Acest subiect poate părea complicat la început din cauza numeroaselor formule nu atât de simple. Nu numai că ecuațiile pătratice în sine au intrări lungi, dar rădăcinile se găsesc și prin discriminant. Există trei formule noi în total. Nu foarte ușor de reținut. Acest lucru este posibil numai după rezolvarea frecventă a unor astfel de ecuații. Atunci toate formulele vor fi reținute de la sine.

Vedere generală a ecuației pătratice

Aici este propusă notația lor explicită, atunci când este scris mai întâi gradul cel mai mare și apoi - în ordine descrescătoare. Adesea există situații în care termenii sunt separati. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.

Să introducem notația. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Dacă acceptăm aceste notații, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea notație.

Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Fie ca această formulă să fie notată cu numărul unu.

Când este dată ecuația, nu este clar câte rădăcini vor fi în răspuns. Pentru că una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:

• soluția va avea două rădăcini;
• răspunsul va fi un număr;
• Ecuația nu are deloc rădăcini.

Și deși decizia nu este adusă la sfârșit, este dificil de înțeles care dintre opțiuni va cădea într-un anumit caz.

Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice

Sarcinile pot avea intrări diferite. Ele nu vor arăta întotdeauna ca formula generală a unei ecuații pătratice. Uneori îi vor lipsi anumiți termeni. Ceea ce a fost scris mai sus este ecuația completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din el, obțineți altceva. Aceste înregistrări sunt numite și ecuații pătratice, doar incomplete.

Mai mult decât atât, pot dispărea doar termenii pentru care coeficienții „b” și „c”. Numărul „a” nu poate fi egal cu zero în nicio circumstanță. Pentru că în acest caz formula devine ecuație liniară. Formulele pentru forma incompletă a ecuațiilor vor fi următoarele:

Deci, există doar două tipuri, pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Fie prima formulă numărul doi, iar al doilea număr trei.

Discriminantul și dependența numărului de rădăcini de valoarea acestuia

Acest număr trebuie cunoscut pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculată, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să folosiți egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.

După înlocuirea valorilor coeficienților în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. Cu un număr negativ, rădăcinile ecuației pătratice vor fi absente. Dacă este egal cu zero, răspunsul va fi unul.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?

De fapt, luarea în considerare a acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești discriminantul. După ce se clarifică faptul că există rădăcini ale ecuației pătratice, iar numărul acestora este cunoscut, trebuie să utilizați formulele pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați o astfel de formulă.

Deoarece conține semnul „±”, vor exista două valori. Expresie semnată rădăcină pătrată este discriminantul. Prin urmare, formula poate fi rescrisă într-un mod diferit.

Formula cinci. Din aceeași înregistrare se poate observa că dacă discriminantul este zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.

Dacă decizia ecuații pătratice neelaborat încă, este mai bine să notați valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu, acest moment nu va crea dificultăți. Dar la început există confuzie.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?

Totul este mult mai simplu aici. Chiar și nu este nevoie de formule suplimentare. Și nu veți avea nevoie de cele care au fost deja scrise pentru discriminant și necunoscut.

În primul rând, luați în considerare ecuația incompletă numărul doi. În această egalitate, se presupune să scoată valoarea necunoscută din paranteză și să rezolve ecuația liniară, care va rămâne între paranteze. Răspunsul va avea două rădăcini. Primul este neapărat egal cu zero, deoarece există un factor format din variabila însăși. Al doilea se obține prin rezolvarea unei ecuații liniare.

Ecuația incompletă de la numărul trei se rezolvă prin transferarea numărului din partea stângă a ecuației la dreapta. Apoi trebuie să împărțiți cu coeficientul în fața necunoscutului. Rămâne doar să extrageți rădăcina pătrată și să nu uitați să o scrieți de două ori cu semne opuse.

Următoarele sunt câteva acțiuni care vă ajută să învățați cum să rezolvați tot felul de egalități care se transformă în ecuații pătratice. Ele vor ajuta elevul să evite greșelile din cauza neatenției. Aceste neajunsuri sunt cauza unor note slabe la studierea temei extinse „Ecuații quadrice (clasa a 8-a)”. Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui să fie efectuate în mod constant. Pentru că va exista un obicei stabil.

• Mai întâi trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică, mai întâi termenul cu cel mai mare grad al variabilei și apoi - fără grad și ultimul - doar un număr.

• Dacă un minus apare înaintea coeficientului „a”, atunci poate complica munca unui începător să studieze ecuațiile pătratice. E mai bine să scapi de el. În acest scop, toată egalitatea trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii vor schimba semnul invers.

• În același mod, se recomandă să scapi de fracții. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul corespunzător, astfel încât numitorii să se anuleze.

Exemple

Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prima ecuație: x 2 - 7x \u003d 0. Este incompletă, prin urmare, se rezolvă așa cum este descris pentru formula numărul doi.

După bracketing, rezultă: x (x - 7) \u003d 0.

Prima rădăcină ia valoarea: x 1 \u003d 0. A doua va fi găsită din ecuația liniară: x - 7 \u003d 0. Este ușor de observat că x 2 \u003d 7.

A doua ecuație: 5x2 + 30 = 0. Din nou incompletă. Doar că se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.

După transferul 30 în partea dreaptă a ecuației: 5x 2 = 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Rezultă: x 2 = 6. Răspunsurile vor fi numere: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

A treia ecuație: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Aici și mai jos, soluția ecuațiilor pătratice va începe prin a le rescrie în vedere standard: - x 2 - 2x + 15 = 0. Acum este timpul să folosim al doilea sfat utilși înmulțiți totul cu minus unu. Se dovedește x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Conform celei de-a patra formule, trebuie să calculați discriminantul: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Reprezintă număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, reiese că ecuația are două rădăcini. Ele trebuie calculate conform celei de-a cincea formule. Potrivit acesteia, se dovedește că x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Apoi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

A patra ecuație x 2 + 8 + 3x \u003d 0 este convertită în aceasta: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.

A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 = 0 trebuie rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 = 0. După aplicarea formulei discriminantului, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o singură rădăcină, și anume: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

A șasea ecuație (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) necesită transformări, care constau în faptul că trebuie să aduci termeni similari, înainte de a deschide parantezele. În locul primei va exista o astfel de expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această intrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără termeni similari, ecuația va lua forma: x 2 - x \u003d 0. A devenit incomplet . Asemănător cu acesta a fost deja considerat puțin mai ridicat. Rădăcinile acestuia vor fi numerele 0 și 1.

Continuăm să studiem subiectul rezolvarea ecuatiilor". Ne-am familiarizat deja cu ecuațiile liniare și acum ne vom familiariza cu ecuații pătratice.

Mai întâi, vom analiza ce este o ecuație pătratică, cum este scrisă vedere generala, și dați definiții aferente. După aceea, folosind exemple, vom analiza în detaliu cum se rezolvă ecuațiile pătratice incomplete. Să trecem la soluție. ecuații complete, obținem formula rădăcinilor, ne familiarizăm cu discriminantul ecuației pătratice și luăm în considerare soluțiile exemplelor tipice. În cele din urmă, urmărim conexiunile dintre rădăcini și coeficienți.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație pătratică? Tipurile lor

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce este o ecuație pătratică. Prin urmare, este logic să începem să vorbim despre ecuații pătratice cu definiția unei ecuații pătratice, precum și definiții legate de aceasta. După aceea, puteți lua în considerare principalele tipuri de ecuații pătratice: reduse și nereduse, precum și ecuații complete și incomplete.

Definiție și exemple de ecuații pătratice

Definiție.

Ecuație cuadratică este o ecuație a formei a x 2 +b x+c=0, unde x este o variabilă, a , b și c sunt niște numere, iar a este diferit de zero.

Să spunem imediat că ecuațiile pătratice sunt adesea numite ecuații de gradul doi. Acest lucru se datorează faptului că ecuația pătratică este ecuație algebrică gradul doi.

Definiția sunată ne permite să dăm exemple de ecuații pătratice. Deci 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 etc. sunt ecuații pătratice.

Definiție.

Numerele a , b și c sunt numite coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c \u003d 0, iar coeficientul a se numește primul, sau senior, sau coeficientul la x 2, b este al doilea coeficient sau coeficientul la x și c este un membru liber.

De exemplu, să luăm o ecuație pătratică de forma 5 x 2 −2 x−3=0, aici coeficientul principal este 5, al doilea coeficient este −2, iar termenul liber este −3. Rețineți că atunci când coeficienții b și/sau c sunt negativi, ca în exemplul dat, atunci forma scurta scriind o ecuație pătratică de forma 5 x 2 −2 x−3=0 , și nu 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Este de remarcat faptul că, atunci când coeficienții a și / sau b sunt egali cu 1 sau -1, atunci ei nu sunt de obicei prezenți în mod explicit în notația ecuației pătratice, ceea ce se datorează particularităților notării unui astfel de . De exemplu, în ecuația pătratică y 2 −y+3=0, coeficientul principal este unul, iar coeficientul la y este −1.

Ecuații patratice reduse și nereduse

În funcție de valoarea coeficientului conducător, se disting ecuațiile pătratice reduse și nereduse. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 ecuație pătratică redusă. În caz contrar, ecuația pătratică este neredus.

Conform această definiție, ecuații pătratice x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 etc. - redus, în fiecare dintre ele primul coeficient este egal cu unu. Și 5 x 2 −x−1=0 , etc. - ecuații pătratice nereduse, coeficienții lor conducători sunt diferiți de 1 .

Din orice ecuație pătratică neredusă, împărțind ambele părți la coeficientul de conducere, puteți trece la cea redusă. Această acțiune este o transformare echivalentă, adică ecuația pătratică redusă obținută în acest fel are aceleași rădăcini ca și ecuația pătratică neredusă inițială sau, ca și ea, nu are rădăcini.

Să luăm un exemplu despre cum se realizează tranziția de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplu.

Din ecuația 3 x 2 +12 x−7=0, mergeți la ecuația pătratică redusă corespunzătoare.

Decizie.

Este suficient să facem împărțirea ambelor părți ale ecuației inițiale cu coeficientul principal 3, acesta este diferit de zero, așa că putem efectua această acțiune. Avem (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , care este același cu (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , și așa mai departe (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , de unde . Deci am obținut ecuația pătratică redusă, care este echivalentă cu cea inițială.

Răspuns:

Ecuații pătratice complete și incomplete

Există o condiție a≠0 în definiția unei ecuații pătratice. Această condiție este necesară pentru ca ecuația a x 2 +b x+c=0 să fie exact pătrată, deoarece cu a=0 devine de fapt o ecuație liniară de forma b x+c=0 .

În ceea ce privește coeficienții b și c, aceștia pot fi egali cu zero, atât separat, cât și împreună. În aceste cazuri, ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiție.

Ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0 se numește incomplet, dacă cel puțin unul dintre coeficienții b , c este egal cu zero.

La randul lui

Definiție.

Ecuație pătratică completă este o ecuație în care toți coeficienții sunt diferiți de zero.

Aceste nume nu sunt date întâmplător. Acest lucru va deveni clar din următoarea discuție.

Dacă coeficientul b este egal cu zero, atunci ecuația pătratică ia forma a x 2 +0 x+c=0 , și este echivalentă cu ecuația a x 2 +c=0 . Dacă c=0 , adică ecuația pătratică are forma a x 2 +b x+0=0 , atunci poate fi rescrisă ca a x 2 +b x=0 . Și cu b=0 și c=0 obținem ecuația pătratică a·x 2 =0. Ecuațiile rezultate diferă de ecuația pătratică completă prin faptul că părțile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber sau ambele. De aici și numele lor - ecuații patratice incomplete.

Deci ecuațiile x 2 +x+1=0 și −2 x 2 −5 x+0,2=0 sunt exemple de ecuații patratice complete și x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sunt ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Din informațiile din paragraful anterior rezultă că există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a x 2 =0 , îi corespund coeficienții b=0 și c=0;
• a x 2 +c=0 când b=0;
• și a x 2 +b x=0 când c=0 .

Să analizăm în ordine modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete ale fiecăruia dintre aceste tipuri.

a x 2 \u003d 0

Să începem prin a rezolva ecuații pătratice incomplete în care coeficienții b și c sunt egali cu zero, adică cu ecuații de forma a x 2 =0. Ecuația a·x 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0, care se obține din original prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Evident, rădăcina ecuației x 2 \u003d 0 este zero, deoarece 0 2 \u003d 0. Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică, într-adevăr, pentru orice număr diferit de zero p are loc inegalitatea p 2 >0, ceea ce implică că pentru p≠0, egalitatea p 2 =0 nu este niciodată atinsă.

Deci, ecuația pătratică incompletă a x 2 \u003d 0 are o singură rădăcină x \u003d 0.

Ca exemplu, dăm soluția unei ecuații pătratice incomplete −4·x 2 =0. Este echivalent cu ecuația x 2 \u003d 0, singura sa rădăcină este x \u003d 0, prin urmare, ecuația originală are o singură rădăcină zero.

O soluție scurtă în acest caz poate fi emisă după cum urmează:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Acum luați în considerare cum sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete, în care coeficientul b este egal cu zero și c≠0, adică ecuații de forma a x 2 +c=0. Știm că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă cu semnul opus, precum și împărțirea ambelor părți ale ecuației cu un număr diferit de zero, dau o ecuație echivalentă. Prin urmare, pot fi efectuate următoarele transformări echivalente ale ecuației pătratice incomplete a x 2 +c=0:

• mutați c în partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 =−c,
• și împărțim ambele părți cu a , obținem .

Ecuația rezultată ne permite să tragem concluzii despre rădăcinile sale. În funcție de valorile lui a și c, valoarea expresiei poate fi negativă (de exemplu, dacă a=1 și c=2, atunci) sau pozitivă (de exemplu, dacă a=−2 și c=6 , atunci ), nu este egal cu zero , deoarece prin condiția c≠0 . Vom analiza separat cazurile și .

Dacă , atunci ecuația nu are rădăcini. Această afirmație rezultă din faptul că pătratul oricărui număr este un număr nenegativ. De aici rezultă că atunci când , atunci pentru orice număr p egalitatea nu poate fi adevărată.

Dacă , atunci situația cu rădăcinile ecuației este diferită. În acest caz, dacă ne amintim despre, atunci rădăcina ecuației devine imediat evidentă, este numărul, deoarece. Este ușor de ghicit că numărul este și rădăcina ecuației, într-adevăr, . Această ecuație nu are alte rădăcini, care pot fi arătate, de exemplu, prin contradicție. S-o facem.

Să notăm rădăcinile exacte ale ecuației ca x 1 și −x 1 . Să presupunem că ecuația are o altă rădăcină x 2 diferită de rădăcinile indicate x 1 și −x 1 . Se știe că înlocuirea în ecuație în loc de x a rădăcinilor sale transformă ecuația într-o egalitate numerică adevărată. Pentru x 1 și −x 1 avem , iar pentru x 2 avem . Proprietățile egalităților numerice ne permit să efectuăm scăderea termen cu termen a egalităților numerice adevărate, astfel încât scăderea părților corespunzătoare ale egalităților dă x 1 2 − x 2 2 =0. Proprietățile operațiilor cu numere ne permit să rescriem egalitatea rezultată ca (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Știm că produsul a două numere este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este egal cu zero. Prin urmare, din egalitatea obținută rezultă că x 1 −x 2 =0 și/sau x 1 +x 2 =0 , care este același, x 2 =x 1 și/sau x 2 = −x 1 . Deci am ajuns la o contradicție, deoarece la început am spus că rădăcina ecuației x 2 este diferită de x 1 și −x 1 . Aceasta dovedește că ecuația nu are alte rădăcini decât și .

Să rezumam informațiile din acest paragraf. Ecuația pătratică incompletă a x 2 +c=0 este echivalentă cu ecuația , care

• nu are rădăcini dacă,
• are două rădăcini și dacă .

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de forma a·x 2 +c=0 .

Să începem cu ecuația pătratică 9 x 2 +7=0 . După transferul termenului liber în partea dreaptă a ecuației, acesta va lua forma 9·x 2 =−7. Împărțind ambele părți ale ecuației rezultate la 9, ajungem la . Deoarece se obține un număr negativ în partea dreaptă, această ecuație nu are rădăcini, prin urmare, ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 +7=0 nu are rădăcini.

Să rezolvăm încă o ecuație pătratică incompletă −x 2 +9=0. Transferăm cele nouă în partea dreaptă: -x 2 \u003d -9. Acum împărțim ambele părți la −1, obținem x 2 =9. Partea dreaptă conține un număr pozitiv, din care concluzionăm că sau . După ce scriem răspunsul final: ecuația pătratică incompletă −x 2 +9=0 are două rădăcini x=3 sau x=−3.

a x 2 +b x=0

Rămâne să ne ocupăm de soluția ultimului tip de ecuații pătratice incomplete pentru c=0 . Ecuațiile patratice incomplete de forma a x 2 +b x=0 vă permit să rezolvați metoda factorizării. Evident, putem, situat în partea stângă a ecuației, pentru care este suficient să scoatem factorul comun x din paranteze. Acest lucru ne permite să trecem de la ecuația pătratică incompletă inițială la o ecuație echivalentă de forma x·(a·x+b)=0 . Și această ecuație este echivalentă cu mulțimea de două ecuații x=0 și a x+b=0 , ultima dintre acestea fiind liniară și având rădăcina x=−b/a .

Deci, ecuația pătratică incompletă a x 2 +b x=0 are două rădăcini x=0 și x=−b/a.

Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția unui exemplu concret.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Decizie.

Scoatem x din paranteze, aceasta dă ecuația. Este echivalentă cu două ecuații x=0 și . Rezolvăm ecuația liniară rezultată: , iar după împărțirea numărului mixt la o fracție obișnuită, găsim . Prin urmare, rădăcinile ecuației originale sunt x=0 și .

După practicarea necesară, soluțiile unor astfel de ecuații pot fi scrise pe scurt:

Răspuns:

x=0, .

Discriminant, formula rădăcinilor unei ecuații pătratice

Pentru a rezolva ecuații pătratice, există o formulă rădăcină. Să scriem formula rădăcinilor ecuației pătratice: , Unde D=b 2 −4 a c- așa-zisul discriminant al unei ecuații pătratice. Notația înseamnă în esență că .

Este util să știm cum a fost obținută formula rădăcinii și cum este aplicată în găsirea rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Să ne ocupăm de asta.

Derivarea formulei rădăcinilor unei ecuații pătratice

Trebuie să rezolvăm ecuația pătratică a·x 2 +b·x+c=0 . Să efectuăm câteva transformări echivalente:

• Putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la un număr diferit de zero a, ca rezultat obținem ecuația pătratică redusă.
• Acum selectați un pătrat complet pe partea stângă: . După aceea, ecuația va lua forma .
• În această etapă, este posibil să se efectueze transferul ultimilor doi termeni în partea dreaptă cu semnul opus, avem .
• Și să transformăm și expresia din partea dreaptă: .

Ca rezultat, ajungem la ecuația , care este echivalentă cu ecuația pătratică inițială a·x 2 +b·x+c=0 .

Am rezolvat deja ecuații similare ca formă în paragrafele anterioare când am analizat . Acest lucru ne permite să tragem următoarele concluzii cu privire la rădăcinile ecuației:

• dacă , atunci ecuația nu are soluții reale;
• dacă , atunci ecuația are forma , prin urmare, , din care este vizibilă singura sa rădăcină;
• dacă , atunci sau , care este același cu sau , adică ecuația are două rădăcini.

Astfel, prezența sau absența rădăcinilor ecuației și, prin urmare, a ecuației pătratice originale, depinde de semnul expresiei din partea dreaptă. La rândul său, semnul acestei expresii este determinat de semnul numărătorului, întrucât numitorul 4 a 2 este întotdeauna pozitiv, adică semnul expresiei b 2 −4 a c . Această expresie b 2 −4 a c se numește discriminant al unei ecuații pătraticeși marcat cu litera D. De aici, esența discriminantului este clară - prin valoarea și semnul său, se ajunge la concluzia dacă ecuația pătratică are rădăcini reale și, dacă da, care este numărul lor - unul sau doi.

Revenim la ecuația , o rescriem folosind notația discriminantului: . Și concluzionăm:

• daca D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• dacă D=0, atunci această ecuație are o singură rădăcină;
• în sfârșit, dacă D>0, atunci ecuația are două rădăcini sau , care pot fi rescrise sub forma sau , iar după extinderea și reducerea fracțiilor la un numitor comun obținem .

Deci am derivat formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, ele arată ca , unde discriminantul D este calculat prin formula D=b 2 −4 a c .

Cu ajutorul lor, cu un discriminant pozitiv, puteți calcula ambele rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. Când discriminantul este egal cu zero, ambele formule dau aceeași valoare a rădăcinii corespunzătoare singurei soluții a ecuației pătratice. Și cu un discriminant negativ, atunci când încercăm să folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ne confruntăm cu extragerea rădăcinii pătrate dintr-un număr negativ, ceea ce ne duce dincolo și curiculumul scolar. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu are rădăcini reale, ci are o pereche conjugare complexa rădăcini, care pot fi găsite folosind aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

În practică, atunci când rezolvați o ecuație pătratică, puteți utiliza imediat formula rădăcină, cu care să le calculați valorile. Dar este mai mult despre găsirea rădăcinilor complexe.

Cu toate acestea, într-un curs de algebră școlară, de obicei nu vorbim despre complexe, ci despre rădăcinile reale ale unei ecuații pătratice. În acest caz, este recomandabil să găsiți mai întâi discriminantul înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, asigurați-vă că acesta este nenegativ (în caz contrar, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), iar după aceea calculați valorile rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus ne permite să scriem algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice. Pentru a rezolva ecuația pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0, aveți nevoie de:

• folosind formula discriminantă D=b 2 −4 a c calculați valoarea acesteia;
• trageți concluzia că ecuația pătratică nu are rădăcini reale dacă discriminantul este negativ;
• calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula dacă D=0 ;
• găsiți două rădăcini reale ale unei ecuații pătratice folosind formula rădăcinii dacă discriminantul este pozitiv.

Aici observăm doar că dacă discriminantul este egal cu zero, se poate folosi și formula, va da aceeași valoare ca .

Puteți trece la exemple de aplicare a algoritmului pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Luați în considerare soluțiile a trei ecuații pătratice cu discriminant pozitiv, negativ și zero. După ce ne-am ocupat de soluția lor, prin analogie va fi posibilă rezolvarea oricărei alte ecuații pătratice. Să începem.

Exemplu.

Aflați rădăcinile ecuației x 2 +2 x−6=0 .

Decizie.

În acest caz, avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a=1 , b=2 și c=−6 . Conform algoritmului, mai întâi trebuie să calculați discriminantul, pentru aceasta înlocuim a, b și c indicate în formula discriminantă, avem D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Deoarece 28>0, adică discriminantul este mai mare decât zero, ecuația pătratică are două rădăcini reale. Să le găsim după formula rădăcinilor , obținem , aici putem simplifica expresiile obținute făcând factorizarea semnului rădăcinii urmată de reducerea fracției:

Răspuns:

Să trecem la următorul exemplu tipic.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică −4 x 2 +28 x−49=0 .

Decizie.

Începem prin a găsi discriminantul: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Prin urmare, această ecuație pătratică are o singură rădăcină, pe care o găsim ca , adică

Răspuns:

x=3,5.

Rămâne de luat în considerare soluția ecuațiilor pătratice cu discriminant negativ.

Exemplu.

Rezolvați ecuația 5 y 2 +6 y+2=0 .

Decizie.

Iată coeficienții ecuației pătratice: a=5 , b=6 și c=2 . Înlocuind aceste valori în formula discriminantă, avem D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Discriminantul este negativ, prin urmare, această ecuație pătratică nu are rădăcini reale.

Dacă trebuie să specificați rădăcini complexe, apoi aplicăm formula binecunoscută pentru rădăcinile ecuației pătratice și efectuăm actiuni cu numere complexe :

Răspuns:

nu există rădăcini reale, rădăcinile complexe sunt: ​​.

Încă o dată, observăm că, dacă discriminantul ecuației pătratice este negativ, atunci școala de obicei notează imediat răspunsul, în care indică faptul că nu există rădăcini reale și nu găsesc rădăcini complexe.

Formula rădăcină pentru coeficienți chiar și doi

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice , unde D=b 2 −4 a c vă permite să obțineți o formulă mai compactă care vă permite să rezolvați ecuații pătratice cu un coeficient par la x (sau pur și simplu cu un coeficient care arată ca 2 n , de exemplu, sau 14 ln5=2 7 ln5 ). Să o scoatem afară.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică de forma a x 2 +2 n x + c=0 . Să-i găsim rădăcinile folosind formula cunoscută nouă. Pentru a face acest lucru, calculăm discriminantul D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), iar apoi folosim formula rădăcină:

Notați expresia n 2 − a c ca D 1 (uneori se notează D "). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice considerate cu al doilea coeficient 2 n ia forma , unde D 1 =n 2 −a c .

Este ușor de observat că D=4·D 1 , sau D 1 =D/4 . Cu alte cuvinte, D 1 este a patra parte a discriminantului. Este clar că semnul lui D 1 este același cu semnul lui D . Adică, semnul D 1 este, de asemenea, un indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor ecuației pătratice.

Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică cu al doilea coeficient 2 n, aveți nevoie

• Calculați D 1 =n 2 −a·c ;
• Dacă D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Dacă D 1 =0, atunci calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula;
• Dacă D 1 >0, atunci găsiți două rădăcini reale folosind formula.

Luați în considerare soluția exemplului folosind formula rădăcinii obținută în acest paragraf.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică 5 x 2 −6 x−32=0 .

Decizie.

Al doilea coeficient al acestei ecuații poate fi reprezentat ca 2·(−3) . Adică, puteți rescrie ecuația pătratică originală sub forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , aici a=5 , n=−3 și c=−32 , și calculați a patra parte a discriminant: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Deoarece valoarea sa este pozitivă, ecuația are două rădăcini reale. Le găsim folosind formula rădăcină corespunzătoare:

Rețineți că a fost posibil să se folosească formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz, ar trebui făcută mai multă muncă de calcul.

Răspuns:

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori, înainte de a te lansa în calculul rădăcinilor unei ecuații pătratice folosind formule, nu strica să pui întrebarea: „Este posibil să simplificăm forma acestei ecuații”? De acord că din punct de vedere al calculelor va fi mai ușor de rezolvat ecuația pătratică 11 x 2 −4 x −6=0 decât 1100 x 2 −400 x−600=0 .

De obicei, o simplificare a formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale acesteia cu un anumit număr. De exemplu, în paragraful anterior, am reușit să realizăm o simplificare a ecuației 1100 x 2 −400 x −600=0 împărțind ambele părți la 100 .

O transformare similară este efectuată cu ecuații pătratice, ai căror coeficienți nu sunt . În acest caz, ambele părți ale ecuației sunt de obicei împărțite la valorile absolute ale coeficienților săi. De exemplu, să luăm ecuația pătratică 12 x 2 −42 x+48=0. valorile absolute ale coeficienților săi: mcd(12, 42, 48)= mcd(mcd(12, 42), 48)= mcd(6, 48)=6 . Împărțind ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6 , ajungem la ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 −7 x+8=0 .

Și înmulțirea ambelor părți ale ecuației pătratice se face de obicei pentru a scăpa de coeficienții fracționali. În acest caz, înmulțirea se efectuează pe numitorii coeficienților săi. De exemplu, dacă ambele părți ale unei ecuații pătratice sunt înmulțite cu LCM(6, 3, 1)=6 , atunci aceasta va lua o formă mai simplă x 2 +4 x−18=0 .

În încheierea acestui paragraf, observăm că aproape întotdeauna scăpați de minus la cel mai mare coeficient al ecuației pătratice prin schimbarea semnelor tuturor termenilor, ceea ce corespunde înmulțirii (sau împărțirii) ambelor părți cu −1. De exemplu, de obicei din ecuația pătratică −2·x 2 −3·x+7=0 mergeți la soluția 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relația dintre rădăcini și coeficienți ai unei ecuații pătratice

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice exprimă rădăcinile unei ecuații în termeni de coeficienți. Pe baza formulei rădăcinilor, puteți obține alte relații între rădăcini și coeficienți.

Cele mai cunoscute și aplicabile formule din teorema Vieta a formei și . În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 x 2 −7 x+22=0, puteți spune imediat că suma rădăcinilor sale este 7/3, iar produsul rădăcinilor este 22/3.

Folosind formulele deja scrise, puteți obține o serie de alte relații între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, puteți exprima suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice în termeni de coeficienți: .

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Manualul elevului institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Ecuații cuadratice. Informatii generale.

LA ecuație pătratică trebuie să existe un x în pătrat (de aceea se numește

"pătrat"). Pe lângă aceasta, în ecuație poate exista (sau poate să nu existe!) Doar x (la primul grad) și

doar un număr (membru liber). Și nu ar trebui să existe x într-un grad mai mare de doi.

Ecuație algebrică vedere generala.

Unde X este o variabilă liberă, A, b, c sunt coeficienți și A≠0 .

de exemplu:

Expresie numit trinom pătrat.

Elementele unei ecuații pătratice au propriile nume:

numit primul sau coeficient principal,

se numește al doilea sau coeficient la ,

se numește membru liber.

Ecuație pătratică completă.

Aceste ecuații pătratice au setul complet de termeni din stânga. x pătrat

coeficient A, x la prima putere cu coeficient bși liber membrucu. LA toți coeficienții

trebuie să fie diferit de zero.

Incomplet este o ecuație pătratică în care cel puțin unul dintre coeficienți, cu excepția

senior (fie al doilea coeficient, fie termenul liber) este egal cu zero.

Să ne prefacem că b\u003d 0, - x va dispărea în primul grad. Se dovedește, de exemplu:

2x 2 -6x=0,

etc. Și dacă ambii coeficienți bși c sunt egale cu zero, atunci este și mai simplu, De exemplu:

2x 2 \u003d 0,

Rețineți că x pătrat este prezent în toate ecuațiile.

De ce A nu poate fi zero? Apoi x pătratul dispare și ecuația devine liniar .

Și se face altfel...

Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda „transferului”.

Luați în considerare ecuația pătratică

ax 2 + bx + c \u003d 0, unde a? 0.

Înmulțind ambele părți ale sale cu a, obținem ecuația

a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Fie ax = y, de unde x = y/a; apoi ajungem la ecuație

y 2 + de + ac = 0,

echivalent cu acesta. Găsim rădăcinile sale la 1 și la 2 folosind teorema Vieta.

În cele din urmă obținem x 1 = y 1 /a și x 1 = y 2 /a. Cu această metodă, coeficientul a este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi fost „transferat” acestuia, de aceea se numește metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când este ușor de găsit rădăcinile unei ecuații folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

* Exemplu.

Rezolvăm ecuația 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Decizie. Să „transferăm” coeficientul 2 la termenul liber, ca rezultat obținem ecuația

y 2 - 11y + 30 = 0.

Conform teoremei lui Vieta

y 1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2,5

y 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Răspuns: 2,5; 3.

Proprietățile coeficienților unei ecuații pătratice

DAR. Să fie dată o ecuație pătratică ax 2 + bx + c = 0, unde a? 0.

1) Dacă, a + b + c \u003d 0 (adică, suma coeficienților este zero), atunci x 1 \u003d 1,

Dovada. Împărțiți ambele părți ale ecuației cu a? 0, obținem ecuația pătratică redusă

x 2 + b/a * x + c/a = 0.

Conform teoremei lui Vieta

x 1 + x 2 \u003d - b / a,

x 1 x 2 = 1*c/a.

Prin condiția a - b + c = 0, de unde b = a + c. Prin urmare,

x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 \u003d - 1 * (- c / a),

acestea. x 1 \u003d -1 și x 2 \u003d c / a, pe care m trebuia să le demonstreze.

• * Exemple.
• 1) Să rezolvăm ecuația 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Decizie. Deoarece a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), atunci

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Raspunsul 1; -208/345.

2) Rezolvați ecuația 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Decizie. Deoarece a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), atunci

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132.

Raspunsul 1; 115/132.

B. Dacă al doilea coeficient b = 2k este un număr par, atunci formula rădăcinii

* Exemplu.

Să rezolvăm ecuația 3x2 - 14x + 16 = 0.

Decizie. Avem: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

Lecția video 2: Rezolvarea ecuațiilor pătratice

Lectura: Ecuații cuadratice

Ecuația

Ecuația- acesta este un fel de egalitate, în expresiile căreia există o variabilă.

rezolva ecuatia- înseamnă a găsi un astfel de număr în locul unei variabile care să-l conducă la egalitatea corectă.

O ecuație poate avea o soluție, mai multe sau deloc.

Pentru a rezolva orice ecuație, ar trebui simplificată pe cât posibil la forma:

Liniar: a*x = b;

Pătrat: a*x 2 + b*x + c = 0.

Adică, orice ecuație înainte de rezolvare trebuie convertită într-o formă standard.

Orice ecuație poate fi rezolvată în două moduri: analitic și grafic.

Pe grafic, soluția ecuației este considerată a fi punctele în care graficul intersectează axa x.

Ecuații cuadratice

O ecuație poate fi numită pătratică dacă, atunci când este simplificată, ia forma:

a*x 2 + b*x + c = 0.

în care a, b, c sunt coeficienți ai ecuației care diferă de zero. DAR "X"- rădăcina ecuației. Se crede că o ecuație pătratică are două rădăcini sau poate să nu aibă deloc o soluție. Rădăcinile rezultate pot fi aceleași.

"A"- coeficientul care stă în fața rădăcinii în pătrat.

"b"- stă înaintea necunoscutului în gradul I.

"cu"- termenul liber al ecuaţiei.

Dacă, de exemplu, avem o ecuație de forma:

2x 2 -5x+3=0

În ea, „2” este coeficientul la cel mai înalt termen al ecuației, „-5” este al doilea coeficient și „3” este termenul liber.

Rezolvarea unei ecuații pătratice

Există multe moduri de a rezolva o ecuație pătratică. Totuși, la cursul școlar de matematică, soluția este studiată folosind teorema Vieta, precum și folosind discriminantul.

Soluție discriminantă:

La rezolvarea cu aceasta metoda este necesar să se calculeze discriminantul după formula:

Dacă în timpul calculelor obțineți că discriminantul este mai mic decât zero, aceasta înseamnă că ecuația dată nu are solutii.

Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația are două soluții identice. În acest caz, polinomul poate fi restrâns conform formulei de înmulțire prescurtată în pătratul sumei sau al diferenței. Apoi rezolvați-o ca pe o ecuație liniară. Sau folosiți formula:

Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci trebuie utilizată următoarea metodă:

teorema lui Vieta

Dacă ecuația este redusă, adică coeficientul de la cel mai mare termen este egal cu unu, atunci puteți utiliza teorema lui Vieta.

Deci, să presupunem că ecuația este:

Rădăcinile ecuației se găsesc după cum urmează:

Ecuație pătratică incompletă

Există mai multe opțiuni pentru obținerea unei ecuații pătratice incomplete, a cărei formă depinde de prezența coeficienților.

1. Dacă al doilea și al treilea coeficienți sunt egali cu zero (b=0, c=0), atunci ecuația pătratică va arăta astfel:

Această ecuație va avea o soluție unică. Egalitatea va fi adevărată numai dacă soluția ecuației este zero.