16.3.2.1. Definiția unei integrale curbilinii de primul fel. Lăsați în spațiul variabilelor x,y,z este dată o curbă netedă pe bucăți, pe care este definită funcția f (X ,y ,z Să împărțim curba cu puncte în părți, să alegem un punct arbitrar pe fiecare dintre arce, să găsim lungimea arcului și să alcătuim suma integrală. Dacă există o limită a succesiunii de sume integrale pentru , care nu depinde de metoda de împărțire a curbei în arce sau de alegerea punctelor, atunci funcția f (X ,y ,z ) se numește curbă integrabilă, iar valoarea acestei limite se numește integrală curbilinie de primul fel sau integrală curbilinie pe lungimea arcului funcției f (X ,y ,z ) de-a lungul curbei , și este notat cu (sau ).

Teorema existenței. Dacă funcţia f (X ,y ,z ) este continuă pe o curbă netedă pe bucăți , atunci este integrabilă în raport cu această curbă.

Cazul unei curbe închise.În acest caz, un punct arbitrar al curbei poate fi luat drept puncte de început și de sfârșit. De acum înainte se va numi o curbă închisă conturși notat cu Cu . Faptul că curba de-a lungul căreia se calculează integrala este închisă se notează de obicei printr-un cerc pe semnul integral: .

16.3.2.2. Proprietăți ale unei integrale curbilinii de primul fel. Pentru această integrală, toate cele șase proprietăți sunt valabile pentru integrala definită, dublă, triplă, de la liniaritatea inainte de teoreme ale valorii medii. Formulați și dovediți-le pe cont propriu. Cu toate acestea, a șaptea proprietate personală este valabilă și pentru această integrală:

Independența integralei curbilinii de primul fel față de direcția curbei:.

Dovada. Sumele integrale pentru integralele din dreapta și din stânga acestei egalități, pentru orice partiție a curbei și alegerea punctelor, sunt aceleași (întotdeauna lungimea arcului), prin urmare limitele lor sunt egale la .

16.3.2.3. Calculul unei integrale curbilinii de primul fel. Exemple. Fie curba dată de ecuații parametrice, unde sunt funcții diferențiabile continuu, iar punctele care definesc împărțirea curbei corespund valorilor parametrului, adică. . Apoi (vezi secțiunea 13.3. Calcularea lungimii curbei) . Prin teorema valorii medii, există un punct astfel încât . Să selectăm punctele rezultate din această valoare a parametrului: . Atunci suma integrală pentru integrala curbilinie va fi egală cu suma integrală pentru integrala definită. Din moment ce , atunci, trecând la limita la în egalitate , obținem

Astfel, calculul unei integrale curbilinie de primul fel se reduce la calculul unei integrale definite peste un parametru. Dacă curba este dată parametric, atunci această tranziție nu provoacă dificultăți; dacă se oferă o descriere verbală calitativă a curbei, atunci principala dificultate poate fi introducerea unui parametru pe curbă. Subliniem încă o dată că integrarea se realizează întotdeauna în direcția creșterii parametrului.

Exemple. 1. Calculați , unde este o tură a spiralei

Aici, trecerea la o integrală definită nu provoacă probleme: găsim , și .

2. Calculați aceeași integrală peste segmentul de dreaptă care leagă punctele și .

Aici nu există o definiție parametrică directă a curbei, așa mai departe AB trebuie introdus un parametru. Ecuațiile parametrice ale unei drepte au forma în care este un vector de direcție, este un punct al unei drepte. Ca punct luăm un punct , ca vector de direcție luăm un vector : . Este ușor de observat că punctul corespunde valorii , punctul corespunde valorii , deci .

3. Aflați unde este partea din secțiune a cilindrului după plan z =X +1, situat în primul octant.

Decizie: Ecuațiile parametrice ale cercului - ghidajul cilindrului au forma X =2cosj, y =2sinj, iar din moment ce z=x +1, atunci z = 2cosj+1. Asa de,

De aceea

16.3.2.3.1. Calculul unei integrale curbilinii de primul fel. Carcasă plată. Dacă curba se află pe un plan de coordonate, de exemplu, planul Ohu , și este dat de funcția , apoi, considerând X ca parametru, obținem următoarea formulă pentru a calcula integrala: . În mod similar, dacă curba este dată de ecuația , atunci .

Exemplu. Calculați , unde este un sfert de cerc situat în al patrulea cadran.

Decizie. 1. Considerând X ca parametru, obținem, prin urmare

2. Dacă luăm ca parametru o variabilă la , apoi și .

3. Desigur, poți lua cea obișnuită ecuații parametrice cercuri: .

Dacă curba este dată în coordonate polare , atunci , și .

Cursul 5 Integrale curbilinii Tipul 1 și 2, proprietățile lor..

Problema masei curbei. Integrală curbilinie de primul fel.

Problema masei curbei. Fie ca în fiecare punct al curbei materialului neted pe bucăți L: (AB) să fie dată densitatea acestuia. Determinați masa curbei.

Procedăm în același mod ca și când am determinat masa unei regiuni plane (integrală dublă) și a unui corp spațial ( integrală triplă).

1. Organizați împărțirea regiunii arcului L în elemente - arce elementare astfel încât aceste elemente să nu aibă puncte interioare comune și ( starea A )

3. Să construim suma integrală , unde este lungimea arcului (de obicei se introduc aceleași denumiri pentru arc și lungimea acestuia). Aceasta este o valoare aproximativă pentru masa curbei. Simplificarea este că am presupus că densitatea arcului este constantă pe fiecare element și am luat un număr finit de elemente.

Trecerea la limita sub conditie (starea B ), obținem o integrală curbilinie de primul fel ca limită a sumelor integrale:

.

Teorema existenței.

Fie funcția continuă pe un arc neted în bucăți L. Atunci o integrală curbilinie de primul fel există ca limită a sumelor integrale.

Cometariu. Această limită nu depinde de

Proprietăți ale unei integrale curbilinii de primul fel.

1. Liniaritate
a) proprietatea de suprapunere

b) proprietatea de omogenitate .

Dovada. Să notăm sumele integrale pentru integralele din partea stângă a egalităților. Deoarece numărul de termeni din suma integrală este finit, să trecem la sumele integrale pentru părțile din dreapta egalităților. Apoi trecem la limita, conform teoremei privind trecerea la limita in egalitate, obtinem rezultatul dorit.

2. Aditivitate.
În cazul în care un , apoi = +

3. .Iată lungimea arcului .

4. Dacă inegalitatea este satisfăcută pe arc, atunci

Dovada. Să notăm inegalitatea pentru sumele integrale și să trecem la limită.

Rețineți că, în special, este posibil

5. Teorema de estimare.

Dacă există constante astfel încât , atunci

Dovada. Integrarea inegalității (proprietatea 4), obținem . Prin proprietatea 1, constantele pot fi scoase de sub integrale. Folosind proprietatea 3, obținem rezultatul dorit.

6. Teorema medie(valoarea integralei).

Există un punct , ce

Dovada. Deoarece funcția este continuă pe o mulțime mărginită închisă, atunci infimul ei există și marginea superioară . Inegalitatea este îndeplinită. Împărțind ambele părți la L, obținem . Dar numărul cuprins între limitele inferioare și superioare ale funcției. Deoarece funcția este continuă pe o mulțime închisă de limite L, funcția trebuie să ia această valoare la un moment dat. Prin urmare, .

Calculul unei integrale curbilinii de primul fel.

Parametrizăm arcul L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Fie t 0 să corespundă punctului A, iar t 1 să corespundă punctului B. Atunci integrala curbilinie de primul fel se reduce la o integrală definită ( - formula cunoscută din semestrul I pentru calculul diferenţialului lungimii arcului):

Exemplu. Calculați masa unei spire a unei elice omogene (densitate egală cu k): .

Integrală curbilinie de al 2-lea fel.

Problema muncii forței.

Cât de mult lucrează forța?F(M) la mutarea punctuluiMîntr-un arcAB? Dacă arcul AB ar fi un segment de linie dreaptă, iar forța ar fi constantă ca mărime și direcție atunci când punctul M se mișcă de-a lungul arcului AB, atunci munca ar putea fi calculată prin formula , unde este unghiul dintre vectori. În cazul general, această formulă poate fi utilizată pentru a construi o sumă integrală, presupunând că forța este constantă pe un element arc de lungime suficient de mică. În loc de lungimea unui element mic al arcului, puteți lua lungimea coardei care îl subtinde, deoarece aceste cantități sunt cantități infinitezimale echivalente sub condiția (primul semestru).

1. Organizați împărțirea regiunii-arc AB în elemente - arce elementare astfel încât aceste elemente să nu aibă puncte interioare comune și ( starea A )

2. Marcam pe elementele partiției „punctele marcate” M i și calculăm valorile funcției din ele

3. Construiți suma integrală , unde este vectorul îndreptat de-a lungul coardei care subtind arcul -.

4. Trecerea la limita sub conditie (starea B ), obținem o integrală curbilinie de al doilea fel ca limită a sumelor integrale (și munca forței):

. Deseori menționate

Teorema existenței.

Fie funcția vectorială continuă pe un arc neted pe bucăți L. Atunci o integrală curbilinie de al doilea fel există ca limită a sumelor integrale.

.

Cometariu. Această limită nu depinde de

O metodă de alegere a unei partiții, atâta timp cât condiția A este îndeplinită

Selectarea „puncte marcate” pe elementele de partiție,

O metodă de rafinare a partiției, atâta timp cât condiția B este îndeplinită

Proprietățile unei integrale curbilinii de al 2-lea fel.

1. Liniaritate
a) proprietatea de suprapunere

b) proprietatea de omogenitate .

Dovada. Să notăm sumele integrale pentru integralele din partea stângă a egalităților. Deoarece numărul de termeni din suma integrală este finit, folosind proprietatea produsului scalar, trecem la sumele integrale pentru părțile din dreapta egalităților. Apoi trecem la limita, conform teoremei privind trecerea la limita in egalitate, obtinem rezultatul dorit.

2. Aditivitate.
În cazul în care un , apoi = + .

Dovada. Să alegem o partiție a domeniului L astfel încât niciunul dintre elementele partiției (inițial și atunci când partiția este rafinată) să nu conțină atât elementele L 1 cât și elementele L 2 în același timp. Acest lucru se poate face prin teorema existenței (remarcă asupra teoremei). În plus, demonstrația este efectuată în termeni de sume integrale, ca în secțiunea 1.

3. Orientabilitate.

= -

Dovada. Integrala arcului –L, adică în direcția negativă de ocolire a arcului, există o limită a sumelor integrale, în termenii cărora există în schimb (). Scotând „minus” din produsul scalar și din suma unui număr finit de termeni, trecând la limită, obținem rezultatul cerut.

scaun" matematica superioara»

Integrale curbilinii

Instrucțiuni

Volgograd

UDC 517.373(075)

Referent:

Lector principal al Departamentului de Matematică Aplicată N.I. Koltsova

Publicat prin hotărâre a consiliului editorial și editorial

Universitatea Tehnică de Stat din Volgograd

Integrale curbilinii: metoda. instrucțiuni / comp. M.I.Andreeva,

O.E. Grigoriev; VolgGTU. - Volgograd, 2011. - 26 p.

Instrucțiunile metodologice sunt un ghid pentru implementarea sarcinilor individuale pe tema „Integrale curbilinii și aplicațiile lor la teoria câmpului”.

Prima parte a ghidului conține materialul teoretic necesar pentru implementarea sarcinilor individuale.

În a doua parte, exemple de execuție a tuturor tipurilor de sarcini incluse în sarcini individuale pe tema, ceea ce contribuie la o mai bună organizare muncă independentă studenți și însușirea cu succes a temei.

Instrucțiunile metodice sunt destinate studenților cursurilor I și II.

© Statul Volgograd

Universitate tehnica, 2011

1. INTEGRAL CURVILINEAR DE FEL I

Definirea unei integrale curbilinii de primul fel

Să È AB– un arc de plan sau o curbă spațială netedă în bucăți L, f(P) - dat pe acest arc functie continua, DAR 0 = DAR, DAR 1 , DAR 2 , …, A n – 1 , A n = B ABși Pi sunt puncte arbitrare pe arcele parțiale È A i – 1 A i, ale căror lungimi D eu (i = 1, 2, …, n

la n® ¥ și D max eu® 0, care nu depinde de modul în care arcul È AB puncte A i, nici din alegerea punctelor Pi pe arcuri parțiale È A i – 1 A i (i = 1, 2, …, n). Această limită se numește integrală curbilinie a primului tip de funcție f(P) de-a lungul curbei Lși notat

Calculul unei integrale curbilinii de primul fel

Calculul unei integrale curbilinie de primul fel poate fi redus la calculul unei integrale definite cu diferite moduri de precizare a curbei de integrare.

Dacă arcul È AB curba plană este dată parametric de ecuaţiile unde X(t) și y(t t, și X(t 1) = x A, X(t 2) = x B, apoi

Unde - diferenţa lungimii arcului curbei.

O formulă similară are loc în cazul unei specificații parametrice a unei curbe spațiale L. Dacă arcul È AB strâmb L dat de ecuațiile , și X(t), y(t), z(t) sunt funcții continuu diferențiabile ale parametrului t, apoi

unde este diferența dintre lungimea arcului curbei.

în coordonate carteziene

Dacă arcul È AB curbă plată L dat de ecuaţie Unde y(X

iar formula de calcul a integralei curbilinii este:

La specificarea unui arc È AB curbă plată L la fel de X= X(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
Unde X(y) este o funcție diferențiabilă continuu,

iar integrala curbilinie se calculează prin formula

(1.4)

Specificarea unei curbe de integrare cu o ecuație polară

Dacă o curbă plată L dat de ecuaţia din sistemul de coordonate polare r = r(j), j О , unde r(j) este o funcție diferențiabilă continuu, atunci

și

(1.5)

Aplicații ale integralei curbilinii de primul fel

Folosind o integrală curbilinie de primul fel, se calculează următoarele: lungimea arcului curbei, aria unei părți a suprafeței cilindrice, masa, momentele statice, momentele de inerție și coordonatele centrului de greutate a unei curbe de material cu o densitate liniară dată.

1. Lungimea l curbă plană sau spațială L se gaseste dupa formula

2. Aria unei părți a unei suprafețe cilindrice cu axa paralela oz generator şi situat în plan XOY ghid Lînchis între avion XOY iar suprafața dată de ecuație z = f(X; y) (f(P) ³ 0 pentru P Î L), este egal cu

(1.7)

3. Greutate m curba materialului L cu densitatea liniară m( P) este determinată de formula

(1.8)

4. Momente statice despre axe Bouși Oiși coordonatele centrului de greutate al unei curbe de material plan L cu densitatea liniară m( X; y) sunt, respectiv, egale cu:

(1.9)

5. Momente statice relativ la planuri Oxy, Oxz, Oyzși coordonatele centrului de greutate al curbei materialului spațial cu densitatea liniară m( X; y; z) sunt determinate de formulele:

(1.11)

6. Pentru curba material plat L cu densitatea liniară m( X; y) momente de inerție față de axe Bou, Oiși, respectiv, originea coordonatelor sunt:

(1.13)

7. Momente de inerție ale unei curbe de material spațial L cu densitatea liniară m( X; y; z) relativ planuri de coordonate calculate prin formule

(1.14)

iar momentele de inerție față de axele de coordonate sunt:

(1.15)

2. INTEGRAL CURVILINEAR DE AL 2-lea fel

Definiția unei integrale curbilinii de al 2-lea fel

Să È AB este un arc al unei curbe orientate pe bucăți L, = (un x(P); Ay(P); a z(P)) este un continuu funcție vectorială, DAR 0 = DAR, DAR 1 , DAR 2 , …, A n – 1 , A n = B– scindarea arbitrară a arcului ABși Pi sunt puncte arbitrare pe arce parțiale A i – 1 A i. Fie un vector cu coordonatele D x i, D y eu, D z i(i = 1, 2, …, n), și este produsul scalar al vectorilor și ( i = 1, 2, …, n). Apoi există o limită a succesiunii de sume integrale

la n® ¥ și max ÷ ç ® 0, care nu depinde de modul în care este împărțit arcul AB puncte A i, nici din alegerea punctelor Pi pe arcuri parțiale È A i – 1 A i
(i = 1, 2, …, n). Această limită se numește integrală curbilinie a celui de-al doilea tip de funcție ( P) de-a lungul curbei Lși notat

În cazul în care funcţia vectorială este dată pe o curbă plană L, la fel avem:

Când se schimbă direcția de integrare, integrala curbilinie de al 2-lea fel își schimbă semnul.

Integrale curbilinii de primul și al doilea fel sunt legate prin relație

(2.2)

Unde - vector unitar tangentă la o curbă orientată.

Folosind o integrală curbilinie de al 2-lea fel, puteți calcula munca unei forțe atunci când vă deplasați punct material de-a lungul arcului unei curbe L:

Direcție pozitivă în jurul unei curbe închise CU, delimitând o regiune pur și simplu conectată G, în sens invers acelor de ceasornic este considerat.

Integrală curbilinie de al 2-lea fel peste o curbă închisă Cu se numeste circulatie si se noteaza

(2.4)

Calculul unei integrale curbilinii de al 2-lea fel

Calculul unei integrale curbilinii de al 2-lea fel se reduce la calculul unei integrale definite.

Specificarea parametrică a curbei de integrare

Dacă È AB curba plană orientată este dată parametric de ecuațiile , unde X(t) și y(t) sunt funcții continuu diferențiabile ale parametrului t, și apoi

O formulă similară are loc în cazul unei specificații parametrice a unei curbe orientate spațial L. Dacă arcul È AB strâmb L dat de ecuațiile , și sunt funcții continuu diferențiabile ale parametrului t, apoi

Specificarea explicită a unei curbe de integrare plate

Dacă arcul È AB L este dat în coordonate carteziene de ecuaţia unde y(X) este o funcție diferențiabilă continuu, atunci

(2.7)

La specificarea unui arc È AB curbă orientată plat L la fel de
X= X(y), y Î [ y 1 ; y 2], unde X(y) este o funcție diferențiabilă continuu, formula

(2.8)

Lasă funcțiile sunt continue împreună cu derivatele lor

într-o zonă închisă plată G, delimitat de o curbă orientată pozitiv, auto-disjunsă, închisă în bucăți Cu+ . Apoi formula lui Green este valabilă:

Lasa G este o regiune pur și simplu conectată la suprafață și

= (un x(P); Ay(P); a z(P))

este câmpul vectorial specificat în această regiune. Camp ( P) se numește potențial dacă există o astfel de funcție U(P), ce

(P) = grad U(P),

Condiție necesară și suficientă pentru potențialitate câmp vectorial (P) se pare ca:

putrezesc ( P) = , unde (2.10)

(2.11)

Dacă câmpul vectorial este potențial, atunci integrala curbilinie de al 2-lea fel nu depinde de curba de integrare, ci depinde doar de coordonatele începutului și sfârșitului arcului. M 0 M. Potenţial U(M) al câmpului vectorial se determină până la un termen constant și se găsește prin formula

(2.12)

Unde M 0 M este o curbă arbitrară care leagă un punct fix M 0 și punct variabil M. Pentru a simplifica calculele, o linie întreruptă poate fi aleasă ca cale de integrare M 0 M 1 M 2 M cu legături paralele axele de coordonate, De exemplu:

3. exemple de sarcini

Exercitiul 1

Calculați integrala curbilinie de primul fel

unde L este arcul curbei , 0 ≤ X ≤ 1.

Decizie. Prin formula (1.3), reducerea unei integrale curbilinii de primul fel la o integrală definită în cazul unei curbe plane netede date explicit:

Unde y = y(X), X 0 ≤ X ≤ X 1 - ecuația arcului L curba de integrare. În acest exemplu Găsim derivata acestei funcții

și diferența lungimii arcului curbei L

apoi, substituind în această expresie în loc de y, primim

Transformăm integrala curbilinie într-una definită:

Calculăm această integrală folosind substituția . Apoi
t 2 = 1 + X, X = t 2 – 1, dx = 2t dt; la x= 0 t= 1; A X= 1 meciuri. După transformări, obținem

Sarcina 2

Calculați o integrală curbilinie de primul fel într-un arc L strâmb L:X= cos 3 t, y= păcatul 3 t, .

Decizie. La fel de L este un arc de curbă plană netedă definită în forma parametrica, atunci folosim formula (1.1) pentru a reduce integrala curbilinie de primul fel la una definită:

.

În acest exemplu

Găsiți diferența de lungime a arcului

Înlocuim expresiile găsite în formula (1.1) și calculăm:

Sarcina 3

Aflați masa arcului unei linii L cu plan liniar m.

Decizie. Greutate m arcuri L cu densitatea m( P) se calculează prin formula (1.8)

Aceasta este o integrală curbilinie de primul fel peste un arc neted al unei curbe în spațiu dat parametric, prin urmare se calculează prin formula (1.2) de reducere a unei integrale curbilinie de primul fel la o integrală definită:

Să găsim derivate

și diferența de lungime a arcului

Inlocuim aceste expresii in formula pentru masa:

Sarcina 4

Exemplul 1 Calculați integrala curbilinie de al 2-lea fel

într-un arc L curba 4 X + y 2 = 4 din punct A(1; 0) la obiect B(0; 2).

Decizie. arc plat L stabilit implicit. Pentru a calcula integrala, este mai convenabil să se exprimi X prin y:

și găsiți integrala prin formula (2.8) a transformării unei integrale curbilinii de al 2-lea fel în integrala definita după variabilă y:

Unde un x(X; y) = X y – 1, Ay(X; y) = X y 2 .

Ținând cont de setarea curbei

Prin formula (2.8) obținem

Exemplul 2. Calculați integrala curbilinie de al 2-lea fel

Unde L- linie frântă ABC, A(1; 2), B(3; 2), C(2; 1).

Decizie. Prin proprietatea de aditivitate a integralei curbilinii

Fiecare dintre termenii integrali este calculat prin formula (2.7)

Unde un x(X; y) = X 2 + y, Ay(X; y) = –3X y.

Ecuația segmentului drept AB: y = 2, y¢ = 0, X 1 = 1, X 2 = 3. Inlocuind aceste expresii in formula (2.7), obtinem:

Pentru a calcula integrala

scrieți ecuația unei drepte î.Hr conform formulei

Unde x B, y B, x C, Y c– coordonatele punctului Bși Cu. Primim

y – 2 = X – 3, y = X – 1, y¢ = 1.

Inlocuim expresiile obtinute in formula (2.7):

Sarcina 5

Calculați o integrală curbilinie de al 2-lea fel peste un arc L

0 ≤ t ≤ 1.

Decizie. Deoarece curba de integrare este dată parametric de ecuații x = x(t), y=y(t), t Î [ t 1 ; t 2], unde X(t) și y(t) sunt funcții diferențiabile continuu t la t Î [ t 1 ; t 2 ], apoi pentru a calcula integrala curbilinie de al doilea fel, folosim formula (2.5) pentru reducerea integralei curbilinie la cea definită pentru o curbă plană dată parametric

În acest exemplu un x(X; y) = y; Ay(X; y) = –2X.

Ținând cont de setarea curbei L primim:

Înlocuim expresiile găsite în formula (2.5) și calculăm integrala definită:

Sarcina 6

Exemplul 1 C + Unde Cu : y 2 = 2X, y = X – 4.

Decizie. Desemnare C+ indică faptul că conturul este parcurs în sens pozitiv, adică în sens invers acelor de ceasornic.

Să verificăm dacă formula Green (2.9) poate fi folosită pentru a rezolva problema

Din moment ce funcţiile un x (X; y) = 2y – X 2 ; Ay (X; y) = 3X + yși derivatele lor parțiale continuă într-o regiune plată închisă G, delimitat de contur C, atunci formula lui Green este aplicabilă.

A calcula integrală dublă desenează zona G, după ce au determinat în prealabil punctele de intersecție ale arcelor curbelor y 2 = 2Xși
y = X- 4 constituind conturul C.

Găsim punctele de intersecție prin rezolvarea sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este echivalentă cu ecuația X 2 – 10X+ 16 = 0, de unde X 1 = 2, X 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Deci, punctele de intersecție ale curbelor: A(2; –2), B(8; 4).

Din moment ce zona G– corecta in directia axei Bou, apoi pentru a reduce integrala dublă la una repetată, proiectăm domeniul G pe axă OYși folosește formula

.

La fel de A = –2, b = 4, X 2 (y) = 4+y, apoi

Exemplul 2 Calculați o integrală curbilinie de al 2-lea fel pe un contur închis Unde Cu- conturul unui triunghi cu vârfuri A(0; 0), B(1; 2), C(3; 1).

Decizie. Notația înseamnă că conturul triunghiului este parcurs în sensul acelor de ceasornic. În cazul în care integrala curbilinie este luată de-a lungul unui contur închis, formula lui Green ia forma

Desenați o zonă G delimitat de un contur dat.

Funcții și derivate parțiale și continuu in regiune G, astfel încât formula lui Green poate fi aplicată. Apoi

Regiune G nu este corectă în direcția vreuneia dintre axe. Desenați un segment de linie X= 1 și imaginează-ți G la fel de G = G 1 È G 2, unde G 1 și G 2 zone corecte în direcția axei Oi.

Apoi

Pentru a reduce fiecare dintre integralele duble peste G 1 și G 2 pentru reutilizare vom folosi formula

Unde [ A; b] – proiecția zonei D pe axă Bou,

y = y 1 (X) este ecuația curbei de limită inferioară,

y = y 2 (X) este ecuația curbei de delimitare superioară.

Să scriem ecuațiile pentru limitele regiunii G 1 și găsiți

AB: y = 2X, 0 ≤ X ≤ 1; ANUNȚ: , 0 ≤ X ≤ 1.

Compuneți ecuația limitei î.Hr zone G 2 folosind formula

î.Hr: unde 1 ≤ X ≤ 3.

DC: 1 ≤ X ≤ 3.

Sarcina 7

Exemplul 1 Găsiți o forță de muncă L: y = X 3 din punct M(0; 0) la punct N(1; 1).

Decizie. Lucrul unei forțe variabile atunci când se deplasează un punct material de-a lungul unui arc de curbă L este determinată prin formula (2.3) (ca o integrală curbilinie a celui de-al doilea tip de funcție de-a lungul curbei L) .

Deoarece funcția vectorială este dată de ecuație și arcul curbei orientate plan este definit în mod explicit de ecuație y = y(X), X Î [ X 1 ; X 2], unde y(X) este o funcție diferențiabilă continuu, apoi prin formula (2.7)

În acest exemplu y = X 3 , , X 1 = x M = 0, X 2 = x N= 1. Prin urmare

Exemplul 2. Găsiți o forță de muncă la deplasarea unui punct material de-a lungul unei linii L: X 2 + y 2 = 4 din punct M(0; 2) la punct N(–2; 0).

Decizie. Folosind formula (2.3), obținem

.

În acest exemplu, arcul curbei L(È MN) este un sfert de cerc dat de ecuația canonică X 2 + y 2 = 4.

Pentru a calcula integrala curbilinie de al doilea fel, este mai convenabil să treceți la specificația parametrică a cercului: X = R cos t, y = R păcat tși folosiți formula (2.5)

La fel de X= 2cos t, y= 2sin t, , , primim

Sarcina 8

Exemplul 1. Calculați modulul de circulație al câmpului vectorial de-a lungul conturului G:

Decizie. Pentru a calcula circulația unui câmp vectorial de-a lungul unui contur închis G folosim formula (2.4)

Deoarece sunt date un câmp vectorial spațial și un contur spațial închis G, apoi trecând de la forma vectorială de scriere a integralei curbilinie la forma de coordonate, obținem

Curba G este definită ca intersecția a două suprafețe: un paraboloid hiperbolic z=x 2 – y 2 + 2 și cilindru X 2 + y 2 = 1. Pentru a calcula integrala curbilinie, este convenabil să trecem la ecuațiile parametrice ale curbei G.

Ecuația unei suprafețe cilindrice poate fi scrisă astfel:
X= cos t, y= păcat t, z = z. Expresie pentru zîn ecuaţiile parametrice, curba se obţine prin substituire X= cos t, y= păcat tîn ecuația unui paraboloid hiperbolic z= 2 + cos2 t– păcatul 2 t= 2 + cos2 t. Asa de, G: X= cos t,
y= păcat t, z= 2 + cos2 t, 0 ≤ t≤ 2p.

Deoarece curbele incluse în ecuaţiile parametrice G funcții
X(t) = cos t, y(t) = păcat t, z(t) = 2 + cos 2 t sunt funcții continuu diferențiabile ale parametrului t la tн , atunci găsim integrala curbilinie prin formula (2.6)

Integrala curbilinie de al 2-lea fel se calculează la fel ca integrala curbilinie de primul fel prin reducere la una definită. Pentru a face acest lucru, toate variabilele sub semnul integral sunt exprimate în termenii unei singure variabile, folosind ecuația dreptei de-a lungul căreia se realizează integrarea.

a) Dacă linia AB dat de sistemul de ecuaţii atunci

(10.3)

Pentru carcasă plată când curba este dată de ecuație integrala curbilinie se calculează prin formula: . (10.4)

Dacă linia AB dat de ecuaţii parametrice atunci

(10.5)

Pentru carcasa plată, dacă linia AB dat de ecuaţii parametrice , integrala curbilinie se calculează cu formula:

, (10.6)

unde - valorile parametrilor t, corespunzătoare punctelor de început și de sfârșit ale traseului de integrare.

Dacă linia AB netedă pe bucăți, atunci ar trebui să se folosească proprietatea de aditivitate a integralei curbilinii, divizare AB pe curbe netede.

Exemplul 10.1 Se calculează integrala curbilinie de-a lungul unui contur format dintr-o parte dintr-o curbă dintr-un punct inainte de și arcuri de elipsă din punct de vedere inainte de .

Deoarece conturul constă din două părți, folosim proprietatea de aditivitate a integralei curbilinii: . Reducem ambele integrale la unele definite. O parte a conturului este dată de ecuația față de variabilă . Să folosim formula (10.4 ), în care schimbăm rolurile variabilelor. Acestea.

. După calcul, obținem .

Pentru a calcula integrala conturului Soare să trecem la forma parametrică de scriere a ecuației elipsei și să folosim formula (10.6).

Acordați atenție limitelor integrării. Punct corespunde valorii și punctului corespunde Răspuns:
.

Exemplul 10.2. Calculați de-a lungul unui segment de dreaptă AB, Unde A(1,2,3), B(2,5,8).

Decizie. Este dată o integrală curbilinie de al 2-lea fel. Pentru a-l calcula, trebuie să îl convertiți într-unul anume. Să facem ecuații ale unei linii drepte. Vectorul său de direcție are coordonate .

Ecuații canonice direct AB: .

Ecuații parametrice ale acestei linii drepte: ,

La
.

Să folosim formula (10.5) :

După ce calculăm integrala, obținem răspunsul: .

5. Lucrul unei forțe atunci când se deplasează un punct material al unei unități de masă dintr-un punct în punct de-a lungul unei curbe .

Lăsați în fiecare punct al curbei netede pe bucăți se dă un vector care are funcţii-coordonate continue: . Să împărțim această curbă în părți mici pe puncte astfel încât în ​​punctele fiecărei părți valoarea functiei
ar putea fi considerat permanent și piesa în sine ar putea fi luat ca un segment de linie dreaptă (vezi Fig. 10.1). Apoi . Produs scalar forță constantă, al cărei rol este jucat de vector , pe un vector de deplasare rectiliniu este numeric egal cu munca pe care o face forța atunci când se deplasează un punct material de-a lungul . Să facem o sumă integrală . În limită, cu o creștere nelimitată a numărului de partiții, obținem o integrală curbilinie de felul 2

. (10.7) Prin urmare, sens fizic integrală curbilinie de al 2-lea fel - este o muncă făcută cu forța la mutarea unui punct material din DAR la LA de-a lungul conturului L.

Exemplul 10.3. Calculați munca efectuată de vector la deplasarea unui punct de-a lungul părții curbei Viviani, dat ca intersecție a emisferei si cilindru mergând în sens invers acelor de ceasornic când este privit din partea pozitivă a axei BOU.

Decizie. Să construim o curbă dată ca o linie de intersecție a două suprafețe (vezi Fig. 10.3).

.

Pentru a reduce integrandu-ul la o singură variabilă, trecem la sistem cilindric coordonate: .

pentru că punctul se deplasează de-a lungul curbei , atunci este convenabil să alegeți ca parametru variabila , care se modifică de-a lungul conturului astfel încât . Apoi obținem următoarele ecuații parametrice pentru această curbă:

.Unde
.

Inlocuim expresiile obtinute in formula de calcul a circulatiei:

(- semnul + indică faptul că mișcarea punctului de-a lungul conturului este în sens invers acelor de ceasornic)

Calculăm integrala și obținem răspunsul: .

Lecția 11.

Formula lui Green pentru un domeniu simplu conectat. Independenta integralei curbilinii de calea integrarii. formula Newton-Leibniz. Găsirea unei funcții prin diferența sa totală folosind o integrală curbilinie (cazuri plane și spațiale).

OL-1 cap.5, OL-2 cap.3, OL-4 cap.3 § 10, p. 10.3, 10.4.

Practică : OL-6 nr. 2318 (a, b, e), 2319 (a, c), 2322 (a, d), 2327, 2329 sau OL-5 nr. 10.79, 82, 133, 135, 139.

Construirea casei pentru lecția 11: OL-6 nr. 2318 (c, d), 2319 (c, d), 2322 (b, c), 2328, 2330 sau OL-5 nr. 10.80, 134, 136, 140

Formula lui Green.

Lasă în avion dat un domeniu simplu conectat delimitat de un contur închis neted pe bucăți. (Un domeniu se numește simplu conectat dacă orice contur închis din el poate fi contractat într-un punct din acest domeniu).

Teorema. Dacă funcţiile și derivatele lor parțiale G, apoi

Figura 11.1

- Formula lui Green . (11.1)

Indică direcția pozitivă de traversare (în sens invers acelor de ceasornic).

Exemplul 11.1. Folosind formula lui Green, calculăm integrala de-a lungul unui contur format din segmente OA, OBși un arc de cerc mai mare puncte de legătură Ași b, dacă , , .

Decizie. Să construim un contur (vezi fig. 11.2). Să calculăm derivatele necesare.

Figura 11.2

, ; , . Funcțiile și derivatele lor sunt continue într-o regiune închisă delimitată de un contur dat. Conform formulei lui Green, această integrală este .

După înlocuirea derivatelor calculate, obținem

. Calculăm integrala dublă trecând la coordonate polare:
.

Să verificăm răspunsul calculând integrala direct peste contur ca o integrală curbilinie de al 2-lea fel.
.

Răspuns:
.

2. Independenta Integralei Curbilinii de Calea de Integrare.

Lasa și - puncte arbitrare ale unei arii simplu conexate pl. . Integrale curbilinii calculate din diferite curbe care leagă aceste puncte au în general valori diferite. Dar, în anumite condiții, toate aceste valori pot fi aceleași. Atunci integrala nu depinde de forma traseului, ci depinde doar de punctele de început și de sfârșit.

Următoarele teoreme sunt valabile.

Teorema 1. Pentru ca integrala
nu depinde de forma traseului care leagă punctele și , este necesar și suficient ca această integrală peste orice contur închis să fie egală cu zero.

Teorema 2.. Pentru ca integrala
este egal cu zero de-a lungul oricărui contur închis, este necesar și suficient ca funcțiile și derivatele lor parțiale au fost continue într-o regiune închisă Gși astfel încât starea ( 11.2)

Astfel, dacă sunt îndeplinite condiţiile de independenţă a integralei faţă de forma căii (11.2) , atunci este suficient să specificați doar punctele de început și de sfârșit: (11.3)

Teorema 3. Dacă condiția este îndeplinită într-un domeniu simplu conectat, atunci există o funcție astfel încât . (11.4)

Această formulă se numește formulă Newton-Leibniz pentru integrala curbilinie.

Cometariu. Amintiți-vă că egalitatea este o condiție necesară și suficientă pentru expresie
.

Atunci din teoremele formulate mai sus rezultă că dacă funcţiile și derivatele lor parțiale continuă într-o regiune închisă G, în care sunt date puncte și , și apoi

a) există o funcție , astfel încât ,

nu depinde de forma căii, ,

c) formula este valabilă Newton-Leibniz .

Exemplul 11.2. Să ne asigurăm că integrala
nu depinde de forma căii și calculează-l.

Decizie. .

Figura 11.3

Să verificăm îndeplinirea condiției (11.2) .
. După cum puteți vedea, condiția este îndeplinită. Valoarea integralei nu depinde de calea de integrare. Alegem calea integrării. Cel mai

o modalitate simplă de a calcula este o linie întreruptă DIA care leagă punctele de început și de sfârșit ale căii. (Vezi fig. 11.3)

Apoi .

3. Găsirea unei funcții prin diferența sa totală.

Cu ajutorul unei integrale curbilinie, care nu depinde de forma traseului, se poate găsi funcția cunoscându-i diferența totală. Această problemă este rezolvată în felul următor.

Dacă funcţiile și derivatele lor parțiale continuă într-o regiune închisă Gși , atunci expresia este diferenţial complet vreo funcție . În plus, integrala
, în primul rând, nu depinde de forma căii și, în al doilea rând, poate fi calculat folosind formula Newton-Leibniz.

Calcula
doua feluri.

Figura 11.4

a) Alegeți un punct din regiune cu coordonate specifice și un punct cu coordonate arbitrare. Să calculăm integrala curbilinie de-a lungul unei linii întrerupte constând din două segmente de drepte care leagă aceste puncte, unul dintre segmente fiind paralel cu axa, iar celălalt cu axa. Apoi . (Vezi fig. 11.4)

Ecuația .

Ecuația .

Obținem: După ce am calculat ambele integrale, obținem o funcție în răspuns.

b) Acum putem calcula aceeași integrală folosind formula Newton-Leibniz.

Acum să comparăm două rezultate ale calculării aceleiași integrale. Partea funcțională a răspunsului de la paragraful a) este funcția dorită , iar partea numerică - valoarea sa în punct .

Exemplul 11.3. Să ne asigurăm că expresia
este diferența totală a unei funcții și hai să-l găsim. Să verificăm rezultatele calculului exemplului 11.2 folosind formula Newton-Leibniz.

Decizie. Funcție Condiție de existență (11.2) a fost verificat în exemplul anterior. Să găsim această funcție, pentru care vom folosi Figura 11.4, și vom lua pentru punct . Compuneți și calculați integrala peste linia întreruptă DIA, Unde :

După cum sa menționat mai sus, partea funcțională a expresiei rezultate este funcția dorită
.

Să verificăm rezultatul calculelor din exemplul 11.2 folosind formula Newton-Leibniz:

Rezultatele s-au potrivit.

Cometariu. Toate afirmațiile luate în considerare sunt valabile și pentru cazul spațial, dar cu un număr mare de condiții.

Fie ca o curbă netedă pe bucăți să aparțină unui domeniu în spațiu . Atunci, dacă funcțiile și derivatele lor parțiale sunt continue într-o regiune închisă în care sunt date puncte si si
(11.5 ), apoi

a) expresia este diferenta totala a unei functii ,

b) o integrală curbilinie a diferenţialului total al unei funcţii nu depinde de forma căii și,

c) formula este valabilă Newton-Leibniz .(11.6 )

Exemplul 11.4. Să ne asigurăm că expresia este diferența totală a unei funcții și hai să-l găsim.

Decizie. Pentru a răspunde la întrebarea dacă o expresie dată este diferența totală a unei funcții , calculați derivatele parțiale ale funcțiilor , , . (Cm. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Aceste funcții sunt continue împreună cu derivatele lor parțiale în orice punct din spațiu.

Vedem că necesarul și conditii suficiente existenţă : , , , h.t.d.

Pentru a calcula funcția folosim faptul că integrala dreaptă nu depinde de calea de integrare și poate fi calculată folosind formula Newton-Leibniz. Lasă punctul - începutul căii și un punct - Sfarsit de drum . Calculăm integrala

de-a lungul unui contur format din segmente de linie paralele cu axele de coordonate. (vezi fig. 11.5).

.

Figura 11.5

Ecuații ale părților de contur: , ,
.

Apoi

, X fixat aici, deci ,

S-a rezolvat aici y, De aceea .

Ca rezultat, obținem:

Acum putem calcula aceeași integrală folosind formula Newton-Leibniz.

Să comparăm rezultatele: .

Din egalitatea rezultată rezultă că , și

Lecția 12.

Integrală de suprafață de primul fel: definiție, proprietăți de bază. Reguli pentru calcularea integralei de suprafață de primul fel folosind o integrală dublă. Aplicații ale integralei de suprafață de primul fel: aria suprafeței, masa suprafeței materialului, momentele statice despre planuri de coordonate, momentele de inerție și coordonatele centrului de greutate. OL-1 cap.6, OL 2 cap.3, OL-4 § 11.

Practică: OL-6 nr. 2347, 2352, 2353 sau OL-5 nr. 10.62, 65, 67.

Temele pentru lecția 12:

OL-6 nr. 2348, 2354 sau OL-5 nr. 10.63, 64, 68.