Definirea unei funcții inverse și proprietățile ei: lema privind monotonitatea reciprocă a funcțiilor directe și inverse; simetria graficelor funcțiilor directe și inverse; teoreme privind existența și continuitatea funcției inverse pentru o funcție strict monotonă pe un segment, interval și semiinterval. Exemple de funcții inverse. Un exemplu de rezolvare a problemei. Demonstrații de proprietăți și teoreme.

Conţinut

Vezi si: Definirea unei funcții, limite superioare și inferioare, funcție monotonă.

Definiție și proprietăți

Definiția funcției inverse
Fie ca funcția să aibă un domeniu X și un set de valori Y. Și lăsați-l să aibă proprietatea:
pentru toți .
Atunci pentru orice element din mulțimea Y ​​se poate asocia un singur element din mulțimea X, pentru care . Această corespondență definește o funcție numită funcție inversă la . Funcția inversă se notează după cum urmează:
.

Din definiţie rezultă că
;
pentru toți ;
pentru toți .

Proprietate despre simetria graficelor funcțiilor directe și inverse
Graficele funcțiilor directe și inverse sunt simetrice față de linia directă.

Teorema privind existența și continuitatea funcției inverse pe un segment
Lăsați funcția să fie continuă și strict crescătoare (descrescătoare) pe intervalul . Apoi pe interval este definită și continuă funcția inversă, care este strict crescătoare (descrescătoare).

Pentru o funcție crescătoare . Pentru coborare - .

Teoremă privind existența și continuitatea funcției inverse pe un interval
Fie ca funcția să fie continuă și strict crescătoare (descrescătoare) pe un interval deschis finit sau infinit. Apoi se definește funcția inversă și continuă pe interval, care este strict crescător (descrescător).

Pentru o funcție crescătoare .
Pentru coborare: .

În mod similar, se poate formula o teoremă privind existența și continuitatea unei funcții inverse pe un semiinterval.

Dacă funcția este continuă și strict crește (descrește) pe semiinterval sau , atunci pe semiinterval sau se definește funcția inversă, care strict crește (descrește). Aici .

Dacă este strict crescător, atunci intervalele și corespund intervalelor și . Dacă este strict descrescător, atunci intervalele și corespund intervalelor și .
Această teoremă este demonstrată în același mod ca și teorema privind existența și continuitatea funcției inverse pe un interval.

Exemple de funcții inverse

Arcsin

Grafice y= sin x iar funcția inversă y = arcsin x.

Luați în considerare funcția trigonometrică sinusului: . Este definit și continuu pentru toate valorile argumentului, dar nu este monoton. Cu toate acestea, dacă domeniul de definiție este restrâns, atunci se pot distinge secțiuni monotone. Deci, pe segment, funcția este definită, continuă, strict crescătoare și luând valori din -1 inainte de +1 . Prin urmare, are o funcție inversă pe el, care se numește arcsinus. Arcsinusul are un domeniu de definiție și un set de valori.

Logaritm

Grafice y= 2 x iar funcția inversă y = log 2 x.

Functie exponentiala este definită, continuă și strict crescătoare pentru toate valorile argumentului. Setul valorilor sale este un interval deschis. Funcția inversă este logaritmul de bază doi. Are un domeniu de aplicare și un set de valori.

Rădăcină pătrată

Grafice y=x 2 și funcție inversă.

Funcția de putere este definită şi continuă pentru toţi . Setul valorilor sale este o jumătate de interval. Dar nu este monoton pentru toate valorile argumentului. Cu toate acestea, pe jumătate de interval este continuu și în creștere strict monoton. Prin urmare, dacă, ca domeniu, luăm mulțimea , atunci există o funcție inversă, care se numește rădăcină pătrată. Funcția inversă are un domeniu de definiție și un set de valori.

Exemplu. Dovada existenței și unicității unei rădăcini de gradul n

Demonstrați că ecuația , unde n este natural, este reală număr nenegativ, are o soluție unică pe platou numere reale, . Această soluție se numește a n-a rădăcină a lui a. Adică, trebuie să arăți că orice număr nenegativ are o rădăcină unică de grad n.

Se consideră o funcție a variabilei x:
(P1) .

Să demonstrăm că este continuă.
Folosind definiția continuității, arătăm că
.
Aplicam formula binomiala a lui Newton:
(P2)
.
Să aplicăm proprietățile aritmetice ale limitelor funcției . Deoarece , atunci numai primul termen este diferit de zero:
.
Continuitatea a fost dovedită.

Să demonstrăm că funcția (P1) crește strict ca .
Să luăm numere arbitrare legate prin inegalități:
, , .
Trebuie să arătăm asta. Să introducem variabile. Apoi . Din moment ce , se vede din (A2) că . Sau
.
Creșterea strictă este dovedită.

Găsiți setul de valori ale funcției pentru .
La punctul , .
Să găsim limita.
Pentru a face acest lucru, aplicați inegalitatea Bernoulli. Când avem:
.
De când , atunci și .
Aplicând proprietatea inegalităților funcțiilor infinit de mari, aflăm că .
În acest fel, , .

Conform teoremei funcției inverse, o funcție inversă este definită și continuă pe un interval. Adică, pentru orice există un unic care satisface ecuația. Deoarece avem , aceasta înseamnă că pentru orice , ecuația are o soluție unică, care se numește rădăcina gradului n din numărul x:
.

Demonstrații de proprietăți și teoreme

Dovada lemei privind monotonitatea reciprocă a funcțiilor directe și inverse

Fie ca funcția să aibă un domeniu X și un set de valori Y. Să demonstrăm că are o funcție inversă. Pe baza , trebuie să dovedim asta
pentru toți .

Să presupunem contrariul. Să fie numere , deci . Lasati in acelasi timp. În caz contrar, schimbăm notația astfel încât să fie . Apoi, din cauza monotonității stricte a lui f , una dintre inegalități trebuie să respecte:
dacă f este strict crescător;
dacă f este strict descrescător.
i.e . A existat o contradicție. Prin urmare, are o funcție inversă.

Lăsați funcția să crească strict. Să demonstrăm că și funcția inversă este strict crescătoare. Să introducem notația:
. Adică trebuie să demonstrăm că dacă , atunci .

Să presupunem contrariul. Să , dar .

Daca atunci . Acest caz este scos.

Lasa . Apoi, din cauza creșterii stricte a funcției , , sau . A existat o contradicție. Prin urmare, doar cazul este posibil.

Lema este dovedită pentru o funcție strict crescătoare. Această lemă poate fi demonstrată în mod similar pentru o funcție strict descrescătoare.

Demonstrarea unei proprietăți asupra simetriei graficelor funcțiilor directe și inverse

Fie un punct arbitrar al graficului funcției directe:
(2.1) .
Să arătăm că punctul , simetric față de punctul A față de dreapta , aparține graficului funcției inverse:
.
Din definiţia funcţiei inverse rezultă că
(2.2) .
Astfel, trebuie să arătăm (2.2).

Graficul funcției inverse y = f -1(x) este simetrică cu graficul funcției directe y = f (X) relativ la dreapta y = x .

Din punctele A și S aruncăm perpendiculare pe axele de coordonate. Apoi
, .

Prin punctul A trasăm o dreaptă perpendiculară pe dreaptă. Fie ca liniile să se intersecteze în punctul C. Construim un punct S pe dreptă astfel încât . Atunci punctul S va fi simetric cu punctul A în raport cu dreapta.

Luați în considerare triunghiuri și . Au două laturi egale ca lungime: și , și unghiuri egale între ele: . Prin urmare sunt congruente. Apoi
.

Să luăm în considerare un triunghi. De atunci
.
Același lucru este valabil și pentru triunghi:
.
Apoi
.

Acum găsim:
;
.

Deci, ecuația (2.2):
(2.2)
este satisfăcută deoarece , și (2.1) este satisfăcută:
(2.1) .

Deoarece am ales punctul A în mod arbitrar, acest lucru se aplică tuturor punctelor graficului:
toate punctele graficului funcției, reflectate simetric față de dreapta, aparțin graficului funcției inverse.
Apoi putem schimba locurile. Drept urmare, obținem
toate punctele graficului funcției, reflectate simetric față de dreapta, aparțin graficului funcției.
Rezultă că graficele funcțiilor și sunt simetrice față de dreapta.

Proprietatea a fost dovedită.

Demonstrarea teoremei privind existența și continuitatea funcției inverse pe un interval

Let denotă domeniul de definire al funcției - segmentul .

1. Să arătăm că setul de valori ale funcției este intervalul:
,
Unde .

Într-adevăr, deoarece funcția este continuă pe segmentul , atunci, conform teoremei Weierstrass, ea își atinge minimul și maximul pe acesta. Apoi, conform teoremei Bolzano-Cauchy, funcția preia toate valorile din segment. Adică pentru orice există , pentru care . Deoarece există un minim și un maxim, funcția preia segmentul numai valori din set.

2. Deoarece funcția este strict monotonă, atunci conform celor de mai sus, există o funcție inversă, care este și strict monotonă (crește dacă crește; și scade dacă scade). Domeniul funcției inverse este mulțimea, iar mulțimea de valori este mulțimea.

3. Acum demonstrăm că funcția inversă este continuă.

3.1. Să existe un punct interior arbitrar al segmentului : . Să demonstrăm că funcția inversă este continuă în acest punct.

Lasă-l să corespundă punctului . Deoarece funcția inversă este strict monotonă, adică punctul interior al segmentului:
.
Conform definiției continuității, trebuie să demonstrăm că pentru oricare există o funcție astfel încât
(3.1) pentru toți .

Rețineți că putem lua în mod arbitrar mici. Într-adevăr, dacă am găsit o funcție astfel încât inegalitățile (3.1) sunt satisfăcute pentru valori suficient de mici ale lui , atunci acestea vor fi satisfăcute automat pentru orice valori mari ale lui , dacă setăm pentru .

Să o luăm atât de mică încât punctele și aparțin segmentului:
.
Să introducem și să aranjam notația:



.

Transformăm prima inegalitate (3.1):
(3.1) pentru toți .
;
;
;
(3.2) .
Deoarece este strict monoton, rezultă că
(3.3.1) , dacă crește;
(3.3.2) daca scade.
Deoarece funcția inversă este și strict monotonă, inegalitățile (3.3) implică inegalități (3.2).

Pentru orice ε > 0 există δ, deci |f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε pentru toate |y - y 0 | < δ .

Inegalitățile (3.3) definesc un interval deschis ale cărui capete sunt separate de punct prin distanțe și . Să fie cea mai mică dintre aceste distanțe:
.
Datorită monotonității stricte a , , . De aceea . Atunci intervalul se va afla în intervalul definit de inegalități (3.3). Și pentru toate valorile care îi aparțin, inegalitățile (3.2) vor fi îndeplinite.

Deci, am constatat că pentru suficient de mic , există , astfel încât
la .
Acum să schimbăm notația.
Pentru destul de mici, există astfel încât
la .
Aceasta înseamnă că funcția inversă este continuă în punctele interioare.

3.2. Acum luați în considerare capetele domeniului definiției. Aici toate argumentele rămân aceleași. Trebuie luate în considerare doar cartierele unilaterale ale acestor puncte. În loc de un punct va fi sau , iar în loc de un punct - sau .

Deci, pentru o funcție crescătoare , .
la .
Funcția inversă este continuă la , deoarece pentru orice suficient de mic există , astfel încât
la .

Pentru o funcție descrescătoare , .
Funcția inversă este continuă la , deoarece pentru orice suficient de mic există , astfel încât
la .
Funcția inversă este continuă la , deoarece pentru orice suficient de mic există , astfel încât
la .

Teorema a fost demonstrată.

Demonstrarea teoremei privind existența și continuitatea funcției inverse pe interval

Fie denotă domeniul funcției - un interval deschis. Fie setul valorilor sale. Conform celor de mai sus, există o funcție inversă care are un domeniu de definiție, un set de valori și este strict monotonă (crește dacă crește și scade dacă scade). Rămâne să dovedim asta
1) setul este un interval deschis și asta
2) funcția inversă este continuă pe ea.
Aici .

1. Să arătăm că setul de valori ale funcției este un interval deschis:
.

Ca orice mulțime nevidă ale cărei elemente au o operație de comparare, setul de valori ale funcției are limite inferioare și superioare:
.
Aici, și pot fi numere finite sau simboluri și .

1.1. Să arătăm că punctele și nu aparțin mulțimii de valori ale funcției. Adică, setul de valori nu poate fi un segment.

Dacă sau este punct la infinit: sau , atunci un astfel de punct nu este un element al mulțimii. Prin urmare, nu poate aparține unui set de valori.

Fie (sau ) un număr finit. Să presupunem contrariul. Fie punctul (sau ) să aparțină mulțimii de valori ale funcției. Adică, există astfel de pentru care (sau ). Luați puncte și satisfacerea inegalităților:
.
Întrucât funcția este strict monotonă, atunci
, dacă f crește;
dacă f este în scădere.
Adică, am găsit un punct în care valoarea funcției este mai mică (mai mare decât ). Dar aceasta contrazice definiția feței inferioare (superioare), conform căreia
pentru toți .
Prin urmare, punctele și nu pot aparține setului de valori ale funcției.

1.2. Acum să arătăm că setul de valori este un interval și nu o uniune de intervale și puncte. Adică pentru orice punct există , pentru care .

Conform definițiilor limitelor inferioare și superioare, orice vecinătate a punctelor și conține cel puțin un element al mulțimii . Lasa - număr arbitrar, apartinand intervalului : . Apoi pentru cartier există pentru care
.
Pentru un cartier, există pentru care
.

De când și , atunci . Apoi
(4.1.1) dacă crește;
(4.1.2) daca scade.
Inegalitățile (4.1) sunt ușor de demonstrat prin contradicție. Dar poți folosi , conform căruia pe set există o funcție inversă, care crește strict dacă crește și scade strict dacă scade. Apoi obținem imediat inegalitățile (4.1).

Deci, avem un segment în care if crește;
daca scade.
La capetele segmentului, funcția ia valorile și . Deoarece , atunci prin teorema Bolzano - Cauchy , există un punct pentru care .

Din moment ce , am arătat astfel că pentru orice există , pentru care . Aceasta înseamnă că setul de valori al funcției este un interval deschis.

2. Acum să arătăm că funcția inversă este continuă într-un punct arbitrar al intervalului : . Pentru a face acest lucru, aplicați segmentului. Deoarece , atunci funcția inversă este continuă pe interval , inclusiv în punctul .

Teorema a fost demonstrată.

Referinte:
O.I. demoni. Prelegeri de analiză matematică. Partea 1. Moscova, 2004.
CM. Nikolsky. Bine analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.

Vezi si:

Ce este o funcție inversă? Cum să găsiți inversul funcției uneia date?

Definiție .

Fie funcția y=f(x) definită pe mulțimea D și E mulțimea valorilor sale. Funcția inversă față de funcția y=f(x) este o funcție x=g(y), care este definită pe mulțimea E și atribuie fiecărui y∈E o valoare x∈D astfel încât f(x)=y.

Astfel, domeniul funcției y=f(x) este domeniul funcției inverse, iar domeniul y=f(x) este domeniul funcției inverse.

Pentru a găsi funcția inversă a funcției date y=f(x), trebuie :

1) În formula funcției, în loc de y, înlocuiți x, în loc de x - y:

2) Din egalitatea rezultată, exprimă y în termeni de x:

Aflați funcția inversă a funcției y=2x-6.

Funcțiile y=2x-6 și y=0,5x+3 sunt reciproc inverse.

Graficele funcțiilor directe și inverse sunt simetrice față de linia directă y=x(bisectoare ale sferturilor de coordonate I și III).

y=2x-6 și y=0,5x+3 - . Graficul unei funcții liniare este . Pentru a trasa o linie dreaptă, luăm două puncte.

Este posibil să se exprimi în mod unic y în termeni de x atunci când ecuația x=f(y) are o soluție unică. Acest lucru se poate face dacă funcția y=f(x) ia fiecare dintre valorile sale într-un singur punct al domeniului său de definiție (o astfel de funcție se numește reversibil).

Teorema (necesară și condiție suficientă reversibilitatea funcției)

Dacă funcția y=f(x) este definită și continuă pe un interval numeric, atunci pentru ca funcția să fie inversabilă este necesar și suficient ca f(x) să fie strict monoton.

Mai mult, dacă y=f(x) crește pe interval, atunci și funcția inversă acestuia crește pe acest interval; dacă y=f(x) este în scădere, atunci și funcția inversă este descrescătoare.

Dacă condiția de reversibilitate nu este satisfăcută pe întregul domeniu de definiție, se poate evidenția un interval în care funcția doar crește sau doar scade și pe acest interval găsim o funcție inversă celei date.

Exemplul clasic este . Între $

Deoarece această funcție este descrescătoare și continuă pe intervalul $X$, atunci pe intervalul $Y=$, care este tot descrescător și continuu pe acest interval (Teorema 1).

Calculați $x$:

\ \

Alegeți $x$ potrivit:

Răspuns: funcția inversă $y=-\sqrt(x)$.

Probleme pentru găsirea funcțiilor inverse

În această parte, vom lua în considerare funcții inverse pentru unii functii elementare. Sarcinile vor fi rezolvate conform schemei prezentate mai sus.

Exemplul 2

Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=x+4$

Găsiți $x$ din ecuația $y=x+4$:

Exemplul 3

Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=x^3$

Soluţie.

Deoarece funcția este crescătoare și continuă pe întregul domeniu de definiție, atunci, prin teorema 1, are o funcție inversă continuă și crescătoare asupra ei.

Găsiți $x$ din ecuația $y=x^3$:

Găsirea valorilor potrivite de $x$

Valoarea în cazul nostru este potrivită (deoarece domeniul de aplicare sunt toate numerele)

Redefinind variabilele, obținem că funcția inversă are forma

Exemplul 4

Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=cosx$ pe intervalul $$

Soluţie.

Se consideră funcția $y=cosx$ pe mulțimea $X=\left$. Este continuă și descrescătoare pe mulțimea $X$ și mapează mulțimea $X=\left$ pe mulțimea $Y=[-1,1]$, deci prin teorema privind existența unei continue inverse. funcţie monotonă funcția $y=cosx$ din mulțimea $Y$ are o funcție inversă, care este, de asemenea, continuă și crește în mulțimea $Y=[-1,1]$ și mapează mulțimea $[-1,1]$ la setul $\left$ .

Găsiți $x$ din ecuația $y=cosx$:

Găsirea valorilor potrivite de $x$

Redefinind variabilele, obținem că funcția inversă are forma

Exemplul 5

Găsiți funcția inversă pentru funcția $y=tgx$ pe intervalul $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Soluţie.

Se consideră funcția $y=tgx$ pe mulțimea $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Este continuă și crescătoare pe mulțimea $X$ și mapează mulțimea $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ pe mulțimea $Y =R$, deci, prin teorema privind existența unei funcții monotone continue inverse, funcția $y=tgx$ din mulțimea $Y$ are o funcție inversă, care este și ea continuă și crește în mulțimea $Y=R $ și mapează setul $R$ pe mulțimea $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Găsiți $x$ din ecuația $y=tgx$:

Găsirea valorilor potrivite de $x$

Redefinind variabilele, obținem că funcția inversă are forma

Obiectivele lecției:

Educational:

• să formeze cunoștințe pe o temă nouă în conformitate cu materialul programului;
• să studieze proprietatea inversibilității unei funcții și să învețe cum să găsească o funcție inversă uneia date;

În curs de dezvoltare:

• dezvoltarea abilităților de autocontrol, vorbirea subiectului;
• stăpânește conceptul de funcție inversă și învață metodele de găsire a unei funcții inverse;

Educațional: pentru a forma competență comunicativă.

Echipament: computer, proiector, ecran, tablă interactivă SMART Board, fișă ( muncă independentă) pentru lucrul în grup.

În timpul orelor.

1. Moment organizatoric.

Ţintă – pregătirea elevilor pentru lucrul la clasă:

Definiția absent,

Atitudinea elevilor față de muncă, organizarea atenției;

Mesaj despre subiectul și scopul lecției.

2. Actualizarea cunoștințelor de bază ale elevilor. sondaj frontal.

țintă - pentru a stabili corectitudinea si constientizarea materialului teoretic studiat, repetarea materialului parcurs.<Приложение 1 >

Un grafic al funcției este afișat pe tabla interactivă pentru studenți. Profesorul formulează sarcina - să ia în considerare graficul funcției și să enumere proprietățile studiate ale funcției. Elevii listează proprietățile unei funcții în conformitate cu proiectul de cercetare. Profesorul, în dreapta graficului funcției, notează proprietățile numite cu un marker pe tabla interactivă.

Proprietățile funcției:

La sfârșitul studiului, profesorul raportează că astăzi la lecție se vor familiariza cu încă o proprietate a unei funcții - reversibilitatea. Pentru un studiu semnificativ al materialului nou, profesorul îi invită pe copii să se familiarizeze cu principalele întrebări la care elevii trebuie să răspundă la sfârșitul lecției. Întrebările sunt scrise pe o tablă obișnuită și fiecare elev are o fișă (distribuită înainte de lecție)

1. Ce este o funcție reversibilă?
2. Fiecare funcție este reversibilă?
3. Care este funcția dată inversă?
4. Cum sunt legate domeniul de definiție și setul de valori ale unei funcții și funcția sa inversă?
5. Dacă funcția este dată analitic, cum definiți funcția inversă cu o formulă?
6. Dacă o funcție este dată grafic, cum se trasează funcția inversă?

3. Explicarea materialului nou.

Ţintă - să formeze cunoștințe pe o temă nouă în conformitate cu materialul programului; să studieze proprietatea inversibilității unei funcții și să învețe cum să găsească o funcție inversă uneia date; dezvolta subiectul.

Profesorul efectuează o prezentare a materialului în conformitate cu materialul din paragraf. Pe tabla interactivă, profesorul compară graficele a două funcții ale căror domenii de definiție și seturi de valori sunt aceleași, dar una dintre funcții este monotonă, iar cealaltă nu, aducând astfel elevii sub conceptul de funcție inversabilă. .



Profesorul formulează apoi definiția unei funcții inversabile și efectuează o demonstrație a teoremei funcției inversabile folosind graficul funcției monotone de pe tabla interactivă.

Definiția 1: Se numește funcția y=f(x), x X reversibil, dacă ia oricare dintre valorile sale numai într-un punct al setului X.

Teoremă: Dacă funcția y=f(x) este monotonă pe mulțimea X , atunci este inversabilă.

Dovada:

1. Lasă funcția y=f(x) creste cu X lăsați-l să plece x 1 ≠ x 2- două puncte ale setului X.
2. Pentru certitudine, lăsați x 1< x 2.
   Apoi de la ce x 1< x 2 urmează că f(x 1) < f(x 2).
3. Astfel, diferite valori ale argumentului corespund diferitelor valori ale funcției, adică. functia este reversibila.



(În timpul demonstrării teoremei, profesorul face toate explicațiile necesare pe desen cu un marker)

Înainte de a formula definiția unei funcții inverse, profesorul le cere elevilor să determine care dintre funcțiile propuse este reversibilă? Tabla interactivă prezintă grafice ale funcțiilor și sunt scrise câteva funcții definite analitic:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Profesorul introduce definiția unei funcții inverse.

Definiția 2: Fie o funcție inversabilă y=f(x) definite pe platou XȘi E(f)=Y. Să potrivim fiecare y din Y atunci singurul sens X, la care f(x)=y. Apoi obținem o funcție care este definită pe Y, dar X este intervalul funcției

Aceasta functie este notata x=f -1 (y)și se numește inversul funcției y=f(x).

Elevii sunt invitați să tragă o concluzie despre relația dintre domeniul definiției și setul de valori ale funcțiilor inverse.

Pentru a lua în considerare întrebarea cum să găsim funcția inversă a unui dat, profesorul a implicat doi elevi. Cu o zi înainte, copiii au primit de la profesor sarcina de a analiza independent metodele analitice și grafice de găsire a funcției date inverse. Profesorul a acționat ca un consultant în pregătirea elevilor pentru lecție.

Mesaj de la primul student.

Notă: monotonitatea unei funcții este suficient condiție pentru existența unei funcții inverse. Dar nu este conditie necesara.

Elevul a dat exemple de diverse situații când funcția nu este monotonă, ci reversibilă, când funcția nu este monotonă și nu este reversibilă, când este monotonă și reversibilă



Apoi elevul prezintă elevilor metoda de găsire a funcției inverse dată analitic.

Algoritm de găsire

1. Asigurați-vă că funcția este monotonă.
2. Exprimați x în termeni de y.
3. Redenumiți variabilele. În loc de x \u003d f -1 (y), se scrie y \u003d f -1 (x)

Apoi rezolvă două exemple pentru a găsi funcția inversului dat.

Exemplul 1: Arătați că există o funcție inversă pentru funcția y=5x-3 și găsiți expresia ei analitică.

Soluţie. Funcție liniară y=5x-3 este definit pe R, crește pe R, iar intervalul său este R. Prin urmare, funcția inversă există pe R. Pentru a găsi expresia ei analitică, rezolvăm ecuația y=5x-3 față de x; obținem Aceasta este funcția inversă dorită. Este definită și crește cu R.

Exemplul 2: Arătați că există o funcție inversă pentru funcția y=x 2 , x≤0 și găsiți expresia ei analitică.



Funcția este continuă, monotonă în domeniul său de definire, prin urmare, este inversabilă. După analizarea domeniilor de definiție și a setului de valori ale funcției, se face o concluzie corespunzătoare despre expresia analitică pentru funcția inversă.

Al doilea elev face o prezentare despre grafic cum se află funcția inversă. În cursul explicației sale, studentul folosește capacitățile tablei interactive.

Pentru a obține graficul funcției y=f -1 (x), invers cu funcția y=f(x), este necesar să se transforme graficul funcției y=f(x) simetric față de dreapta y=x.

În timpul explicației pe tabla interactivă, se realizează următoarea sarcină:

Construiți un grafic al unei funcții și un grafic al funcției sale inverse în același sistem de coordonate. Scrieți o expresie analitică pentru funcția inversă.

4. Fixarea primară a noului material.

țintă - să stabilească corectitudinea și conștientizarea înțelegerii materialului studiat, să identifice lacune în înțelegerea primară a materialului, să le corecteze.

Elevii sunt împărțiți în perechi. Li se dau fișe cu sarcini în care lucrează în perechi. Timpul de finalizare a lucrării este limitat (5-7 minute). O pereche de elevi lucrează la computer, proiectorul este oprit pentru această perioadă, iar restul copiilor nu poate vedea cum lucrează elevii la computer.

La sfârșitul timpului (se presupune că majoritatea elevilor au finalizat lucrarea), tabla interactivă (proiectorul se aprinde din nou) arată munca elevilor, unde se clarifică în timpul testului că sarcina a fost finalizată în perechi. Dacă este necesar, profesorul efectuează lucrări corective, explicative.

Munca independentă în perechi<Anexa 2 >

5. Rezultatul lecției. La întrebările care au fost puse înainte de prelegere. Anunțarea notelor la lecție.

Tema pentru acasă §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra și începuturile analizei. Clasa 10 În 2 părți pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova și alții; ed. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007