Există multe expresii matematice diferite în matematică, iar unele dintre ele au propriile lor nume fixe. Trebuie să ne familiarizăm cu unul dintre aceste concepte - acesta este un monom.

Un monom este o expresie matematică care constă dintr-un produs de numere, variabile, fiecare dintre acestea putând fi inclusă într-o oarecare măsură în produs. Pentru a înțelege mai bine noul concept, trebuie să vă familiarizați cu mai multe exemple.

Exemple de monomii

Expresii 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 sunt singletons. După cum puteți vedea, un număr sau o variabilă singur (cu sau fără putere) este, de asemenea, un monom. Dar, de exemplu, expresiile 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 sunt deja nu sunt monomiale pentru că nu se potrivesc cu definiția. Prima expresie folosește „suma”, ceea ce nu este permis, a doua folosește „diviziunea”, iar a treia folosește diferența.

Considera încă câteva exemple.

De exemplu, expresia 2*a^3*b/3 este, de asemenea, un monom, deși diviziunea este prezentă acolo. Dar în acest caz, împărțirea are loc după un număr și, prin urmare, expresia corespunzătoare poate fi rescrisă astfel: 2/3*a^3*b. Inca un exemplu: Care dintre expresiile 2/x și x/2 este un monom și care nu? răspunde corect că prima expresie nu este un monom, ci a doua.

Forma standard a unui monom

Priviți următoarele două expresii monomiale: ¾*a^2*b^3 și 3*a*1/4*b^3*a. De fapt, acestea sunt două monomii identice. Nu este adevărat că prima expresie pare mai convenabilă decât a doua?

Motivul pentru aceasta este că prima expresie este scrisă în formă standard. Forma standard a unui polinom este un produs format dintr-un factor numeric și puteri ale diferitelor variabile. Factorul numeric se numește coeficient monomial.

Pentru a aduce monomul la forma sa standard, este suficient să înmulțiți toți factorii numerici prezenți în monom și să puneți numărul rezultat pe primul loc. Apoi înmulțiți toate puterile care au aceeași bază de litere.

Reducerea unui monom la forma sa standard

Dacă în exemplul nostru din a doua expresie înmulțim toți factorii numerici 3 * 1/4 și apoi înmulțim a * a, atunci obținem primul monom. Această acțiune se numește aducerea monomului la forma sa standard.

Dacă două monomii diferă doar printr-un coeficient numeric sau sunt egale între ele, atunci astfel de monomii sunt numite similare în matematică.

Monomiile sunt unul dintre principalele tipuri de expresii studiate ca parte a unui curs de algebră școlară. În acest material, vă vom spune care sunt aceste expresii, vom defini forma lor standard și vă vom arăta exemple, precum și vom trata concepte înrudite, cum ar fi gradul unui monom și coeficientul acestuia.

Ce este un monom

Manualele școlare oferă de obicei următoarea definiție a acestui concept:

Definiția 1

Monomerii includ numerele, variabilele, precum și gradele acestora cu indicator naturalȘi tipuri diferite lucrări realizate din ele.

Pe baza acestei definiții, putem da exemple de astfel de expresii. Deci, toate numerele 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 se vor referi la monomii. Toate variabilele, de exemplu, x , a , b , p , q , t , y , z vor fi, de asemenea, monomii prin definiție. Aceasta include, de asemenea, puterile variabilelor și numerelor, de exemplu, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 și t 15, precum și expresii precum 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z etc. Vă rugăm să rețineți că un monom poate include fie un număr sau variabilă, fie mai multe și ele pot fi menționate de mai multe ori ca parte a unui polinom.

Asemenea tipuri de numere precum numerele întregi, raționale, naturale aparțin și ele monomiilor. Poate include și real și numere complexe. Deci, expresii precum 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 vor fi, de asemenea, monomii.

Care este forma standard a unui monom și cum se transformă o expresie în aceasta

Pentru comoditate, toate monomiile duc mai întâi la un fel special numit standard. Să fim specifici despre ce înseamnă asta.

Definiția 2

Forma standard a monomului numiţi-o astfel de formă în care este produsul unui factor numeric şi grade naturale variabile diferite. Factorul numeric, numit și coeficient monomial, este de obicei scris primul din partea stângă.

Pentru claritate, selectăm câteva monomii de forma standard: 6 (acesta este un monom fără variabile), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Aceasta include și expresia X y(aici coeficientul va fi egal cu 1), − x 3(aici coeficientul este - 1).

Acum dăm exemple de monomii care trebuie aduse la forma standard: 4 a a 2 a 3(aici trebuie să combinați aceleași variabile), 5 x (− 1) 3 y 2(aici trebuie să combinați factorii numerici din stânga).

De obicei, în cazul în care un monom are mai multe variabile scrise cu litere, factorii de litere sunt scriși în ordine alfabetică. De exemplu, intrarea preferată 6 a b 4 c z 2, Cum b 4 6 a z 2 c. Cu toate acestea, ordinea poate fi diferită dacă scopul calculării o impune.

Orice monom poate fi redus la forma standard. Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuați toate transformările identice necesare.

Conceptul de gradul unui monom

Noțiunea de însoțire a gradului unui monom este foarte importantă. Să scriem definiția acestui concept.

Definiția 3

Gradul unui monom, scris în formă standard, este suma exponenților tuturor variabilelor care sunt incluse în înregistrarea sa. Dacă nu există o singură variabilă în ea, iar monomul în sine este diferit de 0, atunci gradul său va fi zero.

Să dăm exemple de gradele monomului.

Exemplul 1

Deci, monomul a are gradul 1 deoarece a = a 1 . Dacă avem un monom 7 , atunci acesta va avea un grad zero, deoarece nu are variabile și este diferit de 0 . Și aici este intrarea 7 a 2 x y 3 a 2 va fi un monom de gradul 8, deoarece suma exponenților tuturor gradelor variabilelor incluse în acesta va fi egală cu 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Monomul standardizat și polinomul original vor avea același grad.

Exemplul 2

Să arătăm cum să calculăm gradul unui monom 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. În formă standard, poate fi scris ca − 6 x 8 y 4. Calculăm gradul: 8 + 4 = 12 . Prin urmare, gradul polinomului original este, de asemenea, egal cu 12 .

Conceptul de coeficient monomial

Dacă avem un monom standardizat care include cel puțin o variabilă, atunci vorbim despre el ca un produs cu un singur factor numeric. Acest factor se numește coeficient numeric sau coeficient monomial. Să scriem definiția.

Definiția 4

Coeficientul unui monom este factorul numeric al unui monom redus la forma standard.

Luați, de exemplu, coeficienții diferitelor monomii.

Exemplul 3

Deci, în expresie 8 la 3 coeficientul va fi numărul 8, iar în (− 2 , 3) ​​​​x y z ei vor − 2 , 3 .

O atenție deosebită trebuie acordată coeficienților egali cu unu și minus unu. De regulă, acestea nu sunt indicate în mod explicit. Se crede că într-un monom al formei standard, în care nu există un factor numeric, coeficientul este 1, de exemplu, în expresiile a, x z 3, a t x, deoarece pot fi considerate ca 1 a, x z 3 - Cum 1 x z 3 etc.

În mod similar, în monomiile care nu au un factor numeric și care încep cu semnul minus, putem considera coeficientul - 1.

Exemplul 4

De exemplu, expresiile − x, − x 3 y z 3 vor avea un astfel de coeficient, deoarece pot fi reprezentate ca − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 etc.

Dacă un monom nu are deloc un singur multiplicator literal, atunci este posibil să vorbim despre un coeficient și în acest caz. Coeficienții unor astfel de numere-monomiale vor fi aceste numere în sine. Deci, de exemplu, coeficientul monomului 9 va fi egal cu 9.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Conceptul de monom

Definiția unui monom: Un monom este o expresie algebrică care folosește numai înmulțirea.

Forma standard a unui monom

Care este forma standard a unui monom? Monomul se scrie în formă standard, dacă are un factor numeric în primul rând și acest factor, se numește coeficientul monomului, există doar unul în monom, literele monomului sunt aranjate în ordine alfabetică și fiecare literă apare o singură dată.

Un exemplu de monom în formă standard:

aici pe primul loc se afla numarul, coeficientul monomului, iar acest numar este doar unul in monomul nostru, fiecare litera apare o singura data si literele sunt aranjate in ordine alfabetica, in acest caz este alfabetul latin.

Un alt exemplu de monom în formă standard:

fiecare literă apare o singură dată, sunt aranjate în ordinea alfabetică latină, dar unde este coeficientul monomului, adică. factorul numeric care ar trebui să fie primul? Aici este egal cu unu: 1adm.

Poate fi coeficientul monomial negativ? Da, poate, exemplu: -5a.

Un coeficient monomial poate fi fracționat? Da, poate, exemplu: 5.2a.

Dacă monomul constă numai dintr-un număr, i.e. nu are litere, cum se aduce la forma standard? Orice monom care este un număr este deja în formă standard, de exemplu: numărul 5 este un monom în formă standard.

Reducerea monomiilor la forma standard

Cum se aduce monomiul la forma standard? Luați în considerare exemple.

Fie dat monomiul 2a4b, trebuie să-l aducem la forma standard. Înmulțim doi dintre factorii săi numerici și obținem 8ab. Acum monomul este scris în forma standard, adică. are un singur factor numeric, scris în primul rând, fiecare literă din monom apare o singură dată, iar aceste litere sunt aranjate în ordine alfabetică. Deci 2a4b = 8ab.

Dat: monomul 2a4a, aduceți monomul la forma standard. Înmulțim numerele 2 și 4, produsul aa este înlocuit cu a doua putere a 2 . Se obține: 8a 2 . Aceasta este forma standard a acestui monom. Deci, 2a4a = 8a 2 .

Monomii similare

Care sunt monomiile asemănătoare? Dacă monomiile diferă doar în coeficienți sau sunt egale, atunci ele se numesc similare.

Un exemplu de monomii similare: 5a și 2a. Aceste monomii diferă doar în coeficienți, ceea ce înseamnă că sunt similare.

Sunt monomiile 5abc și 10cba similare? Aducem al doilea monom la forma standard, obținem 10abc. Acum este clar că monomiile 5abc și 10abc diferă doar prin coeficienți, ceea ce înseamnă că sunt similare.

Adăugarea monomiilor

Care este suma monomiilor? Nu putem decât să însumăm monomii similare. Luați în considerare exemplul de adăugare a monomiilor. Care este suma monomiilor 5a și 2a? Suma acestor monomii va fi un monom similar cu ele, al cărui coeficient este egal cu suma coeficienților termenilor. Deci, suma monomiilor este 5a + 2a = 7a.

Mai multe exemple de adăugare de monomii:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Din nou. Puteți adăuga doar monomii similare; adăugarea se reduce la adăugarea coeficienților lor.

Scăderea monomiilor

Care este diferența dintre monomii? Putem scădea doar monomii similare. Luați în considerare un exemplu de scădere a monomiilor. Care este diferența dintre monomiile 5a și 2a? Diferența acestor monomii va fi un monom similar cu ele, al cărui coeficient este egală cu diferența coeficienţii acestor monomii. Deci, diferența de monomii este egală cu 5a - 2a = 3a.

Mai multe exemple de scădere a monomiilor:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Înmulțirea monomiilor

Care este produsul monomiilor? Luați în considerare un exemplu:

acestea. produsul monomiilor este egal cu monomiul ai cărui factori sunt alcătuiți din factorii monomiilor originale.

Alt exemplu:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Cum a apărut acest rezultat? Fiecare factor are „a” în grad: în primul - „a” în gradul 2, iar în al doilea - „a” în gradul 5. Aceasta înseamnă că produsul va avea „a” în grad din 7, deoarece la înmulțirea literelor identice, exponenții acestora se adună:

A 2 * a 5 = a 7 .

Același lucru este valabil și pentru factorul „b”.

Coeficientul primului factor este egal cu doi, iar al doilea - cu unu, deci obținem 2 * 1 = 2 ca rezultat.

Așa s-a calculat rezultatul 2a 7 b 12.

Din aceste exemple, se poate observa că coeficienții monomiilor sunt înmulțiți, iar aceleași litere sunt înlocuite cu sumele gradelor lor din produs.

eu. Expresiile care sunt formate din numere, variabile și puterile acestora, cu ajutorul înmulțirii, se numesc monomii.

Exemple de monomii:

dar) A; b) ab; în) 12; G)-3c; e) 2a 2 ∙(-3,5b) 3; e)-123,45xy5z; g) 8ac∙2.5a 2∙(-3c 3).

II. Acest tip de monom, când factorul numeric (coeficientul) este pe primul loc, urmat de variabilele cu puterile lor, se numește tipul standard de monom.

Deci, monomiile date mai sus, sub litere a B C), G)Și e) sunt scrise în formă standard, iar monomiile sub litere e)Și g) este necesar să-l aduceți la o formă standard, adică la o astfel de formă atunci când factorul numeric este pe primul loc, iar factorii literali cu indicatorii lor sunt scrieți după ea, în plus, factorii literali sunt în ordine alfabetică. Dăm monomiile e)Și g) la vizualizarea standard.

e) 2a 2 ∙(-3.5b) 3=2a 2 ∙(-3.5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3.5∙3.5∙3.5∙b 3 = -85,75a2b3;

g) 8ac∙2.5a 2∙(-3c 3)=-8∙2.5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .

III.Suma exponenților tuturor variabilelor care alcătuiesc monomul se numește gradul monomului.

Exemple. Ce grad au monomiile a) - g)?

a) a. Primul;

b) ab. Al doilea: darîn gradul I şi bîn gradul I - suma indicatorilor 1+1=2 ;

în) 12. Zero, deoarece nu există factori alfabetici;

G) -3c. Primul;

e) -85,75a 2 b 3 . A cincea. Am redus acest monom la forma standard, avem darîn gradul al doilea şi bîn a treia. Adăugarea indicatorilor: 2+3=5 ;

e) -123,45xy 5 z. Al șaptelea. S-au adăugat exponenții factorilor literali: 1+5+1=7 ;

g) -60a 3 c 3 . Al șaselea, de la suma indicatorilor multiplicatorilor literali 3+3=6 .

IV. Monomiile care au aceeași parte de literă se numesc monoame similare.

Exemplu. Indicați monomii similare dintre monomiile date 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4,1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2bac; 5) 10aaa 2x; 6) -2,3a 4x; 7) 34x2y.

Dăm monomiile 1), 4) Și 5) la vizualizarea standard. Apoi linia acestor monomii va arăta astfel:

1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3bc; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4x; 7) 34x2y.

Similare vor fi cele care au aceeași parte de literă, adică. 1) și 3) ; 2) și 4); 5) și 6).

1) 3a 2 b 2 c și 3) 56a 2 b 2 c;

2) -4.1a 3bc și 4) 98,7a 3bc;

5) 10a 4 x și 6) -2,3a 4x.

Am observat că orice monom poate fi aduce la forma standard. În acest articol, vom înțelege ceea ce se numește reducerea unui monom la o formă standard, ce acțiuni permit realizarea acestui proces și vom lua în considerare soluțiile de exemple cu explicații detaliate.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă să aduci un monom la forma standard?

Este convenabil să lucrați cu monomii atunci când sunt scrise în formă standard. Cu toate acestea, monomiile sunt date destul de des într-o formă diferită de cea standard. În aceste cazuri, se poate trece întotdeauna de la monomul inițial la monomul de formă standard, efectuând transformări identice. Procesul de efectuare a unor astfel de transformări se numește aducerea monomiului la forma standard.

Să generalizăm raționamentul de mai sus. Aduceți monomiul la forma standard- asta înseamnă să faci astfel de transformări identice cu ea, astfel încât să ia o formă standard.

Cum se aduce monomiul la forma standard?

Este timpul să vă dați seama cum să aduceți monomii în forma standard.

După cum se știe din definiție, monomiile unei forme non-standard sunt produse ale numerelor, variabilelor și puterilor acestora și, eventual, ale celor repetate. Iar monomiul formei standard poate conține în înregistrarea sa doar un număr și variabile nerepetate sau gradele acestora. Acum rămâne de înțeles cum produsele din primul tip pot fi reduse la forma celui de-al doilea?

Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați următoarele regula pentru reducerea unui monom la forma standard constând din două etape:

• În primul rând, se realizează gruparea factorilor numerici, precum și a variabilelor identice și gradele acestora;
• În al doilea rând, produsul numerelor este calculat și aplicat.

Ca urmare a aplicării regulii menționate, orice monom va fi redus la forma standard.

Exemple, soluții

Rămâne să înveți cum să aplici regula din paragraful anterior atunci când rezolvi exemple.

Exemplu.

Aduceți monomiul 3·x·2·x 2 la forma standard.

Soluţie.

Să grupăm factorii numerici și factorii cu variabila x . După grupare, monomul original va lua forma (3 2) (x x 2) . Produsul numerelor din primele paranteze este 6, iar regula de înmulțire a puterilor cu aceleași baze permite ca expresia din a doua paranteză să fie reprezentată ca x 1 +2=x 3. Ca rezultat, obținem un polinom de forma standard 6·x 3 .

Iată un rezumat al soluției: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.

Răspuns:

3 x 2 x 2 =6 x 3 .

Deci, pentru a aduce un monom la o formă standard, este necesar să puteți grupa factorii, să efectuați înmulțirea numerelor și să lucrați cu puteri.

Pentru a consolida materialul, să rezolvăm încă un exemplu.

Exemplu.

Exprimați monomul în formă standard și indicați coeficientul acestuia.

Soluţie.

Monomiul original are un singur factor numeric -1 în notația sa, să-l mutăm la început. După aceea, grupăm factorii separat cu variabila a , separat - cu variabila b , și nu există nimic cu care să grupăm variabila m, lăsați-o așa cum este, avem . După efectuarea operațiilor cu grade între paranteze, monomul va lua forma standard de care avem nevoie, de unde puteți vedea coeficientul monomului, egal cu −1. Minus unu poate fi înlocuit cu un semn minus: .