Dacă expresia este o diferenţială totală. Ecuații în diferențiale totale

Arată cum să recunoști o ecuație diferențială în diferențiale totale. Sunt prezentate metode de soluționare a acestuia. Este dat un exemplu de rezolvare a unei ecuații în diferențe totale în două moduri.

Conţinut

Introducere

O ecuație diferențială de ordinul întâi în diferențiale totale este o ecuație de forma:
(1) ,
unde partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții U (X y) pe variabilele x, y:
.
în care .

Dacă o astfel de funcție U (X y), atunci ecuația ia forma:
dU (x, y) = 0.
Integrala sa generală:
U (x, y) = C,
unde C este o constantă.

Dacă ecuația diferențială de ordinul întâi este scrisă în termenii derivatei:
,
atunci este ușor să-l aduci la formă (1) . Pentru a face acest lucru, înmulțiți ecuația cu dx. Apoi . Ca rezultat, obținem o ecuație exprimată în termeni de diferențe:
(1) .

Proprietatea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale

Pentru ca ecuația (1) este o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient ca următoarea relație să fie satisfăcută:
(2) .

Dovada

În plus, presupunem că toate funcțiile utilizate în demonstrație sunt definite și au derivate corespunzătoare într-un interval de x și y. punctul x 0, y0 aparține și acestei zone.

Să demonstrăm necesitatea condiției (2).
Lasă partea stângă a ecuației (1) este diferența unei funcții U (X y):
.
Apoi
;
.
Deoarece derivata a doua nu depinde de ordinea diferențierii, atunci
;
.
De aici rezultă că . Condiție de necesitate (2) dovedit.

Să demonstrăm suficiența condiției (2).
Lasă starea (2) :
(2) .
Să arătăm că este posibil să găsim o astfel de funcție U (X y) că diferența sa este:
.
Aceasta înseamnă că există o astfel de funcție U (X y), care satisface ecuațiile:
(3) ;
(4) .
Să găsim o astfel de funcție. Integram ecuatia (3) prin x din x 0 la x, presupunând că y este o constantă:
;
;
(5) .
Diferențiați față de y, presupunând că x este o constantă și aplicați (2) :

.
Ecuația (4) va fi executat dacă
.
Integrarea peste y de la y 0 la y:
;
;
.
Înlocuiește în (5) :
(6) .
Deci am găsit o funcție a cărei diferenţială este
.
Suficiența a fost dovedită.

În formulă (6) , U (x0, y0) este o constantă - valoarea funcției U (X y)în punctul x 0, y0. I se poate atribui orice valoare.

Cum se recunoaște o ecuație diferențială în diferențiale totale

Luați în considerare ecuația diferențială:
(1) .
Pentru a determina dacă această ecuație este în diferențe complete, trebuie să verificați condiția (2) :
(2) .
Dacă este valabil, atunci aceasta este o ecuație în diferențiale totale. Dacă nu, atunci aceasta nu este o ecuație în diferențiale totale.

Exemplu

Verificați dacă ecuația este în diferențe totale:
.

Aici
, .
Diferențierea față de y, presupunând că x este constant:

.
Diferențierea

.
Pentru că:
,
apoi ecuația dată- în diferenţiale totale.

Metode de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale în diferenţiale totale

Metoda de extracție diferențială secvenţială

Cel mai metoda simpla rezolvarea ecuaţiei în diferenţiale totale este metoda de extragere succesivă a diferenţialului. Pentru a face acest lucru, folosim formule de diferențiere scrise sub formă diferențială:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
În aceste formule, u și v sunt expresii arbitrare formate din orice combinație de variabile.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația:
.

Mai devreme am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să-l transformăm:
(P1) .
Rezolvăm ecuația evidențiind succesiv diferențiala.
;
;
;
;

.
Înlocuiește în (P1):
;
.

Metoda de integrare secvențială

În această metodă, căutăm funcția U (X y), satisfacand ecuatiile:
(3) ;
(4) .

Integram ecuatia (3) în x, presupunând că y este constant:
.
Aici φ (y) este o funcție arbitrară a lui y care trebuie definită. Este o constantă a integrării. Inlocuim in ecuatie (4) :
.
De aici:
.
Integrând, găsim φ (y) si astfel U (X y).

Exemplul 2

Rezolvați ecuația în diferențiale totale:
.

Mai devreme am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să introducem notația:
, .
Se caută funcția U (X y), a cărui diferenţială este partea stângă a ecuaţiei:
.
Apoi:
(3) ;
(4) .
Integram ecuatia (3) în x, presupunând că y este constant:
(P2)
.
Diferențierea față de y:

.
Înlocuiește în (4) :
;
.
Integram:
.
Înlocuiește în (P2):

.
Integrala generală a ecuației:
U (x, y) = const.
Combinăm două constante într-una singură.

Metoda de integrare de-a lungul unei curbe

Funcția U definită de relația:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
poate fi găsit prin integrarea acestei ecuații de-a lungul curbei care leagă punctele (x0, y0)și (X y):
(7) .
Pentru că
(8) ,
atunci integrala depinde doar de coordonatele initialei (x0, y0) si finala (X y) puncte și nu depinde de forma curbei. Din (7) și (8) găsim:
(9) .
Aici x 0 și y 0 - permanentă. Prin urmare U (x0, y0) este de asemenea constantă.

Un exemplu de astfel de definiție a lui U a fost obținut în demonstrație:
(6) .
Aici, integrarea este efectuată mai întâi de-a lungul unui segment paralel cu axa y din punct (x 0 , y 0 ) până la punctul (x0, y). Apoi integrarea se realizează de-a lungul unui segment paralel cu axa x din punct (x0, y) până la punctul (X y) .

Într-un caz mai general, trebuie să reprezentați ecuația curbei care leagă punctele (x 0 , y 0 )și (X y) sub forma parametrica:
X 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
X 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
și integrează peste t 1 de la T 0 la t.

Cea mai simplă integrare este peste segmentul care leagă punctele (x 0 , y 0 )și (X y). În acest caz:
X 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
După înlocuire, obținem integrala peste t din 0 inainte de 1 .
Aceasta metoda, duce însă la calcule destul de greoaie.

Referinte:
V.V. Stepanov, Curs ecuatii diferentiale, LKI, 2015.

Diferenţial se numește ecuație de formă

P(X y)dx + Q(X y)dy = 0 ,

unde partea stângă este diferența totală a unei funcții a două variabile.

Să notăm funcția necunoscută a două variabile (este ceea ce trebuie să găsim atunci când rezolvăm ecuații în diferențiale totale) prin Fși vom reveni la el în curând.

Primul lucru la care trebuie să acordați atenție este că trebuie să existe zero în partea dreaptă a ecuației, iar semnul care leagă cei doi termeni din partea stângă trebuie să fie un plus.

În al doilea rând, trebuie observată o oarecare egalitate, ceea ce este o confirmare că ecuația diferențială dată este o ecuație în diferențiale complete. Această verificare este o parte obligatorie a algoritmului de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale (este în al doilea paragraf al acestei lecții), deci procesul de găsire a unei funcții F destul de consumator de timp și este important în etapa inițială să ne asigurăm că nu pierdem timpul în zadar.

Deci, funcția necunoscută care trebuie găsită este notată cu F. Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Prin urmare, dacă ecuația este o ecuație în diferențe totale, partea stângă a ecuației este suma diferențialelor parțiale. Apoi, prin definiție

dF = P(X y)dx + Q(X y)dy .

Reamintim formula de calcul a diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:

Rezolvând ultimele două egalități, putem scrie

Prima egalitate este diferențiabilă în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”:

care este condiția ca ecuația diferențială dată să fie într-adevăr o ecuație în diferențiale totale.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este o ecuație în diferențe totale. Pentru expresia a fost diferenţialul total al unei anumite funcţii F(X y) , este necesar şi suficient ca . Cu alte cuvinte, trebuie să luăm derivata parțială cu privire la X iar derivata parțială în raport cu y un alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație în diferențiale totale.

Pasul 2 Scrieți sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integrați prima ecuație a sistemului - peste X (y F:

,
y.

O opțiune alternativă (dacă este mai ușor să găsiți integrala în acest fel) este să integrați a doua ecuație a sistemului - prin y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, funcția este de asemenea restabilită F:

,
de unde este o funcție necunoscută X.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) se diferențiază prin y(alternativ, de către X) și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

și, alternativ, la prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată, determinăm (într-o versiune alternativă)

Pasul 5 Rezultatul pasului 4 este integrat și găsit (alternativ găsiți).

Pasul 6Înlocuiți rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. O constantă arbitrară C scris mai des după semnul egal - în partea dreaptă a ecuației. Astfel, obținem soluția generală a ecuației diferențiale în diferențiale totale. După cum am menționat deja, are forma F(X y) = C.

Exemple de soluții ale ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Exemplul 1

Pasul 1. ecuație în diferențiale totale X un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2 F:

Pasul 3 pe X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută y.

Pasul 4 y

Pasul 5

Pasul 6 F. O constantă arbitrară C :
.

Care este cea mai probabilă eroare aici? Cele mai frecvente greșeli sunt să luați integrala parțială peste una dintre variabile pentru integrala obișnuită a produsului de funcții și să încercați să integrați prin părți sau o variabilă de înlocuire și, de asemenea, să luați derivata parțială a doi factori ca derivată a produs al funcțiilor și căutați derivata folosind formula corespunzătoare.

Acest lucru trebuie reținut: atunci când se calculează o integrală parțială față de una dintre variabile, cealaltă este o constantă și este scoasă din semnul integral, iar când se calculează o derivată parțială față de una dintre variabile, cealaltă este, de asemenea, o constantă și derivata expresiei se găsește ca o derivată a variabilei „acționante” înmulțită cu o constantă.

Printre ecuații în diferențiale totale nu neobișnuit - exemple cu un exponent. Acesta este următorul exemplu. De asemenea, se remarcă prin faptul că în soluția sa este utilizată o opțiune alternativă.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la X un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
. Aceste derivate sunt egale, deci ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2 Scriem sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integram a doua ecuatie a sistemului - peste y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută X.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) este diferențiabil în raport cu X

și echivalează cu prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5 Integram rezultatul pasului 4 si gasim:
.

Pasul 6Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. O constantă arbitrară C scrie după semnul egal. Așa obținem generalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale :
.

În exemplul următor, ne întoarcem de la alternativă la cea principală.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu X alt termen
. Aceste derivate sunt egale, deci ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2 Scriem sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integram prima ecuatie a sistemului - pe X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută y.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) este diferențiabil în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5 Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Exemplul 4 Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu X alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este o ecuație în diferențiale totale.

Pasul 2 Scriem sistemul de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3 Integram prima ecuatie a sistemului - pe X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel, restabilim funcția F:

de unde este o funcție necunoscută y.

Pasul 4 Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) este diferențiabil în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5 Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Exemplul 5 Rezolvați ecuația diferențială

Enunțarea problemei în cazul bidimensional

Recuperarea unei funcţii a mai multor variabile din diferenţialul ei total

9.1. Enunțarea problemei în cazul bidimensional. 72

9.2. Descrierea soluției. 72

Aceasta este una dintre aplicațiile integralei curbilinii de al doilea fel.

Se dă o expresie pentru diferența totală a unei funcții a două variabile:

Funcția de căutare.

1. Deoarece nu orice expresie a formei este o diferenţială totală a unei funcţii U(X,y), atunci este necesar să se verifice corectitudinea enunțului problemei, adică să se verifice condiția necesară și suficientă pentru diferența totală, care pentru o funcție de 2 variabile are forma . Această condiție rezultă din echivalența afirmațiilor (2) și (3) din teorema secțiunii precedente. Dacă condiția indicată este îndeplinită, atunci problema are o soluție, adică o funcție U(X,y) poate fi restaurat; dacă condiția nu este îndeplinită, atunci problema nu are soluție, adică funcția nu poate fi restabilită.

2. Puteți găsi o funcție după diferența sa totală, de exemplu, folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei linii care leagă un punct fix ( X 0 ,y 0) și punct variabil ( X y) (Orez. optsprezece):

Astfel, se obține că integrală curbilinie II fel din diferenţial total dU(X,y) este egală cu diferența valorile funcției U(X,y) în finală și puncte de plecare linii de integrare.

Cunoscând acum acest rezultat, trebuie să înlocuim în loc de dUîntr-o expresie integrală curbilinie și calculați integrala de-a lungul unei linii întrerupte ( ACB), ținând cont de independența acesteia față de forma liniei de integrare:

pe ( AC): pe ( SW) :

(1)

S-a obţinut astfel o formulă cu ajutorul căreia se restabileşte o funcţie de 2 variabile din diferenţialul ei total.

3. Este posibil să se restabilească o funcţie din diferenţialul ei total doar până la un termen constant, deoarece d(U+ const) = dU. Prin urmare, în urma rezolvării problemei, obținem un set de funcții care diferă între ele printr-un termen constant.

Exemple (restaurarea unei funcții a două variabile din diferența sa totală)

1. Găsiți U(X,y), dacă dU = (X 2 – y 2)dx – 2xydy.

Verificăm starea diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:

Condiţia diferenţialului total este satisfăcută, deci, funcţia U(X,y) poate fi restaurat.

Verificare: corect.

Răspuns: U(X,y) = X 3 /3 – X y 2 + C.

2. Găsiți o funcție astfel încât

Verificăm necesarul conditii suficiente diferenţial total al unei funcţii de trei variabile: , , , dacă este dată expresia.

În problema care se rezolvă

toate condițiile diferenţialului total sunt îndeplinite, prin urmare, funcția poate fi restabilită (problema este setată corect).

Vom restabili funcția folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei anumite linii care leagă un punct fix și un punct variabil, deoarece

(această egalitate este derivată în același mod ca în cazul bidimensional).

Pe de altă parte, integrala curbilinie a celui de-al doilea tip de diferenţial total nu depinde de forma liniei de integrare, deci este cel mai uşor să o calculăm de-a lungul unei linii întrerupte constând din segmente, paralel cu axele coordonate. În același timp, ca punct fix, puteți lua pur și simplu un punct cu coordonate numerice specifice, urmărind doar ca în acest punct și pe întreaga linie de integrare să fie îndeplinită condiția existenței unei integrale curbilinii (adică că funcțiile și să fie continuu). Având în vedere această remarcă, în această problemă putem lua un punct fix, de exemplu, punctul M 0 . Apoi pe fiecare dintre legăturile liniei întrerupte vom avea

10.2. Calculul integralei de suprafață de primul fel. 79

10.3. Unele aplicații ale integralei de suprafață de primul fel. 81

Definiție 8.4. Ecuația diferențială a formei

Unde
se numește ecuație diferențială totală.

Rețineți că partea stângă a unei astfel de ecuații este diferența totală a unei anumite funcții
.

În cazul general, ecuația (8.4) poate fi reprezentată ca

În loc de ecuația (8.5), se poate lua în considerare ecuația

a cărei soluție este integrala generală a ecuației (8.4). Astfel, pentru a rezolva ecuația (8.4) este necesar să găsim funcția
. În conformitate cu definiția ecuației (8.4), avem

(8.6)

Funcţie
vom căuta, ca funcție care îndeplinește una dintre aceste condiții (8.6):

Unde este o funcție arbitrară independentă de .

Funcţie
este definită astfel încât a doua condiție a expresiei (8.6) să fie îndeplinită

(8.7)

Din expresia (8.7) se determină funcția
. Înlocuindu-l în expresia pentru
și obțineți integrala generală a ecuației inițiale.

Problema 8.3. Integrarea ecuației

Aici
.

Prin urmare, această ecuație aparține tipului de ecuații diferențiale în diferențiale totale. Funcţie
vom cauta in formular

Pe de altă parte,

În unele cazuri, starea
poate să nu fie efectuată.

Apoi astfel de ecuații sunt reduse la tipul luat în considerare prin înmulțirea cu așa-numitul factor de integrare, care, în cazul general, este o funcție doar de sau .

Dacă o ecuație are un factor de integrare care depinde numai de , atunci este determinat de formula

unde este raportul ar trebui să fie doar o funcție .

În mod similar, un factor integrator depinde doar de , este determinat de formula

unde este raportul
ar trebui să fie doar o funcție .

Absența în rapoartele de mai sus, în primul caz, a variabilei , iar în al doilea - o variabilă , sunt un semn al existenței unui factor integrator pentru o ecuație dată.

Problema 8.4. Aduceți această ecuație la o ecuație în diferențiale totale.

Luați în considerare relația:

Subiectul 8.2. Ecuații diferențiale liniare

Definiție 8.5. Ecuație diferențială
se numeste liniar daca este liniar fata de functia dorita , derivatul său și nu conține produsul funcției dorite și derivata acesteia.

Forma generală a unei ecuații diferențiale liniare este reprezentată de următoarea relație:

(8.8)

Dacă în relaţia (8.8) partea dreaptă
, atunci o astfel de ecuație se numește omogenă liniară. În cazul în care partea dreaptă
, atunci o astfel de ecuație se numește liniară neomogenă.

Să arătăm că ecuația (8.8) este integrabilă în cuadraturi.

În prima etapă, considerăm o ecuație liniară omogenă.

O astfel de ecuație este o ecuație cu variabile separabile. Într-adevăr,

;

Ultima relație determină soluția generală a liniarului ecuație omogenă.

Pentru a găsi o soluție generală a unei ecuații liniare neomogene, se utilizează metoda de variație a derivatei unei constante. Ideea metodei este că soluția generală a unei ecuații liniare neomogene în aceeași formă ca soluția ecuației omogene corespunzătoare, totuși, o constantă arbitrară înlocuit cu o anumită funcție
a fi determinat. Deci avem:

(8.9)

Substituind în relația (8.8) expresiile corespunzătoare
și
, primim

Înlocuind ultima expresie în relația (8.9), se obține integrala generală a unei ecuații liniare neomogene.

Astfel, soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este determinată de două pătraturi: soluția generală a unei ecuații liniare omogene și o soluție particulară a unei ecuații liniare neomogene.

Problema 8.5. Ecuația de integrare

Astfel, ecuația originală aparține tipului de ecuații diferențiale liniare neomogene.

În prima etapă, găsim soluția generală a ecuației liniare omogene.

;

În a doua etapă, determinăm soluția generală a ecuației liniare neomogene, care se caută sub forma

Unde
este funcția care trebuie definită.

Deci avem:

Înlocuirea rapoartelor pentru și în ecuația liniară neomogenă inițială obținem:

;

Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene va arăta astfel:

În acest subiect, vom lua în considerare o metodă de restabilire a unei funcții din diferența sa totală, dăm exemple de probleme cu o analiză completă a soluției.

Se întâmplă că ecuațiile diferențiale (DE) de forma P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 pot conține diferențiale totale ale unor funcții în părțile din stânga. Atunci putem găsi integrala generală a DE dacă mai întâi restabilim funcția din diferenţialul ei total.

Exemplul 1

Se consideră ecuația P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 . Înregistrarea părții sale stângi conține diferența unei anumite funcții U(x, y) = 0. Pentru aceasta, trebuie îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Diferenţialul total al funcţiei U (x , y) = 0 are forma d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . Ținând cont de condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x, obținem:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformând prima ecuație din sistemul de ecuații rezultat, putem obține:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Putem găsi funcția φ (y) din a doua ecuație a sistemului obținut anterior:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Deci am găsit funcția dorită U (x, y) = 0.

Exemplul 2

Găsiți pentru DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 soluția generală.

Soluţie

P (x, y) \u003d x 2 - y 2, Q (x, y) \u003d - 2 x y

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Condiția noastră este îndeplinită.

Pe baza calculelor, putem concluziona că partea stângă a DE original este diferența totală a unei funcții U (x , y) = 0 . Trebuie să găsim această funcție.

Deoarece (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y este diferența totală a funcției U (x, y) = 0, atunci

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integram prima ecuatie a sistemului in raport cu x:

U (x, y) \u003d ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Acum diferențiam rezultatul față de y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Transformând a doua ecuație a sistemului, obținem: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Înseamnă că
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

unde C este o constantă arbitrară.

Obținem: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + C. Integrala generală a ecuației inițiale este x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Să analizăm o altă metodă pentru găsirea unei funcții dintr-o diferență totală cunoscută. Implica aplicarea unei integrale curbilinie de la un punct fix (x 0, y 0) la un punct cu coordonate variabile (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

În astfel de cazuri, valoarea integralei nu depinde în niciun fel de calea integrării. Putem lua o linie întreruptă ca cale de integrare, ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate.

Exemplul 3

Aflați soluția generală a ecuației diferențiale (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Soluţie

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Rezultă că partea stângă a ecuației diferențiale este reprezentată de diferența totală a unei funcții U (x, y) = 0. Pentru a găsi această funcție, este necesar să se calculeze integrala curbilinie din punct (1 ; 1) inainte de (X y). Să luăm ca cale de integrare o linie întreruptă, ale cărei secțiuni vor trece de-a lungul unei linii drepte y=1 de la punctul (1, 1) la (x, 1) și apoi de la punctul (x, 1) la (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Am obţinut soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale de forma x y - x y 2 + C = 0 .

Exemplul 4

Să se determine soluția generală a ecuației diferențiale y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Soluţie

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Deoarece ∂ (y cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x , condiția nu va fi îndeplinită. Aceasta înseamnă că partea stângă a ecuației diferențiale nu este diferența totală a funcției. Aceasta este o ecuație diferențială separabilă și alte soluții sunt potrivite pentru a o rezolva.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter