Amintiți-vă informațiile necesare despre numerele complexe.

Număr complex este o expresie a formei A + bi, Unde A, b sunt numere reale și i- așa-zisul unitate imaginară, simbolul al cărui pătrat este -1, adică. i 2 = -1. Număr A numit parte reală, și numărul b - parte imaginară număr complex z = A + bi. Dacă b= 0, atunci în loc de A + 0i scrie simplu A. Se poate observa că numerele reale sunt un caz special de numere complexe.

Operațiile aritmetice pe numere complexe sunt aceleași ca pe cele reale: ele pot fi adunate, scăzute, înmulțite și împărțite între ele. Adunarea și scăderea se procedează conform regulii ( A + bi) ± ( c + di) = (A ± c) + (b ± d)i, și înmulțirea - conform regulii ( A + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (anunț + bc)i(aici se folosește doar așa i 2 = -1). Număr = A – bi numit conjugare complexa la z = A + bi. Egalitate z · = A 2 + b 2 vă permite să înțelegeți cum să împărțiți un număr complex la un alt număr complex (diferit de zero):

(De exemplu, .)

Numerele complexe au o reprezentare geometrică convenabilă și vizuală: numărul z = A + bi poate fi reprezentat ca un vector cu coordonate ( A; b) pe planul cartezian (sau, care este aproape același, un punct - capătul vectorului cu aceste coordonate). În acest caz, suma a două numere complexe este reprezentată ca suma vectorilor corespunzători (care poate fi găsită prin regula paralelogramului). După teorema lui Pitagora, lungimea vectorului cu coordonatele ( A; b) este egal cu . Această valoare este numită modul număr complex z = A + biși se notează cu | z|. Unghiul pe care îl face acest vector cu direcția pozitivă a axei x (numărat în sens invers acelor de ceasornic) se numește argument număr complex zşi notat cu Arg z. Argumentul nu este definit în mod unic, ci doar până la adăugarea unui multiplu de 2 π radiani (sau 360°, dacă numărați în grade) - la urma urmei, este clar că întoarcerea printr-un astfel de unghi în jurul originii nu va schimba vectorul. Dar dacă vectorul lungimii r formează un unghi φ cu direcția pozitivă a axei x, atunci coordonatele sale sunt egale cu ( r cos φ ; r păcat φ ). Prin urmare, se dovedește notație trigonometrică număr complex: z = |z| (cos(Arg z) + i păcat (Arg z)). Este adesea convenabil să scrieți numere complexe în această formă, deoarece simplifică foarte mult calculele. Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică pare foarte simplă: z unu · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i păcat (Arg z 1+arg z 2)) (la înmulțirea a două numere complexe se înmulțesc modulele acestora și se adună argumentele). De aici urmează Formule De Moivre: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i păcat( n(Arg z))). Cu ajutorul acestor formule, este ușor să înveți cum să extragi rădăcini de orice grad din numere complexe. Rădăcina a n-a grade față de numărul z este un număr atât de complex w, ce w n = z. Este clar că , Si unde k poate lua orice valoare din multime (0, 1, ..., n- unu). Aceasta înseamnă că există întotdeauna exact n rădăcini n gradul de la un număr complex (în plan sunt situate la vârfurile unui regulat n-gon).

Ocupaţie 12 . Numere complexe.

12.1. Definirea numerelor complexe în formă algebrică. Compararea și reprezentarea numerelor complexe pe plan complex. Conjugare complexă. Adunarea, înmulțirea, împărțirea numerelor complexe.

12.2. Modulul, argumentul unui număr complex.

12.3. Forme trigonometrice și exponențiale de scriere a unui număr complex.

12.4. Ridicarea la o putere întreagă și extragerea unei rădăcini dintr-un număr complex.

Definirea numerelor complexe în formă algebrică. Compararea și reprezentarea numerelor complexe pe plan complex. Conjugare complexă. Adunarea, înmulțirea, împărțirea numerelor complexe.

Un număr complex în formă algebrică este un număr

Unde
numit unitate imaginarăȘi
- numere reale:
numit parte reală (reala).;
- parte imaginară număr complex . Numerele complexe ale formei
numit pur numere imaginare . Mulțimea tuturor numerelor complexe este notă cu literă .

Prin definitie,

Mulțimea tuturor numerelor reale face parte din set
: . Pe de altă parte, există numere complexe care nu aparțin mulțimii . De exemplu,
Și
, deoarece
.

Numerele complexe în formă algebrică apar în mod natural la rezolvarea ecuațiilor pătratice cu un discriminant negativ.

Exemplul 1. rezolva ecuația
.

Soluţie. ,

Prin urmare, ecuația pătratică dată are rădăcini complexe

,
.

Exemplul 2. Găsiți părți reale și imaginare ale numerelor complexe

,

,
.

În consecință, părțile reale și imaginare ale numărului ,

Orice număr complex
reprezentat printr-un vector pe planul complex , reprezentând un plan cu un sistem de coordonate carteziene
. Începutul vectorului se află în punct , iar sfârșitul este în punctul cu coordonatele
(Figura 1.) Axa
se numește axa reală, iar axa
- axa imaginară a planului complex .

Numerele complexe sunt comparate între ele numai prin semne.
. . Dacă cel puțin una dintre egalități:
încălcat, atunci
. Intrări de tip
nu au sens.

Prin definiție, complex număr
se numește conjugatul complex al numărului
. În acest caz, scrieți
. Este evident că
. Peste tot mai jos, o bară deasupra unui număr complex va însemna o conjugare complexă.

De exemplu, .

Operații precum adunarea (scăderea), înmulțirea și împărțirea pot fi efectuate pe numere complexe.

1. Adunarea numerelor complexe se face astfel:

Proprietăți operațiuni de adăugare:

- proprietatea comutativitatii;

- Proprietatea asociativității.

Este ușor de observat că adăugarea geometrică a numerelor complexe
înseamnă adăugarea în plan a celor corespunzătoare acestora vectori conform regulii paralelogramului.

Operație de scădere a numărului din număr se face astfel:

2. Înmulțirea numerelor complexe se face astfel:

Proprietățile operației de înmulțire:

- proprietatea comutativitatii;

- proprietatea asociativitatii;

- legea distribuţiei.

3. Împărțirea numerelor complexe realizabil numai când
si se face asa:

.

Exemplul 3. A găsi
, dacă .

Exemplul 4. calculati
, dacă .

z, pentru că
.

.(ai!)

Este ușor de verificat (se propune să o faci singur) validitatea următoarelor afirmații:

Modulul, argumentul unui număr complex.

Modulul numărului complex
(modul notat ) este un număr nenegativ
, adică
.

sens geometric - lungimea vectorului reprezentând numărul pe plan complex . Ecuația
definește mulțimea tuturor numerelor (vectori per ) ale căror capete se află pe cercul unitar
.

Argumentul numărului complex
(argument notat
) este unghiul în radiani între axa reală
si numarul pe plan complex , și este pozitiv dacă se numără din
inainte de în sens invers acelor de ceasornic și negativ dacă măsurată de pe axă
inainte de în sensul acelor de ceasornic.

Deci argumentul numărului este definită ambiguu, până la termen
, Unde
. Cu siguranță un argument de număr definite într-o parcurgere a cercului unitar
la suprafata . De obicei, trebuie să găsești
în cadrul intervalului
,o astfel de valoare se numește valoarea principală a argumentului număr și notat
.

Și
numerele poate fi găsită din ecuație
, în care neapărat trebuie luate în considerareîn ce sfert de avion se află capătul vectorului - punct
:

dacă
(primul sfert de avion ), apoi ;

dacă
(al doilea sfert de avion ), apoi;

dacă
(al treilea sfert de avion ), apoi ;

dacă
(al patrulea sfert de avion ), apoi .

De fapt, modulul și argumentul numărului
, acestea sunt coordonatele polare
puncte
- sfârșitul vectorului la suprafata .

Exemplul 5. Găsiți modulul și valoarea principală a argumentului numere:

.

Argumente ale numerelor mincinoase axe
separând sferturile 1,2,3,4 din planul complex , se regăsesc imediat prin reprezentările grafice ale acestor numere în plan .

Forme trigonometrice și exponențiale de scriere a unui număr complex. Înmulțirea și împărțirea numerelor complexe în notație trigonometrică și exponențială.

Notație trigonometrică număr complex
se pare ca:

, (2)

Unde - modul, - argumentul numărului complex . O astfel de reprezentare a numerelor complexe rezultă din egalități.

Demonstrație(exponenţială) forma de notație a unui număr complex
se pare ca:

, (3)

Unde - modul, - argumentul numărului . Capacitatea de a reprezenta numere complexe în forma indicativa(3) rezultă din forma trigonometrică (2) și formula lui Euler:

. (4)

Această formulă este demonstrată în cadrul cursului TFKP (Teoria funcțiilor unei variabile complexe).

Exemplul 6. Găsiți forme trigonometrice și exponențiale ale numerelor complexe: din exemplul 5.

Soluţie. Să folosim rezultatele Exemplului 5, în care se găsesc modulele și argumentele tuturor numerelor indicate.

,

.

- forma trigonometrică a scrierii unui număr ,

- forma exponentiala (exponentiala) de scriere a unui numar .

3)

- forma trigonometrică a scrierii unui număr ,

- forma exponentiala (exponentiala) de scriere a unui numar .

Forma trigonometrică a scrierii unui număr ,

- forma exponentiala (exponentiala) de scriere a unui numar .

5)

- forma trigonometrică a scrierii unui număr ,

- forma exponentiala (exponentiala) de scriere a unui numar .

Forma trigonometrică a unui număr ,

.

7)

- forma trigonometrică a scrierii unui număr ,

- forma exponenţială (exponenţială) a unui număr .

- forma trigonometrică a scrierii unui număr ,

- forma exponentiala (exponentiala) de scriere a unui numar .

Forma exponențială de scriere a numerelor complexe conduce la următoarea interpretare geometrică a operațiilor de înmulțire și împărțire a numerelor complexe. Lasa
- forme exponenţiale ale numerelor
.

1. La înmulțirea numerelor complexe, modulele lor sunt înmulțite, iar argumentele sunt adăugate.

2. La împărțirea unui număr complex pe număr obține un număr complex , modul care este egal cu raportul de module , și argumentul - diferențe
argumente numerice
.

Ridicarea la o putere întreagă și extragerea unei rădăcini dintr-un număr complex.

Prin definitie,

Când este ridicat la o putere întreagă număr complex
, ar trebui să procedați după cum urmează: mai întâi găsiți modulul și argument acest număr; imagina în formă demonstrativă
; a găsi
făcând următorii pași

Unde . (cinci)

Cometariu. Argument
numerele
poate să nu aparțină intervalului
. În acest caz, în funcție de valoarea obținută găsiți valoarea principală argument

numerele
, adunând (sau scăzând) numărul
cu acest sens
, la

a aparținut intervalului
. După aceea, este necesar să se înlocuiască în formule (5) pe .

Exemplul 7. A găsi Și
, dacă
.

1)
=
(vezi numărul din exemplul 6).

2)
, Unde
.
.
.

Prin urmare, poate fi înlocuit cu și, deci

Unde
.

3)
, Unde
.
.

Să înlocuim pe . Prin urmare,

extragerea rădăcinilor gradul
dintr-un număr complex
efectuate după formula Moivre-Laplace

Numere complexe

Imaginar Și numere complexe. Abscisa si ordonata

număr complex. Conjugați numere complexe.

Operații cu numere complexe. Geometric

reprezentarea numerelor complexe. plan complex.

Modulul și argumentul unui număr complex. trigonometric

formă de număr complex. Operatii cu complexe

numere în formă trigonometrică. Formula Moivre.

Informații de bază despre imaginar Și numere complexe sunt date în secțiunea „Numere imaginare și complexe”. Necesitatea acestor numere de tip nou a apărut la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru acest cazD< 0 (здесь D– discriminant ecuație pătratică). Perioadă lungă de timp aceste numere nu au găsit o aplicație fizică, motiv pentru care au fost numite numere „imaginare”. Cu toate acestea, acum sunt foarte utilizate pe scară largă în diferite domenii ale fizicii.

și tehnologie: inginerie electrică, hidro- și aerodinamică, teoria elasticității etc.

Numere complexe sunt scrise ca:a+bi. Aici AȘi b – numere reale , dar i – unitate imaginară. e. i 2 = –1. Număr A numit abscisă, A b - ordonatănumăr complexa + b .Două numere complexea+biȘi a-bi numit conjuga numere complexe.

Principalele acorduri:

1. Număr realdarpoate fi scris și sub formănumăr complex:un + 0 i sau A - 0 i. De exemplu, intrările 5 + 0iși 5 - 0 iînseamnă același număr 5 .

2. Numărul complex 0 + binumit pur imaginar număr. Înregistrarebiînseamnă la fel ca 0 + bi.

3. Două numere complexea+bi Șic + disunt considerate egale dacăa = cȘi b = d. In caz contrar numerele complexe nu sunt egale.

Plus. Suma numerelor complexea+biȘi c + dise numește număr complex (a+c ) + (b+d ) eu .În acest fel, când se adaugă numerele complexe, abscisele și ordonatele lor sunt adăugate separat.

Această definiție urmează regulile pentru tratarea polinoamelor obișnuite.

Scădere. Diferența dintre două numere complexea+bi(redus) și c + di(scăzut) se numește număr complex (a-c ) + (b-d ) eu .

În acest fel, la scăderea a două numere complexe, abscisele și ordonatele acestora se scad separat.

Multiplicare. Produsul numerelor complexea+biȘi c + di se numește număr complex.

(ac-bd ) + (ad+bc ) eu .Această definiție provine din două cerințe:

1) numere a+biȘi c + diar trebui să se înmulțească ca algebric binoame,

2) număr iare principala proprietate:i 2 = – 1.

EXEMPLU ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Prin urmare, muncă

două numere complexe conjugate este egală cu realul

număr pozitiv.

Divizia. Împărțiți un număr complexa+bi (divizibil) cu altulc + di(divizor) - înseamnă a găsi al treilea număre + fi(chat), care, atunci când este înmulțit cu un divizorc + di, care are ca rezultat dividendula + b .

Dacă divizorul nu este zero, împărțirea este întotdeauna posibilă.

EXEMPLU Găsiți (8+i ) : (2 – 3 i) .

Soluție. Să rescriem acest raport ca o fracție:

Înmulțirea numărătorului și numitorului cu 2 + 3i

ȘI după efectuarea tuturor transformărilor, obținem:

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numere reale reprezentat prin puncte de pe dreapta numerică:

Aici este ideea Aînseamnă numărul -3, punctB este numărul 2 și O- zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte plan de coordonate. Pentru aceasta, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complexa+bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisă a si ordonata b (vezi fig.). Acest sistem de coordonate este numit plan complex .

modul număr complex se numește lungimea vectoruluiOP, ilustrând un număr complex pe coordonată ( integrat) avion. Modulul numărului complexa+bi notat cu | a+bi| sau scrisoare r

Folosind calculatorul

Pentru a evalua o expresie, trebuie să introduceți un șir pentru a evalua. La introducerea numerelor, separatorul zecimal este un punct. Se pot folosi paranteze. Operațiile pe numere complexe sunt înmulțirea (*), împărțirea (/), adunarea (+), scăderea (-), exponențiarea (^) și altele. Ca înregistrare a numerelor complexe, puteți utiliza forma exponențială și algebrică. Introduceți o unitate imaginară i posibil fără semn de înmulțire, în alte cazuri semnul de înmulțire este necesar, de exemplu, între paranteze sau între un număr și o constantă. Se pot folosi și constante: se introduce numărul π ca pi, exponentul e, orice expresii din exponent trebuie incluse între paranteze.

Exemplu de șir de calculat: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), care corespunde expresiei \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Calculatorul poate folosi constante, functii matematice, operațiuni suplimentare și multe altele expresii complexe, vă puteți familiariza cu aceste caracteristici pe pagina de reguli generale de utilizare a calculatoarelor de pe acest site.

Site-ul este în construcție, este posibil ca unele pagini să nu fie disponibile.

știri

07.07.2016
S-a adăugat calculator pentru rezolvarea sistemelor neliniare ecuații algebrice: .

30.06.2016
Site-ul are un design responsive, paginile sunt afișate adecvat atât pe monitoare mari, cât și pe dispozitive mobile.

Sponsor

RGOnline.ru - o soluție instantanee pentru lucrări electrice online.