Următoarele oferă câteva criterii pentru dependența liniară și în consecință independență liniară sisteme vectoriale.

Teorema. (obligatoriu și condiție suficientă dependența liniară a vectorilor.)

Un sistem de vectori este dependent dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți ai acestui sistem.

Dovada. Nevoie. Fie ca sistemul să fie dependent liniar. Apoi, prin definiție, reprezintă vectorul nul într-un mod netrivial, i.e. există o combinație non-trivială a acestui sistem de vectori egală cu vectorul zero:

unde cel puțin unul dintre coeficienții acestei combinații liniare nu este egal cu zero. Lasa , .

Împărțiți ambele părți ale egalității anterioare la acest coeficient diferit de zero (adică înmulțiți cu:

Notați: , unde .

acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți ai acestui sistem etc.

Adecvarea. Fie ca unul dintre vectorii sistemului să fie exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem:

Să mutăm vectorul la dreapta acestei egalități:

Deoarece coeficientul vectorului este , atunci avem o reprezentare netrivială a zero de către sistemul de vectori , ceea ce înseamnă că acest sistem de vectori este dependent liniar etc.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă.

1. Sistem de vectori spațiu vectorial este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.

2. Un sistem de vectori care conțin un vector zero sau doi vectori egali este dependent liniar.

Dovada.

1) Necesitatea. Fie sistemul liniar independent. Presupunem contrariul și există un vector sistem care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem. Apoi, după teoremă, sistemul este dependent liniar și ajungem la o contradicție.

Adecvarea. Niciunul dintre vectorii sistemului nu fie exprimat în termenii altora. Să presupunem contrariul. Fie ca sistemul să fie dependent liniar, dar din teoremă rezultă că există un vector sistem care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem și ajungem din nou la o contradicție.

2a) Fie ca sistemul să conțină un vector zero. Presupunem pentru certitudine că vectorul :. Apoi egalitatea

acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai acestui sistem. Din teoremă rezultă că un astfel de sistem de vectori este dependent liniar, așa mai departe.

Rețineți că acest fapt poate fi demonstrat direct dintr-un sistem de vectori dependent liniar.

Deoarece , următoarea egalitate este evidentă

Aceasta este o reprezentare non-trivială a vectorului zero, ceea ce înseamnă că sistemul este dependent liniar.

2b) Fie ca sistemul să aibă doi vectori egali. Lasă pentru . Apoi egalitatea

Acestea. primul vector este exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai aceluiași sistem. Din teoremă rezultă că acest sistem dependente liniar etc.

Similar cu cea precedentă, această aserțiune poate fi demonstrată și direct din definiția unui sistem dependent liniar.Atunci acest sistem reprezintă vectorul zero în mod netrivial.

de unde urmează dependenţa liniară a sistemului .

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă. Un sistem format dintr-un vector este liniar independent dacă și numai dacă acest vector este diferit de zero.

3.3. Independența liniară a vectorilor. Bază.

Liniar combinaţie sisteme vectoriale

numit vector

unde a 1 , a 2 , ..., a n - numere arbitrare.

Dacă tot un i = 0, atunci se numește combinația liniară banal . În acest caz, evident

Definiția 5.

Dacă pentru un sistem de vectori există o combinație liniară non-trivială (cel puțin una a i ¹ 0) egal cu vectorul zero: atunci se numeste sistemul de vectori liniar dependent. Dacă egalitatea (1) este posibilă numai dacă toate un i =0, atunci sistemul de vectori se numește liniar independent .

Teorema 2 (Condiții de dependență liniară).

Definiția 6.

Din teorema 3 rezultă că, dacă o bază este dată în spațiu, atunci adăugându-i un vector arbitrar, obținem liniar sistem dependent vectori. In conformitate cu Teorema 2 (1) , unul dintre ele (se poate arăta că vectorul ) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a restului:

.

Definiția 7.

Numerele numit coordonatele vectori în bază (notat

Dacă vectorii sunt considerați pe un plan, atunci baza va fi o pereche ordonată de vectori necoliniari

iar coordonatele vectorului din această bază sunt o pereche de numere:

Observația 3. Se poate arăta că pentru o bază dată, coordonatele vectorului sunt determinate în mod unic . Din aceasta, în special, rezultă că dacă vectorii sunt egali, atunci coordonatele lor corespunzătoare sunt egale și invers .

Astfel, dacă se dă o bază în spațiu, atunci fiecărui vector al spațiului îi corespunde un triplu ordonat de numere (coordonate vectoriale în această bază) și invers: fiecărui triplu de numere îi corespunde un vector.

Pe plan se stabilește o corespondență similară între vectori și perechi de numere.

Teorema 4 (Operații liniare prin coordonatele vectorilor).

Dacă într-o anumită bază Și A este un număr arbitrar, atunci în această bază

Cu alte cuvinte:

când un vector este înmulțit cu un număr, coordonatele sale sunt înmulțite cu acel număr ;

când se adaugă vectori, se adaugă coordonatele lor corespunzătoare .

Exemplul 1 . În anumite baze, vectoriiau coordonate

Arătați că vectorii formează o bază și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Vectorii formează o bază dacă nu sunt coplanari, prin urmare (conform Teorema 3(2) ) sunt liniar independente.

Prin definiție 5 aceasta înseamnă că egalitatea

posibil doar atunci cândX = y = z = 0.

Definiția 1. Un sistem de vectori se numește dependent liniar dacă unul dintre vectorii sistemului poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți vectori ai sistemului și, în caz contrar, independent liniar.

Definiția 1´. Un sistem de vectori se numește dependent liniar dacă există numere din 1 , din 2 , …, din k , nu toate egale cu zero, astfel încât combinația liniară a vectorilor cu coeficienți dați este egală cu vectorul zero: = , altfel sistemul se numește liniar independent.

Să arătăm că aceste definiții sunt echivalente.

Fie satisfăcută Definiția 1, adică unul dintre vectorii sistemului este egal cu o combinație liniară a restului:

O combinație liniară a unui sistem de vectori este egală cu un vector zero și nu toți coeficienții acestei combinații sunt egali cu zero, adică. definiția 1’ este valabilă.

Fie satisfăcută Definiția 1´. Combinația liniară a sistemului de vectori este și nu toți coeficienții combinației sunt egali cu zero, de exemplu, coeficienții vectorului.

Am prezentat unul dintre vectorii sistemului ca o combinație liniară a celorlalți, i.e. definiția 1 este îndeplinită.

Definiția 2. Se numește vectorul unitar sau ort vector n-dimensional, care i A-lea coordonată este egală cu unu, iar restul sunt zero.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorema 1. Diversi vectori unitari n-spaţiile dimensionale sunt liniar independente.

Dovada. Fie combinația liniară a acestor vectori cu coeficienți arbitrari să fie egală cu vectorul zero.

Din această egalitate rezultă că toți coeficienții sunt egali cu zero. Avem o contradicție.

Fiecare vector n-spațiul dimensional ā (dar 1 , dar 2 , ..., dar n ) poate fi reprezentat ca o combinație liniară vectori unitari cu coeficienți egali cu coordonatele vectorului

Teorema 2. Dacă sistemul de vectori conține un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.

Dovada. Fie dat un sistem de vectori și unul dintre vectori să fie zero, de exemplu = . Apoi, cu vectorii acestui sistem, este posibil să se compună o combinație liniară egală cu vectorul zero și nu toți coeficienții vor fi zero:

Prin urmare, sistemul este dependent liniar.

Teorema 3. Dacă un subsistem al unui sistem de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Dovada. Dat un sistem de vectori . Să presupunem că sistemul este dependent liniar, adică. sunt numere din 1 , din 2 , …, din r , nu toate egale cu zero, astfel încât = . Apoi

S-a dovedit că combinația liniară a vectorilor întregului sistem este egală și nu toți coeficienții acestei combinații sunt egali cu zero. Prin urmare, sistemul de vectori este dependent liniar.

Consecinţă. Dacă un sistem de vectori este independent liniar, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, independent liniar.

Dovada.

Să presupunem contrariul, adică un anumit subsistem este dependent liniar. Din teoremă rezultă că întregul sistem este dependent liniar. Am ajuns la o contradicție.

Teorema 4 (teorema lui Steinitz). Dacă fiecare dintre vectori este o combinație liniară a vectorilor și m>n, atunci sistemul de vectori este dependent liniar.

Consecinţă.În orice sistem de vectori n -dimensionali, nu pot exista mai mult de n vectori liniar independenți.

Dovada. Fiecare n vectorul -dimensional este exprimat ca o combinație liniară de n vectori unitari. Prin urmare, dacă sistemul conține m vectori şi m>n, apoi, după teoremă, acest sistem este dependent liniar.

Lasa L este spațiul liniar peste câmp R . Lasa A1, a2, ... , an (*) un sistem finit de vectori din L . Vector ÎN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un (16) chemat O combinație liniară de vectori ( *), sau spune vector ÎN exprimată liniar printr-un sistem de vectori (*).

Definiția 14. Sistemul de vectori (*) este numit dependent liniar , dacă și numai dacă există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0. Dacă a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, atunci se apelează sistemul (*) liniar independent.

Proprietăți ale dependenței și independenței liniare.

10. Dacă un sistem de vectori conține un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.

Într-adevăr, dacă în sistem (*) vectorul A1 = 0, Apoi 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Dacă un sistem de vectori conține doi vectori proporționali, atunci este dependent liniar.

Lasa A1 = L×a2. Apoi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× DAR N= 0.

30. Un sistem finit de vectori (*) pentru n ³ 2 este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți vectori ai acestui sistem.

Þ Fie (*) dependent liniar. Apoi există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 . Fără pierderea generalității, putem presupune că a1 ¹ 0. Atunci există A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× DAR N. Deci, vectorul A1 este o combinație liniară a vectorilor rămași.

Ü Fie ca unul dintre vectori (*) să fie o combinație liniară a celorlalți. Putem presupune că acesta este primul vector, adică A1 = B2 A2+ … + mld DAR N, deci (–1)× A1 + b2 A2+ … + mld DAR N= 0 , adică (*) este dependent liniar.

Cometariu. Folosind ultima proprietate, se poate defini dependența liniară și independența unui sistem infinit de vectori.

Definiția 15. Sistem vectorial A1, a2, ... , an , … (**) se numește dependent liniar, Dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a unui număr finit de alți vectori. În caz contrar, sistemul (**) este apelat liniar independent.

40. Un sistem finit de vectori este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai săi.

50. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, liniar independent.

60. Dacă un subsistem al unui sistem dat de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este, de asemenea, dependent liniar.

Să fie date două sisteme de vectori A1, a2, ... , an , … (16) și В1, в2, … , вs, … (17). Dacă fiecare vector al sistemului (16) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui număr finit de vectori ai sistemului (17), atunci spunem că sistemul (17) este exprimat liniar prin sistemul (16).

Definiția 16. Cele două sisteme de vectori se numesc echivalent , dacă fiecare dintre ele este exprimat liniar în termenii celuilalt.

Teorema 9 (teorema de bază a dependenței liniare).

Lasă și - Două sisteme de capăt vectori din L . Dacă primul sistem este liniar independent și liniar exprimat în termenii celui de-al doilea, atunci N£s.

Dovada. Să ne prefacem că N> S. Conform teoremei

(21)

Deoarece sistemul este liniar independent, egalitatea (18) w X1=x2=…=xN=0. Să substituim aici expresii ale vectorilor: …+=0 (19). Prin urmare (20). Condițiile (18), (19) și (20) sunt în mod evident echivalente. Dar (18) este satisfăcută numai atunci când X1=x2=…=xN=0. Să aflăm când egalitatea (20) este adevărată. Dacă toți coeficienții săi sunt egali cu zero, atunci este în mod evident adevărat. Echivalându-le cu zero, obținem sistemul (21). Deoarece acest sistem are zero, acesta

comun. Deoarece numărul de ecuaţii mai mult număr necunoscute, atunci sistemul are infinite de soluții. Prin urmare, are un non-zero x10, x20, …, xN0. Pentru aceste valori, egalitatea (18) va fi adevărată, ceea ce contrazice faptul că sistemul de vectori este liniar independent. Deci presupunerea noastră este greșită. Prin urmare, N£s.

Consecinţă. Dacă două sisteme echivalente de vectori sunt finite și liniar independenți, atunci ele conțin același număr de vectori.

Definiția 17. Sistemul de vectori se numește Sistemul de vectori liniar independent maxim spațiu liniar L , dacă este liniar independent, dar adăugând la acesta orice vector din L neinclus în acest sistem, acesta devine liniar dependent.

Teorema 10. Orice două sisteme maxime finite liniar independente de vectori din L Conțin același număr de vectori.

Dovada rezultă din faptul că oricare două sisteme de vectori maxime liniar independente sunt echivalente .

Este ușor de demonstrat că orice sistem liniar independent de vectori spațiali L poate fi completat până la sistemul maxim liniar independent de vectori ai acestui spațiu.

Exemple:

1. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coliniari, orice sistem format dintr-un vector diferit de zero este independent liniar maximal.

2. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coplanari, oricare doi vectori necoliniari constituie un sistem liniar independent maxim.

3. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici posibili ai spațiului euclidian tridimensional, orice sistem de trei vectori necoplanari este maximul liniar independent.

4. În mulțimea tuturor polinoamelor, gradul este cel mult N Cu coeficienți reali (complexi), un sistem de polinoame 1, x, x2, …, xn Este independent liniar maxim.

5. În mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți reali (complexi), exemple de sistem maximal independent liniar sunt

dar) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,…

6. Mulțimea matricelor de dimensiune M´ N este o spațiu liniar(verifica acest lucru). Un exemplu de sistem independent liniar maxim în acest spațiu este sistemul de matrice E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Să fie dat un sistem de vectori C1, c2, ... , cf (*). Subsistemul de vectori din (*) se numește Maxim liniar independent Subsistemul sisteme ( *) , dacă este liniar independent, dar când i se adaugă orice alt vector al acestui sistem, acesta devine liniar dependent. Dacă sistemul (*) este finit, atunci oricare dintre subsistemele sale maxime independente liniar conține același număr de vectori. (Dovada de unul singur.) Se numește numărul de vectori din subsistemul maxim liniar independent al sistemului (*) rang Acest sistem. Evident, sistemele echivalente de vectori au aceleași ranguri.

Funcțiile sunt numite liniar independent, dacă

(este permisă doar o combinație liniară trivială de funcții, care este identic egală cu zero). Spre deosebire de independența liniară a vectorilor, aici identitatea combinației liniare este zero și nu egalitatea. Acest lucru este de înțeles, deoarece egalitatea combinației liniare cu zero trebuie să fie satisfăcută pentru orice valoare a argumentului.

Funcțiile sunt numite dependent liniar, dacă există un set diferit de zero de constante (nu toate constantele sunt egale cu zero) astfel încât (există o combinație liniară netrivială de funcții care este identic egală cu zero).

Teorema.Pentru ca funcțiile să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca oricare dintre ele să fie exprimată liniar în termeni de restul (reprezentată ca combinația lor liniară).

Demonstrați singuri această teoremă, se demonstrează în același mod ca și teorema similară asupra dependenței liniare a vectorilor.

determinantul lui Vronsky.

Determinantul Wronsky pentru funcții este introdus ca un determinant ale cărui coloane sunt derivatele acestor funcții de la zero (funcțiile în sine) până la ordinul n-1.

.

Teorema. Dacă funcţiile liniar dependent, deci

Dovada. Din moment ce funcţiile sunt dependente liniar, atunci unul dintre ele este exprimat liniar în termeni de restul, de exemplu,

Identitatea poate fi diferenţiată, deci

Atunci prima coloană a determinantului Wronsky este exprimată liniar în termenii coloanelor rămase, deci determinantul Wronsky este identic egal cu zero.

Teorema.Pentru a rezolva omogenul liniar ecuație diferențială al n-lea sunt dependente liniar, este necesar și suficient ca.

Dovada. Necesitatea decurge din teorema anterioară.

Adecvarea. Să reparăm un punct. Deoarece , atunci coloanele determinantului calculat în acest punct sunt vectori dependenți liniar.

, că relațiile

Deoarece o combinație liniară de soluții ale unui liniar ecuație omogenă este soluția sa, atunci putem introduce o soluție de forma

Combinație liniară soluții cu aceiași coeficienți.

Rețineți că pentru această soluție îndeplinește condiții inițiale zero, aceasta rezultă din sistemul de ecuații scris mai sus. Dar soluția trivială a unei ecuații liniare omogene satisface și aceleași condiții inițiale zero. Prin urmare, din teorema lui Cauchy rezultă că soluția introdusă este identic egală cu cea trivială, prin urmare,

deci solutiile sunt dependente liniar.

Consecinţă.Dacă determinantul Wronsky, construit pe soluțiile unei ecuații liniare omogene, dispare cel puțin într-un punct, atunci este identic egal cu zero.

Dovada. Dacă , atunci soluțiile sunt dependente liniar, prin urmare, .

Teorema.1. Pentru dependența liniară a soluțiilor este necesar și suficient(sau ).

2. Pentru independența liniară a soluțiilor este necesar și suficient.

Dovada. Prima afirmație decurge din teorema demonstrată mai sus și din corolar. A doua afirmație se dovedește ușor prin contradicție.

Fie soluțiile liniar independente. Dacă , atunci soluțiile sunt dependente liniar. Contradicţie. Prin urmare, .

Lasa . Dacă soluțiile sunt dependente liniar, atunci , deci o contradicție. Prin urmare, soluțiile sunt liniar independente.

Consecinţă.Dispariția determinantului Wronsky cel puțin într-un punct este un criteriu pentru dependența liniară a soluțiilor unei ecuații liniare omogene.

Diferența determinantului Wronsky față de zero este un criteriu pentru independența liniară a soluțiilor unei ecuații liniare omogene.

Teorema.Dimensiunea spațiului soluțiilor unei ecuații liniare omogene de ordinul n este egală cu n.

Dovada.

a) Să arătăm că există n soluții liniar independente ale unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul al n-lea. Luați în considerare soluții , îndeplinind următoarele condiții inițiale:

...........................................................

Asemenea soluții există. Într-adevăr, prin teorema Cauchy prin punct trece singura curbă integrală - soluția. Prin punct trece soluția prin punct

- soluție, printr-un punct - solutie.

Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece .

b) Să arătăm că orice soluție a unei ecuații liniare omogene este exprimată liniar în termenii acestor soluții (este combinația lor liniară).

Să luăm în considerare două soluții. Una este o decizie arbitrară cu condiții inițiale . Raport corect