Pentru a rezolva multe probleme de dinamică, în special în dinamica sistemului, în loc de integrare directă ecuațiile diferențiale ale mișcării, se dovedește a fi mai eficient să se folosească așa-numitele teoreme generale, care sunt consecințe ale legii de bază a dinamicii.

Semnificația teoremelor generale constă în faptul că ele stabilesc relații ilustrative între caracteristicile dinamice corespunzătoare ale mișcării. corpuri materialeși, prin urmare, deschid noi posibilități pentru studierea mișcării sistemelor mecanice, care sunt utilizate pe scară largă în practica ingineriei. În plus, aplicarea teoremelor generale elimină necesitatea efectuării pentru fiecare problemă a acelor operațiuni de integrare care se execută odată pentru totdeauna la derivarea acestor teoreme; simplificând astfel procesul decizional.

Să trecem la considerarea teoremelor generale ale dinamicii punctelor.

§ 83. SUMA MISCĂRII UNUI PUNCT. FORTA DE IMPULS

Una dintre principalele caracteristici dinamice ale mișcării unui punct este cantitatea de mișcare

Cantitatea de mișcare punct material numită mărime vectorială egală cu produsul dintre masa unui punct și viteza acestuia. Vectorul este direcționat în același mod ca viteza punctului, adică tangențial la traiectoria acestuia.

Unitatea de măsură a impulsului este în SI - și în sistemul ICSS - .

Impulsul de forță. Pentru a caracteriza actiunea exercitata asupra corpului de catre o forta pe o anumita perioada de timp se introduce conceptul de impuls al fortei. În primul rând, introducem conceptul de impuls elementar, adică un impuls pentru o perioadă elementară de timp.

Un impuls elementar de forță este o mărime vectorială egală cu produsul forței F cu o perioadă elementară de timp

Un impuls elementar este îndreptat de-a lungul liniei de acțiune a forței.

Impulsul S al oricărei forțe F pe o perioadă finită de timp este calculat ca limită a sumei integrale a impulsurilor elementare corespunzătoare, adică.

Prin urmare, impulsul de forță într-o anumită perioadă de timp este egal cu integrala definita de la impulsul elementar, luat în intervalul de la zero la

Constând din n puncte materiale. Să evidențiem un punct din acest sistem Mj cu masa mj. Se știe că forțele externe și interne acționează în acest punct.

Aplica la un punct Mj rezultanta tuturor fortelor interne F j iși rezultatul tuturor forțe externe F j e(Figura 2.2). Pentru punctul material selectat Mj(ca și pentru un punct liber) scriem teorema privind modificarea impulsului în formă diferențială (2.3):

Scriem ecuații similare pentru toate punctele sistem mecanic (j=1,2,3,…,n).

Figura 2.2

Să punem totul împreună n ecuatii:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑ F j e + ∑ F j i. (2.10)

Aici ∑mj ×Vj =Q este impulsul sistemului mecanic;
∑ F j e = R e – vector principal toate forțele externe care acționează asupra sistemului mecanic;
∑ F j i = R i =0- vectorul principal al forțelor interne ale sistemului (după proprietatea forțelor interne, este egal cu zero).

În final, pentru sistemul mecanic, obținem

dQ/dt = Re. (2.11)

Expresia (2.11) este o teoremă privind modificarea impulsului unui sistem mecanic sub formă diferențială (în expresie vectorială): derivata temporală a vectorului moment al unui sistem mecanic este egală cu vectorul principal al tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

Proiectând egalitatea vectorială (2.11) pe axele de coordonate carteziene, obținem expresii pentru teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic într-o expresie de coordonate (scalare):

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

acestea. derivata în timp a proiecției impulsului unui sistem mecanic pe orice axă este egală cu proiecția pe această axă a vectorului principal al tuturor forțelor externe care acționează asupra acestui sistem mecanic.

Înmulțirea ambelor părți ale egalității (2.12) cu dt, obținem teorema într-o altă formă diferențială:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

acestea. diferența de impuls al unui sistem mecanic este egală cu impulsul elementar al vectorului principal (suma impulsurilor elementare) al tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

Integrarea egalității (2.13) în intervalul de timp de la 0 la t, obținem o teoremă privind modificarea impulsului unui sistem mecanic într-o formă finită (integrală) (în expresie vectorială):

Q - Q 0 \u003d S e,

acestea. modificarea cantității de mișcare a unui sistem mecanic într-o perioadă finită de timp este egală cu impulsul total al vectorului principal (suma impulsurilor totale) a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului în aceeași perioadă de timp..

Proiectând egalitatea vectorială (2.14) pe axele de coordonate carteziene, obținem expresii pentru teorema în proiecții (într-o expresie scalară):

acestea. modificarea proiecției impulsului sistemului mecanic pe orice axă pe o perioadă finită de timp este egală cu proiecția pe aceeași axă a impulsului total al vectorului principal (suma impulsurilor totale) a tuturor forțelor externe. acţionând asupra sistemului mecanic pentru aceeaşi perioadă de timp.

Din teorema considerată (2.11) - (2.15) urmează următoarele corolare:

1. Dacă R e = ∑ F j e = 0, apoi Q = const– avem legea conservării vectorului moment al sistemului mecanic: dacă vectorul principal Re a tuturor forțelor externe care acționează asupra unui sistem mecanic este egal cu zero, atunci vectorul impuls al acestui sistem rămâne constant în mărime și direcție și egal cu valoarea sa inițială Q0, adică Q = Q0.
2. Dacă R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), apoi Q x = const- avem legea conservării proiecției pe axa impulsului sistemului mecanic: dacă proiecția vectorului principal a tuturor forțelor care acționează asupra sistemului mecanic pe orice axă este nulă, atunci proiecția pe aceeași axă a vectorul moment al acestui sistem va fi o valoare constantă și egală cu proiecția pe această axă vectorul impuls inițial, i.e. Qx = Q0x.

Forma diferențială a teoremei privind modificarea impulsului unui sistem de materiale are aplicații importante și interesante în mecanica continuumului. Din (2.11) se poate obține teorema lui Euler.

Mărimea mișcării sistemului va fi numită mărimea vectorială Q, egală cu suma geometrică(vector principal) al impulsului tuturor punctelor sistemului (Fig. 288):

Folosind această definiție, vom găsi o formulă cu care este mult mai ușor să calculăm valoarea lui Q, precum și să înțelegem sensul acesteia. Din egalitate (D) rezultă că

Luând derivata în timp a ambelor părți, obținem

De aici aflăm că

adică, cantitatea de mișcare a sistemului este egală cu produsul dintre masa întregului sistem și viteza centrului său de masă.

Acest rezultat este deosebit de convenabil de utilizat atunci când se calculează impulsul corpurilor rigide.

Din formula (19) se poate observa că dacă corpul (sau sistemul) se mișcă în așa fel încât centrul de masă rămâne staționar, atunci impulsul corpului este zero. De exemplu, impulsul unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe care trece prin centrul său de masă va fi zero.

Dacă mișcarea corpului este complexă, atunci valoarea lui Q nu va depinde de mișcarea sa de rotație în jurul centrului de masă. De exemplu, pentru o roată care rulează, indiferent de modul în care roata se rotește în jurul centrului său de masă C.

Astfel, impulsul poate fi considerat ca o caracteristică mișcare înainte sisteme (organisme) și când mișcare complexă- ca o caracteristică a părții de translație a mișcării împreună cu centrul de masă.

Cantitatea de mișcare a sistemului numiți suma geometrică a cantităților de mișcare ale tuturor punctelor materiale ale sistemului

Pentru clarificare simțul fizic(70) calculați derivata lui (64)

. (71)

Rezolvând (70) și (71) împreună, obținem

. (72)

În acest fel, vectorul moment al unui sistem mecanic este determinat de produsul dintre masa sistemului și viteza centrului său de masă.

Să calculăm derivata lui (72)

. (73)

Rezolvând (73) și (67) împreună, obținem

. (74)

Ecuația (74) exprimă următoarea teoremă.

Teorema: Derivata în timp a vectorului moment al sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe ale sistemului.

La rezolvarea problemelor, ecuația (74) trebuie proiectată pe axele de coordonate:

. (75)

Analiza (74) și (75) implică următoarele legea conservării impulsului sistemului: Dacă suma tuturor forțelor sistemului este egală cu zero, atunci vectorul său impuls își păstrează mărimea și direcția.

Dacă
, apoi
,Q = const . (76)

Într-un caz particular, această lege poate fi îndeplinită de-a lungul uneia dintre axele de coordonate.

Dacă
, apoi, Q z = const. (77)

Este recomandabil să folosiți teorema schimbării impulsului în cazurile în care corpurile lichide și gazoase intră în sistem.

Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui sistem mecanic

Cantitatea de mișcare caracterizează doar componenta de translație a mișcării. Pentru a caracteriza mișcarea de rotație a corpului, conceptul de moment principal al cantităților de mișcare ale sistemului în raport cu acest centru (impuls unghiular).

Elanul sistemului relativ la un centru dat este suma geometrică a momentelor cantităților de mișcare ale tuturor punctelor sale relativ la același centru

. (78)

Proiectând (22) pe axele de coordonate, se poate obține expresia momentului unghiular în raport cu axele de coordonate

. (79)

Momentul unghiular al corpului în jurul axelor este egal cu produsul momentului de inerție al corpului în jurul acestei axe cu viteza unghiulară a corpului

. (80)

Din (80) rezultă că momentul cinetic caracterizează doar componenta de rotație a mișcării.

O caracteristică a acțiunii de rotație a unei forțe este momentul acesteia față de axa de rotație.

Teorema schimbării impulsului stabilește relația dintre caracteristica mișcării de rotație și forța care provoacă această mișcare.

Teorema: Derivata în timp a vectorului moment unghiular al sistemului în raport cu un centru este egală cu suma geometrică a momentelor tuturor forțelor externe ale sistemului în raport cuacelasi centru

. (81)

La rezolvarea problemelor de inginerie (81), este necesar să se proiecteze pe axele de coordonate

Analiza lor (81) și (82) implică legea conservării impulsului: Dacă suma momentelor tuturor forțelor externe în jurul centrului (sau axei) este egală cu zero, atunci momentul cinetic al sistemului în jurul acestui centru (sau axa) își păstrează mărimea și direcția.

,

sau

Momentul de inerție nu poate fi modificat prin acțiunea forțelor interne ale sistemului, dar datorită acestor forțe, momentul de inerție poate fi modificat și, prin urmare, viteză unghiulară.

În mod similar, ca și pentru un punct material, derivăm o teoremă privind modificarea impulsului pentru sistem în diferite forme.

Transformăm ecuația (teorema privind mișcarea centrului de masă al unui sistem mecanic)

in felul urmator:

;

Ecuația rezultată exprimă teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic sub formă diferențială: derivata în timp a impulsului unui sistem mecanic este egală cu vectorul principal al forțelor externe care acționează asupra sistemului. .

În proiecțiile pe axe de coordonate carteziene:

; ; .

Luând în timp integralele ambelor părți ale ultimelor ecuații, obținem o teoremă privind modificarea impulsului unui sistem mecanic în formă integrală: modificarea impulsului unui sistem mecanic este egală cu impulsul vectorului principal al forțe externe care acționează asupra sistemului .

.

Sau în proiecții pe axele de coordonate carteziene:

; ; .

Consecințele teoremei (legile conservării impulsului)

Legea conservării impulsului se obține ca cazuri speciale ale teoremei privind modificarea impulsului pentru un sistem în funcție de caracteristicile sistemului de forțe externe. forțe interne poate fi oricare, deoarece nu afectează modificările impulsului.

Sunt posibile două cazuri:

1. Dacă suma vectorială a tuturor forțelor externe aplicate sistemului este zero, atunci impulsul sistemului este constant în mărime și direcție

2. Dacă proiecţia vectorului principal al forţelor externe pe oricare axa de coordonateși/sau și/sau , atunci proiecția cantității de mișcare pe aceleași axe este o valoare constantă, adică. și/sau și/sau respectiv.

Înregistrări similare pot fi făcute pentru un punct material și pentru un punct material.

Sarcina. De la un pistol a cărui masă M, un proiectil de masă zboară în direcție orizontală m cu viteza v. Găsiți viteza V pistoale după tragere.

Soluţie. Toate forțele externe care acționează asupra sistemului mecanic pistol-proiectil sunt verticale. Prin urmare, pe baza corolarului teoremei privind modificarea impulsului sistemului, avem: .

Cantitatea de mișcare a sistemului mecanic înainte de împușcare:

Cantitatea de mișcare a sistemului mecanic după lovitură:

.

Echivalând părțile corecte ale expresiilor, obținem asta

.

Semnul „-” din formula rezultată indică faptul că, după împușcare, pistolul se va rostogoli înapoi în direcția opusă axei Bou.

EXEMPLU 2. Un jet de lichid cu o densitate curge cu viteza V dintr-o conductă cu o secțiune transversală F și lovește un perete vertical în unghi. Determinați presiunea fluidului pe perete.

SOLUŢIE. Aplicăm teorema privind modificarea impulsului în formă integrală la volumul lichidului cu masă m lovind un perete într-o perioadă de timp t.

ECUAȚIA MESHCHERSKY

(ecuația de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă)

În tehnologia modernă, apar cazuri când masa unui punct și a unui sistem nu rămâne constantă în procesul de mișcare, ci se modifică. Deci, de exemplu, în timpul zborului rachetelor spațiale, din cauza ejectării produselor de combustie și a părților individuale inutile ale rachetelor, modificarea masei ajunge la 90-95% din valoarea inițială totală. Dar nu numai tehnologia spațială poate fi un exemplu de dinamică a mișcării unei mase variabile. În industria textilă, există o schimbare semnificativă a masei diferitelor fusuri, bobine, role la viteze moderne ale mașinii și ale mașinii.

Luați în considerare principalele caracteristici asociate cu o modificare a masei, folosind exemplul mișcării de translație a unui corp de masă variabilă. Legea de bază a dinamicii nu poate fi aplicată direct unui corp de masă variabilă. Prin urmare, primim ecuatii diferentiale mișcarea unui punct de masă variabilă, aplicând teorema privind modificarea impulsului sistemului.

Lasă un punct de masă m+dm se mișcă cu viteză. Apoi are loc o detașare din punctul unei particule cu o masă dm deplasându-se cu viteză.

Cantitatea de mișcare a corpului înainte de desprinderea particulei:

Cantitatea de mișcare a unui sistem format dintr-un corp și o particulă detașată după detașarea acestuia:

Atunci modificarea impulsului este:

Pe baza teoremei privind modificarea impulsului sistemului:

Să notăm valoarea - viteza relativă a particulei:

Denota

valoarea R numită forță reactivă. Forța jetului este împingerea motorului, datorită eliberării de gaz din duză.

În sfârșit, obținem

-

Această formulă exprimă ecuația de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă (formula lui Meshchersky). Din ultima formulă rezultă că ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct de masă variabilă au aceeași formă ca și pentru un punct de masă constantă, cu excepția forței reactive suplimentare aplicate punctului datorită modificării masei.

Ecuația de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă indică faptul că accelerația acestui corp se formează nu numai din cauza forțelor externe, ci și datorită forței reactive.

Forța reactivă este o forță asemănătoare cu cea resimțită de o persoană care împușcă - atunci când trage un pistol, este simțită de mână; când trage de la pușcă, este perceput de umăr.

Prima formulă a lui Ciolkovski (pentru o rachetă cu o singură etapă)

Lasă un punct de masă variabilă sau o rachetă să se miște în linie dreaptă sub acțiunea unei singure forțe reactive. Deoarece pentru multe motoare moderne cu reacție , unde este forța reactivă maximă permisă de proiectarea motorului (împingerea motorului); este forța gravitației care acționează asupra motorului suprafața pământului. Acestea. cele de mai sus permit ca componenta din ecuația Meshchersky să fie neglijată și pentru o analiză ulterioară să accepte această ecuație sub forma: ,

Denota:

Rezervă de combustibil (pentru motoarele cu reacție cu propulsie lichidă - masa uscată a rachetei (masa rămasă după arderea întregului combustibil);

Masa de particule separate de rachetă; considerată ca o variabilă variind de la la .

Să scriem ecuația mișcare rectilinie puncte de masă variabilă în următoarea formă

.

Deoarece formula pentru determinarea masei variabile a unei rachete

Prin urmare, ecuațiile de mișcare ale unui punct Luând integralele ambelor părți, obținem

Unde - viteza caracteristica- aceasta este viteza pe care o dobândește racheta sub acțiunea împingerii după erupția tuturor particulelor din rachetă (cu motoare cu reacție cu propulsie lichidă - după arderea întregului combustibil).

Scos din semnul integral (ceea ce se poate face pe baza binecunoscutului matematica superioara teorema valorii medii) este viteza medie particule ejectate din rachetă.