În această lecție, ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs încrucișat al vectorilorȘi produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). E în regulă, se întâmplă uneori ca pentru fericire deplină, pe lângă produs scalar al vectorilor, este nevoie din ce în ce mai mult. Așa este dependența de vectori. Se poate avea impresia că intrăm în jungla geometriei analitice. Nu este adevarat. În această secțiune a matematicii superioare, în general există puține lemne de foc, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai dificil decât același produs scalar, chiar și vor fi mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor vedea sau au văzut deja, este să nu greșești CALCULELE. Repetați ca o vrajă și veți fi fericit =)

Dacă vectorii scânteie undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restabili sau redobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv, am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în munca practica

Ce te va face fericit? Când eram mică, puteam jongla cu două și chiar trei bile. A mers bine. Acum nu este nevoie să jonglam deloc, deoarece vom lua în considerare numai vectori spațiali , iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și în care funcționează spatiu tridimensional. Deja mai ușor!

În această operație, în același mod ca și în produsul scalar, doi vectori. Să fie litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notatîn felul următor: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să desemnez produsul încrucișat al vectorilor în acest fel, între paranteze drepte cu cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produs scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci Care este diferența? O diferență clară, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este un NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este un VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici și numele operațiunii. În diverse literatură educațională notația poate varia, de asemenea, voi folosi litera .

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiție: produs încrucișat necoliniare vectori, luate în această ordine, se numește VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Analizăm definiția după oase, sunt o mulțime de lucruri interesante!

Deci, putem evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectori sursă, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Vectorii luați într-o ordine strictă: – „a” se înmulțește cu „fi”, nu „fi” la „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR , care este notat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, atunci obținem un vector egal în lungime și opus în direcție (culoare purpurie). Adică egalitatea .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu ) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectorii . În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Notă : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului încrucișat nu este egală cu aria paralelogramului.

Ne amintim unul dintre formule geometrice: aria unui paralelogram este egală cu produsul partidele adiacente prin sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula pentru calcularea LUNGIMEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că în formulă vorbim despre LUNGIMEA vectorului, și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este de așa natură încât, în problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Obținem a doua formulă importantă. Diagonala paralelogramului (linia punctată roșie) îl împarte în două triunghi egal. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită prin formula:

4) Nu mai puțin de fapt important este că vectorul este ortogonal cu vectorii, adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata purpurie) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază Are dreapta orientare. Într-o lecție despre trecerea la o nouă bază Am vorbit în detaliu despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama care este orientarea spațiului. Îți voi explica pe degete mana dreapta. Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector . Degetul inelar și degetul mic apăsați în palmă. Ca rezultat deget mare - produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este baza orientată spre dreapta (este în figură). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. Poate aveți o întrebare: ce bază are o orientare spre stânga? „Atribuiți” aceleași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea spațiului stâng (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, cea mai obișnuită oglindă schimbă orientarea spațiului și, dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci, în general, nu va fi posibil să combinați-l cu „originalul”. Apropo, aduceți trei degete la oglindă și analizați reflexia ;-)

... cât de bine este despre care știi acum orientat spre dreapta si stanga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre schimbarea de orientare sunt groaznice =)

Produs vectorial al vectorilor coliniari

Definiția a fost elaborată în detaliu, rămâne de aflat ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci pot fi plasați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „pliază” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenerat paralelogramul este zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero

Astfel, dacă , atunci Și . Vă rugăm să rețineți că produsul încrucișat în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și scris că este, de asemenea, egal cu zero.

Un caz special este produsul vectorial al unui vector și însuși:

Folosind produsul încrucișat, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.

Pentru a rezolva exemple practice, poate fi necesar tabel trigonometric pentru a afla valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să pornim un foc:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod intenționat datele inițiale din elementele de stare la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) După condiție, se cere să se constate lungime vector (produs vectorial). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Deoarece a fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) După condiţie se cere să se constate zonă paralelogram construit pe vectori . Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului încrucișat:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că în răspunsul despre produsul vectorial nu se vorbește deloc, despre care am fost întrebați zona figurii, respectiv, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie să fie găsit de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar Răspuns. Poate părea literalism, dar există destui literaliști printre profesori, iar sarcina cu șanse mari va reveni pentru revizuire. Deși aceasta nu este o problemă deosebit de tensionată - dacă răspunsul este incorect, atunci avem impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a aprofundat în esența sarcinii. Acest moment trebuie ținut mereu sub control, rezolvând orice problemă matematica superioara si la alte materii.

Unde s-a dus litera mare „en”? În principiu, ar putea fi în plus lipit de soluție, dar pentru a scurta înregistrarea, nu am făcut-o. Sper că toată lumea înțelege asta și este denumirea aceluiași lucru.

Un exemplu popular pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, triunghiurile pot fi în general torturate.

Pentru a rezolva alte probleme, avem nevoie de:

Proprietăți ale produsului încrucișat al vectorilor

Am luat în considerare deja unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectori arbitrari și număr arbitrar următoarele proprietăți sunt valabile:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei distins în proprietăți, dar este foarte important din punct de vedere practic. Asa ca lasa sa fie.

2) - mai sus se discuta si proprietatea, uneori se numeste anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) - combinație sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele sunt ușor scoase din limitele produsului vectorial. Serios, ce fac ei acolo?

4) - distributie sau distributie legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Ca o demonstrație, luați în considerare un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Soluţie: Prin condiție, este din nou necesar să se găsească lungimea produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, scoatem constantele dincolo de limitele produsului vectorial.

(2) Scoatem constanta din modul, în timp ce modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Ceea ce urmează este clar.

Răspuns:

E timpul să aruncăm lemne pe foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Soluţie: Găsiți aria unui triunghi folosind formula . Problema este că vectorii „ce” și „te” sunt ei înșiși reprezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției. Produsul punctual al vectorilor. Să o împărțim în trei pași pentru claritate:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, exprimă vectorul în termeni de vector. Nu există încă niciun cuvânt despre lungime!

(1) Înlocuim expresii ale vectorilor .

(2) Folosind legi distributive, deschideți parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, scoatem toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, acțiunile 2 și 3 pot fi efectuate simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății plăcute . În al doilea termen, folosim proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca rezultat, vectorul s-a dovedit a fi exprimat printr-un vector, care era ceea ce trebuia să fie realizat:

2) La a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune este similară cu Exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului necesar:

Pașii 2-3 ai soluției ar putea fi aranjați într-o singură linie.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în munca de control, iată un exemplu pentru o soluție de tip do-it-yourself:

Exemplul 5

Găsiți dacă

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

, dat în baza ortonormală , este exprimat prin formula:

Formula este foarte simplă: scriem vectorii de coordonate în linia superioară a determinantului, „împachetăm” coordonatele vectorilor în a doua și a treia linie și punem în ordine strictă- mai întâi, coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci liniile ar trebui, de asemenea, schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
dar)
b)

Soluţie: Testul se bazează pe una dintre afirmațiile din această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor încrucișat este zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Deci vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Aici, probabil, sunt toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Aceasta sectiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul se va baza pe definiție, sens geometricși câteva formule de lucru.

Produsul mixt al vectorilor este produsul a trei vectori:

Așa s-au aliniat ca un tren și așteaptă, nu pot aștepta până vor fi calculate.

În primul rând, definiția și imaginea:

Definiție: produs amestecat necoplanare vectori, luate în această ordine, se numește volumul paralelipipedului, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „-” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt trasate de o linie punctată:

Să ne aruncăm în definiție:

2) Vectorii luați într-o anumită ordine, adică permutarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu este fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi remarca faptul evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi oarecum diferit, am folosit pentru a desemna un produs mixt prin, iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

Prin definitie produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul paralelipipedului dat.

Notă : Desenul este schematic.

4) Să nu ne mai chinuim cu conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. Cu cuvinte simple, produsul amestecat poate fi negativ: .

Formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori rezultă direct din definiție.

Definiție. Numărul [, ] se numește produsul mixt al unui triplu ordonat de vectori, .

Notăm: (,) = = [, ].

Deoarece produsele vectoriale și scalare sunt implicate în definirea produsului mixt, acestea proprietăți generale sunt proprietăți ale produsului amestecat.

De exemplu, () = ().

Teorema 1. Produsul mixt a trei vectori coplanari este zero.

Dovada. Dacă tripletul dat de vectori este coplanar, atunci una dintre următoarele condiții este îndeplinită pentru vectori.

• 1. Acest triplu de vectori conține cel puțin un vector zero. În acest caz, demonstrația teoremei este evidentă.
• 2. Acest triplu de vectori conține cel puțin o pereche de vectori coliniari. Dacă ||, atunci [, ] = 0, deoarece [, ]= . Dacă

|| , atunci [, ] și [, ] = 0. În mod similar, dacă || .

3. Fie triplul de vectori dat să fie coplanar, dar cazurile 1 și 2 nu sunt satisfăcute. Atunci vectorul [, ] va fi perpendicular pe planul pe care toți cei trei vectori, .

Prin urmare, [, ] și (,) = 0.

Teorema 2. Fie dați vectorii (), (), () în baza (). Apoi

Dovada. Conform definiției unui produs mixt

(,) = [, ] = s 1 - s 2 + s 3 = .

Datorită proprietăților determinantului, avem:

Teoremă demonstrată.

Teorema 3. (,) = [, ].

Dovada. pentru că

iar în virtutea proprietăților determinantului avem:

(,) = = = [, ] = [, ].

Teoremă demonstrată.

Teorema 4. Modulul produsului mixt al unui triplu necoplanar de vectori este numeric egal cu volumul paralelipipedului construit pe reprezentanți ai acestor vectori cu origine comună.

Dovada. Alegem un punct arbitrar O și lăsăm deoparte din el reprezentanții acestor vectori, : , . În planul OAB, construim un paralelogram OADB și, prin adăugarea unui OS de margine, construim un paralelipiped OADBCADB. Volumul V al acestui paralelipiped este egal cu produsul dintre aria bazei ОАDB și lungimea înălțimii paralelipipedului ОО.

Aria paralelogramului ОАDB este egală cu |[, ]|. Pe de altă parte

|OO| = || |cos |, unde este unghiul dintre vectori și [, ].

Luați în considerare modulul de produs mixt:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Teorema a fost demonstrată.

Observație 1. Dacă produsul mixt al unui triplu de vectori este egal cu zero, atunci acest triplu de vectori este dependent liniar.

Observația 2. Dacă produsul mixt al unui triplu dat de vectori este pozitiv, atunci triplul de vectori este drept, iar dacă este negativ, atunci triplul de vectori este stânga. Într-adevăr, semnul produsului mixt coincide cu semnul cos , iar mărimea unghiului determină orientarea triplu-lui, . Dacă unghiul este ascuțit, atunci triplul este drept, iar dacă este un unghi obtuz, atunci triplul este stânga.

Exemplul 1 Dat un paralelipiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 și coordonatele următorilor vectori într-o bază ortonormală: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Aflați: 1) volumul paralelipipedului;

• 2) zonele feței ABCD și CDD 1 C;
• 3) cosinusul unghiului diedric dintre planele ABC și CDD 1 .

Soluţie.

Această casetă este construită pe vectori

Astfel, volumul său este egal cu modulul produsului mixt al acestor vectori, adică.

Deci, V abur \u003d 12 unități cubice.

Amintiți-vă că aria unui paralelogram este egală cu lungimea produsului încrucișat al vectorilor pe care este construit.

Introducem notația: , apoi

Prin urmare, (6; - 8; - 2), de unde

Acea. unitate mp

De asemenea,

Lasă atunci

de unde (15; - 20; 1) și

Deci unități mp.

Să introducem următoarea notație: sq. (ABC)=, pl. (DCC 1)=.

Conform definiției unui produs vectorial, avem:

Deci următoarea egalitate este adevărată:

Din al doilea punct al soluției avem:

Demonstrați că dacă, sunt reciproc perpendiculare vectori unitari, atunci pentru orice vector și egalitatea este adevărată:

Soluţie.

Fie în baza ortonormală, coordonatele vectorilor sunt date: ; . Deoarece, prin proprietatea produsului mixt, avem:

Astfel, egalitatea (1) poate fi scrisă sub următoarea formă: , iar aceasta este una dintre proprietățile demonstrate ale produsului vectorial al vectorilor și. Astfel, se dovedește valabilitatea egalității (1).

Rezolvarea versiunii zero a lucrării de control

Sarcina numărul 1

Vectorul se formează cu vectorii de bază și, respectiv, unghiurile și. Determinați unghiul pe care îl formează un vector cu un vector.

Soluţie.

Să construim un paralelipiped pe vectori și pe o diagonală, astfel încât vectorii și să fie egali.

Apoi în triunghi dreptunghic cu un unghi drept, mărimea unghiului este, de unde.

În mod similar, într-un triunghi dreptunghic cu unghi drept, mărimea este, de unde.

Într-un triunghi dreptunghic, conform teoremei lui Pitagora, găsim:

Într-un triunghi dreptunghic cu unghi drept, catetul și ipotenuza. Deci unghiul este egal. Dar unghiul este egal cu unghiul dintre vectori și. Astfel, problema este rezolvată.

Sarcina numărul 2.

Trei vectori sunt dați, în bază,. Demonstrați că patrulaterul este plat. Găsiți-i zona.

Soluţie.

1. Dacă vectorii și sunt coplanari, atunci este un patrulater plat. Să calculăm determinantul compus din coordonatele acestor vectori.

Deoarece determinantul este zero, vectorii și sunt coplanari, ceea ce înseamnă că patrulaterul este plat.

2. Rețineți că, prin urmare, și astfel patrulaterul este un trapez cu bazele AB și CD.

Prin proprietatea produsului vectorial avem:

Găsirea produsului vectorial

Sarcina numărul 3. Găsiți un vector coliniar cu vectorul (2; 1; -2) a cărui lungime este 5.

Soluţie.

Să notăm coordonatele vectorului (x, y, z). După cum știți, coordonatele vectorilor coliniari sunt proporționale și, prin urmare, avem:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

După starea problemei || = 5 și sub formă de coordonate:

Exprimând variabilele în termeni de parametru t, obținem:

4t2+t2+4t2=25,

În acest fel,

x = , y = , z = .

Avem două soluții.

The calculator online calculează produsul mixt al vectorilor. dat soluție detaliată. Pentru a calcula produsul mixt al vectorilor, selectați metoda de reprezentare a vectorilor (prin coordonate sau prin două puncte), introduceți datele în celule și faceți clic pe „Calculați”.

×

Un avertisment

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623 etc.), numere zecimale (de ex. 67, 102,54 etc.) sau fracții. Fracția trebuie scrisă sub forma a/b, unde a și b (b>0) sunt numere întregi sau numere zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

Produsul mixt al vectorilor (teorie)

produs mixt a trei vectori este numărul care rezultă din produsul scalar al rezultatului produsului încrucișat al primilor doi vectori și al celui de-al treilea vector. Cu alte cuvinte, dat fiind trei vectori a, bȘi c, apoi pentru a obține produsul mixt al acestor vectori, mai întâi primii doi vectori și vectorul rezultat [ ab] este scalar înmulțit cu vectorul c.

Produs mixt a trei vectori a, bȘi c notat astfel: abc sau așa ( a,b,c). Atunci poti scrie:

abc=([ab],c)

Înainte de a formula o teoremă reprezentând semnificația geometrică a unui produs mixt, familiarizați-vă cu conceptele de triplă dreaptă, triplă stângă, sistem de coordonate drept, sistem de coordonate stânga (definițiile 2, 2" și 3 pe pagina online a produsului vectorial). ).

Pentru certitudine, în cele ce urmează vom lua în considerare doar sistemele de coordonate drepte.

Teorema 1. Produs mixt al vectorilor ([ab],c) este egal cu volumul paralelipedului construit pe vectori redusi la o origine comuna a, b, c, luat cu semnul plus, dacă triplul a, b, c dreapta, iar cu semnul minus dacă triplul a, b, c stânga. Dacă vectorii a, b, c sunt coplanare, atunci ([ ab],c) este zero.

Corolarul 1. Următoarea egalitate este valabilă:

Prin urmare, este suficient să dovedim asta

([ab],c)=([bc],A)

(3)

Din expresia (3) se poate observa că părțile din stânga și din dreapta sunt egale cu volumul paralelipedului. Dar și semnele părților drepte și stângi coincid, deoarece triplele vectorilor abcȘi bca au aceeasi orientare.

Egalitatea dovedită (1) ne permite să scriem produsul mixt a trei vectori a, b, c doar în formă abc, fără a specifica care doi vectori sunt înmulțiți vectorial cu primii doi sau cu ultimii doi.

Corolarul 2. Necesar și condiție suficientă coplanaritatea a trei vectori este egalitatea cu zero a produsului lor mixt.

Dovada rezultă din teorema 1. Într-adevăr, dacă vectorii sunt coplanari, atunci produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero. În schimb, dacă produsul mixt este egal cu zero, atunci coplanaritatea acestor vectori rezultă din teorema 1 (deoarece volumul unui paralelipiped construit pe vectori reduși la o origine comună este egal cu zero).

Corolarul 3. Produsul mixt a trei vectori, dintre care doi sunt la fel, este egal cu zero.

Într-adevăr. Dacă doi dintre cei trei vectori sunt la fel, atunci ei sunt coplanari. Prin urmare, produsul mixt al acestor vectori este zero.

Produs mixt al vectorilor în coordonate carteziene

Teorema 2. Fie trei vectori a, bȘi c definite de coordonatele lor dreptunghiulare carteziene

Dovada. produs mixt abc este egal cu produsul scalar al vectorilor [ ab] Și c. produs vectorial vectori [ ab] în coordonate carteziene se calculează prin formula ():

Ultima expresie poate fi scrisă folosind determinanți de ordinul doi:

este necesar și suficient ca determinantul să fie egal cu zero, ale cărui rânduri sunt completate cu coordonatele acestor vectori, adică:

.

(7)

Pentru a demonstra corolarul, este suficient să luăm în considerare formula (4) și Corolarul 2.

Produs mixt de vectori cu exemple

Exemplul 1. Aflați produsul mixt al vectorilor abs, Unde

Produs mixt al vectorilor a, b, c egal cu determinantul matricei L. Calculați determinantul matricei L, extinzând determinantul de-a lungul rândului 1:

Punct final vectorial A.

Produs mixt al vectorilor se numește număr egal cu produsul scalar al unui vector și produsul vectorial al vectorilor. Este indicat produsul amestecat.

1. Modulul produsului mixt al vectorilor necoplanari este egal cu volumul paralelipipedului construit pe acești vectori. Produsul este pozitiv dacă triplul vectorilor este drept și negativ dacă triplul este stânga și invers.

2. Produsul mixt este zero dacă și numai dacă vectorii sunt coplanari:

vectorii sunt coplanari.

Să demonstrăm prima proprietate. Prin definiție, găsim produsul mixt: , unde este unghiul dintre vectorii și. Modulul produsului încrucișat (conform proprietății geometrice 1) este egal cu aria paralelogramului construit pe vectori și: . De aceea. Valoarea algebrică a lungimii proiecției vectorului pe axa specificată de vector este egală în valoare absolută cu înălțimea paralelipipedului construit pe vectori (Fig. 1.47). Prin urmare, modulul produsului amestecat este egal cu volumul acestui paralelipiped:

Semnul produsului mixt este determinat de semnul cosinusului unghiului. Dacă triplul este corect, atunci produsul amestecat este pozitiv. Dacă este triplu, atunci și produsul amestecat este negativ.

Să demonstrăm a doua proprietate. Egalitatea este posibilă în trei cazuri: sau (adică), sau (adică, vectorul aparține planului vectorial și). În fiecare caz, vectorii sunt coplanari (vezi Secțiunea 1.1).

Produsul mixt a trei vectori este un număr egal cu produsul vectorial al primilor doi vectori, înmulțit scalar cu vectorul. Poate fi reprezentat ca vectori ca acesta

Deoarece vectorii în practică sunt dați sub formă de coordonate, produsul lor mixt este egal cu determinantul construit pe coordonatele lor Deoarece produsul vectorial este anticomutativ și produs scalar comutativ, atunci permutarea ciclică a vectorilor din produsul mixt nu își modifică valoarea. Schimbarea a doi vectori vecini inversează semnul

Produsul mixt al vectorilor este pozitiv dacă formează un triplu drept și negativ dacă formează un triplu stâng.

Proprietățile geometrice ale produsului amestecat 1. Volumul unui paralelipiped construit pe vectori este egal cu modulul produsului mixt al acestor vârste tori.2. Volumul unei piramide patruunghiulare este egal cu o treime din modulul produsului amestecat 3. Volumul unei piramide triunghiulare este egal cu o șesime din modulul produsului mixt 4. Vectori planari dacă și numai dacă În coordonate, condiția de comparație înseamnă că determinantul este egal cu zero Pentru asimilarea practică, luați în considerare exemple. Exemplul 1

Determinați ce triplu (dreapta sau stânga) sunt vectorii

Soluţie.

Găsiți produsul mixt al vectorilor și aflați prin semn ce triplu de vectori formează aceștia

Vectorii formează un triplu drept Vectorii formează un triplu dreptVectorii formează un triplu stâng Acești vectori sunt dependenți liniar.. Un produs mixt de trei vectori. Produsul mixt a trei vectori este numărul

Proprietatea geometrică a produsului mixt:

Teorema 10.1. Volumul unui paralelipiped construit pe vectori este egal cu modulul produsului mixt al acestor vectori

sau volumul unui tetraedru (piramidă) construit pe vectori este egal cu o șesime din modulul produsului mixt

Dovada. Din geometria elementară se știe că volumul unui paralelipiped este egal cu produsul dintre înălțimea și aria bazei

Aria bazei paralelipipedului S este egală cu aria unui paralelogram construit pe vectori (vezi Fig. 1). Folosind

Orez. 1. La demonstrarea teoremei 1. semnificația geometrică a produsului vectorial al vectorilor obținem că

Din aceasta se obtine Daca triplul vectorilor se lasa, atunci vectorul si vectorul sunt indreptati invers, atunci sau Astfel, se demonstreaza in treacat ca semnul produsului mixt determina orientarea triplul vectorilor (triplu este dreapta iar tripla este stânga). Să demonstrăm acum a doua parte a teoremei. Din fig. 2 este evident că volumul unei prisme triunghiulare construite pe trei vectori este egal cu jumătate din volumul unui paralelipiped construit pe acești vectori, adică
Orez. 2. Despre demonstrarea teoremei 1.

Dar o prismă este formată din trei piramide de același volum OABC, ABCDȘi ACDE. Într-adevăr, volumele piramidelor ABCDȘi ACDE egale pentru că au baze egale BCDȘi CDEși aceeași înălțime a căzut de sus A. Același lucru este valabil și pentru înălțimile și bazele piramidelor OABC și ACDE. De aici

Produs mixt (sau vector-scalar). trei vectori a, b, c (luați în această ordine) se numesc produsul scalar al vectorului a și produsul vectorial b x c, adică numărul a(b x c), sau, care este același, (b x c)a.
Denumire: abc.

Programare. Calculatorul online este conceput pentru a calcula produsul mixt al vectorilor. Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word. În plus, un șablon de soluție este creat în Excel.

Semne de comparație vectorială

Trei vectori (sau Mai mult) se numesc coplanare dacă, reducându-se la o origine comună, se află în același plan.
Dacă cel puțin unul dintre cei trei vectori este zero, atunci cei trei vectori sunt de asemenea considerați coplanari.

Semn de coplanaritate. Dacă sistemul a, b, c este corect, atunci abc>0 ; dacă rămâne, atunci abc Sensul geometric al produsului mixt. Produsul mixt abc a trei vectori necoplanari a, b, c este egal cu volumul paralelipipedului construit pe vectorii a, b, c, luat cu semnul plus dacă sistemul a, b, c este drept și cu semnul minus dacă acest sistem este lăsat.

Proprietăți mixte ale produsului

1. Cu o permutare circulară a factorilor, produsul mixt nu se modifică, cu o permutare a doi factori, își inversează semnul: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Rezultă din sensul geometric.
2. (a+b)cd=acd+bcd (proprietate distributivă). Se extinde la orice număr de termeni.
   Rezultă din definiția unui produs mixt.
3. (ma)bc=m(abc) (proprietate asociativă în raport cu factorul scalar).
   Rezultă din definiția unui produs mixt. Aceste proprietăți fac posibilă aplicarea transformărilor produselor mixte care diferă de cele algebrice obișnuite doar prin aceea că ordinea factorilor poate fi modificată doar ținând cont de semnul produsului.
4. Un produs mixt care are cel puțin doi factori egali este egal cu zero: aab=0 .

Exemplul #1. Găsiți un produs mixt. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Exemplul #2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca . Toți termenii, cu excepția celor doi extremi, sunt egali cu zero. De asemenea, bca=abc . Prin urmare (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Exemplul #3. Calculați produsul mixt a trei vectori a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Soluţie. Pentru a calcula produsul mixt al vectorilor, este necesar să se găsească determinantul sistemului compus din coordonatele vectorilor. Scriem sistemul sub forma