Cursul 3 FNP, derivate parțiale, diferențiale

Care este principalul lucru pe care l-am învățat în ultima prelegere

Am învățat ce este o funcție a mai multor variabile cu un argument din spațiul euclidian. Am studiat care este limita și continuitatea pentru o astfel de funcție

Ce vom învăța în această prelegere?

Continuând studiul FNP, vom studia derivatele și diferențialele parțiale pentru aceste funcții. Aflați cum să scrieți ecuația planului tangent și normala la suprafață.

Derivată parțială, diferențială completă FNP. Relația dintre diferențiabilitatea unei funcții și existența derivatelor parțiale

Pentru o funcție a unei variabile reale, după studierea subiectelor „Limite” și „Continuitate” (Introducere la analiză matematică) s-au studiat derivatele și diferențialele funcției. Să ne întoarcem la considerarea întrebărilor similare pentru o funcție a mai multor variabile. Rețineți că dacă toate argumentele, cu excepția unuia, sunt fixate în FRR, atunci FRR generează o funcție a unui argument, pentru care se poate lua în considerare o creștere, o diferențială și o derivată. Le vom numi increment parțial, diferențială parțială și, respectiv, derivată parțială. Să trecem la definiții precise.

Definiția 10. Fie dată o funcție de variabile unde - un element al spațiului euclidian și incrementele corespunzătoare ale argumentelor , ,…, . Când valorile, se numesc incremente parțiale ale funcției. Incrementul total al unei funcții este valoarea lui .

De exemplu, pentru o funcție a două variabile , unde este un punct pe plan și , incrementele corespunzătoare ale argumentelor, incrementele , vor fi private. În acest caz, valoarea este incrementele complete ale unei funcții a două variabile.

Definiția 11. Derivată parțială a unei funcții de variabile by variabilă este limita raportului dintre incrementul parțial al unei funcții de către această variabilă și incrementul argumentului corespunzător atunci când acesta tinde spre 0.

Scriem Definiția 11 ca formulă sau extins. (2) Pentru o funcție a două variabile, Definiția 11 poate fi scrisă sub formă de formule , . Din punct de vedere practic această definițieînseamnă că atunci când se calculează derivata parțială față de o variabilă, toate celelalte variabile sunt fixe și luăm în considerare această funcțieîn funcţie de o variabilă aleasă. În ceea ce privește această variabilă, se ia derivata obișnuită.

Exemplul 4. Pentru o funcție , găsiți derivatele parțiale și punctul în care ambele derivate parțiale sunt 0.

Soluţie . Calculăm derivatele parțiale, și scrieți sistemul sub forma Rezolvarea acestui sistem este două puncte și .

Să luăm acum în considerare modul în care conceptul de diferenţial poate fi generalizat la FNP. Reamintim că o funcție a unei variabile se numește diferențiabilă dacă incrementul ei este reprezentat ca , în timp ce valoarea este partea principală a incrementului funcției și se numește diferența sa. Valoarea este o funcție a lui , are proprietatea că , adică este o funcție care este infinitezimală în comparație cu . O funcție a unei variabile este diferențiabilă într-un punct dacă și numai dacă are o derivată în acel punct. Mai mult, constanta și este egală cu această derivată, adică formula este valabilă pentru diferenţial .

Dacă luăm în considerare o creștere parțială a FNP, atunci doar unul dintre argumente se schimbă, iar această creștere parțială poate fi considerată ca o creștere a unei funcții a unei variabile, adică aceeași teorie funcționează. Prin urmare, condiția de diferențiere este valabilă dacă și numai dacă există o derivată parțială, caz în care diferența parțială este dată de .

Care este diferența totală a unei funcții de mai multe variabile?

Definiția 12. Funcția variabilelor se numeste diferentiabil intr-un punct , dacă incrementul său este reprezentat ca . În acest caz, partea principală a incrementului se numește diferenţial FNP.

Deci, diferența FNP este valoarea . Să clarificăm ce înțelegem prin valoare , pe care îl vom numi infinitezimal în comparație cu incrementele argumentelor . Aceasta este o funcție care are proprietatea că, dacă toate incrementele cu excepția unuia sunt 0, atunci egalitatea . În esență, asta înseamnă că = = + +…+ .

Și cum sunt legate condițiile de diferențiere a FNP și condițiile de existență a derivatelor parțiale ale acestei funcții?

Teorema 1. Dacă o funcție de variabile este diferențiabilă într-un punct , atunci are derivate parțiale în raport cu toate variabilele în acest moment și în același timp.

Dovada. Scriem egalitatea pentru și în formă și împărțiți ambele părți ale egalității rezultate la . În egalitatea rezultată, trecem la limita la . Ca rezultat, obținem egalitatea necesară. Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă. Diferenţialul unei funcţii de variabile se calculează prin formula . (3)

În exemplul 4, diferența funcției a fost egală cu . Rețineți că aceeași diferență într-un punct este egală cu . Dar dacă îl calculăm într-un punct cu incremente , , atunci diferența va fi egală cu . Rețineți că , valoarea exactă funcţie dată la punct este egală cu , dar aceeași valoare, calculată aproximativ folosind prima diferență, este egală cu . Vedem că prin înlocuirea incrementului unei funcții cu diferența sa, putem aproxima valorile funcției.

Dar o funcție a mai multor variabile va fi diferențiabilă într-un punct dacă are derivate parțiale în acel punct. Spre deosebire de o funcție a unei variabile, răspunsul la această întrebare este nu. Formularea exactă a relației este dată de următoarea teoremă.

Teorema 2. Dacă funcţia variabilelor la punct există derivate parțiale continue cu privire la toate variabilele, atunci funcția este diferențiabilă în acest punct.

la fel de . Doar o variabilă se modifică în fiecare paranteză, așa că putem aplica aici și acolo formula de increment finit a lui Lagrange. Esența acestei formule este că, pentru o funcție diferențiabilă continuu a unei variabile, diferența dintre valorile funcției în două puncte este egală cu valoarea derivatei într-un punct intermediar, înmulțită cu distanța dintre puncte. Aplicând această formulă la fiecare dintre paranteze, obținem . Datorită continuității derivatelor parțiale, derivata la punct și derivata la punct diferă de derivate și la punct prin valorile și tendința spre 0 ca tinde spre 0. Dar apoi și, evident, . Teorema a fost demonstrată. , și coordonatele Verificați dacă acest punct aparține suprafeței. Scrieți ecuația pentru planul tangent și ecuația pentru normala la suprafață în punctul specificat.

Soluţie. Într-adevăr, . Am calculat deja în ultima prelegere diferența acestei funcții într-un punct arbitrar, la punct dat el este egal. Prin urmare, ecuația planului tangent se va scrie sub forma sau , iar ecuația normalei - sub forma .

derivat privat funcțiile z = f(x, y prin variabila x derivata acestei funcții se numește la o valoare constantă a variabilei y, se notează sau z "x.

derivat privat funcții z = f(x, y) prin variabila y numită derivată față de y la o valoare constantă a variabilei y; se notează sau z „y.

Derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile față de o variabilă este definită ca derivată a acestei funcții față de variabila corespunzătoare, cu condiția ca celelalte variabile să fie considerate constante.

diferenţial complet funcția z = f(x, y) la un moment dat M(X, y) se numește expresie

,

Unde și sunt calculate în punctul M(x, y) și dx = , dy = y.

Exemplul 1

Calculați diferența totală a funcției.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 în punctul M (1; 2)

Soluţie:

1) Găsiți derivate parțiale:

2) Calculați valoarea derivatelor parțiale în punctul M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Întrebări pentru autocontrol:

1. Ce se numește antiderivat? Enumerați proprietățile unui antiderivat.

2. Ce se numește integrală nedefinită?

3. Enumerați proprietățile integralei nedefinite.

4. Enumerați formulele de integrare de bază.

5. Ce metode de integrare cunoașteți?

6. Care este esența formulei Newton-Leibniz?

7. Dați o definiție a unei integrale definite.

8. Care este esența calculării unei integrale definite prin metoda substituției?

9. Care este esența metodei de calcul a unei integrale determinate pe părți?

10. Ce funcție se numește funcție a două variabile? Cum este desemnat?

11. Ce funcție se numește funcție a trei variabile?

12. Ce mulţime se numeşte domeniul unei funcţii?

13. Cu ajutorul ce inegalități se poate defini o regiune închisă D pe un plan?

14. Ce se numește derivată parțială a funcției z \u003d f (x, y) față de variabila x? Cum este desemnat?

15. Ce se numește derivată parțială a funcției z \u003d f (x, y) față de variabila y? Cum este desemnat?

16. Ce expresie se numește diferența totală a unei funcții

Tema 1.2 Ecuații diferențiale obișnuite.

Probleme care duc la ecuații diferențiale. Ecuații diferențiale cu variabile separabile. Soluții generale și private. Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi. Liniar ecuații omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Lecția practică nr. 7 „Găsirea de soluții generale și particulare ecuatii diferentiale cu variabile separabile"*

Lecția practică nr. 8 „Ecuații diferențiale liniare și omogene”

Lecția practică nr.9 „Rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul II cu coeficienți constanți»*

L4, capitolul 15, p. 243 - 256

Instrucțiuni

Fiecare derivată parțială (peste Xși prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile cu o valoare fixă ​​a celeilalte variabile:

(Unde y= const),

(Unde X= const).

Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate din formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, în timp ce se consideră cealaltă variabilă ca o constantă (constant).

Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de teoria minimă necesară pentru aceasta, dar aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci treceți la calculator online cu derivate parțiale .

Dacă este greu să vă concentrați pe urmărirea locului în care se află constanta în funcție, atunci puteți înlocui orice număr din schița de soluție a exemplului în loc de o variabilă cu o valoare fixă ​​- atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca fiind obișnuită. derivată a unei funcții a unei variabile. Este necesar doar să nu uitați să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei când terminați.

Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate fi găsită în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.

Conceptul de continuitate a unei funcții z= f(X, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.

Funcţie z = f(X, y) se numeste continuu intr-un punct daca

Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține prin incrementarea ambelor argumente).

Lasă funcția z= f(X, y) și punct

Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, X, cu o valoare fixă ​​a celuilalt argument y, atunci funcția va fi incrementată

numită increment parțial al funcției f(X, y) pe X.

Având în vedere schimbarea funcției zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem de fapt la o funcție a unei variabile.

Dacă există o limită finită

atunci se numește derivată parțială a funcției f(X, y) prin argumentare Xși este notat cu unul dintre simboluri

(4)

Creșterea parțială este definită în mod similar z pe y:

și derivată parțială f(X, y) pe y:

(6)

Exemplul 1

Soluţie. Găsim derivata parțială față de variabila „x”:

(y fix);

Găsim derivata parțială față de variabila „y”:

(X fix).

După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz, este doar un număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) cu variabila prin care găsim parțialul. derivat. Dacă variabila fixă ​​nu este înmulțită cu variabila în raport cu care găsim derivata parțială, atunci această constantă singură, indiferent în ce măsură, ca în cazul unei derivate obișnuite, dispare.

Exemplul 2 Dată o funcție

Găsiți derivate parțiale

(prin x) și (prin y) și calculați-le valorile la punctul DAR (1; 2).

Soluţie. La un fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției de putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):

.

La un fix X derivata primului termen se găsește ca derivată functie exponentiala, iar al doilea - ca derivată a unei constante:

Acum calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul DAR (1; 2):

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator online cu derivate parțiale .

Exemplul 3 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

Soluţie. Într-un singur pas găsim

(y X, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 X: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);

(X este fix și este în acest caz un factor la y).

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator online cu derivate parțiale .

Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.

Dacă fiecare set de valori ( X; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unuia o anumită valoare u din multi E, apoi u se numeste functie de variabile X, y, ..., t si denota u= f(X, y, ..., t).

Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.

Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, definite și calculate sub ipoteza că doar una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.

Exemplul 4 Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

.

Soluţie. yȘi z fix:

XȘi z fix:

XȘi y fix:

Găsiți singur derivate parțiale și apoi vedeți soluții

Exemplul 5

Exemplul 6 Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.

Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sens mecanic ca derivată a unei funcții a unei variabile, este rata cu care funcția se modifică în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.

Exemplul 8 cantitatea de curgere P pasagerii căi ferate poate fi exprimat ca o funcție

Unde P- numărul de pasageri, N- numărul de rezidenți ai punctelor corespunzătoare, R- distanta intre puncte.

Derivată parțială a unei funcții P pe R egal cu

arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporţională cu pătratul distanţei dintre punctele corespunzătoare pentru acelaşi număr de locuitori din puncte.

Derivată parțială P pe N egal cu

arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori ai așezărilor cu aceeași distanță între puncte.

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator online cu derivate parțiale .

Diferenţial complet

Produsul derivatei parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferențială parțială. Diferențiale parțiale se notează după cum urmează:

Suma diferenţialelor parţiale asupra tuturor variabilelor independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate

(7)

Exemplul 9 Găsiți diferența completă a unei funcții

Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):

O funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui domeniu se numește diferențiabilă în acel domeniu.

Găsiți singur diferența totală și apoi vedeți soluția

La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-o anumită regiune implică continuitatea acesteia în această regiune, dar nu invers.

Să formulăm fără dovezi condiție suficientă diferențiabilitatea funcției.

Teorema. Dacă funcţia z= f(X, y) are derivate parțiale continue

într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).

Se poate arăta că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este principala parte liniară a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.

Pentru o funcție a două variabile increment complet funcția are forma

(8)

unde α și β sunt infinitezimale pentru și .

Derivate parțiale de ordin superior

Derivate parțiale și funcții f(X, y) sunt ele însele unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.

Lucrare practică №2

„Diferenţial de funcţii”

Scopul lecției: Învață să rezolvi exemple și probleme pe o anumită temă.

Întrebări de teorie (nivel inițial):

1. Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor până la extrem.

2. Diferenţialul unei funcţii, sensul ei geometric şi fizic.

3. Diferenţial complet funcţiile multor variabile.

4. Starea corpului în funcție de multe variabile.

5. Calcule aproximative.

6. Găsirea derivatelor parțiale și a diferenţialului total.

7. Exemple de utilizare a acestor concepte în farmacocinetică, microbiologie etc.

(autoformare)

1. răspunde la întrebări pe tema lecției;

2. rezolva exemple.

Exemple

Găsiți diferențe următoarele funcții:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor

Condiția ca funcția y = f(x) să crească pe segmentul [a, b]

Condiția ca funcția y=f(x) să scadă pe segmentul [a, b]

Condiția pentru funcția maximă y=f(x) la x= a

f"(a)=0 și f""(a)<0

Dacă pentru x \u003d a derivatele f "(a) \u003d 0 și f "(a) \u003d 0, atunci este necesar să se investigheze f "(x) în vecinătatea punctului x \u003d a. Funcția y \u003d f (x) pentru x \u003d a are un maxim, dacă la trecerea prin punctul x \u003d și derivata f "(x) își schimbă semnul de la "+" la "-", în cazul unui minim - de la „-” la „+” Dacă f „(x) nu își schimbă semnul la trecerea prin punctul x = a, atunci în acest moment funcția nu are extremă

Diferenţial de funcţie.

Diferenţialul unei variabile independente este egal cu incrementul acesteia:

Diferenţialul funcţiei y=f(x)

Diferenţialul sumei (diferenţei) a două funcţii y=u±v

Diferenţiala produsului a două funcţii y=uv

Diferenţialul coeficient a două funcţii y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Creșterea funcției

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

unde Δx: este incrementul argumentului.

Calculul aproximativ al valorii funcției:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f „(x) Δx

Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative

Diferența este utilizată pentru a calcula erorile absolute și relative în măsurători indirecte u \u003d f (x, y, z.). Eroarea absolută a rezultatului măsurării

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Eroarea relativă a rezultatului măsurării

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ.

Diferența de funcție ca parte principală a incrementului de funcție Și. Conceptul de diferenţial al unei funcţii este strâns legat de conceptul de derivată. Lasă funcția f(x) continuu pentru valori date Xși are o derivată

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), de unde creste functia Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Unde a(Dx)® 0 la Dx® 0. Să definim ordinea infinitezimalului f¢(x)Dx Dx.:

Prin urmare, infinitezimal f¢(x)DxȘi Dx au același ordin de mărime, adică f¢(x)Dx = O.

Să definim ordinea infinitezimalului a(Dх)Dх cu privire la infinitezimal Dx:

Prin urmare, infinitezimalul a(Dх)Dх are un ordin mai mare de micime decât infinitezimalul Dx, adică a(Dx)Dx = o.

Astfel, un increment infinitezimal Df funcția diferențiabilă poate fi reprezentată sub forma a doi termeni: un infinitezimal f¢(x)Dx de aceeasi ordine de micime cu Dxși infinitezimal a(Dх)Dх ordin mai mare al micimii comparativ cu infinitezimal Dx. Asta înseamnă că în egalitate Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx la Dx® 0 al doilea termen tinde spre zero „mai rapid” decât primul, adică. a(Dx)Dx = o.

Primul termen f¢(x)Dx, liniară în raport cu Dx, numit diferenţial de funcţie f(x) la punct X si denota dy sau df(a se citi „de joc” sau „de ef”). Asa de,

dy = df = f¢(x)Dx.

Sensul analitic al diferenţialului constă în faptul că diferența unei funcții este partea principală a incrementului funcției Df, liniar în raport cu incrementul argumentului Dx. Diferenţialul unei funcţii diferă de creşterea unei funcţii printr-o infinitezimală de ordin mai mare al micşorării decât Dx. Într-adevăr, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx sau Df = df + a(Dx)Dx . Argument diferential dx egal cu incrementul acesteia Dx: dx=Dx.

Exemplu. Calculați valoarea diferenţialului unei funcţii f(x) = x 3 + 2x, când X variază de la 1 la 1,1.

Soluţie. Să găsim o expresie generală pentru diferența acestei funcții:

Înlocuirea valorilor dx=Dx=1,1–1= 0,1Și x=1în ultima formulă, obținem valoarea dorită a diferenţialului: df½ x=1; = 0,5.

DERIVATE PARȚIALE ȘI DIFERENȚIALE.

Derivate parțiale de ordinul întâi. Derivata parțială de ordinul întâi a funcției z = f(x,y ) prin argumentare X la punctul luat în considerare (X y) numită limită

dacă există.

Derivată parțială a unei funcții z = f(x, y) prin argumentare X notat cu unul dintre următoarele simboluri:

În mod similar, derivata parțială cu privire la la notat și definit prin formula:

Deoarece derivata parțială este derivata obișnuită a unei funcții a unui argument, nu este dificil de calculat. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați toate regulile de diferențiere avute în vedere până acum, ținând cont în fiecare caz care dintre argumente este luat ca „număr constant” și care servește ca „variabilă de diferențiere”.

Cometariu. Pentru a găsi derivata parțială, de exemplu, în raport cu argumentul x – df/dx, este suficient să găsim derivata obișnuită a funcției f(x,y), presupunând că acesta din urmă este o funcție a unui argument X, dar la- permanenta; a găsi df/dy- viceversa.

Exemplu. Găsiți valorile derivatelor parțiale ale unei funcții f(x,y) = 2x2 + y2 la punct P(1;2).

Soluţie. Socoteală f(x,y) funcție cu un singur argument X iar folosind regulile de diferențiere, găsim

La punctul P(1;2) valoare derivată

Considerând f(x; y) în funcție de un argument y, găsim

La punctul P(1;2) valoare derivată

SARCINA PENTRU MUNCA INDEPENDENTA A ELEVULUI:

Găsiți diferențele următoarelor funcții:

Rezolvați următoarele sarcini:

1. Cu cât va scădea aria unui pătrat cu latura x = 10 cm dacă latura se reduce cu 0,01 cm?

2. Ecuația mișcării corpului este dată: y=t 3 /2+2t 2 , unde s se exprimă în metri, t este în secunde. Aflați traseul s parcurs de corp în t=1,92 s de la începutul mișcării.

LITERATURĂ

1. Lobotskaya N.L. Fundamentele Matematicii Superioare - M .: „Școala Superior”, 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematică în biologie și medicină. Pe. din engleza. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Culegere de probleme de fizică medicală și biologică - M .: „Școala superioară”, 1987. C16-20.

Luați în considerare schimbarea unei funcții atunci când creșteți doar unul dintre argumentele sale - x i, și să-i spunem .

Definiția 1.7.derivat privat funcţionează prin argument x i numit .

Denumiri: .

Astfel, derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile este de fapt definită ca derivată a funcției o variabilă - x i. Prin urmare, toate proprietățile derivatelor demonstrate pentru o funcție a unei variabile sunt valabile pentru aceasta.

Cometariu. În calculul practic al derivatelor parțiale, folosim regulile obișnuite pentru diferențierea unei funcții a unei variabile, presupunând că argumentul în raport cu care se realizează diferențierea este variabil, iar argumentele rămase sunt constante.

1. z= 2X² + 3 X y –12y² + 5 X – 4y +2,

2. z = x y ,

Interpretarea geometrică a derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile.

Luați în considerare ecuația suprafeței z = f(x,y) si deseneaza un avion x = const. Să alegem un punct de pe linia de intersecție a planului cu suprafața M (x, y). Dacă setezi argumentul la increment Δ lași luați în considerare punctul T de pe curba cu coordonatele ( x, y+Δ y, z+Δy z), apoi tangenta unghiului format de secanta MT cu directia pozitiva a axei O la, va fi egal cu . Trecând la limita la , obținem că derivata parțială este egală cu tangentei unghiului format de tangenta la curba rezultată în punctul M cu direcția pozitivă a axei O y.În consecință, derivata parțială este egală cu tangenta unghiului cu axa O X tangentă la curba rezultată din secţiunea suprafeţei z = f(x,y) avion y= const.

Definiție 2.1. Se numește incrementul complet al funcției u = f(x, y, z).

Definiție 2.2. Dacă incrementul funcției u \u003d f (x, y, z) în punctul (x 0, y 0, z 0) poate fi reprezentat sub forma (2.3), (2.4), atunci funcția se numește diferențiabilă în acest moment, iar expresia se numește partea liniară principală a incrementului sau diferența totală a funcției luate în considerare.

Notație: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

La fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferențele variabilelor independente sunt incrementele lor arbitrare, prin urmare

Observația 1. Astfel, afirmația „funcția este diferențiabilă” nu este echivalentă cu afirmația „funcția are derivate parțiale” – diferențiabilitatea necesită și continuitatea acestor derivate în punctul luat în considerare.

4. Plan tangent și normal la suprafață. Sensul geometric al diferenţialului.

Lasă funcția z = f(x, y) este diferențiabilă într-o vecinătate a punctului M (x 0, y 0). Atunci derivatele sale parțiale sunt pantele tangentelor la liniile de intersecție ale suprafeței z = f(x, y) cu avioane y = y 0Și x = x 0, care va fi tangentă la suprafața însăși z = f(x, y). Să scriem o ecuație pentru planul care trece prin aceste drepte. Vectorii de direcție ai tangentelor au forma (1; 0; ) și (0; 1; ), deci normala la plan poate fi reprezentată ca produsul lor vectorial: n = (- ,- , 1). Prin urmare, ecuația planului poate fi scrisă astfel:

Unde z0 = .

Definiție 4.1. Planul definit de ecuația (4.1) se numește plan tangent la graficul funcției z = f(x, y)în punctul cu coordonate (x 0, y 0, z 0).

Din formula (2.3) pentru cazul a două variabile rezultă că incrementul funcției fîn vecinătatea punctului M poate fi reprezentat ca:

Prin urmare, diferența dintre aplicațiile graficului funcției și planul tangent este de ordin infinitezimal mai mare decât ρ, la ρ→ 0.

În acest caz, diferenţialul funcţiei f se pare ca:

care corespunde creşterea aplicaţiei planului tangent la graficul funcţiei. Acesta este sensul geometric al diferenţialului.

Definiție 4.2. Vector diferit de zero perpendicular pe planul tangent într-un punct M (x 0, y 0) suprafete z = f(x, y), se numește normal la suprafata in acel punct.

Ca o normală a suprafeței luate în considerare, este convenabil să luăm vectorul - n = { , ,-1}.