Foarte des, la rezolvarea unor probleme practice (de exemplu, în geodezie superioară sau fotogrammetrie analitică), apar funcții complexe ale mai multor variabile, adică argumente x, y, z o singură funcție f(x,y,z) ) sunt ele însele funcții ale noilor variabile U, V, W ).

Deci, de exemplu, se întâmplă atunci când treceți dintr-un sistem de coordonate fix Oxyz la sistemul mobil O 0 UVW si inapoi. În acest caz, este important să cunoaștem toate derivatele parțiale în raport cu variabilele „fixe” - „vechi” și „în mișcare” - „noi”, deoarece aceste derivate parțiale caracterizează de obicei poziția unui obiect în aceste sisteme de coordonate, și, în special, afectează corespondența fotografiilor aeriene cu un obiect real. În astfel de cazuri, se aplică următoarele formule:

Adică, dată fiind o funcție complexă T trei variabile „noi”. U, V, W prin trei variabile „vechi”. x, y, z apoi:

Cometariu. Sunt posibile variații ale numărului de variabile. De exemplu: dacă

În special, dacă z = f(xy), y = y(x) , atunci obținem așa-numita formulă „derivată totală”:

Aceeași formulă pentru „derivată totală” în cazul:

va lua forma:

Sunt posibile și alte variante ale formulelor (1.27) - (1.32).

Notă: formula „derivată totală” este utilizată în cursul fizicii, secțiunea „Hidrodinamică” la derivarea sistemului fundamental de ecuații ale mișcării fluidului.

Exemplul 1.10. Dat:

Conform (1.31):

§7 Derivate parţiale ale unei funcţii date implicit a mai multor variabile

După cum știți, o funcție definită implicit a unei variabile este definită după cum urmează: funcția variabilei independente X se numeste implicit daca este data de o ecuatie care nu este rezolvata fata de y :

Exemplul 1.11.

Ecuația

definește implicit două funcții:

Și ecuația

nu definește nicio funcție.

Teorema 1.2 (existenţa unei funcţii implicite).

Lasă funcția z \u003d f (x, y) și derivatele sale parțiale f" X și f" y definită şi continuă într-un cartier U M0 puncte M 0 (X 0 y 0 ) . In afara de asta, f(x 0 ,y 0 )=0 și f"(x 0 ,y 0 )≠0 , atunci ecuația (1.33) determină în vecinătate U M0 funcţie implicită y= y(x) , continuu si diferentiabil intr-un anumit interval D centrat pe un punct X 0 , și y(x 0 )=y 0 .

Fără dovezi.

Din teorema 1.2 rezultă că pe acest interval D :

adică există o identitate în

unde derivata „totală” se găsește conform (1.31)

Adică, (1.35) oferă o formulă pentru găsirea implicită a derivatei funcţie dată o variabilă X .

O funcție implicită a două sau mai multe variabile este definită în mod similar.

De exemplu, dacă într-o anumită zonă V spaţiu Oxyz ecuația este îndeplinită:

apoi în anumite condiţii asupra funcţiei F defineşte implicit o funcţie

În același timp, prin analogie cu (1.35), derivatele sale parțiale se găsesc după cum urmează:

Exemplul 1.12. Presupunând că ecuația

defineste implicit o functie

găsi z" X , z" y .

prin urmare, conform (1.37), obținem răspunsul.

§8 Derivate parțiale de ordinul doi și de ordinul superior

Definiție 1.9 Derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții z=z(x,y) sunt definite astfel:

Erau patru. Mai mult, în anumite condiții asupra funcțiilor z(x,y) egalitatea este valabilă:

Cometariu. Derivatele parțiale de ordinul doi pot fi de asemenea notate după cum urmează:

Definiția 1.10 Derivate parțiale de ordinul trei - opt (2 3).

Fie z=ƒ(x;y) o funcție a două variabile x și y, fiecare dintre acestea fiind o funcție a variabilei independente t: x = x(t), y = y(t). În acest caz, funcția z = f(x(t);y(t)) este o funcție complexă a unei variabile independente t; variabilele x și y sunt variabile intermediare.

Teorema 44.4. Dacă z \u003d ƒ (x; y) este o funcție diferențiabilă în punctul M (x; y) є D și x \u003d x (t) și y \u003d y (t) sunt funcții diferențiabile ale variabilei independente t, atunci derivata funcției complexe z (t ) = f(x(t);y(t)) se calculează prin formula

Să dăm variabilei independente t un increment Δt. Atunci funcțiile x = x(t) și y = y(t) vor primi incremente Δx și, respectiv, Δy. Ele, la rândul lor, vor determina ca funcția z să crească Az.

Deoarece prin condiție funcția z - ƒ(x; y) este diferențiabilă în punctul M(x; y), atunci ea increment complet poate fi reprezentat ca

unde a→0, β→0 ca Δх→0, Δу→0 (vezi punctul 44.3). Împărțim expresia Δz la Δt și trecem la limită ca Δt→0. Atunci Δх→0 și Δу→0 datorită continuității funcțiilor x = x(t) și y = y(t) (după condiția teoremei, acestea sunt diferențiabile). Primim:

Caz special: z=ƒ(x;y), unde y=y(x), adică z=ƒ(x;y(x)) este o funcție complexă a unei variabile independente x. Acest caz se reduce la precedentul, x jucând rolul variabilei t. Conform formulei (44.8) avem:

Formula (44.9) se numește formula derivată totală.

Caz general: z=ƒ(x;y), unde x=x(u;v), y=y(u;v). Atunci z= f(x(u;v);y(u;v)) este o funcție complexă a variabilelor independente u și v. Derivatele sale parțiale pot fi găsite folosind formula (44.8) după cum urmează. Având v fix, îl înlocuim cu derivatele parțiale corespunzătoare

În mod similar, obținem:

Astfel, derivata unei funcții complexe (z) față de fiecare variabilă independentă (u și v) este egală cu suma produselor derivatelor parțiale ale acestei funcții (z) față de variabilele sale intermediare (x și y). ) și derivatele acestora în raport cu variabila independentă corespunzătoare (u și v).

Exemplul 44.5. Aflați dacă z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v.

Soluție: Găsiți dz/du (dz/dv - independent) folosind formula (44.10):

Simplificați partea dreaptă a egalității rezultate:

40. Derivate parțiale și diferenţial total funcţiile mai multor variabile.

Fie dată funcția z = ƒ (x; y). Deoarece x și y sunt variabile independente, una dintre ele se poate schimba, în timp ce cealaltă rămâne neschimbată. Să dăm variabilei independente x un increment Δx, păstrând valoarea lui y neschimbată. Atunci z va primi un increment care se numește increment parțial al lui z în x și este notat cu ∆ x z. Asa de,

Δ x z \u003d ƒ (x + Δ x; y) -ƒ (x; y).

În mod similar, obținem o creștere parțială a lui z față de y:

Δ y z \u003d ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).

Incrementul total Δz al funcției z este definit de egalitate

Δz \u003d ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).

Dacă există o limită

atunci se numește derivată parțială a funcției z \u003d ƒ (x; y) în punctul M (x; y) față de variabila x și este notat cu unul dintre simboluri:

Derivatele parțiale față de x în punctul M 0 (x 0; y 0) sunt de obicei notate prin simboluri

Derivata parțială a lui z \u003d ƒ (x; y) în raport cu variabila y este definită și notă într-un mod similar:

Astfel, derivata parțială a unei funcții de mai multe (două, trei sau mai multe) variabile este definită ca fiind derivata unei funcții a uneia dintre aceste variabile, sub rezerva constanței valorilor variabilelor independente rămase. Prin urmare, derivatele parțiale ale funcției ƒ(x; y) se găsesc conform formulelor și regulilor de calcul a derivatelor unei funcții a unei variabile (în acest caz, respectiv, x sau y este considerată valoare constantă).

Exemplul 44.1. Aflați derivatele parțiale ale funcției z = 2y + e x2-y +1. Soluţie:

Sensul geometric al derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile

Graficul funcției z \u003d ƒ (x; y) este o anumită suprafață (a se vedea paragraful 12.1). Graficul funcției z \u003d ƒ (x; y 0) este linia de intersecție a acestei suprafețe cu planul y \u003d y o. Bazat sens geometric derivată pentru o funcție a unei variabile (a se vedea clauza 20.2), concluzionăm că ƒ "x (x o; y o) \u003d tg a, unde a este unghiul dintre axa Ox și tangentele trasate la curba z \u003d ƒ ( x; y 0) în punctul Mo (ho; yo; ƒ (ho; yo)) (vezi Fig. 208).

În mod similar, f "y (x 0; y 0) \u003d tgβ.

O funcție Z=f(x,y) se numește diferențiabilă într-un punct P(x,y) dacă incrementul ei total ΔZ poate fi reprezentat ca Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), unde Δx și Δy – orice creștere a argumentelor corespunzătoare x și y într-o vecinătate a punctului P, A și B sunt constante (nu depind de Δx, Δy),

ω(Δx,Δy) este un infinitezimal mai mult ordin înalt decât distanța:

Dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct, atunci incrementul ei total în acel punct constă din două părți:

1. Partea principală a incrementului funcției A∙Δx+B∙Δy este liniară în raport cu Δx,Δy

2. Și neliniar ω(Δx,Δy) - un ordin infinitezimal mai mare decât partea principală a incrementului.

Partea principală a incrementului unei funcții, care este liniară în raport cu Δx,Δy, se numește diferența totală a acestei funcții și se notează:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx și Δy=dy sau diferența totală a unei funcții a două variabile:

Diferenţial de afişare. Diferenţial şi derivat functie numerica o variabilă. Tabel de derivate. Diferențiabilitate. ) este o funcție a argumentului , care este infinit mic ca →0, adică,

Să clarificăm acum legătura dintre diferențiabilitatea într-un punct și existența unei derivate în același punct.

Teorema. Pentru functia f(X) a fost diferențiabilă la punctul dat X , este necesar și suficient ca acesta să aibă o derivată finită în acest punct.

Tabel de derivate.

Exemplu. Găsiți dacă, unde.

Soluţie. Conform formulei (1) avem:

Exemplu. Aflați derivata parțială și derivata totală dacă .

Soluţie. .

Pe baza formulei (2), obținem .

2°. Cazul mai multor variabile independente.

Lăsa z = f(x;y) - funcţia a două variabile Xși y, fiecare dintre ele este o funcție

variabila independenta t: x = x(t), y = y(t).În acest caz, funcția z=f(x(t);y(t)) este

funcţie complexă a unei variabile independente t; variabile x și y sunt variabile intermediare.

Teorema. În cazul în care un z == f(X; y) - diferentiabil la un punct M(x; y) D funcţie

și x = x(t)și la =YT) - funcţii diferenţiabile ale variabilei independente t,

apoi derivata functiei complexe z(t) == f(x(t);y(t)) calculate prin formula

(3)

Caz special: z = f(x; y), unde y = y(x), acestea. z= f(x;y(x)) - funcţie complexă de

variabila independenta X. Acest caz se reduce la cel precedent, și rolul variabilei

t joacă X. Conform formulei (3) avem:

.

Ultima formulă se numește formule pentru derivata totală.

Caz general: z = f(x;y), Unde x = x(u;v), y=y(u;v). Atunci z = f(x(u;v);y(u;v)) - complex

funcţia variabilelor independente șiși v. Derivatele sale parțiale pot fi găsite

folosind formula (3) după cum urmează. Fixare v,înlocuiți în ea

derivate parțiale corespunzătoare

Deci derivata funcției compuse (z) față de fiecare variabilă independentă (șiși v)

este egală cu suma produselor derivatelor parțiale ale acestei funcții (z) față de intermediarul ei

variabile (x și y) la derivatele lor în raport cu variabila independentă corespunzătoare (u și v).

În toate cazurile luate în considerare, formula

(proprietatea invarianței diferenţialului total).

Exemplu. Găsiți și dacă z= f(x,y), unde x=uv, .

1°

1°. Cazul unei variabile independente. Dacă z=f(x,y) este o funcție diferențiabilă a argumentelor x și y, care la rândul lor sunt funcții diferențiabile ale variabilei independente t: , atunci derivata funcției complexe poate fi calculat prin formula

Exemplu. Găsiți dacă, unde.

Soluţie. Conform formulei (1) avem:

Exemplu. Aflați derivata parțială și derivata totală dacă .

Soluţie. .

Pe baza formulei (2), obținem .

2°. Cazul mai multor variabile independente.

Lăsa z=f(X;y)- funcţia a două variabile Xși y, fiecare dintre ele este o funcție a variabilei independente t : x =X (t), y =y (t).În acest caz, funcția z=f(X (t);y (t)) este o funcție complexă a unei variabile independente t; variabile x și y sunt variabile intermediare.

Teorema. În cazul în care un z == f(X; y) - diferentiabil la un punct M(x; y)D funcţia şi x =X (t)și la =y (t) - funcţii diferenţiabile ale variabilei independente t, apoi derivata funcției complexe z(t) == f(X (t);y (t)) calculate prin formula

Caz special:z = f(X; y), unde y = y(x), acestea. z= f(X;y (X)) - funcţie complexă a unei variabile independente X. Acest caz se reduce la cel precedent, și rolul variabilei t joacă X. Conform formulei (3) avem:

.

Ultima formulă se numește formule pentru derivata totală.

Caz general:z = f(X;y), Unde x =X (u ;v),y=y (u ;v). Atunci z = f(X (u ;v);y (u ;v))- funcţie complexă a variabilelor independente șiși v. Derivatele sale parțiale și pot fi găsite folosind formula (3) după cum urmează. Fixare v,înlocuim în ea cu derivatele parțiale corespunzătoare

Deci derivata funcției compuse (z) față de fiecare variabilă independentă (șiși v) este egală cu suma produselor derivatelor parțiale ale acestei funcții (z) în raport cu variabilele sale intermediare (x și y) la derivatele lor în raport cu variabila independentă corespunzătoare (u și v).

În toate cazurile luate în considerare, formula

(proprietatea invarianței diferenţialului total).

Exemplu. Găsiți și dacă z = f(x ,y ), unde x =uv , .

Soluţie. Aplicând formulele (4) și (5), obținem:

Exemplu. Arătați că funcția satisface ecuația .

Soluţie. Funcția depinde de x și y printr-un argument intermediar, deci

Înlocuind derivatele parțiale în partea stângă a ecuației, avem:

Adică funcția z satisface ecuația dată.

Derivată într-o direcție dată și gradientul unei funcții

1°. Derivată a unei funcții într-o direcție dată. derivat funcțiile z= f(X y) in aceasta directie numit , unde și sunt valorile funcției la punctele și . Dacă funcția z este diferențiabilă, atunci formula

unde sunt unghiurile dintre direcție lși relevante axele de coordonate. Derivata într-o direcție dată caracterizează viteza de schimbare a funcției în această direcție.

Exemplu. Găsiți derivata funcției z \u003d 2x 2 - Zu 2 în punctul P (1; 0) în direcția care face un unghi de 120 ° cu axa OX.

Soluţie. Să găsim derivatele parțiale ale acestei funcții și valorile lor în punctul P.

Se dă dovada formulei pentru derivata unei funcții complexe. Cazurile în care o funcție complexă depinde de una sau două variabile sunt luate în considerare în detaliu. Se face o generalizare a cazului număr arbitrar variabile.

Conţinut

Vezi si: Exemple de aplicare a formulei pentru derivata unei funcții complexe

Formule de bază

Vă prezentăm aici concluzia următoarele formule pentru derivata unei funcţii complexe.
Daca atunci
.
Daca atunci
.
Daca atunci
.

Derivată a unei funcții complexe a unei variabile

Fie o funcție a unei variabile x să fie reprezentată ca o funcție complexă în următoarea formă:
,
unde și există unele funcții. Funcția este diferențiabilă pentru o anumită valoare a variabilei x . Funcția este diferențiabilă pentru valoarea variabilei.
Atunci funcția complexă (compozită) este diferențiabilă în punctul x și derivata ei este determinată de formula:
(1) .

Formula (1) poate fi scrisă și după cum urmează:
;
.

Dovada

Să introducem următoarea notație.
;
.
Aici există o funcție de variabile și , există o funcție de variabile și . Dar vom omite argumentele acestor funcții pentru a nu aglomera calculele.

Deoarece funcțiile și sunt diferențiabile în punctele x și, respectiv, atunci în aceste puncte există derivate ale acestor funcții, care sunt următoarele limite:
;
.

Luați în considerare următoarea funcție:
.
Pentru o valoare fixă ​​a variabilei u , este o funcție de . Este evident că
.
Apoi
.

Deoarece funcția este o funcție diferențiabilă în punctul , atunci este continuă în acel punct. De aceea
.
Apoi
.

Acum găsim derivata.

.

Formula a fost dovedită.

Consecinţă

Dacă o funcţie a variabilei x poate fi reprezentată ca o funcţie complexă a unei funcţii complexe
,
atunci derivata sa este determinată de formula
.
Aici și există câteva funcții diferențiabile.

Pentru a demonstra această formulă, calculăm secvenţial derivata conform regulii de diferenţiere a unei funcţii complexe.
Luați în considerare o funcție complexă
.
Derivatul său
.
Luați în considerare funcția originală
.
Derivatul său
.

Derivată a unei funcții complexe în două variabile

Acum, o funcție complexă depinde de mai multe variabile. Mai întâi luați în considerare cazul unei funcții complexe a două variabile.

Fie ca funcția în funcție de variabila x să fie reprezentată ca o funcție complexă a două variabile în următoarea formă:
,
Unde
și există funcții diferențiabile pentru o anumită valoare a variabilei x ;
este o funcție a două variabile, diferențiabile în punctul , . Apoi, funcția complexă este definită într-o vecinătate a punctului și are o derivată, care este determinată de formula:
(2) .

Dovada

Deoarece funcțiile și sunt diferențiabile în punctul , ele sunt definite într-o anumită vecinătate a acestui punct, sunt continue în punct, iar derivatele lor în punct există, care sunt următoarele limite:
;
.
Aici
;
.
Datorită continuității acestor funcții la un punct, avem:
;
.

Deoarece funcția este diferențiabilă în punctul , este definită într-o vecinătate a acestui punct, este continuă în acest punct, iar incrementul ei poate fi scris în următoarea formă:
(3) .
Aici

- incrementarea funcției atunci când argumentele sale sunt incrementate cu valorile și ;
;

- derivate parţiale ale funcţiei faţă de variabilele şi .
Pentru valorile fixe ale și , și există funcții ale variabilelor și . Ele tind la zero ca și:
;
.
De când și , atunci
;
.

Creșterea funcției:

. :
.
Inlocuitor (3):



.

Formula a fost dovedită.

Derivată a unei funcții complexe a mai multor variabile

Derivarea de mai sus este ușor de generalizat în cazul în care numărul de variabile ale unei funcții complexe este mai mare de două.

De exemplu, dacă f este funcţia a trei variabile, apoi
,
Unde
, și există funcții diferențiabile pentru o anumită valoare a variabilei x ;
este o funcție diferențiabilă, în trei variabile, în punctul , , .
Apoi, din definiția diferențiabilității funcției, avem:
(4)
.
Deoarece, din cauza continuității,
; ; ,
apoi
;
;
.

Împărțind (4) la și trecând la limita , obținem:
.

Și, în sfârșit, luați în considerare cel mai general caz.
Fie o funcție a unei variabile x să fie reprezentată ca o funcție complexă a n variabile în următoarea formă:
,
Unde
există funcții diferențiabile pentru o anumită valoare a variabilei x ;
- functie diferentiabila a n variabile intr-un punct
, , ... , .
Apoi
.

Vezi si: