Numere complexe este o extensie minimă a setului de familiare pentru noi numere reale. Diferența lor fundamentală este că apare un element care la pătrat dă -1, adică. eu, sau.
Orice număr complex are două părți: reale și imaginare:
Astfel, este clar că mulțimea numerelor reale coincide cu mulțimea numerelor complexe cu parte imaginară zero.
Cel mai popular model pentru mulțimea de numere complexe este planul obișnuit. Prima coordonată a fiecărui punct va fi partea sa reală, iar a doua - imaginară. Atunci rolul numerelor complexe în sine vor fi vectori cu începutul în punctul (0,0).
Operații pe numere complexe.
De fapt, dacă luăm în considerare modelul mulțimii numerelor complexe, intuitiv este clar că adunarea (scăderea) și înmulțirea a două numere complexe se realizează în același mod ca și operațiile corespunzătoare pe vectori. Și înseamnă produs vectorial vectori, deoarece rezultatul acestei operații este din nou un vector.
1.1 Adăugarea.
(După cum puteți vedea, această operație corespunde exact cu )
1.2 Scăderea, în mod similar, se efectuează după următoarea regulă:
2. Înmulțirea.
3. Diviziune.
Este pur și simplu definit ca operare inversă la inmultire.
Modulul unui număr complex z este următoarea mărime:
,
este evident că acesta, din nou, este pur și simplu modulul (lungimea) vectorului (a,b).
Cel mai adesea, modulul unui număr complex este notat ca ρ.
Se pare că
z = ρ(cosφ+isinφ).
Următoarele decurg direct din forma trigonometrică a scrierii unui număr complex. formule :
Ultima formulă se numește Formula De Moivre. Formula este derivată direct din ea. a n-a rădăcină a unui număr complex:
astfel, există n-a rădăcini ale numărului complex z.
Un număr complex este un număr de forma , unde și sunt numere reale, așa-numitele unitate imaginară. Numărul este sunat parte reala () număr complex, se numește numărul parte imaginară () număr complex.
Numerele complexe sunt afișate pe plan complex:
După cum am menționat mai sus, se obișnuiește să se desemneze setul de numere reale printr-o literă. Multe la fel numere complexe se obișnuiește să-l desemneze ca o literă „îngroșată” sau îngroșată. Prin urmare, litera ar trebui pusă pe desen, indicând faptul că avem un plan complex.
Forma algebrică a unui număr complex. Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor complexe
Adunarea numerelor complexe
Pentru a adăuga două numere complexe, adăugați părțile lor reale și imaginare:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).
Pentru numerele complexe, regula primei clase este valabilă: z 1 + z 2 \u003d z 2 + z 1 - suma nu se modifică din rearanjarea termenilor.
Scăderea numerelor complexe
Acțiunea este similară cu adăugarea, singura caracteristică este că subtrahendul trebuie luat între paranteze și apoi, ca standard, deschideți aceste paranteze cu o schimbare de semn:
z 1 + z 2 \u003d (a 1 - a 2) + i * (b 1 - b 2)
Înmulțirea numerelor complexe
Egalitatea de bază a numerelor complexe:
Produsul numerelor complexe:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
La fel ca suma, produsul numerelor complexe este permuabil, adică egalitatea este adevărată: .
Împărțirea numerelor complexe
Se efectuează împărțirea numerelor prin înmulțirea numitorului și numărătorului cu expresia conjugată a numitorului.
2 Întrebare. plan complex. Modulul și argumentele numerelor complexe
Fiecare număr complex z = a + i*b poate fi asociat cu un punct cu coordonate (a;b) și invers, fiecare punct cu coordonate (c;d) poate fi asociat cu un număr complex w = c + i* d . Astfel, se stabilește o corespondență unu-la-unu între punctele planului și mulțimea numerelor complexe. Prin urmare, numerele complexe pot fi reprezentate ca puncte într-un plan. Planul pe care sunt desenate numerele complexe este de obicei numit plan complex.
Cu toate acestea, mai des numerele complexe sunt descrise ca un vector cu originea în punctul O, și anume, numărul complex z \u003d a + i * b este reprezentat de vectorul rază a punctului cu coordonatele (a; b). În acest caz, imaginea numerelor complexe din exemplul anterior va fi astfel: 
Imaginea sumei a două numere complexe , este un vector egal cu suma vectorilor reprezentând numerele și . Cu alte cuvinte, atunci când se adună numere complexe, se adaugă și vectorii care le reprezintă.
Fie numărul complex z = a + i*b reprezentat printr-un vector cu rază. Atunci se numește lungimea acestui vector modul numărul z și se notează cu |z| .
|
|
Se numește unghiul format de vectorul rază al unui număr cu axa argument numere și se notează cu arg z . Argumentul număr nu este definit în mod unic, ci până la un multiplu de . Cu toate acestea, de obicei argumentul este dat în intervalul 0 sau în intervalul -to. În plus, argumentul numărului nu este definit.
Folosind această relație, puteți găsi argumentul unui număr complex:
în plus, prima formulă este valabilă dacă imaginea numărului se află în primul sau al patrulea trimestru, iar a doua, dacă este în al doilea sau al treilea. Dacă , atunci numărul complex este reprezentat de un vector pe axa Oy și argumentul său este /2 sau 3*/2.
Obținem o altă formulă utilă. Fie z = a + i*b . Apoi ,
Definim produsul a doua numere complexe la fel ca produsul numerelor reale si anume: produsul este considerat ca un numar compus dintr-un multiplicand, ca un factor este compus din unitate.
Vectorul corespunzător unui număr complex cu modul și argument poate fi obținut din vector unitar, a cărui lungime este egală cu unu și a cărei direcție coincide cu direcția pozitivă a axei OX, prin alungirea ei cu un factor și rotirea în sens pozitiv cu un unghi
Produsul unui vector de un vector este vectorul care se va obține dacă vectorului i se aplică extensia și rotația de mai sus, cu ajutorul căruia vectorul se obține dintr-un vector unitar, iar acesta din urmă corespunde în mod evident unei unități reale. .
Dacă esența sunt module și argumente ale numerelor complexe corespunzătoare vectorilor, atunci produsul acestor vectori va corespunde în mod evident unui număr complex cu modul și argument . Ajungem astfel la următoarea definiție a produsului numerelor complexe:
Produsul a două numere complexe este un astfel de număr complex, al cărui modul este egal cu produsul modulelor factorilor și argumentul este suma argumentelor factorilor.
Astfel, în cazul în care numerele complexe sunt scrise în formă trigonometrică, vom avea
Acum derivăm regula pentru compilarea unui produs pentru cazul în care numerele complexe nu sunt date în formă trigonometrică:
Folosind notația de mai sus pentru module și argumente ale factorilor, putem scrie
conform definiției înmulțirii (6):
și în sfârșit obținem
În cazul în care factorii sunt numere reale iar produsul se reduce la produsul ahag acestor numere. În acest caz, egalitatea (7) dă
adică pătratul unității imaginare este
Calculând puteri întregi pozitive consecutiv , obținem
și, în general, pentru fiecare număr întreg pozitiv
Regula înmulțirii exprimată prin egalitate (7) poate fi formulată astfel: numerele complexe trebuie înmulțite ca polinoame literale, având în vedere
Dacă a este un număr complex, atunci numărul complex se numește conjugatul lui a și este notat cu a. Conform formulelor (3), avem din egalitatea (7) rezultă
si in consecinta,
adică produsul numerelor complexe conjugate este egal cu pătratul modulului fiecăruia dintre ele.
Să notăm și formulele evidente
Din formulele (4) și (7) rezultă direct că adunarea și înmulțirea numerelor complexe respectă legea comutativă, adică suma nu depinde de ordinea termenilor, iar produsul nu depinde de ordinea factorilor. . Nu este greu de verificat valabilitatea legilor asociative și distributive exprimate prin următoarele identități:
Lăsăm asta cititorului.
În sfârșit, rețineți că produsul mai multor factori va avea un modul egal cu produsul modulelor factorilor și un argument egal cu suma argumentelor factorilor. Astfel, produsul numerelor complexe va fi egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.
În timp ce adăugarea și scăderea numerelor complexe este mai convenabil de făcut forma algebrică, înmulțirea și împărțirea sunt mai ușor de efectuat folosind forma trigonometrică a numerelor complexe.
Luați două numere complexe arbitrare date în formă trigonometrică:
Înmulțind aceste numere, obținem:
Dar după formulele de trigonometrie
Astfel, atunci când numerele complexe sunt înmulțite, modulele lor sunt înmulțite, iar argumentele
aduna. Întrucât în acest caz modulele sunt convertite separat, iar argumentele - separat, înmulțirea în forma trigonometrică este mai ușoară decât în cea algebrică.
Ecuația (1) implică relațiile:
Deoarece împărțirea este inversul înmulțirii, obținem asta
Cu alte cuvinte, modulul coeficientului este egal cu raportul dintre modulele dividendului și divizorului, iar argumentul coeficientului este diferența dintre argumentele dividendului și divizorului.
Să ne oprim acum la sens geometricînmulțirea numerelor complexe. Formulele (1) - (3) arată că pentru a găsi produsul, trebuie mai întâi să măriți modulul numărului de ori fără a-i schimba argumentul și apoi să creșteți argumentul numărului rezultat fără a-i schimba modulul. Prima dintre aceste operații înseamnă geometric o homotezie față de punctul O cu un coeficient, iar a doua - o rotație față de punctul O cu un unghi egal cu Considerând aici un factor este constant și celălalt este variabil, putem formula rezultatul astfel: formula
Produsul a două numere complexe este asemănător cu produsul a două numere reale și anume: produsul este considerat ca un număr format dintr-un multiplicand, la fel cum un factor este format dintr-un singur. Vectorul corespunzător unui număr complex cu modul r și argument j poate fi obținut dintr-un vector unitar a cărui lungime este egală cu unu și a cărui direcție coincide cu direcția pozitivă a axei OX prin alungirea lui de r ori și rotirea lui în sens pozitiv. printr-un unghi j. Produsul unui vector a 1 și vector a 2 este vectorul care se va obține dacă aplicăm alungire și rotație vectorului a 1, cu ajutorul căruia se obține vectorul a 2 dintr-un vector unitar, iar acesta din urmă evident corespunde unei unități reale. Dacă (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) sunt module și argumente ale unor numere complexe corespunzătoare vectorilor a 1 și a 2 , atunci produsul acestor vectori va corespunde în mod evident unui număr complex cu modulul r 1 r 2 și argument (j1 + j2). Astfel, produsul a două numere complexe este un astfel de număr complex, al cărui modul este egal cu produsul modulelor factorilor și argumentul este suma argumentelor factorilor.
În cazul în care numerele complexe sunt scrise în formă trigonometrică, vom avea
r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.
În cazul (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi, folosind notația modulelor și argumentele factorilor, putem scrie:
a 1 = r 1 cos? unu ; b 1 \u003d r 1 păcat? unu ; a 2 = r 2 cos? 2; b 2 \u003d r 2 sin? 2;
conform definiției înmulțirii:
x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),
x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 păcat? 1 r 2 păcat? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (sin? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 sin? 1 r 2 cos? 2 + r1 cos? 1 r 2 păcat? 2 \u003d b 1 a 2 + a 1 b 2,
si in final obtinem:
(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) i.
În cazul b 1 = b 2 = 0, factorii sunt numere reale a 1 și a 2 și produsul se reduce la produsul a 1 a 2 al acestor numere. Când
a 1 = a 2 = 0 și b 1 = b 2 = 1,
egalitatea (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I dă: i???i = i 2 = -1, adică. pătratul unității imaginare este -1. Calculând puteri întregi pozitive succesiv ale lui i, obținem:
i 2 \u003d -1; i 3 \u003d -i; i4 = 1; i 5 = i; i 6 = -1; ...
și, în general, pentru orice k pozitiv:
i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i
Regula înmulțirii exprimată prin egalitatea (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) \u003d (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) pot se formulează astfel: numerele complexe trebuie înmulțite ca polinoame literale, numărând i 2 = -1.
Din formulele de mai sus rezultă direct că adunarea și înmulțirea numerelor complexe se supun legii comutative, i.e. suma nu depinde de ordinea termenilor, iar produsul nu depinde de ordinea factorilor. Nu este greu de verificat valabilitatea legilor asociative și distributive exprimate prin următoarele identități:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
Produsul mai multor factori va avea un modul egal cu produsul modulelor factorilor și un argument egal cu suma argumentelor factorilor. Astfel, produsul numerelor complexe va fi egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.
Exemplu: numere complexe date z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. A găsi:
a) z 1 + z 2; b) z 1 - z 2; c) z 1 z 2 .
a) z 1 + z 2 \u003d (2 + 3i) + (5 - 7i) \u003d 2 + 3i + 5 - 7i \u003d (2 + 5) + (3i - 7i) \u003d 7 - 4i; b) z 1 - z 2 \u003d (2 + 3i) - (5 - 7i) \u003d 2 + 3i - 5 + 7i \u003d (2 - 5) + (3i + 7i) \u003d - 3 + 10i; c) z 1 z 2 \u003d (2 + 3i) (5 - 7i) \u003d 10 - 17i + 15i - 21i 2 \u003d 10 - 14i + 15i + 21 \u003d (10 + 21) + (- 14i) ) \u003d 31 + i (aici se ia în considerare faptul că i 2 = - 1).
Exemplu: faceți următoarele:
a) (2 + 3i)2; b) (3 - 5i)2; c) (5 + 3i) 3 .
a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2×2×3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 \u003d 9 - 2H3H5i + 25i 2 \u003d 9 - 30i - 25 \u003d - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 \u003d 125 + 3×25×3i + 3×5×9i 2 + 27i 3; deoarece i 2 \u003d - 1 și i 3 \u003d - i, atunci obținem (5 + 3i) 3 \u003d 125 + 225i - 135 - - 27i \u003d - 10 + 198i.
Exemplu: efectuați acțiuni
a) (5 + 3i)(5 - 3i); b) (2 + 5i)(2 - 5i); c) (1 + i)(1 - i).
a) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i)(2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i)(1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.