Ecuația canonică a unei elipse are forma

unde a este semiaxa majoră; b - semiaxa minoră. Se numesc punctele F1(c,0) si F2(-c,0) − c

a, b - semiaxele elipsei.

Găsirea focarelor, excentricității, directricei unei elipse dacă se cunoaște ecuația canonică a acesteia.

Definiția hiperbolei. Focurile de hiperbolă.

Definiție. O hiperbolă este o mulțime de puncte dintr-un plan pentru care modulul diferenței de distanțe de la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă, mai mică decât distanța dintre focare.

Prin definiție, |r1 – r2|= 2a. F1, F2 sunt focarele hiperbolei. F1F2 = 2c.

Ecuația canonică a unei hiperbole. Semiaxele unei hiperbole. Construcția unei hiperbole dacă este cunoscută ecuația ei canonică.

Ecuația canonică:

Semiaxa majoră a hiperbolei este jumătate din distanța minimă dintre cele două ramuri ale hiperbolei, pe laturile pozitive și negative ale axei (stânga și dreapta față de origine). Pentru o ramură situată pe partea pozitivă, semiaxa va fi egală cu:

Dacă o exprimăm în termeni de secțiune conică și excentricitate, atunci expresia va lua forma:

Găsirea focarelor, excentricității, directricei unei hiperbole dacă se cunoaște ecuația canonică a acesteia.

Excentricitatea unei hiperbole

Definiție. Raportul se numește excentricitatea hiperbolei, unde c -

jumătate din distanța dintre focare și este semiaxa reală.

Ținând cont de faptul că c2 - a2 = b2:

Dacă a \u003d b, e \u003d, atunci hiperbola se numește echilaterală (echilaterală).

Directricele hiperbolei

Definiție. Două drepte perpendiculare pe axa reală a hiperbolei și situate simetric față de centru la o distanță a/e ​​de acesta se numesc directrice ale hiperbolei. Ecuațiile lor sunt:

Teorema. Dacă r este distanța de la un punct arbitrar M al hiperbolei până la un focar, d este distanța de la același punct la directriza corespunzătoare acestui focar, atunci raportul r/d este o valoare constantă egală cu excentricitatea.

Definiția unei parabole. Focalizarea și directricea unei parabole.

Parabolă. O parabolă este locul punctelor, fiecare dintre ele fiind la fel de îndepărtat de un punct fix dat și de o dreaptă fixă ​​dată. Punctul la care se face referire în definiție se numește focarul parabolei, iar linia dreaptă se numește directrice.

Ecuația canonică a unei parabole. parametrul parabolei. Construcția unei parabole.

Ecuația canonică a unei parabole într-un sistem de coordonate dreptunghiular este: (sau dacă axele sunt inversate).

Construcția unei parabole pentru o valoare dată a parametrului p se realizează în următoarea secvență:

Desenați axa de simetrie a parabolei și așezați pe ea segmentul KF=p;

Directricea DD1 este trasată prin punctul K perpendicular pe axa de simetrie;

Segmentul KF este împărțit în jumătate pentru a obține vârful 0 al parabolei;

Un număr de puncte arbitrare 1, 2, 3, 5, 6 sunt măsurate de sus cu o distanță care crește treptat între ele;

Prin aceste puncte se trasează drepte auxiliare perpendiculare pe axa parabolei;

Pe liniile drepte auxiliare, serifurile se realizează cu o rază egală cu distanța de la linie dreaptă la directrice;

Punctele rezultate sunt conectate printr-o curbă netedă.

puncte F 1 (–c, 0) și F 2 (c, 0), unde sunt numite trucuri de elipsă , în timp ce valoarea 2 c defineste distanta interfocala .

puncte DAR 1 (–dar, 0), DAR 2 (dar, 0), ÎN 1 (0, –b), B 2 (0, b) sunt numite vârfurile elipsei (Fig. 9.2), în timp ce DAR 1 DAR 2 = 2dar formează axa majoră a elipsei și ÎN 1 ÎN 2 - mic, - centrul elipsei.

Principalii parametri ai elipsei, care îi caracterizează forma:

ε = din/A – excentricitatea elipsei ;

– razele focale ale elipsei (punct M aparține elipsei) și r 1 = A + εx, r 2 = A – εx;

– directriza elipsei .

Este adevărat pentru o elipsă: directricele nu trec granița și interiorul elipsei și, de asemenea, au proprietatea

Excentricitatea unei elipse exprimă măsura sa de „compresie”.

Dacă b > A> 0, atunci elipsa este dată de ecuația (9.7), pentru care, în loc de condiția (9.8), condiția

Apoi 2 dar- axa minoră, 2 b- axa majoră, - trucuri (Fig. 9.3). în care r 1 + r 2 = 2b,
ε = c/b, directricele sunt determinate de ecuațiile:

În condiția să avem (sub forma unui caz special al unei elipse) un cerc de rază R = A. în care din= 0, ceea ce înseamnă ε = 0.

Punctele elipsei au proprietate caracteristică : suma distanțelor de la fiecare dintre ele la focare este o valoare constantă egală cu 2 dar(Fig. 9.2).

Pentru definirea parametrică a unei elipse (formula (9.7)) în cazurile în care sunt îndeplinite condițiile (9.8) și (9.9), ca parametru t se poate lua valoarea unghiului dintre vectorul rază a unui punct situat pe elipsă și direcția pozitivă a axei Bou:

Dacă centrul elipsei cu semiaxele este într-un punct, atunci ecuația sa este:

Exemplul 1 Dați ecuația unei elipse X 2 + 4y 2 = 16 la forma canonică și determinați parametrii acesteia. Desenați o elipsă.

Soluţie. Împărțiți ecuația X 2 + 4y 2 \u003d 16 pe 16, după care obținem:

Prin forma ecuației rezultate, concluzionăm că aceasta este ecuația canonică a unei elipse (formula (9.7)), unde dar= 4 - axa majoră, b= 2 – semiaxa minoră. Deci vârfurile elipsei sunt punctele A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2(0, 2). Deoarece este jumătate din distanța interfocală, punctele sunt focarele elipsei. Să calculăm excentricitatea:

Directoare D 1 , D 2 sunt descrise de ecuațiile:

Înfățișăm o elipsă (Fig. 9.4).

Exemplul 2 Definiți parametrii elipsei

Soluţie. Să comparăm ecuația dată cu ecuația canonică a unei elipse cu centrul deplasat. Găsirea centrului elipsei DIN: Semi-axă majoră, semi-axă minoră, dreaptă - axe principale. Jumătate din lungimea interfocală, ceea ce înseamnă că focalizările sunt excentricitatea Directricei D 1 și D 2 poate fi descris folosind ecuații: (Fig. 9.5).

Exemplul 3 Determinați ce curbă este dată de ecuație, desenați-o:

1) X 2 + y 2 + 4X – 2y + 4 = 0; 2) X 2 + y 2 + 4X – 2y + 6 = 0;

3) X 2 + 4y 2 – 2X + 16y + 1 = 0; 4) X 2 + 4y 2 – 2X + 16y + 17 = 0;

Soluţie. 1) Aducem ecuația la forma canonică selectând pătratul complet al binomului:

X 2 + y 2 + 4X – 2y + 4 = 0;

(X 2 + 4X) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(X 2 + 4X + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(X + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Astfel, ecuația poate fi redusă la forma

(X + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Aceasta este ecuația unui cerc cu centrul la (–2, 1) și raza R= 1 (Fig. 9.6).

2) Selectăm pătratele complete ale binomurilor din partea stângă a ecuației și obținem:

(X + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Această ecuație nu are sens pe platou numere reale, deoarece partea stângă este nenegativă pentru orice valoare reală a variabilelor XȘi y, în timp ce cea dreaptă este negativă. Prin urmare, ei spun că această ecuație este un „cerc imaginar” sau definește un set gol de puncte din plan.

3) Selectați pătrate întregi:

X 2 + 4y 2 – 2X + 16y + 1 = 0;

(X 2 – 2X + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(X – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(X – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Deci ecuația arată astfel:

Ecuația rezultată și, prin urmare, cea originală, definește o elipsă. Centrul elipsei este în punct DESPRE 1 (1, –2), axele principale sunt date de ecuații y = –2, X= 1 și semiaxa majoră dar= 4, semi-axa minoră b= 2 (Fig. 9.7).

4) După selectarea pătratelor întregi, avem:

(X – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 – 17 + 17 = 0 sau ( X – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Ecuația rezultată definește un singur punct al planului cu coordonatele (1, –2).

5) Aducem ecuația la forma canonică:

În mod evident, definește o elipsă, al cărei centru se află în punctul în care axele principale sunt date de ecuațiile în care semiaxa majoră este semiaxa minoră (Fig. 9.8).

Exemplul 4 Scrieți ecuația unei tangente la un cerc cu raza 2 centrat în focarul din dreapta al elipsei X 2 + 4y 2 = 4 în punctul de intersecție cu axa y.

Soluţie. Reducem ecuația elipsei la forma canonică (9.7):

Prin urmare, focalizarea dreaptă - Prin urmare, ecuația dorită a unui cerc cu raza 2 are forma (Fig. 9.9):

Cercul intersectează axa y în puncte ale căror coordonate sunt determinate din sistemul de ecuații:

Primim:

Să fie puncte N(0; -1) și M(0; 1). Prin urmare, este posibil să construim două tangente, să le notăm T 1 și T 2. Printr-o proprietate binecunoscută, tangenta este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.

Fie Atunci ecuația tangentei T 1 va lua forma:

Deci fie T 1: Este echivalent cu ecuația

Definiție 7.1. Mulțimea tuturor punctelor din plan pentru care suma distanțelor la două puncte fixe F 1 și F 2 este o constantă dată se numește elipsă.

Definiția unei elipse dă următorul mod al acesteia construcție geometrică. Fixăm două puncte F 1 și F 2 pe plan și notăm o valoare constantă nenegativă cu 2a. Fie distanța dintre punctele F 1 și F 2 egală cu 2c. Imaginați-vă că un fir inextensibil de lungime 2a este fixat în punctele F 1 și F 2, de exemplu, cu ajutorul a două ace. Este clar că acest lucru este posibil numai pentru a ≥ c. Tragând firul cu un creion, trageți o linie, care va fi o elipsă (Fig. 7.1).

Deci, mulțimea descrisă nu este goală dacă a ≥ c. Când a = c, elipsa este un segment cu capete F 1 și F 2, iar când c = 0, adică. dacă punctele fixe specificate în definiția unei elipse coincid, este un cerc cu raza a. Înlăturând aceste cazuri degenerate, vom presupune în continuare, de regulă, că a > c > 0.

Punctele fixe F 1 și F 2 din definiția 7.1 ale elipsei (vezi Fig. 7.1) se numesc trucuri de elipsă, distanța dintre ele, notată cu 2c, - distanta focala, și segmentele F 1 M și F 2 M, care leagă un punct arbitrar M de pe elipsă cu focarele sale, - razele focale.

Forma elipsei este complet determinată de distanța focală |F 1 F 2 | = 2с și parametrul a, iar poziția acestuia pe plan - de o pereche de puncte F 1 și F 2 .

Din definiția unei elipse rezultă că aceasta este simetrică față de o dreaptă care trece prin focarele F 1 și F 2, precum și despre o dreaptă care împarte segmentul F 1 F 2 în jumătate și este perpendiculară pe aceasta (Fig. 7.2, a). Aceste linii sunt numite axele elipsei. Punctul O al intersecției lor este centrul de simetrie al elipsei și se numește centrul elipsei, iar punctele de intersecție ale elipsei cu axele de simetrie (punctele A, B, C și D din fig. 7.2, a) - vârfurile elipsei.

Se numește numărul a semi-axa majoră a unei elipse, și b = √ (a 2 - c 2) - sa semi-axă minoră. Este ușor de observat că pentru c > 0, semiaxa majoră a este egală cu distanța de la centrul elipsei la cele ale vârfurilor sale care se află pe aceeași axă cu focarele elipsei (vârfurile A și B din Fig. . 7.2, a), iar semiaxa minoră b este egală cu distanța de la elipsa centrală la celelalte două vârfuri ale sale (vârfurile C și D în Fig. 7.2, a).

Ecuația elipsei. Considerăm o elipsă pe planul cu focare în punctele F 1 și F 2 , axa majoră 2a. Fie 2c distanța focală, 2c = |F 1 F 2 |

Alegem un sistem de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan, astfel încât originea lui să coincidă cu centrul elipsei, iar focarele să fie pe abscisă(Fig. 7.2, b). Acest sistem de coordonate este numit canonic pentru elipsa luată în considerare, iar variabilele corespunzătoare sunt canonic.

În sistemul de coordonate selectat, focarele au coordonatele F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Folosind formula pentru distanța dintre puncte, scriem condiția |F 1 M| + |F 2 M| = 2a în coordonate:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7,2)

Această ecuație este incomod deoarece conține doi radicali pătrați. Așa că hai să-l transformăm. Transferăm al doilea radical din ecuația (7.2) în partea dreaptă și pătratăm:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

După ce deschidem parantezele și am redus termenii similari, obținem

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

unde ε = c/a. Repetăm ​​operația de pătrare pentru a elimina și al doilea radical: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, sau, dată fiind valoarea parametrului introdus ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Deoarece a 2 - c 2 = b 2 > 0, atunci

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Ecuația (7.4) este satisfăcută de coordonatele tuturor punctelor situate pe elipsă. Dar la derivarea acestei ecuații, au fost utilizate transformări neechivalente ale ecuației inițiale (7.2) - două pătrate care îndepărtează radicalii pătrați. Punerea la pătrat a unei ecuații este o transformare echivalentă dacă ambele părți conțin cantități cu același semn, dar nu am verificat acest lucru în transformările noastre.

Este posibil să nu verificăm echivalența transformărilor dacă luăm în considerare următoarele. O pereche de puncte F 1 și F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, pe plan definește o familie de elipse cu focare în aceste puncte. Fiecare punct al planului, cu excepția punctelor segmentului F 1 F 2 , aparține unei elipse din familia indicată. În acest caz, nu se intersectează două elipse, deoarece suma razelor focale determină în mod unic o elipsă specifică. Deci, familia descrisă de elipse fără intersecții acoperă întregul plan, cu excepția punctelor segmentului F 1 F 2 . Se consideră o mulțime de puncte ale căror coordonate satisfac ecuația (7.4) cu o valoare dată a parametrului a. Acest set poate fi distribuit între mai multe elipse? Unele puncte ale mulțimii aparțin unei elipse cu semi-axa majoră a. Să existe un punct în această mulțime situat pe o elipsă cu o semi-axa majoră a. Atunci coordonatele acestui punct se supun ecuației

acestea. ecuațiile (7.4) și (7.5) au soluții comune. Cu toate acestea, este ușor să verificați dacă sistemul

căci ã ≠ a nu are soluții. Pentru a face acest lucru, este suficient să excludeți, de exemplu, x din prima ecuație:

care după transformări duce la ecuaţie

neavând soluții pentru ã ≠ a, deoarece . Deci, (7.4) este ecuația unei elipse cu semiaxa majoră a > 0 și semiaxa minoră b = √ (a 2 - c 2) > 0. Se numește ecuația canonică a elipsei.

Vedere elipsă. Metoda geometrică de construire a unei elipse considerată mai sus oferă o idee suficientă despre aspect elipsă. Dar forma unei elipse poate fi investigată și cu ajutorul ecuației sale canonice (7.4). De exemplu, considerând y ≥ 0, puteți exprima y în termeni de x: y = b√(1 - x 2 /a 2) și, după ce ați examinat această funcție, construiți graficul acesteia. Există o altă modalitate de a construi o elipsă. Un cerc de rază a centrat la originea sistemului de coordonate canonic al elipsei (7.4) este descris de ecuația x 2 + y 2 = a 2 . Dacă este comprimat cu coeficientul a/b > 1 de-a lungul axa y, atunci obțineți o curbă care este descrisă de ecuația x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, adică o elipsă.

Observația 7.1. Dacă același cerc este comprimat cu coeficientul a/b

Excentricitatea elipsei. Raportul dintre distanța focală a unei elipse și axa sa majoră se numește excentricitatea elipseiși notat cu ε. Pentru o elipsă dată

ecuația canonică (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Dacă în (7.4) parametrii a și b sunt legați prin inegalitatea a

Pentru c = 0, când elipsa se transformă într-un cerc, iar ε = 0. În alte cazuri, 0

Ecuația (7.3) este echivalentă cu ecuația (7.4) deoarece ecuațiile (7.4) și (7.2) sunt echivalente. Prin urmare, (7.3) este, de asemenea, o ecuație de elipsă. În plus, relația (7.3) este interesantă prin faptul că oferă o formulă simplă fără radicali pentru lungimea |F 2 M| una dintre razele focale ale punctului M(x; y) al elipsei: |F 2 M| = a + εx.

O formulă similară pentru a doua rază focală poate fi obținută din considerente de simetrie sau prin repetarea calculelor în care, înainte de ecuația la pătrat (7.2), primul radical este transferat în partea dreaptă, și nu al doilea. Deci, pentru orice punct M(x; y) de pe elipsă (vezi Fig. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7,6)

și fiecare dintre aceste ecuații este o ecuație de elipsă.

Exemplul 7.1. Să găsim ecuația canonică a unei elipse cu semi-axa majoră 5 și excentricitatea 0,8 și să o construim.

Cunoscând semiaxa majoră a elipsei a = 5 și excentricitatea ε = 0,8, găsim semiaxa sa minoră b. Deoarece b \u003d √ (a 2 - c 2) și c \u003d εa \u003d 4, atunci b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Deci ecuația canonică are forma x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Pentru a construi o elipsă, este convenabil să desenați un dreptunghi centrat la originea sistemului de coordonate canonice, ale cărui laturi sunt paralele cu axele de simetrie ale elipsei și egale cu aceasta. axele corespunzătoare (Fig. 7.4). Acest dreptunghi se intersectează cu

axele elipsei la vârfurile sale A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), iar elipsa însăși este înscrisă în ea. Pe fig. 7.4 arată, de asemenea, focarele F 1.2 (±4; 0) ale elipsei.

Proprietățile geometrice ale unei elipse. Să rescriem prima ecuație din (7.6) ca |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Rețineți că valoarea a / ε - x pentru a > c este pozitivă, deoarece focarul F 1 nu aparține elipsei. Această valoare este distanța până la linia verticală d: x = a/ε de la punctul M(x; y) din stânga acestei linii. Ecuația elipsei poate fi scrisă ca

|F 1 M|/(а/ε - x) = ε

Înseamnă că această elipsă este formată din acele puncte M (x; y) ale planului pentru care raportul dintre lungimea razei focale F 1 M și distanța la dreapta d este o valoare constantă egală cu ε (Fig. 7.5).

Linia d are o "dublă" - o linie verticală d", simetrică față de d față de centrul elipsei, care este dată de ecuația x \u003d -a / ε. În ceea ce privește d", elipsa este descrisă în același mod ca și cu privire la d. Ambele linii d și d" sunt numite directrice de elipsă. Directricele elipsei sunt perpendiculare pe axa de simetrie a elipsei, pe care se află focarele sale, și sunt separate de centrul elipsei la o distanță a / ε \u003d a 2 / c (vezi Fig. 7.5) .

Se numește distanța p de la directrice până la focarul cel mai apropiat de acesta parametrul focal al elipsei. Acest parametru este egal cu

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elipsa are un alt important proprietate geometrică: razele focale F 1 M şi F 2 M formează unghiuri egale cu tangenta la elipsă în punctul M (fig. 7.6).

Această proprietate are un clar sens fizic. Dacă o sursă de lumină este plasată la focarul F 1, atunci fasciculul care iese din acest focar, după reflectarea din elipsă, va merge de-a lungul celei de-a doua raze focale, deoarece după reflectare va fi la același unghi față de curbă ca înainte de reflectare. . Astfel, toate razele care părăsesc focarul F 1 vor fi concentrate în al doilea focar F 2 și invers. Pe baza acestei interpretări, această proprietate se numește proprietatea optică a unei elipse.

Elipsă

Elipsă. Se concentrează. Ecuația elipsei. Distanta focala.

Axele majore și minore ale elipsei. Excentricitate. Ecuația

tangentă la elipsă. Condiția de tangență între o linie și o elipsă.

Elipsă (fig.1 ) este locul punctelor, suma distanțelor de la care la două puncte date F 1 și F 2 sunat trucuri elipsa este o valoare constantă.

Ecuația elipsei (Fig .1):

Aici origineeste centrul de simetrie al elipsei, dar axele de coordonate sunt axele sale de simetrie. LaA > bfocarele elipsei se află pe axă OH (Fig. 1) , la A< b focarele elipsei se află pe axă DESPRE Y, și atunci când A= belipsa devine cerc(focarele elipsei coincid în acest caz cu centrul cercului). În acest fel, un cerc este un caz special al unei elipse .

Secțiune F 1 F 2 = 2 din, Unde , se numește distanta focala . SecțiuneAB = 2 Anumit axa majoră a elipsei , și segmentul CD = 2 b – axa minoră elipsă . Număre = c / A , e < 1 называется excentricitate elipsă .

Lasa R(X 1 , la 1 ) este punctul elipsei, atunciecuația tangentă la elipsă în