Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct material. Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct

Prima derivată temporală a momentului unghiular al unui punct față de orice centru este egală cu momentul forței față de același centru:

Proiectând (171) pe axe de coordonate carteziene dreptunghiulare, obținem teoreme privind modificarea impuls unghiular puncte despre acestea axele de coordonate:

,
,
. (171")

Teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului

Prima derivată temporală a momentului unghiular al sistemului față de orice punct este egală cu suma vectorială a momentelor forțelor externe care acționează asupra sistemului față de același punct.

, (172)

Unde
– punctul principal toate forțe externe sisteme.

Proiectând (172) pe axe de coordonate carteziene dreptunghiulare, obținem teoreme privind modificarea momentului unghiular al sistemului față de aceste axe de coordonate, i.e.

,
,
. (172")

Legile conservării impulsului

1. Dacă momentul principal al forţelor externe ale sistemului relativ la punct este egal cu zero, adică
, apoi, conform (79), momentul unghiular al sistemului
relativ la același punct este constantă ca mărime și direcție, adică

. (173)

Acest caz special al teoremei privind modificarea momentului unghiular al sistemului se numește legea conservării impulsului. În proiecțiile pe axe de coordonate carteziene dreptunghiulare conform acestei legi

,
,
,

Unde ,,sunt valori constante.

2. Dacă suma momentelor tuturor forţelor exterioare ale sistemului în jurul axei
este egal cu zero, adică
, apoi din (172") rezultă că

. (174)

Prin urmare, momentul cinetic al sistemului în jurul oricărei axe de coordonate este constant dacă suma momentelor forțelor externe în jurul acestei axe este zero, care, în special, se observă atunci când forțele externe sunt paralele cu axa sau o traversează. Într-un caz particular, pentru un corp sau un sistem de corpuri care se pot roti toate împreună în jurul unei axe fixe și dacă în același timp

, sau
, (175)

Unde Și - momentul de inerție al sistemului de corpuri și viteza unghiulară a acestora față de axa de rotație la un moment de timp arbitrar ;Și - momentul de inerție al corpurilor și viteza unghiulară a acestora în momentul de timp ales ca fiind inițial.

Ecuația diferențială de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe

Din teorema privind modificarea momentului cinetic (172") rezultă ecuația diferențială a rotației corp solidîn jurul axă fixă
:

, (176)

Unde este unghiul de rotație al corpului.

Ecuația diferențială a mișcării de rotație a unui corp rigid în cazul general permite rezolvarea a două probleme principale: determinarea cuplului forțelor externe dintr-o rotație dată a corpului și găsirea rotației corpului dintr-un moment de rotație și inițial dat. conditii. Când rezolvați a doua problemă, pentru a găsi unghiul de rotație, trebuie să integrați ecuație diferențială mișcare de rotație. Metodele de integrare a acesteia sunt complet similare cu metodele considerate de integrare a ecuației diferențiale a mișcării rectilinie a unui punct.

Teoremă privind modificarea momentului unghiular al sistemului în mișcare relativă față de centrul de masă

Lăsați sistemul mecanic să se miște în raport cu sistemul de coordonate principal
. Să luăm un sistem de coordonate în mișcare
cu originea în centrul de masă al sistemului , mergând înainte în raport cu sistemul de coordonate principal. Este posibil să se dovedească validitatea formulei:

Unde este viteza absolută a centrului de masă,
.

Valoare
este momentul unghiular al sistemului relativ la centrul de masă pentru mișcarea relativă față de sistemul de coordonate care se mișcă translațional împreună cu centrul de masă, adică sistemul
.

Formula (176) arată că impuls unghiular mișcare absolută sistem în raport cu un punct fix este egală cu suma vectorială a momentului unghiular al centrului de masă în raport cu același punct, dacă întreaga masă a sistemului a fost concentrată în centrul de masă, iar momentul unghiular al sistemului relativ la centrul de masă pentru mișcarea relativă a sistemului în raport cu sistemul de coordonate în mișcare care se mișcă translațional împreună cu centrul de masă.

Teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului în raport cu centrul de masă pt mișcare relativă sistem în raport cu un sistem de coordonate care se deplasează înainte cu centrul de masă; se formulează în același mod ca și când centrul de masă ar fi un punct fix:

sau
, (178)

Unde
este momentul principal al tuturor forțelor externe în jurul centrului de masă.

Luați în considerare un punct material M greutate m deplasându-se sub influența unei forțe F(Figura 3.1). Să scriem și să construim vectorul momentului unghiular (momentul cinetic) M0 punct material relativ la centru O:

Figura 3.1

Diferențiați expresia pentru moment de impuls (moment cinetic k 0) cu timpul:

pentru că dr/dt=V, apoi produs vectorial V×m∙V(vectori coliniari VȘi m∙V) este zero. În același timp d(m∙V)/dt=F conform teoremei impulsului pentru un punct material. Prin urmare, obținem asta

dk 0 /dt = r×F, (3.3)

Unde r×F = M 0 (F)– vector-moment de forță F raportat la centrul fix O. Vector k 0⊥ avion ( r, m×V), și vectorul M 0 (F)⊥ avion ( r, F), avem în sfârșit

dk 0 /dt = M 0 (F). (3.4)

Ecuația (3.4) exprimă teorema privind modificarea momentului unghiular (momentul cinetic) a unui punct material relativ la centru: derivata în timp a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material în raport cu orice centru fix este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru.

Proiectarea egalității (3.4) pe axe coordonate carteziene, primim

dk x /dt = M x (F);

dk y /dt = M y (F);

dk z /dt = M z (F). (3.5)

Egalitățile (3.5) exprimă teorema privind modificarea momentului unghiular (momentul cinetic) a unui punct material în jurul axei: derivata în timp a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material în raport cu orice axă fixă este egală cu momentul forței care acționează asupra acestui punct față de aceeași axă.

Să luăm în considerare consecințele care decurg din teoremele (3.4) și (3.5).

Corolarul 1

Luați în considerare cazul când forța F pe parcursul intregii miscari a punctului trece prin centrul fix O(cazul forței centrale), adică când M0 (F) = 0. Apoi din teorema (3.4) rezultă că k 0 = const, acestea. în cazul unei forțe centrale, momentul unghiular (momentul cinetic) al unui punct material față de centrul acestei forțe rămâne constant în mărime și direcție(Figura 3.2).

Figura 3.2

Din condiție k 0 = const rezultă că traiectoria punctului în mișcare este o curbă plană, al cărei plan trece prin centrul acestei forțe.

Consecința 2

Lasa Mz (F) = 0, adică forța traversează axa z sau paralel cu acesta.

În acest caz, după cum se poate observa din a treia ecuație (3.5), kz = const, acestea. dacă momentul forței care acționează asupra punctului relativ la orice axă fixă este întotdeauna egal cu zero, atunci momentul unghiular (momentul cinetic) al punctului relativ la această axă rămâne constant.

Momentul unghiular al punctului și sistem mecanic

Orez. 3.14

Una dintre caracteristicile dinamice ale mișcării unui punct material și a unui sistem mecanic este momentul cinetic sau momentul impulsului.

Pentru un punct material, momentul cinetic relativ la orice centru O se numește momentul de impuls al punctului relativ la acest centru (Fig. 3.14),

Momentul unghiular al unui punct material în raport cu o axă este proiecția pe această axă a momentului unghiular al unui punct în raport cu orice centru de pe această axă:

Momentul unghiular al unui sistem mecanic față de centrul O se numește suma geometrică momentele cinetice ale tuturor punctelor sistemului relativ la același centru (Fig. 3.15):

(3.20)

Momentul cinetic este aplicat unui punct DESPRE fata de care se calculeaza.

Dacă proiectăm (3.20) pe axe Sistemul cartezian coordonate, atunci obținem proiecțiile momentului unghiular pe aceste axe sau momentele cinetice relativ la axele de coordonate:

Să determinăm momentul unghiular al corpului în raport cu axa sa fixă de rotație z(Fig. 3.16).

Conform formulelor (3.21), avem

Dar când corpul se rotește cu o viteză unghiulară w, viteza și impulsul punctului perpendicular pe segment dkși se află într-un plan perpendicular pe axa de rotație Oz, Prin urmare,

Orez. 3.15

Orez. 3.16

Pentru tot corpul:

Unde Jz este momentul de inerție față de axa de rotație.

În consecință, momentul cinetic al unui corp rigid în jurul axei de rotație este egal cu produsul dintre momentul de inerție al corpului față de axa dată și viteza unghiulară a corpului.

2. Teorema privind modificarea momentului unghiular
sistem mecanic

Momentul unghiular al sistemului relativ la centrul fix O(Fig. 3.15)

Luați derivata timpului din partea stângă și dreaptă a acestei egalități:

(3.22)

Luam in calcul asta atunci expresia (3.22) ia forma

Sau, având în vedere asta

- suma momentelor forţelor exterioare în jurul centrului O, avem in sfarsit:

(3.23)

Egalitatea (3.23) exprimă teorema privind modificarea momentului unghiular.

Teorema privind modificarea momentului cinetic. Derivată în timp a momentului unghiular al unui sistem mecanic față de un centru fix este egală cu momentul principal al forțelor externe ale sistemului față de același centru.

Proiectând egalitatea (3.23) pe axele fixe ale coordonatelor carteziene, obținem teorema în proiecții pe aceste axe:

Din (3.23) rezultă că dacă momentul principal al forțelor externe relativ la un centru fix este egal cu zero, atunci momentul cinetic relativ la acest centru rămâne constant, adică. dacă

(3.24)

Dacă suma momentelor forțelor externe ale sistemului față de orice axă fixă este egală cu zero, atunci proiecția corespunzătoare a momentului cinetic rămâne constantă,

(3.25)

Enunţurile (3.24) şi (3.25) reprezintă legea conservării momentului unghiular al sistemului.

Obținem o teoremă asupra modificării momentului unghiular al sistemului alegând ca punct la calcularea momentului unghiular punctul A, deplasându-se relativ la cadrul de referință inerțial cu o viteză

Momentul unghiular al sistemului în raport cu un punct A(Fig. 3.17)

Orez. 3.17

deoarece apoi

Dat fiind unde este viteza centrului de masă al sistemului, obținem

Calculați derivata în timp a momentului unghiular

În expresia rezultată:

Combinând al doilea și al treilea termen și ținând cont de asta

in sfarsit ajungem

Dacă punctul coincide cu centrul de masă al sistemului C, apoi iar teorema devine

acestea. are aceeași formă ca pentru un punct fix DESPRE.

3. Ecuația diferențială de rotație a unui corp rigid
în jurul unei axe fixe

Lăsați un corp rigid să se rotească în jurul unei axe fixe Az(Fig. 3.18) sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
Scriem ecuația teoremei privind modificarea momentului unghiular al sistemului în proiecție pe axa de rotație:

Orez. 3.18

Pentru cazul rotației unui corp rigid în jurul unei axe fixe:

Unde Jz este momentul constant de inerție în jurul axei de rotație; w este viteza unghiulară.

Având în vedere acest lucru, obținem:

Dacă introducem unghiul de rotație al corpului j, atunci, ținând cont de egalitate avem

(3.26)

Expresia (3.26) este o ecuație diferențială pentru rotația unui corp rigid în jurul unei axe fixe.

4. Teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului
în mișcare relativă față de centrul de masă

Pentru a studia sistemul mecanic, alegem un sistem de coordonate fix Bou 1 y 1 z 1 și mobil Cxyzîncepând de la centrul de masă C, mergând înainte (Fig. 3.19).

Dintr-un triunghi vectorial:

Orez. 3.19

Diferențiând această egalitate în funcție de timp, obținem

unde este viteza absolută a punctului M k, - viteza absolută a centrului de masă DIN,
- viteza relativă a punctului M k, deoarece

Moment pentru un punct DESPRE

Înlocuind valorile și , obținem

În această expresie: este masa sistemului; ;

este momentul unghiular al sistemului relativ la centrul de masă pentru mișcarea relativă în sistemul de coordonate Сxyz.

Elanul ia forma

Teorema privind modificarea momentului unghiular în raport cu un punct DESPRE are forma

Înlocuiți valorile și primim

Să transformăm această expresie ținând cont de faptul că

Această formulă exprimă teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului în raport cu centrul de masă pentru mișcarea relativă a sistemului în raport cu sistemul de coordonate care se mișcă translațional cu centrul de masă. Este formulat în același mod ca și cum centrul de masă ar fi un punct fix.

Direcția și mărimea momentului de impuls se determină exact în același mod ca și în cazul estimării momentului de forță (paragraful 1.2.2).

Definiți simultan ( principal) moment unghiular Cum suma vectoriala momente ale numărului de mișcări ale punctelor sistemului luat în considerare. Are și un al doilea nume impuls unghiular :

Găsim derivata în timp a expresiei (3.40) folosind regulile de diferențiere a produsului a două funcții, precum și faptul că derivata sumei este egală cu suma derivatelor (adică, semnul sumei în timpul diferențierii poate fi mutat ca coeficient):

Luăm în considerare egalitățile cinematice evidente: . Apoi: . Folosim ecuația medie din formulele (3.26) , precum și faptul că produsul vectorial al doi vectori coliniari ( și ) este egal cu zero, obținem:

Aplicând la al 2-lea termen imobilul forțe interne(3.36), obținem o expresie pentru teorema privind modificarea momentului principal al impulsului unui sistem mecanic:

(3.42)

Derivata în timp a momentului unghiular este egală cu suma momentelor tuturor forțelor externe care acționează în sistem.

Această formulare este adesea numită pe scurt: teorema momentului .

Trebuie remarcat faptul că teorema momentelor este formulată într-un cadru de referință fix față de un centru fix O. Dacă un corp rigid este considerat un sistem mecanic, atunci este convenabil să alegeți centrul O pe axa de rotație a lui. corpul.

Trebuie remarcată o proprietate importantă a teoremei momentului (o prezentăm fără derivare). Teorema momentului este valabilă și într-un cadru de referință care se mișcă translațional, dacă centrul de masă (m. C) al corpului (sistemului mecanic) este ales ca centru:

Formularea teoremei se păstrează practic în acest caz.

Corolarul 1

Fie partea dreaptă a expresiei (3.42) egală cu zero =0, - sistemul este izolat. Apoi din ecuația (3.42) rezultă că .

Pentru un sistem mecanic izolat, vectorul momentului unghiular al sistemului nu se modifică în timp nici în direcție, nici în mărime.

Consecința 2

Dacă partea dreaptă a oricăreia dintre expresiile (3.44) este egală cu zero, de exemplu, pentru axa Oz: =0 (sistem parțial izolat), atunci rezultă din ecuațiile (3.44): =const.

Prin urmare, dacă suma momentelor forțelor externe în jurul oricărei axe este egală cu zero, atunci momentul cinetic axial al sistemului de-a lungul acestei axe nu se modifică în timp.

Formulările date mai sus în corolare sunt expresiile legea conservării momentului unghiular în sisteme izolate .

Momentul cinetic al unui corp rigid

Luați în considerare un caz special - rotația unui corp rigid în jurul axei Oz (Fig. 3.4).

Fig.3.4

Punct al corpului, separat de axa de rotație printr-o distanță h k , se rotește într-un plan paralel cu Oxy cu o viteză de . În conformitate cu definiția momentului axial, folosim expresia (1.19), înlocuind proiecția F Forța XY pe acest plan prin impulsul punctului . Să estimăm momentul cinetic axial al corpului:

Conform teoremei lui Pitagora , deci (3.46) se poate scrie după cum urmează:

(3.47)

Atunci expresia (3.45) va lua forma:

(3.48)

Dacă folosim legea conservării momentului unghiular pentru un sistem parțial izolat (corolarul 2) aplicată unui corp solid (3.48), obținem . În acest caz, pot fi luate în considerare două opțiuni:

ÎNTREBĂRI PENTRU AUTOVERIFICARE

1. Cum se determină momentul unghiular al unui corp rigid rotativ?

2. Care este diferența dintre momentul axial de inerție și momentul cinetic axial?

3. Cum se modifică viteza de rotație a unui corp rigid în timp în absența forțelor externe?

Momentul axial de inerție al unui corp rigid

După cum vom vedea mai târziu, momentul axial de inerție al corpului are aceeași semnificație pentru mișcarea de rotație a corpului ca și masa corpului în timpul mișcării sale de translație. Aceasta este una dintre cele mai importante caracteristici ale corpului, care determină inerția corpului în timpul rotației sale. După cum se poate observa din definiția (3.45), aceasta este o valoare scalară pozitivă, care depinde de masele punctelor sistemului, dar într-o măsură mai mare de distanța punctelor față de axa de rotație.

Pentru corpurile solide omogene de forme simple, valoarea momentului axial de inerție, ca și în cazul estimării poziției centrului de masă (3.8), se consideră prin metoda integrării, folosind în locul unei mase discrete masa de un volum elementar dm=ρdV:

(3.49)

Pentru referință, dăm valorile momentelor de inerție pentru unele corpuri simple:

m si lungime l raportat la axa care trece perpendicular pe tija prin mijlocul acesteia (Fig. 3.5).

Fig.3.5

moment de inerție de subțire tijă omogenă greutate m si lungime l raportat la axa care trece perpendicular pe tija prin capătul acesteia (Fig. 3.6).

Fig.3.6

Momentul de inerție al unui inel subțire omogen cu masă m si raza R raportat la axa care trece prin centrul ei perpendicular pe planul inelului (fig. 3.7).

Fig.3.7

Momentul de inerție al unui disc subțire omogen cu masă m si raza R raportat la axa care trece prin centrul ei perpendicular pe planul discului (fig. 3.7).

Fig.3.8

· Momentul de inerție al unui corp de formă arbitrară.

Pentru corpurile de formă arbitrară, momentul de inerție se scrie sub următoarea formă:

Unde ρ - așa-zisul. rază de girație corp sau raza unui anumit inel condiționat cu o masă m, al cărui moment de inerție axial este egal cu momentul de inerție al corpului dat.

Teorema Huygens-Steiner

Fig.3.9

Asociați două sisteme de coordonate paralele cu corpul. Primul Cx"y"z", cu originea în centrul de masă, se numește central, iar al doilea Oxyz, cu centrul O, situat pe axa Cx" la distanță CO = d(Figura 3.9). Este ușor să stabiliți conexiuni între coordonatele punctelor corpului pentru aceste sisteme:

În conformitate cu formula (3.47), momentul de inerție al corpului în jurul axei Oz:

Aici, constantele pentru toți termenii sumei a 2-a și a 3-a a părții din dreapta sunt factorii 2 dȘi d scos din sumele respective. Suma maselor din al treilea termen este masa corpului. A doua sumă, în conformitate cu (3.7), determină coordonata centrului de masă C pe axa Cx „(), iar egalitatea este evidentă: . Ținând cont că primul termen, prin definiție, este momentul de inerţia corpului faţă de axa centrală Cz" (sau Z C) , obținem formularea teoremei Huygens - Steiner:

(3.50)

Momentul de inerție al unui corp în jurul unei anumite axe este egal cu suma momentului de inerție al corpului față de o axă centrală paralelă și produsul masei corpului cu pătratul distanței dintre aceste axe.

ÎNTREBĂRI PENTRU AUTOVERIFICARE

1. Da formule pentru momente axiale inerția tijei, inelului, discului.

2. Aflați raza de rotație a unui cilindru solid rotund în jurul axei sale centrale.

Teorema privind modificarea impulsului sistemului

Conceptul de impuls al unei forțe ne permite să formulăm o teoremă privind modificarea impulsului unui sistem pentru sisteme arbitrare:

unde este inițial și este impulsul final al unui sistem izolat care interacționează cu alte sisteme numai prin forțe. De fapt, în această formulare, legea conservării impulsului este echivalentă cu cea de-a doua lege a lui Newton și este integrala ei în timp, deoarece

Teorema privind modificarea momentului unghiular (momentul cinetic) a unui punct material

Luați în considerare un punct material M greutate m deplasându-se sub influența unei forțe F (Figura 3.1). Să scriem și să construim vectorul momentului unghiular (momentul cinetic) M 0 punct material relativ la centru O :

Figura 3.1

Diferențiați expresia pentru moment de impuls (moment cinetic k 0) după timp:

pentru că dr /dt = V , apoi produsul vectorial V ⊗ m⋅V (vectori coliniari V Și m⋅V ) este zero. În același timp d(m⋅V) /dt = F conform teoremei despre impulsul unui punct material. Prin urmare, obținem asta

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Unde r ⊗F = M 0 (F) – vector-moment de forță F raportat la centrul fix O . Vector k 0 ⊥ plan ( r,m ⊗V ), și vectorul M 0 (F) ⊥ avion ( r ,F ), avem în sfârșit

dk 0 /dt = M 0 (F) . (3.4)

Ecuația (3.4) exprimă teorema privind modificarea momentului unghiular (momentul cinetic) a unui punct material relativ la centru: derivata în timp a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material în raport cu orice centru fix este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru.

Proiectând egalitatea (3.4) pe axele coordonatelor carteziene, obținem

dk x /dt = M x(F); dk y /dt = M y(F); dkz /dt = Mz(F) . (3.5)

Să luăm în considerare consecințele care decurg din teoremele (3.4) și (3.5).

Consecința 1. Luați în considerare cazul când forța F pe parcursul intregii miscari a punctului trece prin centrul fix O (cazul forței centrale), adică când M 0 (F) = 0. Atunci din teorema (3.4) rezultă că k 0 = const ,

acestea. în cazul unei forțe centrale, momentul impulsului (momentul cinetic) al unui punct material față de centrul acestei forțe rămâne constant în mărime și direcție (Figura 3.2).

Figura 3.2

Din condiție k 0 = const rezultă că traiectoria punctului în mișcare este o curbă plană, al cărei plan trece prin centrul acestei forțe.

Consecința 2. Lasa Mz(F) = 0, adică forța traversează axa z sau paralel cu acesta. În acest caz, după cum se poate observa din a treia ecuație (3.5), kz = const ,

acestea. dacă momentul forței care acționează asupra punctului relativ la orice axă fixă este întotdeauna egal cu zero, atunci momentul unghiular (momentul cinetic) al punctului relativ la această axă rămâne constant.