Această metodă este un reprezentant al clasei de metode aproximative

Ideea metodei este extrem de simplă și se rezumă la o procedură

aproximări pentru rezolvarea ecuaţiei integrale, la care

este dată ecuația diferențială inițială.

Să se stabilească problema Cauchy

Integram ecuatia scrisa

. (5.2)

Procedura de aproximări succesive ale metodei Picard este implementată conform următoarei scheme

, (5.3)

Exemplu . Rezolvați ecuația Picard

Rezolvarea acestei ecuații nu este exprimată în termeni de funcții elementare.

Se poate observa că pentru , seria converge rapid. Metoda este convenabilă dacă integralele pot fi luate analitic.

Să demonstrăm convergența metodei Picard. Lasă unele limitate

regiune, partea dreaptă este continuă și, în plus, satisface condiția Lipschitz față de variabilă, i.e.

unde este o constantă.

Datorită delimitării regiunii, inegalităților

Scădem formula (5.2) din (5.3), obținem pentru modulele din dreapta și din stânga

În final, folosind condiția de continuitate Lipschitz, obținem

, (5.4)

unde este eroarea soluției aproximative.

Aplicarea succesivă a formulei (5.4) la oferă următorul lanț de relații, ținând cont de faptul că

pentru că , atunci noi avem

Înlocuind cu formula Stirling, obținem în final o estimare pentru eroarea soluției aproximative

. (5.5)

Din (5.4) rezultă că pentru modulul de eroare, i.e.

soluția aproximativă converge uniform către cea exactă.

5.2.2. Metode Runge-Kutta

Aceste metode sunt numerice.

În practică, sunt utilizate metodele Runge-Kutta, oferind post-

scheme de diferențe de roi (metode) de diverse ordine de precizie. Cel mai

scheme (metode) comune de ordinul doi și al patrulea. Noi și ei

luați în considerare mai jos.

Să introducem mai întâi câteva noțiuni și definiții. plasă pe

segmentul este un set fix de puncte ale acestui segment.

Funcția definită în aceste puncte se numește funcție grilă.

Coordonatele punctelor îndeplinesc condițiile

Punctele sunt nodurile grilei. O grilă uniformă este un set de puncte

, ,

unde este distanța dintre grile.

La hotărâre ecuatii diferentiale metoda aproximativă este problema principală a convergenței. Așa cum este aplicat metodelor de diferență, conceptul de convergență pentru este în mod tradițional mai comun. Să notăm valorile funcției grilă ca fiind valorile soluției exacte a ecuației diferențiale (5.1) la nodul - (sunt valori aproximative). Convergența înseamnă următoarele. Fixăm un punct și construim un set de grile în așa fel încât (în care). Atunci se consideră că metoda numerică converge într-un punct dacă

la ,. Metoda converge pe un segment dacă acesta converge în fiecare punct. Se spune că o metodă are ordinul al treilea al preciziei dacă un număr poate fi găsit astfel încât la.

Să introducem în continuare conceptul de eroare reziduală sau de aproximare a unei ecuații diferențiale care înlocuiește o ecuație diferențială dată pe soluția ecuației originale, i.e. discrepanța este rezultatul înlocuirii soluției exacte a ecuației (5.1) în ecuația diferențelor. De exemplu, (5.1) poate fi înlocuită cu următoarea ecuație de diferență simplă

, .

Apoi discrepanța este determinată de următoarea expresie

Soluția aproximativă nu coincide, în general, cu , deci discrepanța în al-lea punct nu este egală cu zero. Se introduce următoarea definiție: metoda numerică aproximează ecuația diferențială inițială dacă , și are ordinul al treilea de precizie dacă .

Se demonstrează că ordinea acurateței metodei numerice de rezolvare a unei ecuații diferențiale coincide cu ordinea aproximării în ipoteze destul de generale.

Acum să trecem la analiza schemelor Runge-Kutta. Să ne întoarcem mai întâi la

scheme de ordinul doi de precizie.

Folosind formula Taylor, rezolvarea ecuației diferențiale

(5.1) poate fi reprezentat ca

, (5.6)

unde este indicat, ,.

Rețineți că conform (5.1) ,.

derivat după cum urmează

unde sunt cantități necunoscute. Lasa

Să notăm valoarea aproximativă a soluției la nodul cu numărul prin (această soluție se va obține după ce restrângem seria la termeni cu ordine nu mai mare decât a doua).

Parametrii introduși aici urmează a fi determinați.

Extindem partea dreaptă într-o serie Taylor și aducem termeni similari, obținem

succesiv

Condiția pentru alegerea parametrilor și stabilim proximitatea expresiei

relația (5.7) cu seria (5.6), apoi

, ,.

Un parametru rămâne liber. Să fie atunci

, ,

iar în final din (5.7), ținând cont de relațiile găsite pentru și

Relația (5.8) descrie o familie cu un parametru de formule Runge-Kutta cu doi termeni.

În literatura specială, se demonstrează că dacă este continuă și mărginită împreună cu derivatele sale secundare, atunci soluția aproximativă a schemei (5.8) converge uniform către soluția exactă cu o eroare. , adică schema (5.8) are al doilea ordin de precizie.

În practica calculelor, formulele (5.8) sunt utilizate pentru valorile parametrului ,.

Din (5.8) deducem

Aplicarea formulei (5.9) se reduce la următoarea secvență de pași:

1. Valoarea funcției este calculată aproximativ (conform schemei cu linii întrerupte)

2. Se determină panta curbei integrale în punctul ().

3. Se găsește valoarea medie a derivatei funcției la pas

4. Valoarea funcției este calculată la nodul ()-lea

Această schemă are o denumire specială „predictor-corector”.

Conform (5.8), obținem

Problema este rezolvată prin următorii pași:

1. Se calculează valoarea funcției la jumătatea nodului

2. Se determină valoarea derivatei la nod

3. Valoarea funcției se găsește în nodul ()-al-lea

Pe lângă schemele cu doi termeni considerate mai sus, schemele Runge-Kutta sunt utilizate pe scară largă în practica calculelor. al patrulea ordin precizie. Formulele corespunzătoare sunt date mai jos fără derivare.

(5.10)

Schemele cu un număr mare de membri practic nu sunt utilizate. Cinci-

formulele membre oferă al patrulea ordin de precizie, formulele cu șase termeni au ordinul al șaselea, dar forma lor este foarte complicată.

Erorile schemelor Runge-Kutta de mai sus sunt determinate de maxim

valorile derivatelor corespunzătoare.

Este ușor de obținut o estimare a erorilor pentru cazul special al dreptului

părți ale unei ecuații diferențiale

În acest caz, soluția ecuației poate fi redusă la cuadratură și

toate schemele de soluții ale diferențelor sunt convertite în formule de integrare numerică

rătăcire. De exemplu, schema (5.9) ia forma

adică are forma formulei trapezoidale, iar schema (5.10) trece în schema

care este formula lui Simpson cu pasul .

Estimările de eroare majoră pentru formulele trapezoid și Simpson sunt cunoscute (vezi Secțiunea 3.2). Din (3.4) și (3.5) se poate observa că acuratețea schemelor Runge-Kutta este destul de mare.

Alegerea uneia sau alteia dintre schemele de mai sus pentru rezolvarea unei probleme specifice

dacha este determinată de următoarele considerații. Dacă funcția în

partea dreaptă a ecuației este continuă și mărginită, precum și continuă și

derivatele sale a patra sunt limitate, atunci se obține cel mai bun rezultat

la utilizarea schemei (5.10). În cazul în care funcţia

nu are derivatele de mai sus, de ordinul limitativ (al patrulea).

schema (5.10) nu poate fi realizată și se dovedește a fi oportună

folosind scheme mai simple.

Pe lângă schemele Runge-Kutta, metodele în mai multe etape prezintă un interes practic, care pot fi descrise prin următorul sistem de ecuații

Unde , a - coeficienți numerici, ,.

Conform acestei ecuații, calculul începe cu . În acest caz, obținem o relație de formă

acestea. pentru a începe să numărați trebuie să aveți valori inițiale. Aceste valori trebuie să fie calculate printr-o altă metodă, de exemplu, metoda Runge-Kutta.

Dintre metodele cu mai multe etape, cea mai comună este metoda Adams, a cărei schemă de implementare rezultă din (5.11) cu si pentru :

Pentru , metoda Adams se dovedește a fi explicită, în timp ce pentru , este implicită.

1
18.01.2018

Formularea problemei
Diferenţial
ecuații
stabilesc legături între independente
variabilele, funcțiile dorite și acestea
derivate. Dacă funcția necesară
depinde de o variabilă, atunci
se numește ecuație diferențială
comun.

Formularea problemei
De exemplu, condiția de echilibru pentru un mediu elastic
este descris de diferenţialul obişnuit
ecuaţie:
dTx
fx 0
dx
Tx - componenta mecanica
tensiuni, F - care acționează asupra
forță medie continuă per
unitate de masă
Aici funcția dorită (mecanică
tensiune) T(x) depinde de o variabilă
x (coordonată).

Formularea problemei

Dacă funcţia dorită depinde de
variabile multiple, ecuație diferențială
va fi o ecuație cu diferență parțială.
De exemplu, mișcarea unui mediu elastic poate fi descrisă
ecuație cu diferență parțială:
2u x Tx
2
t
X
ux este deplasarea mediului, ρ este densitatea
mediu, Tx este componenta tensiunii
În această ecuație, funcția u(t,x) depinde de timp
(t) și direcția de deplasare medie (x).

Formularea problemei
Ecuații diferențiale obișnuite
(ODE) se numesc ecuații care conțin unul sau
mai multe derivate ale funcției dorite y = y(x):
F (x, y, y,..., y(n)) 0 ,
unde x este o variabilă independentă.
Cel mai mare ordin al lui n din ecuație
derivata se numeste ordinul diferentialului
ecuații.
De exemplu:
F (x, y, y ") 0 ecuație de ordinul întâi;
F (x, y, y " , y") 0 ecuație de ordinul doi

Formularea problemei
Din notaţia generală a ecuaţiei diferenţiale
derivata poate fi exprimată explicit:
y "f(x, y),
y" f(x, y, y")
Ecuația derivată are un infinit
multe solutii. Pentru a obține singurul
soluțiile trebuie să precizeze suplimentar
condiţii care trebuie îndeplinite de dorit
solutii.

Formularea problemei
În funcție de tipul de condiții
luați în considerare trei tipuri de probleme pentru care a fost dovedit
existența și unicitatea soluțiilor.
Primul tip este problemele cu initiala
conditii.
Pentru
astfel de
sarcini
cu exceptia
original
ecuație diferențială la un punct x0
trebuie specificate conditiile initiale, i.e.
valorile funcției y (x) și derivatele acesteia: y (x0) =
y0
y" (x0) = y"0 , . . . , y(n-1) (x0) = yn-10.

Formularea problemei
Al doilea tip de sarcini sunt așa-numitele
hotar, sau margine, în care
condiții suplimentare sunt date în formular
funcţional
rapoarte
între
solutiile dorite.
Al treilea tip de sarcini pentru obișnuit
ecuațiile diferențiale sunt probleme
propriile valori.

Formularea problemei
Să formulăm problema Cauchy.
Găsiți o soluție la diferența obișnuită
ecuația (ODE) de ordinul întâi, rezolvată
în raport cu derivata
y "f(x, y),
satisfăcător condiția inițială
y (x0) y0

10.

Formularea problemei
Este necesar să se găsească pe segment astfel
functie continua
y = y(x), care
satisface ecuația diferențială
y " f (x, y) și condiția inițială y (x0) y0
acestea.
a găsi
soluţie
diferenţial
ecuații. Găsirea unei astfel de soluții se numește
rezolvarea problemei Cauchy. Rezolvarea numerică a acesteia
sarcina este de a construi un tabel de aproximativ
valorile y1,y2,...,yn ale soluției ecuației y(x) în punctele
x1,x2,...,xn cu un pas h.
xi x0 i h,
i=1,2,...,n.

11.

Comun
ecuatii diferentiale
Ecuații în privat
derivate
Z Z
dy
0
2(y3)
2
2
X
y
dx
2
d y
2
2
t
1
2
z
z
dt
3 2 2 4
X
y
3
xdy=ydx
2
y'=x
2
11
2
18.01.2018

12.

Ecuații de ordinul întâi
dy
2(y3)
dx
Ecuații de ordinul doi
2
d y
t
1
2
dt
Z Z
0
2
2
X
y
2
3
xdy=ydx
Z Z
3 2 2 4
X y
2
2
y′=x
12
2
2
18.01.2018

13.

Exemplul 1. Pentru o ecuație diferențială
dy
2x
dx
y0 = 2 la x0 = 1
soluție generală: y = x2 +
DIN
2 \u003d 1 + C, adică C \u003d 1
М0 (1; 2)
13
18.01.2018

14.

Starea Lipschitz
R[ a ,b ] (| x x0 | a, | y y0 | b)
f (x, y) f (x, y) N y y
14
18.01.2018

15.

Metode pentru rezolvarea aproximativă a diferenţialului
ecuații
Metode de analiză
Metode numerice
Metoda secventiala
aproximări – metodă
Picard
metoda lui Euler și
modificari
Metoda de integrare
diferenţial
ecuații folosind
serie de puteri
Metoda Runge-Kutta
metoda extrapolării
Adams
15
18.01.2018

16.

18.01.2018

17.

Rezolvați ecuația diferențială
y′=f(x, y) prin metoda numerică –
aceasta înseamnă pentru un dat
secvențe de argumente
x0, x1,…, xn și numerele y0,
fără a defini funcția y=F(x),
găsiți astfel de valori y1, y2, …, yn,
că yi=F(xi) și F(x0)=y0.
h=xk-xk-1
18.01.2018

18.

Fie ecuația diferențială
prima comanda
y'= f (x, y)
cu starea initiala
x=x0, y(x0)=y0
b a
h
n
etapa de integrare
18.01.2018

19.

19
18.01.2018

20.

xk 1
xk 1
f (x, y) y" dx y(x)
xk
xk 1
xk
y (xk 1) y (xk) yk 1 yk
xk
adică
yk 1 yk
xk 1
f (x, y)dx
xk
18.01.2018

21.

xk 1
f (x, y)dx f (x, y) x
k
k
xk 1
xk
f (xk , yk)(xk 1 xk) y " h
xk
yk 1 yk y "k h
yk 1 yk y "k h
Denota
da 1 da da
yk h y "k
da 1 da da
18.01.2018

22.

y
h
0
x0
x1
x2
X
18.01.2018

23.

Eroare de metodă
hM
n
y (xn) y n
(1 hN) 1
2N
Unde
f (x1 , y1) f (x1 , y2) N y1 y2
df
f
f
f
M
dx
X
y
18.01.2018

24.

Exemplul 1. Rezolvați y'=y-x cu inițială
condiția x0=0, y0=1,5 pe segmentul , h=0,25
Soluţie
i
(1)
0
1
2
3
4
5
6
xi
(2)
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
yi
(3)
1.5000
1.875
2.2812
2.7265
3.226
3.7758
4.4072
yi'=yi-xi
(4)
1.5000
1.6250
1.7812
1.9765
2.2206
2.5258
yi hy
"
i
(5)
0.3750
0.4062
0.4453
0.4941
0.5552
0.6314
18.01.2018

25.

metoda Euler
Introduceți x, y, h, b
Ieșire x, y
y: y hf x, y
x:x h
+
xb
sfarsit
18.01.2018

26.

Metoda Euler îmbunătățită
yn+1 = yn + h/2
Să revenim la extinderea funcției într-o serie Taylor
o creştere a preciziei calculului se poate realiza prin menţinerea
membru care conține h2. y (t0) poate fi aproximat printr-o diferență finită:
Ținând cont de această expresie, extinderea funcției într-o serie Taylor ia forma
eroarea este de ordinul h3
18.01.2018

27.

18.01.2018

28.

O sarcină. Lasă diferența
ecuație de ordinul întâi
y'= f(x, y)
cu starea initiala
x=x0, y(x0)=y0
Găsiți o soluție la o ecuație pe un segment
yi 1 yi yi
18.01.2018

29.

k1 hf (x, y)
h
k1
k 2 hf (x, y)
2
2
h
k2
k3 hf (x, y)
2
2
k4 hf (x h, y k3)
18.01.2018

30.

1
y (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
yi 1 yi yi
18.01.2018

31.

18.01.2018

32.

Eroare de metodă Rn(h5).
18.01.2018

33.

Exemplul 1. Rezolvați diferența
ecuația y′= y-x cu inițială
condiția x0=0, y(x0)=y0=1,5 prin metoda
Runge Kutta. Calculați cu o precizie de 0,01.
Soluţie
k1(0)=(y0-x0)h=1,5000*0,25=0,3750
k2(0)
k1(0)
h
x0 h (1,5000 0,1875) 0,125 0,25 0,3906
y0
2
2
18.01.2018

34.

k3(0)
k2(0)
h
x0 h (1,5000 0,1953) 0,125 0,25 0,3926
y0
2
2
k4(0)=[(y0+k3(0))-(x0+h)]h=[(1,5000+0,3926)0,125]*0,25=0,4106
1
y0 (0,3750 2 * 0,3906 2 * 0,3926 0,4106)
6
=0,3920
y1=1,50000+0,3920=1,8920
18.01.2018

35.

18.01.2018

36.

18.01.2018

37.

Metoda Runge-Kutta pentru rezolvarea sistemelor
ecuatii diferentiale
,
y "f (x, y, z)
z
"
g
X
,
y
,
z
18.01.2018

38.

1(i)
(i)
(i)
(i)
yi (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
1(i)
(i)
(i)
(i)
zi (l1 2l2 2l3 l4)
6
, Unde
18.01.2018

39.

(i)
1
k
(i)
1
l
hf (xi, yi, zi)
hq(xi, yi, zi)
18.01.2018

40.

k
l
(i)
2
(i)
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hf (xi, yi
,zi)
2
2
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hq(xi, yi
,zi)
2
2
2
18.01.2018

41.

k
(i)
3
(i)
3
l
(i)
2
(i)
2
(i)
2
(i)
2
h
k
l
hf (xi, yi
,zi)
2
2
2
h
k
l
hq(xi, yi
,zi)
2
2
2
18.01.2018

42.

k
l
,
(i)
4
(i)
4
(i)
3
k
h
(i)
hf (xi, yi
, zi l3)
2
2
(i)
3
k
h
(i)
hq(xi, yi
, z i l3)
2
2
yi 1 yi yi
zi 1 zi zi
18.01.2018

43.

Metoda aproximărilor succesive
43
18.01.2018

44.

Prima abordare:
A doua aproximare:
A treia aproximare:
…
a n-a aproximare:
44
18.01.2018

45.

Teorema. Fie în vecinătatea punctului (x0; y0)
funcția f(x, y) este continuă și are
derivată parțială limitată f'y (x, y).
Apoi într-un interval care conține
punctul x0, secvența ( yi(x))
converge către funcția y(x) care servește
rezolvarea diferenţialului
ecuațiile y’ = f(x, y) și
satisfacerea condiției y(x0) = y0
45
18.01.2018

46.

47. Metoda Picard a aproximărilor succesive

ecuație diferențială de ordinul al n-lea
Luați în considerare ecuația diferențială a primei
Ordin
y' = f(x, y)
(1)
cu conditiile initiale
y(x0) = y0
(2).
Se presupune că într-o vecinătate a punctului
M0(x0, y0) ecuația (1) satisface condițiile teoremei
existența și unicitatea soluției.

48.

Vom construi soluția dorită y = y(x) pentru valori
x x0 .
Cazul x x0 este similar.
Integrarea părților drepte și stângi ale ecuației (1) în
între x0 și x, obținem
X
y (x) y (x0) f (x, y)dx
x0
sau în virtutea condiţiei iniţiale (2), vom avea
X
y (x) y0 f (x, y)dx
x0
(3)

49.

Deoarece funcția dorită y = y(x) este sub
semn integral, atunci ecuația (3) este
integrală.
În mod evident, soluția ecuației integrale (3)
satisface ecuația diferențială (1) și
starea inițială (2).
Pentru a găsi această soluție, aplicăm metoda
aproximări succesive.
Inlocuind in egalitate (3) functia necunoscuta y
dată fiind valoarea y0, obținem prima aproximare
X
y1 y0 f (x, y0)dx
x0

50.

În plus, înlocuind în egalitate (3) în loc de necunoscut
funcția y găsită funcția y1, vom avea a doua
apropiere
X
y2 y0 f(x, y1)dx
etc.
x0
Toate aproximările ulterioare sunt construite conform formulei
X
yn y0 f (x, yn 1)dx
(n = 1, 2, …)
x0
Geometric
consecutiv
apropiere
sunt curbele yn = yn(x) (n = 1, 2, …),
trecând prin punctul comun M0(x0, y0).

51.

y
0
x0
x x+h
X
Cometariu.
La
metodă
succesiv
aproximări ca aproximare initiala y0,
se poate alege orice funcție suficient de aproape de
solutie exacta y.
De exemplu, uneori este avantajos să luați ca y0
segmentul final al seriei Taylor al soluției dorite.

52.

Notă
ce
la
utilizare
metodă
aproximări succesive, analiticitatea dreptului
o parte a ecuației diferențiale este opțională,
Prin urmare, această metodă poate fi utilizată în cazurile în care
când
descompunere
solutii
diferenţial
ecuații în serie de puteri imposibil.
Exemplul 1. Prin metoda aproximărilor succesive
găsiți o soluție aproximativă a diferenţialului
ecuații
y' = x - y,
Satisfacerea condiției inițiale y(0) = 1.

53.

Soluţie. La fel de
se ia y0(x) = 1. Deoarece
elementar
apropiere
X
y 1 (x y)dx
0
atunci vom avea
X
x2
y1 1 (x 1)dx 1 x
2
0
În mod similar
3
x2
X
dx 1 x x 2
y2 1 x 1 x
2
6
0
X

54.

În același mod obținem
3
4
X
X
y3 1 x x 2
3 24
3
4
5
X
X
X
y4 1 x x 2
3 12 120
etc.

55. Sistem de ecuații diferențiale (metoda Picard)

Dat un sistem de ecuații diferențiale
dy
f(x, y)
dx
(4)
y(x0) y0
(5)
Unde
Scrierea ecuației vectoriale (4) în integrală
formă, vom avea

56.

X
y y0 f (x, y)dx
(6)
x0
unde sub integrala funcției vectoriale
vector înțeles
X
x0
X
f1 dx
x0
f dx
X
f n dx
x0
f1
f
f n

57.

aproximări succesive
sunt determinate de formula
X
y
(p)
y 0 f (x, y
(p1)
y (p) (p = 1, 2, …)
)dx
x0
Mai mult, de obicei se presupune
y(0)y
Această metodă este potrivită și pentru diferențial
Ecuația de ordinul n-a, dacă este scrisă sub forma
sisteme.

58.

Exemplul 2. Construiți mai multe consecutive
aproximări pentru rezolvarea sistemului
dy1
dx x y1 y2
dy2 x 2 y 2
1
dx
satisfacerea conditiilor initiale
y1(0) = 1; y2(0) = 0

59.

Soluţie. Avem:
X
y1 1 (x y1 y2)dx
0
X
y2 (x2 y12)dx
0
Prin urmare, presupunând
y1(0) = 1;
y2(0) = 0
primim
X
2
X
(1)
y1 1 (x 0)dx 1
2
0
X
3
X
(1)
y2 (x 2 1)dx x
3
0

60.

x2
x 3
x4x6
1 x 1 x dx 1
2
3
24 36
0
X
(2)
1
y
4
5
2
X
X
x 1 x 2 dx x
4
20
0
X
y2
(2)
etc.

61.

Sfârșitul calculelor
n 1
h
| y yn | NM
(n 1)!
n
61
18.01.2018

Vom considera o ecuație diferențială obișnuită (ODE) de ordinul întâi

cu starea initiala

y(x 0) \u003d y 0, (2)

unde f(x) este o funcție dată, în cazul general, neliniară a două variabile. Presupunem că pentru o problemă dată (1)-(2), numită problemă inițială sau problema Cauchy, sunt îndeplinite cerințele care asigură existența și unicitatea pe segmentul [x 0 ,b] a soluției sale y=y( X).

În ciuda simplității exterioare a ecuației (1), rezolvați-o analitic, i.e. găsiți soluția generală y=y(x, C) pentru a extrage apoi din ea curba integrală y=y(x) care trece prin punct dat(x 0 ; y 0) este posibilă numai pentru unele tipuri speciale de astfel de ecuații. Prin urmare, ca și în problema calculării integralelor legate de (1)-(2), trebuie să ne bazăm pe metode aproximative pentru rezolvarea problemelor inițiale pentru EDO, care pot fi împărțite în trei grupuri:

1) metode analitice aproximative;

2) metode grafice sau computer-grafice;

3) metode numerice.

Metodele primului grup le includ pe cele care permit să se găsească imediat o aproximare a soluției y(x) sub forma unei funcții „bune” φ (X). De exemplu, binecunoscutul metoda seriei de putere, una dintre implementările cărora se bazează pe reprezentarea funcției dorite y(x) de către un segment din seria Taylor, unde coeficienții Taylor care conțin derivate de ordin superior se găsesc prin diferențierea succesivă a ecuației (1) însăși. Un alt reprezentant al acestui grup de metode este metoda aproximărilor succesive, a cărei esență este prezentată mai jos.

Nume metode grafice vorbește despre o reprezentare aproximativă a soluției dorite y(x) pe interval sub formă de grafic, care poate fi construită după anumite reguli legate de interpretarea grafică a acestei probleme. Interpretarea fizică sau, poate, ar fi mai corect să spunem, a problemelor inițiale pentru anumite tipuri de ecuații stă la baza metodelor grafice computerizate de soluție aproximativă. Realizarea la nivel fizic si tehnic a dat procese electrice, comportamentul soluțiilor ecuațiilor diferențiale care descriu aceste procese este observat pe ecranul osciloscopului. Modificarea parametrilor ecuației duce la o modificare adecvată a comportamentului soluțiilor, care stă la baza calculatoarelor analogice specializate (ACM).

În cele din urmă, cea mai semnificativă în prezent, caracterizată prin dezvoltarea rapidă și pătrunderea în toate sferele activității umane, digitalul informatică, sunt metode numerice de rezolvare a ecuațiilor diferențiale care presupun obținerea unui tabel numeric de valori aproximative y i ale soluției dorite y(x) pe o anumită grilă
valorile argumentului x. Aceste metode vor face obiectul următoarei discuții. Ce să faceți cu valorile numerice rezultate ale soluției depinde de formularea aplicată a problemei. Dacă vorbim despre găsirea doar a valorii lui y(b), atunci punctul b este inclus ca punct final în sistemul de puncte calculate xi și toate valorile aproximative yi ≈ y(xi), cu excepția ultimei , participă doar ca intermediari, adică nu necesită memorare sau prelucrare. Dacă trebuie să aveți o soluție aproximativă y(x) în orice punct x, atunci pentru aceasta puteți aplica oricare dintre metodele de aproximare la tabelul numeric rezultat de valori y i funcțiile tabelului, discutat mai devreme, de exemplu, interpolarea sau interpolarea spline. Sunt posibile și alte utilizări ale datelor numerice despre soluție.

Să atingem o metodă analitică aproximativă pentru rezolvarea problemei inițiale (1)-(2), în care soluția dorită y \u003d y (x) într-o vecinătate dreaptă a punctului x 0 este limita șirului de funcţiile yn (x) obţinute într-un anumit mod.

Integram părțile din stânga și dreapta ale ecuației (1) în limitele de la x 0 la x:

Prin urmare, ținând cont de faptul că una dintre antiderivatele pentru y"(x) este y(x), obținem

sau, folosind condiția inițială (2),

(3)

Astfel, această ecuație diferențială (1) cu condiția inițială (2) a fost transformată într-o ecuație integrală (aici, funcția necunoscută intră sub semnul integral).

Ecuația integrală rezultată (3) are forma unei probleme de punct fix pentru operator
Formal, metoda iterațiilor simple poate fi aplicată acestei probleme

considerat suficient de detaliat în raport cu sistemele de ecuaţii algebrice şi transcendentale liniare şi neliniare. Luând ca funcție inițială y 0 (x) constanta y 0 specificată în (2), conform formulei (4) la n=0 găsim prima aproximare

Înlocuirea lui în (4) cu n=1 dă a doua aproximare

etc. Astfel, această metodă aproximativ-analitică, numită metoda aproximărilor succesive sau metoda Picard, este definită prin formula

(5)

unde n=0,1, 2,... și y 0 (x)=y 0 .

Remarcăm două caracteristici ale metodei lui Picard de aproximări succesive, care pot fi clasificate drept negative. În primul rând, din cauza problemelor bine-cunoscute cu găsirea eficientă a antiderivatelor, metoda (5) este rareori implementată în forma sa pură. În al doilea rând, după cum se poate observa din afirmația de mai sus, această metodă ar trebui considerată locală, potrivită pentru aproximarea soluției într-un cartier mic din dreapta punct de start. Metoda lui Picard este mai importantă pentru a demonstra existența și unicitatea unei soluții la problema Cauchy decât pentru a o găsi în practică.

Lecția numărul 17. Metode Euler.

țintă - pentru a familiariza elevii cu metodele lui Euler de rezolvare a problemei Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale ordinare.

Aceasta este o metodă de rezolvare aproximativă, care este o generalizare a metodei aproximărilor succesive (vezi Capitolul V, § 2). Luați în considerare problema Cauchy pentru ecuația de ordinul întâi

Integrând ecuația diferențială, înlocuim această problemă cu o ecuație integrală echivalentă de tip Volterra

Rezolvând această ecuație integrală prin metoda aproximărilor succesive, obținem procesul iterativ Picard

(soluția aproximativă, spre deosebire de cea exactă, se va nota cu y). La fiecare iterație a acestui proces, integrarea se realizează fie exact, fie prin metodele numerice descrise în Capitolul IV.

Să demonstrăm convergența metodei, presupunând că într-un domeniu mărginit partea dreaptă este continuă și satisface în variabilă și condiția Lipschitz

Întrucât regiunea este limitată, sunt valabile următoarele relații: Notăm eroarea soluției aproximative Scăzând (8) din (9) și folosind condiția Lipschitz, obținem

Rezolvând această relație de recurență și ținând cont că găsim succesiv

Aceasta implică estimarea erorii

Se poate observa că pentru , adică soluția aproximativă converge uniform către soluția exactă în întreaga regiune.

Exemplu. Aplicăm metoda Picard la problema Cauchy pentru ecuația (3), a cărei soluție nu este exprimată în termeni de funcții elementare

În acest caz, cuadraturile (9) sunt calculate exact și obținem cu ușurință

etc. Se poate observa că pentru , aceste aproximări converg rapid și fac posibilă calcularea soluției cu mare precizie,

Acest exemplu arată că este avantajos să se folosească metoda Picard dacă integralele (9) pot fi calculate în termeni de funcții elementare. Dacă partea dreaptă a ecuației (7) este mai complicată, astfel încât aceste integrale trebuie găsite prin metode numerice, atunci metoda Picard nu devine foarte convenabilă.

Metoda Picard poate fi generalizată cu ușurință la sisteme de ecuații în modul descris în Secțiunea 2. Cu toate acestea, în practică, cu cât este mai mare ordinea sistemului, cu atât mai rar este posibil să se calculeze cu precizie integralele din (9), ceea ce limitează aplicarea metodei în acest caz.

Există multe alte metode aproximative. De exemplu, S. A. Chaplygin a propus o metodă care este o generalizare metoda algebrică Newton în cazul ecuațiilor diferențiale. O altă modalitate de generalizare a metodei lui Newton a fost propusă de L. V. Kantorovich în 1948. În ambele metode, precum și în metoda Picard, iterațiile sunt efectuate folosind cuadraturi. Cu toate acestea, cuadraturile din ele au o formă mult mai complexă decât (9) și sunt rareori preluate functii elementare. Prin urmare, aceste metode nu sunt aproape niciodată utilizate.

Metoda Picard Picard Charles Emile (1856-1941) matematician francez.

Această metodă permite obținerea unei soluții aproximative a ecuației diferențiale (1) sub forma unei funcții prezentate analitic.

Fie, în condițiile teoremei existenței, se cere să se găsească o soluție la ecuația (1) cu condiția inițială (2). Să integrăm părțile din stânga și din dreapta ecuației (1) în limitele de la până la:

Rezolvarea ecuației integrale (9) va satisface ecuația diferențială (1) și condiția inițială (2). Într-adevăr, la , obținem:

În același timp, ecuația integrală (9) face posibilă aplicarea metodei aproximărilor succesive. Vom considera partea dreaptă a formulei (9) ca un operator care mapează orice funcție (din clasa de funcții pentru care există integrala inclusă în (9)) într-o altă funcție din aceeași clasă:

Dacă acest operator este contractiv (ceea ce decurge din condiția teoremei lui Picard), atunci este posibil să se construiască o succesiune de aproximări convergente către soluția exactă. Pe măsură ce se ia aproximarea inițială și se găsește prima aproximare

Integrala din partea dreaptă conține doar variabila x; după găsirea acestei integrale se va obține o expresie analitică pentru aproximarea în funcție de variabila x. În continuare, înlocuim y în partea dreaptă a ecuației (9) cu valoarea găsită și obținem a doua aproximare

etc. În cazul general, formula iterativă are forma

(n=1, 2…) (10)

Aplicarea ciclică a formulei (10) oferă succesiunea funcțiilor

convergând către soluția ecuației integrale (9) (și, în consecință, a ecuației diferențiale (1) cu condiții inițiale (2)). Aceasta înseamnă și că k-al-lea membru secvența (11) este o aproximare a soluției exacte a ecuației (1) cu un anumit grad de precizie controlat.

Rețineți că atunci când se utilizează metoda aproximărilor succesive, analiticitatea părții drepte a ecuației diferențiale nu este necesară, astfel încât această metodă poate fi utilizată și în cazurile în care extinderea soluției ecuației diferențiale într-o serie de puteri este imposibilă.

Eroare Picard

Estimarea erorii pentru aproximația a k-a este dată de formula

unde y(x) este soluția exactă, este constanta Lipschitz din inegalitatea (4).

În practică, metoda Picard este folosită foarte rar. Unul dintre motive este că integralele care trebuie calculate la construirea aproximărilor succesive nu sunt cel mai adesea găsite analitic, iar utilizarea lor pentru a calcula metode numerice complică atât de mult soluția încât devine mult mai convenabil să se aplice direct alte metode care sunt inițial numeric.

Exemple de rezolvare a unei probleme în Maple

Sarcina 1: Folosind metoda aproximărilor succesive, găsiți valoarea, unde este soluția ecuației diferențiale: îndeplinirea condiției inițiale, pe segment, făcând un pas (calculați la a doua aproximare).

Dat: - ecuație diferențială

Condiția inițială

Interval

A găsi: sens

Soluţie:

> y1:=simplificare(1+int(x+1, x=0…x));

> y2:= simplifica (1+int (x+simplifica (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

Găsiți valoarea la x=0,5:

Sarcina #2: Folosind metoda aproximărilor succesive, găsiți o soluție aproximativă a ecuației diferențiale pentru care satisface condiția inițială.

Dat: - ecuație diferențială

Condiția inițială

A găsi: sens

Soluţie:

Vom găsi o soluție aproximativă a acestui DE pe un segment cu o treaptă (aleasă arbitrar).

Să scriem pentru acest caz o formulă de forma (10)

> y1:=simplificare(1+int(x*1, x=0…x));

>y2:=simplificare (1+int (x*simplificare (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

În mod similar, găsim a treia aproximare:

>y3:=simplificare (1+int (x*simplificare (1+int (x*simplificare (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0… X));

Să găsim o soluție aproximativă a acestui DE la, pentru aceasta, în a treia aproximare în loc de x, înlocuiți și obțineți:

Să comparăm rezultatul aproximativ obținut cu soluția exactă a ecuației diferențiale:

Conform rezultatelor tabelului, se poate observa că eroarea de calcul este foarte mică.