Momentul de inerție al unui corp rigid. Momentul de inerție al unui punct matematic, corp față de o axă fixă (de ce să depindeți) Momentul axial de inerție al corpului

Când studiem rotația corpurilor rigide, vom folosi conceptul de moment de inerție.

Să împărțim corpul în părți atât de mici încât fiecare dintre ele poate fi considerată un punct material. Lăsa m i- greutate eu- th punct material, r i– distanța sa față de o anumită axă O.

Valoarea egală cu produsul dintre masa unui punct material cu pătratul distanței sale celei mai scurte față de o axă dată se numește momentul de inerție al punctului material față de axă:

Se numește suma momentelor de inerție ale tuturor punctelor materiale ale corpului momentul de inerție al corpului raportat la unele axe:

Moment de inerție solid depinde, după cum este ușor de observat, de distribuția maselor în raport cu axa care ne interesează.

Dacă corpul este un cerc de masă m, a cărui grosime este mică în comparație cu raza R, atunci momentul său de inerție față de axa care trece prin centru și perpendicular pe planul cercului este egal cu

Pentru corpuri mai mult formă complexăînsumarea expresiei (5.2) se realizează folosind metode de calcul integral conform formulei

unde integrarea se realizează pe întregul volum al corpului. Magnitudinea r
în acest caz există o funcţie a poziţiei punctului cu coordonate X,y,z.

Ca exemplu, să găsim momentul de inerție al unui disc omogen în jurul unei axe perpendiculare pe planul discului și care trece prin centrul acestuia. Să împărțim discul în straturi inelare de grosime d r.

Toate punctele unui strat vor fi la aceeași distanță de axă, egală cu r. Volumul unui astfel de strat este egal cu:

Unde b– grosimea discului. Deoarece discul este omogen, densitatea lui este aceeași în toate punctele și

unde D m – masa stratului inelar.

Acum, folosind formula (5.4), găsim momentul de inerție

Unde R– raza discului;

În cele din urmă, prin introducerea masei discului m egal cu produsul densității și volumului discului, obținem

Momentele de inerție ale unor corpuri solide omogene în jurul axei, trecând prin centrul de masă al corpului, sunt date în tabel. 5.1.

Tabelul 5.1

Dacă se cunoaște momentul de inerție al unui corp față de o axă care trece prin centrul său de masă, atunci se poate găsi momentul de inerție față de oricare altul. axa paralela. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați Teorema Huygens-Steiner:

momentul de inerție al corpului eu relativ la o axă arbitrară este egală cu momentul ei de inerție IC față de o axă paralelă cu aceasta, care trece prin centrul de masă C corp adăugat la produsul masei corporale m pe pătrat de distanță A intre axe:

Să găsim legătura dintre momentele de inerție ale corpului față de două axe paralele, dintre care una trece prin centrul de masă. Să aflăm momentul de inerție al corpului față de axă z axa paralela z C. Axă z C trece prin centrul de masă al corpului. Să împărțim mental corpul în particule de masă m i, Unde i- număr de serie. Să determinăm poziția fiecărei particule în raport cu axele zȘi z C. În conformitate cu definiția momentului de inerție, unde este cea mai scurtă distanță până la axa de rotație (raza cercului pe care o descrie punctul în timpul mișcării sale în jurul axei de rotație).

În fig. 5.3 este clar că , atunci momentul de inerție al unui punct cu masă m i raportat la axa z este egal cu: , iar pentru întregul corp momentul de inerție în jurul axei zegal cu suma momentele de inerție ale tuturor particulelor corpului față de aceeași axă:

(5.7)

A-prioriu – momentul de inerție al corpului față de axă z C, trecând prin centrul de masă al corpului; , Apoi . Expresie poate fi convertit . O valoare egală cu determină poziția centrului de masă al corpului față de axă z C. Din figură este clar că, pentru că centrul de masă se află pe axă z C.

Apoi primim

(5.8)

- moment de inerție eu z a unui corp față de o axă arbitrară este egală cu suma momentului de inerție al corpului față de o axă paralelă cu acesta z C, trecând prin centrul de masă și mărimea ma 2 unde m- masa corpului, A- distanta dintre axe.

Exemplu. Momentul de inerție al unei tije subțiri (masa m iar lungimea ) față de axa perpendiculară pe tijă și care trece prin capătul acesteia este egală.

Moment de inerție – caracteristicile proprietăților inerțiale în timpul mișcării de rotație. Caracterizează distribuția masei în raport cu axa de rotație.

- acestea sunt punctele

(acesta nu este engleza „ze”, ci un semn).

Momentele axiale de inerție ale unor corpuri:

Bila este , axa unui cilindru solid este , axa unui cilindru gol este , tija dreaptă subțire este .

Teorema lui Steiner - Pentru a găsi momentul de inerție în jurul unei axe arbitrare, trebuie să adăugați momentul de inerție al acestui corp în raport cu axa care trece prin centrul de masă al corpului paralel cu axa luată în considerare și produsul a masei corpului prin pătratul distanței dintre axe.

Ecuația pentru dinamica mișcării de rotație a unui corp rigid față de o axă fixă.

Momentul de forță determină viteza de schimbare a momentului unghiular.

Momentul forței F față de un punct fix DESPRE numit cantitate fizica, definit produs vectorial vector rază r trase din punct DESPRE exact A aplicare de forță, forță F :

Aici M - pseudovector, direcția sa coincide cu direcția mișcare înainte a şurubului drept în timp ce acesta se roteşte de la r la F. Modulul momentului de forţă

unde a este unghiul dintre r și F; r sina = l- cea mai scurtă distanță dintre linia de acțiune a forței și punct DESPRE -umărul puterii.

Moment de forță în jurul unei axe fixe z numit scalar magnitudinea Mz, egală cu proiecția pe această axă a vectorului M a momentului de forță determinat relativ la un punct arbitrar DESPRE dată axa z. Valoarea cuplului M z nu depinde de alegerea poziţiei punctului DESPRE pe axa z.

(18.3)

Ecuația (18.3) este ecuația dinamicii mișcării de rotație a unui corp rigid faţă de o axă fixă.

Legea conservării momentului unghiular.

În sistemele închise, momentul unghiular al pieselor individuale nu se modifică în timp.

(mai presus de toate Ls aveți nevoie de un vector săgeată).

Într-un sistem închis, momentul forțelor externe

Aici vom demonstra legea conservării momentului unghiular folosind un banc Jukovsky. O persoană care stă pe o bancă care se rotește în jurul unei axe verticale și care ține gantere în brațele întinse (Fig. 2) este rotită de un mecanism extern cu o viteză unghiulară ω 1. Dacă o persoană apasă ganterele pe corp, momentul de inerție al sistemului va scădea. Dar momentul forțelor externe este zero, momentul unghiular al sistemului este conservat și viteza unghiulară de rotație ω 2 crește. În mod similar, în timpul unui salt deasupra capului, o gimnastă își apasă brațele și picioarele spre corp pentru a-și reduce momentul de inerție și, prin urmare, a crește viteza unghiulară de rotație.

Informații conexe:

Momentul static al secțiunii în raport cu axa care trece prin centrul de greutate al secțiunii va fi
În funcție de locația centurilor de siguranță și de poziția corpului lucrătorului în momentul încărcării, centurile de siguranță diferite au avantaje diferite.

Să existe un corp solid. Să alegem o linie dreaptă OO (Fig. 6.1), pe care o vom numi axă (linia dreaptă OO poate fi în afara corpului). Să împărțim corpul în secțiuni elementare (puncte materiale) cu mase
situat la o distanţă de axă
respectiv.

Momentul de inerție al unui punct material față de o axă (OO) este produsul dintre masa unui punct material cu pătratul distanței sale față de această axă:

. (6.1)

Momentul de inerție (MI) al unui corp față de o axă (OO) este suma produselor maselor secțiunilor elementare ale corpului cu pătratul distanței lor față de axă:

. (6.2)

După cum puteți vedea, momentul de inerție al unui corp este o mărime aditivă - momentul de inerție al întregului corp față de o anumită axă este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale individuale față de aceeași axă.

În acest caz

Momentul de inerție se măsoară în kgm 2. Deoarece

, (6.3)

unde  - densitatea substanței,
- volum i- Secțiunea a, atunci

sau, trecând la elemente infinitezimale,

. (6.4)

Formula (6.4) este convenabilă de utilizat pentru a calcula MI al corpurilor omogene de formă regulată în raport cu axa de simetrie care trece prin centrul de masă al corpului. De exemplu, pentru MI al unui cilindru în raport cu o axă care trece prin centrul de masă paralel cu generatricea, această formulă oferă

Unde T- greutate; R- raza cilindrului.

Teorema lui Steiner oferă o mare asistență în calculul MI al corpurilor în raport cu anumite axe: MI al corpurilor eu faţă de orice axă este egală cu suma MI a acestui corp eu c relativ la o axă care trece prin centrul de masă al corpului și paralelă cu cea dată și produsul masei corporale cu pătratul distanței dîntre axele indicate:

. (6.5)

Moment de forță în jurul axei

Lasă forța să acționeze asupra corpului F. Să presupunem pentru simplitate că forța F se află într-un plan perpendicular pe o dreaptă OO (Fig. 6.2, A), pe care o vom numi axa (de exemplu, aceasta este axa de rotație a corpului). În fig. 6.2, A A- punctul de aplicare a forței F,
- punctul de intersecție al axei cu planul în care se află forța; r- vector rază care defineşte poziţia punctului A relativ la punct DESPRE"; O"B = b - umărul puterii. Brațul forței relativ la axă este cea mai mică distanță de la axă la linia dreaptă pe care se află vectorul forță F(lungimea perpendicularei trase din punct la această linie).

Momentul de forță relativ la axă este o mărime vectorială definită de egalitate

. (6.6)

Modulul acestui vector este . Uneori, așadar, se spune că momentul unei forțe în jurul unei axe este produsul dintre forță și brațul acesteia.

Dacă puterea F este dirijat arbitrar, apoi poate fi descompus în două componente; Și (Fig.6.2, b), adică
+, Unde - componentă îndreptată paralel cu axa OO, şi se află într-un plan perpendicular pe axă. În acest caz, sub momentul forței F relativ la axa OO înțelege vectorul

. (6.7)

În conformitate cu expresiile (6.6) și (6.7), vectorul M direcționat de-a lungul axei (vezi Fig. 6.2, A,b).

Momentul unui corp în raport cu axa de rotație

P Lăsați corpul să se rotească în jurul unei anumite axe OO cu viteză unghiulară
. Să împărțim mental acest corp în secțiuni elementare cu mase
, care sunt situate de la ax, respectiv, la distante
și se rotesc în cercuri, având viteze liniare
Se știe că valoarea este egală
- există un impuls i-complot. moment de impuls i-secțiunea (punctul material) relativ la axa de rotație se numește vector (mai precis, pseudovector)

, (6.8)

Unde r i– vectorul rază care defineşte poziţia i- aria relativă a axei.

Momentul unghiular al întregului corp față de axa de rotație se numește vector

(6.9)

al cărui modul
.

În conformitate cu expresiile (6.8) și (6.9), vectorii
Și îndreptată de-a lungul axei de rotaţie (Fig. 6.3). Este ușor de arătat că momentul unghiular al unui corp L faţă de axa de rotaţie şi momentul de inerţie eu a acestui corp relativ la aceeași axă sunt legate prin relația

. (6.10)

1.10. ECUAȚIA PENTRU DINAMICA MIȘCĂRII DE ROTAȚIE

Un corp solid ca sistem de puncte materiale. Mișcarea centrului de inerție al unui corp rigid. Energia cinetică a unui corp în rotație. Conceptul de moment de inerție relativ la o axă fixă. teorema lui Steiner. Momente de inerție ale unora cele mai simple corpuri. Ecuația pentru dinamica mișcării de rotație față de o axă fixă.

Mișcarea unui corp rigid este în general determinată de două ecuații vectoriale. Una dintre ele este ecuația de mișcare a centrului de masă (4.11), cealaltă este ecuația momentelor din CU-sistem (6.24):

(10 . 1 )

Cunoscând legile forțelor exterioare care acționează, punctele de aplicare a acestora și condițiile inițiale, este posibil, folosind aceste ecuații, să găsim atât viteza, cât și poziția fiecărui punct al unui corp rigid în orice moment în timp, adică rezolva complet problema mișcării corpului. Totuși, în ciuda aparentei simplități a ecuațiilor (10.1), rezolvarea lor în cazul general este o sarcină foarte dificilă. Acest lucru se datorează în primul rând faptului că relația dintre momentul unghiular adecvat și vitezele punctelor individuale ale unui corp rigid în CU-sistemul se dovedește a fi complex, cu excepția câtorva cazuri speciale. Nu vom lua în considerare această problemă într-o formă generală (se rezolvă în cursul mecanicii teoretice) și în viitor ne vom limita doar la cazuri speciale individuale.

Dacă mișcăm forțele pe direcția acțiunii lor, atunci este clar că nici rezultatul lor, nici momentul lor total nu se vor schimba. În acest caz, ecuațiile (10.1) nu se vor schimba și, prin urmare, nici mișcarea corpului rigid nu se va modifica. Prin urmare, punctele de aplicare a forțelor externe pot fi transferate de-a lungul direcției de acțiune a forțelor - o tehnică convenabilă pentru rezolvarea problemelor care este utilizată în mod constant.

Să luăm acum în considerare conceptul de forță rezultantă. În cazurile în care momentul total al tuturor forțelor externe se dovedește a fi perpendicular pe forța rezultată, adică toate forțe externe poate fi redus la unu forță care acționează de-a lungul unei anumite linii drepte. Într-adevăr, dacă este relativ la un anumit punct DESPRE moment total , atunci puteți găsi întotdeauna un astfel de vector (Fig. 10.1) care pentru dat și

În acest caz, alegerea este ambiguă: adăugând la ea orice vector ,

paralela nu va schimba ultima egalitate. Și aceasta înseamnă că această egalitate determină nu punctul de „aplicare” a forței, ci linia acțiunii acesteia. Cunoașterea modulelor M Și F vectori corespunzători, putem găsi umărul l forţe (Fig. 6.14): .

Astfel, dacă , sistemul de forțe care acționează asupra punctelor individuale ale unui corp rigid poate fi înlocuit cu unul forță rezultantă - o forță care este egală cu rezultanta și creează un moment egal cu momentul total al tuturor forțelor externe.

Un astfel de caz este acțiunea unui câmp de forță uniform, de exemplu un câmp gravitațional, în care forța care acționează asupra fiecărei particule are forma . În acest caz, momentul total de greutate relativ la orice punct DESPRE egală

Suma dintre paranteze este egală cu unde masa corpului este raza vectorului centrului său de masă în raport cu punctul O. De aceea

Aceasta înseamnă că rezultanta gravitației trece prin centrul de masă al corpului. Se spune de obicei că rezultanta forțelor de greutate se aplică centrului de masă al corpului sau centrului său de greutate. Momentul acestei forțe față de centrul de masă al corpului este zero.

Acum să trecem la luarea în considerare a cazurilor speciale de mișcare a unui corp rigid.

Rotație în jurul unei axe fixe.

Să luăm în considerare rotația unui corp rigid în jurul unei axe fixe. Să găsim o expresie pentru momentul unghiular al unui corp rigid în raport cu axa 00" (Fig. 6.15). Momentul unghiular al unei particule poate fi scris ca

unde și este masa și distanța față de axa de rotație a unei particule dintr-un corp solid și este viteza unghiulară a acesteia. Notând cantitatea din paranteze cu I, obținem

(10 .2)

Momentul de inerție al unui punct material raportat la axa de rotație se numește produsul dintre masa acestui punct cu pătratul celei mai mici distanțe față de axă.

Momentul de inerție al sistemului (corpuri) faţă de axa de rotaţie este o mărime fizică egală cu suma produselor maselor n punctele materiale ale sistemului prin pătratele distanțelor lor față de axa luată în considerare.

Momentul de inerție al unui corp rigid depinde de distribuția maselor față de axa care ne interesează și este o mărime aditivă. Momentul de inerție al corpului se calculează folosind formula

unde dm și dV sunt masa și volumul unui element al corpului situat la o distanță de axa z care ne interesează și este densitatea corpului într-un punct dat.

Momentele de inerție ale unor corpuri solide omogene în jurul unei axe care trece prin centrul de masă al corpului sunt date în următorul tabel (aici m este masa corpului):

Tip de solid	Poziția axei	Moment de inerție
Lungimea tijei subțiri L	Perpendicular pe tija
Cilindru solid cu raza R	Coincide cu axa cilindrului
Disc subțire cu raza R	La fel ca și diametrul discului
Minge cu raza R	Trece prin centrul mingii

Calcularea momentului de inerție al unui corp solid de formă arbitrară în raport cu una sau alta axă este, în general, o sarcină matematică destul de minuțioasă. Cu toate acestea, în unele cazuri, găsirea momentului de inerție este mult simplificată dacă utilizați teorema lui Steiner : moment de inerție eu raportat la o axă arbitrară z egal cu momentul de inerție în jurul unei axe paralele cu cea dată și care trece prin centrul de masă CU corp, plus produsul masei T corpuri pe distanță pătrată A intre axe:

(10 . 4 )

Astfel, dacă se cunoaște momentul de inerție, atunci găsirea momentului de inerție eu elementar. De exemplu, momentul de inerție al unei tije subțiri (masa T si lungime l) faţă de axa perpendiculară pe tijă şi care trece prin capătul acesteia este egală cu

Energie kineticămișcare de rotație- energia unui corp asociată cu rotația acestuia. Să obținem o expresie pentru energia cinetică a unui corp rigid rotativ cu o axă de rotație fixă. Luând în considerare legătura dintre viteza unei particule dintr-un corp rigid rotativ și viteza unghiulară, scriem

sau, mai pe scurt

unde este momentul de inerție al corpului față de axa de rotație care trece prin centrul său de masă, este viteza unghiulară a corpului, m este masa acestuia, este viteza centrului de inerție al corpului în K- cadru de referință. Prin urmare, energia cinetică a unui corp rigid în mișcare plană constă din energia de rotație în sistemul C și energia asociată cu mișcarea centrului de masă.

Să-l notăm ecuația de bază pentru dinamica rotației corpului rigid Cu axă fixă de rotație. Această ecuație este ușor de obținut ca o consecință a ecuației momentelor pentru un punct material, dacă diferențiem (10.2) în raport cu timpul, atunci

(10 . 7 )

unde este momentul total al tuturor forțelor externe în raport cu axa de rotație, proiecția accelerației unghiulare pe axa de rotație. Din această ecuație, în special, este clar că momentul de inerție eu determină proprietățile inerțiale ale unui corp solid în timpul rotației: pentru aceeași valoare a momentului de forță, un corp cu un moment de inerție mare capătă unul mai mic. accelerație unghiulară. Momentele de forță în jurul axei sunt mărimi algebrice: semnele lor depind de alegerea direcției pozitive a axei z, care coincide cu axa de rotație și din direcție

„rotația” momentului de forță corespunzător. De exemplu, alegerea direcției axei pozitive z, așa cum se arată în fig. 10.3, setăm astfel direcția pozitivă a unghiului de referință - ambele direcții sunt legate de regula șurubului drept. Se crede că, dacă un anumit moment „se rotește” în direcția pozitivă a unghiului, atunci este considerat pozitiv și invers. Și semnul momentului total determină, la rândul său, semnul proiecției vectorului accelerație unghiulară pe axa z.

Integrarea ecuației (10.7) ținând cont condiții inițiale-valorile vitezei unghiulare și unghiului și momentul inițial al timpului - vă permite să rezolvați complet problema de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe, adică să găsiți dependența de timp a vitezei unghiulare și a unghiului de rotație.

Rețineți că ecuația (10.7) este valabilă în orice un sistem de referință legat rigid de axa de rotație. Totuși, dacă cadrul de referință este neinerțial, atunci trebuie amintit că momentul forțelor include nu numai momentele forțelor de interacțiune cu alte corpuri, ci și momentele forțelor inerțiale.

Momentul de inerție al unui punct material față de o axă (OO) este produsul dintre masa unui punct material cu pătratul distanței sale față de această axă:

. (6.1)

Momentul de inerție (MI) al unui corp față de o axă (OO) este suma produselor maselor secțiunilor elementare ale corpului cu pătratul distanței lor față de axă:

. (6.2)