$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Se spune că $f$ are maxim local în punctul $x_(0) \în E$ dacă există o vecinătate $U$ a punctului $x_(0)$ astfel încât pentru toți $x \în U$ inegalitatea $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Maximul local este numit strict , dacă vecinătatea $U$ poate fi aleasă în așa fel încât pentru toți $x \în U$ diferit de $x_(0)$ să existe $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definiție
Fie $f$ o funcție reală pe set deschis$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Se spune că $f$ are minim localîn punctul $x_(0) \în E$ dacă există o vecinătate $U$ a punctului $x_(0)$ astfel încât pentru toți $x \în U$ inegalitatea $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Se spune că un minim local este strict dacă vecinătatea $U$ poate fi aleasă astfel încât pentru toți $x \în U$ diferit de $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\dreapta)$.

Un extremum local combină conceptele de minim local și maxim local.

Teorema (condiția necesară pentru extremul unei funcții diferențiabile)
Fie $f$ o funcție reală pe o mulțime deschisă $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Daca in punctul $x_(0) \in E$ functia $f$ are extremul localși în acest moment, atunci $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

În cazul unidimensional, acesta este . Notați $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, unde $h$ este un vector arbitrar. Funcția $\phi$ este definită pentru valori modulo suficient de mici de $t$. În plus, în ceea ce privește , este diferențiabilă și $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Fie ca $f$ să aibă un maxim local de x $0$. Prin urmare, funcția $\phi$ la $t = 0$ are un maxim local și, după teorema lui Fermat, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Deci, am obținut că $df \left(x_(0)\right) = 0$, adică. funcția $f$ în punctul $x_(0)$ este egală cu zero pe orice vector $h$.

Definiție
Punctele în care diferența este egală cu zero, adică. cele în care toate derivatele parțiale sunt egale cu zero se numesc staționari. puncte critice funcțiile $f$ sunt acele puncte în care $f$ nu este diferențiabil sau este egal cu zero. Dacă punctul este staționar, atunci nu rezultă încă că funcția are un extremum în acest punct.

Exemplul 1
Fie $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Apoi $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, deci $\left(0,0\right)$ este un punct staționar, dar funcția nu are nicio extremă în acest punct. Într-adevăr, $f \left(0,0\right) = 0$, dar este ușor de observat că în orice vecinătate a punctului $\left(0,0\right)$ funcția ia atât valori pozitive, cât și negative.

Exemplul 2
Funcția $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ are originea coordonatelor ca punct staționar, dar este clar că nu există un extremum în acest punct.

Teorema ( condiție suficientă extremum).
Fie ca o funcție $f$ să fie de două ori diferențiabilă continuu pe o mulțime deschisă $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Fie $x_(0) \in E$ un punct staționar și $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Atunci

1. daca $Q_(x_(0))$ – , atunci functia $f$ in punctul $x_(0)$ are un extremum local, si anume minim daca forma este definita pozitiv si maxim daca forma este negativ-definit;
2. dacă forma pătratică $Q_(x_(0))$ este nedefinită, atunci funcția $f$ în punctul $x_(0)$ nu are extremă.

Să folosim expansiunea conform formulei Taylor (12.7 p. 292) . Ținând cont de faptul că derivatele parțiale de ordinul întâi în punctul $x_(0)$ sunt egale cu zero, obținem $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ parțial x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ unde $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ și $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ pentru $h \rightarrow 0$, atunci partea dreaptă este pozitivă pentru orice vector $h$ de lungime suficient de mică.
Astfel, am ajuns la concluzia că într-o apropiere a punctului $x_(0)$ inegalitatea $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ este satisfăcută numai dacă $ x \neq x_ (0)$ (punem $x=x_(0)+h$\dreapta). Aceasta înseamnă că în punctul $x_(0)$ funcția are un minim local strict și astfel se demonstrează prima parte a teoremei noastre.
Să presupunem acum că $Q_(x_(0))$ este o formă nedefinită. Apoi există vectori $h_(1)$, $h_(2)$ astfel încât $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Apoi obținem $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ stânga[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Pentru $t>0$ suficient de mic, partea dreaptă este pozitiv. Aceasta înseamnă că în orice vecinătate a punctului $x_(0)$ funcția $f$ ia valori $f \left(x\right)$ mai mari decât $f \left(x_(0)\right)$.
În mod similar, obținem că în orice vecinătate a punctului $x_(0)$ funcția $f$ ia valori mai mici decât $f \left(x_(0)\right)$. Aceasta, împreună cu cea anterioară, înseamnă că funcția $f$ nu are un extremum în punctul $x_(0)$.

Să considerăm un caz special al acestei teoreme pentru o funcție $f \left(x,y\right)$ a două variabile definite într-o vecinătate a punctului $\left(x_(0),y_(0)\right) $ și având derivate parțiale continue de ordinul întâi și al doilea. Fie $\left(x_(0),y_(0)\right)$ un punct staționar și fie $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Atunci teorema anterioară ia următoarea formă.

Teorema
Fie $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Apoi:

1. dacă $\Delta>0$, atunci funcția $f$ are un extremum local în punctul $\left(x_(0),y_(0)\right)$ și anume un minim dacă $a_(11)> 0$ și maxim dacă $a_(11)<0$;
2. dacă $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Exemple de rezolvare a problemelor

Algoritm pentru găsirea extremului unei funcții a mai multor variabile:

1. Găsim puncte staționare;
2. Găsim diferența de ordinul 2 în toate punctele staționare
3. Folosind condiția suficientă pentru extremul unei funcții a mai multor variabile, considerăm diferența de ordinul doi în fiecare punct staționar

1. Investigați funcția până la extremul $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Soluţie

   Găsiți derivate parțiale de ordinul I: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Compuneți și rezolvați sistemul: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Din a 2-a ecuație, exprimăm $x=4 \cdot y^(2)$ — înlocuiți în prima ecuație: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ dreapta )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Ca urmare, se obțin 2 puncte staționare:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Să verificăm îndeplinirea condiției extreme suficiente:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Pentru punctul $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Pentru punctul $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, deci există un extremum în punctul $M_(2)$, și deoarece $A_(2)>0 $, atunci acesta este minimul.
   Răspuns: Punctul $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ este punctul minim al funcției $f$.
   

2. Investigați funcția pentru extremul $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Soluţie

   Găsiți puncte staționare: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Compuneți și rezolvați sistemul: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Săgeată la dreapta \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(case) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ este un punct staționar.
   Să verificăm îndeplinirea condiției extremum suficiente: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Răspuns: nu există extreme.
   

Limita de timp: 0

Navigare (numai numere de job)

0 din 4 sarcini finalizate

informație

Faceți acest test pentru a vă testa cunoștințele despre subiectul pe care tocmai l-ați citit, Extrema locală a funcțiilor multor variabile.

Ai susținut deja testul înainte. Nu o poți rula din nou.

Testul se încarcă...

Trebuie să vă autentificați sau să vă înregistrați pentru a începe testul.

Trebuie să finalizați următoarele teste pentru a începe acesta:

rezultate

Răspunsuri corecte: 0 din 4

Timpul tau:

Timpul a expirat

Ai obținut 0 din 0 puncte (0)

Scorul tău a fost înregistrat pe clasament

1. Cu un răspuns
2. Verificat

Sarcina 1 din 4

1 .

Numar de puncte: 1

Investigați funcția $f$ pentru extreme: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Dreapta


Nu dreapta


1. Sarcina 2 din 4

   2 .

   Numar de puncte: 1

   Funcția $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

   Dreapta

Definiție Pentru funcția f(x, y), se numește expresia Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) increment complet .

Dacă funcția f(x, y) are derivate parțiale continue, atunci

Apoi obținem prin aplicarea teoremei Lagrange

pentru că derivatele parțiale sunt continue, atunci putem scrie egalitățile:

Definiție. Expresia se numește increment complet funcțiile f(x, y) la un anumit punct (x, y), unde a 1 și a 2 sunt funcții infinitezimale ca Dх ® 0 și, respectiv, Dу ® 0.

Definiție: diferenţial complet funcția z = f(x, y) se numește liniară principală în raport cu incrementele Dx și Dy ale funcției Dz în punctul (x, y).

Pentru funcție număr arbitrar variabile:

Exemplu. Găsiți diferența completă a funcției.

Exemplu. Găsiți diferența completă a unei funcții

Sensul geometric al diferenţialului total.

Plan tangent și normal de suprafață.

normal

plan tangent

Fie N și N 0 puncte ale suprafeței date. Să trasăm o linie dreaptă NN 0 . Planul care trece prin punctul N 0 se numeste plan tangent la suprafaţă dacă unghiul dintre secanta NN 0 şi acest plan tinde spre zero când distanţa NN 0 tinde spre zero.

Definiție. normal faţă de suprafaţa în punctul N 0 se numeşte dreptă care trece prin punctul N 0 perpendicular pe planul tangent la această suprafaţă.

La un moment dat, suprafața are fie un singur plan tangent, fie nu îl are deloc.

Dacă suprafața este dată de ecuația z \u003d f (x, y), unde f (x, y) este o funcție diferențiabilă în punctul M 0 (x 0, y 0), planul tangent în punctul N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) există și are ecuația:

Ecuația pentru normala la suprafață în acest punct este:

sens geometric a diferenţialului total al unei funcţii de două variabile f (x, y) în punctul (x 0, y 0) este incrementul aplicatei (coordonata z) a planului tangent la suprafaţă în timpul tranziţiei de la punctul (x 0, y 0) până la punctul (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Așa cum se vede, sens geometric al diferenţialului total al unei funcţii a două variabile este un analog spaţial al sensului geometric al diferenţialului unei funcţii a unei variabile.

Exemplu Aflați ecuațiile planului tangent și normala la suprafață

În punctul M(1, 1, 1).

Ecuația planului tangent:

Ecuația normală:

Derivate parțiale de ordin superior.

Să existe o mulțime X în spațiu. Fiecare punct al acestei mulțimi este definit de un set de numere, care sunt coordonatele punctului dat. Vom spune că o funcție de n-variabile este dată pe mulțimea X dacă fiecare punct conform unei anumite legi, se atribuie un singur număr z, adică. .

Exemplu: fie x 1, x 2, x 3 - lungimea, lățimea și adâncimea piscinei. Apoi găsim suprafața piscinei.

Funcția n-variabile se numeste continuu intr-un punct , dacă limita funcției în acest punct este egală cu valoarea funcției în punctul limită, i.e. .

Definiție: derivată parțială a unei funcții față de variabilă se numește derivată a funcției z față de variabila , calculată cu condiția ca toate celelalte variabile să rămână constante.

Derivat privat.

Exemplu

Pentru o funcție a două variabile se pot introduce, deci, patru derivate parțiale de ordinul doi

1., citiți: două z de două ori.

Teorema derivatele mixte, acolo unde sunt continue, nu depind de ordinea în care sunt calculate derivatele. Acest lucru este valabil pentru derivatele mixte de orice ordin și pentru o funcție a oricărui număr de variabile.

Dacă funcția f(x, y) este definită într-un domeniu D, atunci derivatele sale parțiale și vor fi, de asemenea, definite în același domeniu sau o parte a acestuia.

Vom numi aceste derivate derivate parțiale de ordinul întâi.

Derivatele acestor funcții vor fi derivate parțiale de ordinul doi.

Continuând să diferențiem egalitățile obținute, obținem derivate parțiale de ordin superior.

Definiție Derivate parțiale ale formei etc. numit derivate mixte.

Teorema Dacă funcția f(x, y) și derivatele ei parțiale sunt definite și continue în punctul M(x, y) și vecinătatea ei, atunci relația este adevărată: .

atunci se numeste punctul M 0 punct minim.

Teoremă (condiții necesare pentru un extremum) Dacă funcția f (x, y) în punctul (x 0, y 0) are un extremum, atunci în acest punct fie ambele sale derivate parțiale de ordinul întâi sunt zero, fie cel puțin una dintre ele nu există.

Acest punct (x 0, y 0) va fi numit punct critic.

Teorema (condiții suficiente pentru un extremum) Fie în vecinătatea punctului critic (x 0, y 0) funcția f(x, y) să aibă derivate parțiale continue până la ordinul doi inclusiv. Luați în considerare expresia:

1) Dacă D(x 0 , y 0) > 0, atunci în punctul (x 0 , y 0) funcția f(x, y) are un extremum dacă

2) - 0, atunci în punctul (x 0, y 0) funcția f (x, y) nu are un extremum

Dacă D = 0, nu se poate face concluzia despre prezența unui extremum.

Sensul geometric al diferenţialului total al unei funcţii a două variabile f (x, y) în punctul (x 0, y 0) este incrementul aplicatei (coordonata z) a planului tangent la suprafaţă în timpul tranziţiei. de la punctul (x 0, y 0) până la punctul (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Derivate parțiale de ordin superior. : Dacă funcția f(x, y) este definită într-un domeniu D, atunci derivatele sale parțiale și vor fi, de asemenea, definite în același domeniu sau o parte a acestuia. Vom numi aceste derivate derivate parțiale de ordinul întâi.

Derivatele acestor funcții vor fi derivate parțiale de ordinul doi.

Continuând să diferențiem egalitățile obținute, obținem derivate parțiale de ordin superior. Definiție. Derivate parțiale ale formei etc. se numesc derivate mixte. Teorema Schwartz:

Dacă derivate parțiale de ordin superior f.m.s. sunt continue, apoi derivate mixte de același ordin, diferind doar în ordinea diferențierii = între ele.

Aici n este puterea simbolică a derivatei, care este înlocuită cu puterea reală după ce expresia dintre paranteze este ridicată la ea.

14. Ecuația planului tangent și normal la suprafață!

Fie N și N 0 puncte ale suprafeței date. Să trasăm o linie dreaptă NN 0 . Planul care trece prin punctul N 0 se numeste plan tangent la suprafaţă dacă unghiul dintre secanta NN 0 şi acest plan tinde spre zero când distanţa NN 0 tinde spre zero.

Definiție. normal faţă de suprafaţa în punctul N 0 se numeşte dreptă care trece prin punctul N 0 perpendicular pe planul tangent la această suprafaţă.

La un moment dat, suprafața are fie un singur plan tangent, fie nu îl are deloc.

Dacă suprafața este dată de ecuația z \u003d f (x, y), unde f (x, y) este o funcție diferențiabilă în punctul M 0 (x 0, y 0), plan tangentîn punctul N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) există și are ecuația:

Ecuația normalei la suprafață în acest punct:

sens geometric a diferenţialului total al unei funcţii de două variabile f (x, y) în punctul (x 0, y 0) este incrementul aplicatei (coordonata z) a planului tangent la suprafaţă în timpul tranziţiei de la punctul (x 0, y 0) până la punctul (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

După cum puteți vedea, semnificația geometrică a diferenţialului total al unei funcții a două variabile este un analog spațial al semnificației geometrice a diferenţialului unei funcţii a unei variabile.

16. Câmp scalar și caracteristicile acestuia Linii de nivel, derivate în direcție, gradient de câmp scalar.

Dacă fiecărui punct din spațiu i se atribuie o mărime scalară, atunci apare un câmp scalar (de exemplu, un câmp de temperatură, un câmp de potențial electric). Dacă sunt introduse coordonate carteziene, atunci notăm și sau Câmpul poate fi plat dacă este central (sferic) dacă cilindric, dacă

Suprafețe și linii de nivel: Proprietățile câmpurilor scalare pot fi vizualizate folosind suprafețe de nivel. Acestea sunt suprafețe în spațiu pe care capătă o valoare constantă. Ecuația lor este: . Într-un câmp scalar plat, liniile de nivel sunt curbe pe care câmpul ia o valoare constantă: În unele cazuri, liniile de nivel pot degenera în puncte, iar suprafețele de nivel în puncte și curbe.

Derivată direcțională și gradient al câmpului scalar:

Fie vectorul unitar cu coordonate un câmp scalar. Derivata direcțională caracterizează schimbarea câmpului într-o direcție dată și este calculată prin formula Derivata direcțională este produsul scalar al unui vector și al unui vector cu coordonate , care se numește gradientul funcției și se notează cu , unde unghiul dintre și , atunci vectorul indică direcția celei mai rapide creșteri a câmpului, iar modulul său este egal cu derivata în această direcție. Deoarece componentele gradientului sunt derivate parțiale, este ușor să obțineți următoarele proprietăți ale gradientului:

17. FMP extrema Extremul local al fmp, condiții necesare și suficiente pentru existența acestuia. Cel mai mare și cel mai mic f.m.s. în limitată zonă închisă.

Fie definită funcția z = ƒ(x;y) într-un domeniu D, punctul N(x0;y0)

Un punct (x0; y0) se numește punct maxim al funcției z=ƒ(x; y) dacă există o astfel de d-vecinație a punctului (x0; y0) încât pentru fiecare punct (x; y) altul decât (xo; yo), această vecinătate satisface inegalitatea ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;y0). Valoarea funcției în punctul de maxim (minim) se numește maxim (minim) al funcției. Maximul și minimul unei funcții se numesc extreme. Rețineți că, în virtutea definiției, punctul extremum al funcției se află în domeniul funcției; maximul și minimul au caracter local (local): valoarea funcției în punctul (x0; y0) este comparată cu valorile acesteia în puncte suficient de apropiate de (x0; y0). În regiunea D, funcția poate avea mai multe extreme sau niciuna.

Condiții necesare (1) și suficiente (2) pentru existență:

(1) Dacă în punctul N (x0; y0) funcția diferențiabilă z \u003d ƒ (x; y) are un extrem, atunci derivatele sale parțiale în acest punct sunt egale cu zero: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y (x0; y0 )=0. Cometariu. O funcție poate avea un extrem în punctele în care cel puțin una dintre derivatele parțiale nu există. Punctul în care derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției z ≈ ƒ(x; y) sunt egale cu zero, adică f "x=0, f" y=0, se numește punctul staționar al funcției z.

Punctele staționare și punctele în care cel puțin o derivată parțială nu există sunt numite puncte critice.

(2) Fie funcția ƒ(x; y) să aibă derivate parțiale continue până la ordinul doi inclusiv la un punct staționar (xo; yo) și o parte din vecinătatea acestuia. Să calculăm în punctul (x0;y0) valorile A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Denota Apoi:

1. dacă Δ > 0, atunci funcția ƒ(x; y) în punctul (x0; y0) are un extremum: maxim dacă A< 0; минимум, если А > 0;

2. dacă Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. În cazul lui Δ = 0, poate exista sau nu un extremum în punctul (x0; y0). Este nevoie de mai multe cercetări.

Pentru o funcție a unei variabile y = f(X) la punct X 0 sensul geometric al diferenţialului înseamnă incrementul ordonatei tangentei trasate la graficul funcţiei în punctul cu abscisa X 0 când se deplasează la un punct X 0 +  X. Iar diferența unei funcții a două variabile în acest sens este un increment aplicatii tangentă avion trasă la suprafața dată de ecuație z = f(X, y) , la punct M 0 (X 0 , y 0 ) când se deplasează la un punct M(X 0 +  X, y 0 +  y). Dăm definiția unui plan tangent la o suprafață:

Df . Avion care trece printr-un punct R 0 suprafete S, se numește plan tangentîntr-un punct dat, dacă unghiul dintre acest plan și o secantă care trece prin două puncte R 0 Și R(orice punct de pe suprafață S) , tinde spre zero atunci când punctul R tinde de-a lungul acestei suprafețe până la un punct R 0 .

Lăsați suprafața S dat de ecuaţie z = f(X, y). Apoi se poate arăta că această suprafață are la un punct P 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) plan tangent dacă și numai dacă funcția z = f(X, y) este diferențiabilă în acest moment. În acest caz, planul tangent este dat de ecuația:

z – z 0 = +
(6).

§cinci. Derivată direcțională, gradient de funcție.

Funcții derivate parțiale y= f(X 1 , X 2 .. X n ) prin variabile X 1 , X 2 . . . X n exprima viteza de schimbare a functiei in directia axelor de coordonate. De exemplu, este rata de schimbare a funcției X 1 - adică se presupune că punctul aparținând domeniului definiției funcției se deplasează doar paralel cu axa OH 1 , iar toate celelalte coordonate rămân neschimbate. Cu toate acestea, se poate presupune că funcția se poate schimba într-o altă direcție, care nu coincide cu direcția niciunei axe.

Luați în considerare o funcție a trei variabile: u= f(X, y, z).

Fixează un punct M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) și o linie dreaptă direcționată (axă) l trecând prin acest punct. Lasa M(X, y, z) - un punct arbitrar al acestei drepte și  M 0 M - distanta de la M 0 inainte de M.

u = f (X, y, z) – f(X 0 , y 0 , z 0 ) – creșterea funcției la un punct M 0 .

Găsiți raportul dintre incrementul funcției și lungimea vectorului
:

Df . Funcția derivată u = f (X, y, z) către l la punct M 0 se numeşte limita raportului dintre incrementul funcţiei şi lungimea vectorului  M 0 Mcând acesta din urmă tinde spre 0 (sau, ceea ce este același lucru, cu aproximare nelimitată M la M 0 ):

(1)

Această derivată caracterizează rata de schimbare a funcției în punct M 0 in directia l.

Lasă axa l (vector M 0 M) forme cu axe BOU, OY, oz colțuri
respectiv.

Notați x-x 0 =
;

y - y 0 =
;

z - z 0 =
.

Apoi vectorul M 0 M = (X - X 0 , y - y 0 , z - z 0 )=
și cosinusurile sale de direcție:

;

;

.

(4).

(4) este o formulă de calcul a derivatei direcționale.

Se consideră un vector ale cărui coordonate sunt derivatele parțiale ale funcției u= f(X, y, z) la punct M 0 :

grad u - gradient de functie u= f(X, y, z) la punct M(X, y, z)

Proprietăți gradient:

Ieșire: lungimea gradientului funcției u= f(X, y, z) - este cea mai mare valoare posibilă in acest punct M(X, y, z) , și direcția vectorului grad u coincide cu direcția vectorului care iese din punct M, de-a lungul căruia funcția se schimbă cel mai rapid. Adică direcția gradientului funcției grad u este direcția celei mai rapide creșteri a funcției.

CALCUL DIFERENȚIAL AL ​​FUNCȚIILOR MAI MULTOR VARIABILE.

Concepte de bază și definiții.

Când luăm în considerare funcțiile mai multor variabile, ne limităm la o descriere detaliată a funcțiilor a două variabile, deoarece toate rezultatele obţinute vor fi valabile pentru funcţii ale unui număr arbitrar de variabile.

Dacă fiecărei perechi de numere independente reciproc (x, y) dintr-o anumită mulțime, conform unei reguli, i se atribuie una sau mai multe valori ale variabilei z, atunci variabila z se numește funcţia a două variabile.

Dacă o pereche de numere (x, y) corespunde unei valori a lui z, atunci funcția este numită lipsit de ambiguitate, iar dacă mai mult de unul, atunci - ambiguu.

Domeniul de aplicare al definiției funcția z este mulțimea de perechi (x, y) pentru care există funcția z.

Punct de vecinătate M 0 (x 0, y 0) cu raza r este mulțimea tuturor punctelor (x, y) care îndeplinesc condiția.

Se numește numărul A limită funcția f(x, y) deoarece punctul M(x, y) tinde spre punctul M 0 (x 0, y 0), dacă pentru fiecare număr e > 0 există un astfel de număr r > 0 încât pentru orice punct M (x, y) pentru care condiția

conditia este si ea adevarata .

Scrie:

Fie punctul M 0 (x 0, y 0) să aparțină domeniului funcției f(x, y). Atunci se numește funcția z = f(x, y). continuuîn punctul M 0 (x 0, y 0), dacă

(1)

în plus, punctul M(x, y) tinde spre punctul M 0 (x 0, y 0) într-un mod arbitrar.

Dacă condiția (1) nu este îndeplinită în niciun moment, atunci acest punct este numit punctul limita funcțiile f(x, y). Acest lucru poate fi în următoarele cazuri:

1) Funcția z \u003d f (x, y) nu este definită în punctul M 0 (x 0, y 0).

2) Nu există limită.

3) Această limită există, dar nu este egală cu f(x 0 , y 0).

Proprietăţile funcţiilor mai multor variabile legate de continuitatea acestora.

Proprietate. Dacă funcția f(x, y, …) este definită și continuă într-un domeniu închis și mărginit D, atunci există cel puțin un punct în acest domeniu

N(x 0 , y 0 , …) astfel încât inegalitatea

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

precum și un punct N 1 (x 01 , y 01 , ...), astfel încât pentru toate celelalte puncte inegalitatea este adevărată

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

atunci f(x 0 , y 0 , …) = M – cea mai mare valoare funcții și f(x 01 , y 01 , ...) = m - cea mai mică valoare funcțiile f(x, y, …) în domeniul D.

O funcție continuă într-un domeniu închis și mărginit D ajunge cel puțin o dată cea mai mare valoareși o dată cel mai puțin.

Proprietate. Dacă funcția f(x, y, …) este definită și continuă într-un domeniu închis și mărginit D, iar M și m sunt, respectiv, cele mai mari și cea mai mică valoare funcţionează în acest domeniu, atunci pentru orice punct m н există un punct

N 0 (x 0 , y 0 , …) astfel încât f(x 0 , y 0 , …) = m.

Pur și simplu pune, functie continua ia în regiunea D toate valorile intermediare între M și m. O consecință a acestei proprietăți poate fi concluzia că dacă numerele M și m au semne diferite, atunci în domeniul D funcția dispare cel puțin o dată.

Proprietate. Funcția f(x, y, …), continuă într-un domeniu mărginit închis D, limitatîn această zonă, dacă există un astfel de număr K încât pentru toate punctele ariei inegalitatea este adevărată .

Proprietate. Dacă o funcție f(x, y, …) este definită și continuă într-un domeniu închis și mărginit D, atunci aceasta uniform continuuîn acest domeniu, adică pentru oricine număr pozitiv e există un astfel de număr D > 0 încât pentru oricare două puncte (x 1 , y 1) și (x 2 , y 2) ale zonei situate la o distanță mai mică decât D, inegalitatea

2. Derivate parțiale. Derivate parțiale de ordin superior.

Fie dată o funcție z = f(x, y) într-un domeniu. Luați un punct arbitrar M(x, y) și setați incrementul Dx la variabila x. Atunci cantitatea D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) se numește creșterea parțială a funcției în x.

Poate fi scris

.

Apoi a sunat derivat parțial funcțiile z = f(x, y) în x.

Desemnare:

Derivata parțială a unei funcții în raport cu y este definită în mod similar.

sens geometric derivata parțială (să spunem) este tangenta pantei tangentei trasate în punctul N 0 (x 0, y 0, z 0) la secțiunea suprafeței de către planul y \u003d y 0.

Dacă funcția f(x, y) este definită într-un domeniu D, atunci derivatele sale parțiale și vor fi, de asemenea, definite în același domeniu sau o parte a acestuia.

Vom numi aceste derivate derivate parțiale de ordinul întâi.

Derivatele acestor funcții vor fi derivate parțiale de ordinul doi.

Continuând să diferențiem egalitățile obținute, obținem derivate parțiale de ordin superior.

Derivate parțiale ale formei etc. numit derivate mixte.

Teorema. Dacă funcția f(x, y) și derivatele ei parțiale sunt definite și continue în punctul M(x, y) și în vecinătatea ei, atunci relația este adevărată:

Acestea. derivatele parțiale de ordin superior nu depind de ordinea diferențierii.

Diferențiale de ordin superior sunt definite în mod similar.

…………………

Aici n este puterea simbolică a derivatei, care este înlocuită cu puterea reală după ce expresia dintre paranteze este ridicată la ea.

Diferenţial complet. Sensul geometric al diferenţialului total. Plan tangent și normal de suprafață.

Expresia se numește increment complet funcțiile f(x, y) la un anumit punct (x, y), unde a 1 și a 2 sunt funcții infinitezimale ca Dх ® 0 și, respectiv, Dу ® 0.

diferenţial complet funcția z = f(x, y) este partea liniară principală față de Dx și Dy a incrementului funcției Dz în punctul (x, y).

Pentru o funcție a unui număr arbitrar de variabile:

Exemplul 3.1. Găsiți diferența completă a funcției.