să fie definită pe mulțime o operație algebrică binară internă, pe care o vom nota cu semnul + și o vom numi adunare de vectori. Să fie definită și o operație algebrică binară externă pe mulțime, pe care o vom numi înmulțirea unui vector cu un scalar și o vom nota prin semnul înmulțirii. Cu alte cuvinte, sunt definite două mapări:

O mulțime împreună cu aceste două operații algebrice se numește spațiu vectorial peste un câmp K dacă sunt valabile următoarele axiome:

1. Adunarea este asociativă, adică.

2. Există un vector zero, adică.

3. Pentru orice vector, există unul opus:

Vectorul y, opus vectorului x, este de obicei notat cu -x, astfel încât

4. Adunarea este comutativă, adică. .

5. Înmulțirea unui vector cu un scalar respectă legea asociativității, i.e.

unde produsul este produsul scalarilor definiți în câmpul K.

6. , unde 1 este unitatea câmpului K.

7. Înmulțirea unui vector cu un scalar este distributivă în raport cu adunarea vectorului:

8. Înmulțirea unui vector cu un scalar este distributivă în raport cu adăugarea scalarilor: .

Definiție. Spațiul vectorial de peste câmpul numerelor reale se numește spațiu vectorial real.

Teorema. (Cele mai simple proprietăți ale spațiilor vectoriale.)

1. Există un singur vector nul într-un spațiu vectorial.

2. Într-un spațiu vectorial, orice vector are un opus unic.

3. sau
.

4. .

Dovada. 1) Unicitatea vectorului zero este dovedită în același mod ca unicitatea matricei de identitate și, în general, ca unicitatea elementului neutru al oricărei operații algebrice binare interne.

Fie 0 vectorul zero al spațiului vectorial V. Atunci . Lăsa
este un alt vector zero. Apoi . Să luăm primul caz
, iar în al doilea
. Apoi
și
, de unde rezultă că
, etc.

2a) Mai întâi demonstrăm că produsul dintre un scalar zero și orice vector este egal cu un vector zero.

Lăsa
. Apoi, aplicând axiomele spațiului vectorial, obținem:

În ceea ce privește adăugarea, un spațiu vectorial este un grup abelian, iar legea anulării este valabilă în orice grup. Aplicând legea reducerii, presupune ultima egalitate

2b) Acum să demonstrăm afirmația 4). Lăsa
este un vector arbitrar. Apoi

De aici rezultă imediat că vectorul
este opusul lui x.

2c) Lasă acum
. Apoi, aplicând axiomele spațiului vectorial,
și
primim:

2d) Fie
si sa presupunem ca
. pentru că
, unde K este un câmp, atunci există
. Să înmulțim egalitatea
lasat sa
:
, de unde urmează
sau
sau
.

Teorema a fost demonstrată.

punctul 2. Exemple de spații vectoriale.

1) Un set de funcții numerice reale ale unei variabile, continue pe intervalul (0; 1) în raport cu operațiile obișnuite de adunare a funcțiilor și de înmulțire a unei funcții cu un număr.

2) Mulțimea polinoamelor dintr-o literă cu coeficienți din câmpul K în raport cu adunarea polinoamelor și înmulțirea polinoamelor cu un scalar.

3) Setați numere complexe privind adunarea numerelor complexe și înmulțirea cu un număr real.

4) Un set de matrice de aceeași dimensiune cu elemente din câmpul K în raport cu adunarea matricei și înmulțirea matricei cu un scalar.

Următorul exemplu este un caz special important al Exemplului 4.

5) Fie un număr natural arbitrar. Se notează prin mulțimea tuturor coloanelor de înălțime n, adică mulţime de matrice peste un câmp K de mărime
.

Mulțimea este un spațiu vectorial peste câmpul K și se numește spațiu vectorial aritmetic al coloanelor de înălțime n peste câmpul K.

În special, dacă în loc de un câmp arbitrar K luăm câmpul numerelor reale, atunci spațiul vectorial
se numește spațiu vectorial aritmetic real al coloanelor de înălțime n.

În mod similar, mulțimea de matrice peste un câmp K de dimensiune este, de asemenea, un spațiu vectorial
sau altfel, șiruri de lungime n. Este, de asemenea, notat cu și se mai numește spațiu vectorial aritmetic al șirurilor de lungime n peste câmpul K.

punctul 3. Sisteme de vectori ai unui spațiu vectorial.

Definiție. Un sistem de vectori ai unui spațiu vectorial este orice set finit nevid de vectori ai acestui spațiu.

Desemnare:
.

Definiție. Expresie

, (1)

unde sunt scalarii câmpului K, sunt vectorii spațiului vectorial V, se numește combinație liniară a sistemului de vectori
. Scalarii se numesc coeficienții acestei combinații liniare.

Definiție. Dacă toți coeficienții combinației liniare (1) sunt egali cu zero, atunci o astfel de combinație liniară se numește trivială, în caz contrar este netrivială.

Exemplu. Lăsa
un sistem de trei vectori într-un spaţiu vectorial V. Atunci

este o combinație liniară trivială a unui sistem dat de vectori;

este o combinație liniară netrivială a unui sistem dat de vectori, deoarece primul coeficient al acestei combinaţii
.

Definiție. Dacă orice vector x al unui spațiu vectorial V poate fi reprezentat ca:

atunci spunem că vectorul x este exprimat liniar în termeni de vectori ai sistemului
. În acest caz, mai spunem că sistemul
reprezintă liniar vectorul x.

Cometariu. În această definiție și în cea anterioară, cuvântul „liniar” este adesea omis și se spune că sistemul reprezintă un vector, sau vectorul este exprimat în termeni de vectori ai sistemului și așa mai departe.

Exemplu. Lăsa
este un sistem de două coloane în spațiul vectorial real aritmetic al coloanelor de înălțime 2. Apoi coloana
exprimat liniar în termeni de coloane ale sistemului, sau sistemul de coloane dat reprezintă liniar coloana x. Într-adevăr,

punctul 4. Sisteme liniar dependente și liniar independente de vectori într-un spațiu vectorial.

Deoarece produsul dintre un scalar zero și orice vector este un vector zero și suma vectorilor zero este egală cu un vector zero, atunci pentru orice sistem de vectori egalitatea

Rezultă că vectorul nul este exprimat liniar în termeni de vectori ai oricărui sistem de vectori sau, cu alte cuvinte, orice sistem de vectori reprezintă liniar vectorul nul.

Exemplu. Lăsa
. În acest caz coloana nulă poate fi exprimat liniar în termeni de coloane ale sistemului în mai multe moduri:

Pentru a distinge între aceste metode de reprezentare liniară a vectorului zero, introducem următoarea definiție.

Definiție. Dacă egalitatea

și toți coeficienții, atunci spunem că sistemul
reprezintă trivial vectorul nul. Dacă în egalitatea (3) cel puţin unul dintre coeficienţi
nu este egal cu zero, atunci spunem că sistemul de vectori
reprezintă vectorul nul într-un mod netrivial.

Din ultimul exemplu, vedem că există sisteme de vectori care pot reprezenta vectorul nul într-un mod netrivial. Din exemplul următor, vom vedea că există sisteme de vectori care nu pot reprezenta netrivial vectorul nul.

Exemplu. Lăsa
este un sistem de două coloane din spațiul vectorial . Luați în considerare egalitatea:

Unde
coeficienți necunoscuți. Folosind regulile pentru înmulțirea unei coloane cu un scalar (număr) și adăugarea coloanelor, obținem egalitatea:

Din definiţia egalităţii matriceale rezultă că
și
.

Astfel, sistemul dat nu poate reprezenta coloana nulă într-un mod netrivial.

Din exemplele de mai sus rezultă că există două tipuri de sisteme vectoriale. Unele sisteme reprezintă vectorul nul într-un mod netrivial, în timp ce altele nu. Rețineți încă o dată că orice sistem de vectori reprezintă trivial vectorul nul.

Definiție. Un sistem vectorial de spațiu vectorial care reprezintă vectorul zero NUMAI trivial se spune că este liniar independent.

Definiție. Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial care poate reprezenta în mod netrivial un vector nul se numește dependent liniar.

Ultima definiție poate fi dată într-o formă mai detaliată.

Definiție. Sistem vectorial
Spațiul vectorial V se numește dependent liniar dacă există o astfel de mulțime de scalari diferiti de zero ai câmpului K

Cometariu. Orice sistem de vectori
poate reprezenta trivial vectorul nul:

Dar acest lucru nu este suficient pentru a afla dacă un sistem dat de vectori este liniar dependent sau liniar independent. Din definiție rezultă că un sistem de vectori liniar independent nu poate reprezenta vectorul zero într-un mod netrivial, ci doar într-un mod trivial. Prin urmare, pentru a verifica independența liniară a unui sistem dat de vectori, este necesar să se ia în considerare reprezentarea zero printr-o combinație liniară arbitrară a acestui sistem de vectori:

Dacă această egalitate este imposibilă, cu condiția ca cel puțin un coeficient al acestei combinații liniare să fie diferit de zero, atunci acest sistem este, prin definiție, liniar independent.

Deci, în exemplele din paragraful anterior, sistemul de coloane
este liniar independent, iar sistemul de coloane
este dependent liniar.

Independența liniară a sistemului de coloane este dovedită în mod similar , , ... ,

din spațiul , unde K este un câmp arbitrar, n este un număr natural arbitrar.

Următoarele teoreme oferă mai multe criterii pentru dependența liniară și, în consecință, independența liniară a sistemelor de vectori.

Teorema. (O condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară a unui sistem de vectori.)

Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial este dependent liniar dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai acestui sistem.

Dovada. Nevoie. Lasă sistemul
dependent liniar. Apoi, prin definiție, reprezintă vectorul nul într-un mod netrivial, i.e. există o combinație liniară netrivială a acestui sistem de vectori egală cu vectorul zero:

unde cel puțin unul dintre coeficienții acestei combinații liniare nu este egal cu zero. Lăsa
,
.

Împărțiți ambele părți ale egalității anterioare la acest coeficient diferit de zero (adică, înmulțiți cu :

Denota:
, Unde .

acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem etc.

Adecvarea. Fie ca unul dintre vectorii sistemului să fie exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem:

Să mutăm vectorul în partea dreaptă a acestei ecuații:

Deoarece coeficientul la vector egală
, atunci avem o reprezentare netrivială a zero printr-un sistem de vectori
, ceea ce înseamnă că acest sistem de vectori este dependent liniar etc.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă.

1. Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.

2. Un sistem de vectori care conțin un vector zero sau doi vectori egali este dependent liniar.

Dovada.

1) Necesitatea. Fie sistemul liniar independent. Presupunem contrariul și există un vector sistem care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem. Apoi, după teoremă, sistemul este dependent liniar și ajungem la o contradicție.

Adecvarea. Niciunul dintre vectorii sistemului nu fie exprimat în termenii altora. Să presupunem contrariul. Fie ca sistemul să fie dependent liniar, dar din teoremă rezultă că există un vector sistem care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem și ajungem din nou la o contradicție.

2a) Fie ca sistemul să conțină un vector zero. Presupunem pentru certitudine că vectorul
:. Apoi egalitatea

acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai acestui sistem. Din teoremă rezultă că un astfel de sistem de vectori este dependent liniar, așa mai departe.

Rețineți că acest fapt poate fi demonstrat direct din definiția unui sistem de vectori dependent liniar.

pentru că
, atunci următoarea egalitate este evidentă

Aceasta este o reprezentare non-trivială a vectorului zero, ceea ce înseamnă că sistemul
este dependent liniar.

2b) Fie ca sistemul să aibă doi vectori egali. Lăsați pentru certitudine
. Apoi egalitatea

Acestea. primul vector este exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai aceluiași sistem. Din teoremă rezultă că sistemul dat este dependent liniar și așa mai departe.

Similar cu cea precedentă, această aserțiune poate fi demonstrată și direct din definiția unui sistem dependent liniar.

Într-adevăr, din moment ce
, apoi egalitatea

acestea. avem o reprezentare netrivială a vectorului nul.

Consecința este dovedită.

Teorema (Despre dependența liniară a unui sistem de un vector.

Un sistem format dintr-un vector este dependent liniar dacă și numai dacă acest vector este zero.

Dovada.

Nevoie. Lasă sistemul
dependent liniar, adică există o reprezentare netrivială a vectorului nul

Unde
și
. Din cele mai simple proprietăți ale unui spațiu vectorial rezultă că atunci
.

Adecvarea. Fie că sistemul este format dintr-un vector zero
. Atunci acest sistem reprezintă vectorul zero în mod netrivial

de unde urmează dependenţa liniară a sistemului
.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă. Un sistem format dintr-un vector este liniar independent dacă și numai dacă acest vector este diferit de zero.

Dovada este lăsată cititorului ca exercițiu.

Fie V o mulțime nevidă ale cărei elemente le vom numi vectori și vor fi notate cu... și așa mai departe. Să fie date și determinate într-un fel două operații pe V. Prima operație este o operație aditivă binară (sau, aproximativ vorbind, o operație de adunare). Această operație va fi notată prin semnul + (totuși, nu este necesar ca această operație să fie definită 100% în același mod în care este definită operația de adunare pentru numere obișnuite, nu studiem acum numere, ci vectori, deci această operație de adunare vectorială poate fi notat și de unii cu semnul său special, de exemplu: ().A doua operație este înmulțirea unui vector cu un element? al unei astfel de mulțimi, care este un câmp, în urma căruia o nouă se obtine vectorul (). Elementele campului se mai numesc si scalari.(Cui ii este prea lene sa se uite la ce un astfel de camp, voi spune ca multimea numerelor reale sau si complexe poate servi drept exemple de campuri algebrice.) (4)

Deci, să formulăm axiomele spațiului vectorial. (3)

1. a) suma oricăror două elemente ale lui V și b) produsul unui scalar și un element arbitrar al lui V sunt unele elemente ale lui V (vectori).

2. adăugarea oricăror trei elemente din V respectă legea combinației (sau, după cum se spune, adunarea vectorială este asociativă):

3. adăugarea oricăror două elemente din V respectă legea comutativă (adunarea vectorială este comutativă): .

4. există un astfel de element din V (vector zero) încât pentru orice.

5. pentru orice element din V există un element din V a cărui sumă cu elementul inițial este egală, adică. (.

Pentru orice scalari (numere)? și? și pentru oricare doi vectori din V

subspațiu vectorial

Un subspațiu vectorial, sau pur și simplu un subspațiu, un spațiu vectorial E peste un câmp K este o mulțime care este închisă sub operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar. Un subspațiu considerat separat de spațiul care îl conține este un spațiu vectorial peste același câmp. (5)

O dreaptă care trece prin două puncte x și y ale spațiului vectorial E este o mulțime de elemente de forma ??. O mulțime G se numește multime plată dacă, împreună cu oricare două, conține o dreaptă care trece prin aceste puncte. Fiecare set plat este obținut dintr-un subspațiu folosind o deplasare ( transfer paralel): G=x+F, aceasta înseamnă că fiecare element al lui z poate fi reprezentat în mod unic ca y , iar egalitatea oferă o corespondență unu-la-unu între F și G.

Mulțimea tuturor deplasărilor unui subspațiu dat F formează un spațiu vectorial peste K, se numește spațiu coeficient E/F, dacă determinantul operației este următorul:

Fie M = o mulțime arbitrară de vectori E; o combinație liniară de vectori este un vector x definit de formulă

în care doar un număr finit de coeficienți sunt nenuli. Mulțimea tuturor combinațiilor liniare de vectori ai unei mulțimi date M este cel mai mic subspațiu care conține M și se numește înveliș liniar mulţimile M. O combinaţie liniară se numeşte trivială dacă toţi coeficienţii sunt egali cu zero. O mulțime M se numește o mulțime dependentă liniar dacă toate combinațiile liniare netriviale de vectori din M sunt nenule.

În teoria spaţiilor vectoriale reale şi complexe rol important joaca teoria multimilor convexe. O mulțime M într-un spațiu vectorial real se numește mulțime convexă dacă, împreună cu oricare dintre punctele sale x, y, segmentul aparține și lui M.

Un loc mare în teoria spațiilor vectoriale este ocupat de teoria funcționalelor liniare pe un spațiu vectorial și teoria aferentă dualității. Fie E un spațiu vectorial peste un câmp K. O funcțională liniară pe E este o mapare aditivă și omogenă, iar E este un spațiu vectorial peste un câmp K. O funcțională liniară pe E este o mapare aditivă și omogenă

Mulțimea tuturor funcționalelor liniare de pe E formează un spațiu vectorial peste câmpul K în raport cu operațiile

Acest spațiu vectorial se numește spațiu dual (sau dual) (la E). O serie de termeni geometrici sunt asociați cu conceptul de spațiu dual. Fie D?E (respectiv, mulțimea Г) să fie numită mulțime

(respectiv); aici și sunt subspații ale spațiilor și, respectiv, E. Dacă f este un element diferit de zero, atunci ( f) este un subspațiu liniar propriu maximal al lui E, numit uneori hipersubspațiu; deplasarea unui astfel de subspațiu se numește hiperplan în E; fiecare hiperplan are forma

{x: f(x)=??), Unde f? 0, f, LA.

O submulțime se numește submulțime totală peste E dacă anihilatorul său conține doar elementul zero =(0).

Fiecare mulțime liniar independentă poate fi asociată cu o submulțime conjugată, adică. un set astfel încât (simbolul Kronecker) pentru toți. Setul de perechi se numește sistem biortogonal. Dacă o mulțime este o bază în E, atunci este total peste E.

Un loc semnificativ în teoria spațiilor vectoriale îl ocupă teoria transformări liniare spațiu vectorial. Fie două spații vectoriale peste același câmp K. O mapare liniară, sau un operator liniar, T, care mapare un spațiu vectorial într-un spațiu vectorial (sau un operator liniar din a.

Două spații vectoriale și se numesc spații vectoriale izomorfe dacă există operator liniar(„izomorfism”), realizând o corespondență unu-la-unu între elementele lor și.

Teoria mapărilor biliniare și a mapărilor multiliniare ale unui spațiu vectorial este strâns legată de teoria mapărilor liniare ale unui spațiu vectorial.

Un grup important de probleme din teoria spațiului vectorial este format din problemele de extensie a mapărilor liniare. Fie F un subspațiu al unui spațiu vectorial - un spațiu liniar peste același câmp ca și fie - o mapare liniară a lui F în; este necesar să se găsească o extensie T a unei mapări care este definită pe tot și este o mapare liniară la. O astfel de extensie există întotdeauna, dar restricții suplimentare asupra funcțiilor (asociate cu structuri suplimentare în spațiul vectorial, cum ar fi topologia sau relațiile de ordine) pot face problema de nerezolvat. Exemple de rezolvare a problemei continuării sunt teorema Hahn-Banach și teoremele privind continuarea funcționalelor pozitive în spații cu con.

O ramură importantă a teoriei spațiilor vectoriale este teoria operațiilor asupra spațiilor vectoriale, i.e. modalităţi de a construi noi spaţii vectoriale din cele cunoscute. Exemple de astfel de operații sunt operațiunile binecunoscute de luare a unui subspațiu și formare a unui spațiu coeficient dintr-un subspațiu. Alte operații importante sunt construirea sumei directe, a produsului direct și a produsului tensor al unui spațiu vectorial.

vector(sau liniar) spaţiu- o structură matematică, care este un ansamblu de elemente, numite vectori, pentru care se definesc operațiile de adunare între ele și de înmulțire cu un număr - un scalar.

1) X+y=y+x ( comutativitatea adunării)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( asociativitatea adițională)

3) există un astfel de element 0єV încât x+0=x

4) pentru orice x єV există un astfel de element - x єV , încât x+(-x)=0? numit vector, opus vector x.

5) α(βx)= (αβ)x ( asociativitatea înmulțirii cu un scalar)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) Vectori liberi în spațiul R 3

2) Matrici de dimensiune nxm

3) Mulțimea tuturor polinoamelor al căror grad nu depășește n

4) Exemple de spațiu liniar sunt:

5) - spațiul numerelor reale.

6) este mulțimea vectorilor geometrici de pe plan.

7) - spatiu de matrice de dimensiune fixa.

8) - spaţiul soluţiilor de omogene sisteme liniare si etc.

Definiții de bază

Vector N-dimensional se numește șir de n numere. Aceste numere sunt numite coordonate vector. Se numește numărul de coordonate ale vectorului n dimensiune vector.

Puteți adăuga doar vectori de aceeași dimensiune.

Vectorii sunt egali dacă au aceeași dimensiune și coordonatele lor corespunzătoare sunt egale.

Orice vector n-dimensional A poate fi înmulțiți cu orice numărλ, în timp ce toate coordonatele sale sunt înmulțite cu acest număr:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Se pot adăuga doi vectori de aceeași dimensiune și se adaugă coordonatele lor corespunzătoare:

Ce este o combinație liniară de vectori?

Combinație liniară de vectori a1,a2,…,an numită o expresie ca:

Unde a1,a2,…,an - numere arbitrare

Ce vectori sunt numiți liniar dependenți (independenți)?

Vectori nenuli a1,a2,…,an numit dependent liniar, dacă o combinație liniară netrivială a acestor vectori este egală cu vectorul zero:

Vectori nenuli a1,a2,…,an numit liniar independent, cu excepția cazului în care combinația liniară trivială a acestor vectori este egală cu vectorul nul.

Exemple liniare nu vectori dependenți

Cum se rezolvă problema dependenței liniare a vectorilor?

Teorema 1. Pentru ca un sistem de vectori să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca cel puțin unul dintre ei să fie reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți.

Teorema 2.Într-un spațiu n-dimensional, orice sistem care conține mai mult de n vectori este dependent liniar.

Teorema 3.Dacă determinantul, compus din coordonatele vectorilor, este diferit de zero, atunci sistemul de vectori este liniar independent. Dacă aceste teoreme nu răspund la întrebarea dependenței liniare sau a independenței vectorilor, atunci este necesar să se rezolve sistemul de ecuații în raport cu , sau să se determine rangul sistemului de vectori.

Care este raportul dintre coordonatele a doi vectori dependenți liniar?

Dați un exemplu de doi vectori dependenți liniar

: Vectori și sunt coliniari atunci când există un astfel de număr , care este egalitatea:
.

Definirea bazei unui spațiu liniar

O mulțime de n elemente liniar independente într-un spațiu de dimensiune n se numește bază a acestui spațiu.

Determinarea dimensiunii unui spațiu liniar.

Definiție 3.1. spațiu liniar R se numește n-dimensional dacă conține n elemente liniar independente și orice ( n+1) elementele sunt deja dependente liniar. În același timp, numărul n se numește dimensiunea spațiului R.

Dimensiunea spațiului este notă cu simbolul dim.

Definiție 3.2. spațiu liniar R se numește infinit-dimensional dacă conține orice număr de elemente liniar independente.

Teorema 3.4. Lăsați spațiul liniar R are o bază constând din n elemente. Apoi dimensiunea R este egal cu n(dim R=n).

Conceptul de spațiu n-dimensional

Un spațiu liniar V se numește spațiu n-dimensional dacă conține un sistem de n elemente liniar independente și orice n+1 elemente sunt dependente liniar.

Formule care conectează vectorii bazelor vechi și noi