Întrucât zonele indicate sunt, respectiv, egale

S∆OAC=0,5∙OC∙OA păcat α= 0,5sinα, S sect. OAC= 0,5∙OC 2 ∙α=0,5α, S ∆ OBC=0,5∙OC∙BC= 0,5tga.

Prin urmare,

sinα< α < tg α.

Împărțim toți termenii inegalității la sin α > 0: .

Dar . Prin urmare, pe baza teoremei 4 asupra limitelor, concluzionăm că formula derivată se numește prima limită remarcabilă.

Astfel, prima limită remarcabilă servește la dezvăluirea incertitudinii. Rețineți că formula rezultată nu trebuie confundată cu limitele Exemple.

11.Limita și limitele aferente.

A DOUA LIMITĂ REMARCABILĂ

A doua limită remarcabilă servește la relevarea incertitudinii 1 ∞ și arată astfel

Să fim atenți la faptul că în formula pentru a doua limită remarcabilă, exponentul trebuie să conțină o expresie opusă celei care se adaugă unității din bază (deoarece în acest caz este posibil să se introducă o modificare de variabile și reduceți limita dorită la a doua limită remarcabilă)

Exemple.

1. Funcție f(x)=(X-1) 2 este infinit mic pentru X→1, deoarece (vezi Fig.).

2. Funcția f(x)=tg X este infinit de mic la X→0.

3. f(x)= log(1+ X) este infinit mic la X→0.

4. f(x) = 1/X este infinit de mic la X→∞.

Să stabilim următoarea relație importantă:

Teorema. Dacă funcţia y=f(x) reprezentabil la x→a ca sumă a unui număr constant bși infinit de mici α(x): f(x)=b+ α(x) apoi .

În schimb, dacă , atunci f(x)=b+α(x), Unde topor) este infinit de mic la x→a.

Dovada.

1. Să demonstrăm prima parte a aserției. Din egalitate f(x)=b+α(x) ar trebui să |f(x) – b|=| α|. Dar de atunci topor) este infinitezimal, atunci pentru ε arbitrar există δ, o vecinătate a punctului A, pentru toți X din care, valori topor) satisface relația |α(x)|< ε. Apoi |f(x) – b|< ε. Și asta înseamnă că .

2. Dacă , atunci pentru orice ε >0 pentru toți X din unele δ este o vecinătate a punctului A voi |f(x) – b|< ε. Dar dacă denotăm f(x) – b= α, apoi |α(x)|< ε, ceea ce înseamnă că A- infinit de mici.

Să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcțiilor infinitezimale.

Teorema 1. Suma algebrică a doi, trei și, în general, orice număr finit de infinitezimale este o funcție infinitezimală.

Dovada. Să dăm o dovadă pentru doi termeni. Lasa f(x)=α(x)+β(x), unde și . Trebuie să demonstrăm că pentru ε arbitrar arbitrar mic > 0 acolo δ> 0, astfel încât pt X satisfacerea inegalitatii |x- a|<δ , efectuat |f(x)|< ε.

Astfel, fixăm un număr arbitrar ε > 0. Deoarece, conform ipotezei teoremei, α(x) este o funcție infinitezimală, atunci există δ 1 > 0, care la |x – a|< δ 1 avem |α(x)|< ε / 2. La fel, din moment ce β(x) este infinitezimal, atunci există un astfel de δ 2 > 0, care la |x – a|< δ 2 avem | β(x)|< ε / 2.

Hai sa luam δ=min(δ1 , δ2 } .Apoi într-o vecinătate a punctului A rază δ fiecare dintre inegalităţi va fi satisfăcută |α(x)|< ε / 2 și | β(x)|< ε / 2. Prin urmare, în acest cartier va exista

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

acestea. |f(x)|< ε, care trebuia demonstrat.

Teorema 2. Munca este infinită funcție mică topor) pentru o funcție limitată f(x) la x→a(sau când x→∞) este o funcție infinitezimală.

Dovada. Din moment ce functia f(x) este limitat, atunci există un număr M astfel încât pentru toate valorile X dintr-o vecinătate a punctului a|f(x)|≤M.În plus, din moment ce topor) este o funcție infinitezimală pentru x→a, apoi pentru ε arbitrar > 0 există o vecinătate a punctului A, în care inegalitatea |α(x)|< ε /M. Apoi, în cel mai mic dintre aceste cartiere avem | αf|< ε /M= ε. Și asta înseamnă că af- infinit de mici. Pentru cazul x→∞ dovada se realizează în mod similar.

Din teorema demonstrată rezultă:

Consecința 1. Dacă și atunci

Consecința 2. Dacă c= const, atunci .

Teorema 3. Raportul unei funcții infinitezimale α(x) per functie f(x), a cărei limită este diferită de zero, este o funcție infinitezimală.

Dovada. Lasa . Apoi 1 /f(x) există o funcție limitată. Prin urmare, o fracție este un produs al unei funcții infinitezimale și al unei funcții mărginite, i.e. funcția este infinitezimală.

Exemple.

1. Este clar că pt x→+∞ funcţie y=x 2 + 1 este infinit. Dar apoi, conform teoremei formulate mai sus, funcția este infinitezimală la x→+∞, adică .

Teorema inversă poate fi de asemenea demonstrată.

Teorema 2. Dacă funcţia f(x)- infinit mic la x→a(sau x→∞)și nu dispare, atunci y= 1/f(x) este o funcție infinită.

Demonstrați singur teorema.

Exemple.

3. , întrucât funcțiile și sunt infinitezimale pentru x→+∞, atunci ca suma funcțiilor infinitezimale este o funcție infinitezimală. O funcție este suma unui număr constant și a unei funcții infinit de mici. Prin urmare, prin teorema 1, pentru funcții infinitezimale obținem egalitatea necesară.

Astfel, cele mai simple proprietăți ale funcțiilor infinit de mici și infinit de mari pot fi scrise folosind următoarele relații condiționate: A≠ 0

13. Funcții infinit de mici de același ordin, echivalent infinit de mici.

Funcții infinit de mici și sunt numite infinitezimale de același ordin de micime dacă , notează . Și, în sfârșit, dacă nu există, atunci funcționează infinitezimal și sunt incomparabile.

EXEMPLU 2. Compararea funcţiilor infinitezimale

Funcții infinitezimale echivalente.

Dacă , atunci funcțiile infinitezimale și sunt numite echivalent, notează ~ .

Funcții echivalente local:

Când dacă

Câteva echivalențe(la ):

Limite unilaterale.

Până acum, am luat în considerare definiția limitei unei funcții când x→aîn mod arbitrar, adică limita funcției nu depindea de modul în care X către A, la stânga sau la dreapta A. Cu toate acestea, este destul de comun să găsiți funcții care nu au nicio limită în această condiție, dar au o limită dacă x→a, rămânând pe o parte a A, stânga sau dreapta (vezi fig.). Prin urmare, este introdus conceptul de limite unilaterale.

În cazul în care un f(x) tinde spre limită b la X străduindu-se pentru un număr A asa de X ia doar valori mai mici decât A, apoi scrieți și sunați blimita funcției f(x) în punctul a din stânga.

Deci numărul b se numește limita funcției y=f(x) la x→aîn stânga, dacă există un număr pozitiv ε, există un număr δ (mai mic decât A

În mod similar, dacă x→ași capătă valori mari A, apoi scrieți și sunați b limita funcției la un punct A pe dreapta. Acestea. număr b numit limita funcției y=f(x) la x→a din dreapta, dacă există un număr pozitiv ε, există un astfel de număr δ (mai mare decât A) că inegalitatea este valabilă pentru toți .

Rețineți că dacă limitele sunt stânga și dreapta la un punct A pentru functie f(x) nu se potrivesc, atunci funcția nu are limită (bifață) la punct A.

Exemple.

1. Luați în considerare funcția y=f(x), definit pe segment după cum urmează

Să găsim limitele funcției f(x) la x→ 3. Evident, a

Cu alte cuvinte, pentru orice număr arbitrar mic de epsiloni, există o astfel de deltă, în funcție de epsiloni, încât din faptul că pentru orice x care satisface inegalitatea rezultă că diferența dintre valorile funcției în aceste puncte va fi arbitrar mic.

Criteriu pentru continuitatea unei funcții într-un punct:

Funcţie voi continuu la punctul A dacă și numai dacă este continuă în punctul A atât la dreapta cât și la stânga, adică pentru ca două limite unilaterale să existe în punctul A, ele sunt egale între ele și egale cu valoarea funcția la punctul A.

Definiția 2: Funcția este continuă pe un set dacă este continuu în toate punctele acestui set.

Derivată a unei funcții într-un punct

Fie dat să fie definit într-o vecinătate de . Considera

Dacă această limită există, atunci se numește derivata functiei f in punctul .

Derivată de funcție- limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, când argumentul este incrementat.

Operația de calcul sau găsire a derivatei într-un punct se numește diferenţiere .

Reguli de diferențiere.

derivat funcții f(x) la punct x=x 0 este raportul dintre incrementul funcției în acest punct și incrementul argumentului, deoarece acesta din urmă tinde spre zero.Găsirea derivatei se numește diferenţiere. Derivata unei functii se calculeaza dupa regula generala de diferentiere: Notam f(x) = u, g(x) = v- functii diferentiabile la un punct X. Reguli de bază de diferențiere 1) (derivata sumei este egală cu suma derivatelor) 2) (deci, în special, rezultă că derivata produsului unei funcții și unei constante este egală cu produsul derivatei acestei funcții printr-o constantă) 3) Derivată a unui cât: dacă g  0 4) Derivată a unei funcții complexe: 5) Dacă funcția este setată parametric: , atunci

Exemple.

1. y = X A - functie de putere cu un indice arbitrar.

Funcție implicită

Dacă funcția este dată de ecuația y=ƒ(x) rezolvată în raport cu y, atunci funcția este dată explicit (funcție explicită).

Sub atribuire implicită funcțiile înțeleg alocarea unei funcții sub forma unei ecuații F(x;y)=0, nepermisă în raport cu y.

Oricare evident funcţie dată y=ƒ(x) poate fi scris implicit ca dat de ecuațieƒ(x)-y=0, dar nu invers.

Nu este întotdeauna ușor, și uneori imposibil, să rezolvi o ecuație pentru y (de exemplu, y+2x+cozy-1=0 sau 2y-x+y=0).

Dacă funcția implicită este dată de ecuația F(x; y)=0, atunci pentru a găsi derivata lui y față de x, nu este nevoie să rezolvăm ecuația față de y: este suficient să diferențiem această ecuație față de x, considerând y în funcție de x,și apoi rezolvați ecuația rezultată în raport cu y”.

Derivata unei functii implicite este exprimata in termenii argumentului x si functiei y.

Exemplu:

Aflați derivata funcției y dată de ecuația x 3 +y 3 -3xy=0.

Rezolvare: Funcția y este implicit definită. Diferențierea față de x egalitatea x 3 +y 3 -3xy=0. Din raportul rezultat

3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0

rezultă că y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, adică y "= (y-x 2) / (y 2 -x).

Derivate de ordin superior

Este clar că derivatul

funcții y=f(x) exista si o functie de la X:

y"=f" (x)

Dacă funcţia f"(x) este diferențiabilă, atunci derivata sa este notată prin simbol y""=f""(x) x de două ori.
Derivata celei de-a doua derivate, i.e. funcții y""=f""(x), se numește derivata a treia a funcției y=f(x) sau derivată a funcției f(x) de ordinul treiși este simbolizat

În general n-i derivat sau derivat n-funcția de ordine y=f(x) notate prin simboluri

F-la Leibniz:

Să presupunem că funcțiile și sunt diferențiabile împreună cu derivatele lor până la ordinul al n-lea inclusiv. Aplicând regula de diferențiere a produsului a două funcții, obținem

Să comparăm aceste expresii cu puterile binomului:

Regula corespondenței este izbitoare: pentru a obține o formulă pentru derivata ordinului 1, 2 sau 3 din produsul funcțiilor și , trebuie să înlocuiți gradele și în expresia pentru (unde n= 1,2,3) derivate ale ordinelor corespunzătoare. În plus, puterile zero ale și ar trebui înlocuite cu derivate de ordin zero, adică prin acestea funcțiile și:

Generalizarea acestei reguli la cazul unei derivate de ordin arbitrar n, primim formula Leibniz,

unde sunt coeficienții binomi:

teorema lui Rolle.

Această teoremă permite găsirea punctelor critice și apoi utilizarea conditii suficiente explorați f-yu pentru extreme.

Fie 1) al-lea f(x) definit și continuu pe un interval închis; 2) există o derivată finită, cel puţin în intervalul deschis (a;b); 3) la capete intervalul f-i ia valori egale f(a) = f(b). Atunci între punctele a și b există un astfel de punct c încât derivata în acest punct va fi = 0.

Conform teoremei asupra proprietății f-ilor care sunt continue pe un segment, f-a f(x) ia pe acest segment valorile sale maxime și minime.

f (x 1) \u003d M - max, f (x 2) \u003d m - min; x 1 ;x 2 О

1) Fie M = m, i.e. m £ f(x) £ M

Þ f-a f(x) va lua intervalul de la a la b valori constante, iar Þ derivata sa va fi egală cu zero. f'(x)=0

2) Fie M>m

pentru că prin condițiile teoremei, f(a) = f(b) z este cel mai mic sau cel mai mare a-a valoare va lua nu la capetele segmentului, ci Þ va lua M sau m într-un punct interior al acestui segment. Apoi prin teorema lui Fermat f'(c)=0.

teorema lui Lagrange.

Formula cu incrementare finită sau Teorema valorii medii Lagrange afirmă că dacă funcţia f continuu pe segmentul [ A;b] și diferențiabilă în intervalul ( A;b), atunci există un punct astfel încât

teorema lui Cauchy.

Dacă funcțiile f(x) și g(x) sunt continue pe interval și diferențiabile pe intervalul (a, b) și g¢(x) ¹ 0 pe intervalul (a, b), atunci există cel puțin un punctul e, a< e < b, такая, что

Acestea. raportul incrementelor de funcții pe acest segment este egal cu raportul derivatelor de la punctul e. Exemple de rezolvare a problemelor curs de prelegeri Calculul volumului corporal prin piețe celebre a lui secțiuni paralele Calcul integral

Exemple de execuție termen de hârtie Inginerie Electrică

Pentru a demonstra această teoremă, la prima vedere, este foarte convenabil să folosiți teorema lui Lagrange. Notați formula diferențelor finite pentru fiecare funcție și apoi împărțiți-le unul la altul. Cu toate acestea, acest punct de vedere este eronat, deoarece punctul e pentru fiecare dintre funcții este în general diferit. Desigur, în unele cazuri speciale acest punct de interval poate fi același pentru ambele funcții, dar aceasta este o coincidență foarte rară, nu o regulă și, prin urmare, nu poate fi folosită pentru a demonstra teorema.

Dovada. Luați în considerare funcția de ajutor

Când x→x 0, valoarea lui c tinde de asemenea spre x 0; să trecem în egalitatea anterioară la limita:

La fel de , apoi .

Asa de

(limita raportului a două infinitezimale este egală cu limita raportului derivatelor lor, dacă aceasta din urmă există)

Regula lui L'Hopital, la ∞ / ∞.

Vom numi funcția y=f(x) BUNDED UP (BOTTOM) pe mulțimea A din domeniul D(f), dacă există un astfel de număr M , că pentru orice x din acest set condiția

Folosind simboluri logice, definiția poate fi scrisă ca:

f(x) – delimitat de sus pe platou

(f(x) – delimitat de jos pe platou

Sunt de asemenea introduse în considerare funcțiile mărginite în valoare absolută sau pur și simplu mărginite.

Vom numi o funcție MARȚĂTĂ pe mulțimea A din domeniul definiției dacă există un număr pozitiv M astfel încât

În limbajul simbolurilor logice

f(x) – limitat pe platou

O funcție care nu este mărginită se numește nemărginită. Știm că definițiile date prin negație au puțin conținut. Pentru a formula această aserțiune ca definiție, folosim proprietățile operațiilor de cuantificare (3.6) și (3.7). Apoi, negarea limitării funcției în limbajul simbolurilor logice va da:

f(x) – limitat pe platou

Rezultatul obţinut ne permite să formulăm următoarea definiţie.

O funcție se numește NELIMITAT pe mulțimea A, care aparține domeniului funcției, dacă pe această mulțime pentru orice număr pozitiv M există o astfel de valoare a argumentului x , că valoarea va depăși în continuare valoarea lui M, adică .

Ca exemplu, luați în considerare funcția

Este definită pe toată axa reală. Dacă luăm segmentul [–2;1] (mulțimea A), atunci pe el va fi mărginit atât de sus, cât și de jos.

Într-adevăr, pentru a arăta că este mărginit de sus, trebuie să luăm în considerare predicatul

și arătați că există (există) M astfel încât pentru tot x luat pe segmentul [–2;1], acesta va fi adevărat

Nu este greu să găsești un astfel de M. Putem presupune M = 7, cuantificatorul de existență implică găsirea a cel puțin unei valori a lui M. Prezența unui astfel de M confirmă faptul că funcția de pe segmentul [–2;1] este mărginită de sus.

Pentru a demonstra mărginirea sa de jos, trebuie să luăm în considerare predicatul

Valoarea lui M, care asigură adevărul acestui predicat, este, de exemplu, M = -100.

Se poate dovedi că și funcția va fi mărginită modulo: pentru tot x din segmentul [–2;1], valorile funcției coincid cu valorile lui , prin urmare, ca M, putem lua , de exemplu, valoarea anterioară a lui M = 7.

Să arătăm că aceeași funcție, dar pe intervalul , va fi nemărginită, adică

Pentru a arăta că un astfel de x există, luați în considerare afirmația

Căutând valorile necesare ale lui x printre valorile pozitive ale argumentului, obținem

Aceasta înseamnă că, indiferent de ce Mwe luăm pozitiv, valorile lui x care asigură îndeplinirea inegalității

sunt obținute din raport.

Considerând o funcție pe întreaga axă reală, se poate arăta că este nemărginită în valoare absolută.

Într-adevăr, din inegalitate

Adică, indiferent cât de mare este M pozitiv, sau va asigura îndeplinirea inegalității .

FUNCȚIE EXTREMĂ.

Funcția are la punct cu local maxim (minim) dacă există o astfel de vecinătate a acestui punct care pt X¹ cu acest cartier satisface inegalitatea

mai ales că punctul extremum poate fi doar un punct intern al golului, iar f(x) trebuie definit în el. Cazurile posibile de absență a unui extremum sunt prezentate în Fig. 8.8.

Dacă o funcție crește (descrește) pe un anumit interval și scade (crește) pe un anumit interval, atunci punctul cu este un punct maxim local(minim).

Absența unui maxim al funcției f(x) într-un punct cu poate fi formulat astfel:

_______________________

f(x) are un maxim la c

Aceasta înseamnă că dacă punctul c nu este un punct maxim local, atunci indiferent de vecinătatea care include punctul c ca interior, există cel puțin o valoare a lui x diferită de c, pentru care . Astfel, dacă nu există un maxim în punctul c, atunci s-ar putea să nu existe deloc un extremum în acest punct, sau poate fi un punct minim (Fig. 8.9).

Conceptul de extremum oferă o evaluare comparativă a valorii unei funcții în orice punct în raport cu cele din apropiere. O comparație similară a valorilor funcției poate fi făcută pentru toate punctele unui interval.

Cea mai MARE (MINIMĂ) valoare a unei funcții dintr-o mulțime este valoarea acesteia la un punct din această mulțime astfel încât – pentru . Cea mai mare valoare a funcției este atinsă în punctul interior al segmentului și cea mai mică – la capătul său stâng.

Pentru a determina cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții dată pe un segment, este necesar să se aleagă cel mai mare (cel mai mic) număr dintre toate valorile maximelor (minimelor) acesteia, precum și valorile luate la capetele intervalului. Va fi cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției. Această regulă va fi specificată ulterior.

Problema găsirii celui mai mare și cele mai mici valori funcțiile pe un interval deschis nu sunt întotdeauna ușor de rezolvat. De exemplu, funcția

în intervalul (Fig. 8.11) nu le are.

Să ne asigurăm, de exemplu, că această funcție nu are cea mai mare valoare. Într-adevăr, având în vedere monotonitatea funcției, se poate argumenta că, indiferent cât de aproape am seta valorile lui x la stânga unității, vor exista și alte x în care valorile funcției vor fi mai mari decât valorile sale la punctele fixe date, dar tot mai puțin decât unitatea.

Teoremă asupra limitei unei funcții monotone. Demonstrarea teoremei este dată prin două metode. Sunt date și definițiile funcțiilor strict crescătoare, nedescrescătoare, strict descrescătoare și necrescătoare. Definiția unei funcții monotone.

Funcția nu este limitată de sus

1.1. Fie numărul b finit: .
1.1.2. Fie funcția nemărginită de sus.

.

la .

Să notăm. Atunci pentru orice există , astfel încât
la .
Aceasta înseamnă că limita din stânga la punctul b este (vezi „Definițiile limitelor infinite unilaterale ale unei funcții la punctul final”).

b timpuriu plus infinit

Funcție limitată de sus

1. Lăsați funcția să nu scadă pe intervalul .
1.2.1. Fie ca funcția să fie mărginită de sus de numărul M : pentru .
Să demonstrăm că în acest caz există o limită.

Deoarece funcția este mărginită de sus, există o limită superioară finită
.
Conform definiției celei mai mici limite superioare, sunt îndeplinite următoarele condiții:
;
pentru orice pozitiv există un argument pentru care
.

Deoarece funcția nu scade, atunci pentru . Apoi la . Sau
la .

Deci am descoperit că pentru orice există un număr, astfel încât
la .
„Definițiile limitelor unilaterale la infinit”).

Funcția nu este limitată de sus

1. Lăsați funcția să nu scadă pe intervalul .
1.2. Fie numărul b plus infinit: .
1.2.2. Fie funcția nemărginită de sus.
Să demonstrăm că în acest caz există o limită.

Deoarece funcția nu este mărginită de sus, atunci pentru orice număr M există un argument , pentru care
.

Deoarece funcția nu scade, atunci pentru . Apoi la .

Deci, pentru orice există un număr, astfel încât
la .
Aceasta înseamnă că limita la este (vezi „Definițiile limitelor infinite unilaterale la infinit”).

Funcția nu crește

Acum luați în considerare cazul în care funcția nu crește. Puteți, ca mai sus, să luați în considerare fiecare opțiune separat. Dar le vom acoperi imediat. Pentru aceasta folosim . Să demonstrăm că în acest caz există o limită.

Luați în considerare limita inferioară finită a setului de valori ale funcției:
.
Aici B poate fi fie un număr finit, fie un punct la infinit. Conform definiției infimului exact, sunt îndeplinite următoarele condiții:
;
pentru orice vecinătate a punctului B există un argument pentru care
.
După condiția teoremei, . Asa de .

Deoarece funcția nu crește, atunci pentru . Pentru că atunci
la .
Sau
la .
Mai mult, observăm că inegalitatea definește vecinătatea punctată din stânga a punctului b .

Deci, am descoperit că pentru orice vecinătate a punctului , există o astfel de vecinătate din stânga perforată a punctului b încât
la .
Aceasta înseamnă că limita din stânga la punctul b este:

(vezi definiția universală a limitei unei funcții după Cauchy).

Limita la punctul a

Acum să arătăm că există o limită în punctul a și să găsim valoarea acesteia.

Să luăm în considerare o funcție. După condiția teoremei, funcția este monotonă pentru . Să înlocuim variabila x cu - x (sau să facem înlocuirea și apoi să înlocuim variabila t cu x ). Atunci funcția este monotonă pentru . Înmulțirea inegalităților cu -1 iar schimbându-le ordinea, ajungem la concluzia că funcția este monotonă pentru .

În mod similar, este ușor să arăți că dacă nu scade, atunci nu crește. Apoi, conform celor dovedite mai sus, există o limită
.
Dacă nu crește, atunci nu scade. În acest caz, există o limită
.

Acum rămâne de arătat că, dacă există o limită a funcției la , atunci există o limită a funcției la , iar aceste limite sunt egale:
.

Să introducem notația:
(1) .
Să exprimăm f în termeni de g:
.
Luați un număr pozitiv arbitrar. Să existe o vecinătate epsilon a punctului A . Vecinătatea Epsilon este definită atât pentru valorile finite, cât și pentru cele infinite ale lui A (vezi „Vecinătatea unui punct”). Deoarece există o limită (1), atunci, conform definiției unei limite, pentru oricare există astfel încât
la .

Fie a un număr finit. Să exprimăm vecinătatea punctată din stânga a punctului -a folosind inegalitățile:
la .
Să înlocuim x cu -x și să luăm în considerare faptul că:
la .
Ultimele două inegalități definesc o vecinătate dreaptă perforată a punctului a . Apoi
la .

Fie a un număr infinit, . Repetăm ​​discuția.
la ;
la ;
la ;
la .

Așadar, am descoperit că pentru oricare există așa ceva
la .
Înseamnă că
.

Teorema a fost demonstrată.

Lecție și prezentare pe tema: "Proprietățile unei funcții. Funcția crește și descrește"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 9-a
Ghid de studiu interactiv pentru clasa a 9-a „Reguli și exerciții de geometrie”
Manual electronic „Geometrie înțeleasă” pentru clasele 7-9

Băieți, continuăm să studiem funcții numerice. Astăzi ne vom concentra pe un subiect precum proprietățile funcției. Funcțiile au multe proprietăți. Amintiți-vă ce proprietăți am studiat recent. Așa este, domeniul de aplicare și domeniul de aplicare, acestea sunt una dintre proprietățile cheie. Nu uitați niciodată de ele și amintiți-vă că o funcție are întotdeauna aceste proprietăți.

În această secțiune, vom defini câteva proprietăți ale funcțiilor. Ordinea in care le vom determina, recomand sa o urmati atunci cand rezolvati probleme.

Funcția Crescător și Descrescător

Prima proprietate pe care o vom defini este creșterea și scăderea funcției.

Conceptele de „creștere” și „scădere” ale unei funcții sunt foarte ușor de înțeles dacă te uiți cu atenție la graficele funcției. Pentru o funcție crescătoare: urcăm un fel de deal, pentru o funcție descrescătoare, respectiv coborâm. Forma generală Funcțiile crescătoare și descrescătoare sunt prezentate în graficele de mai jos.

Creșterea și scăderea unei funcții se numește în general monotonitate. Adică, sarcina noastră este să găsim intervalele funcțiilor descrescătoare și crescătoare. În cazul general, aceasta este formulată după cum urmează: găsiți intervale de monotonitate sau examinați o funcție pentru monotonitate.

Investigați monotonitatea funcției $y=3x+2$.
Soluție: Verificați funcția pentru orice x1 și x2 și fie x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Pentru că, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Limitarea funcției

Se spune că o funcție $y=f(x)$ este mărginită de jos pe o mulțime X⊂D(f) dacă există un număr a astfel încât pentru orice xϵX inegalitatea f(x)< a.

Se spune că o funcție $y=f(x)$ este mărginită de sus pe o mulțime X⊂D(f) dacă există un număr a astfel încât pentru orice xϵX inegalitatea f(x)< a.

Dacă intervalul X nu este indicat, atunci se consideră că funcția este limitată pe întregul domeniu de definiție. O funcție mărginită atât deasupra cât și dedesubt se numește mărginită.

Limitarea funcției este ușor de citit din grafic. Este posibil să trasezi o linie dreaptă
$y=a$, iar dacă funcția este mai mare decât această linie, atunci este mărginită de jos. Dacă mai jos, atunci respectiv mai sus. Mai jos este un grafic al unei funcții mărginite inferioară. Graficul unei funcții mărginite, băieți, încercați să-l desenați singuri.

Investigați mărginirea funcției $y=\sqrt(16-x^2)$.
Rezolvare: Rădăcina pătrată a unui număr este mai mare sau egală cu zero. Evident, funcția noastră este, de asemenea, mai mare sau egală cu zero, adică este mărginită de jos.
Putem extrage doar rădăcina pătrată din număr nenegativ, apoi $16-x^2≥0$.
Soluția inegalității noastre va fi intervalul [-4;4]. Pe acest segment $16-x^2≤16$ sau $\sqrt(16-x^2)≤4$, dar aceasta înseamnă delimitare de sus.
Răspuns: funcția noastră este limitată de două linii $y=0$ și $y=4$.

Valoarea cea mai mare și cea mai mică

Cea mai mică valoare a funcției y= f(x) din mulțimea Х⊂D(f) este un număr m, astfel încât:

b) Pentru orice xϵX, $f(x)≥f(x0)$ este valabil.

Cea mai mare valoare a funcției y=f(x) pe mulțimea Х⊂D(f) este un număr m, astfel încât:
a) Există un x0 astfel încât $f(x0)=m$.
b) Pentru orice xϵX, $f(x)≤f(x0)$ este satisfăcut.

Valoarea cea mai mare și cea mai mică este de obicei notă cu y max. și numele y. .

Conceptele de mărginire și cea mai mare cu cea mai mică valoare a unei funcții sunt strâns legate. Următoarele afirmații sunt adevărate:
a) Dacă există o valoare cea mai mică pentru o funcție, atunci aceasta este mărginită de jos.
b) Dacă există cea mai mare valoare funcția, atunci este mărginită de sus.
c) Dacă funcția nu este mărginită de sus, atunci nu există o valoare maximă.
d) Dacă funcția nu este mărginită mai jos, atunci cea mai mică valoare nu există.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Rezolvare: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Pentru $x=4$ $f(4)=5$, pentru toate celelalte valori, funcția ia valori mai mici sau nu există, adică aceasta este cea mai mare valoare a funcției.
Prin definiție: $9-4x^2+16x≥0$. Să găsim rădăcinile trinom pătrat$(2x+1)(2x-9)≥0$. La $x=-0,5$ și $x=4,5$ funcția dispare, în toate celelalte puncte este mai mare decât zero. Atunci, prin definiție, cea mai mică valoare a funcției este zero.
Răspuns: y max. =5 și y min. =0.

Băieți, am studiat și conceptele de convexitate a unei funcții. Când rezolvăm unele probleme, este posibil să avem nevoie de această proprietate. Această proprietate este, de asemenea, ușor de determinat folosind grafice.

Funcția este convexă în jos dacă oricare două puncte ale graficului funcției originale sunt conectate, iar graficul funcției este sub linia care leagă punctele.

Funcția este convexă în sus dacă oricare două puncte ale graficului funcției originale sunt conectate, iar graficul funcției este deasupra liniei care leagă punctele.

O funcție este continuă dacă graficul funcției noastre nu are discontinuități, cum ar fi graficul funcției de mai sus.

Dacă doriți să găsiți proprietățile unei funcții, atunci succesiunea de căutare a proprietăților este următoarea:
a) Domeniul de definire.
b) Monotonia.
c) limitare.
d) Cea mai mare și cea mai mică valoare.
e) Continuitate.
f) Gama de valori.

Aflați proprietățile funcției $y=-2x+5$.
Decizie.
a) Domeniul definiției D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonia. Să verificăm orice valori x1 și x2 și să fie x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Pentru că x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) limitare. Evident, funcția nu este limitată.
d) Cea mai mare și cea mai mică valoare. Deoarece funcția nu este mărginită, nu există o valoare maximă sau minimă.
e) Continuitate. Graficul funcției noastre nu are goluri, atunci funcția este continuă.
f) Gama de valori. E(y)=(-∞;+∞).

Sarcini privind proprietățile unei funcții pentru soluție independentă