Destul de des conștient analiză matematică puteți găsi o sarcină cu următoarea formulare: „explorează funcția și complotul”. Această formulare vorbește de la sine și împarte sarcina în două etape:
- Etapa 1: cercetarea funcției;
- Etapa 2: reprezentarea grafică a funcției investigate.
Prima etapă este cea mai voluminoasă și include găsirea domeniilor de definiție și de valori, extreme ale funcției, puncte de inflexiune ale graficului etc.
Planul complet de cercetare a funcției $y=f(x)$, care precede obiectivul de reprezentare, are următoarele puncte:
- Găsirea domeniului de aplicare al funcției $D_(y)$ și domeniul valorilor valide $E_(y)$ ale funcției.
- Determinarea tipului de funcție: par, impar, vedere generala.
- Determinarea punctelor de intersecție a graficului funcției cu axele de coordonate.
- Găsirea asimptotelor graficului funcției (vertical, oblic, orizontal).
- Găsirea intervalelor de monotonitate a unei funcții și a punctelor extreme.
- Găsirea intervalelor de convexitate, concavitate a graficului și puncte de inflexiune.
Căutarea domeniului funcţiei $D_(y) $ presupune găsirea intervalelor pe care funcţie dată există (definit). De regulă, această sarcină se reduce la găsirea ODZ (gama de valori acceptabile), pe baza căreia se formează $D_(y) $.
Exemplul 1
Găsiți domeniul funcției $y=\frac(x)(x-1) $.
Să găsim ODZ a funcției considerate, i.e. valorile variabilei pentru care numitorul nu merge la zero.
ODZ: $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$
Să scriem domeniul definiției: $D_(y) =\( x\in R|x\ne 1\) $.
Definiția 1
Funcția $y=f(x)$ este chiar dacă următoarea egalitate $f(-x)=f(x)$ $\forall x\in D_(y) $ este valabilă.
Definiția 2
Funcția $y=f(x)$ este impară dacă este valabilă următoarea egalitate $f(-x)=-f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.
Definiția 3
O funcție care nu este nici pară, nici impară se numește funcție generală.
Exemplul 2
Determinați tipul funcțiilor: 1) $y=\frac(x)(x-1) $, 2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $; 3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.
1) $y=\frac(x)(x-1)$
$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, prin urmare, avem o funcție generală.
2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $
$f(-x)=f(x)$, prin urmare, avem o funcție pară.
3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.
$f(-x)\ne -f(x)$, prin urmare, avem o funcție impară.
Determinarea punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate include găsirea punctelor de intersecție: cu axa OX ($y=0$), cu axa OY ($x=0$).
Exemplul 3
Aflați punctele de intersecție cu axele de coordonate ale funcției $y=\frac(x+2)(x-1) $.
- cu axa OX ($y=0$)
$\frac(x+2)(x-1) =0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2$; obține un punct (-2;0)
- cu axa OY ($x=0$)
$y(0)=\frac(0+2)(0-1) =-2$, obținem punctul (0;-2)
Pe baza rezultatelor obtinute in stadiul studiului functiei se construieste un grafic. Uneori, punctele obținute în prima etapă nu sunt suficiente pentru a reprezenta graficul funcției, atunci este necesar să găsiți puncte suplimentare.
Exemplul 4
Explorează funcția și construiește graficul acesteia: $y=x^(3) -6x^(2) +2x+1$.
- Domeniul definiției: $D_(y) =\( x|x\in R\) $.
- Interval: $E_(y) =\( y|y\in R\) $.
- Funcții pare, impare :\ \
Funcția generală, adică nu este nici par, nici impar.
4) Intersecția cu axele de coordonate:
cu axa OY: $y(0)=0^(3) -6\cdot 0^(2) +2\cdot 0+1=1$, prin urmare, graficul trece prin punctul (0;1).
cu axa OX: $x^(3) -6x^(2) +2x+1=0$ ( rădăcini raționale Nu)
5) Asimptotele grafice:
Nu există asimptote verticale, deoarece $D_(y) =\( x|x\in R\) $
Asimptotele oblice vor fi căutate sub forma $y=kx+b$.
$k=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(y(x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^ (3) -6x^(2) +2x+1)(x) =\infty $. Prin urmare, nu există asimptote oblice.
6) Funcție crescătoare, descrescătoare; extreme:
\ \[\begin(array)(l) (y"=0\Rightarrow 3x^(2) -12x+2=0) \\ (D=144-24=120) \\ (x_(1,2) =\frac(12\pm \sqrt(120) )(6) ) \end(matrice)\]
Marcăm punctele pe axa numerelor, plasăm semnele derivatei întâi și notăm comportamentul funcției:
Poza 1.
Funcția crește cu $\left(-\infty ;\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right]$ și $\left[\frac(12+\sqrt(120) )(6) ; \ infty \right)$, scade cu $\left[\frac(12-\sqrt(120) )(6) ;\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right]$.
$x=\frac(12-\sqrt(120) )(6) $ - punct maxim; $y\left(\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right)=1.172$
$x=\frac(12+\sqrt(120) )(6) $ - punct minim; $y\left(\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right)=-23.172$
7) Convexitatea, concavitatea graficului:
\ \[\begin(array)(l) (y""=(3x^(2) -12x+2)"=6x-12) \\ (y""=0\Rightarrow 6x-12=0\Rightarrow x=2) \end(matrice)\]
Marcăm punctele pe axa numerelor, plasăm semnele derivatei a doua și notăm comportamentul graficului funcției:
Figura 2.
Graficul este convex în sus cu $(-\infty ;2]$, în jos cu $
8) Graficul funcției:
Figura 3
Construirea unui grafic al unei funcții prin puncte singulare include studiul funcției în sine: determinarea ariei valorilor admisibile ale argumentului, determinarea ariei de schimbare a funcției, determinarea dacă funcția este pară sau impară, determinând punctele de întrerupere ale funcției, găsirea intervalelor semnului constant al funcției, găsirea asimptotelor graficului funcției. Cu ajutorul primei derivate, se pot determina intervalele de creștere (scădere) a funcției, prezența punctelor extreme. Derivata a doua poate fi folosită pentru a determina intervalele de convexitate (concavitate) ale graficului funcției, precum și punctele de inflexiune. De asemenea, presupunem că dacă la un moment dat xo tangenta la graficul funcției este deasupra curbei, atunci graficul funcției în acest punct are o convexitate; dacă tangenta este sub curbă, atunci graficul funcției în acest punct are o concavitate.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Cercetarea funcției.
a) Intervalul valorilor admisibile ale argumentului: (-∞,+∞).
b) Domeniul de funcții: (-∞, +∞).
c) Funcția este impară, deoarece y(-x) = -y(x), acestea. graficul functiei este simetric fata de origine.
d) Funcția este continuă, nu există puncte de discontinuitate, prin urmare, nu există asimptote verticale.
e) Găsirea ecuației asimptotei oblice y(x) = k∙x + b, Unde
k = /XȘi b= 
În acest exemplu, parametrii asimptotei sunt, respectiv, egali:
k = , deoarece gradul cel mai înalt al numărătorului și numitorului sunt la fel, egal cu trei, iar raportul coeficienților la aceste puteri cele mai mari este egal cu unu. Pentru x→ + ∞, a treia limită remarcabilă a fost utilizată pentru a calcula limita.
b = = = 0, la calcularea limitei la x→ + ∞ au folosit a treia limită remarcabilă. Deci, graficul acestei funcții are o asimptotă oblică y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - derivata se calculează folosind formula de diferențiere a coeficientului.
a) Determinăm zerourile derivatei și punctele de discontinuitate, echivalând, respectiv, numărătorul și numitorul derivatei cu zero: y´=0, dacă x=0. Prima derivată nu are puncte de întrerupere.
b) Să se determine intervalele de constanță ale derivatei, adică. intervale de monotonitate ale funcţiei: at -∞
3. Investigarea unei funcții folosind derivata a 2-a.
Folosind formula pentru diferențierea coeficientului și efectuarea transformărilor algebrice, obținem: y´´ = /(x²+3)³
a) Determinăm zerourile derivatei a 2-a și intervalele de constanță: y´´ = 0, dacă x=0Și x= + 3 . Nu există puncte de întrerupere pentru derivata a 2-a.
b) Să determinăm intervalele de constanță ale derivatei a 2-a, adică. intervalele de convexitate sau concavitate ale graficului funcţiei. La -∞
Exemplu: explorați o funcție și reprezentați-o y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Cercetarea funcției.
a) Interval de valori acceptabile: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Domeniul de funcții: (-∞,+∞).
d) Această funcție are un punct de discontinuitate de al 2-lea fel la x=0.
e) Găsirea asimptotelor. pentru că funcţia are un punct de discontinuitate de al 2-lea fel la x=0, atunci funcția are o asimptotă verticală x=0. Această funcție nu are asimptote oblice sau orizontale.
2.Investigarea unei funcții folosind derivata I.
Transformăm funcția efectuând toate operațiile algebrice. Ca rezultat, forma funcției va fi mult simplificată: y(x)=x²-x-1+(1/x). Din suma termenilor este foarte ușor să luăm derivata și obținem: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
a) Determinați zerourile și punctele de discontinuitate ale derivatei I. Aducem expresiile pentru derivata 1 la un numitor comun și, echivalând numărătorul și apoi numitorul la zero, obținem: y´=0 la x=1, y' - nu există când x=0.
b) Să definim intervale de monotonitate ale funcției, i.e. intervale de constanță de semn a derivatei. La -∞<X<0
Și 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. Prin derivata a 2-a, determinăm intervalele de convexitate sau concavitate ale graficului funcției și, dacă există, punctele de inflexiune. Aducem expresia derivatei a doua la un numitor comun și apoi, echivalând numărătorul și numitorul pe rând la zero, obținem: y´´=0 la x=-1, y´´- nu există când x=0.
La -∞
orez. 4 fig. cinci
Exemplu: explorați o funcție și reprezentați-o y(x) = log(x²+4x+5)
1.Cercetarea funcției.
a) Gama de valori valide ale argumentului: funcția logaritmică există numai pentru argumente strict mai mari decât zero, prin urmare, x²+4x+5>0 – această condiție este îndeplinită pentru toate valorile argumentului, adică O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) Intervalul modificării funcției: (0, +∞). Transformăm expresia sub semnul logaritmului și echivalăm funcția cu zero: ln((x+2)²+1) =0. Acestea. funcţia dispare când x=-2. Graficul funcției va fi simetric față de o dreaptă x=-2.
c) Funcția este continuă, nu are puncte de discontinuitate.
d) Graficul funcției nu are asimptote.
2.Investigarea unei funcții folosind derivata I.
Folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe, obținem: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) Definiți zerourile și punctele de discontinuitate ale derivatei: y´=0, la x=-2. Prima derivată nu are puncte de întrerupere.
b) Determinăm intervalele de monotonitate ale funcției, i.e. intervale de constanță ale primei derivate: la -∞<X<-2
derivat y'<0,
prin urmare, funcția este în scădere; -2
3.Investigarea unei funcții în raport cu derivata a 2-a.
Reprezentăm prima derivată în următoarea formă: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
a) Să determinăm intervalele de constanță ale derivatei a doua. Deoarece numitorul derivatei a 2-a este întotdeauna nenegativ, semnul derivatei a doua este determinat doar de numărător. y´´=0 la x=-3Și x=-1.
La -∞
Exemplu: Explorați o funcție și diagramați y(x) = x²/(x+2)²
1.Cercetarea funcției.
a) Intervalul valorilor admisibile ale argumentului (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) Aria de modificare a funcției ².
a) Să definim zerouri și intervale de constanță ale derivatei a doua. pentru că numitorul unei fracții este întotdeauna pozitiv, atunci semnul derivatei a doua este complet determinat de numărător. La -∞
Pentru un studiu complet al funcției și trasarea graficului acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:
1) găsiți domeniul de aplicare al funcției;
2) găsiți punctele de discontinuitate ale funcției și asimptotele verticale (dacă există);
3) investigați comportamentul funcției la infinit, găsiți asimptotele orizontale și oblice;
4) investigați funcția pentru uniformitate (ciudățenie) și pentru periodicitate (pentru funcții trigonometrice);
5) găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției;
6) determinați intervalele de convexitate și puncte de inflexiune;
7) găsiți puncte de intersecție cu axele de coordonate, dacă este posibil, și câteva puncte suplimentare care rafinați graficul.
Studiul funcției se realizează concomitent cu construcția graficului acesteia.
Exemplul 9 Explorează funcția și construiește un grafic.
1. Domeniu de definire: ;
2. Funcția se întrerupe în puncte 
,
;
Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor verticale.
;
,
─ asimptotă verticală.
;
,
─ asimptotă verticală.
3. Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor oblice și orizontale.
Drept 
─ asimptotă oblică, dacă 
,
.
,
.
Drept 
─ asimptotă orizontală.
4. Funcția este chiar pentru că 
. Paritatea funcției indică simetria graficului față de axa y.
5. Aflați intervalele de monotonitate și extremele funcției.
Să găsim punctele critice, adică puncte în care derivata este 0 sau nu există: 
;
. Avem trei puncte 
;
. Aceste puncte împart întreaga axă reală în patru intervale. Să definim semnele 
pe fiecare dintre ele.
La intervalele (-∞; -1) și (-1; 0) funcția crește, la intervalele (0; 1) și (1; +∞) scade. La trecerea printr-un punct 
derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, în acest moment, funcția are un maxim 
.
6. Să găsim intervale de convexitate, puncte de inflexiune.
Să găsim punctele în care 
este 0 sau nu există.
nu are rădăcini reale. 
,
,
puncte 
Și 
împărțiți axa reală în trei intervale. Să definim semnul 
la fiecare interval.
Astfel, curba pe intervale 
Și 
convex în jos, pe intervalul (-1;1) convex în sus; nu există puncte de inflexiune, deoarece funcția la puncte 
Și 
nedeterminat.
7. Aflați punctele de intersecție cu axele.
cu ax 
graficul funcției se intersectează în punctul (0; -1), și cu axa 
graficul nu se intersectează, deoarece numărătorul acestei funcții nu are rădăcini reale.
Graficul funcției date este prezentat în figura 1.
Figura 1 ─ Graficul funcției 
Aplicarea conceptului de derivată în economie. Elasticitatea funcției
Pentru a studia procesele economice și a rezolva alte probleme aplicate, este adesea folosit conceptul de elasticitate a funcției.
Definiție. Elasticitatea funcției 
se numește limita raportului incrementului relativ al funcției 
la incrementul relativ al variabilei 
la 
, . (VII)
Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va modifica funcția 
la modificarea variabilei independente 
cu 1%.
Elasticitatea unei funcții este utilizată în analiza cererii și a consumului. Dacă elasticitatea cererii (în valoare absolută) 
, atunci cererea este considerată elastică dacă 
─ neutru dacă 
─ inelastic în raport cu prețul (sau venitul).
Exemplul 10 Calculați elasticitatea unei funcții 
și găsiți valoarea indicelui de elasticitate pentru 
= 3.
Rezolvare: conform formulei (VII) elasticitatea functiei:
Fie x=3 atunci 
Aceasta înseamnă că dacă variabila independentă crește cu 1%, atunci valoarea variabilei dependente va crește cu 1,42%.
Exemplul 11 Lăsați cererea să funcționeze 
in ceea ce priveste pretul 
are forma 
, Unde 
─ coeficient constant. Aflați valoarea indicelui de elasticitate al funcției cererii la prețul x = 3 den. unitati
Rezolvare: calculați elasticitatea funcției cererii folosind formula (VII)
Presupunând 
unități monetare, obținem 
. Asta înseamnă că la preț 
unitate monetara o crestere a pretului cu 1% va determina o scadere a cererii cu 6%, i.e. cererea este elastică.
Reşebnik Kuzneţov.
III Grafice
Sarcina 7. Efectuați un studiu complet al funcției și construiți graficul acesteia.
Înainte de a începe să descărcați opțiunile, încercați să rezolvați problema urmând exemplul de mai jos pentru opțiunea 3. Unele dintre opțiuni sunt arhivate în format .rar
7.3 Efectuați un studiu complet al funcției și trasați-o
Soluţie.
1) Domeniu de aplicare: sau , adică 
.
.
Astfel: .
2) Nu există puncte de intersecție cu axa Ox. Într-adevăr, ecuația nu are soluții.
Nu există puncte de intersecție cu axa Oy deoarece .
3) Funcția nu este nici pară, nici impară. Nu există simetrie în jurul axei y. Nu există nicio simetrie în privința originii. pentru că 
.
Vedem că și .
4) Funcția este continuă în domeniu
.
; 
. 
; 
.
Prin urmare, punctul este un punct de discontinuitate de al doilea fel (discontinuitate infinită).
5) Asimptote verticale:
Găsiți asimptota oblică . Aici
;
.
Prin urmare, avem o asimptotă orizontală: y=0. Nu există asimptote oblice.
6) Găsiți prima derivată. Prima derivată: 
.
Si de aceea 
.
Să găsim puncte staționare în care derivata este egală cu zero, adică
.
7) Găsiți derivata a doua. Derivata a doua: 
.
Și acest lucru este ușor de verificat, deoarece
Astăzi vă invităm să explorați și să trasați un grafic al funcției cu noi. După un studiu atent al acestui articol, nu va trebui să transpirați mult timp pentru a finaliza acest gen de sarcină. Nu este ușor să explorezi și să construiești un grafic al unei funcții, munca este voluminoasă, necesitând atenție maximă și acuratețe a calculelor. Pentru a facilita percepția materialului, vom studia treptat aceeași funcție, vom explica toate acțiunile și calculele noastre. Bun venit în lumea uimitoare și fascinantă a matematicii! Merge!
Domeniu
Pentru a explora și a reprezenta o funcție, trebuie să cunoașteți câteva definiții. O funcție este unul dintre conceptele de bază (de bază) în matematică. Reflectă dependența dintre mai multe variabile (două, trei sau mai multe) cu modificări. Funcția arată, de asemenea, dependența mulțimilor.
Imaginați-vă că avem două variabile care au un anumit interval de schimbare. Deci, y este o funcție a lui x, cu condiția ca fiecare valoare a celei de-a doua variabile să corespundă unei valori a celei de-a doua. În acest caz, variabila y este dependentă și se numește funcție. Se obișnuiește să spunem că variabilele x și y sunt în Pentru o mai mare claritate a acestei dependențe, se construiește un grafic al funcției. Ce este un grafic al funcției? Acesta este un set de puncte pe planul de coordonate, unde fiecare valoare a lui x corespunde unei valori a lui y. Graficele pot fi diferite - o linie dreaptă, hiperbolă, parabolă, sinusoidă și așa mai departe.
Un grafic al funcției nu poate fi trasat fără explorare. Astăzi vom învăța cum să efectuăm cercetări și să trasăm un grafic al funcției. Este foarte important să iei notițe în timpul studiului. Deci va fi mult mai ușor să faceți față sarcinii. Cel mai convenabil plan de studiu:
- Domeniu.
- Continuitate.
- Par sau impar.
- Periodicitate.
- Asimptote.
- Zerouri.
- Constanţă.
- Urcând și coborând.
- Extreme.
- Convexitatea și concavitatea.
Să începem cu primul punct. Să găsim domeniul definiției, adică la ce intervale există funcția noastră: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). În cazul nostru, funcția există pentru orice valoare a lui x, adică domeniul de definiție este R. Aceasta poate fi scrisă ca xОR.
Continuitate
Acum vom explora funcția de discontinuitate. În matematică, termenul de „continuitate” a apărut ca rezultat al studiului legilor mișcării. Ce este infinitul? Spațiul, timpul, unele dependențe (un exemplu este dependența variabilelor S și t în problemele de mișcare), temperatura obiectului încălzit (apă, tigaie, termometru și așa mai departe), o linie continuă (adică una care poate fi desenat fără a-l scoate de pe foaie de creion).
Un grafic este considerat continuu dacă nu se rupe la un moment dat. Unul dintre cele mai evidente exemple ale unui astfel de grafic este o undă sinusoidală, pe care o puteți vedea în imaginea din această secțiune. Funcția este continuă la un punct x0 dacă sunt îndeplinite un număr de condiții:
- o funcție este definită la un punct dat;
- limitele din dreapta și din stânga la un punct sunt egale;
- limita este egală cu valoarea funcției în punctul x0.
Dacă cel puțin o condiție nu este îndeplinită, se spune că funcția se întrerupe. Iar punctele în care funcția se întrerupe se numesc puncte de întrerupere. Un exemplu de funcție care se va „rupe” atunci când este afișată grafic este: y=(x+4)/(x-3). Mai mult, y nu există în punctul x = 3 (deoarece este imposibil de împărțit la zero).
În funcția pe care o studiem (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) totul s-a dovedit a fi simplu, deoarece graficul va fi continuu.
Chiar ciudat
Acum examinați funcția pentru paritate. Să începem cu o mică teorie. O funcție pară este o funcție care îndeplinește condiția f (-x) = f (x) pentru orice valoare a variabilei x (din intervalul de valori). Exemple sunt:
- modulul x (graficul arată ca un coroi, bisectoarea primului și al doilea sferturi ale graficului);
- x pătrat (parabolă);
- cosinus x (undă cosinus).
Rețineți că toate aceste grafice sunt simetrice atunci când sunt privite în raport cu axa y.
Atunci ce se numește o funcție impară? Acestea sunt acele funcții care îndeplinesc condiția: f (-x) \u003d - f (x) pentru orice valoare a variabilei x. Exemple:
- hiperbolă;
- parabolă cubică;
- sinusoid;
- tangentă și așa mai departe.
Vă rugăm să rețineți că aceste funcții sunt simetrice față de punctul (0:0), adică originea. Pe baza celor spuse în această secțiune a articolului, o funcție pară și impară trebuie să aibă proprietatea: x aparține mulțimii de definiții și -x de asemenea.
Să examinăm funcția pentru paritate. Putem vedea că ea nu se potrivește cu niciuna dintre descrieri. Prin urmare, funcția noastră nu este nici pară, nici impară.
Asimptote
Să începem cu o definiție. O asimptotă este o curbă care este cât mai aproape de grafic, adică distanța de la un punct tinde spre zero. Există trei tipuri de asimptote:
- verticală, adică paralelă cu axa y;
- orizontală, adică paralelă cu axa x;
- oblic.
În ceea ce privește primul tip, aceste linii ar trebui căutate în unele puncte:
- decalaj;
- capete ale domeniului.
În cazul nostru, funcția este continuă, iar domeniul de definiție este R. Prin urmare, nu există asimptote verticale.
Graficul unei funcții are o asimptotă orizontală, care îndeplinește următoarea cerință: dacă x tinde spre infinit sau minus infinit, iar limita este egală cu un anumit număr (de exemplu, a). În acest caz, y=a este asimptota orizontală. Nu există asimptote orizontale în funcția pe care o studiem.
O asimptotă oblică există numai dacă sunt îndeplinite două condiții:
- lim(f(x))/x=k;
- lim f(x)-kx=b.
Apoi poate fi găsită prin formula: y=kx+b. Din nou, în cazul nostru nu există asimptote oblice.
Zerourile funcției
Următorul pas este să examinăm graficul funcției pentru zerouri. De asemenea, este foarte important de menționat că sarcina asociată cu găsirea zerourilor unei funcții apare nu numai în studiul și reprezentarea graficului unei funcții, ci și ca sarcină independentă și ca modalitate de a rezolva inegalitățile. Vi se poate cere să găsiți zerourile unei funcții pe un grafic sau să utilizați notația matematică.
Găsirea acestor valori vă va ajuta să reprezentați mai precis funcția. În termeni simpli, zero al funcției este valoarea variabilei x, la care y \u003d 0. Dacă căutați zerouri ale unei funcții pe un grafic, atunci ar trebui să acordați atenție punctelor în care graficul se intersectează cu axa x.
Pentru a găsi zerourile funcției, trebuie să rezolvați următoarea ecuație: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. După efectuarea calculelor necesare, obținem următorul răspuns:
constanța semnului
Următoarea etapă în studiul și construcția unei funcții (grafică) este găsirea intervalelor de constanță a semnului. Aceasta înseamnă că trebuie să stabilim la ce intervale funcția ia o valoare pozitivă și la ce intervale ia o valoare negativă. Zerourile funcțiilor găsite în secțiunea anterioară ne vor ajuta să facem acest lucru. Deci, trebuie să construim o linie dreaptă (separat de grafic) și să distribuim zerourile funcției de-a lungul ei în ordinea corectă de la cel mai mic la cel mai mare. Acum trebuie să determinați care dintre intervalele rezultate are semnul „+” și care dintre intervale are semnul „-”.
În cazul nostru, funcția ia o valoare pozitivă pe intervalele:
- de la 1 la 4;
- de la 9 la infinit.
Sens negativ:
- de la minus infinit la 1;
- de la 4 la 9.
Acest lucru este destul de ușor de determinat. Înlocuiți orice număr din interval în funcție și vedeți ce semn este răspunsul (minus sau plus).
Funcția Crescător și Descrescător
Pentru a explora și a construi o funcție, trebuie să aflăm unde va crește graficul (urge în sus pe Oy) și unde va cădea (trebuie în jos de-a lungul axei y).
Funcția crește numai dacă valoarea mai mare a variabilei x corespunde valorii mai mari a lui y. Adică, x2 este mai mare decât x1 și f(x2) este mai mare decât f(x1). Și observăm un fenomen complet opus într-o funcție descrescătoare (cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y). Pentru a determina intervalele de creștere și scădere, trebuie să găsiți următoarele:
- domeniul de aplicare (o avem deja);
- derivată (în cazul nostru: 1/3(3x^2-28x+49);
- rezolvați ecuația 1/3(3x^2-28x+49)=0.
După calcule, obținem rezultatul:
Obținem: funcția crește pe intervalele de la minus infinit la 7/3 și de la 7 la infinit și scade pe intervalul de la 7/3 la 7.
Extreme
Funcția investigată y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) este continuă și există pentru orice valori ale variabilei x. Punctul extremum arată maximul și minimul acestei funcții. În cazul nostru, nu există, ceea ce simplifică foarte mult sarcina de construcție. În caz contrar, se găsesc și folosind funcția derivată. După ce ați găsit, nu uitați să le marcați pe diagramă.
Convexitatea și concavitatea
Continuăm să studiem funcția y(x). Acum trebuie să-l verificăm pentru convexitate și concavitate. Definițiile acestor concepte sunt destul de greu de perceput, este mai bine să analizăm totul cu exemple. Pentru test: o funcție este convexă dacă este o funcție nedescrescătoare. De acord, acest lucru este de neînțeles!
Trebuie să găsim derivata funcției de ordinul doi. Se obține: y=1/3(6x-28). Acum echivalăm partea dreaptă cu zero și rezolvăm ecuația. Raspuns: x=14/3. Am găsit punctul de inflexiune, adică locul în care graficul se schimbă de la convex la concav sau invers. Pe intervalul de la minus infinit la 14/3, funcția este convexă, iar de la 14/3 la plus infinit, este concavă. De asemenea, este foarte important să rețineți că punctul de inflexiune de pe grafic ar trebui să fie neted și moale, nu ar trebui să existe colțuri ascuțite.
Definiția punctelor suplimentare
Sarcina noastră este să explorăm și să trasăm graficul funcției. Am finalizat studiul, nu va fi dificil să trasăm funcția acum. Pentru o reproducere mai exactă și detaliată a unei curbe sau a unei linii drepte pe planul de coordonate, puteți găsi mai multe puncte auxiliare. Este destul de ușor să le calculezi. De exemplu, luăm x=3, rezolvăm ecuația rezultată și găsim y=4. Sau x=5 și y=-5 și așa mai departe. Puteți lua câte puncte suplimentare aveți nevoie pentru a construi. Se găsesc cel puțin 3-5 dintre ele.
Complot
Am avut nevoie să investigăm funcția (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Toate marcajele necesare în cursul calculelor au fost făcute pe planul de coordonate. Tot ce rămâne de făcut este să construiești un grafic, adică să conectezi toate punctele între ele. Conectarea punctelor este lină și precisă, aceasta este o chestiune de îndemânare - puțină practică și programul tău va fi perfect.