Făcând clic pe butonul „Descărcați arhiva”, veți descărca gratuit fișierul de care aveți nevoie.
Înainte de a descărca acest fișier, amintiți-vă acele eseuri bune, control, referate, teze, articole și alte documente care se află nerevendicate pe computerul dvs. Aceasta este munca ta, ar trebui să participe la dezvoltarea societății și să beneficieze oamenii. Găsiți aceste lucrări și trimiteți-le la baza de cunoștințe.
Noi și toți studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vom fi foarte recunoscători.

Pentru a descărca o arhivă cu un document, introduceți un număr de cinci cifre în câmpul de mai jos și faceți clic pe butonul „Descărcați arhiva”

Documente similare

Rezolvarea sistemelor liniare ecuații algebrice metoda simplă de iterație. Interpolarea polinomială a unei funcții prin metoda lui Newton cu diferențe împărțite. Aproximație rădăcină pătrată medie a unei funcții. Integrarea numerică a funcţiilor prin metoda Gauss.

lucrare de termen, adăugată 14.04.2009

Metodele numerice sunt un set de algoritmi care permit obținerea unei soluții aproximative (numerice) a problemelor matematice. Două tipuri de erori care apar în rezolvarea problemelor. Găsirea zerourilor unei funcții. metoda semidiviziunii. metoda acordurilor.

curs de prelegeri, adăugat 03/06/2009

Conceptul de integrală definită, ei sens geometric. Metode de calcul numeric integrale definite. Formule pentru dreptunghiuri și trapeze. Aplicarea pachetului Mathcad pentru calcularea integralelor, verificarea rezultatelor calculelor folosind Mathcad.

lucrare de termen, adăugată 03.11.2013

Metode numerice de rezolvare a sistemelor ecuatii lineare: Gaussian, iterație simplă, Seidel. Metode de aproximare și interpolare a funcțiilor: coeficienți nedeterminați, cele mai mici pătrate. Rezolvarea ecuațiilor neliniare și calculul integralelor definite.

lucrare de termen, adăugată 27.04.2011

Metode de estimare a erorii de interpolare. Interpolare prin polinoame algebrice. Construcția de polinoame algebrice cu cea mai bună aproximare pătratică medie. Metode numerice de rezolvare a problemei Cauchy pentru obișnuit ecuatii diferentiale.

munca de laborator, adaugat 14.08.2010

Rezolvarea ecuațiilor neliniare prin metoda tangentei (Newton), caracteristicile și etapele acestui proces. Mecanism de interpolare a funcțiilor și integrare numerică. Rezolvarea aproximativă a ecuațiilor diferențiale ordinare de ordinul întâi prin metoda Euler.

lucrare de termen, adăugată 16.12.2015

Metode numerice pentru găsirea unui extremum necondiționat. Probleme de minimizare necondiționată. Calculul minimului unei funcții prin metoda coborârii coordonate. Rezolvarea problemelor de programare liniară prin metode grafice și simplex. Lucrul cu programul MathCAD.

lucrare de termen, adăugată 30.04.2011

Aproximație rădăcină pătrată medie a unei funcții.

Luați în considerare problema celei mai bune aproximări pătratice medii a unei funcții printr-un polinom
conform sistemului
.

Definiția 1.

Un polinom generalizat de ordinul m în sistem ( k ) este o combinație liniară

unde C k sunt coeficienți reali arbitrari.

O sarcină. Găsiți polinom
, care se abate cel mai puțin de la funcția f din metrica L 2, adică, satisfacerea conditiei:

Teorema 1.

Dacă sistemul
este liniar independentă, atunci problema celei mai bune aproximări rădăcină-pătrată medie în raport cu acest sistem este rezolvabilă în mod unic.

Să scriem pătratul distanței dintre funcție și polinom:

(1)

Este evident că valoarea
este o funcție pătratică definită nenegativă a variabilelor
, iar o astfel de funcție își atinge valoarea minimă. Astfel, soluția problemei de aproximare rădăcină-pătrată medie există.

Să demonstrăm unicitatea soluției.

Notăm condițiile necesare pentru minim:

, i=0,…,m.

Calculând derivatele parțiale în raport cu c i de expresie (1), obținem un sistem liniar de ecuații:

(2)

Sistemul (2) este numit sistem normal.

Scriem determinantul acestui sistem

(3)

Determinantul sistemului (3) este așa-numitul determinantul lui Gram sisteme
. Se ştie că dacă sistemul
este liniar independent, apoi determinantul
0 (ușor de demonstrat prin contradicție). După condiţia teoremei
0 și sistemul (2) are o soluție unică.

1.6. Polinoame ortogonale clasice și aplicarea lor în probleme de aproximare a funcțiilor.

Fie H un spațiu Hilbert cu produs interior și, în consecință, norma
. Un exemplu important al unui astfel de spațiu este așa-numitul spațiu
este spațiul funcțiilor f(x) pentru care integrala este finită:

(1)

Aici h(x) este așa-numitul functie de greutate, îndeplinind condițiile:

Dacă =(0,+ ), atunci trebuie îndeplinită următoarea condiție:

acestea. orice momente ale funcției de greutate trebuie să existe.

Definiția 1.

Pentru
este definit produs scalar:

(2)

și, în consecință, norma:

conform condiției (1).

Folosind inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, obținem

Prin urmare, produsul scalar există pentru

Definiția 2.

Distanța dintre elementele f și g este determinată de egalitatea:

Se pune întrebarea cum să înțelegem elementul zero. Dacă norma
, rezultă că f=g? Se introduce terminologia: f=g aproape peste tot, adică pot diferi la un număr finit de puncte.

Definiția 3.

f și g ortogonală pe un segment cu greutatea h(x), dacă =0 (scris pe scurt
).

Dacă într-un spațiu Hilbert luăm orice sistem liniar independent
, i=0,1,2,…, atunci poate fi ortogonalizat.

Să luăm ca exemplu un sistem:
La
mulţime finită funcții de putere este liniar independentă, astfel încât polinoamele ortogonale pot fi construite pe baza acestui sistem. Este cunoscută următoarea procedură de ortogonalizare recurentă (procedura Gram-Schmidt):

(3)

Coeficienții b k+1,j sunt determinați din condițiile de ortogonalitate:

Înmulțind succesiv (3) cu
primim

(4)

Exemplul 1

Fie h(x)1, =[-1,1].

Construiți primele trei polinoame ortogonale conform procedurii (3) - (4).

Mai departe avem:

Prin urmare,

Pentru un sistem de polinoame ortogonale pe segmentul [-1,1] cu greutatea h(x)=1, formula Rodrigues este valabilă:

(5)

Din (5) obținem succesiv:

Polinoamele astfel obținute se numesc polinoame Legendre.

Cometariu.

Polinoamele ortogonale găsite prin procedura (3) - (4) pot diferi doar prin factori de cele construite prin formula explicită Rodrigues (5).

Pătratul normei pentru aceste polinoame este:

Adică aceste polinoame nu sunt normalizate, deoarece

Pentru toate polinoamele clasice există o formulă recurentă. Pentru polinoamele Legendre, are următoarea formă:

Lasa
Să luăm în considerare aproximarea rădăcină pătrată medie:

Unde
- eroarea pătratică medie de aproximare,

- un segment din seria Fourier pentru funcția f(x) în sistemul de polinoame ortogonale (P k (x)).

Datorită ortogonalității polinoamelor Legendre, sistemul de ecuații normale (2) din §1.5 devine diagonal, iar soluția lui conduce la următoarele expresii pentru coeficienții c k:

(7)

adică se asigură minimul normei din L 2.

Să descriem în detaliu eroarea de aproximare

Pe de altă parte

datorita ortogonalitatii.

Înlocuind în (8), obținem

. (9)

Exemplul 2

Fie f(x)=|x|.

Aproximați f(x) pe [-1,1] în polinomul rms de gradul doi. Calculați eroarea pătratică medie.

Folosim sistemul ortogonal Legendre:

Coeficienții c k se găsesc prin formula (7), ținând cont de forma polinoamelor Legendre:

1.7. Câteva proprietăți generale ale polinoamelor ortogonale.

Polinomul P n (x) este ortogonal cu orice polinom algebric de gradul al m-lea M m (x) pentru m

M m (x) poate fi reprezentat în mod unic ca o combinație liniară de polinoame Legendre:

Egalitatea (10) este identică, deci coeficienții a k sunt calculați în mod unic prin echivalarea coeficienților la puteri mai mari. Înmulțind ambele părți ale lui (10) cu P n (x), avem

datorita ortogonalitatii sistemului

Polinomul P n (x) are exact n rădăcini reale și distincte pe segmentul [-1,1].

Rețineți că, în virtutea teoremei Gauss, polinomul P n (x) nu poate avea mai mult de n rădăcini (în general vorbind, complexe). Fie P n (x) să aibă mai puține de n rădăcini reale simple. Să le notăm
Din aceste puncte construim polinomul fundamental

Luați în considerare un polinom:
este un polinom de grad (k+n) care are zerouri
chiar multiplicitatea. Deci noul polinom
își păstrează semnul la trecerea prin aceste zerouri, adică. păstrează semnul pe [-1,1]. De aici rezultă că

Dar aceasta contrazice proprietatea 1, deoarece P n (x) trebuie să fie neapărat ortogonal cu M k (x).

Între două zerouri adiacente ale polinomului P n (x) se află exact un zero al polinomului P n-1 (x).

Se dovedeste prin inductie cu ajutorul relatiei recurente (6).

Pentru n-par, polinomul P n (x) este o funcție pare a lui x, pentru n-impar, P n (x) este o funcție impară a lui x.

Alături de polinoamele Legendre, următoarele sisteme de polinoame sunt numite polinoame ortogonale clasice (în continuare, (a,b) este intervalul de ortogonalitate, r(x) este funcția de greutate).

1) polinoame Jacobi {R P (l,m) ( X)) - la ora dar = -1, b= 1 r( X) = (1-X) l (1 + X) m , l> -1, m > -1. Cazurile speciale speciale ale polinoamelor Jacobi corespund următoarelor valori ale lui l și m: l= m- polinoame ultrasferice (acestea sunt uneori numite polinoame Gegenbauer); l\u003d m \u003d - 1 / 2, adică -polinomiale Cebişev primul fel T n (X); l= m = 1 / 2, adică - polinomiale Cebişev al 2-lea fel U n (X);

2) Polinomiale Laguerre L n (X) - la dar = 0, b= + ∞ și r( X) = e -X(se mai numesc polinoame Chebyshev-Laguerre) și polinoame Laguerre generalizate - la . 3) Mpicioare Sihastrul H n (X) - la dar = -∞, b= + ∞ și (se mai numesc și polinoame Chebyshev-Hermite).

Pentru a netezi funcții discrete Altman, introducând astfel ideea de continuitate în teorie, a fost folosită aproximarea integrală rădăcină-medie-pătrată printr-un polinom de grade diferite.

Se știe că o succesiune de polinoame de interpolare peste noduri echidistante nu converg neapărat către o funcție, chiar dacă funcția este infinit diferențiabilă. Pentru funcția aproximativă, cu ajutorul unui aranjament adecvat de noduri, se poate reduce gradul polinomului. . Structura funcțiilor Altman este de așa natură încât este mai convenabil să se folosească aproximarea funcției nu prin interpolare, ci prin construirea celei mai bune aproximări rădăcină-medie-pătratică în modul normalizat. spațiu liniar. Luați în considerare conceptele și informațiile de bază în construirea celei mai bune aproximări. Problemele de aproximare și optimizare sunt puse în spații normate liniare.

Spații normate metrice și liniare

Cele mai largi concepte ale matematicii includ „mult” și „mapping”. Conceptul de „mult”, „mult”, „colecție”, „familie”, „sistem”, „clasă” în teoria mulțimilor non-strict sunt considerate sinonime.

Termenul „operator” este identic cu termenul „mapping”. Termenii „operare”, „funcție”, „funcțională”, „măsură” sunt cazuri speciale ale conceptului de „mapping”.

Termenii „structură”, „spațiu” construcție axiomatică teoriile matematice au căpătat şi ele o importanţă fundamentală în prezent. Structurile matematice includ structuri teoretice de mulțimi (mulțimi ordonate și parțial ordonate); structuri algebrice abstracte (semigrupuri, grupuri, inele, inele de diviziune, câmpuri, algebre, rețele); structuri diferențiale (forme diferențiale exterioare, spații de fibre) , , , , , , .

O structură este înțeleasă ca o mulțime finită constând din mulțimi de purtător (mult principal), un câmp numeric (mulțime auxiliară) și o mapare definită pe elementele purtătorului și numerele câmpului. Dacă purtătorul este luat ca un set numere complexe, apoi joacă rolul atât al setului principal, cât și al celor auxiliare. Termenul de „structură” este identic cu conceptul de „spațiu”.

Pentru a defini un spațiu, este necesară în primul rând definirea unui set purtător cu elementele sale (punctele), notate cu litere latine și grecești

Mulțimi de elemente reale (sau complexe) pot acționa ca purtători: numere; vectori, ; Matrici, ; Secvențe, ; Funcții

Mulțimile pot acționa și ca elemente purtătoare: axă reală, plan, spațiu tridimensional (și multidimensional), permutări, mișcări; seturi abstracte.

Definiție. Un spațiu metric este o structură care formează un triplu, unde maparea este o funcție reală nenegativă a două argumente pentru orice x și y din M și satisface trei axiome.

1 - non-negativitate; , la.
2- - simetrie;
3- - axioma reflexivităţii.

unde sunt distanțele dintre elemente.

ÎN spațiu metric se stabileşte metricul şi se formează conceptul de proximitate a două elemente din mulţimea suport.

Definiție. Un spațiu liniar real (vector) este o structură în care maparea este operația aditivă de adăugare a elementelor care îi aparțin, iar maparea este operația de înmulțire a unui număr cu un element din.

Operația înseamnă că pentru oricare două elemente, al treilea element este definit în mod unic, numit suma lor și notat cu, iar următoarele axiome sunt valabile.

comutativitate.

Proprietate asociativă.

în există element special, notat cu așa încât este valabil pentru orice.

pentru orice există, astfel încât.

Elementul se numește opus și este notat cu.

Operația înseamnă că pentru orice element și orice număr, un element este definit, notat cu și axiomele sunt îndeplinite:

Un element (puncte) dintr-un spațiu liniar se mai numește și vector. Axiomele 1 - 4 definesc un grup (aditiv), numit modul și reprezentând o structură.

Dacă o operație într-o structură nu respectă nicio axiomă, atunci o astfel de structură se numește grupoid. Această structură este extrem de săracă; nu conține nicio axiomă de asociativitate, atunci structura se numește monoid (semigrup).

În structură, cu ajutorul mapării și axiomelor 1-8, se stabilește proprietatea liniarității.

Deci, spațiul liniar este un modul de grup, în structura căruia se mai adaugă o operație - înmulțirea elementelor suport cu un număr cu 4 axiome. Dacă în loc de o operație, împreună cu încă o operație de grup de multiplicare a elementelor cu 4 axiome, și postulăm axioma distributivității, atunci apare o structură numită câmp.

Definiție. Un spațiu normat liniar este o structură în care maparea satisface următoarele axiome:

1. Și atunci și numai atunci, când.
2. , .
3. , .

Și așa în doar 11 axiome.

De exemplu, dacă structura câmpului numere reale, Unde - numere reale, adăugați un modul care are toate cele trei proprietăți de normă, apoi câmpul numerelor reale devine un spațiu normat

Există două modalități comune de a introduce norma: fie prin specificarea explicită a formei de interval a funcționalei omogen convexe , , fie prin specificarea produsului scalar , .

Fie, atunci forma funcționalului poate fi specificată într-un număr infinit de moduri prin modificarea valorii:

1. , .
2. , .

………………..

…………….

Al doilea mod obișnuit de acceptare a atribuirii este că o altă mapare este introdusă în structura spațiului (o funcție a două argumente, de obicei notate și numite produs scalar).

Definiție. Spațiul euclidian este o structură în care produsul scalar conține norma și satisface axiomele:

4. , iar dacă și numai dacă

În spațiul euclidian, norma este generată de formulă

Din proprietățile 1 - 4 ale produsului scalar rezultă că toate axiomele normei sunt îndeplinite. Dacă produsul scalar este în formă, atunci norma va fi calculată prin formula

Norma de spațiu nu poate fi specificată folosind produsul scalar , .

În spațiile cu produs scalar apar astfel de calități care sunt absente în spațiile normate liniare (ortogonalitatea elementelor, egalitatea paralelogramelor, teorema lui Pitagora, identitatea lui Apollonius, inegalitatea lui Ptolemeu. Introducerea unui produs scalar oferă modalități de rezolvare mai eficientă a problemelor de aproximare.

Definiție. Se spune că o succesiune infinită de elemente dintr-un spațiu normat liniar este norma-convergentă (pur și simplu convergentă sau având o limită în) dacă există un astfel de element încât pentru oricare există un număr care depinde de astfel încât pentru

Definiție. O succesiune de elemente în se numește fundamentală dacă pentru oricare există un număr care depinde de acel oricare și sunt satisfăcute (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, p. 48)

Definiție. Un spațiu Banach este o structură în care orice succesiune fundamentală converge în normă.

Definiție. Un spațiu Hilbert este o structură în care orice succesiune fundamentală converge în norma generată de produsul scalar.

Să luăm un sistem de coordonate semi-quadratic. Acesta este un astfel de sistem de coordonate, în care scara este pătratică de-a lungul abscisei, adică valorile diviziunii sunt reprezentate grafic conform expresiei, aici m- scară într-o anumită unitate de lungime, de exemplu, în cm.

O scară liniară este trasată de-a lungul axei y în conformitate cu expresia

Punem puncte experimentale pe acest sistem de coordonate. Dacă punctele acestui grafic sunt situate aproximativ într-o linie dreaptă, atunci aceasta confirmă ipoteza noastră că dependența y din X este bine exprimată printr-o funcție de forma (4.4). Pentru a găsi coeficienții AȘi b acum puteți aplica una dintre metodele discutate mai sus: metoda firului întins, metoda punctelor selectate sau metoda medie.

Metoda firului strâns se aplică în același mod ca și pentru o funcție liniară.

Metoda punctelor selectate putem aplica asa. Pe un grafic rectiliniu, luați două puncte (departe unul de celălalt). Notăm coordonatele acestor puncte și ( X y). Atunci putem scrie

Din sistemul redus de două ecuații, găsim AȘi bși înlocuiți-le în formula (4.4) și obțineți forma finală a formulei empirice.

Nu puteți construi un grafic în linie dreaptă, ci luați numerele , ( X y) direct din masă. Cu toate acestea, formula obținută cu această alegere a punctelor va fi mai puțin precisă.

Procesul de conversie a unui grafic curbat într-o linie dreaptă se numește aplatizare.

Metoda medie. Se aplica in acelasi mod ca si in cazul dependență liniară. Împărțim punctele experimentale în două grupuri cu același (sau aproape același) număr de puncte în fiecare grupă. Egalitatea (4.4) poate fi rescrisă ca

Găsim suma reziduurilor pentru punctele primului grup și echivalăm cu zero. Facem același lucru pentru punctele grupei a doua. Obținem două ecuații cu necunoscute AȘi b. Rezolvând sistemul de ecuații, găsim AȘi b.

Rețineți că atunci când aplicați această metodă, nu este necesar să construiți o linie dreaptă aproximativă. Un grafic de dispersie într-un sistem de coordonate semi-pătratic este necesar doar pentru a verifica dacă o funcție de forma (4.4) este potrivită pentru o formulă empirică.

Exemplu. La studierea efectului temperaturii asupra cursului cronometrului, s-au obținut următoarele rezultate:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

În acest caz, nu ne interesează temperatura în sine, ci abaterea acesteia de la . Prin urmare, luăm drept argument , unde t- temperatura in grade Celsius de la scara obisnuita.

După ce au trasat punctele corespunzătoare pe sistemul de coordonate carteziene, observăm că o parabolă cu o axă poate fi luată ca o curbă de aproximare, axa paralela ordonată (fig. 4). Să luăm un sistem de coordonate semi-quadratic și să trasăm punctele experimentale pe el. Vedem că aceste puncte se potrivesc suficient de bine pe o linie dreaptă. Deci formula empirică

poate fi căutat în forma (4.4).

Să definim coeficienții AȘi b prin metoda medie. Pentru a face acest lucru, împărțim punctele experimentale în două grupe: în primul grup - primele trei puncte, în al doilea - restul de patru puncte. Folosind egalitatea (4.5) găsim suma reziduurilor pentru fiecare grup și echivalăm fiecare sumă cu zero.

Adesea, valorile funcției interpolate u, u2 , ..., yn sunt determinate din experiment cu unele erori, deci este nerezonabil să se folosească aproximarea exactă la nodurile de interpolare. În acest caz, este mai natural să aproximați funcția nu prin puncte, ci prin in medie, adică într-una din normele L p.

Spațiu 1 p - set de funcții d(x), definite pe segment [a,b]și modulo integrabil cu gradul p, dacă norma este definită

Convergența într-o astfel de normă se numește convergență în in medie. Spațiul 1,2 se numește spațiu Hilbert, iar convergența în el este rms.

Să fie date funcția Ax) și mulțimea de funcții φ(x) dintr-un spațiu normat liniar. În contextul problemei interpolării, aproximării și aproximării, pot fi formulate următoarele două probleme.

Prima sarcină este o aproximare cu o precizie dată, adică conform unei date date e găsiți un φ(x) astfel încât inegalitatea |[Ax) - φ(x)|| G..

A doua sarcină este o căutare cea mai bună aproximare adică căutarea unei funcții φ*(x) care satisface relația:

Definiți fără dovezi condiție suficientă existența celei mai bune aproximări. Pentru a face acest lucru, în spațiul liniar al funcțiilor, alegem o mulțime parametrizată prin expresie

unde mulțimea de funcții φ[(x), ..., φn(x) va fi presupusă a fi liniar independentă.

Se poate arăta că în orice spațiu normat pentru aproximare liniară(2.16) cea mai bună aproximare există, deși este unică în fiecare spațiu liniar.

Să considerăm spațiul Hilbert LzCp) al funcțiilor reale integrabile în pătrat cu greutatea p(x) > 0 pe [ , unde produsul scalar ( g,h) determinat de

formulă:

Înlocuirea în condiția de cea mai bună aproximare combinație liniară(2.16), găsim

Echivalarea la zero a derivatelor în raport cu coeficienții (D, k= 1, ..., П, obținem un sistem de ecuații liniare

Determinantul sistemului de ecuații (2.17) se numește determinant Gram. Determinantul lui Gram este diferit de zero, deoarece se presupune că sistemul de funcții φ[(x), ..., φn(x) este liniar independent.

Astfel, cea mai bună aproximare există și este unică. Pentru a-l obține, este necesar să se rezolve sistemul de ecuații (2.17). Dacă sistemul de funcții φ1(x), ..., φn(x) este ortogonalizat, adică (φ/, φ,) = sy, unde SCH,ij = 1, ..., P, atunci sistemul de ecuații poate fi rezolvat sub forma:

Coeficienții găsiți conform (2.18) Q, ..., p se numesc coeficienții seriei Fourier generalizate.

Dacă o mulțime de funcții φ t (X), ..., φ "(x), ... formează un sistem complet, atunci în virtutea egalității lui Parseval pentru Π -» cu norma de eroare scade la infinit. Aceasta înseamnă că cea mai bună aproximare converge rms către Dx) cu orice precizie dată.

Observăm că căutarea coeficienților celei mai bune aproximări prin rezolvarea sistemului de ecuații (2.17) este practic irealizabilă, deoarece pe măsură ce ordinea matricei Gram crește, determinantul ei tinde rapid spre zero, iar matricea devine prost condiționată. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare cu o astfel de matrice va duce la o pierdere semnificativă de precizie. Hai să verificăm.

Fie ca sistem de funcții φ„ i =1, ..., П, se aleg grade, adică φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., P, apoi, presupunând segmentul ca segment de aproximare, găsim matricea Gram

Matricea Gram de forma (2.19) se mai numește și matricea Hilbert. Acesta este un exemplu clasic de așa-numită matrice prost condiționată.

Folosind MATLAB, calculăm determinantul matricei Hilbert în forma (2.19) pentru unele prime valori P. Lista 2.5 arată codul programului corespunzător.

Lista 23

% Calculați determinantul matricelor Hilbert % ștergeți spațiul de lucru curata tot;

%alege valoare maximă ordinea matricei Hilbert ptah =6;

%construiți o buclă pentru a genera matrice %Hilbert și pentru a calcula determinanții acestora

pentru n = 1: nmax d(n)=det(hi I b(n)); Sfârșit

%afișează valorile determinanților %matricilor Hilbert

f o g ta t short end

După elaborarea codului din Lista 2.5, valorile determinante ale matricei Hilbert pentru primele șase matrice ar trebui să apară în fereastra de comandă MATLAB. Tabelul de mai jos prezintă valorile numerice corespunzătoare ale ordinelor matriceale (n) și determinanții acestora (d). Tabelul arată clar cât de repede determinantul matricei Hilbert tinde spre zero pe măsură ce ordinul crește și, pornind de la ordinele 5 și 6, devine inacceptabil de mic.

Tabel de valori ale determinantului matricelor Hilbert

Ortogonalizarea numerică a sistemului de funcții φ, i = 1, ..., П duce, de asemenea, la o pierdere notabilă a preciziei, prin urmare, pentru a se ține cont număr mare termeni în expansiune (2.16), este necesar fie să se efectueze ortogonalizarea analitic, adică exact, fie să se folosească un sistem gata făcut de funcții ortogonale.

Dacă în timpul interpolării, gradele sunt de obicei folosite ca sistem de funcții de bază, atunci în timpul aproximării, în medie, polinoamele care sunt ortogonale cu o anumită pondere sunt alese ca funcții de bază. Cele mai comune dintre acestea sunt polinoamele Jacobi, un caz special al cărora sunt polinoamele Legendre și Chebyshev. De asemenea, sunt utilizate polinoamele Lagsrr și Hermite. Mai multe detalii despre aceste polinoame pot fi găsite, de exemplu, în anexă Polinoame ortogonale cărți.