Vector unitar- acest vector, a cărui valoare absolută (modul) este egală cu unu. Pentru a desemna un vector unitar, vom folosi indicele e. Deci, dacă este dat un vector dar, atunci vectorul său unitar va fi vectorul dar e. Acest vector unitar indică în aceeași direcție cu vectorul însuși dar, iar modulul său este egal cu unu, adică a e \u003d 1.

Evident, dar= a dar e (a - modulul vectorial dar). Aceasta rezultă din regula prin care se realizează operația de înmulțire a unui scalar cu un vector.

Vectori unitari adesea asociat cu axele de coordonate ale sistemului de coordonate (în special, cu axele sistemului de coordonate carteziene). Direcții ale acestora vectori coincid cu direcțiile axelor corespunzătoare, iar originile lor sunt adesea combinate cu originea sistemului de coordonate.

Lasă-mă să-ți amintesc asta Sistemul de coordonate cartezieneîn spațiu se numește în mod tradițional un triplu de axe reciproc perpendiculare care se intersectează într-un punct numit origine. Axele de coordonate sunt de obicei notate cu literele X, Y, Z și sunt numite axa absciselor, axa ordonatelor și, respectiv, axa aplicată. Descartes însuși a folosit o singură axă, pe care au fost trasate abscisele. meritul de utilizare sisteme topoarele aparține elevilor săi. Prin urmare sintagma Sistemul de coordonate carteziene greșit din punct de vedere istoric. Mai bine vorbim dreptunghiular sistem de coordonate sau sistem de coordonate ortogonal. Cu toate acestea, nu vom schimba tradițiile și în viitor vom presupune că sistemele de coordonate carteziene și dreptunghiulare (ortogonale) sunt unul și același.

Vector unitar, îndreptată de-a lungul axei X, se notează i, vector unitar, îndreptată de-a lungul axei Y, se notează j, dar vector unitar, îndreptată de-a lungul axei Z, se notează k. Vectori i, j, k numit orts(Fig. 12, stânga), au module unice, adică
i = 1, j = 1, k = 1.

topoare şi orts sistem de coordonate dreptunghiularîn unele cazuri au alte denumiri şi denumiri. Deci, axa de abscisă X poate fi numită axa tangentă, iar vectorul său unitar este notat τ (greacă litera mica tau), axa y este axa normală, vectorul său unitar este notat n, axa aplicată este axa binormalului, vectorul său unitar este notat b. De ce să schimbi numele dacă esența rămâne aceeași?

Faptul este că, de exemplu, în mecanică, atunci când se studiază mișcarea corpurilor, se folosește foarte des un sistem de coordonate dreptunghiulare. Deci, dacă sistemul de coordonate în sine este nemișcat, iar modificarea coordonatelor unui obiect în mișcare este urmărită în acest sistem nemișcat, atunci de obicei axele indică X, Y, Z și lor. orts respectiv i, j, k.

Dar adesea, atunci când un obiect se mișcă de-a lungul unui fel de traiectorie curbilinie (de exemplu, de-a lungul unui cerc), este mai convenabil să luăm în considerare procesele mecanice într-un sistem de coordonate care se mișcă cu acest obiect. Pentru un astfel de sistem de coordonate în mișcare sunt folosite alte denumiri ale axelor și ale vectorilor lor unitari. Este doar acceptat. În acest caz, axa X este direcționată tangențial la traiectoria în punctul în care se află în prezent acest obiect. Și atunci această axă nu se mai numește axa X, ci axa tangentă, iar vectorul ei unitar nu mai este notat i, dar τ . Axa Y este îndreptată de-a lungul razei de curbură a traiectoriei (în cazul mișcării într-un cerc - spre centrul cercului). Și întrucât raza este perpendiculară pe tangente, axa se numește axa normalei (perpendiculară și normală sunt același lucru). Ortul acestei axe nu mai este notat j, dar n. A treia axă (fostul Z) este perpendiculară pe cele două anterioare. Acesta este un binormal cu un vector b(Fig. 12, dreapta). Apropo, în acest caz sistem de coordonate dreptunghiular adesea denumite „naturale” sau naturale.

O modificare a coordonatei x2 - x1 este de obicei indicată prin simbolul Δx12 (se citește „delta x unu, doi”). Această intrare înseamnă că în intervalul de timp de la momentul t1 până la momentul t2, modificarea coordonatei corpului Δx12 = x2 - x1. Astfel, dacă corpul s-a deplasat în direcția pozitivă a axei X a sistemului de coordonate ales (x2 > x1), atunci Δx12 >

Pe fig. 45 prezintă un corp de punct B, care se mișcă în direcția negativă a axei X. În intervalul de timp de la t1 la t2, se deplasează de la un punct cu o coordonată x1 mai mare la un punct cu o coordonată x2 mai mică. Ca urmare, modificarea coordonatei punctului B în intervalul de timp considerat Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m. Vectorul deplasare în acest caz va fi direcționat în direcția negativă a X. axa și modulul acesteia |Δx12| este de 3 m. Din exemplele luate în considerare se pot trage următoarele concluzii.

În exemplele luate în considerare (vezi Fig. 44 și 45), corpul s-a deplasat tot timpul într-o singură direcție.

Cum să găsiți modulul deplasării în fizică? (Poate că există o formulă universală?)

Prin urmare, distanța parcursă de el este egală cu modulul modificării coordonatelor corpului și cu modulul deplasării: s12 = |Δx12|.

Să determinăm modificarea coordonatei și deplasarea corpului pe intervalul de timp de la t0 = 0 la t2 = 7 s. În conformitate cu definiția, modificarea coordonatei Δx02 = x2 - x0 = 2 m >

Acum să determinăm calea pe care corpul a parcurs-o pentru aceeași perioadă de timp de la t0 = 0 la t2 = 7 s. În primul rând, corpul a parcurs 8 m într-o direcție (care corespunde modulului de modificare a coordonatei Δx01), apoi 6 m în direcție inversă(această valoare corespunde modulului de modificare a coordonatelor Δx12). Aceasta înseamnă că corpul total a trecut de 8 + 6 = 14 (m). Conform definiției traseului, în intervalul de timp de la t0 la t2, corpul a parcurs traseul s02 = 14 m.

Rezultate

Mișcarea unui punct într-o perioadă de timp este un segment direcționat al unei linii drepte, începutul căruia coincide cu poziția inițială a punctului, iar sfârșitul coincide cu poziția finală a punctului.

Întrebări

Exerciții

Vectori, acțiuni cu vectori

teoremele lui pitagora teorema cosinusului

Lungimea vectorului va fi notată cu . Modulul unui număr are o denumire similară, iar lungimea unui vector este adesea numită modulul unui vector.

, Unde .

În acest fel, .

Luați în considerare un exemplu.

:

.

În acest fel, lungimea vectorului .

Calculați lungimea vectorului

, Prin urmare,

Începutul paginii

Să luăm în considerare exemple.

.

in miscare

:

:

.

.

Începutul paginii

În acest fel, .

sau ,
sau ,

A înțeles vreodată?
Comandați o soluție

Începutul paginii

Până acum, am luat în considerare doar liniarul mișcare uniformă. În acest caz, corpurile punctuale s-au deplasat în cadrul de referință ales fie în direcția pozitivă, fie în direcția negativă a axei de coordonate X. Am constatat că, în funcție de direcția de mișcare a corpului, de exemplu, în intervalul de timp de la de la momentul t1 la momentul t2, modificarea coordonatei corpului (x2 - x1 ) poate fi pozitivă, negativă sau egală cu zero (dacă x2 = x1).

O modificare a coordonatei x2 - x1 este de obicei indicată prin simbolul Δx12 (se citește „delta x unu, doi”). Această intrare înseamnă că în intervalul de timp de la momentul t1 până la momentul t2, modificarea coordonatei corpului Δx12 = x2 - x1. Astfel, dacă corpul s-a deplasat în direcția pozitivă a axei X a sistemului de coordonate selectat (x2 > x1), atunci Δx12 > 0. Dacă mișcarea a avut loc în direcția negativă a axei X (x21), atunci Δx12

Este convenabil să determinați rezultatul mișcării folosind o mărime vectorială. Această mărime vectorială este deplasarea.

Mișcarea unui punct într-o perioadă de timp este un segment direcționat al unei linii drepte, începutul căruia coincide cu poziția inițială a punctului, iar sfârșitul coincide cu poziția finală a punctului.

Ca orice mărime vectorială, deplasarea este caracterizată de modul și direcție.

Vom scrie vectorul deplasării punctului pentru intervalul de timp de la t1 la t2 în felul următor: Δx12.

Să explicăm ceea ce s-a spus cu un exemplu. Lăsați un punct A (cap punctat) să se miște în direcția pozitivă a axei X și să se deplaseze de la un punct cu coordonata x1 la un punct cu o coordonată x2 mai mare pe o perioadă de timp de la t1 la t2 (Fig. 44). În acest caz, vectorul deplasare este îndreptat în direcția pozitivă a axei X, iar modulul său este egal cu modificarea coordonatei pentru intervalul de timp considerat: Δx12 = x2 - x1 = (5 - 2) m = 3 m .

Pe fig. 45 prezintă un corp punctual B care se mișcă în direcția negativă a axei X.

În intervalul de timp de la t1 la t2, se deplasează de la un punct cu o coordonată x1 mai mare la un punct cu o coordonată x2 mai mică. Ca urmare, modificarea coordonatei punctului B în intervalul de timp considerat Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m. Vectorul deplasare în acest caz va fi direcționat în direcția negativă a X. axa și modulul acesteia |Δx12| este de 3 m. Din exemplele luate în considerare se pot trage următoarele concluzii.

Direcția de mers când mișcare rectilinieîntr-o direcție coincide cu direcția de mișcare.

Modulul vectorului deplasare este egal cu modulul modificării coordonatelor corpului în perioada de timp considerată.

ÎN Viata de zi cu zi pentru descriere rezultat final mișcările folosesc conceptul de „cale”. De obicei, drumul este notat cu simbolul S.

Calea este întreaga distanță parcursă de un corp punct în perioada de timp considerată.

Ca orice distanță, calea este o valoare nenegativă. De exemplu, traseul parcurs de punctul A din exemplul considerat (vezi Fig. 44) este de trei metri. Drumul parcurs de punctul B este de asemenea de trei metri.

În exemplele luate în considerare (vezi Fig. 44 și 45), corpul s-a deplasat tot timpul într-o singură direcție. Prin urmare, distanța parcursă de el este egală cu modulul modificării coordonatelor corpului și cu modulul deplasării: s12 = |Δx12|.

Dacă corpul s-a deplasat tot timpul în aceeași direcție, atunci distanța parcursă de acesta este egală cu modulul de deplasare și cu modulul de schimbare a coordonatelor.

Situația se va schimba dacă corpul în perioada de timp considerată își schimbă direcția de mișcare.

Pe fig. 46 arată cum s-a deplasat corpul punctual din momentul t0 = 0 până la momentul t2 = 7 s. Până în momentul t1 = 4 s, mișcarea a decurs uniform în direcția pozitivă a axei X. Ca urmare, modificarea coordonatei Δx01 = x1 - x0 = (11 - 3) m = -8 m. După aceea, corpul a început să se miște în direcția negativă a axei X până în momentul t2 = 7 s. În același timp, modificarea coordonatele sale Δx12 = x2 - x1 = (5 - 11) m = -6 m. Graficul acestei mișcări este prezentat în fig. 47.

Să determinăm modificarea coordonatei și deplasarea corpului pe intervalul de timp de la t0 = 0 la t2 = 7 s. În conformitate cu definiția, modificarea coordonatei Δx02 = x2 - x0 = 2 m > 0. Prin urmare, deplasarea Δx02 este direcționată în direcția pozitivă a axei X, iar modulul său este de 2 m.

Acum să determinăm calea pe care corpul a parcurs-o pentru aceeași perioadă de timp de la t0 = 0 la t2 = 7 s. În primul rând, corpul a parcurs 8 m într-o direcție (care corespunde modulului de schimbare a coordonatei Δx01), apoi 6 m în direcția opusă (această valoare corespunde modulului de schimbare a coordonatei Δx12).

Traiectorie

Aceasta înseamnă că corpul total a trecut de 8 + 6 = 14 (m). Conform definiției traseului, în intervalul de timp de la t0 la t2, corpul a parcurs traseul s02 = 14 m.

Exemplul analizat ne permite să concluzionam:

În cazul în care corpul în perioada de timp considerată își schimbă direcția de mișcare, traseul (toată distanța parcursă de corp) este mai mare atât decât modulul deplasării corpului, cât și modulul modificării coordonatelor corpului. .

Acum imaginați-vă că corpul după momentul de timp t2 = 7 s și-a continuat mișcarea în direcția negativă a axei X până în momentul t3 = 8 s în conformitate cu legea prezentată în Fig. 47 linie punctată. Ca urmare, la momentul t3 = 8 s, coordonata corpului a devenit x3 = 3 m. Este ușor de determinat că, în acest caz, mișcarea corpului în intervalul de timp de la t0 la t3 s este egală cu Δx13 = 0.

Este clar că dacă știm doar mișcarea corpului în timpul mișcării sale, atunci nu putem spune cum s-a mișcat corpul în acest timp. De exemplu, dacă s-ar ști doar despre corp că coordonatele sale inițiale și finale sunt egale, atunci am spune că în timpul mișcării deplasarea acestui corp este zero. Ar fi imposibil să spunem ceva mai concret despre natura mișcării acestui corp. Corpul ar putea, în asemenea condiții, să stea nemișcat pentru întreaga perioadă de timp.

Mișcarea corpului într-o anumită perioadă de timp depinde doar de coordonatele inițiale și finale ale corpului și nu depinde de modul în care s-a mișcat corpul în această perioadă de timp.

Rezultate

Mișcarea unui punct într-o perioadă de timp este un segment direcționat al unei linii drepte, începutul căruia coincide cu poziția inițială a punctului, iar sfârșitul coincide cu poziția finală a punctului.

Deplasarea unui corp punctual este determinată doar de coordonatele finale și inițiale ale corpului și nu depinde de modul în care corpul s-a deplasat în perioada de timp considerată.

Calea este întreaga distanță parcursă de un corp punct în perioada de timp considerată.

Dacă corpul în procesul de mișcare nu a schimbat direcția de mișcare, atunci calea parcursă de acest corp este egală cu modulul deplasării sale.

Dacă corpul în perioada de timp considerată și-a schimbat direcția de mișcare, calea este mai mare atât decât deplasarea corpului, cât și modulul de schimbare a coordonatelor corpului.

Calea este întotdeauna nenegativă. Este egal cu zero numai dacă pe toată perioada de timp considerată corpul a fost în repaus (a stat nemișcat).

Întrebări

1. Ce este mișcarea? De ce depinde?
2. Ce este o cale? De ce depinde?
3. Cum diferă calea de mișcarea și schimbarea coordonatei pentru aceeași perioadă de timp în care corpul s-a deplasat în linie dreaptă fără a schimba direcția de mișcare?

Exerciții

1. Folosind legea mișcării în formă grafică, prezentată în fig. 47, descriu natura mișcării corpului (direcție, viteză) la diferite intervale de timp: de la t0 la t1, de la t1 la t2, de la t2 la t3.
2. Câinele Proton a fugit din casă în momentul t0 = 0, iar apoi, la comanda proprietarului său, în momentul t4 = 4 s, sa repezit înapoi. Știind că Protonul a alergat în linie dreaptă tot timpul și modulul vitezei sale |v| = 4 m/s, determinați grafic: a) modificarea coordonatelor și a traseului Protonului în intervalul de timp de la t0 = 0 la t6 = 6 s; b) traseul protonului pe intervalul de timp de la t2 = 2 s la t5 = 5 s.

Vectori, acțiuni cu vectori

Găsirea lungimii unui vector, exemple și soluții.

Prin definiție, un vector este un segment direcționat, iar lungimea acestui segment pe o scară dată este lungimea vectorului. Astfel, problema găsirii lungimii unui vector în plan și în spațiu se reduce la găsirea lungimii segmentului corespunzător. Pentru a rezolva această problemă, avem la dispoziție toate mijloacele de geometrie, deși în majoritatea cazurilor este suficient teoremele lui pitagora. Cu ajutorul acestuia, puteți obține o formulă pentru calcularea lungimii unui vector din coordonatele sale într-un sistem de coordonate dreptunghiular, precum și o formulă pentru găsirea lungimii unui vector din coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit. Când un vector este o latură a unui triunghi, atunci lungimea acestuia poate fi găsită din teorema cosinusului, dacă se cunosc lungimile celorlalte două laturi și unghiul dintre ele.

Aflarea lungimii unui vector prin coordonate.

Lungimea vectorului va fi notată cu .

dicționar fizic (cinematică)

Modulul unui număr are o denumire similară, iar lungimea unui vector este adesea numită modulul unui vector.

Să începem prin a găsi lungimea vectorului pe plan după coordonate.

Să introducem un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy pe plan. Fie dat un vector în el și are coordonatele. Să obținem o formulă care vă permite să găsiți lungimea vectorului prin coordonatele și .

Lăsați deoparte de originea coordonatelor (din punctul O) vectorul . Să notăm proiecțiile punctului A pe axele de coordonate ca si respectiv, si consideram un dreptunghi cu diagonala OA.

În virtutea teoremei lui Pitagora, egalitatea , Unde . Din definirea coordonatelor unui vector într-un sistem de coordonate dreptunghiular, putem afirma că și , și prin construcție, lungimea lui OA este egală cu lungimea vectorului , prin urmare, .

În acest fel, formula pentru determinarea lungimii unui vectorîn coordonatele sale pe plan are forma .

Dacă vectorul este reprezentat ca o descompunere în vectori de coordonate , atunci lungimea sa este calculată prin aceeași formulă , deoarece în acest caz coeficienții și sunt coordonatele vectorului în sistemul de coordonate dat.

Luați în considerare un exemplu.

Aflați lungimea vectorului dat în coordonate carteziene.

Aplicați imediat formula pentru a găsi lungimea vectorului după coordonate :

Acum obținem o formulă pentru găsirea lungimii unui vector prin coordonatele sale în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu.

Lăsăm vectorul de la origine și notăm proiecțiile punctului A pe axele de coordonate ca și . Apoi putem construi pe laturi și un paralelipiped dreptunghiular, în care OA va fi o diagonală.

În acest caz (deoarece OA este o diagonală cuboid), Unde . Determinarea coordonatelor vectorului ne permite să scriem egalitățile, iar lungimea OA este egală cu lungimea dorită a vectorului, prin urmare, .

În acest fel, lungimea vectorului în spațiu este egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale, adică se găsește prin formula .

Calculați lungimea vectorului , unde sunt ortele sistemului de coordonate dreptunghiulare.

Ni se dă expansiunea unui vector în termeni de vectori de coordonate de forma , Prin urmare, . Apoi, conform formulei de găsire a lungimii unui vector prin coordonate, avem .

Începutul paginii

Lungimea vectorului în termeni de coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit.

Dar cum să găsiți lungimea unui vector dacă sunt date coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit?

În paragraful anterior, am primit formule pentru găsirea lungimii unui vector din coordonatele sale în plan și în spațiul tridimensional. Apoi le putem folosi dacă găsim coordonatele vectorului după coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit.

Astfel, dacă punctele și sunt date pe plan, atunci vectorul are coordonate iar lungimea sa se calculează prin formula , și formula pentru găsirea lungimii vectorului după coordonatele punctelor Și spatiu tridimensional se pare ca .

Să luăm în considerare exemple.

Aflați lungimea vectorului dacă este într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare .

Puteți aplica imediat formula pentru găsirea lungimii unui vector după coordonatele punctelor de început și de sfârșit din plan :

A doua soluție este să determinați coordonatele vectorului prin coordonatele punctelor și să aplicați formula :

.

Determinați pentru ce valori este lungimea vectorului, dacă .

Lungimea vectorului după coordonatele punctelor de început și de sfârșit poate fi găsită ca

Echivalând valoarea obținută a lungimii vectorului cu , le calculăm pe cele necesare:

Începutul paginii

Aflarea lungimii unui vector folosind teorema cosinusului.

Majoritatea problemelor privind găsirea lungimii unui vector sunt rezolvate în coordonate. Cu toate acestea, atunci când coordonatele vectorului nu sunt cunoscute, trebuie să căutați alte soluții.

Fie cunoscute lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei (sau cosinusul unghiului) și este necesar să se găsească lungimea vectorului sau . În acest caz, folosind legea cosinusului din triunghiul ABC, puteți calcula lungimea laturii BC, care este egală cu lungimea dorită a vectorului.

Să aruncăm o privire la soluția exemplului pentru a clarifica ceea ce s-a spus.

Lungimile vectorilor și sunt 3 și, respectiv, 7, iar unghiul dintre ei este . Calculați lungimea vectorului.

Lungimea vectorului este egală cu lungimea laturii BC din triunghiul ABC. Din condiție, cunoaștem lungimile laturilor AB și AC ale acestui triunghi (sunt egale cu lungimile vectorilor corespunzători), precum și unghiul dintre ele, deci avem suficiente date pentru a aplica teorema cosinusului:

În acest fel, .

Deci, pentru a găsi lungimea unui vector după coordonate, folosim formulele
sau ,
prin coordonatele punctelor de început și de sfârșit ale vectorului —
sau ,
în unele cazuri, teorema cosinusului conduce la un rezultat.

A înțeles vreodată?
Comandați o soluție

Începutul paginii

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Clasele 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 de liceu.

Căutare cursuri

Pătrat scalar vectorial

Ce se întâmplă dacă un vector este înmulțit cu el însuși?

Numărul este sunat pătrat scalar vector , și sunt notate ca .

În acest fel, pătrat scalar vectorialeste egal cu pătratul lungimii vectorului dat:

Un vector în geometrie este un segment direcționat sau o pereche ordonată de puncte în spațiul euclidian. Ortom vector este vectorul unitar al normalizatului spațiu vectorial sau un vector a cărui normă (lungime) este egală cu unu.

Vei avea nevoie

• Cunoștințe de geometrie.

Instruire

Mai întâi trebuie să calculați lungimea vector. După cum știți, lungimea (modulul) vector este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor. Fie dat un vector cu coordonate: a(3, 4). Atunci lungimea sa este |a| = (9 + 16)^1/2 sau |a|=5.

Pentru a găsi ort vector a, este necesar să se împartă fiecare dintre ele la lungimea sa. Rezultatul va fi un vector, care se numește ort sau vector unitar. Pentru vector a(3, 4) ort va fi vectorul a(3/5, 4/5). Vector a` va fi singur pentru vector dar.

Pentru a verifica dacă ort-ul a fost găsit corect, puteți face următoarele: găsiți lungimea ort-ului primit, dacă este egal cu unu, atunci totul este găsit corect, dacă nu, atunci s-a strecurat o eroare în calcule. Să verificăm dacă ort a` este găsit corect. Lungime vector a` este egal cu: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Deci, lungimea vector a` este egal cu unu, deci vectorul unitar este găsit corect.

În cele din urmă, am pus mâna pe un subiect amplu și mult așteptat geometrie analitică. Mai întâi un pic despre aceasta sectiune matematica superioara…. Cu siguranță că acum ți-ai amintit cursul de geometrie școlară cu numeroase teoreme, dovezile lor, desene etc. Ce să ascunzi, un subiect neiubit și adesea obscur pentru o proporție semnificativă de studenți. Geometria analitică, destul de ciudat, poate părea mai interesantă și mai accesibilă. Ce înseamnă adjectivul „analitic”? Imediat îmi vin în minte două ture matematice ștampilate: „metoda grafică de soluție” și „metoda analitică de soluție”. Metoda grafică , desigur, este asociat cu construcția de grafice, desene. Analitic la fel metodă presupune rezolvarea problemelor predominant prin operaţii algebrice. În acest sens, algoritmul pentru rezolvarea aproape a tuturor problemelor de geometrie analitică este simplu și transparent, de multe ori este suficient să aplicați cu exactitate formulele necesare - iar răspunsul este gata! Nu, desigur, nu se va lipsi deloc de desene, în plus, pentru o mai bună înțelegere a materialului, voi încerca să le aduc peste nevoie.

Cursul deschis de lecții de geometrie nu pretinde a fi completitudine teoretică, este axat pe rezolvarea unor probleme practice. Voi include în prelegerile mele doar ceea ce, din punctul meu de vedere, este important din punct de vedere practic. Dacă aveți nevoie de o referință mai completă la orice subsecțiune, vă recomand următoarea literatură destul de accesibilă:

1) Un lucru care, fără glumă, este familiar mai multor generații: Manual școlar de geometrie, autorii - L.S. Atanasyan și Compania. Acest umeraș pentru vestiar a școlii a rezistat deja la 20 (!) reeditări, ceea ce, desigur, nu este limita.

2) Geometrie în 2 volume. Autorii L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Aceasta este literatura pentru liceu, vei avea nevoie primul volum. Sarcinile care apar rar pot cădea în afara câmpului meu vizual și tutorial va oferi un ajutor neprețuit.

Ambele cărți pot fi descărcate gratuit online. De asemenea, puteți folosi arhiva mea cu soluții gata făcute, care poate fi găsit pe pagină Descărcați exemple de matematică superioară .

Dintre instrumente, ofer din nou propria mea dezvoltare - pachete software pe geometria analitică, care va simplifica foarte mult viața și va economisi mult timp.

Se presupune că cititorul este familiarizat cu elementele de bază concepte geometriceși figuri: punct, dreaptă, plan, triunghi, paralelogram, paralelipiped, cub etc. Este indicat să vă amintiți unele teoreme, cel puțin teorema lui Pitagora, salut repetitoare)

Și acum vom lua în considerare secvențial: conceptul de vector, acțiuni cu vectori, coordonate vectoriale. Mai departe recomand lectura cel mai important articol Produsul punctual al vectorilor , precum și Vector și produsul mixt al vectorilor . O sarcină locală nu va fi de prisos - Divizarea segmentului în acest sens. Pe baza informațiilor de mai sus, puteți ecuația unei drepte într-un plan din cele mai simple exemple de soluții , ceea ce va permite învață cum să rezolvi probleme de geometrie . Următoarele articole sunt de asemenea utile: Ecuația unui plan în spațiu , Ecuațiile unei linii drepte în spațiu , Sarcini de bază pe o linie dreaptă și un plan, alte ramuri ale geometriei analitice. Desigur, sarcinile standard vor fi luate în considerare pe parcurs.

Conceptul de vector. vector liber

Mai întâi, să repetăm ​​definiția școlară a unui vector. Vector numit regizat un segment pentru care sunt indicate începutul și sfârșitul:

În acest caz, începutul segmentului este punctul , sfârșitul segmentului este punctul . Vectorul însuși este notat cu . Direcţie este esențial, dacă rearanjați săgeata la celălalt capăt al segmentului, obțineți un vector și acesta este deja vector complet diferit. Este convenabil să identificăm conceptul de vector cu mișcare corpul fizic: de acord, sa intri pe usile institutului sau sa iesi pe usile institutului sunt cu totul alte lucruri.

Este convenabil să luați în considerare punctele individuale ale unui plan, spațiul așa-numitul vector zero. Un astfel de vector are același capăt și același început.

!!! Notă: Aici și mai jos, puteți presupune că vectorii se află în același plan sau puteți presupune că sunt localizați în spațiu - esența materialului prezentat este valabilă atât pentru plan, cât și pentru spațiu.

Denumiri: Mulți au atras imediat atenția asupra unui băț fără săgeată în denumire și au spus că au pus și o săgeată în vârf! Așa e, poți scrie cu o săgeată: , dar admisibil și înregistrare pe care o voi folosi mai târziu. De ce? Aparent, un astfel de obicei s-a dezvoltat din considerente practice, împușcătorii mei de la școală și universitate s-au dovedit a fi prea diverși și plini. ÎN literatură educațională uneori nu se deranjează deloc cu cuneiformul, dar evidențiază literele cu caractere aldine: , implicând astfel că acesta este un vector.

Acesta a fost stilul și acum despre modalitățile de scriere a vectorilor:

1) Vectorii se pot scrie cu două litere mari latine:
etc. În timp ce prima literă neapărat indică punctul de început al vectorului, iar a doua literă indică punctul final al vectorului.

2) Vectorii se scriu și cu litere mici latine:
În special, vectorul nostru poate fi redesemnat pentru concizie printr-o literă latină mică.

Lungime sau modul vectorul diferit de zero se numește lungimea segmentului. Lungimea vectorului nul este zero. Logic.

Lungimea unui vector se notează prin semnul modulo: ,

Cum să găsim lungimea unui vector, vom învăța (sau vom repeta, pentru cine cum) puțin mai târziu.

Era o informație elementară despre vector, familiară tuturor școlarilor. În geometria analitică, așa-numita vector liber.

Dacă este destul de simplu - vectorul poate fi desenat din orice punct:

Suntem obișnuiți să numim astfel de vectori egali (definiția vectorilor egali va fi dată mai jos), dar pur cu punct matematic viziunea este ACEȘI VECTOR sau vector liber. De ce gratuit? Pentru că în cursul rezolvării problemelor puteți „atașa” unul sau altul vector „școală” la ORICE punct al planului sau spațiului de care aveți nevoie. Aceasta este o proprietate foarte cool! Imaginați-vă un segment direcționat de lungime și direcție arbitrară - poate fi „clonat” de un număr infinit de ori și în orice punct al spațiului, de fapt, există ORIUNDE. Există un astfel de proverb al elevului: Fiecare lector în f ** u în vector. La urma urmei, nu este doar o rimă plină de duh, totul este aproape corect - un segment regizat poate fi atașat și acolo. Dar nu vă grăbiți să vă bucurați, elevii înșiși suferă mai des =)

Asa de, vector liber- acest Multe segmente direcţionale identice. Definiția școlară a unui vector, dată la începutul paragrafului: „Un segment direcționat se numește vector...”, implică specific un segment direcționat luat dintr-o mulțime dată, care este atașat unui anumit punct din plan sau spațiu.

De remarcat că din punct de vedere al fizicii, conceptul de vector liber este în general incorect, iar punctul de aplicare contează. Într-adevăr, o lovitură directă cu aceeași forță pe nas sau pe frunte este suficientă pentru a dezvolta exemplul meu stupid atrage consecințe diferite. In orice caz, nu este gratis vectori întâlniși în cursul vyshmat (nu mergeți acolo :)).

Acțiuni cu vectori. Coliniaritatea vectorilor

În cursul de geometrie școlară, sunt luate în considerare o serie de acțiuni și reguli cu vectori: adunarea triunghiului, adunarea paralelogramului, regula diferenței vectoriale, înmulțirea unui vector cu un număr, produs scalar vectori etc. Ca sămânță, repetăm ​​două reguli care sunt deosebit de relevante pentru rezolvarea problemelor de geometrie analitică.

Regula adunării vectorilor după regula triunghiurilor

Luați în considerare doi vectori arbitrari nenuli și:

Este necesar să se găsească suma acestor vectori. Datorită faptului că toți vectorii sunt considerați liberi, amânăm vectorul de la Sfârșit vector:

Suma vectorilor este vectorul. Pentru o mai bună înțelegere a regulii, este indicat să investiți în ea sens fizic: lăsați un corp să facă o cale de-a lungul vectorului și apoi de-a lungul vectorului. Atunci suma vectorilor este vectorul traseului rezultat care începe în punctul de plecare și se termină în punctul de sosire. O regulă similară este formulată pentru suma oricărui număr de vectori. După cum se spune, corpul își poate merge puternic în zig-zag, sau poate pe pilot automat - de-a lungul vectorului sumă rezultat.

Apropo, dacă vectorul este amânat de la start vector , atunci obținem echivalentul regula paralelogramului adaos de vectori.

În primul rând, despre coliniaritatea vectorilor. Cei doi vectori se numesc coliniare dacă se află pe aceeaşi linie sau pe drepte paralele. În linii mari, este vectori paraleli. Dar în raport cu ele, se folosește întotdeauna adjectivul „coliniar”.

Imaginează-ți doi vectori coliniari. Dacă săgețile acestor vectori sunt direcționate în aceeași direcție, atunci se numesc astfel de vectori co-directional. Dacă săgețile arată în direcții diferite, atunci vectorii vor fi îndreptat opus.

Denumiri: coliniaritatea vectorilor este scrisă cu pictograma obișnuită de paralelism: , în timp ce detalierea este posibilă: (vectorii sunt co-direcționați) sau (vectorii sunt direcționați opus).

muncă a unui vector diferit de zero printr-un număr este un vector a cărui lungime este egală cu , iar vectorii și sunt co-direcționați către și direcționați opus către .

Regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr este mai ușor de înțeles cu o imagine:

Înțelegem mai detaliat:

1) Direcția. Dacă multiplicatorul este negativ, atunci vectorul schimbă direcția spre opus.

2) Lungimea. Dacă factorul este conținut în sau , atunci lungimea vectorului scade. Deci, lungimea vectorului este de două ori mai mică decât lungimea vectorului. Dacă multiplicatorul modulo este mai mare decât unu, atunci lungimea vectorului crește la timp.

3) Vă rugăm să rețineți că toți vectorii sunt coliniari, în timp ce un vector este exprimat prin altul, de exemplu, . Este adevărat și invers: dacă un vector poate fi exprimat în termenii altuia, atunci astfel de vectori sunt în mod necesar coliniari. În acest fel: dacă înmulțim un vector cu un număr, obținem coliniari(față de original) vector.

4) Vectorii sunt codirectionali. Vectorii și sunt, de asemenea, codirecționali. Orice vector al primului grup este opus oricărui vector al celui de-al doilea grup.

Ce vectori sunt egali?

Doi vectori sunt egali daca sunt codirectionali si au aceeasi lungime. Rețineți că co-direcția implică faptul că vectorii sunt coliniari. Definiția va fi inexactă (redundantă) dacă spuneți: „Doi vectori sunt egali dacă sunt coliniari, co-direcționați și au aceeași lungime”.

Din punctul de vedere al conceptului de vector liber, vectorii egali sunt același vector, ceea ce a fost deja discutat în paragraful anterior.

Coordonate vectoriale în plan și în spațiu

Primul punct este să luăm în considerare vectorii pe un plan. Desenați un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian și lăsați-l deoparte de origine singur vectori și:

Vectori și ortogonală. Ortogonal = Perpendicular. Recomand să ne obișnuim încet cu termenii: în loc de paralelism și perpendicularitate, folosim cuvintele respectiv coliniaritateȘi ortogonalitatea.

Desemnare: ortogonalitatea vectorilor se scrie cu semnul perpendicular obișnuit, de exemplu: .

Vectorii considerați sunt numiți vectori de coordonate sau orts. Acești vectori se formează bază la suprafata. Care este baza, cred, este intuitiv clar pentru mulți, informații mai detaliate pot fi găsite în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială .În cuvinte simple, baza și originea coordonatelor definesc întregul sistem - acesta este un fel de fundație pe care fierbe o viață geometrică plină și bogată.

Uneori se numește baza construită ortonormal baza planului: „orto” - deoarece vectorii de coordonate sunt ortogonali, adjectivul „normalizat” înseamnă unitate, i.e. lungimile vectorilor de bază sunt egale cu unu.

Desemnare: baza este de obicei scrisă între paranteze, în interiorul cărora în ordine strictă vectorii de bază sunt listați, de exemplu: . Vectori de coordonate este interzis schimba locurile.

Orice vector plan singura cale exprimat ca:
, Unde - numerele, care se numesc coordonate vectorialeîn această bază. Dar expresia în sine numit descompunere vectorialăbază .

Cina servita:

Să începem cu prima literă a alfabetului: . Desenul arată clar că atunci când se descompune vectorul din punct de vedere al bazei, se folosesc cele luate în considerare:
1) regula înmulțirii unui vector cu un număr: și ;
2) adunarea vectorilor după regula triunghiului: .

Acum lăsați mental deoparte vectorul din orice alt punct al planului. Este destul de evident că corupția lui îl va „urma neîncetat”. Iată, libertatea vectorului - vectorul „poartă totul cu tine”. Această proprietate, desigur, este adevărată pentru orice vector. Este amuzant că vectorii de bază (liberi) în sine nu trebuie să fie puși deoparte de origine, unul poate fi desenat, de exemplu, în stânga jos, iar celălalt în dreapta sus, și nimic nu se va schimba din asta! Adevărat, nu trebuie să faceți acest lucru, deoarece profesorul va arăta, de asemenea, originalitate și vă va trage un „permis” într-un loc neașteptat.

Vectori , ilustrează exact regula de înmulțire a unui vector cu un număr, vectorul este co-direcționat cu vectorul de bază, vectorul este direcționat opus vectorului de bază. Pentru acești vectori, una dintre coordonate este egală cu zero, poate fi scrisă meticulos după cum urmează:


Și vectorii de bază, apropo, sunt așa: (de fapt, ei sunt exprimați prin ei înșiși).

Și, în sfârșit: , . Apropo, ce este scăderea vectorială și de ce nu ți-am spus despre regula scăderii? Undeva în algebra liniară, nu-mi amintesc unde, am observat că scăderea este un caz special de adunare. Deci, expansiunile vectorilor „de” și „e” sunt scrise calm ca o sumă: . Urmați desenul pentru a vedea cât de bine funcționează adunarea veche a vectorilor conform regulii triunghiului în aceste situații.

Considerată descompunerea formei numită uneori descompunere vectorială în sistem ort(adică în sistemul de vectori unitari). Dar aceasta nu este singura modalitate de a scrie un vector, următoarea opțiune este comună:

Sau cu semnul egal:

Vectorii de bază înșiși sunt scriși după cum urmează: și

Adică, coordonatele vectorului sunt indicate în paranteze. În sarcinile practice, sunt utilizate toate cele trei opțiuni de înregistrare.

Mă îndoiam dacă să vorbesc, dar totuși voi spune: coordonatele vectoriale nu pot fi rearanjate. Strict pe primul loc notează coordonatele care corespund vectorului unitar, strict pe locul doi notează coordonata care corespunde vectorului unitar . Într-adevăr, și sunt doi vectori diferiți.

Ne-am dat seama de coordonatele din avion. Acum luați în considerare vectorii din spațiul tridimensional, totul este aproape la fel aici! Va fi adăugată doar o singură coordonată. Este dificil de realizat desene tridimensionale, așa că mă voi limita la un vector, pe care pentru simplitate îl voi amâna de la origine:

Orice vector spațial 3d singura cale se extinde pe o bază ortonormală:
, unde sunt coordonatele vectorului (numărului) în baza dată.

Exemplu din imagine: . Să vedem cum funcționează aici regulile de acțiune vectorială. În primul rând, înmulțind un vector cu un număr: (săgeată roșie), (săgeată verde) și (săgeată magenta). În al doilea rând, iată un exemplu de adăugare a mai multor, în acest caz trei, vectori: . Vectorul sumă începe la punctul de plecare (începutul vectorului) și se termină în punctul final de sosire (sfârșitul vectorului).

Toți vectorii spațiului tridimensional, desigur, sunt și ei liberi, încercați să amânați mental vectorul din orice alt punct și veți înțelege că expansiunea lui „rămâne cu el”.

În mod similar carcasă plată, pe lângă scris versiunile cu paranteze sunt utilizate pe scară largă: fie .

Dacă unul (sau doi) vectori de coordonate lipsesc în expansiune, atunci se pun zerouri. Exemple:
vector (minuțios ) - scrie ;
vector (minuțios) - notează;
vector (minuțios ) - scrie .

Vectorii de bază se scriu după cum urmează:

Iată, poate, toate cunoștințele teoretice minime necesare pentru rezolvarea problemelor de geometrie analitică. Poate că există prea mulți termeni și definiții, așa că recomand manechine pentru a reciti și a înțelege aceasta informatie din nou. Și va fi util oricărui cititor să se refere din când în când la lecția de bază pentru o mai bună asimilare a materialului. Coliniaritate, ortogonalitate, bază ortonormală, descompunere vectorială - acestea și alte concepte vor fi adesea folosite în cele ce urmează. Remarc că materialele site-ului nu sunt suficiente pentru a trece un test teoretic, un colocviu de geometrie, din moment ce criptez cu grijă toate teoremele (în afară de fără dovezi) - în detrimentul stilului științific de prezentare, dar un plus pentru înțelegerea dvs. a subiectului. Pentru informații teoretice detaliate, vă rog să vă înclinați în fața profesorului Atanasyan.

Acum să trecem la partea practică:

Cele mai simple probleme de geometrie analitică.
Acțiuni cu vectori în coordonate

Sarcinile care vor fi luate în considerare, este foarte de dorit să învățați cum să le rezolvați complet automat și formulele memora, nici nu-l amintesc intenționat, își vor aminti ei înșiși =) Acest lucru este foarte important, deoarece alte probleme de geometrie analitică se bazează pe cele mai simple exemple elementare și va fi enervant să petreci timp suplimentar mâncând pioni. Nu trebuie să-ți închizi nasturii de sus pe cămașă, multe lucruri îți sunt familiare de la școală.

Prezentarea materialului va urma un curs paralel - atât pentru avion, cât și pentru spațiu. Din motivul că toate formulele... veți vedea singur.

Cum să găsești un vector având două puncte?

Dacă sunt date două puncte ale planului și, atunci vectorul are următoarele coordonate:

Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci vectorul are următoarele coordonate:

adica de la coordonatele capătului vectorului trebuie să scazi coordonatele corespunzătoare pornire vectorială.

Sarcina: Pentru aceleași puncte, scrieți formulele de găsire a coordonatelor vectorului. Formule la sfârșitul lecției.

Exemplul 1

Având în vedere două puncte în plan și . Găsiți coordonatele vectoriale

Soluţie: după formula corespunzătoare:

În mod alternativ, se poate folosi următoarea notație:

Esteții vor decide astfel:

Personal, m-am obișnuit cu prima versiune a discului.

Răspuns:

Conform condiției, nu a fost necesar să se construiască un desen (ceea ce este tipic pentru problemele de geometrie analitică), dar pentru a explica unele puncte manechinilor, nu voi fi prea leneș:

Trebuie inteles diferența dintre coordonatele punctului și coordonatele vectoriale:

Coordonatele punctului sunt coordonatele obișnuite într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Pune deoparte puncte pentru plan de coordonate Cred că toată lumea o poate face din clasa 5-6. Fiecare punct are un loc strict în avion și nu pot fi mutați nicăieri.

Coordonatele aceluiasi vector este extinderea sa în raport cu baza , în acest caz . Orice vector este liber, prin urmare, dacă se dorește sau este necesar, îl putem amâna cu ușurință dintr-un alt punct din plan. Interesant, pentru vectori, nu puteți construi deloc axe, un sistem de coordonate dreptunghiular, aveți nevoie doar de o bază, în acest caz, de o bază ortonormală a planului.

Înregistrările coordonatelor punctului și ale coordonatelor vectoriale par a fi similare: , și simțul coordonatelor absolut diferit, și ar trebui să fiți bine conștienți de această diferență. Această diferență, desigur, este valabilă și pentru spațiu.

Doamnelor și domnilor, ne umplem mâinile:

Exemplul 2

a) Punctele date și . Găsiți vectori și .
b) Se acordă puncte Și . Găsiți vectori și .
c) Punctele date și . Găsiți vectori și .
d) Se acordă puncte. Găsiți Vectori .

Poate suficient. Acestea sunt exemple pentru solutie independenta, incearca sa nu le neglijezi, va da roade ;-). Desenele nu sunt necesare. Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Ce este important în rezolvarea problemelor de geometrie analitică? Este important să fii EXTREM DE ATENȚIE pentru a evita eroarea magistrală „doi plus doi egal zero”. Îmi cer scuze anticipat dacă am greșit =)

Cum se află lungimea unui segment?

Lungimea, așa cum sa menționat deja, este indicată de semnul modulului.

Dacă sunt date două puncte ale planului și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată prin formula

Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată prin formula

Notă: Formulele vor rămâne corecte dacă coordonatele corespunzătoare sunt schimbate: și , dar prima opțiune este mai standard

Exemplul 3

Soluţie: după formula corespunzătoare:

Răspuns:

Pentru claritate, voi face un desen

Secțiune - nu este un vector, și nu o poți muta nicăieri, desigur. În plus, dacă completați desenul la scară: 1 unitate. \u003d 1 cm (două celule tetrade), atunci răspunsul poate fi verificat cu o riglă obișnuită, măsurând direct lungimea segmentului.

Da, soluția este scurtă, dar există câteva puncte importante pe care aș dori să le clarific:

În primul rând, în răspuns am stabilit dimensiunea: „unități”. Condiția nu spune CE este, milimetri, centimetri, metri sau kilometri. Prin urmare, formularea generală va fi o soluție competentă din punct de vedere matematic: „unități” - abreviat ca „unități”.

În al doilea rând, să repetăm material scolar, care este util nu numai pentru problema luată în considerare:

fi atent la truc tehnic important – scotând multiplicatorul de sub rădăcină. Ca rezultat al calculelor, am obținut rezultatul și un stil matematic bun implică scoaterea factorului de sub rădăcină (dacă este posibil). Procesul arată astfel mai detaliat: . Bineînțeles, lăsarea răspunsului în formă nu va fi o greșeală - dar este cu siguranță un defect și un argument serios pentru stricaciune din partea profesorului.

Iată și alte cazuri comune:

Adesea sub rădăcină se dovedește suficient număr mare, de exemplu . Cum să fii în astfel de cazuri? Pe calculator, verificăm dacă numărul este divizibil cu 4:. Da, împărțiți complet, astfel: . Sau poate numărul poate fi împărțit din nou la 4? . În acest fel: . Ultima cifră a numărului este impară, deci împărțirea la 4 pentru a treia oară nu este în mod clar posibilă. Încercarea de a împărți la nouă: . Ca rezultat:
Gata.

Ieșire: dacă sub rădăcină obținem un număr întreg care nu poate fi extras, atunci încercăm să scoatem factorul de sub rădăcină - pe calculator verificăm dacă numărul este divizibil cu: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , etc.

În cursul rezolvării diverselor probleme se găsesc adesea rădăcini, încercați întotdeauna să extrageți factori de sub rădăcină pentru a evita un scor mai mic și probleme inutile la finalizarea soluțiilor conform observației profesorului.

Să repetăm ​​în același timp pătrarea rădăcinilor și a altor puteri:

Reguli pentru acțiuni cu grade în vedere generala poate fi găsit într-un manual școlar de algebră, dar cred că totul sau aproape totul este deja clar din exemplele date.

Sarcina pentru o soluție independentă cu un segment în spațiu:

Exemplul 4

Puncte date și . Aflați lungimea segmentului.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Cum se află lungimea unui vector?

Dacă este dat un vector plan, atunci lungimea acestuia este calculată prin formula.

Dacă este dat un vector spațial, atunci lungimea acestuia este calculată prin formula .