Un domeniu se numește simplu conectat dacă granița sa este o mulțime conexă. Un domeniu se numește n-conectat dacă granița sa se împarte în mulțimi n-conectate.
Cometariu. Formula lui Green este valabilă și pentru domeniile multiconectate.
Pentru ca integrala (A, B sunt orice puncte din D) să fie independentă de calea de integrare (dar numai pe punctele inițiale și finale ale lui A, B), este necesar și suficient ca, peste orice curbă închisă (peste orice contur) situată în D, integrala a fost egală cu zero =0
Dovada (nevoie). Fie (4) independent de calea de integrare. Luați în considerare un contur arbitrar C situat în regiunea D și alegeți două puncte arbitrare A, B pe acest contur. Atunci curba C poate fi reprezentată ca unirea a două curbe AB=G2 , AB=G1 , C=Г - 1 + G2 .
Teorema 1. Pentru ca integrala curbilinie să fie independentă de calea de integrare în D, este necesar și suficient ca
în zona D. Suficienţă. Dacă este satisfăcut, atunci formula lui Green pentru orice contur C va fi 
de unde afirmaţia cerută urmează de lemă. Nevoie. După lemă, pentru orice contur = 0. Apoi, conform formulei Green pentru regiunea D , mărginită de acest contur = 0. Prin teorema valorii medii=mDor==0. Trecând la limită, contractând conturul la un punct, obținem că în acest punct.
Teorema 2. Pentru ca integrala curbilinie (4) să fie independentă de calea de integrare în D, este necesar și suficient ca integrandul Pdx+Qdy să fie diferența totală a unei funcții u din domeniul D. du = Pdx+Qdy. Adecvarea. Să se facă, apoi Necesitatea. Fie integrala independentă de calea integrării. Fixăm un punct A0 din domeniul D și definim funcția u(A) = u(x,y)=
În acest caz
XО (xО). Astfel, există o derivată =P. În mod similar, verificăm că =Q. În baza ipotezelor făcute, funcția u se dovedește a fi diferențiabilă continuu și du = Pdx+Qdy.
32-33. Definirea integralelor curbilinii de primul și al doilea fel
Integrală curbilinie pe lungimea arcului (primul tip)
Fie definită și continuă funcția f(x, y) în punctele arcului AB ale unei curbe netede K. Împărțiți în mod arbitrar arcul în n arce elementare prin punctele t0..tn.Fie lk lungimea lui k parțial arc. Să luăm un punct arbitrar N(k,k) pe fiecare arc elementar și înmulțind acest punct cu resp. lungimea arcului facem trei sume integrale:
1
=
f(k,k)lk 2 = 
Р(k,k)хk 3 = 
Q(k,k)yk, unde хk = x k -x k -1 , yk = y k -y k -1
Integrală curbilinie de primul fel de-a lungul lungimii arcului se va numi limita sumei integrale 1, cu condiția ca max(lk) 0 
Dacă limita sumei integrale este 2 sau 3 la 0, atunci se numește această limită. integrală curbilinie de al 2-lea fel, funcțiile P(x,y) sau Q(x,y) de-a lungul curbei l = AB și se notează: 
sau 
Cantitate: 
+
se obișnuiește să se numească integrala curbilinie generală de al 2-lea fel și să se noteze prin simbolul: 
în acest caz funcţiile f(x,y), P(x,y), Q(x,y) se numesc integrabile de-a lungul curbei l = AB. Curba l însăși se numește contur sau prin integrarea A - cea inițială, B - punctele finale de integrare, dl - diferența lungimii arcului, de aceea se numește integrala curbilinie de primul fel. integrală curbilinie peste arcul curbei, iar al doilea fel - peste funcție..
Din definiția integralelor curbilinii rezultă că integralele de primul fel nu depind de direcția în care curba l este rulată de la A și B sau de la B și A. Integrală curbilinie de primul fel peste AB:
, pentru integralele curbilinii de al 2-lea fel, o modificare a direcției de trecere a curbei duce la o schimbare a semnului:
În cazul în care l este o curbă închisă, adică t. B coincide cu punctul A, apoi dintre cele două direcții posibile de ocolire a conturului închis l, direcția în care zona aflată în interiorul conturului rămâne la stânga față de ??? se numește pozitiv. efectuarea unui ocol, adică direcția de mișcare este în sens invers acelor de ceasornic. Direcția opusă de bypass se numește negativă. Integrala curbilinie AB de-a lungul unui contur închis l care se desfășoară în direcție pozitivă va fi notat cu simbolul:
Pentru o curbă spațială, 1 integrală de primul fel este introdusă în mod similar:
și trei integrale de al 2-lea fel:
se numește suma ultimelor trei integrale. integrală curbilinie generală de felul 2.
Câteva aplicații ale integralelor curbilinii de primul fel.
1.Integral 
- lungimea arcului AB
2. Sensul mecanic al integralei de felul I.
Dacă f(x,y) = (x,y) este densitatea liniară a arcului material, atunci masa acestuia este: 
3. Coordonatele centrului de masă al arcului material:
4. Momentul de inerție al unui arc situat în planul xy în raport cu originea și axele de rotație ox, oy:
5. Sensul geometric al integralei de primul fel
Fie ca funcția z = f(x,y) să aibă dimensiunea lungimii f(x,y)>=0 în toate punctele arcului material aflat în planul xy atunci:
, unde S este aria suprafeței cilindrice, pisica este formată din perpendiculare pe planul oxi, la est. în punctele M(x, y) ale curbei AB.
Câteva aplicații ale integralelor curbilinii de al 2-lea fel.
Calcularea ariei unei regiuni plate D cu limita L
2. Lucru cu putere. Fie ca un punct material să se miște sub acțiunea unei forțe de-a lungul unei curbe plane continue BC, mergând de la B la C, lucrul acestei forțe:
Formula Ostrogradsky-Green
Această formulă stabilește o legătură între integrala curbilinie peste contururile închise C și integrală dublă de-a lungul zonei delimitate de acest contur.
Definiție 1. Un domeniu D se numește domeniu simplu dacă poate fi împărțit într-un număr finit de domenii de primul tip și, independent de acesta, într-un număr finit de domenii de al doilea tip.
Teorema 1. Fie definite funcțiile P(x,y) și Q(x,y) într-un domeniu simplu, care sunt continue împreună cu derivatele lor parțiale și
Apoi formula este valabilă
unde С este un contur închis al regiunii D.
Aceasta este formula Ostrogradsky-Green.
Condiții de independență integrală curbilinie din calea integrării
Definiție 1. Se spune că o regiune pătratică închisă D este pur și simplu conectată dacă orice curbă închisă l D poate fi deformată continuu într-un punct, astfel încât toate punctele acestei curbe să aparțină regiunii D (o regiune fără „găuri” - D 1 ), dacă o astfel de deformare este imposibilă, atunci regiunea se numește multiplă conectată (cu „găuri” - D 2).
Definiția 2. Dacă valoarea integralei curbilinii de-a lungul curbei AB nu depinde de tipul curbei care leagă punctele A și B, atunci se spune că această integrală curbilinie nu depinde de calea de integrare:
Teorema 1. Fie într-un domeniu închis simplu conex D să fie definite funcțiile continue P(x,y) și Q(x,y) împreună cu derivatele lor parțiale. Atunci următoarele 4 condiții sunt echivalente (echivalente):
1) integrală curbilinie de-a lungul unui contur închis
unde C este orice buclă închisă în D;
2) integrala curbilinie peste un contur închis nu depinde de calea de integrare în domeniul D, i.e.
3) forma diferențială P(x,y)dx + Q(x,y)dy este diferența totală a unei funcții F din domeniul D, adică că există o funcție F astfel încât (x,y)D egalitate
dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)
4) pentru toate punctele (x, y) D va fi îndeplinită următoarea condiție:
Să demonstrăm conform schemei.
Să demonstrăm că din
Fie 1), adică să fie dat = 0 prin proprietatea 2 din §1, care = 0 (prin proprietatea 1 din §1) .
Să demonstrăm că din
Se da ca cr.int. nu depinde de calea integrării, ci doar de alegerea începutului și sfârșitului căii
Luați în considerare funcția
Să arătăm că forma diferențială P(x,y)dx + Q(x,y)dy este diferența totală a funcției F(x,y), adică, , ce
Să stabilim un câștig privat
x F (x, y) = F (x + x, y) -F (x, y) = = == =
(prin proprietatea 3 din § 1, BB* Oy) = = P (c, y)x (prin teorema valorii medii, cu -const), unde x (datorita continuitatii functiei P). Am obținut formula (5). Formula (6) se obține în mod similar. Să demonstrăm că din Având în vedere formula dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. Evident, = P(x, y). Apoi După condiția teoremei, părțile drepte ale egalităților (7) și (8) sunt funcții continue, apoi după teorema privind egalitatea derivatelor mixte, părțile din stânga vor fi și ele egale, adică că Să demonstrăm că din 41. Să alegem orice contur închis din regiunea D, care limitează regiunea D 1 . Funcțiile P și Q îndeplinesc condițiile Ostrogradsky-Green: În virtutea egalității (4) din partea stângă a lui (9), integrala este egală cu 0, ceea ce înseamnă că partea dreaptă a egalității este egală cu Observaţia 1. Teorema 1. poate fi formulată ca trei teoreme independente Teorema 1*. Pentru ca curba int. nu depinde de calea de integrare, astfel încât condiția (.1) este îndeplinită, adică Teorema 2*. Pentru ca curba int. nu depinde de calea de integrare, astfel încât condiția (3) este îndeplinită: forma diferențială P(x,y)dx + Q(x,y)dy este diferența totală a unei funcții F din domeniul D. Teorema 3*. Pentru ca curba int. nu depinde de calea de integrare, astfel încât condiția (4) este îndeplinită: Observația 2. În teorema 2*, domeniul D poate fi, de asemenea, conectat prin multiplicare. Formula lui Green: Dacă C este granița închisă a domeniului D și funcțiile P(x,y) și Q(x,y), împreună cu derivatele lor parțiale de ordinul întâi, sunt continue în domeniul închis D (inclusiv granița de C), atunci formula lui Green este valabilă:, iar ocolirea în jurul conturului C este aleasă astfel încât regiunea D să rămână în stânga. Din prelegeri: Să fie date funcțiile P(x,y) și Q(x,y), care sunt continue în domeniul D împreună cu derivate parțiale de ordinul întâi. Integrala de frontieră (L) care se află în întregime în regiunea D și conține toate punctele din regiunea D: . Direcția pozitivă a conturului este atunci când partea limitată a conturului este pe stânga. Condiția de independență a integralei curbilinii de al 2-lea fel de calea integrării. O condiție necesară și suficientă pentru faptul că integrala curbilinie de primul fel, care leagă punctele M1 și M2, nu depinde de calea de integrare, ci depinde doar de punctele inițiale și finale, este egalitatea:. - precizarea suprafetei. Proiectăm S pe planul xy, obținem aria D. Împărțim aria D cu o rețea de linii în părți numite Di. Din fiecare punct al fiecărei drepte trasăm drepte paralele cu z, apoi S va fi împărțit în Si. Să facem o sumă integrală: . Să setăm diametrul maxim Di la zero:, obținem: Aceasta este o integrală de suprafață de primul fel Aceasta este integrala de suprafață de primul fel. Definiție pe scurt. Dacă există o limită finită a sumei integrale, care nu depinde de metoda de împărțire a S în secțiuni elementare Si și de alegerea punctelor, atunci se numește integrală de suprafață de primul fel. La trecerea de la variabilele x și y la u și v: P Definirea unei integrale de suprafață de al doilea fel, principalele sale proprietăți și calcul. Legătura cu integrala de primul fel. Să fie dată o suprafață S mărginită de o dreaptă L (Fig. 3.10). Luați un contur L pe suprafața S care nu are puncte comune cu limita L. În punctul M al conturului L se pot restabili două normale u pe suprafața S. Alegem una dintre aceste direcții. Conturează punctul M de-a lungul conturului L cu direcția selectată a normalei. Dacă punctul M revine la poziția inițială cu aceeași direcție a normalei (și nu cu direcția opusă), atunci suprafața S se numește bifață. Vom lua în considerare doar suprafețele cu două fețe. O suprafață cu două fețe este orice suprafață netedă cu ecuația . Fie S o suprafață neînchisă cu două fețe delimitată de o dreaptă L care nu are puncte de autointersecție. Să alegem o anumită parte a suprafeței. Vom numi direcția pozitivă de ocolire a conturului L o astfel de direcție, atunci când ne deplasăm de-a lungul căreia de-a lungul părții selectate a suprafeței, suprafața însăși rămâne în stânga. O suprafață cu două fețe cu o direcție pozitivă de traversare a conturului stabilită pe ea în acest fel se numește suprafață orientată. Să trecem la construcția unei integrale de suprafață de al doilea fel. Să luăm în spațiu o suprafață bifață S, constând dintr-un număr finit de piese, fiecare dintre acestea fiind dată de o ecuație de formă sau este o suprafață cilindrică cu generatoare paralele cu axa Oz. Fie R(x,y,z) o funcție definită și continuă pe suprafața S. Folosind o rețea de linii, împărțim S în mod arbitrar în n segmente „elementare” ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn care nu au puncte interne comune. Pe fiecare segment ΔSi, alegem în mod arbitrar un punct Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Fie (ΔSi)xy aria de proiecție a secțiunii ΔSi pe planul de coordonate Oxy, luată cu semnul „+”, dacă normala la suprafața S în punctul Mi(xi,yi,zi) (i= 1,...,n) forme cu axa Oz este un unghi ascuțit, iar cu semnul „-” dacă acest unghi este obtuz. Să compunem suma integrală pentru funcția R(x,y,z) pe suprafața S față de variabilele x,y: . Fie λ cel mai mare dintre diametrele ΔSi (i = 1, ..., n). Dacă există o limită finită care nu depinde de metoda de împărțire a suprafeței S în secțiuni „elementare” ΔSi și de alegerea punctelor, atunci se numește integrala de suprafață peste latura selectată a suprafeței S a funcției R (x, y, z) de-a lungul coordonatelor x, y (sau integrală de suprafață de al doilea fel) și se notează În mod similar, se pot construi integrale de suprafață peste coordonatele x, z sau y, z de-a lungul laturii corespunzătoare a suprafeței, adică. Dacă toate aceste integrale există, atunci puteți introduce o integrală „generală” peste latura selectată a suprafeței: . O integrală de suprafață de al doilea fel are proprietățile obișnuite ale unei integrale. Observăm doar că orice integrală de suprafață de al doilea fel își schimbă semnul atunci când latura suprafeței se schimbă. Conexiune între integralele de suprafață de primul și al doilea fel. Fie ca suprafața S să fie dată de ecuația: z \u003d f (x, y) și f (x, y), f "x (x, y), f "y (x, y) sunt funcții continue într-o regiunea închisă τ (proiecții ale suprafeței S pe planul de coordonate Oxy), iar funcția R(x,y,z) este continuă pe suprafața S. Normala la suprafața S, care are cosinus de direcție cos α, cos β , cos γ, este ales la partea superioară a suprafeței S. Atunci . Pentru cazul general avem:
= Să considerăm o integrală curbilinie de al 2-lea fel, unde L- puncte de legătură curbe Mși N. Lasă funcțiile P(x, y)și Q(x, y) au derivate parțiale continue într-un anumit domeniu D, care conține întreaga curbă L. Să determinăm condițiile în care integrala curbilinie considerată nu depinde de forma curbei L, dar numai pe locația punctelor Mși N. Desenați două curbe arbitrare MPNși MQN, întins în zonă Dși puncte de legătură Mși N(Fig. 1). M N Orez. unu. P Să presupunem că, adică Atunci unde L- un contur închis, compus din curbe MPNși NQM(prin urmare, poate fi considerat arbitrar). Astfel, condiția de independență a integralei curbilinie de al 2-lea fel față de calea de integrare este echivalentă cu condiția ca o astfel de integrală peste orice contur închis să fie egală cu zero. Teorema 1. Lasă în toate punctele unei anumite zone D funcțiile sunt continue P(x, y)și Q(x, y)şi derivatele lor parţiale şi . Apoi, pentru orice buclă închisă L, situată în regiune D, conditia Este necesar si suficient ca = in toate punctele regiunii D. Dovada
. 1) Suficiență: lasă condiția = să fie îndeplinită. Luați în considerare o buclă închisă arbitrară Lîn zonă D, limitând zona S, și scrieți formula lui Green pentru aceasta: Deci, suficiența este dovedită. 2) Necesitate: să presupunem că condiția este îndeplinită în fiecare punct al zonei D, dar există cel puțin un punct în această regiune în care - ≠ 0. Fie, de exemplu, în punctul P(x0, y0)-> 0. Deoarece există o funcție continuă în partea stângă a inegalității, aceasta va fi pozitivă și mai mare decât unele δ > 0 într-o zonă mică D` punct care contine R. Prin urmare, Prin urmare, prin formula lui Green, obținem că , unde L`- conturul care delimitează zona D`. Acest rezultat contrazice condiția. Prin urmare, = în toate punctele regiunii D, ceea ce urma să fie dovedit. Observație 1
. La fel pentru spatiu tridimensional se poate demonstra că necesarul şi conditii suficiente independenţa integralei curbilinie din calea integrării sunt: Observația 2.
Când sunt îndeplinite condițiile (28/1.18), expresia Pdx+Qdy+Rdz este diferența totală a unei funcții și. Acest lucru ne permite să reducem calculul integralei curbilinie la determinarea diferenței dintre valori șiîn finală şi puncte de plecare contur de integrare, din moment ce În același timp, funcția și poate fi găsit folosind formula Unde ( x0, y0, z0)– punct din zonă D, A C este o constantă arbitrară. Într-adevăr, este ușor de verificat că derivatele parțiale ale funcțiilor și date prin formula (28/1.19) sunt P, Qși R. Al 2-lea fel din calea de integrare Să considerăm o integrală curbilinie de al 2-lea fel, unde L este o curbă care leagă punctele M și N. Fie funcțiile P(x, y) și Q(x, y) să aibă derivate parțiale continue într-un domeniu D, în care curba L se află în întregime. Să determinăm condițiile în care integrala curbilinie considerată nu depinde de forma curbei L, ci doar de locația punctelor M și N. Să desenăm două curbe arbitrare MSN și MTN, situate în regiunea D și conectând punctele M și N (Fig. 14). Să presupunem că, adică unde L este un contur închis compus din curbe MSN și NTM (prin urmare, poate fi considerat arbitrar). Astfel, condiția ca o integrală curbilinie de al 2-lea fel să fie independentă de calea de integrare este echivalentă cu condiția ca o astfel de integrală peste orice contur închis să fie egală cu zero. Teorema 5 (teorema lui Green). Fie funcțiile P(x, y) și Q(x, y) și derivatele lor parțiale u continue în toate punctele unui domeniu D. Apoi, pentru ca orice contur închis L situat în domeniul D să satisfacă condiția este necesar și suficient ca = în toate punctele domeniului D. Dovada. 1) Suficiență: lasă condiția = să fie îndeplinită. Luați în considerare un contur închis arbitrar L în regiunea D, care mărginește regiunea S și scrieți formula verde pentru acesta: Deci, suficiența este dovedită. 2) Necesitate: să presupunem că condiția este îndeplinită în fiecare punct al regiunii D, dar există cel puțin un punct în această regiune în care - ? 0. Fie, de exemplu, în punctul P(x0, y0) avem: - > 0. Deoarece partea stângă a inegalității este funcție continuă, va fi pozitiv și mai mare decât unii? > 0 într-o regiune mică D` care conține punctul P. Prin urmare, Prin urmare, prin formula lui Green, obținem asta unde L` este conturul care delimitează regiunea D`. Acest rezultat contrazice condiția. Prin urmare, = în toate punctele domeniului D, care urma să fie demonstrat. Observație 1. În mod similar, pentru un spațiu tridimensional, se pot demonstra că condițiile necesare și suficiente pentru independența integralei curbilinii din calea integrării sunt: Observația 2. În condițiile (52), expresia Pdx + Qdy + Rdz este diferența totală a unei funcții u. Acest lucru ne permite să reducem calculul integralei curbilinii la determinarea diferenței dintre valorile și la punctele de sfârșit și de început ale conturului de integrare, deoarece În acest caz, funcția și poate fi găsită prin formula unde (x0, y0, z0) este un punct din D și C este o constantă arbitrară. Într-adevăr, este ușor de verificat că derivatele parțiale ale funcției și date prin formula (53) sunt egale cu P, Q și R. Exemplul 10 Calculați integrala curbilinie de al 2-lea fel de-a lungul unei curbe arbitrare care leagă punctele (1, 1, 1) și (2, 3, 4). Să ne asigurăm că sunt îndeplinite condițiile (52): Prin urmare, funcția există. Să o găsim prin formula (53), stabilind x0 = y0 = z0 = 0. Atunci Astfel, funcția și este determinată până la un termen constant arbitrar. Să luăm С = 0, atunci u = xyz. Prin urmare,
30. Formula lui Green. Condiții pentru independența integralei curbilinii de calea integrării.
.31. Integrale de suprafață de primul și al doilea fel, principalele lor proprietăți și calcul.
o integrală de suprafață are toate proprietățile unei integrale obișnuite. Vezi întrebările de mai sus.
.
și 
.
