1) Domeniul de aplicare și domeniul de funcționare.

Sfera unei funcții este setul tuturor valorilor valide valide ale argumentului X(variabil X) pentru care funcţia y = f(x) definit. Domeniul unei funcții este mulțimea tuturor valorilor reale y pe care funcția le acceptă.

În matematica elementară, funcțiile sunt studiate numai pe mulțimea numerelor reale.

2) Zerourile funcției.

Zero al funcției este valoarea argumentului la care valoarea funcției este egală cu zero.

3) Intervale de constanță a semnului unei funcții.

Intervalele de semn constant ale unei funcții sunt astfel de seturi de valori ale argumentului pe care valorile funcției sunt doar pozitive sau numai negative.

4) Monotonitatea funcției.

Funcție de creștere (într-un anumit interval) - o funcție în care o valoare mai mare a argumentului din acest interval corespunde unei valori mai mari a funcției.

Funcție descrescătoare (într-un anumit interval) - o funcție în care o valoare mai mare a argumentului din acest interval corespunde unei valori mai mici a funcției.

5) Funcții pare (impare)..

O funcție pară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definirii egalitatea f(-x) = f(x). Graficul unei funcții pare este simetric față de axa y.

O funcție impară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definirii egalitatea f(-x) = - f(x). Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

6) Funcții limitate și nelimitate.

O funcție se numește mărginită dacă există număr pozitiv M astfel încât |f(x)| ≤ M pentru toate valorile lui x. Dacă nu există un astfel de număr, atunci funcția este nemărginită.

7) Periodicitatea funcției.

O funcție f(x) este periodică dacă există un număr T diferit de zero, astfel încât pentru orice x din domeniul funcției, f(x+T) = f(x). Acest cel mai mic număr se numește perioada funcției. Toate funcții trigonometrice sunt periodice. (Formulele trigonometrice).

19. De bază functii elementare, proprietățile și graficele lor. Aplicarea funcțiilor în economie.

Funcții elementare de bază. Proprietățile și graficele lor

1. Funcția liniară.

Funcție liniară se numește funcție de forma , unde x este o variabilă și b sunt numere reale.

Număr A numită panta unei drepte, este egală cu tangentei unghiului de înclinare a acestei drepte la direcția pozitivă a axei x. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Este definit de două puncte.

Proprietățile funcției liniare

1. Domeniul definiției - mulțimea tuturor numerelor reale: D (y) \u003d R

2. Mulțimea valorilor este mulțimea tuturor numerelor reale: E(y)=R

3. Funcția ia o valoare zero pentru sau.

4. Funcția crește (descrește) pe întregul domeniu de definire.

5. Funcția liniară este continuă pe întregul domeniu al definiției, diferențiabilă și .

2. Funcția pătratică.

O funcție de forma, unde x este o variabilă, coeficienții a, b, c sunt numere reale, se numește pătratică.

Cote a, b, c determinați locația graficului pe planul de coordonate

Coeficientul a determină direcția ramurilor. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Coordonatele vârfului parabolei se găsesc prin formulele:

Proprietățile funcției:

2. Un set de valori ale unuia dintre intervale: sau.

3. Funcția ia valori zero atunci când , unde discriminantul se calculează prin formula:.

4. Funcția este continuă în tot domeniul de definiție și derivata funcției este egală cu .

Teoremă asupra limitei unei funcții monotone. Demonstrarea teoremei este dată prin două metode. Sunt date și definițiile funcțiilor strict crescătoare, nedescrescătoare, strict descrescătoare și necrescătoare. Definiția unei funcții monotone.

Conţinut

Funcția nu este limitată de sus

1.1. Fie numărul b finit: .
1.1.2. Fie funcția nemărginită de sus.

.

la .

Să notăm. Atunci pentru orice există , astfel încât
la .
Aceasta înseamnă că limita din stânga la punctul b este (vezi „Definițiile limitelor infinite unilaterale ale unei funcții la punctul final”).

b timpuriu plus infinit

Funcție limitată de sus

1. Lăsați funcția să nu scadă pe intervalul .
1.2.1. Fie ca funcția să fie mărginită de sus de numărul M : pentru .
Să demonstrăm că în acest caz există o limită.

Deoarece funcția este mărginită de sus, există o limită superioară finită
.
Conform definiției celei mai mici limite superioare, sunt îndeplinite următoarele condiții:
;
pentru orice pozitiv există un argument pentru care
.

Deoarece funcția nu scade, atunci pentru . Apoi la . Sau
la .

Deci am descoperit că pentru orice există un număr, astfel încât
la .
„Definițiile limitelor unilaterale la infinit”).

Funcția nu este limitată de sus

1. Lăsați funcția să nu scadă pe intervalul .
1.2. Fie numărul b plus infinit: .
1.2.2. Fie funcția nemărginită de sus.
Să demonstrăm că în acest caz există o limită.

Deoarece funcția nu este mărginită de sus, atunci pentru orice număr M există un argument , pentru care
.

Deoarece funcția nu scade, atunci pentru . Apoi la .

Deci, pentru orice există un număr, astfel încât
la .
Aceasta înseamnă că limita la este (vezi „Definițiile limitelor infinite unilaterale la infinit”).

Funcția nu crește

Acum luați în considerare cazul în care funcția nu crește. Puteți, ca mai sus, să luați în considerare fiecare opțiune separat. Dar le vom acoperi imediat. Pentru aceasta folosim . Să demonstrăm că în acest caz există o limită.

Luați în considerare limita inferioară finită a setului de valori ale funcției:
.
Aici B poate fi fie un număr finit, fie un punct la infinit. Conform definiției infimului exact, sunt îndeplinite următoarele condiții:
;
pentru orice vecinătate a punctului B există un argument pentru care
.
După condiția teoremei, . Asa de .

Deoarece funcția nu crește, atunci pentru . Pentru că atunci
la .
Sau
la .
Mai mult, observăm că inegalitatea definește vecinătatea punctată din stânga a punctului b .

Deci, am constatat că pentru orice vecinătate a punctului , există o astfel de vecinătate din stânga perforată a punctului b încât
la .
Aceasta înseamnă că limita din stânga la punctul b este:

(vezi definiția universală a limitei unei funcții după Cauchy).

Limita la punctul a

Acum să arătăm că există o limită în punctul a și să găsim valoarea acesteia.

Să luăm în considerare o funcție. După condiția teoremei, funcția este monotonă pentru . Să înlocuim variabila x cu - x (sau să facem înlocuirea și apoi să înlocuim variabila t cu x ). Atunci funcția este monotonă pentru . Înmulțirea inegalităților cu -1 iar schimbându-le ordinea, ajungem la concluzia că funcția este monotonă pentru .

În mod similar, este ușor să arăți că dacă nu scade, atunci nu crește. Apoi, conform celor dovedite mai sus, există o limită
.
Dacă nu crește, atunci nu scade. În acest caz, există o limită
.

Acum rămâne de arătat că dacă există o limită a funcției la , atunci există o limită a funcției la , iar aceste limite sunt egale:
.

Să introducem notația:
(1) .
Să exprimăm f în termeni de g:
.
Luați un număr pozitiv arbitrar. Să existe o vecinătate epsilon a punctului A . Vecinătatea Epsilon este definită atât pentru valorile finite, cât și pentru cele infinite ale lui A (vezi „Vecinătatea unui punct”). Deoarece există o limită (1), atunci, conform definiției unei limite, pentru oricare există astfel încât
la .

Fie a un număr finit. Să exprimăm vecinătatea punctată din stânga a punctului -a folosind inegalitățile:
la .
Să înlocuim x cu -x și să luăm în considerare faptul că:
la .
Ultimele două inegalități definesc o vecinătate dreaptă perforată a punctului a . Apoi
la .

Fie a un număr infinit, . Repetăm ​​discuția.
la ;
la ;
la ;
la .

Așadar, am descoperit că pentru oricare există așa ceva
la .
Înseamnă că
.

Teorema a fost demonstrată.

Vezi si:

Lecție și prezentare pe tema: "Proprietățile unei funcții. Funcția crește și descrește"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 9-a
Ghid de studiu interactiv pentru clasa a 9-a „Reguli și exerciții de geometrie”
Manual electronic „Geometrie înțeleasă” pentru clasele 7-9

Băieți, continuăm să studiem funcțiile numerice. Astăzi ne vom concentra pe un subiect precum proprietățile funcției. Funcțiile au multe proprietăți. Amintiți-vă ce proprietăți am studiat recent. Așa este, domeniul de aplicare și domeniul de aplicare, acestea sunt una dintre proprietățile cheie. Nu uitați niciodată de ele și amintiți-vă că o funcție are întotdeauna aceste proprietăți.

În această secțiune, vom defini câteva proprietăți ale funcțiilor. Ordinea in care le vom determina, recomand sa o urmati atunci cand rezolvati probleme.

Funcția Crescător și Descrescător

Prima proprietate pe care o vom defini este creșterea și scăderea funcției.

O funcție se numește crescătoare pe o mulțime X⊂D(f) dacă pentru orice x1 și x2 astfel încât x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
O funcție se numește descrescătoare pe mulțimea X⊂D(f) dacă pentru orice x1 și x2 astfel încât x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

Conceptele de „creștere” și „scădere” ale unei funcții sunt foarte ușor de înțeles dacă te uiți cu atenție la graficele funcției. Pentru o funcție crescătoare: urcăm un fel de deal, pentru o funcție descrescătoare, respectiv coborâm. Forma generală Funcțiile crescătoare și descrescătoare sunt prezentate în graficele de mai jos.

Creșterea și scăderea unei funcții se numește în general monotonitate. Adică, sarcina noastră este să găsim intervalele funcțiilor descrescătoare și crescătoare. În cazul general, aceasta este formulată după cum urmează: găsiți intervale de monotonitate sau examinați o funcție pentru monotonitate.

Investigați monotonitatea funcției $y=3x+2$.
Soluție: Verificați funcția pentru orice x1 și x2 și fie x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Pentru că, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Limitarea funcției

Se spune că o funcție $y=f(x)$ este mărginită de jos pe o mulțime X⊂D(f) dacă există un număr a astfel încât pentru orice xϵX inegalitatea f(x)< a.

Se spune că o funcție $y=f(x)$ este mărginită de sus pe o mulțime X⊂D(f) dacă există un număr a astfel încât pentru orice xϵX inegalitatea f(x)< a.

Dacă intervalul X nu este indicat, atunci se consideră că funcția este limitată pe întregul domeniu de definiție. O funcție mărginită atât deasupra cât și dedesubt se numește mărginită.

Limitarea funcției este ușor de citit din grafic. Este posibil să trasezi o linie dreaptă
$y=a$, iar dacă funcția este mai mare decât această linie, atunci este mărginită de jos. Dacă mai jos, atunci respectiv mai sus. Mai jos este un grafic al unei funcții mărginite inferioară. Programa funcție limitată Băieți, încercați să vă desenați.

Investigați mărginirea funcției $y=\sqrt(16-x^2)$.
Rezolvare: Rădăcina pătrată a unui număr este mai mare sau egală cu zero. Evident, funcția noastră este, de asemenea, mai mare sau egală cu zero, adică este mărginită de jos.
Putem extrage doar rădăcina pătrată din număr nenegativ, apoi $16-x^2≥0$.
Soluția inegalității noastre va fi intervalul [-4;4]. Pe acest segment $16-x^2≤16$ sau $\sqrt(16-x^2)≤4$, dar aceasta înseamnă delimitare de sus.
Răspuns: funcția noastră este limitată de două linii $y=0$ și $y=4$.

Valoarea cea mai mare și cea mai mică

Cea mai mică valoare a funcției y= f(x) din mulțimea Х⊂D(f) este un număr m, astfel încât:

b) Pentru orice xϵX, $f(x)≥f(x0)$ este valabil.

Cea mai mare valoare a funcției y=f(x) pe mulțimea Х⊂D(f) este un număr m, astfel încât:
a) Există un x0 astfel încât $f(x0)=m$.
b) Pentru orice xϵX, $f(x)≤f(x0)$ este satisfăcut.

Valoarea cea mai mare și cea mai mică este de obicei notă cu y max. și numele y. .

Conceptele de mărginire și cea mai mare cu cea mai mică valoare a unei funcții sunt strâns legate. Următoarele afirmații sunt adevărate:
a) Dacă există o valoare cea mai mică pentru o funcție, atunci aceasta este mărginită de jos.
b) Dacă există o valoare maximă pentru o funcție, atunci aceasta este mărginită de sus.
c) Dacă funcția nu este mărginită de sus, atunci nu există o valoare maximă.
d) Dacă funcția nu este mărginită mai jos, atunci cea mai mică valoare nu există.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Rezolvare: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Pentru $x=4$ $f(4)=5$, pentru toate celelalte valori, funcția ia valori mai mici sau nu există, adică aceasta este cea mai mare valoare a funcției.
Prin definiție: $9-4x^2+16x≥0$. Să găsim rădăcinile trinom pătrat$(2x+1)(2x-9)≥0$. La $x=-0,5$ și $x=4,5$ funcția dispare, în toate celelalte puncte este mai mare decât zero. Atunci, prin definiție, cea mai mică valoare a funcției este zero.
Răspuns: y max. =5 și y min. =0.

Băieți, am studiat și conceptele de convexitate a unei funcții. Când rezolvăm unele probleme, este posibil să avem nevoie de această proprietate. Această proprietate este, de asemenea, ușor de determinat folosind grafice.

Funcția este convexă în jos dacă oricare două puncte ale graficului funcției originale sunt conectate, iar graficul funcției este sub linia care leagă punctele.

Funcția este convexă în sus dacă oricare două puncte ale graficului funcției originale sunt conectate, iar graficul funcției este deasupra liniei care leagă punctele.

O funcție este continuă dacă graficul funcției noastre nu are discontinuități, cum ar fi graficul funcției de mai sus.

Dacă doriți să găsiți proprietățile unei funcții, atunci succesiunea de căutare a proprietăților este următoarea:
a) Domeniul de definire.
b) Monotonia.
c) limitare.
d) Cea mai mare și cea mai mică valoare.
e) Continuitate.
f) Gama de valori.

Aflați proprietățile funcției $y=-2x+5$.
Decizie.
a) Domeniul definiției D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonia. Să verificăm orice valori x1 și x2 și să fie x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Pentru că x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) limitare. Evident, funcția nu este limitată.
d) Cea mai mare și cea mai mică valoare. Deoarece funcția nu este mărginită, nu există o valoare maximă sau minimă.
e) Continuitate. Graficul funcției noastre nu are goluri, atunci funcția este continuă.
f) Gama de valori. E(y)=(-∞;+∞).

Sarcini privind proprietățile unei funcții pentru soluție independentă

Găsiți proprietățile funcției:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Rețineți că toate definițiile includ o mulțime numerică X, care face parte din domeniul funcției: X cu D(f). În practică, cel mai adesea există cazuri când X este un interval numeric (segment, interval, rază etc.).

Definiția 1.

O funcție y \u003d f (x) se numește crescătoare pe o mulțime X cu D (f) dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 ale mulțimii X astfel încât x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definiția 2.

O funcție y \u003d f (x) se numește descrescătoare pe o mulțime X cu D (f) dacă pentru orice monotonitate a două puncte x 1 și x 2 ale mulțimii X, astfel încât x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

În practică, este mai convenabil să se utilizeze următoarele formulări: funcția crește dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mari a funcției; funcția este în scădere dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției.

În clasele a VII-a și a VIII-a am folosit următoarea interpretare geometrică a conceptelor de funcții crescătoare sau descrescătoare: deplasându-ne de-a lungul graficului unei funcții crescătoare de la stânga la dreapta, urcăm oarecum pe deal (Fig. 55); deplasându-se de-a lungul graficului unei funcții descrescătoare de la stânga la dreapta, de parcă am coborî un deal (Fig. 56).
De obicei termenii „funcție crescătoare”, „funcție descrescătoare” sunt uniți prin denumirea comună funcție monotonă, iar studiul unei funcții de creștere sau descreștere se numește studiul unei funcții pentru monotonitate.

Mai remarcăm o împrejurare: dacă o funcție este în creștere (sau în scădere) în domeniul său natural de definire, atunci se spune de obicei că funcția este în creștere (sau în scădere) - fără a specifica set de numere X.

Exemplul 1

Examinați funcția pentru monotonitate:

A) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

Decizie:

a) Luați valori arbitrare ale argumentului x 1 și x 2 și fie x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Ultima inegalitate înseamnă că f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Deci de la x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), ceea ce înseamnă că funcția dată este descrescătoare (pe întreaga linie numerică).

Definiția 3.

Funcția y - f(x) se numește mărginită de jos pe mulțimea X cu D (f) dacă toate valorile funcției de pe mulțimea X sunt mai mari decât un anumit număr (cu alte cuvinte, dacă există un numărul m astfel încât pentru orice valoare x є X inegalitatea f( x) >m).

Definiția 4.

Funcția y \u003d f (x) se numește mărginită de sus pe mulțimea X cu D (f) dacă toate valorile funcției sunt mai mici decât un anumit număr (cu alte cuvinte, dacă există un număr M astfel încât pentru orice valoare x є X inegalitatea f (x)< М).

Dacă mulțimea X nu este specificată, atunci se presupune că funcția este mărginită de jos sau de sus în întregul domeniu de definiție.

Dacă o funcție este mărginită atât de jos, cât și de sus, atunci se numește mărginită.

Mărginirea unei funcții este ușor de citit din graficul său: dacă funcția este mărginită de dedesubt, atunci graficul său este situat în întregime deasupra unei linii orizontale y \u003d m (Fig. 57); dacă funcția este mărginită de sus, atunci graficul său este situat în întregime sub o linie orizontală y \u003d M (Fig. 58).

Exemplul 2 Investigați o funcție pentru delimitare
Decizie. Pe de o parte, inegalitatea este destul de evidentă (prin definiție rădăcină pătrată Aceasta înseamnă că funcția este mărginită de jos. Pe de altă parte, avem și prin urmare
Aceasta înseamnă că funcția este mărginită de sus. Acum uită-te la grafic funcţie dată(Fig. 52 din paragraful anterior). Mărginirea funcției atât de sus, cât și de jos se citește destul de ușor din grafic.

Definiția 5.

Numărul m se numește cea mai mică valoare a funcției y \u003d f (x) pe mulțimea X C D (f), dacă:

1) în X există un astfel de punct x 0 încât f(x 0) = m;

2) pentru tot x din X inegalitatea m>f(х 0) este îndeplinită.

Definiția 6.

Numărul M se numește cea mai mare valoare a funcției y \u003d f (x) din mulțimea X C D (f), dacă:
1) în X există un astfel de punct x 0 încât f(x 0) = M;
2) pentru tot x din X, inegalitatea
Cea mai mică valoare am desemnat funcțiile atât în ​​clasa a VII-a, cât și în a VIII-a prin simbolul y, iar pe cea mai mare - prin simbolul y.

Dacă mulțimea X nu este specificată, atunci se presupune că vorbim despre găsirea celei mai mici sau mai mari valori a funcției din întregul domeniu de definiție.

Următoarele afirmații utile sunt destul de evidente:

1) Dacă o funcție are Y, atunci este mărginită de jos.
2) Dacă o funcție are Y, atunci este mărginită de sus.
3) Dacă funcția nu este mărginită mai jos, atunci Y nu există.
4) Dacă funcția nu este mărginită de sus, atunci Y nu există.

Exemplul 3

Găsiți cel mai mic și cea mai mare valoare funcții
Decizie.

Este destul de evident, mai ales dacă apelezi la graficul funcției (Fig. 52), că = 0 (funcția atinge această valoare în punctele x = -3 și x = 3), a = 3 (funcția ajunge această valoare în punctul x = 0.
În clasa a VII-a și a VIII-a, am menționat încă două proprietăți ale funcțiilor. Prima a fost numită proprietatea de convexitate a unei funcții. Se consideră că o funcție este convexă în jos pe intervalul X dacă, conectând oricare două puncte ale graficului ei (cu abscisele din X) cu un segment de dreaptă, aflăm că partea corespunzătoare a graficului se află sub segmentul desenat ( Fig. 59). continuitate O funcție este convexă în sus pe intervalul X dacă, conectând oricare două puncte ale graficului său (cu abscisele din X) printr-un segment de linie dreaptă, aflăm că partea corespunzătoare a graficului se află deasupra segmentului desenat (Fig. 60). ).

A doua proprietate - continuitatea functiei pe intervalul X - inseamna ca graficul functiei pe intervalul X este continuu, i.e. nu are intepaturi si sarituri.

Cometariu.

De fapt, în matematică, totul este, după cum se spune, „exact opusul”: graficul unei funcții este reprezentat ca o linie continuă (fără înțepături și sărituri) numai atunci când se dovedește continuitatea funcției. Dar definiția formală a continuității unei funcții, care este destul de complexă și subtilă, este încă dincolo de puterile noastre. Același lucru se poate spune despre convexitatea unei funcții. Discutând aceste două proprietăți ale funcțiilor, vom continua să ne bazăm pe reprezentări vizual-intuitive.

Acum să ne revizuim cunoștințele. Amintindu-ne de funcțiile pe care le-am studiat în clasele a VII-a și a VIII-a, vom clarifica cum arată graficele acestora și vom enumera proprietățile funcției, respectând o anumită ordine, de exemplu: domeniul de definiție; monoton; prescripţie; , ; continuitate; intervalul de valori; convex.

Ulterior, vor apărea noi proprietăți ale funcțiilor, iar lista de proprietăți se va modifica în consecință.

1. Funcția constantă y \u003d C

Graficul funcției y \u003d C este prezentat în fig. 61 - linie dreaptă, paralelă cu axa x. Aceasta este o funcție atât de neinteresantă încât nu are sens să-i enumerați proprietățile.

Graficul funcției y \u003d kx + m este o linie dreaptă (Fig. 62, 63).

Proprietățile funcției y \u003d kx + m:

1)
2) crește dacă k > 0 (Fig. 62), scade dacă k< 0 (рис. 63);

4) nu există nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare;
5) funcția este continuă;
6)
7) nu are sens să vorbim despre convexitate.

Graficul funcției y \u003d kx 2 este o parabolă cu un vârf la origine și cu ramuri îndreptate în sus dacă k\u003e O (Fig. 64) și în jos dacă k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Proprietățile funcției y - kx 2:

Pentru cazul k > 0 (Fig. 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = nu există;
5) continuu;
6) Е(f) = funcţia scade, iar pe intervalul , scade pe rază;
7) convex în sus.

Graficul funcției y \u003d f (x) este construit punct cu punct; cu cât luăm mai multe puncte de forma (x; f (x)), cu atât avem o idee mai exactă a graficului. Dacă luăm multe dintre aceste puncte, atunci ideea graficului va fi mai completă. În acest caz, intuiția ne spune că graficul trebuie trasat ca o linie continuă (în acest caz, ca o parabolă). Și apoi, citind graficul, tragem concluzii despre continuitatea funcției, despre convexitatea acesteia în jos sau în sus, despre intervalul funcției. Trebuie să înțelegeți că dintre cele șapte proprietăți enumerate, numai proprietățile 1), 2), 3), 4) sunt „legitime” în sensul că suntem în măsură să le fundamentam, referindu-ne la definiții precise. Avem doar reprezentări vizual-intuitive despre proprietățile rămase. Apropo, nu e nimic rău în asta. Din istoria dezvoltării matematicii se știe că omenirea a folosit adesea și multă vreme diferite proprietăți ale anumitor obiecte, neștiind definiții precise. Apoi, când astfel de definiții au putut fi formulate, totul a căzut la loc.

Graficul funcției este o hiperbolă, axele de coordonate servesc ca asimptote ale hiperbolei (Fig. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) dacă k > 0, atunci funcţia scade pe raza deschisă (-oo, 0) şi pe raza deschisă (0, +oo) (Fig. 66); dacă să< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nu este limitat nici de jos, nici de sus;
4) nu există nici cele mai mici, nici cele mai mari valori;
5) funcţia este continuă pe raza deschisă (-oo, 0) şi pe raza deschisă (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) dacă k > 0, atunci funcția este convexă în sus la x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, adică pe grinda deschisă (0, +oo) (Fig. 66). Dacă să< 0, то функция выпукла вверх при х >o și convex în jos la x< О (рис. 67).
Graficul funcției este o ramură a parabolei (Fig. 68). Proprietățile funcției:
1) D(f) = , crește pe raza )