Lăsa r Н X X Y.

relatie functionala este o relație binară r,în care fiecare element corespunde exact unul astfel încât perechea să aparțină unei relații sau așa ceva nu exista deloc: sau.

Relatie functionala - aceasta este o relație binară r, pentru care: .

Peste tot o anumită relație– relație binară r, pentru care D r =X(„nu există singuri X").

Relația subiectivă– relație binară r, pentru care J r = Y(„nu există singuri y").

Relația injectivă este o relație binară în care diferite X corespund diferitelor la.

Bijectie– relația funcțională, definită peste tot, injectivă, surjectivă, definește o corespondență unu-la-unu de mulțimi.

De exemplu:

Lăsa r= ( (x, y) О R 2 | y 2 + x 2 = 1, y > 0 ).

Atitudine r- funcţional,

nu este definit peste tot („sunt singuri X"),

nu injectiv (sunt diferite X, la),

nu surjectiv („există singuri la"),

nu o bijectie.

De exemplu:

Fie K= ((x,y) н R 2 | y = x+1)

Relația à este funcțională,

Relația Ã- este definită peste tot ("nu există singuri X"),

Relația Ã- este injectivă (nu sunt diferite X, care corespund aceluiaşi la),

Relația Ã- este surjectivă („nu există singuratici la"),

Relația à este bijectivă, o corespondență reciproc omogenă.

De exemplu:

Fie j=((1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)) să fie definit pe mulțime N 4.

Relația j nu este funcțională, x=1 corespunde la trei y: (1,2), (1,3), (1,4)

Relația j - nu este definită peste tot D j =(1,2,3)¹ N 4

Relația j - nu surjectivă eu j =(1,2,3)¹ N 4

Relația j nu este injectivă, x diferite îi corespund aceluiași y, de exemplu (2,3) și (1,3).

Sarcina pentru munca de laborator

1. Se dau seturi N1și N2. Calculați seturile:

(N1 X N2) З (N2 X N1);

(N1 X N2) È (N2 X N1);

(N1 Ç N2) X (N1 Ç N2);

(N1 → N2) X (N1 → N2),

Unde N1 = ( cifre numerice cartea de recorduri, ultimele trei };

N2 = ( data și numărul lunii nașterii }.

2. Relații rși g pus pe platou N 6 \u003d (1,2,3,4,5,6).

Descrie relații r,g,r -1 , r ○g, r- 1 ○g lista de cupluri.

Găsiți matrici de relații rși g.

Pentru fiecare relație, definiți domeniul de definiție și intervalul de valori.

Definiți proprietățile relației.

Identificați relațiile de echivalență și construiți clase de echivalență.

Identificați relațiile de ordine și clasificați-le.

1) r= { (m,n) | m > n)

g= { (m,n) | comparație modulo 2 }

2) r= { (m,n) | (m - n) divizibil cu 2 }

g= { (m,n) | m separator n)

3) r= { (m,n) | m< n }

g= { (m,n) | comparație modulo 3 }

4) r= { (m,n) | (m+n)- chiar }

g= { (m,n) | m 2 \u003d n)

5) r= { (m,n) | m/n- gradul 2 }

g= { (m,n) | m = n)

6) r= { (m,n) | m/n- chiar }

g = ((m,n) | m³ n)

7) r= { (m,n) | m/n- ciudat }

g= { (m,n) | comparație modulo 4 }

8) r= { (m,n) | m*n- chiar }

g= { (m,n) | m£ n)

9) r= { (m,n) | comparație modulo 5 }

g= { (m,n) | m impartit de n)

10) r= { (m,n) | m- chiar, n- chiar }

g= { (m,n) | m separator n)

11) r= { (m,n) | m = n)

g= { (m,n) | (m+n)£ 5 }

12) r={ (m,n) | mși n au același rest când se împarte la 3 }

g= { (m,n) | (m-n)³2 }

13) r= { (m,n) | (m+n) este divizibil cu 2 }

g = ((m,n) | £2 (m-n) 4 GBP }

14) r= { (m,n) | (m+n) divizibil cu 3 }

g= { (m,n) | m¹ n)

15) r= { (m,n) | mși n au un divizor comun }

g= { (m,n) | m2£ n)

16) r= { (m,n) | (m - n) este divizibil cu 2 }

g= { (m,n) | m< n +2 }

17) r= { (m,n) | comparație modulo 4 }

g= { (m,n) | m£ n)

18) r= { (m,n) | mîmpărțit în întregime în n)

g= { (m,n) | m¹ n, m- chiar }

19) r= { (m,n) | comparație modulo 3 }

g= { (m,n) | 1 £ (m-n) 3 lire sterline }

20) r= { (m,n) | (m - n) divizibil cu 4 }

g= { (m,n) | m¹ n)

21) r= { (m,n) | m- ciudat, n- ciudat }

g= { (m,n) | m£ n, n- chiar }

22) r= { (m,n) | mși n au un rest impar când se împarte la 3 }

g= { (m,n) | (m-n)³1 }

23) r= { (m,n) | m*n- ciudat }

g= { (m,n) | comparație modulo 2 }

24) r= { (m,n) | m*n- chiar }

g= { (m,n) | 1 £ (m-n) 3 lire sterline }

25) r= { (m,n) | (m+ n)- chiar }

g= { (m,n) | m nedivizibil cu n)

26) r= { (m,n) | m = n)

g= { (m,n) | mîmpărțit în întregime în n)

27) r= { (m,n) | (m-n)- chiar }

g= { (m,n) | m separator n)

28) r= { (m,n) | (m-n)³2 }

g= { (m,n) | mîmpărțit în întregime în n)

29) r= { (m,n) | m2³ n)

g= { (m,n) | m / n- ciudat }

30) r= { (m,n) | m³ n, m - chiar }

g= { (m,n) | mși n au un divizor comun altul decât 1 }

3. Stabiliți dacă relația dată este f- funcțional, definit peste tot, injectiv, surjectiv, bijectiv ( R- Multe numere reale). Construiți un grafic al relației, determinați domeniul de definiție și intervalul de valori.

Faceți aceeași sarcină pentru relații rși g de la punctul 3 al lucrării de laborator.

1) f=( (x, y) Î R 2 | y=1/x +7x )

2) f=( (x, y) Î R 2 | X³ y)

3) f=( (x, y) Î R 2 | y³ X )

4) f=( (x, y) Î R 2 | y³ x, x³ 0 }

5) f=( (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1)

6) f=( (x, y) Î R 2 | 2 | y | + | x | = 1)

7) f=( (x, y) Î R 2 | x+y£ 1 }

8) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 2 )

9) f=( (x, y) Î R 2 | y = x 3 + 1)

10) f=( (x, y) Î R 2 | y = -x 2 )

11) f=( (x, y) Î R 2 | | y | + | x | = 1)

12) f=( (x, y) Î R 2 | x = y -2)

13) f=( (x, y) Î R 2 | y2 + x2³ 1,y> 0 }

14) f=( (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, x> 0 }

15) f=( (x, y) Î R 2 | y2 + x2£ 1,x> 0 }

16) f=( (x, y) Î R 2 | x = y2 ,X³ 0 }

17) f=( (x, y) Î R 2 | y = sin(3x + p) )

18) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1/cos x )

19) f=( (x, y) Î R 2 | y=2| x | + 3)

20) f=( (x, y) Î R 2 | y=| 2x+1| )

21) f=( (x, y) Î R 2 | y = 3 x)

22) f=( (x, y) Î R 2 | y=e-x)

23) f =( (x, y)Î R 2 | y=e | x | )

24) f=( (x, y) Î R 2 | y = cos(3x) - 2 )

25) f=( (x, y) Î R 2 | y = 3x 2 - 2 )

26) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x + 2) )

27) f=( (x, y) Î R 2 | y = ln(2x) - 2 )

28) f=( (x, y) Î R 2 | y=| 4x -1| + 2)

29) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x 2 + 2x-5))

30) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 3, y³ - 2 }.

întrebări de testare

2. Definiția unei relații binare.

3. Metode de descriere a relaţiilor binare.

4. Domeniul de aplicare și intervalul de valori.

5. Proprietăţile relaţiilor binare.

6. Relația de echivalență și clasele de echivalență.

7. Relații de ordine: stricte și nestrictive, complete și parțiale.

8. Clase de reziduuri modulo m.

9.Relaţii funcţionale.

10. Injectare, surjecție, bijecție.

Lucrări de laborator № 3

Relaţii. Concepte de bază și definiții

Definiție 2.1.pereche comandată<X, y> este o colecție de două elemente Xși y dispuse într-o anumită ordine.

Două perechi ordonate<X, y> și<u, v> sunt egale între ele dacă și numai dacă X = uși y= v.

Exemplul 2.1.

<A, b>, <1, 2>, <X, 4> sunt perechi ordonate.

În mod similar, putem considera triple, cvadruple, n-elementele ki<X 1 , X 2 ,…xn>.

Definiție 2.2.Direct(sau carteziană)muncă doua seturi Ași B este o mulțime de perechi ordonate astfel încât primul element al fiecărei perechi să aparțină mulțimii A, iar al doilea - la set B:

A ´ B = {<A, b>, ç AÎ DARși bÏ LA}.

În general, produsul direct n seturi DAR 1 ,DAR 2 ,…A n se numeste multime DAR unu DAR 2 '...' A n, constând din seturi ordonate de elemente<A 1 , A 2 , …,un n> lungime n, astfel încât eu- al un i aparține setului A i,un i Î A i.

Exemplul 2.2.

Lăsa DAR = {1, 2}, LA = {2, 3}.

Apoi A ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.

Exemplul 2.3.

Lăsa DAR= {X ç0 £ X£ 1) și B= {yç2 £ y 3 GBP)

Apoi A ´ B = {<X, y >, ç0 £ X£1&2 £ y 3 lire sterline).

Astfel, setul A ´ B este formată din puncte situate în interiorul și pe marginea unui dreptunghi format din linii drepte X= 0 (axa y), X= 1,y= 2 și y = 3.

Matematicianul și filozoful francez Descartes a fost primul care a propus o reprezentare coordonată a punctelor dintr-un plan. Acesta este din punct de vedere istoric primul exemplu de lucrare directă.

Definiția 2.3.binar(sau dubla)raportul r se numeste multimea perechilor ordonate.

Dacă un cuplu<X, y> aparține r, atunci se scrie astfel:<X, y> Î r sau, care este la fel, xr y.

Exemplul2.4.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}

În mod similar, se poate defini n-relaţia locală ca ansamblu de ordonate n-O.K.

Deoarece o relație binară este o mulțime, modurile de specificare a unei relații binare sunt aceleași cu modurile de specificare a unei mulțimi (vezi Secțiunea 1.1). O relație binară poate fi specificată prin enumerarea perechilor ordonate sau prin specificarea proprietate comună perechi ordonate.

Exemplul 2.5.

1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) – relația este dată de enumerarea perechilor ordonate;

2. r = {<X, y> ç X+ y = 7, X, y sunt numere reale) – raportul se precizează prin specificarea proprietății X+ y = 7.

În plus, poate fi dată o relație binară matrice de relații binare. Lăsa DAR = {A 1 , A 2 , …, un n) este o mulțime finită. matrice de relații binare C există matrice pătrată Ordin n, ale căror elemente c ij sunt definite după cum urmează:

Exemplul 2.6.

DAR= (1, 2, 3, 4). Să definim o relație binară rîn cele trei moduri enumerate.

1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – relația este dată prin enumerarea tuturor perechilor ordonate.

2. r = {<un i, aj> ç un i < aj; un i, ajÎ DAR) – relația este specificată prin specificarea proprietății „mai puțin decât” pe mulțime DAR.

3. - relatia este data de matricea relatiei binare C.

Exemplul 2.7.

Să luăm în considerare câteva relații binare.

1. Relații asupra mulțimii numerelor naturale.

a) relația £ este valabilă pentru perechi<1, 2>, <5, 5>, dar nu este mulțumit de pereche<4, 3>;

b) relația „au un divizor comun altul decât unul” este valabilă pentru perechi<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, dar nu este mulțumit de pereche<3, 28>.

2. Relaţii pe mulţimea punctelor planului real.

a) relația „a fi la aceeași distanță de punctul (0, 0)” este valabilă pentru punctele (3, 4) și (–2, Ö21), dar nu este valabilă pentru punctele (1, 2) și (5, 3);

b) relația „să fie simetrică față de axă OY" se efectuează pentru toate punctele ( X, y) și (- X, –y).

3. Relații pe o varietate de oameni.

a) atitudinea „de a locui într-un singur oraș”;

b) atitudinea „de a studia într-o grupă”;

c) atitudinea „a fi mai în vârstă”.

Definiție 2.4. Domeniul unei relații binare r este mulțimea D r = (x ç există y astfel încât xr y).

Definiția 2.5. Domeniul unei relații binare r este mulțimea R r = (y çexistă x astfel încât xr y).

Definiția 2.6. Domeniul unei relații binare r este mulțimea M r = D r ÈR r .

Folosind conceptul de produs direct, putem scrie:

rÎ D r´ R r

În cazul în care un D r= R r = A, atunci spunem că relația binară r pus pe platou A.

Exemplul 2.8.

Lăsa r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.

Apoi D r ={1, 3, 4}, R r = {3, 2}, Domnul= {1, 2, 3, 4}.

Operațiuni pe relații

Deoarece relațiile sunt mulțimi, toate operațiile asupra mulțimilor sunt valabile pentru relații.

Exemplul 2.9.

r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.

r 1 È r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

r 1 Z r 2 = {<1, 2>}.

r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.

Exemplul 2.10.

Lăsa R- Multe numere reale. Luați în considerare următoarele relații pe acest set:

r 1 - „£”; r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 - „³”; r 5 – " > ".

r 1 = r 2 È r 3 ;

r 2 = r 1 Z r 4 ;

r 3 = r 1 \ r 2 ;

r 1 = ;

Mai definim două operații pe relații.

Definiția 2.7. Relația se numește verso la atitudine r(notat r- 1) dacă

r- 1 = {<X, y> ç< y, x> Î r}.

Exemplul 2.11.

r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r- 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.

Exemplul 2.12.

r = {<X, y> ç X – y = 2, X, y Î R}.

r- 1 = {<X, y> ç< y, x> Î r} = r- 1 = {<X, y> ç y–X = 2, X, y Î R} = {<X, y> ç– X+ y = 2, X, y Î R}.

Definiția 2.8.Compoziția a două rapoarte r și s se numeste raport

s r= {<X, z> çexistă așa y, ce<X, y> Î rși< y,z> Î s}.

Exemplul 2.13.

r = {<X, y> ç y = sinx}.

s= {<X, y> ç y = Ö X}.

s r= {<X, z> çexistă așa y, ce<X, y> Î rși< y,z> Î s} = {<X, z> çexistă așa y, ce y = sinxși z= Ö y} = {<X, z> ç z= Ö sinx}.

Definiția compoziției a două relații corespunde definiției unei funcții complexe:

y = f(X), z= g(y) Þ z= g(f(X)).

Exemplul 2.14.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.

s = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.

Proces de găsire s rîn conformitate cu definiția compoziției, este convenabil să o reprezentați cu un tabel în care este implementată enumerarea tuturor valorilor posibile X, y, z. pentru fiecare pereche<X, y> Î r luați în considerare toate perechile posibile< y,z> Î s(Tabelul 2.1).

Tabelul 2.1

<X, y> Î r	< y,z> Î s	<X, z> Î s r
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1>	<1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3>	<1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3>

Rețineți că primul, al treilea și al patrulea rând, precum și al doilea și al cincilea rând din ultima coloană a tabelului conțin perechi identice. Deci obținem:

s r= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.

Proprietățile relației

Definiția 2.9. Atitudine r numit reflectorizant pe platou X, dacă pentru vreunul XÎ X efectuat xr x.

Din definiție rezultă că orice element<X,X > Î r.

Exemplul 2.15.

a) Fie X este o mulțime finită X= (1, 2, 3) și r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). Atitudine rîn mod reflex. În cazul în care un X este o mulțime finită, atunci diagonala principală a matricei relațiilor reflexive conține doar unele. Pentru exemplul nostru

b) Fie X r raport de egalitate. Această relaţie este reflexivă, deoarece fiecare număr este egal cu el însuși.

c) Fie X- mulți oameni și r atitudine „de a trăi într-un oraș”. Această relaţie este reflexivă, deoarece toată lumea trăiește în același oraș cu el însuși.

Definiția 2.10. Atitudine r numit simetric pe platou X, dacă pentru vreunul X, yÎ X din xry ar trebui să an x.

Este evident că r simetric dacă şi numai dacă r = r- 1 .

Exemplul 2.16.

a) Fie X este o mulțime finită X= (1, 2, 3) și r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). Atitudine r simetric. În cazul în care un X este o mulțime finită, atunci matricea raportului simetric este simetrică față de diagonala principală. Pentru exemplul nostru

b) Fie X este mulţimea numerelor reale şi r raport de egalitate. Această relație este simetrică, deoarece dacă X egală y, apoi și y egală X.

c) Fie X- mulți studenți și r atitudinea de „învățare într-un grup”. Această relație este simetrică, deoarece dacă X studiind în aceeași grupă y, apoi și y studiind în aceeași grupă X.

Definiția 2.11. Atitudine r numit tranzitiv pe platou X, dacă pentru vreunul X, y,zÎ X din xryși yrz ar trebui să xrz.

Îndeplinirea simultană a condițiilor xry, yrz, xrzînseamnă că un cuplu<X,z> aparține compoziției r r. Prin urmare, pentru tranzitivitate r necesar si suficient ca setul r r a fost un subset r, adică r rÍ r.

Exemplul 2.17.

a) Fie X este o mulțime finită X= (1, 2, 3) și r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). Atitudine r este tranzitivă, deoarece împreună cu perechile<X,y>si<y,z> are un cuplu<X,z>. De exemplu, împreună cu perechile<1, 2>, și<2, 3>există un cuplu<1, 3>.

b) Fie X este mulţimea numerelor reale şi r relația £ (mai mică sau egală). Această relaţie este tranzitivă, deoarece dacă X£ yși y£ z, apoi X£ z.

c) Fie X- mulți oameni și r atitudinea de a fi mai în vârstă. Această relaţie este tranzitivă, deoarece dacă X mai batran yși y mai batran z, apoi X mai batran z.

Definiția 2.12. Atitudine r numit relație de echivalență pe platou X, dacă este reflexiv, simetric și tranzitiv pe platou X.

Exemplul 2.18.

a) Fie X este o mulțime finită X= (1, 2, 3) și r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). Atitudine r este o relație de echivalență.

b) Fie X este mulţimea numerelor reale şi r raport de egalitate. Aceasta este o relație de echivalență.

c) Fie X- mulți studenți și r atitudinea de „învățare într-un grup”. Aceasta este o relație de echivalență.

Lăsa r X.

Definiția 2.13. Lăsa r este relația de echivalență pe mulțime Xși XÎ X. Clasa de echivalare, generat de element X, se numește submulțime a mulțimii X, constând din acele elemente yÎ X, pentru care xry. Clasa de echivalență generată de element X, notat cu [ X].

În acest fel, [ X] = {yÎ X|xry}.

Se formează clasele de echivalență compartimentare seturi X, adică un sistem de submulțimi disjunse în perechi non-vide ale submulților sale a căror unire coincide cu întreaga mulțime X.

Exemplul 2.19.

a) Relația de egalitate pe mulțimea numerelor întregi generează următoarele clase de echivalență: pentru orice element X din acest set [ X] = {X), adică fiecare clasă de echivalență este formată dintr-un element.

b) Clasa de echivalență generată de pereche<X, y> este determinat de raportul:

[<X, y>] = .

Fiecare clasă de echivalență generată de o pereche<X, y> definește un număr rațional.

c) Pentru relaţia de apartenenţă la o grupă de elevi, clasa de echivalenţă este mulţimea elevilor unei grupe.

Definiția 2.14. Atitudine r numit antisimetric pe platou X, dacă pentru vreunul X, yÎ X din xryși an x ar trebui să X = y.

Din definiția antisimetriei rezultă că ori de câte ori o pereche<X,y> deținut în același timp rși r- 1, egalitatea X = y. Cu alte cuvinte, r Ç r- 1 este format numai din perechi de formă<X,X >.

Exemplul 2.20.

a) Fie X este o mulțime finită X= (1, 2, 3) și r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Atitudine r antisimetric.

Atitudine s= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) nu este antisimetric. De exemplu,<1, 2> Î s,și<2, 1> Î s, dar 1 ¹2.

b) Fie X este mulţimea numerelor reale şi r relația £ (mai mică sau egală). Această relație este antisimetrică, deoarece dacă X £ y, și y £ X, apoi X = y.

Definiția 2.15. Atitudine r numit relație de ordine parțială(sau doar o comandă parțială) pe platou X, dacă este reflexiv, antisimetric și tranzitiv pe platou X. Multe Xîn acest caz se numește parțial ordonat, iar această relație este deseori notată prin simbolul £, dacă aceasta nu duce la neînțelegeri.

Relația inversă față de relația de ordine parțială va fi evident relația de ordine parțială.

Exemplul 2.21.

a) Fie X este o mulțime finită X= (1, 2, 3) și r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Atitudine r

b) Atitudine DARÍ LA pe multimea submultimii unei multimi U este o relație de ordine parțială.

c) Relația de divizibilitate pe mulțimea numerelor naturale este o relație de ordin parțial.

Funcții. Concepte de bază și definiții

LA analiză matematică se adoptă următoarea definiție a funcției.

Variabil y se numeste functie a unei variabile X, dacă, după o regulă sau o lege, fiecare valoare X corespunde unuia o anumită valoare y = f(X). Domeniu variabil X se numește sfera funcției și sfera variabilei y– gama de valori ale funcției. Dacă o valoare X se potrivește cu mai multe (și chiar la infinit) valori y), atunci funcția se numește multivalorică. Totuși, în cursul analizei funcțiilor variabilelor reale se evită funcțiile cu mai multe valori și se iau în considerare funcțiile cu o singură valoare.

Luați în considerare o altă definiție a unei funcții în termeni de relații.

Definiția 2.16. Funcţie este orice relație binară care nu conține două perechi cu primele componente egale și altele secunde diferite.

Această proprietate de relație se numește unicitatea sau funcţionalitate.

Exemplul 2.22.

A) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) este o funcție.

b) (<X, y>: X, y Î R, y = X 2) este o funcție.

in) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) este o relație, nu o funcție.

Definiția 2.17.În cazul în care un f este o funcție, atunci D f – domeniu, A Rf – gamă funcții f.

Exemplul 2.23.

De exemplu 2.22 a) D f – {1, 3, 4, 5}; Rf – {2, 4, 6}.

De exemplu 2.22 b) D f = Rf = (–¥, ¥).

Fiecare element X D f potriviri de funcții singurul element y Rf. Acest lucru este notat prin notația binecunoscută y = f(X). Element X numit un argument al funcției sau un element preimagine y cu functia f, și elementul y valoarea functiei f pe X sau imaginea elementului X la f.

Deci, din toate relațiile, funcțiile se disting prin faptul că fiecare element din domeniul definiției are singurul imagine.

Definiția 2.18.În cazul în care un D f = Xși Rf = Y, atunci spunem că funcția f determinat pe Xși își asumă valorile Y, A f numit maparea mulțimii X pe Y(X ® Y).

Definiția 2.19. Funcții fși g sunt egale dacă domeniul lor de definiție este aceeași mulțime D, și pentru orice X Î D egalitate corectă f(X) = g(X).

Această definiție nu contrazice definiția egalității funcțiilor ca egalitate a mulțimilor (la urma urmei, am definit o funcție ca o relație, adică o mulțime): mulțimi fși g sunt egale dacă și numai dacă sunt formate din aceleași elemente.

Definiția 2.20. Funcție (afișaj) f numit surjectiv sau pur și simplu surjecție, dacă pentru orice element y Y element există X Î X, astfel încât y = f(X).

Deci fiecare funcție f este o mapare surjectivă (surjecție) D f® Rf.

În cazul în care un f este o surjecție și Xși Y sunt mulțimi finite, atunci ³ .

Definiția 2.21. Funcție (afișaj) f numit injectiv sau pur și simplu injecţie sau unu la unu dacă din f(A) = f(b) ar trebui să A = b.

Definiția 2.22. Funcție (afișaj) f numit bijectiv sau pur și simplu bijectie dacă este atât injectiv cât şi surjectiv.

În cazul în care un f este o bijecție și Xși Y sunt mulțimi finite, atunci = .

Definiția 2.23. Dacă intervalul funcției D f constă dintr-un singur element f numit functie constanta.

Exemplul 2.24.

A) f(X) = X 2 este o mapare a mulțimii de numere reale pe mulțimea de numere reale nenegative. pentru că f(–A) = f(A), și A ¹ – A, atunci această funcție nu este o injecție.

b) Pentru fiecare X R= (– , ) funcţie f(X) = 5 este o funcție constantă. Afișează multe R la setul (5). Această funcție este surjectivă, dar nu injectivă.

în) f(X) = 2X+ 1 este o injecție și o bijecție, deoarece de la 2 X 1 +1 = 2X Urmează 2+1 X 1 = X 2 .

Definiția 2.24. Funcția care implementează afișajul X unu X 2 '...' X n ® Y numit n-local funcţie.

Exemplul 2.25.

a) Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea sunt funcții binare pe mulțime R numere reale, adică funcții de tip R 2® R.

b) f(X, y) = este o funcție cu două locuri care implementează maparea R ´ ( R \ )® R. Această funcție nu este o injecție, deoarece f(1, 2) = f(2, 4).

c) Tabelul de câștiguri la loterie definește o funcție cu două locuri care stabilește o corespondență între perechile din N 2 (N este mulţimea numerelor naturale) şi mulţimea plăţilor.

Deoarece funcțiile sunt relații binare, este posibil să găsiți funcții inverse și să aplicați operația de compunere. Compunerea oricăror două funcții este o funcție, dar nu pentru fiecare funcție f atitudine f-1 este o funcție.

Exemplul 2.26.

A) f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) este o funcție.

Atitudine f –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) nu este o funcție.

b) g = {<1, A>, <2, b>, <3, c>, <4, D>) este o funcție.

g -1 = {<A, 1>, <b, 2>, <c, 3>, <D, 4>) este, de asemenea, o funcție.

c) Aflați compoziția funcțiilor f din exemplul a) și g-1 din exemplul b). Avem g -1f = {<A, 2>, <b, 3>, <c, 4>, <d, 2>}.

fg-1 = Æ.

Observa asta ( g -1f)(A) = f(g -1 (A)) = f(1) = 2; (g -1f)(c) = f(g -1 (c)) = f(3) = 4.

functie elementaraîn analiza matematică se numește orice funcție f, care este o compoziție a unui număr finit de funcții aritmetice, precum și următoarele funcții:

1) Funcții fracționale-raționale, i.e. funcţiile formei

A 0 + A 1 X + ... + un n x n

b 0 + b 1 X + ... + b m x m.

2) Funcția de putere f(X) = x m, Unde m este orice număr real constant.

3) Functie exponentiala f(X) = ex.

4) funcția logaritmică f(X) = log x, A >0, A 1.

5) Funcții trigonometrice sin, cos, tg, ctg, sec, csc.

6) Funcții hiperbolice sh, ch, th, cth.

7) invers funcții trigonometrice arc sin, arccos etc.

De exemplu, funcția Buturuga 2 (X 3 +sincos 3X) este elementară, deoarece este alcătuirea funcţiilor cosx, sinx, X 3 , X 1 + X 2 , logx, X 2 .

O expresie care descrie compoziția funcțiilor se numește formulă.

Pentru o funcție multiloc, este valabil următorul rezultat important, care a fost obținut de A. N. Kolmogorov și V. I. Arnold în 1957 și este o soluție la cea de-a 13-a problemă Hilbert:

Teorema. Fiecare funcție continuă n variabilele pot fi reprezentate ca o compoziție funcții continue două variabile.

Modalități de a seta funcții

1. Cel mai simplu mod de a seta funcții sunt tabelele (Tabelul 2.2):

Tabelul 2.2

Cu toate acestea, funcțiile definite pe mulțimi finite pot fi definite în acest fel.

Dacă o funcție definită pe o mulțime infinită (segment, interval) este definită la un număr finit de puncte, de exemplu, sub forma tabele trigonometrice, tabele de funcții speciale etc., apoi regulile de interpolare sunt utilizate pentru a calcula valorile funcțiilor în punctele intermediare.

2. O funcție poate fi definită ca o formulă care descrie o funcție ca o compoziție a altor funcții. Formula specifică succesiunea în care este calculată funcția.

Exemplul 2.28.

f(X) = păcat(X + Ö X) este o alcătuire a următoarelor funcții:

g(y) = Ö y; h(tu, v) = u+v; w(z) = sinz.

3. Funcția poate fi dată sub formă procedura recursivă. Procedura recursiva defineste o functie definita pe multimea numerelor naturale, i.e. f(n), n= 1, 2,... astfel: a) valoarea f(1) (sau f(0)); b) sens f(n+ 1) se definește prin compoziție f(n) și alte funcții cunoscute. Cel mai simplu exemplu de procedură recursivă este calculul n!: a) 0! = 1; b) ( n + 1)! = n!(n+ 1). Multe proceduri de metodă numerică sunt proceduri recursive.

4. Există modalități de a defini o funcție care nu conțin o modalitate de a calcula funcția, ci doar o descrie. De exemplu:

f M(X) =

Funcţie f M(X) este funcția caracteristică a mulțimii M.

Deci, conform sensului definiției noastre, definiți funcția f- înseamnă a seta afișajul X ® Y, adică defini un set X´ Y, deci întrebarea se reduce la specificarea unui set. Totuși, este posibil să se definească conceptul de funcție fără a folosi limbajul teoriei mulțimilor și anume: o funcție este considerată dată dacă este dată o procedură de calcul care, dată fiind valoarea argumentului, găsește valoarea corespunzătoare a funcției. O funcție definită în acest fel este numită calculabil.

Exemplul 2.29.

Procedura de determinare numerele Fibonacci, este dat de raportul

F n= Fn- 1 + Fn- 2 (n³ 2) (2,1)

cu valorile initiale F 0 = 1, F 1 = 1.

Formula (2.1), împreună cu valorile inițiale, determină următoarea serie de numere Fibonacci:

n	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
F n	1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

Procedura de calcul pentru determinarea valorii unei funcții dintr-o anumită valoare a argumentului nu este altceva decât algoritm.

Întrebări de securitate pentru subiectul 2

1. Specificați modalitățile de specificare a unei relații binare.

2. Diagonala principală a matricei a cărui raport conține numai unul?

3. Pentru ce relație r condiția este întotdeauna îndeplinită r = r- 1 ?

4. Pentru ce relație r condiția este întotdeauna îndeplinită r rÍ r.

5. Introduceți relații de echivalență și ordine parțială pe mulțimea tuturor dreptelor din plan.

6. Specificați modalități de setare a funcțiilor.

7. Care dintre următoarele afirmații este corectă?

a) Fiecare relație binară este o funcție.

b) Fiecare funcție este o relație binară.

Tema 3. GRAFICE

Prima lucrare a lui Euler despre teoria grafurilor a apărut în 1736. La început, această teorie a fost asociată cu puzzle-uri și jocuri matematice. Cu toate acestea, mai târziu teoria grafurilor a început să fie folosită în topologie, algebră și teoria numerelor. În zilele noastre, teoria grafurilor își găsește aplicare într-o mare varietate de domenii ale științei, tehnologiei și practicii. Este utilizat în proiectarea rețelelor electrice, planificarea transportului, construirea schemelor moleculare. Teoria grafurilor este folosită și în economie, psihologie, sociologie și biologie.

Orice set de 2 liste sau perechi se numește relație. Relațiile vor fi deosebit de utile atunci când discutăm despre semnificația programelor.

Cuvântul „relație” poate însemna o regulă de comparație, „echivalență” sau „este un submult”, etc. Formal, relațiile care sunt seturi de 2 liste pot descrie aceste reguli informale exact prin includerea exactă a acele perechi ale căror elemente sunt în conexiunea corectăîmpreună. De exemplu, relația dintre caractere și 1-șiruri care conțin acele caractere este dată de următoarea relație:

C = ( : x - caracter) = ( , , …}

Deoarece o relație este o mulțime, este posibilă și o relație goală. De exemplu, corespondența dintre par numere naturaleși pătratele lor impare - nu există. Mai mult, operațiunile setate se aplică relațiilor. Dacă s și r sunt relații, atunci există

s И r, s – r, s З r

întrucât acestea sunt mulţimi de perechi ordonate de elemente.

Un caz special al unei relații este o funcție, o relație cu o proprietate specială, caracterizată prin aceea că fiecare prim element este asociat cu un al doilea element unic. Relația r este o funcție dacă și numai dacă pentru oricare

О r și О r, atunci y = z.

În acest caz, fiecare prim element poate servi drept nume pentru al doilea în contextul relației. De exemplu, relația C dintre caractere și 1-șiruri descrisă mai sus este o funcție.

Operațiile de set se aplică și funcțiilor. Deși rezultatul unei operații pe mulțimi de perechi ordonate care sunt funcții va fi în mod necesar un alt set de perechi ordonate și, prin urmare, o relație, dar nu întotdeauna o funcție.

Dacă f,g sunt funcții, atunci f Ç g, f – g sunt de asemenea funcții, dar f È g poate fi sau nu o funcție. De exemplu, să definim capul relației

H = (< Θ y, y>: y - șir) = ( , , …}

Și luați relația C descrisă mai sus. Apoi din faptul că C н H:

este o funcție,

H - C = (< Θ y, y>: y este un șir de cel puțin 2 caractere)

este o relație, nu o funcție,

este o funcție goală și

este o relatie.

Mulțimea primelor elemente ale perechilor unei relații sau funcție se numește domeniu, iar mulțimea celor doua elemente ale perechilor se numește interval. Pentru elementele de relație, să zicem О r, x se numește argument r, iar y se numește sens r.

Când Î r și și y este singura valoare pentru x, notație de valoare:

citește „y este valoarea r a argumentului x” sau, mai concis, „y este valoarea r a lui x” (notație funcțională).

Să setăm un raport arbitrar r și argumentul x, atunci există trei opțiuni pentru corespondența lor:

1. x П domeniu(r), în acest caz r nedefinit pe x
2. x н domeniu(r), și există y, z distincte astfel încât О r și О r. În acest caz, r este definit în mod ambiguu pe x
3. x н domeniu(r) și există o pereche unică О r. În acest caz r este definit în mod unic pe x și y=r(x).

Astfel, o funcție este o relație care este definită în mod unic pentru toate elementele domeniului său de definire.

Se află trei funcții speciale:

funcţie goală(), nu are argumente și valori, adică

domeniu(()) = (), interval(()) = ()

Funcția de echivalență, funcția I este

că dacă x Î domeniul(r), atunci I(x) = x.

functie constanta, al cărui interval este dat de setul 1, adică aceeași valoare corespunde tuturor argumentelor.

Deoarece relațiile și funcțiile sunt mulțimi, ele pot fi descrise prin enumerarea elementelor sau prin specificarea regulilor. De exemplu:

r = (<†ball†, †bat†>, <†ball†, †game†>, <†game†, †ball†>}

este o relație deoarece toate elementele sale sunt 2-liste

domeniu(r) = (†minge†, †joc†)

interval (r) = (†minge†, †joc†, †bat†)

Totuși, r nu este o funcție deoarece doi sensuri diferite apar în perechi cu un singur argument †ball†.

Un exemplu de relație definită cu o regulă:

s = ( : cuvântul x precede imediat cuvântul y

în linie †aceasta este o relație care nu este o funcție†)

Această relație poate fi specificată și cu o enumerare:

s = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>, <†relation†, †that†>,

<†that†, †is†>, <†is†, †not†>, <†not†, †a†>, <†a†, †function†>}

Următoarea regulă definește o funcție:

f = ( : prima instanță a cuvântului imediat înaintea cuvântului y

în linie †aceasta este o relație care este și o funcție†)

care poate fi specificat și printr-o enumerare:

f = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>,

<†relation†, †that†>, <†that†, †is†>, <†also†, †a†>}

Valoarea programelor.

Relațiile și funcțiile sunt vitale pentru descriere pentru a descrie semnificația programelor. Folosind aceste concepte, se dezvoltă o notație pentru a descrie semnificația programelor. Pentru programele simple semnificația va fi evidentă, dar aceste exemple simple vor servi la stăpânirea teoriei în ansamblu.

Idei noi: notarea casetei, sensul programului și programului.

Setul de perechi intrare-ieșire pentru toate rulările normale posibile ale programului se numește valoarea programului. Conceptele pot fi de asemenea folosite funcția programuluiși atitudinea programului. Este important să se facă distincția între semnificația programului și elementele de sens. Pentru o anumită intrare, o mașină Pascal controlată de un program Pascal poate produce o anumită ieșire. Dar sensul unui program este mult mai mult decât un mod de a exprima rezultatul unei anumite execuții. Ea exprimă tot posibil rulează un program Pascal pe o mașină Pascal.

Un program poate lua intrarea împărțită în linii și poate produce ieșiri împărțite în linii. Astfel, perechile dintr-o valoare de program pot fi perechi de liste de șiruri de caractere.

Notarea casetei.

Orice program Pascal este un șir de caractere transmis mașinii Pascal pentru procesare. De exemplu:

P = †PROGRAM PrintHello (INTRARE, IEȘIRE); ÎNCEPE WRITELN('BUNA') SFÂRȘIT.†

Reprezintă unul dintre primele programe discutate la începutul părții I sub formă de șir.

De asemenea, această linie poate fi scrisă prin omiterea marcatorilor de linie precum

P = PROGRAM PrintHello(INTRARE, IEȘIRE);

WRITELN('BUNA')

Șirul P reprezintă sintaxa programului și vom scrie valoarea acestuia ca P. Valoarea lui P este setul de 2 liste (perechi ordonate) de liste de șiruri de caractere în care argumentele reprezintă intrarea programului și valorile ​reprezintă rezultatul programului, adică

P = ( : pentru lista de intrare a șirurilor de caractere L, P este executată corect

și returnează o listă de șiruri M)

Notația casetă pentru valoarea unui program păstrează sintaxa și semantica programului, dar distinge clar una de alta. Pentru programul PrintHello de mai sus:

P = ( } =

{>: L - orice listă de șiruri)

Prin plasarea textului programului într-o casetă:

P = PROGRAM PrintHello(INTRARE, IEȘIRE); BEGIN WRITELN('HELLO') END

Deoarece P este o funcție,

PROGRAM PrintHello (INTRARE, IEȘIRE); BEGIN WRITELN('HELLO') END (L) =<†HELLO†>

pentru orice listă de șiruri L.

Notația casetă ascunde modul în care programul controlează Pascal Machine și arată doar ceea ce merge împreună cu execuția. Termenul „cutie neagră” este adesea folosit pentru a descrie un mecanism văzut doar din exterior în ceea ce privește intrările și ieșirile. Astfel, această notație este adecvată pentru semnificația programului în termeni de I/O. De exemplu, programul R

PROGRAM PrintHelloInSteps(INTRARE, IEȘIRE);

SCRIE('EL');

SCRIE('L');

WRITELN('LO')

Are același sens ca P, adică R = P.

Programul R are, de asemenea, un nume CFPascal PrintHelloInSteps. Dar, deoarece șirul †PrintHelloInSteps† face parte din șirul R, este mai bine să nu utilizați PrintHelloInSteps ca nume al unui program R în notație casetă.

Afişa f dintr-o mulțime X la o mulțime Y se consideră dat dacă fiecare element x din X este asociat cu exact un element y din Y, notat cu f(x).

Se numește mulțimea X domeniul definirii maparea f și mulțimea Y gamă. Set de perechi ordonate

Г f = ((x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x))

numit afisare grafic f. Rezultă direct din definiție că graficul mapării f este o submulțime a produsului cartezian X×Y:

Strict vorbind, o mapare este un triplu de mulțimi (X, Y, G) astfel încât G⊂ X×Y și fiecare element x al lui X este primul element din exact o pereche (x, y) a lui G. Notă al doilea element al unei astfel de perechi prin f(x), se obține o mapare f a mulțimii X la mulțimea Y. Mai mult, G=Г f . Dacă y=f(x), vom scrie f:x→y și vom spune că elementul x merge sau mapează elementul y; elementul f(x) se numește imaginea elementului x față de maparea f. Pentru a desemna mapările, vom folosi notația f: X→Y.

Fie f: X→Y o mapare de la o mulțime X la o mulțime Y și A și B să fie submulțimi ale mulțimilor X și Y, respectiv. Mulțimea f(A)=(y| y=f(x) pentru unele x∈A) se numește cale mulţimea A. Mulţimea f − 1 (B)=(x| f(x) ∈B)

numit prototip mulţimea B. O mapare f: A→Y astfel încât x→f(x) pentru tot x∈A este numită constricție mapări f la mulţimea A; restricţia se va nota cu f| A.

Să fie mapări f: X→Y și g: Y→Z. Harta X→Z care duce x la g(f(x)) este numită compoziţie mapările f și g și se notează cu fg .

Se numește o mapare a unei mulțimi X în X astfel încât fiecare element să intre în sine, x→x identicși se notează cu id X .

Pentru o mapare arbitrară f: X→Y avem id X ⋅f = f⋅id Y .

Se numește maparea f: X→Y injectiv, dacă pentru orice elemente din și rezultă că . Se numește maparea f: X→Y surjectiv, dacă fiecare element y din Y este imaginea unui element x din X, adică f(x)=y. Se numește maparea f: X→Y bijectiv dacă este atât injectiv cât şi surjectiv. O mapare bijectivă f: X→Y este inversabilă. Aceasta înseamnă că există o mapare g: Y→X numită verso la o mapare f astfel încât g(f(x))=x și f(g(y))=y pentru orice x∈X, y∈Y. Maparea inversă mapării f se notează cu f − 1 .

O mapare inversabilă f: X→Y stabilește unu la unu corespondența dintre elementele mulțimilor X și Y. Maparea injectivă f: X→Y stabilește o corespondență unu-la-unu între mulțimea X și mulțimea f(X).

Exemple. 1) Funcția f:R→R >0, f (x)=e x , stabilește o corespondență unu-la-unu a mulțimii tuturor numerelor reale R cu mulțimea numerelor reale pozitive R >0 . Inversul mapării f este maparea g:R >0 →R, g(x)=ln x.

2) Aplicarea f:R→R ≥ 0 , f(x)=x 2 , mulțimea tuturor R reale pe mulțime numere nenegative R ≥ 0 este surjectiv, dar nu injectiv și, prin urmare, nu este bijectiv.

Proprietățile funcției:

1. Compunerea a doua functii este o functie, i.e. daca atunci .

2. Alcătuirea a două funcții bijective este o funcție bijectivă, dacă , atunci .

3. O mapare are o mapare inversă dacă și

dacă și numai dacă f este o bijecție, i.e. daca atunci .

Definiție. n - relație locală, sau n - predicat local Р, pe mulțimile А 1 ;А 2 ;…;А n este orice submulțime a produsului cartezian .

Denumirea n - relație locală P(x 1 ;x 2 ;…;x n). Pentru n=1 se numește relația P unarși este o submulțime a mulțimii A 1 . binar(dublu pentru n=2) relația este o mulțime de perechi ordonate.

Definiție. Pentru orice mulțime A, relația se numește relație identică, sau diagonală, și relația completă, sau pătrat complet.

Fie P o relație binară. Apoi domeniul relației binare P se numește mulțime pentru unele y) și gamă este un set pentru niște x). Verso O relație cu P este o mulțime.

Raportul R se numește reflectorizant dacă conține toate perechile de forma (x, x) pentru orice x din X. Se numește relația P antireflexiv, dacă nu conține nicio pereche de forma (x,x). De exemplu, relația x≤y este reflexivă, iar relația x

Raportul R se numește simetric, dacă împreună cu fiecare pereche (x,y) conține și perechea (y,x). Simetria relaţiei P înseamnă că P = P -1.

Raportul R se numește antisimetric, dacă (x;y) și (y;x), atunci x=y.

Raportul R se numește tranzitiv dacă împreună cu orice pereche (x, y) și (y, z) conține și perechea (x, z), adică xРy și yРz implică xРz.

Proprietățile relațiilor binare:

Exemplu. Fie A=(x/x este un număr arab); P=((x;y)/x,yA,x-y=5). Găsiţi D;R;P-1.

Soluţie. Relația Р poate fi scrisă ca Р=((5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)), atunci pentru ea avem D=(5 ;6;7;8;9); E=(0;1;2;3;4); P-1 =((0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)).

Se consideră două mulțimi finite și o relație binară. Să introducem matricea de relații binare P astfel: .

Matricea oricărei relații binare are proprietati:

1. Dacă și , atunci , și adăugarea elementelor matricei se realizează conform regulilor 0+0=0; 1+1=1; 1+0=0+1=1, iar înmulțirea se face termen cu termen în modul obișnuit, adică. conform regulilor 1*0=0*1=0; 1*1=1.

2. Dacă , atunci , și matricele sunt înmulțite conform regulii obișnuite de înmulțire a matricei, dar produsul și suma elementelor în timpul înmulțirii matricelor se găsesc conform regulilor articolului 1.

4. Dacă , atunci și

Exemplu. Relația binară este prezentată în Fig. 2. Matricea sa are forma .

Soluţie. Fie , atunci ;

Fie P o relație binară pe mulțimea A, . Relația P pe mulțimea A se numește reflectorizant dacă , unde asteriscurile indică zerouri sau unu. Raportul R se numește ireflexivă dacă . Relația P pe mulțimea A se numește simetric, daca pentru si pentru rezulta din conditia ca . Înseamnă că . Raportul R se numește antisimetric, daca rezulta din conditii si ca x=y, i.e. sau . Această proprietate conduce la faptul că toate elementele matricei din afara diagonalei principale vor fi zero (pot exista și zerouri pe diagonala principală). Raportul R se numește tranzitiv, dacă din și rezultă că , i.e. .

Exemplu. Având în vedere raportul Р și . Aici, toate unitățile sunt pe diagonala principală a matricei, prin urmare, Р este reflexiv. Matricea este asimetrică, apoi relația P

pentru că nu toate elementele din afara diagonalei principale sunt zero, atunci relația P nu este antisimetrică.

Acestea. , deci relația Р este netranzitivă.

Se numește o relație reflexivă, simetrică și tranzitivă relație de echivalență. Se obișnuiește să se folosească simbolul ~ pentru a desemna relații de echivalență. Condițiile pentru reflexivitate, simetrie și tranzitivitate pot fi scrise după cum urmează:

Exemplu. 1) Fie X mulțimea de funcții definite pe întreaga linie reală. Vom presupune că funcțiile f și g sunt legate prin relația ~ dacă iau aceleași valori la punctul 0, adică f(x)~g(x) dacă f(0)=g(0). De exemplu, sinx~x, e x ~cosx. Relația ~ este reflexivă (f(0)=f(0) pentru orice funcție f(x)); simetric (din f(0)=g(0) rezultă că g(0)=f(0)); tranzitiv (dacă f(0)=g(0) și g(0)=h(0), atunci f(0)=h(0)). Prin urmare ~ este o relație de echivalență.

2) Fie ~ o relație pe mulțimea numerelor naturale astfel încât x~y dacă x și y au același rest atunci când sunt împărțite la 5. De exemplu, 6~11, 2~7, 1~6. Este ușor de observat că această relație este reflexivă, simetrică și tranzitivă și, prin urmare, este o relație de echivalență.

relație de ordine parțială o relație binară pe o mulțime se numește dacă este reflexivă, antisimetrică, tranzitivă, i.e.

1. - reflexivitate;

2. - antisimetrie;

3. - tranzitivitatea.

relație strictă de ordine o relație binară pe o mulțime se numește dacă este antireflexivă, antisimetrică, tranzitivă. Ambele relații sunt numite relații de ordine. Mulțimea pe care este dată relația de ordine, poate: un set complet ordonat sau parțial comandat. Ordinea parțială este importantă în acele cazuri când vrem să caracterizăm cumva vechimea, adică. decide in ce conditii sa consideri ca un element al multimii este superior altuia. Se numește un set parțial ordonat ordonat liniar, dacă nu are elemente incomparabile, i.e. una dintre condiţii sau este îndeplinită. De exemplu, seturile cu o ordine naturală pe ele sunt ordonate liniar.

funcția „. Să începem cu un caz particular, dar important, de funcții care acționează de la până la .

Dacă înțelegem ce este o relație, atunci este destul de ușor să înțelegem ce este o funcție. O funcție este un caz special al unei relații. Fiecare funcție este o relație, dar nu orice relație este o funcție. Ce relații sunt funcțiile? Ce condiție suplimentară trebuie îndeplinită pentru ca o relație să fie o funcție?

Să revenim la considerarea relaţiei care acţionează din domeniul definiţiei la domeniul valorilor. Luați în considerare un element din . Acest element corespunde unui element astfel încât perechea să aparțină lui , care este adesea scris ca: (de exemplu, ). Relației pot aparține și alte perechi, al cărui prim element poate fi elementul . Pentru funcții, această situație este imposibilă.

O funcție este o relație în care un element din domeniul definiției îi corespunde unui singur element din domeniul valorilor.

Relația „a avea un frate”, prezentată în Figura 1, nu este o funcție. Dintr-un punct din domeniul definiției, două arce merg la puncte diferite din domeniul valorilor, prin urmare această relație nu este o funcție. În esență, Elena are doi frați, așa că nu există o corespondență unu-la-unu între elementul de la și elementul de la.

Dacă luăm în considerare relația „a avea un frate mai mare” pe aceleași mulțimi, atunci o astfel de relație este o funcție. Fiecare persoană poate avea mai mulți frați, dar doar unul dintre ei este fratele mai mare. Funcțiile sunt, de asemenea, relații de rudenie precum „tată” și „mamă”.

De obicei, când vine vorba de funcții, litera este folosită pentru desemnarea generală a funcției, și nu, ca în cazul relațiilor, iar notația generală are forma obișnuită: .

Luați în considerare funcția binecunoscută . Scopul acestei funcții este întreaga axă reală: . Domeniul funcției este un interval închis pe axa reală: . Graficul acestei funcții este o sinusoidă, fiecare punct de pe axă corespunde unui singur punct de pe grafic .

Funcție unu-la-unu

Fie relația să definească funcția. Ce se poate spune despre invers? Este și o funcție? Deloc necesar. Luați în considerare exemple de relații care sunt funcții.

Pentru relația „are un frate mai mare”, relația inversă este relația „are un frate sau o soră”. Desigur, această relație nu este o funcție. Un frate mai mare poate avea multe surori și frați.

Pentru relația „tată” și „mamă”, relația inversă este relația „fiu sau fiică”, care, de asemenea, nu este o funcție, deoarece pot fi mulți copii.

Dacă luăm în considerare funcția , apoi relația inversă nu este o funcție, deoarece o valoare corespunde în mod arbitrar mai multor valori. A considera