Dacă urmărim definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la incrementul argumentului Δ X:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să calculați prin această formulă, să zicem, derivata funcției f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X păcat X. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că așa-numitele funcții elementare pot fi distinse de întreaga varietate de funcții. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și introduse în tabel. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut, împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. Mai mult, nu este greu să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivatele funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(X) = C, C ∈ R	0 (da, da, zero!)
Gradul cu exponent rațional	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinusul	f(X) = păcat X	cos X
Cosinus	f(X) = cos X	− păcat X(minus sinus)
Tangentă	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangentă	f(X) = ctg X	− 1/sin2 X
logaritmul natural	f(X) = jurnal X	1/X
Logaritmul arbitrar	f(X) = jurnal A X	1/(X ln A)
Functie exponentiala	f(X) = e X	e X(Nimic nu s-a schimbat)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu prea elementare, dar și diferențiabile după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Lasă funcțiile f(X) Și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare, diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(X) = X 2 + sinx; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funcţie f(X) este suma a două funcții elementare, deci:

f ’(X) = (X 2+ păcat X)’ = (X 2)' + (păcat X)’ = 2X+ cosx;

Argumentăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cosx;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat al unui produs

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata sumei este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„\u003e egal cu produsul derivatelor. Dar smochine pentru tine! Derivatul produsului este calculat folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cosx; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funcţie f(X) este un produs al două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X păcat X)

Funcţie g(X) primul multiplicator este ceva mai complicat, dar schema generala asta nu se schimba. Evident, primul multiplicator al funcției g(X) este un polinom, iar derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Rețineți că în ultimul pas, derivata este factorizată. Formal, acest lucru nu este necesar, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a explora funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi găsite și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie descompusă în factori.

Dacă există două funcții f(X) Și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție, puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.

O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Există funcții elementare în numărătorul și numitorul fiecărei fracții, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Prin tradiție, factorăm numărătorul în factori - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luăm funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X, să zicem, pe X 2+ln X. Se dovedește f(X) = păcat ( X 2+ln X) - Asta e functie complexa. Ea are și un derivat, dar nu va funcționa să-l găsești conform regulilor discutate mai sus.

Cum să fii? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și formula pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(X) = f ’(t) · t', dacă X este înlocuit cu t(X).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este mai bine să-l explicați cu exemple specifice, cu o descriere detaliată a fiecărui pas.

O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2+ln X)

Rețineți că dacă în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X, atunci va funcționa functie elementara f(X) = e X. Prin urmare, facem o substituție: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe prin formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuarea unei înlocuiri inverse: t = 2X+ 3. Obținem:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Acum să ne uităm la funcție g(X). Evident că trebuie înlocuit. X 2+ln X = t. Avem:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (păcat t)’ · t' = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = X 2+ln X. Apoi:

g ’(X) = cos( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

Asta e tot! După cum se poate observa din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea derivatei sumei.

Răspuns:
f ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos( X 2+ln X).

Foarte des în lecțiile mele, în locul termenului „derivat”, folosesc cuvântul „accident vascular cerebral”. De exemplu, cursa sumei este egală cu suma curselor. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calculul derivatei se rezumă la a scăpa chiar de aceste lovituri conform regulilor discutate mai sus. La fel de ultimul exemplu Să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(X n)’ = n · X n − 1

Puțini știu asta în rol n poate acționa bine un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5 . Dar dacă există ceva complicat sub rădăcină? Din nou, se va dovedi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții munca de control si examene.

O sarcină. Aflați derivata unei funcții:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Acum facem o înlocuire: let X 2 + 8X − 7 = t. Găsim derivata prin formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Facem o substituție inversă: t = X 2 + 8X− 7. Avem:

f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

Dăm fără dovezi formula derivatelor funcțiilor elementare de bază:

1. Funcția de putere: (x n)` =nx n -1 .

2. O funcție exponențială: (a x)` = a x lna (în special, (e x)` = e x).

3. Funcție logaritmică: (în special, (lnx)` = 1/x).

4. Funcții trigonometrice:

(cosx)` = -sinx

(tgх)` = 1/cos 2 x

(ctgх)` = -1/sin 2 x

5. Funcții trigonometrice inverse:

Se poate dovedi că pentru a diferenția o funcție exponențială de putere este necesar să se folosească de două ori formula pentru derivata unei funcții complexe și anume să o diferențieze ca funcție complexă functie de putere, și ca exponențial complex și adăugați rezultatele: (f(x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  ( x) *lnf(x)*(x)`.

Derivate de ordin superior

Deoarece derivata unei funcții este ea însăși o funcție, poate avea și o derivată. Conceptul de derivat, care a fost discutat mai sus, se referă la o derivată de ordinul întâi.

derivatn-a comanda se numește derivată a derivatei de ordinul (n-1). De exemplu, f``(x) = (f`(x))` - derivată de ordinul doi (sau derivata a doua), f```(x) = (f``(x))` - derivată de ordinul trei ( sau derivată a treia), etc. Uneori, cifrele arabe romane între paranteze sunt folosite pentru a indica derivate mai mari, de exemplu, f (5) (x) sau f (V) (x) pentru o derivată de ordinul cinci.

Semnificația fizică a derivatelor de ordin superior este definită în același mod ca și pentru prima derivată: fiecare dintre ele reprezintă rata de modificare a derivatei de ordinul precedent. De exemplu, a doua derivată este rata de schimbare a primei, adică. viteza viteza. Pentru mișcarea rectilinie, înseamnă accelerația unui punct la un moment dat.

Elasticitatea funcției

Elasticitatea funcției E x (y) este limita raportului dintre incrementul relativ al funcției y și incrementul relativ al argumentului x, acesta din urmă tinde spre zero:
.

Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va schimba funcția y \u003d f (x) atunci când variabila independentă x se modifică cu 1%.

În sens economic, diferența dintre acest indicator și derivat este că derivatul are unități de măsură și, prin urmare, valoarea lui depinde de unitățile în care sunt măsurate variabilele. De exemplu, dacă dependența volumului producției de timp este exprimată în tone și, respectiv, luni, atunci derivatul va prezenta creșterea marginală a volumului în tone pe lună; dacă, totuși, acești indicatori sunt măsurați, de exemplu, în kilograme și zile, atunci atât funcția în sine, cât și derivata ei vor fi diferite. Elasticitatea este în esență o valoare adimensională (măsurată în procente sau fracții) și, prin urmare, nu depinde de scara indicatorilor.

Teoreme de bază privind funcțiile diferențiabile și aplicațiile acestora

teorema lui Fermat. Dacă o funcție diferențiabilă pe un interval își atinge valoarea maximă sau minimă într-un punct interior al acestui interval, atunci derivata funcției în acest punct este egală cu zero.

Fără dovezi.

Semnificația geometrică a teoremei lui Fermat este că în punctul celei mai mari sau mai mici valori atinse în interiorul golului, tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa absciselor (Figura 3.3).

teorema lui Rolle. Fie funcția y \u003d f (x) să îndeplinească următoarele condiții:

2) diferențiabil pe intervalul (a, b);

3) ia valori egale la capetele segmentului, adică. f(a)=f(b).

Apoi există cel puțin un punct în interiorul segmentului în care derivata funcției este egală cu zero.

Fără dovezi.

Sensul geometric al teoremei lui Rolle este că există cel puțin un punct în care tangenta la graficul funcției va fi paralelă cu axa x (de exemplu, există două astfel de puncte în Figura 3.4).

Dacă f(a) =f(b) = 0, atunci teorema lui Rolle poate fi formulată diferit: între două zerouri succesive ale unei funcții diferențiabile există cel puțin un zero al derivatei.

Teorema lui Rolle este un caz special al teoremei lui Lagrange.

teorema lui Lagrange. Fie funcția y \u003d f (x) să îndeplinească următoarele condiții:

1) este continuă pe segmentul [a, b];

2) este diferențiabilă pe intervalul (a, b).

Apoi în interiorul segmentului există cel puțin un astfel de punct c la care derivata este egală cu câtul incrementului funcțiilor împărțit la incrementul argumentului de pe acest segment:
.

Fără dovezi.

Pentru a înțelege semnificația fizică a teoremei lui Lagrange, observăm că
nu este altceva decât rata medie de modificare a funcției pe întreg intervalul [a, b]. Astfel, teorema afirmă că în interiorul segmentului există cel puțin un punct în care rata de modificare „instantanee” a funcției este egală cu rata medie de modificare a acesteia pe întregul segment.

Sensul geometric al teoremei lui Lagrange este ilustrat în Figura 3.5. Rețineți că expresia
este panta dreptei pe care se află coarda AB. Teorema afirmă că există cel puțin un punct pe graficul unei funcții la care tangenta la aceasta va fi paralelă cu această coardă (adică panta tangentei - derivata - va fi aceeași).

Corolar: dacă derivata unei funcții este egală cu zero pe un anumit interval, atunci funcția este identic constantă pe acest interval.

De fapt, să luăm un interval pe acest interval. După teorema lui Lagrange, există un punct c în acest interval pentru care
. Prin urmare f(a) - f(x) = f`(с)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = const.

Regula lui L'Hopital. Limita raportului a două funcții infinit de mici sau infinit de mari este egală cu limita raportului derivatelor lor (finite sau infinite), dacă aceasta din urmă există în sensul indicat.

Cu alte cuvinte, dacă există o incertitudine a formei
, apoi
.

Fără dovezi.

Aplicarea regulii L'Hospital de a găsi limite va fi tratată în exerciții practice.

O condiție suficientă pentru creșterea (scăderea) unei funcții. Dacă derivata unei funcții diferențiabile este pozitivă (negativă) într-un anumit interval, atunci funcția crește (descrește) pe acest interval.

Dovada. Luați în considerare două valori x 1 și x 2 din intervalul dat (fie x 2 > x 1). După teorema lui Lagrand, pe [x 1 , x 2 ] există un punct c în care
. Prin urmare, f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). Atunci pentru f`(c) > 0, partea stângă a inegalității este pozitivă, adică f(x 2) > f(x 1), iar funcția este în creștere. La f`(s)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

Teorema a fost demonstrată.

Interpretarea geometrică a condiției de monotonitate a funcției: dacă tangentele la curbă într-un anumit interval sunt îndreptate la unghiuri ascuțite față de axa absciselor, atunci funcția crește, iar dacă sub unghiuri obtuze, atunci scade (vezi Figura 3.6) .

Observație: condiția necesară pentru monotonitate este mai slabă. Dacă funcția crește (descrește) pe un anumit interval, atunci derivata este nenegativă (nepozitivă) pe acest interval (adică, în anumite puncte, derivata unei funcții monotone poate fi egală cu zero).

Formulele 3 și 5 dovedesc-te.

REGULI DE BAZĂ DE DIFERENȚARE

Folosind metoda generală de găsire a derivatei folosind limita, puteți obține cele mai simple formule de diferențiere. Lasa u=u(x),v=v(x) sunt două funcții diferențiabile ale unei variabile X.

Formulele 1 și 2 dovedesc-te.

Dovada formulei 3.

Lasa y = u(x) + v(x). Pentru valoarea argumentului X+Δ X avem y(X+Δ X)=u(X+Δ X) + v(X+Δ X).

Δ y=y(X+Δ X) – y(x) = u(x+Δ X) + v(x+Δ X) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.

Prin urmare,

Dovada formulei 4.

Lasa y=u(x) v(x). Apoi y(X+Δ X)=u(X+Δ X)· v(X+Δ X), de aceea

Δ y=u(X+Δ X)· v(X+Δ X) – u(X)· v(X).

Rețineți că, deoarece fiecare dintre funcții uȘi v diferentiabil la un punct X, atunci ele sunt continue în acest moment și, prin urmare u(X+Δ X)→u(x), v(X+Δ X)→v(x), pentru Δ X→0.

Prin urmare, putem scrie

Pe baza acestei proprietăți, se poate obține o regulă de diferențiere a produsului oricărui număr de funcții.

Să, de exemplu, y=u v w. Apoi,

y " = u "·( v w) + u·( v w) „= u "· v w + u·( v"w + v w ") = u "· v w + u· v"w + u v w ".

Dovada formulei 5.

Lasa . Apoi

În dovadă, am folosit faptul că v(x+Δ X)→v(x) la Δ X→0.

Exemple.

TEOREMA PRIVIND DERIVATA UNEI FUNCȚII COMPLEXE

Lasa y = f(u), dar u= u(X). Obținem o funcție y, in functie de argument X: y = f(u(x)). Ultima funcție se numește funcție a unei funcții sau functie complexa.

Domeniul de aplicare a funcției y = f(u(x)) este fie întregul domeniu al funcției u=u(X) sau acea parte a acesteia în care sunt determinate valorile u, nu în afara domeniului de aplicare al funcției y= f(u).

Operația „funcție din funcție” poate fi efectuată nu o dată, ci de orice număr de ori.

Să stabilim o regulă pentru diferențierea unei funcții complexe.

Teorema. Dacă funcţia u= u(X) are la un moment dat x0 derivată și ia valoarea în acest moment tu 0 = u(x0), și funcția y=f(u) are la punct tu 0 derivat y„u= f "(tu 0), apoi funcția complexă y = f(u(x))în punctul specificat x0 are și o derivată, care este egală cu y"x= f "(tu 0)· u "(x0), unde în loc de u expresia trebuie înlocuită u= u(X).

Astfel, derivata unei funcții complexe este egală cu produsul derivatei acestei funcții față de argumentul intermediar u la derivata argumentului intermediar cu privire la X.

Dovada. Pentru o valoare fixă X 0 vom avea u 0 =u(X 0), la 0 =f(u 0 ). Pentru o nouă valoare a argumentului x0+Δ X:

Δ u= u(x0 + Δ X) – u(X 0), Δ y=f(tu 0+Δ u) – f(tu 0).

pentru că u– diferentiabil la un punct x0, apoi u este continuă în acest moment. Prin urmare, pentru Δ X→0 Δ u→0. În mod similar, pentru Δ u→0 Δ y→0.

După condiție . Din această relație, folosind definiția limitei, obținem (pentru Δ u→0)

unde α→0 la Δ u→0 și, în consecință, pentru Δ X→0.

Să rescriem această ecuație ca:

Δ y=y„u ∆ u+α·Δ u.

Egalitatea rezultată este valabilă și pentru Δ u=0 pentru α arbitrar, deoarece se transformă în identitatea 0=0. La Δ u=0 vom presupune α=0. Împărțiți toți termenii egalității rezultate la Δ X

.

După condiție . Prin urmare, trecând la limita la Δ X→0, obținem y"x= y„u u” x. Teorema a fost demonstrată.

Deci, pentru a diferenția o funcție complexă y = f(u(x)), trebuie să luați derivata funcției „externe”. f, tratând argumentul său pur și simplu ca o variabilă și înmulțind cu derivata funcției „interioare” în raport cu variabila independentă.

Dacă funcţia y=f(x) poate fi reprezentat ca y=f(u), u=u(v), v=v(x), atunci găsirea derivatei y " x se realizează prin aplicarea succesivă a teoremei anterioare.

Conform regulii dovedite, avem y"x= y„tu · u" x . Aplicând aceeași teoremă la u„x obținem, adică

y"x= y" X u"v · v"x= f"u( u)· u"v( v)· v"X( X).

Exemple.

CONCEPTUL DE FUNCȚIE INVERSĂ

Să începem cu un exemplu. Luați în considerare funcția y=x3. Vom lua în considerare egalitatea y= x 3 ca o ecuaţie pentru X. Aceasta este ecuația pentru fiecare valoare la definește o singură valoare X: . Geometric, aceasta înseamnă că orice linie paralelă cu axa Bou intersectează graficul funcției y=x3 doar la un moment dat. Prin urmare, putem lua în considerare X ca o funcție a y. Funcția se numește inversul funcției y=x3.

Înainte de a trece la cazul general, introducem definiții.

Funcţie y = f(x) numit crescând pe un anumit interval, dacă valoarea mai mare a argumentului X din acest segment corespunde unei valori mai mari a functiei, i.e. dacă X 2 >X 1, atunci f(x 2 ) > f(x 1 ).

În mod similar, funcția este numită în scădere, dacă valoarea mai mică a argumentului corespunde valorii mai mari a funcției, i.e. dacă X 2 < X 1, atunci f(x 2 ) > f(х 1 ).

Deci, având în vedere o funcție crescătoare sau descrescătoare y=f(x), definit pe un anumit interval [ A; b]. Pentru certitudine, vom lua în considerare o funcție crescătoare (pentru o funcție descrescătoare, totul este similar).

Luați în considerare două valori diferite X 1 și X 2. Lasa y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Din definiţia unei funcţii crescătoare rezultă că dacă X 1 <X 2, atunci la 1 <la 2. Prin urmare, două valori diferite X 1 și X 2 corespund la două valori diferite ale funcției la 1 și la 2. Este adevărat și contrariul, adică. dacă la 1 <la 2 , atunci din definiția unei funcții crescătoare rezultă că X 1 <X 2. Acestea. din nou la două valori diferite la 1 și la 2 corespunde la două valori diferite X 1 și X 2. Astfel, între valori Xși valorile corespunzătoare acestora y se stabilește o corespondență unu-la-unu, adică ecuația y=f(x) pentru fiecare y(luat din intervalul funcției y=f(x)) definește o singură valoare X, și putem spune asta X au o funcție de argument y: x= g(y).

Această funcție este numită verso pentru functie y=f(x). Evident, funcția y=f(x) este inversul funcției x=g(y).

Rețineți că funcția inversă x=g(y) se găsește prin rezolvarea ecuației y=f(x) relativ X.

Exemplu. Lasă funcția y= e x . Această funcție crește la –∞< X <+∞. Она имеет обратную функцию X=ln y. Domeniul funcției inverse 0< y < + ∞.

Să facem câteva remarci.

Observație 1. Dacă o funcţie crescătoare (sau descrescătoare). y=f(x) continuu pe intervalul [ A; b], și f(a)=c, f(b)=d, atunci funcția inversă este definită și continuă pe intervalul [ c; d].

Observația 2. Dacă funcţia y=f(x) nu este nici în creștere, nici în scădere pe un anumit interval, atunci poate avea mai multe funcții inverse.

Exemplu. Funcţie y=x2 definit la –∞<X<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤X<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <X≤ 0 funcția este descrescătoare și inversul ei.

Observația 3. Dacă funcţiile y=f(x)Și x=g(y) sunt reciproc inverse, atunci ele exprimă aceeași relație între variabile XȘi y. Prin urmare, graficul este aceeași curbă. Dar dacă notăm din nou argumentul funcției inverse cu X, iar funcția prin yși le construim în același sistem de coordonate, obținem două grafice diferite. Este ușor de observat că graficele vor fi simetrice față de bisectoarea primului unghi de coordonate.

TEOREMA PRIVIND DERIVATA FUNCȚIEI INVERSE

Să demonstrăm o teoremă care ne permite să găsim derivata funcției y=f(x) cunoscând derivata funcţiei inverse.

Teorema. Daca pentru functie y=f(x) există o funcție inversă x=g(y), care la un moment dat la 0 are o derivată g "(v0) altul decât zero, apoi în punctul corespunzător x0=g(x0) funcție y=f(x) are un derivat f "(x0) egal cu , i.e. formula corecta.

Dovada. pentru că x=g(y) diferentiabil la un punct y 0, apoi x=g(y) este continuă în acest punct, deci funcția y=f(x) continuu la punct x0=g(y 0). Prin urmare, pentru Δ X→0 Δ y→0.

Să arătăm asta .

Lasa . Apoi prin proprietatea limită . Să trecem în această egalitate la limita la Δ y→0. Apoi Δ X→0 și α(Δx)→0, adică. .

Prin urmare,

,

Q.E.D.

Această formulă poate fi scrisă ca .

Să luăm în considerare aplicarea acestei teoreme cu exemple.

Este foarte ușor de reținut.

Ei bine, nu vom merge departe, vom lua în considerare imediat funcția inversă. Care este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este un număr:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu o bază) se numește unul „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur, .

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Exponentul și logaritmul natural sunt funcții care sunt unic simple în ceea ce privește derivata. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Ce reguli? Un alt termen nou, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Numai și totul. Care este un alt cuvânt pentru acest proces? Nu proizvodnovanie... Diferenţialul de matematică se numeşte însăşi incrementul funcţiei la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. Vom avea nevoie și de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatei.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Lasă, sau mai ușor.

Exemple.

Găsiți derivate ale funcțiilor:

1. la punct;
2. la punct;
3. la punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece este o funcție liniară, vă amintiți?);

Derivat al unui produs

Totul este similar aici: introducem o nouă funcție și găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Găsiți derivate ale funcțiilor și;
2. Aflați derivata unei funcții într-un punct.

Solutii:

Derivată a funcției exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponentul (ai uitat încă ce este?).

Deci unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:

Pentru a face acest lucru, folosim o regulă simplă: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

S-a întâmplat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata exponentului: așa cum a fost, rămâne, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Găsiți derivate ale funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu poate fi scris într-o formă mai simplă. Prin urmare, în răspuns este lăsat în această formă.

Rețineți că aici este câtul a două funcții, așa că aplicăm regula de diferențiere corespunzătoare:

În acest exemplu, produsul a două funcții:

Derivată a unei funcții logaritmice

Aici este similar: știți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un arbitrar din logaritm cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să aducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum în loc de noi vom scrie:

Numitorul s-a dovedit a fi doar o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivatul este foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examen, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arc tangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă logaritmul ți se pare dificil, citește subiectul „Logaritmi” și totul va funcționa), dar în materie de matematică, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă un transportor mic: doi oameni stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Se dovedește un astfel de obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii opuși în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătra numărul rezultat. Așadar, ne dau un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, facem prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce s-a întâmplat ca urmare a primei.

Cu alte cuvinte, O funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru exemplul nostru, .

S-ar putea foarte bine să facem aceleași acțiuni în ordine inversă: mai întâi pătrați și apoi caut cosinusul numărului rezultat:. Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Al doilea exemplu: (la fel). .

Ultima acțiune pe care o facem va fi numită funcția „externă”., și acțiunea efectuată prima - respectiv funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, în funcție

1. Ce măsură vom lua mai întâi? Mai întâi calculăm sinusul și abia apoi îl ridicăm la un cub. Deci este o funcție internă, nu una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

schimbăm variabile și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage ciocolata - căutați derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. Pentru exemplul original, arată astfel:

Alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare a fi simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(doar nu încercați să reduceți până acum! Nu se scoate nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aici există o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și încă extragem rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolată într-un ambalaj și cu o panglică într-o servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: oricum, vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența de acțiuni - ca și înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sinusul. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Derivată de funcție- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului cu o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferențiere:

Constanta este scoasă din semnul derivatei:

Derivată a sumei:

Produs derivat:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă”, găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă”, găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.