Sunt date formulele de bază ale cinematicii punct material, derivarea lor și prezentarea teoriei.

Conţinut

Vezi si: Un exemplu de rezolvare a problemei (metoda coordonate de specificare a mișcării unui punct)

Formule de bază ale cinematicii unui punct material

Prezentăm formulele de bază pentru cinematica unui punct material. După aceea, dăm derivarea lor și prezentarea teoriei.

Vector rază al unui punct material M într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz :
,
unde sunt vectori unitari (orturi) în direcția axelor x, y, z.

Viteza punctului:
;
.
.
Vector unitar în direcția tangentei la calea punctului:
.

Accelerația punctului:
;
;
;
; ;

Accelerația tangențială (tangențială):
;
;
.

Accelerație normală:
;
;
.

Vector unitar îndreptat către centrul de curbură al traiectoriei punctului (de-a lungul normalei principale):
.

.

Vector rază și traiectorie punct

Se consideră mișcarea unui punct material M . Alegem un sistem de coordonate dreptunghiular fix Oxyz centrat într-un punct fix O . Atunci poziția punctului M este determinată în mod unic de coordonatele sale (x, y, z). Aceste coordonate sunt componente ale vectorului rază a punctului material.

Vectorul rază al punctului M este vectorul tras de la originea sistemului de coordonate fix O până la punctul M .
,
unde sunt vectorii unitari în direcția axelor x, y, z.

Pe măsură ce punctul se mișcă, coordonatele se schimbă cu timpul. Adică sunt funcții ale timpului. Apoi sistemul de ecuații
(1)
poate fi privită ca ecuația unei curbe dată de ecuații parametrice. O astfel de curbă este traiectoria unui punct.

Traiectoria unui punct material este linia de-a lungul căreia se mișcă punctul.

Dacă punctul se mișcă într-un plan, atunci puteți alege axele și sistemele de coordonate astfel încât să se afle în acest plan. Atunci traiectoria este determinată de două ecuații

În unele cazuri, timpul poate fi exclus din aceste ecuații. Atunci ecuația traiectoriei va avea dependență amabilă:
,
unde este o funcție. Această dependență conține doar variabile și . Nu conține un parametru.

Viteza punctului material

Viteza unui punct material este derivata în timp a vectorului său rază.

Conform definiției vitezei și definiției derivatei:

Derivatele timpului, în mecanică, sunt notate cu un punct deasupra simbolului. Înlocuiți aici expresia pentru vectorul rază:
,
unde am indicat în mod explicit dependența coordonatelor de timp. Primim:

,
Unde
,
,

- proiecţii de viteză pe axele de coordonate. Ele se obțin prin diferențierea în timp a componentelor vectorului rază
.

În acest fel
.
Modul de viteza:
.

Tangent la cale

DIN punct matematic de vedere, sistemul de ecuații (1) poate fi considerat drept ecuația unei linii (curbe) dată de ecuații parametrice. Timpul, în această considerație, joacă rolul unui parametru. De la curs analiză matematică se știe că vectorul direcție pentru tangenta la această curbă are componente:
.
Dar acestea sunt componentele vectorului viteză punctuală. i.e viteza punctului material este direcționată tangențial la traiectorie.

Toate acestea pot fi demonstrate direct. Fie ca în momentul de timp punctul să fie în poziție cu vectorul rază (vezi figura). Și la momentul de timp - într-o poziție cu un vector de rază. Desenați o linie dreaptă prin puncte. Prin definiție, o tangentă este o linie la care tinde linia când .
Să introducem notația:
;
;
.
Apoi vectorul este îndreptat de-a lungul liniei drepte.

Când tinde, linia dreaptă tinde către tangentă, iar vectorul tinde către viteza punctului în momentul de timp:
.
Deoarece vectorul este direcționat de-a lungul dreptei, iar linia dreaptă la , atunci vectorul viteză este direcționat de-a lungul tangentei.
Adică, vectorul viteză al punctului material este direcționat de-a lungul tangentei la traiectorie.

Să vă prezentăm vector de direcție tangentă lungime unitară:
.
Să arătăm că lungimea acestui vector este egală cu unu. Într-adevăr, din moment ce
, apoi:
.

Atunci vectorul viteza punctului poate fi reprezentat ca:
.

Accelerația punctului material

Accelerația unui punct material este derivata vitezei sale în raport cu timpul.

Similar cu cea precedentă, obținem componentele accelerației (proiecții accelerației pe axele de coordonate):
;
;
;
.
Modul de accelerare:
.

Accelerații tangenţiale (tangenţiale) şi normale

Acum luați în considerare întrebarea direcției vectorului de accelerație în raport cu traiectoria. Pentru a face acest lucru, aplicați formula:
.
Diferențiați-l în funcție de timp folosind regula de diferențiere a produsului:
.

Vectorul este direcționat tangențial la traiectorie. În ce direcție este îndreptată derivata sa de timp?

Pentru a răspunde la această întrebare, folosim faptul că lungimea vectorului este constantă și egală cu unu. Atunci pătratul lungimii sale este, de asemenea, egal cu unu:
.
Aici și mai jos, doi vectori în paranteze denotă produs scalar vectori. Diferențiază ultima ecuație în funcție de timp:
;
;
.
Deoarece produsul scalar al vectorilor și este egal cu zero, acești vectori sunt perpendiculari unul pe celălalt. Deoarece vectorul este tangent la cale, vectorul este perpendicular pe tangente.

Prima componentă se numește accelerație tangențială sau tangențială:
.
A doua componentă se numește accelerație normală:
.
Atunci accelerația totală este:
(2) .
Această formulă este o descompunere a accelerației în două componente reciproc perpendiculare - tangentă la traiectorie și perpendiculară pe tangentă.

Pentru că atunci
(3) .

Accelerație tangenţială (tangenţială).

Înmulțiți ambele părți ale ecuației (2) scalar la:
.
Pentru că atunci . Apoi
;
.
Aici punem:
.
De aici este clar că accelerația tangențială este egală cu proiecția accelerației totale pe direcția tangentei la traiectorie sau, ceea ce este același, pe direcția vitezei punctului.

Accelerația tangențială (tangențială) a unui punct material este proiecția accelerației sale complete pe direcția tangentei la traiectorie (sau pe direcția vitezei).

Simbolul denotă vectorul de accelerație tangențială direcționat de-a lungul tangentei la traiectorie. Atunci este o valoare scalară egală cu proiecția accelerației totale pe direcția tangentei. Poate fi atât pozitiv, cât și negativ.

Înlocuind , avem:
.

Inlocuieste in formula:
.
Apoi:
.
Adică accelerația tangențială este egală cu derivata în timp a modulului vitezei punctului. În acest fel, accelerația tangențială duce la o modificare a valorii absolute a vitezei punctului. Pe măsură ce viteza crește, accelerația tangențială este pozitivă (sau direcționată de-a lungul vitezei). Pe măsură ce viteza scade, accelerația tangențială este negativă (sau opusă vitezei).

Acum să examinăm vectorul.

Considera vector unitar tangentă la cale. Îi plasăm originea la originea sistemului de coordonate. Apoi capătul vectorului va fi pe o sferă cu raza unitară. Când un punct material se mișcă, capătul vectorului se va deplasa de-a lungul acestei sfere. Adică se va învârti în jurul originii sale. Fie viteza unghiulară instantanee de rotație a vectorului în timp . Atunci derivata sa este viteza de mișcare a capătului vectorului. Este îndreptată perpendicular pe vector. Să aplicăm formula pentru mișcarea de rotație. Modulul vectorial:
.

Acum luați în considerare poziția punctului pentru doi timpi apropiati. Fie în momentul de timp punctul este în poziție, iar în momentul de timp - în poziție. Fie și vectori unitari direcționați tangențial la traiectorie în aceste puncte. Prin punctele și desenați plane perpendiculare pe vectorii și . Fie o dreaptă formată prin intersecția acestor plane. Aruncă o perpendiculară de la un punct la o dreaptă. Dacă pozițiile punctelor și sunt suficient de apropiate, atunci mișcarea punctului poate fi considerată ca o rotație de-a lungul unui cerc de rază în jurul axei, care va fi axa instantanee de rotație a punctului material. Deoarece vectorii și sunt perpendiculari pe planele și , unghiul dintre aceste plane este egal cu unghiul dintre vectorii și . Atunci viteza instantanee de rotație a punctului în jurul axei este egală cu viteza instantanee de rotație a vectorului:
.
Aici este distanța dintre puncte și .

Astfel, am găsit modulul derivatei în timp a vectorului:
.
După cum am subliniat mai devreme, vectorul este perpendicular pe vector. Din raționamentul de mai sus se poate observa că este îndreptat către centrul de curbură instantaneu al traiectoriei. Această direcție se numește normală principală.

Accelerație normală

Accelerație normală

îndreptată de-a lungul vectorului . După cum am aflat, acest vector este îndreptat perpendicular pe tangentă, spre centrul de curbură instantaneu al traiectoriei.
Fie un vector unitar îndreptat de la un punct material către centrul instantaneu de curbură al traiectoriei (de-a lungul normalei principale). Apoi
;
.
Deoarece ambii vectori și au aceeași direcție - spre centrul de curbură al traiectoriei, atunci
.

Din formula (2) avem:
(4) .
Din formula (3) Aflați modulul de accelerație normală:
.

Înmulțiți ambele părți ale ecuației (2) scalar la:
(2) .
.
Pentru că atunci . Apoi
;
.
Aceasta arată că modulul de accelerație normală este egal cu proiecția accelerației totale pe direcția normalei principale.

Accelerația normală a unui punct material este proiecția accelerației sale totale pe direcția perpendiculară pe tangenta la traiectorie.

Să înlocuim. Apoi
.
Adică, accelerația normală determină o schimbare a direcției vitezei punctului și este legată de raza de curbură a traiectoriei.

De aici puteți găsi raza de curbură a traiectoriei:
.

În cele din urmă, observăm că formula (4) poate fi rescris sub următoarea formă:
.
Aici am aplicat formula pentru produs vectorial trei vectori:
,
în care s-au încadrat
.

Deci avem:
;
.
Să echivalăm modulele părților din stânga și din dreapta:
.
Dar vectorii și sunt reciproc perpendiculari. De aceea
.
Apoi
.
Aceasta este o formulă binecunoscută din geometria diferențială pentru curbura unei curbe.

Vezi si:

Este considerat un exemplu de rezolvare a unei probleme cu o mișcare complexă a unui punct. Punctul se deplasează în linie dreaptă de-a lungul plăcii. Farfuria se învârte axă fixă. Se determină viteza absolută și accelerația absolută a punctului.

Conţinut

Sarcina

O placă dreptunghiulară se rotește în jurul unei axe fixe conform legii φ = 6 t 2 - 3 t 3. Direcția pozitivă de citire a unghiului φ este prezentată în figuri printr-o săgeată arc. Axa de rotație OO 1 se află în planul plăcii (placa se rotește în spațiu).

Punctul M se deplasează de-a lungul liniei drepte BD pe placă. Este dată legea mișcării sale relative, adică dependența s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s - în centimetri, t - în secunde). Distanța b = 20 cm. În figură, punctul M este prezentat în poziția în care s = AM > 0 (pentru s< 0 punctul M este de cealaltă parte a punctului A).

Aflați viteza absolută și accelerația absolută a punctului M la momentul t 1 = 1 s.

Directii. Această sarcină este miscare complexa puncte. Pentru a-l rezolva, este necesar să folosim teoremele privind adunarea vitezelor și adunarea accelerațiilor (teorema Coriolis). Înainte de a efectua toate calculele, este necesar să se determine, în funcție de condițiile problemei, unde se află punctul M pe placă la momentul t 1 = 1 s, și trageți un punct exact în această poziție (și nu într-unul arbitrar prezentat în figură pentru problemă).

Rezolvarea problemei

Dat: b= 20 cm, φ = 6 t 2 - 3 t 3, s = |AM| = 40(t - 2 t 3) - 40, t 1 = 1 s.

A găsi: v abs , a abs

Determinarea poziției unui punct

Determinați poziția punctului la momentul t = t 1 = 1 s.
s= 40(t 1 - 2 t 1 3) - 40 = 40 (1 - 2 1 3) - 40 \u003d -80 cm.
Pentru că s< 0 , atunci punctul M este mai aproape de punctul B decât de D.
|AM| = |-80| = 80 cm.
Facem un desen.

Conform teoremei adunării vitezei, viteza absolută a unui punct este suma vectoriala viteze relative și portabile:
.

Determinarea vitezei relative a unui punct

Determinați viteza relativă. Pentru a face acest lucru, presupunem că placa este staționară, iar punctul M face o mișcare dată. Adică, punctul M se mișcă de-a lungul dreptei BD. Diferențiând s în raport cu timpul t, găsim proiecția vitezei pe direcția BD:
.
La momentul t = t 1 = 1 s,
cm/s.
Deoarece , atunci vectorul este îndreptat în direcția opusă BD . Adică de la punctul M la punctul B. Modul de viteză relativă
v din = 200 cm/s.

Determinarea vitezei de transfer a unui punct

Determinarea vitezei de transport. Pentru a face acest lucru, presupunem că punctul M este legat rigid de placă, iar placa efectuează o mișcare dată. Adică placa se rotește în jurul axei OO 1. Diferențiând φ în raport cu timpul t, găsim viteza unghiulară de rotație a plăcii:
.
La momentul t = t 1 = 1 s,
.
Deoarece , atunci vectorul viteză unghiulară este îndreptat către unghiul pozitiv de rotație φ, adică de la punctul O la punctul O 1 . Modulul vitezei unghiulare:
ω = 3 s -1.
Reprezentăm vectorul vitezei unghiulare a plăcii în figură.

Din punctul M coborâm perpendiculara HM pe axa OO 1 .
În timpul mișcării de translație, punctul M se deplasează de-a lungul unui cerc de rază |HM| centrat în punctul H.
|HM| = |HK| + |KM| = 3b + |AM| sin 30° = 60 + 80 0,5 = 100 cm;
Viteza de transport:
v banda = ω|HM| = 3 100 = 300 cm/s.

Vectorul este îndreptat tangențial la cerc în sensul de rotație.

Determinarea vitezei absolute a unui punct

Determinați viteza absolută. Viteza absolută a unui punct este egală cu suma vectorială a vitezelor relative și de translație:
.
Desenați axele sistemului de coordonate fixe Oxyz . Să direcționăm axa z de-a lungul axei de rotație a plăcii. Fie ca axa x să fie perpendiculară pe placă în momentul de timp considerat, axa y se află în planul plăcii. Atunci vectorul viteză relativă se află în planul yz. Vector viteza portabilaîndreptată opus axei x. Deoarece vectorul este perpendicular pe vector, atunci, conform teoremei lui Pitagora, modulul absolut al vitezei:
.

Determinarea accelerației absolute a unui punct

Conform teoremei de adunare a accelerației (teorema Coriolis), accelerația absolută a unui punct este egală cu suma vectorială a accelerațiilor relative, translaționale și Coriolis:
,
Unde
- Accelerația Coriolis.

Definiţia relative acceleration

Determinați accelerația relativă. Pentru a face acest lucru, presupunem că placa este staționară, iar punctul M face o mișcare dată. Adică, punctul M se mișcă de-a lungul dreptei BD. Diferențiând s de două ori față de timpul t, găsim proiecția accelerației pe direcția BD:
.
La momentul t = t 1 = 1 s,
cm/s 2 .
Deoarece , atunci vectorul este îndreptat în direcția opusă BD . Adică de la punctul M la punctul B. Modul de accelerație relativă
a de la = 480 cm/s 2.
Reprezentăm vectorul din figură.

Definiția accelerației translaționale

Definiți accelerația portabilă. În timpul mișcării de translație, punctul M este legat rigid de placă, adică se deplasează de-a lungul unui cerc de rază |HM| centrat în punctul H. Să descompunăm accelerația portabilă în tangenta la cerc și accelerația normală:
.
Diferențiând φ de două ori față de timpul t, găsim proiecția accelerație unghiulară plăci pe axă OO 1 :
.
La momentul t = t 1 = 1 s,
cu -2.
Deoarece , atunci vectorul accelerație unghiulară este îndreptat în direcția opusă unghiului pozitiv de rotație φ, adică de la punctul O 1 la punctul O. Modulul de accelerație unghiulară:
ε = 6 s -2.
Reprezentăm vectorul accelerației unghiulare a plăcii în figură.

Accelerație tangențială portabilă:
o bandă τ = ε |HM| \u003d 6 100 \u003d 600 cm / s 2.
Vectorul este tangent la cerc. Deoarece vectorul accelerație unghiulară este îndreptat în direcția opusă unghiului pozitiv de rotație φ , el este îndreptat în direcția opusă direcției pozitive de rotație φ . Adică este îndreptată spre axa x.

Accelerație normală portabilă:
o bandă n = ω 2 |HM| = 3 2 100 = 900 cm/s 2.
Vectorul este îndreptat spre centrul cercului. Adică în direcția opusă axei y.

Definiţia Coriolis acceleration

Accelerația Coriolis (rotativă).:
.
Vectorul viteză unghiulară este direcționat de-a lungul axei z. Vectorul viteză relativă este direcționat de-a lungul dreptei |DB| . Unghiul dintre acești vectori este 150°. Prin proprietatea produsului vectorial,
.
Direcția vectorului este determinată de regula gimletului. Dacă mânerul brațului este rotit dintr-o poziție în poziția , atunci șurubul brațului se va deplasa în direcția opusă axei x.

Definiţia absolute acceleration

Accelerație absolută:
.
Să proiectăm această ecuație vectorială pe axa xyz a sistemului de coordonate.

;

;

.
Modul de accelerație absolută:

.

Viteza absolută;
accelerație absolută.

Mișcarea mecanică este schimbarea în timp a poziției în spațiu a punctelor și corpurilor față de orice corp principal de care este atașat cadrul de referință. Studii de cinematică mișcare mecanică puncte şi corpuri, indiferent de forţele care provoacă aceste mişcări. Orice mișcare, ca și odihna, este relativă și depinde de alegerea cadrului de referință.

Traiectoria unui punct este o linie continuă descrisă de un punct în mișcare. Dacă traiectoria este o linie dreaptă, atunci mișcarea punctului se numește rectilinie, iar dacă este o curbă, atunci se numește curbilinie. Dacă traiectoria este plată, atunci mișcarea punctului se numește plată.

Mișcarea unui punct sau a unui corp este considerată dată sau cunoscută dacă pentru fiecare moment de timp (t) este posibilă indicarea poziției punctului sau corpului față de sistemul de coordonate selectat.

Poziția unui punct în spațiu este determinată de sarcina:

a) traiectoriile punctuale;

b) inceputul citirii distantei O 1 de-a lungul traiectoriei (Figura 11): s = O 1 M - coordonata curbilinie a punctului M;

c) direcția citirii pozitive a distanțelor s;

d) ecuația sau legea mișcării unui punct de-a lungul unei traiectorii: S = s(t)

Viteza punctului. Dacă un punct parcurge distanțe egale în intervale de timp egale, atunci mișcarea lui se numește uniformă. Viteza mișcării uniforme este măsurată prin raportul dintre traseul z parcurs de un punct într-o anumită perioadă de timp și valoarea acestei perioade de timp: v = s / 1. Dacă un punct parcurge trasee inegale în intervale egale de timp, atunci mișcarea sa se numește neuniformă. Viteza în acest caz este și ea variabilă și este o funcție de timp: v = v(t). Luați în considerare punctul A, care se mișcă de-a lungul unei traiectorii date conform unei legi s = s(t) (Figura 12):

Pentru o perioadă de timp t t. A sa mutat în poziţia A 1 de-a lungul arcului AA. Dacă intervalul de timp Δt este mic, atunci arcul AA 1 poate fi înlocuit cu o coardă și, în prima aproximare, se poate găsi viteza medie a punctului v cp = Ds/Dt. Viteza medie este direcționată de-a lungul coardei de la t. A la t. A 1.

Viteza adevărată a punctului este direcționată tangențial la traiectorie, iar valoarea sa algebrică este determinată de prima derivată a căii în raport cu timpul:

v = limΔs/Δt = ds/dt

Unitatea de măsură a vitezei punctului: (v) = lungime/timp, de exemplu m/s. Dacă punctul se mișcă în direcția de creștere a coordonatei curbilinii s, atunci ds > 0 și, prin urmare, v > 0, în caz contrar ds< 0 и v < 0.

Accelerație punctuală. Modificarea vitezei pe unitatea de timp este determinată de accelerație. Considerăm mișcarea punctului A de-a lungul unei traiectorii curbilinii în timp Δt de la poziția A la poziția A 1 . În poziţia A, punctul avea viteza v , iar în poziţia A 1 - viteza v 1 (Figura 13). acestea. viteza punctului s-a schimbat în mărime și direcție. Găsim diferența geometrică, viteze Δv, prin construirea unui vector v 1 din punctul A.

Accelerația unui punct se numește vector ", egală cu prima derivată a vectorului viteză al punctului în raport cu timpul:

Vectorul de accelerație găsit a poate fi descompus în două componente reciproc perpendiculare, dar tangenta și normala la traiectoria mișcării. Accelerația tangențială a 1 coincide în direcție cu viteza în timpul mișcării accelerate sau este opusă acesteia în timpul mișcării înlocuite. Caracterizează modificarea valorii vitezei și este egală cu derivata în timp a valorii vitezei

Vectorul normal de accelerație a este îndreptat de-a lungul normalei (perpendiculare) curbei către concavitatea traiectoriei, iar modulul său este egal cu raportul dintre pătratul vitezei punctului și raza de curbură a traiectoriei în punctul sub considerare.

Accelerația normală caracterizează schimbarea vitezei de-a lungul
direcţie.

Valoarea completă a accelerației: , m/s 2

Tipuri de mișcare a punctelor în funcție de accelerație.

Uniformă mișcare rectilinie (mișcarea prin inerție) se caracterizează prin faptul că viteza de mișcare este constantă, iar raza de curbură a traiectoriei este egală cu infinitul.

Adică r = ¥, v = const, atunci ; prin urmare . Deci, atunci când un punct se mișcă prin inerție, accelerația lui este zero.

Mișcare rectilinie neuniformă. Raza de curbură a traiectoriei este r = ¥, iar n = 0, prin urmare, a = a t și a = a t = dv/dt.

Viteza punctului.

Să trecem la rezolvarea celei de-a doua probleme principale a cinematicii unui punct - determinarea vitezei și a accelerației în funcție de vectorul, coordonatele sau mișcarea naturală deja date.

1. Viteza unui punct este o mărime vectorială care caracterizează viteza și direcția de mișcare a unui punct. În sistemul SI, viteza se măsoară în m/s.

A) Determinarea vitezei cu metoda vectoriala de precizare a miscarii .

Să fie dată mișcarea punctului mod vectorial, adică se cunoaşte ecuaţia vectorială (2.1): .

Orez. 2.6. Pentru a determina viteza unui punct

Lasă timp Dt vector raza punctului M se va schimba prin . Apoi viteza medie a punctului M pe parcursul Dt se numește mărime vectorială

Reamintind definiția unei derivate, concluzionăm:

Aici și în cele ce urmează, semnul denotă diferențierea în funcție de timp. Când te străduiești Dt la zero vectorul și, în consecință, vectorul se rotesc în jurul punctului M iar în limită coincid cu tangenta la traiectorie în acest punct. În acest fel, vectorul viteză este egal cu derivata întâi a vectorului rază în raport cu timpul și este întotdeauna direcționat tangențial la traiectoria punctului.

b) Viteza punctului la modul de coordonare sarcini de mișcare.

Să derivăm formule pentru determinarea vitezei cu metoda coordonatelor de specificare a mișcării. Conform expresiei (2.5), avem:

Deoarece derivatele vectorilor unitari constante în mărime și direcție sunt egale cu zero, obținem

Un vector, ca orice vector, poate fi exprimat în termenii proiecțiilor sale:

Comparând expresiile (2.6) și (2.7) vedem că derivatele temporale ale coordonatelor au o valoare bine definită. sens geometric- sunt proiecții ale vectorului viteză pe axele de coordonate. Cunoscând proiecțiile, este ușor de calculat modulul și direcția vectorului viteză (Fig. 2.7):

Orez. 2.7.Determinarea mărimii și direcției vitezei

c) Determinarea vitezei cu modul firesc de stabilire a mişcării.

Orez. 2.8. Viteza punctului cu setare de mișcare naturală

Conform (2.4),

unde este vectorul unitar al tangentei. În acest fel,

Valoare V=dS/dt se numește viteza algebrică. Dacă dS/dt>0, apoi funcția S = S(t) crește și punctul se mișcă în direcția de creștere a coordonatei arcului S, acestea. punctul se deplasează într-o direcție pozitivă dS/dt<0 , apoi punctul se mișcă în direcția opusă.

2. accelerație punctuală

Accelerația este o mărime vectorială care caracterizează viteza de schimbare a modulului și direcția vectorului viteză. În sistem SI accelerația se măsoară în m/s 2 .

A) Determinarea accelerației cu metoda vectorială de specificare a mișcării .

Lasă punctul M la un moment dat t este pe poziție M(t)și are o viteză V(t), iar la momentul de timp t + Dt este pe poziție M(t + Dt)și are o viteză V(t + Dt)(A se vedea figura 2.9).

Orez. 2.9. Accelerațiile unui punct cu metoda vectorială de specificare a mișcării

Accelerație medie pe o perioadă de timp Dt este raportul dintre schimbarea vitezei la Dt, acestea.

Limită la Dt® 0 se numește instantanee (sau pur și simplu accelerație) punctului M la un moment dat t

Conform (2.11), accelerația cu metoda vectorială de specificare a mișcării este egală cu derivata vectorială a vitezei în raport cu timpul.

b). La accelerații cu metoda coordonatelor de specificare a mișcării .

Înlocuind (2.6) în (2.11) și diferențiind produsele dintre paranteze, găsim:

Având în vedere că derivatele vectorilor unitari sunt egale cu zero, obținem:

Un vector poate fi exprimat în termenii proiecțiilor sale:

Comparația dintre (2.12) și (2.13) arată că derivatele a doua de timp ale coordonatelor au o semnificație geometrică bine definită: ele sunt egale cu proiecțiile accelerației totale pe axele de coordonate, i.e.

Cunoscând proiecțiile, este ușor de calculat modulul de accelerație total și cosinusurile direcției care determină direcția acestuia:

în). Accelerația unui punct cu un mod natural de a specifica mișcarea

Să prezentăm câteva informații din geometria diferențială necesare pentru a determina accelerația în modul natural de precizare a mișcării.

Lasă punctul M se deplasează de-a lungul unei curbe spațiale. Fiecare punct al acestei curbe este asociat cu trei direcții reciproc ortogonale (tangențială, normală și binormală) care caracterizează în mod unic orientarea spațială a unui element infinit de mic al curbei în apropierea punctului dat. Mai jos este o descriere a procesului de determinare a acestor direcții.

Pentru a desena o tangentă la o curbă într-un punct M, desenați prin ea și un punct din apropiere M 1 secantă MM 1.

Orez. 2.10. Definirea unei tangente la traiectoria unui punct

Tangent la o curbă într-un punct M definită ca poziția limită a secantei MM 1în timp ce se străduiește pentru un punct M 1 până la punctul M(Fig. 2.10). Vectorul tangent unitar este de obicei notat cu litera greacă.

Să desenăm vectori unitari de tangente la traiectorie în puncte MȘi M 1. Mutați vectorul într-un punct M(Fig. 2.11) și formează un plan care trece prin acest punct și vectorii și . Repetarea procesului de formare a unor planuri similare în timp ce se străduiește pentru un punct M 1 până la punctul M, obtinem in limita un plan numit învecinat avion.

Orez. 2.11. Definiția unui plan de atingere

Evident, pentru o curbă plană, planul de contact coincide cu planul în care se află această curbă în sine. Avion care trece printr-un punct M iar perpendiculara pe tangenta in acel punct se numeste normal avion. Intersecția planului contiguu și normal formează o dreaptă numită principalul normal (Fig. 2.12).

Traiectoria mișcării unui punct material prin vectorul rază

După ce am uitat această secțiune a matematicii, în memoria mea, ecuațiile de mișcare ale unui punct material au fost întotdeauna reprezentate folosind dependența familiară nouă tuturor. y(x), și uitându-mă la textul sarcinii, am fost puțin surprins când am văzut vectorii. S-a dovedit că există o reprezentare a traiectoriei unui punct material folosind raza-vector- un vector care specifică poziția unui punct în spațiu față de un punct prefixat, numit origine.

Formula pentru traiectoria unui punct material, în plus față de vectorul rază, este descrisă în același mod orts- vectori unitari i, j, kîn cazul nostru coincizând cu axele sistemului de coordonate. Și, în sfârșit, luați în considerare un exemplu de ecuație pentru traiectoria unui punct material (în spațiul bidimensional):

Ce este interesant în acest exemplu? Traiectoria mișcării punctului este dată de sinusuri și cosinusuri, cum credeți că va arăta graficul în reprezentarea familiară a lui y(x)? „Probabil un fel de înfiorător”, te-ai gândit, dar totul nu este atât de dificil pe cât pare! Să încercăm să construim traiectoria punctului material y(x), dacă acesta se mișcă conform legii prezentate mai sus:

Aici am observat pătratul cosinusului, dacă vedeți pătratul sinusului sau cosinusului în orice exemplu, aceasta înseamnă că trebuie să aplicați identitatea trigonometrică de bază, ceea ce am făcut (a doua formulă) și am transformat formula de coordonate y pentru a înlocui formula de schimbare în ea în loc de sinus X:

Drept urmare, legea teribilă a mișcării unui punct s-a dovedit a fi obișnuită parabolă ale căror ramuri sunt îndreptate în jos. Sper că înțelegeți algoritmul aproximativ pentru construirea dependenței y(x) din reprezentarea mișcării prin vectorul rază. Acum să trecem la întrebarea noastră principală: cum să găsiți vectorul viteză și accelerație al unui punct material, precum și modulele acestora.

Vector viteza punctului material

Toată lumea știe că viteza unui punct material este valoarea distanței parcurse de punctul pe unitatea de timp, adică derivata formulei legii mișcării. Pentru a găsi vectorul viteză, trebuie să luați derivata în funcție de timp. Să ne uităm la un exemplu specific de găsire a vectorului viteză.

Un exemplu de găsire a vectorului viteză

Avem legea deplasării unui punct material:

Acum trebuie să luați derivata acestui polinom, dacă ați uitat cum se face acest lucru, atunci aici sunteți. Ca rezultat, vectorul viteză va arăta astfel:

Totul s-a dovedit a fi mai ușor decât credeați, acum să găsim vectorul de accelerație al unui punct material conform aceleiași legi prezentate mai sus.

Cum să găsiți vectorul de accelerație al unui punct material

Vector de accelerație punctual aceasta este o mărime vectorială care caracterizează modificarea modulului și direcției vitezei unui punct în timp. Pentru a găsi vectorul de accelerație al unui punct material în exemplul nostru, trebuie să luați derivata, dar din formula vectorului viteză prezentată chiar mai sus:

Modulul vector al vitezei punctului

Acum să găsim modulul vectorului viteză al unui punct material. După cum știți din clasa a IX-a, modulul unui vector este lungimea acestuia, în coordonate carteziene dreptunghiulare este egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale. Și de unde cereți de la vectorul viteză pe care l-am obținut mai sus să ia coordonatele? Totul este foarte simplu:

Acum este suficient doar să înlocuiți timpul specificat în sarcină și să obțineți o anumită valoare numerică.

Modulul vectorului de accelerație

După cum ați înțeles din cele scrise mai sus (și din clasa a IX-a), găsirea modulului vectorului accelerație se întâmplă în același mod ca și modulul vectorului viteză: extragem rădăcina pătrată din suma pătratelor vectorului. coordonate, totul este simplu! Ei bine, iată un exemplu pentru tine:

După cum puteți vedea, accelerația unui punct material conform legii date mai sus nu depinde de timp și are o mărime și o direcție constante.

Mai multe exemple de soluții la problema găsirii vectorului viteză și accelerație

Și aici puteți găsi exemple de rezolvare a altor probleme din fizică. Și pentru cei care nu prea înțeleg cum să găsească vectorul viteză și accelerație, iată câteva exemple din rețea fără nicio explicație suplimentară, sper că vă vor ajuta.

Dacă aveți întrebări, le puteți adresa în comentarii.