A fost necesară compararea valorilor și cantităților în rezolvarea problemelor practice încă din cele mai vechi timpuri. În același timp, au apărut cuvinte precum mai mult și mai puțin, mai mare și mai jos, mai ușor și mai greu, mai liniștit și mai tare, mai ieftin și mai scump etc., denotând rezultatele comparării cantităților omogene.

Conceptele de mai mult și mai puțin au apărut în legătură cu numărarea obiectelor, măsurarea și compararea cantităților. De exemplu, matematicienii din Grecia antică știau că latura oricărui triunghi este mai mică decât suma celorlalte două laturi și că latura mai mare a triunghiului se află opusă unghiului mai mare. Arhimede, în timp ce calcula circumferința unui cerc, a descoperit că perimetrul oricărui cerc este egal cu de trei ori diametrul cu un exces care este mai mic de o șapte din diametru, dar mai mult de zece șaptezeci și unu din diametru.

Scrieți simbolic relațiile dintre numere și cantități folosind semnele > și b. Intrări în care două numere sunt legate printr-unul dintre semne: > (mai mare decât), Te-ai întâlnit și cu inegalități numerice în clasele elementare. Știți că inegalitățile pot fi adevărate sau nu. De exemplu, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) este o inegalitate numerică validă, 0,23 > 0,235 este o inegalitate numerică nevalidă.

Inegalitățile care includ necunoscute pot fi adevărate pentru unele valori ale necunoscutelor și false pentru altele. De exemplu, inegalitatea 2x+1>5 este adevărată pentru x = 3, dar falsă pentru x = -3. Pentru o inegalitate cu o necunoscută, puteți seta sarcina: rezolvați inegalitatea. Problemele de rezolvare a inegalităților în practică sunt puse și rezolvate nu mai puțin frecvent decât problemele de rezolvare a ecuațiilor. De exemplu, multe probleme economice se reduc la studiul și rezolvarea sistemelor de inegalități liniare. În multe ramuri ale matematicii, inegalitățile sunt mai frecvente decât ecuațiile.

Unele inegalități servesc ca singurul mijloc auxiliar pentru a demonstra sau infirma existența unui anumit obiect, de exemplu, rădăcina unei ecuații.

Inegalități numerice

Poți compara numere întregi? zecimale. Cunoașteți regulile de comparare a fracțiilor obișnuite cu aceiași numitori, dar cu numărătoare diferiți; cu aceiași numărători dar numitori diferiți. Aici veți învăța cum să comparați oricare două numere găsind semnul diferenței lor.

Comparația numerelor este utilizată pe scară largă în practică. De exemplu, un economist compară indicatorii planificați cu cei reali, un medic compară temperatura unui pacient cu cea normală, un strunjător compară dimensiunile unei piese prelucrate cu un standard. În toate astfel de cazuri, unele numere sunt comparate. Ca rezultat al comparării numerelor, apar inegalități numerice.

Definiție. Numărul a mai mult număr b dacă diferența a-b pozitiv. Numărul a mai mic decât numărul b dacă diferența a-b este negativă.

Dacă a este mai mare decât b, atunci se scrie: a > b; dacă a este mai mic decât b, atunci se scrie: a Astfel, inegalitatea a > b înseamnă că diferența a - b este pozitivă, i.e. a - b > 0. Inegalitatea a Pentru oricare două numere a și b din următoarele trei relații a > b, a = b, a Teorema. Dacă a > b și b > c, atunci a > c.

Teorema. Dacă același număr este adăugat la ambele părți ale inegalității, atunci semnul inegalității nu se schimbă.
Consecinţă. Orice termen poate fi transferat dintr-o parte a inegalității în alta prin schimbarea semnului acestui termen în opus.

Teorema. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același lucru număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se va schimba. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.
Consecinţă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.

Știți că egalitățile numerice pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen. În continuare, veți învăța cum să efectuați acțiuni similare cu inegalități. Capacitatea de a adăuga și de a multiplica inegalitățile termen cu termen este adesea folosită în practică. Aceste acțiuni vă ajută să rezolvați problemele de evaluare și comparare a valorilor expresiei.

Când se rezolvă diverse probleme, este adesea necesar să se adauge sau să se înmulțească termen cu termen părțile din stânga și din dreapta ale inegalităților. Se spune uneori că inegalitățile se adună sau se înmulțesc. De exemplu, dacă un turist a mers mai mult de 20 km în prima zi și mai mult de 25 km în a doua zi, atunci se poate argumenta că în două zile a mers mai mult de 45 km. În mod similar, dacă lungimea unui dreptunghi este mai mică de 13 cm și lățimea este mai mică de 5 cm, atunci se poate argumenta că aria acestui dreptunghi este mai mică de 65 cm2.

Luând în considerare aceste exemple, următoarele teoreme de adunare și înmulțire a inegalităților:

Teorema. Când adunăm inegalități de același semn, obținem o inegalitate de același semn: dacă a > b și c > d, atunci a + c > b + d.

Teorema. La înmulțirea inegalităților de același semn, pentru care părțile din stânga și din dreapta sunt pozitive, se obține o inegalitate de același semn: dacă a > b, c > d și a, b, c, d sunt numere pozitive, atunci ac > bd.

Inegalități cu semnul > (mai mare decât) și 1/2, 3/4 b, c Alături de inegalitățile stricte > și În același mod, inegalitatea \(a \geq b \) înseamnă că numărul a este mai mare decât sau egal cu b, adică nu mai mic de b.

Inegalitățile care conțin semnul \(\geq \) sau semnul \(\leq \) se numesc nestrict. De exemplu, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nu sunt inegalități stricte.

Toate proprietățile inegalităților stricte sunt valabile și pentru inegalitățile nestricte. Mai mult, dacă pentru inegalități stricte semnele > au fost considerate opuse și știi că pentru a rezolva o serie de probleme aplicate trebuie să întocmești un model matematic sub forma unei ecuații sau a unui sistem de ecuații. În continuare, vei afla că modele matematice pentru a rezolva multe probleme sunt inegalități cu necunoscute. Vom introduce conceptul de rezolvare a unei inegalități și vom arăta cum să verificăm dacă număr dat rezolvarea unei anumite inegalități.

Inegalitățile de formă
\(ax > b, \quad ax unde a și b sunt date numere și x este necunoscut, este numit inegalități liniare cu o necunoscută.

Definiție. Soluția unei inegalități cu o necunoscută este valoarea necunoscutului pentru care această inegalitate se transformă într-o adevărată inegalitate numerică. A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate soluțiile ei sau a stabili că nu există.

Ați rezolvat ecuațiile reducându-le la cele mai simple ecuații. În mod similar, la rezolvarea inegalităților, se tinde să le reducă cu ajutorul proprietăților la forma celor mai simple inegalități.

Rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă

Inegalitățile de formă
\(ax^2+bx+c >0 \) și \(ax^2+bx+c unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere și \(a \neq 0 \) sunt numite inegalități de gradul doi cu o variabilă.

Rezolvarea inegalității
\(ax^2+bx+c >0 \) sau \(ax^2+bx+c \) pot fi considerate ca găsirea de goluri în care funcția \(y= ax^2+bx+c \) este pozitivă sau valori negative Pentru a face acest lucru, este suficient să analizați modul în care graficul funcției \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) este situat în planul de coordonate: unde sunt direcționate ramurile parabolei - în sus sau în jos , dacă parabola intersectează axa x și dacă o face, atunci în ce puncte.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă:
1) aflați discriminantul trinomului pătrat \(ax^2+bx+c\) și aflați dacă trinomul are rădăcini;
2) dacă trinomul are rădăcini, atunci marcați-le pe axa x și desenați schematic o parabolă prin punctele marcate, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus la a > 0 sau în jos la a 0 sau în jos la a 3) găsiți goluri pe axa x pentru care parabolele punctelor sunt situate deasupra axei x (dacă rezolvă inegalitatea \(ax^2+bx+c >0 \)) sau sub axa x (dacă rezolvă inegalitatea
\(ax^2+bx+c Rezolvarea inegalităților prin metoda intervalelor

Luați în considerare funcția
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor. Zerourile funcției sunt numerele -2, 3, 5. Ele împart domeniul funcției în intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5). ) \) și \( (5; +\infty)\)

Să aflăm care sunt semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele indicate.

Expresia (x + 2)(x - 3)(x - 5) este produsul a trei factori. Semnul fiecăruia dintre acești factori în intervalele considerate este indicat în tabel:

În general, să fie dată funcția de formulă
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
unde x este o variabilă și x 1 , x 2 , ..., x n nu sunt numere egale. Numerele x 1 , x 2 , ..., x n sunt zerourile funcției. În fiecare dintre intervalele în care domeniul de definiție este împărțit la zerourile funcției, semnul funcției este păstrat, iar la trecerea prin zero, semnul acesteia se schimbă.

Această proprietate este folosită pentru a rezolva inegalitățile de formă
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) unde x 1 , x 2 , ..., x n nu sunt numere egale

Metodă considerată rezolvarea inegalităților se numește metoda intervalelor.

Să dăm exemple de rezolvare a inegalităților prin metoda intervalului.

Rezolvați inegalitatea:

\(x(0,5-x)(x+4) Evident, zerourile funcției f(x) = x(0,5-x)(x+4) sunt punctele \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Reprezentăm zerourile funcției pe axa reală și calculăm semnul pe fiecare interval:

Selectăm acele intervale la care funcția este mai mică sau egală cu zero și notăm răspunsul.

Răspuns:
\(x \în \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Pe canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.

Mai întâi, să ne amintim formulele de bază ale gradelor și proprietățile lor.

Produsul unui număr A se întâmplă de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Putere sau ecuații exponențiale - Acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.

Exemple de ecuații exponențiale:

În acest exemplu, numărul 6 este baza, este întotdeauna în partea de jos și variabila X grad sau măsură.

Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?

Să luăm o ecuație simplă:

2 x = 2 3

Un astfel de exemplu poate fi rezolvat chiar și în minte. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum ar trebui luată această decizie:

2 x = 2 3
x = 3

Pentru a rezolva această ecuație, am eliminat aceleași temeiuri(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.

Acum să rezumăm soluția noastră.

Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat aceeași fie că bazele ecuației din dreapta și din stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele sunt aceleași, echivala grad și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum să rezolvăm câteva exemple:

Să începem simplu.

Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem arunca baza și echivalăm gradele lor.

x+2=4 Cea mai simplă ecuație a rezultat.
x=4 - 2
x=2
Răspuns: x=2

În exemplul următor, puteți vedea că bazele sunt diferite, acestea sunt 3 și 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Pentru început, le transferăm pe cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2 . Să folosim formula puterii (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Obținem 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 acum este clar că bazele din stânga și din dreapta sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.

3x=2x+16 are cea mai simplă ecuație
3x-2x=16
x=16
Răspuns: x=16.

Să ne uităm la următorul exemplu:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

În primul rând, ne uităm la baze, bazele sunt diferite două și patru. Și trebuie să fim la fel. Transformăm cvadruplul după formula (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 interferează cu noi. Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă repetăm ​​2 2x, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Să calculăm expresia dintre paranteze:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Împărțim întreaga ecuație la 6:

Imaginează-ți 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 baze sunt aceleași, aruncați-le și egalați gradele.
2x \u003d 2 s-a dovedit a fi cea mai simplă ecuație. Împărțim la 2, obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.

Să rezolvăm ecuația:

9 x - 12*3 x +27= 0

Să transformăm:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtinem ecuatia:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazele sunt aceleași pentru noi, egale cu trei. În acest exemplu, se poate observa că primul triplu are un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți decide metoda de substitutie. Numărul cu gradul cel mai mic se înlocuiește cu:

Atunci 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Inlocuim toate gradele cu x din ecuatie cu t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvăm prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Înapoi la Variabilă X.

Luăm t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Acesta este,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea, din t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Pe site puteti in sectiunea AJUTA LA DECIZI sa puneti intrebari de interes, va vom raspunde cu siguranta.

Alăturați-vă unui grup

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a 8-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este esențială.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a , b și c sunt numere arbitrare, și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de soluție, observăm că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

1. Nu au rădăcini;
2. Au exact o rădăcină;
3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este diferența importantă ecuații pătratice din cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac .

Această formulă trebuie cunoscută pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului, puteți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:

1. Daca D< 0, корней нет;
2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
3. Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

O sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Scriem coeficienții pentru prima ecuație și găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci, discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație în același mod:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămâne:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este egal cu zero - rădăcina va fi una.

Rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor - dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alegeți singuri: viteza sau calitatea.

Apropo, dacă vă „umpleți mâna”, după un timp nu va mai fi nevoie să scrieți toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de multe.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluție. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - obțineți același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar atunci când coeficienții negativi sunt înlocuiți în formulă. Aici, din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: priviți formula literal, pictați fiecare pas - și scăpați de greșeli foarte curând.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca ecuația pătratică să fie oarecum diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că unul dintre termeni lipsește din aceste ecuații. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu trebuie să calculeze discriminantul. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil atunci când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b \u003d c \u003d 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 \u003d 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură ecuație. rădăcină: x \u003d 0.

Să luăm în considerare alte cazuri. Fie b \u003d 0, apoi obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c \u003d 0. Să o transformăm ușor:

Pentru că aritmetica Rădăcină pătrată există doar din număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a ) ≥ 0. Concluzie:

1. Dacă o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 satisface inegalitatea (−c / a ) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
2. Dacă (−c / a )< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, discriminantul nu a fost necesar - în ecuațiile pătratice incomplete nu există calcule complexe. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c / a ) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea lui x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne ocupăm de ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteză

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, vom analiza câteva dintre aceste ecuații:

O sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nu există rădăcini, pentru că pătratul nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

y (x) = e x, a cărui derivată este egală cu funcția în sine.

Exponentul este notat ca , sau .

e numărul

Baza gradului exponentului este e numărul. aceasta număr irațional. Este aproximativ egal
e ≈ 2,718281828459045...

Numărul e este determinat prin limita secvenței. Acest așa-zis a doua limită minunată:
.

De asemenea, numărul e poate fi reprezentat ca o serie:
.

Graficul expozantului

Graficul exponentului, y = e x .

Graficul arată exponentul, e in masura X.
y (x) = e x
Graficul arată că exponentul crește monoton.

Formule

Formulele de bază sunt aceleași ca pentru functie exponentiala cu baza e.

;
;
;

Exprimarea unei funcții exponențiale cu o bază arbitrară de gradul a prin exponent:
.

Valori private

Lasă y (x) = e x. Apoi
.

Proprietățile exponentului

Exponentul are proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază de grad e > 1 .

Domeniu de definiție, set de valori

Exponentul y (x) = e x definit pentru toate x .
Domeniul său de aplicare este:
- ∞ < x + ∞ .
Setul său de semnificații:
0 < y < + ∞ .

Extreme, crește, scade

Exponentul este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

Funcție inversă

Reciproca exponentului este logaritmul natural.
;
.

Derivată a exponentului

Derivat e in masura X este egal cu e in masura X :
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Integral

Numere complexe

Acțiuni cu numere complexe efectuat prin Formule Euler:
,
unde este unitatea imaginară:
.

Expresii în termeni de funcții hiperbolice

; ;
.

Expresii în termeni de funcții trigonometrice

; ;
;
.

Extinderea seriei de putere

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce „inegalitate de pătrat”? Nu o întrebare!) Dacă iei orice ecuația pătratică și schimbați semnul din ea "=" (egal) cu orice pictogramă de inegalitate ( > ≥ < ≤ ≠ ), obținem o inegalitate pătratică. De exemplu:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Ei bine, ai înțeles ideea...)

Am legat cu bună știință ecuații și inegalități aici. Cert este că primul pas în rezolvare orice inegalitatea pătratului - rezolvați ecuația din care se face această inegalitate. Din acest motiv - incapacitatea de a rezolva ecuațiile pătratice duce automat la o eșec complet al inegalităților. Sugestia este clară?) Dacă ceva, uită-te la cum să rezolvi orice ecuații pătratice. Totul este detaliat acolo. Și în această lecție ne vom ocupa de inegalități.

Inegalitatea gata de rezolvare are forma: stânga - trinom pătrat ax 2 +bx+c, în dreapta - zero. Semnul inegalității poate fi absolut orice. Primele două exemple sunt aici sunt gata pentru o decizie. Al treilea exemplu mai trebuie pregătit.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.