Ecuația de echilibru pentru un sistem spațial de forțe convergente. Condiții (ecuații) pentru echilibrul unui sistem spațial arbitrar de forțe

20. Starea de echilibru sistem spațial forte:

21. Teorema despre 3 forte neparalele: Liniile de acțiune a trei forțe neparalele echilibrate reciproc aflate în același plan se intersectează într-un punct.

22. Probleme determinate statistic sunt probleme care pot fi rezolvate prin metodele staticii corporale rigide, i.e. probleme în care numărul de necunoscute nu depășește numărul de ecuații de echilibru al forțelor.

Nedeterminat static - acestea sunt sisteme în care numărul de mărimi necunoscute depășește numărul de ecuații de echilibru independente pentru un anumit sistem de forțe

23. Ecuații de echilibru sistem plat forte paralele:

AB nu este paralel cu F i

24. Con și unghi de frecare: Poziția limită a forțelor active, sub acțiunea cărora poate avea loc egalitatea, descrie con de frecare cu unghi (φ).

Dacă forța activă trece în afara acestui con, atunci echilibrul este imposibil.

Unghiul φ se numește unghi de frecare.

25. Precizați dimensiunea coeficienților de frecare: coeficienţii de frecare statică şi de alunecare sunt mărimi adimensionale, coeficienţii de frecare la rulare şi frecare de rotaţie au dimensiunea lungimii (mm, cm, m).m.

26. Principalele ipoteze luate în calculul fermelor plate determinate static:- truss rods sunt considerate fără greutate; - fixarea tijelor în nodurile unei ferme - articulate; -sarcina externa se aplica doar in nodurile sarpantei; - tija este legată.

27. Care este relația dintre tijele și nodurile unei ferme definite static?

S=2n-3 – împletire simplă determinată static, S-număr de tije, n-număr de noduri,

daca S<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если forțe externe vor fi în egală măsură legate

S>2n-3 - ferme nedeterminată static, are conexiuni suplimentare, + calcul deformare

28. O fermă determinată static trebuie să îndeplinească condiția: S=2n-3; S este numărul de tije, n este numărul de noduri.

29. Metoda de tăiere cu noduri: Această metodă constă în decuparea mentală a nodurilor ferme, aplicarea forțelor externe adecvate și reacțiile tijei acestora și compilarea ecuațiilor pentru echilibrul forțelor aplicate fiecărui nod. Se presupune condiționat că toate tijele sunt întinse (reacțiile tijelor sunt îndreptate departe de noduri).

30. Metoda Ritter: Desenăm un plan de tăiere, tăind ferma în 2 părți. Secțiunea trebuie să înceapă și să se termine în afara fermei. Orice parte poate fi aleasă ca obiect de echilibru. Secțiunea trece prin bare, nu prin noduri. Forțele aplicate obiectului de echilibru se formează sistem arbitrar forte, pentru care se pot intocmi 3 ecuatii de echilibru. Prin urmare, secțiunea este desenată astfel încât să nu cadă în ea mai mult de 3 tije, forțele în care sunt necunoscute.

O caracteristică a metodei Ritter este alegerea formei ecuației în așa fel încât fiecare ecuație de echilibru să includă o cantitate necunoscută. Pentru a face acest lucru, determinăm pozițiile punctelor Ritter ca puncte de intersecție a liniilor de acțiune a două forțe necunoscute și notăm ecuațiile momentelor rel. aceste puncte.

Dacă punctul Ritter se află la infinit, atunci ca ecuație de echilibru compunem ecuațiile proiecțiilor pe axa perpendiculară pe aceste tije.

31. Punctul Ritter- punctul de intersecție al liniilor de acțiune a două forțe necunoscute. Dacă punctul Ritter se află la infinit, atunci ca ecuație de echilibru compunem ecuațiile proiecțiilor pe axa perpendiculară pe aceste tije.

32. Centrul de greutate al unei figuri tridimensionale:

33. Centrul de greutate al unei figuri plate:

34. Centrul de greutate al structurii barei:

35. Centrul de greutate al arcului:

36. Centrul de greutate al sectorului circular:

37. Centrul de greutate al conului:

38. Centrul de greutate al emisferei:

39. Metoda valorilor negative: Dacă un corp solid are cavități, de ex. cavitățile din care este scoasă masa lor, apoi umplem mental aceste cavități până la un corp solid și determinăm centrul de greutate al figurii, luând greutatea, volumul, aria cavităților cu semnul „-”.

40. primul invariant: Primul invariant al sistemului de forțe se numește vectorul principal al sistemului de forțe. Vectorul principal al sistemului de forțe nu depinde de centrul de reducere R=∑ F i

41. al 2-lea invariant: Produsul scalar al vectorului principal prin momentul principal al sistemului de forțe pentru orice centru de reducere este o valoare constantă.

42. În ce caz se reduce sistemul de forțe la un șurub de putere? Dacă vector principal Sistemul de forțe și momentul său principal față de centrul de reducere nu sunt egale cu zero și nu sunt perpendiculare între ele. sistemul de forţe poate fi redus la un şurub de forţă.

43. Ecuația axei șurubului central:

44. M x - yR z + zR y = pR x ,
M y - zR x + xR z = pR y ,
M z - xR y + yR x = pR z

45. Momentul unei perechi de forțe ca vector- acest vector este perpendicular pe planul de acțiune al perechii și este direcționat în lateral, de unde se vede rotația în sens invers acelor de ceasornic a perechii. Modulul momentului vectorial este egal cu produsul dintre forțele perechii și brațul perechii. Momentul vectorial al unei perechi de yavl. vector liber și poate fi aplicat în orice punct al corpului rigid.

46. Principiul eliberării de obligațiuni: Dacă legăturile sunt aruncate, atunci acestea trebuie înlocuite cu forțe de reacție din legătură.

47. Poligon frânghie- aceasta este o construcție de grafostatică, care poate fi folosită pentru a determina linia de acțiune a sistemului de forțe plan rezultat pentru a găsi reacțiile suporturilor.

48. Care este relația dintre frânghie și poligonul de putere: Pentru a găsi forțe necunoscute grafic în poligonul de forță, folosim un punct suplimentar O (pol), în poligonul de frânghie găsim rezultanta, mutând care la poligonul de forță găsim forțe necunoscute

49. Condiția pentru echilibrul sistemelor de perechi de forțe: Pentru a echilibra perechile de forţe care acţionează asupra solid este necesar şi suficient ca momentul perechilor de forţe echivalente să fie egal cu zero. Consecință: Pentru a echilibra o pereche de forțe, este necesar să se aplice o pereche de echilibrare, i.e. o pereche de forțe poate fi echilibrată de o altă pereche de forțe cu module egale și momente direcționate opus.

Cinematică

1. Toate modalitățile de a specifica mișcarea unui punct:

mod natural

coordona

raza-vector.

2. Cum să găsiți ecuația pentru traiectoria unui punct când modul de coordonare sarcinile mișcării sale? Pentru a obține ecuația mișcării traiectoriei punct material, cu metoda de setare a coordonatelor, este necesar să se excludă parametrul t din legile mișcării.

3. Accelerarea unui punct la coordona. metoda de setare a miscarii:

deasupra x 2 puncte

peste y 2 puncte

4. Accelerația punctului la mod vectorial sarcini de mișcare:

5. Accelerația unui punct cu un mod natural de a pune mișcare:

= = * +v* ; a= + ; * ; v* .

6. Ce este egal și cum este direcționat accelerație normală - îndreptată de-a lungul razei spre centru,

Există trei tipuri de ecuații de echilibru pentru un sistem plan de forțe. Prima formă principală decurge direct din condițiile de echilibru:

;

si scris asa:

;
;
.

Alte două tipuri de ecuații de echilibru pot fi, de asemenea, derivate din condițiile de echilibru:

;
;
,

unde este linia AB nu perpendicular pe axa X;

;
;
.

puncte A, B Și C nu vă culcați pe aceeași linie.

Spre deosebire de un sistem plat de forțe, condițiile de echilibru pentru un sistem spațial arbitrar de forțe sunt două egalități vectoriale:

Dacă aceste relații sunt proiectate pe un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci obținem ecuațiile de echilibru pentru sistemul spațial de forțe:

Sarcina 1. Determinarea reacțiilor suporturilor unei structuri compozite (sistem cu două corpuri)

Designul constă din două tije rupte ABCȘi CDE conectat la un punct C balama cilindrică fixă și atașată la un plan fix xOy sau cu ajutorul balamalelor cilindrice fixe (НШ ), sau o balama cilindrică mobilă (PSh) și o etanșare rigidă (ZhZ). Planul de rulare al balamalei cilindrice mobile este unghiul   cu ax Bou. Coordonatele punctului A,B,C,D Și E, precum si metoda de fixare a structurii sunt date in tabel. 1. Structura este încărcată cu o sarcină de intensitate uniform distribuită q, perpendicular pe locul aplicării sale, de o pereche de forțe cu un moment Mși două forțe concentrate Și . O sarcină uniform distribuită este aplicată în așa fel încât rezultatul său tinde să rotească structura în jurul punctului Oîn sens invers acelor de ceasornic. Site-uri de aplicații qȘi M, precum și puncte de aplicare Și , modulele și direcțiile acestora sunt indicate în Tabel. 2. Unități ale valorilor stabilite: q– kilonewton pe metru (kN/m); M- kilonewton metru (kNm); Și – kilonewton (kN);  sunt prezentate în grade, iar coordonatele punctelor sunt în metri. Unghiurile,șiar trebui să fie puse deoparte de direcția pozitivă a axei Bouîn sens invers acelor de ceasornic dacă este pozitiv și în sensul acelor de ceasornic dacă este negativ.

Determinați reacțiile legăturilor externe și interne ale structurii.

Instrucțiuni pentru finalizarea sarcinii

Pe planul de coordonate xOyîn conformitate cu condiția variantei de sarcină (Tabelul 1), este necesar să se construiască puncte A,B, C,D,E; trage tije rupte ABC,CDE; indicați modalitățile de atașare a acestor corpuri între ele și de un plan fix xOy. Apoi, luând datele din tabel. 2, încărcați structura cu două forțe concentrate Și , intensitatea sarcinii uniform distribuită qși o pereche de forțe cu un moment algebric M. Deoarece sarcina examinează echilibrul unui corp compozit, atunci trebuie să construiți un alt desen, ilustrând corpurile separat pe el. ABCȘi CDE. Extern (puncte A,E) și interne (punctul DIN) legăturile din ambele figuri trebuie înlocuite cu reacțiile corespunzătoare, iar sarcina distribuită uniform trebuie înlocuită cu rezultatul
(l este lungimea secțiunii de aplicare a sarcinii) îndreptată spre sarcină și aplicată la mijlocul secțiunii. Întrucât structura luată în considerare este formată din două corpuri, pentru a afla reacțiile legăturilor, este necesar să se compună șase ecuații de echilibru. Există trei opțiuni pentru a rezolva această problemă:

a) alcătuiți trei ecuații de echilibru pentru un corp compus și trei pentru un corp ABC;

b) alcătuiți trei ecuații de echilibru pentru un corp compus și trei pentru un corp CDE;

c) alcătuiți trei ecuații de echilibru pentru corpuri ABCȘi CDE.

Exemplu

Dat:A (0;0,2);ÎN (0,3:0,2);DIN (0,3:0,3);D (0,7:0,4);E (0,7:0);
kN/m,
kN, β = - 45˚ și
kN, y = - 60˚,
kNm.

Defini reacţii ale legăturilor externe şi interne ale structurii.

Soluţie. Să împărțim structura (Fig. 7, dar) la punct DINîn părți constitutive ABCȘi CDE(Fig. 7, b,în). Să înlocuim balamalele AȘi B reacții corespunzătoare, ale căror componente le indicăm în Fig. 7. La punct C descrie componentele
- forțele de interacțiune între părțile structurii și .

tabelul 1

Opțiuni de muncă 1

Metoda de montare

desene

X A

y A

X B

y B

X C

y C

X D

y D

X E

y E

T. E

masa 2

Date pentru sarcina 1

Putere		Putere	Moment M
	Sens	Sens	Sens	Sens

Intensitatea sarcinii distribuită uniform q înlocuiți rezultatul , kN:

Vector forme cu direcție pozitivă a axei y unghiul φ, care este ușor de găsit din coordonatele punctelor C Și D (vezi fig. 7, dar):

Pentru a rezolva problema, folosim primul tip de ecuații de echilibru, scriindu-le separat pentru părțile din stânga și din dreapta ale structurii. La compilarea ecuațiilor de momente, alegem ca punct de moment punctele A- pentru stânga și E– pentru părțile potrivite ale structurii, ceea ce ne va permite să rezolvăm aceste două ecuații împreună și să determinăm necunoscutele
Și .

Ecuații de echilibru pentru un corp ABC:

Imaginează-ți puterea ca suma componentelor:
, Unde. Apoi ecuațiile de echilibru pentru corp CDE poate fi scris sub forma

Să rezolvăm împreună ecuațiile momentelor, după înlocuirea valorilor cunoscute în ele.

Având în vedere că, conform axiomei despre egalitatea forţelor de acţiune şi de reacţie
, din sistemul rezultat găsim, kN:

Apoi din ecuațiile de echilibru rămase ale corpurilor ABC Și CDE este ușor de determinat reacțiile legăturilor interne și externe, kN:

Prezentăm rezultatele calculelor într-un tabel:

Un sistem spațial arbitrar de forțe, ca unul plat, poate fi adus într-un anumit centru DESPREși înlocuiți cu o forță rezultantă și o pereche cu moment . Argumentând în așa fel încât pentru echilibrul acestui sistem de forțe este necesar și suficient ca în același timp R= 0 și M o = 0. Dar vectorii și pot să dispară numai atunci când toate proiecțiile lor pe axele de coordonate sunt egale cu zero, adică atunci când R x= R y= R z = 0 și M x= M y= M z = 0 sau când forțele care acționează îndeplinesc condițiile

Σ X i = 0; Σ Mx(Pi) = 0;

Σ Y eu = 0; Σ Ale mele(Pi) = 0;

Σ Zi = 0; Σ Mz(Pi) = 0.

Astfel, pentru echilibrul unui sistem spațial de forțe, este necesar și suficient ca sumele proiecțiilor tuturor forțelor sistemului pe fiecare dintre axele de coordonate, precum și sumele momentelor tuturor forțelor de sistemul relativ la fiecare dintre aceste axe, sunt egale cu zero.

În cazuri speciale ale unui sistem de forțe convergente sau paralele, aceste ecuații vor fi liniar dependente și doar trei dintre cele șase ecuații vor fi liniar independente.

De exemplu, ecuațiile de echilibru pentru un sistem de forțe, axa paralela Oz, au forma:

Σ Zi = 0;

Σ Mx(Pi) = 0;

Σ Ale mele(Pi) = 0.

Probleme pentru echilibrul unui corp sub acțiunea unui sistem spațial de forțe.

Principiul rezolvării problemelor din această secțiune rămâne același ca și pentru un sistem plan de forțe. După ce s-a stabilit echilibrul cărui corp va fi considerat, ele înlocuiesc legăturile impuse corpului cu reacțiile lor și alcătuiesc condițiile echilibrului acestui corp, considerându-l liber. Mărimile necesare se determină din ecuațiile obținute.

Pentru a obține sisteme de ecuații mai simple, se recomandă trasarea axelor astfel încât să intersecteze mai multe forțe necunoscute sau să fie perpendiculare pe ele (cu excepția cazului în care acest lucru complică inutil calculul proiecțiilor și momentelor altor forțe).

Un element nou în formularea ecuațiilor este calculul momentelor forțelor în jurul axelor de coordonate.

În cazurile în care este dificil de văzut din desenul general care este momentul unei forțe date în raport cu o anumită axă, se recomandă să se înfățișeze pe desenul auxiliar proiecția corpului în cauză (împreună cu forța) pe un plan. perpendicular pe această axă.

În acele cazuri în care, la calcularea momentului, există dificultăți în determinarea proiecției forței pe planul corespunzător sau umerii acestei proiecții, se recomandă descompunerea forței în două componente reciproc perpendiculare (dintre care una paralelă cu orice axă de coordonate) și apoi folosiți teorema Varignon.

Exemplul 5 Cadru AB(fig.45) este menținută în echilibru printr-o balama DARși tijă soare. La marginea cadrului este o sarcină de cântărire R. Să determinăm reacțiile balamalei și forța în tijă.

Fig.45

Luăm în considerare echilibrul cadrului împreună cu sarcina.

Construim o schemă de calcul, ilustrând un cadru corp liberşi arătând toate forţele care acţionează asupra acestuia: reacţiile legăturilor şi greutatea sarcinii R. Aceste forțe formează un sistem de forțe situat în mod arbitrar pe plan.

Este de dorit să se compun astfel de ecuații astfel încât fiecare să aibă o forță necunoscută.

În problema noastră, acesta este ideea DAR, unde necunoscutele si ; punct DIN, unde liniile de acțiune ale forțelor necunoscute se intersectează și ; punct D- punctul de intersecţie al liniilor de acţiune a forţelor şi . Să facem ecuația proiecțiilor forțelor pe o axă la(pe axă X este imposibil de proiectat, pentru că este perpendicular pe linie AC).

Și, înainte de a scrie ecuații, mai facem o remarcă utilă. Dacă există o forță asupra schemei de proiectare care este situată astfel încât umărul său să nu fie ușor, atunci când se determină momentul, se recomandă mai întâi să descompuneți vectorul acestei forțe în două, mai convenabil dirijate. În această problemă, descompunem forța în două: și (Fig. 37) astfel încât modulele lor

Facem ecuații:

Din a doua ecuație găsim

Din a treia

Și din prima

Deci, cum a ieșit S<0, то стержень soare va fi comprimat.

Exemplul 6 Greutatea raftului dreptunghiular Rținut în poziție orizontală de două tije CEȘi CD atașat de perete într-un punct E. Bare de aceeași lungime, AB=2 A,EO= A. Determinați forțele în tije și reacțiile buclelor DARȘi ÎN.

Fig.46

Luăm în considerare echilibrul plăcii. Construim o schemă de calcul (Fig. 46). Reacţiile buclelor sunt prezentate de obicei prin două forţe perpendiculare pe axa buclei: .

Forțele formează un sistem de forțe situat arbitrar în spațiu. Putem face 6 ecuații. Necunoscut - tot șase.

Ce ecuații să faci - trebuie să te gândești. Este de dorit ca acestea să fie mai simple și să conțină mai puține necunoscute.

Să facem următoarele ecuații:

Din ecuația (1) obținem: S 1 =S 2 . Apoi din (4): .

Din (3): Y A =Y B și, conform (5), . Deci Din ecuația (6), deoarece S 1 = S 2 urmează Z A = Z B . Apoi prin (2) Z A =Z B =P/4.

Din triunghi , unde , urmează ,

Prin urmare, Y A \u003d Y B \u003d 0,25P, Z A \u003d Z B 0,25P.

Pentru a verifica soluția, puteți compune o altă ecuație și puteți vedea dacă este mulțumit de valorile găsite ale reacțiilor:

Problema rezolvata corect.

Întrebări pentru autoexaminare

Ce structură se numește fermă?

Enumerați principalele componente ale unei ferme.

Care truss rod se numește zero?

Formulați lemele care definesc pivotul zero al armaturii.

Care este esența metodei de tăiere a nodurilor?

Pe baza ce considerații, fără calcule, se pot determina tijele de ferme spațiale, în care, la o sarcină dată, forțele sunt egale cu zero?

Care este esența metodei Ritter?

Care este relația dintre reacția normală la suprafață și forța normală de presiune?

Care este forța de frecare?

Scrieți legea Amonton-Coulomb.

Formulați legea de bază a frecării. Care este coeficientul de frecare, unghiul de frecare și de ce depinde valoarea lor?

Grinda este în echilibru, sprijinită pe un perete vertical neted și o podea orizontală aspră; centrul de greutate al fasciculului se află în mijlocul acesteia. Este posibil să se determine direcția reacției totale a podelei?

Care este dimensiunea coeficientului de frecare de alunecare.

Care este forța finală a frecării de alunecare.

Ce caracterizează conul de frecare?

Numiți cauza momentului de frecare de rulare.

Care este dimensiunea coeficientului de frecare la rulare?

Dați exemple de dispozitive în care apare frecarea de rotire.

Care este diferența dintre forța de coeziune și forța de frecare?

Ce este un con de ambreiaj?

Care sunt direcțiile posibile de reacție ale unei suprafețe rugoase?

Care este aria de echilibru și care sunt condițiile pentru echilibrul forțelor aplicate unei bare care se sprijină pe două suprafețe aspre?

Care este momentul de forță la un punct? Care este dimensiunea acestei cantități?

Cum se calculează modulul momentului de forță față de un punct?

Formulați o teoremă asupra momentului sistemului rezultant de forțe convergente.

Care este momentul de forță în jurul unei axe?

Scrieți o formulă care raportează momentul forței în jurul unui punct cu momentul aceleiași forțe în jurul unei axe care trece prin acest punct.

Cum se determină momentul forței în jurul unei axe?

De ce, atunci când se determină momentul forței în jurul unei axe, este necesar să se proiecteze forța pe un plan perpendicular pe axă?

Cum ar trebui să fie poziționată axa astfel încât momentul unei forțe date în jurul acestei axe să fie egal cu zero?

Dați formule pentru calcularea momentelor de forță în jurul axelor de coordonate.

Cum este direcționat vectorul momentului de forță față de punct?

Cum este definit momentul forței în raport cu un punct într-un plan?

Ce zonă poate determina valoarea numerică a momentului de forță în jurul unui punct dat?

Se schimbă momentul forței în jurul unui punct dat când forța este transferată de-a lungul liniei sale de acțiune?

Când este momentul forței în jurul unui punct dat egal cu zero?

Determinați locul punctelor din spațiu față de care momentele unei forțe date sunt:

a) egal geometric;

b) sunt egale în valoare absolută.

Cum se determină valoarea numerică și semnul momentului de forță față de axă?

În ce condiții momentul forței în jurul axei este egal cu zero?

În ce direcție a unei forțe aplicate unui punct dat, momentul ei în jurul unei axe date este cel mai mare?

Ce relație există între momentul forței în jurul unui punct și momentul aceleiași forțe în jurul unei axe care trece prin acest punct?

În ce condiții modulul momentului de forță în jurul unui punct este egal cu momentul aceleiași forțe în jurul unei axe care trece prin acest punct?

Care sunt expresiile analitice pentru momentele de forță despre axele de coordonate?

Care sunt momentele principale ale unui sistem de forțe situat arbitrar în spațiu față de un punct și față de o axă care trece prin acest punct? Care este relația dintre ei?

Care este momentul principal al unui sistem de forțe situat într-un singur plan, raportat la orice punct al acestui plan?

Care este momentul principal al forțelor care alcătuiesc perechea, raportat la orice punct din spațiu?

Ce se numește momentul principal al sistemului de forțe față de un pol dat?

Cum este formulată lema privind transferul paralel de forță?

Formulați o teoremă privind reducerea unui sistem arbitrar de forțe la vectorul principal și momentul principal.

Notați formulele de calcul a proiecțiilor momentului principal pe axele de coordonate.

Oferiți o înregistrare vectorială a condițiilor de echilibru pentru un sistem arbitrar de forțe.

Scrieți condițiile de echilibru pentru un sistem arbitrar de forțe în proiecții pe axe de coordonate dreptunghiulare.

Câte ecuații independente de echilibru scalar pot fi scrise pentru un sistem spațial de forțe paralele?

Scrieți ecuațiile de echilibru pentru un sistem de forțe plan arbitrar.

În ce condiție sunt echilibrate trei forțe neparalele aplicate unui corp rigid?

Care este condiția de echilibru pentru trei forțe paralele aplicate unui corp rigid?

Care sunt cazurile posibile de reducere a forțelor situate arbitrar și paralele în spațiu?

La ce formă cea mai simplă poate fi redus sistemul de forțe dacă se știe că momentul principal al acestor forțe relativ la diferite puncte din spațiu este:

a) are aceeași valoare diferită de zero;

b) este egal cu zero;

c) are valori diferite și este perpendicular pe vectorul principal;

d) are valori diferite și nu este perpendicular pe vectorul principal.

Care sunt condițiile și ecuațiile pentru echilibrul unui sistem spațial de forțe convergente, paralele și situate arbitrar și cum diferă ele de condițiile și ecuațiile pentru echilibrul aceluiași tip de forțe pe un plan?

Ce ecuații și câte dintre ele pot fi făcute pentru un sistem spațial echilibrat de forțe convergente?

Scrieți sistemul de ecuații de echilibru al sistemului spațial de forțe?

Care sunt condițiile geometrice și analitice pentru aducerea sistemului spațial de forțe la rezultantă?

Formulați o teoremă asupra momentului sistemului spațial de forțe rezultat în jurul unui punct și al unei axe.

Scrieți ecuațiile pentru dreapta de acțiune a rezultantei.

Care linie dreaptă din spațiu se numește axa centrală a sistemului de forțe?

Deduceți ecuațiile axei centrale a sistemului de forțe?

Arătați că două forțe de încrucișare pot fi reduse la un șurub de forță.

Ce formulă este folosită pentru a calcula cel mai mic moment principal al unui anumit sistem de forțe?

Scrieți formulele de calcul al vectorului principal al sistemului spațial al forțelor convergente?

Scrieți formulele de calcul al vectorului principal al unui sistem spațial de forțe situate arbitrar?

Scrieți formula de calcul al momentului principal al sistemului spațial de forțe?

Care este dependența momentului principal al sistemului de forțe în spațiu de distanța centrului de reducere față de axa centrală a acestui sistem de forțe?

Față de ce puncte din spațiu, momentele principale ale unui sistem dat de forțe au același modul și fac același unghi cu vectorul principal?

În ce puncte din spațiu, momentele principale ale sistemului de forțe sunt geometric egale între ele?

Care sunt invarianții sistemului de forțe?

Ce condiții sunt îndeplinite de forțele date aplicate unui corp rigid cu unul și două puncte fixe, care este în repaus?

Va exista un sistem plat de forțe în echilibru, pentru care sumele algebrice ale momentelor de aproximativ trei puncte situate pe aceeași dreaptă să fie egale cu zero?

Fie ca pentru un sistem plat de forțe, sumele momentelor de aproximativ două puncte sunt egale cu zero. În ce condiții suplimentare va fi sistemul în echilibru?

Formulați condițiile necesare și suficiente pentru echilibrul unui sistem plan de forțe paralele.

Ce este un punct de moment?

Ce ecuații (și câte) pot fi făcute pentru un sistem de forțe plan arbitrar echilibrat?

Ce ecuații și câte dintre ele pot fi făcute pentru un sistem spațial echilibrat de forțe paralele?

Ce ecuații și câte dintre ele pot fi făcute pentru un sistem spațial arbitrar echilibrat de forțe?

Cum se formulează planul de rezolvare a problemelor de statică privind balanța forțelor?

ÎNTOARCERE Mișcarea complexă a unui punct (corp)- o astfel de mișcare în care un punct (corp) participă simultan la mai multe mișcări (de exemplu, un pasager care se deplasează de-a lungul unei mașini în mișcare). În acest caz, se introduce un sistem de coordonate în mișcare (Oxyz), care realizează o mișcare dată față de sistemul de coordonate fix (principal) (O 1 x 1 y 1 z 1). Mișcare absolută puncte de denumire mișcare față de un sistem de coordonate fix. Mișcare relativă– mișcarea în raport cu sistemul de coordonate în mișcare. (miscare pe masina). mișcare portabilă- deplasarea sistemului mobil. coordonatele relativ la cea fixă (mișcarea mașinii). Teorema adiției vitezei: , ; -orturi (vectori unitari) ai sistemului de coordonate în mișcare, ortul se rotește în jurul axei instantanee, deci viteza capătului său etc., Þ: ,

; - viteza relativa. ; viteza portabila:

, așadar, viteza absolută a unui punct = suma geometrică a vitezelor sale figurative (v e) și relative (v r) , modul: . :

etc. Termenii expresiei care determină accelerația: 1) - accelerația polului O; 2) 3) este accelerația relativă a punctului; 4) , obținem: .

Primii trei termeni reprezintă acceleraţia unui punct într-o mişcare portabilă: - acceleraţia polului O; - conform rotației,

- acc. agil, i.e.

. Teorema de adunare a accelerației (teorema Coriolis):

, Unde

- Accelerația Coriolis (Accelerația Coriolis) - în cazul mișcării de translație netranslaționale, accelerația absolută = suma geometrică a accelerațiilor de translație, relative și Coriolis. Accelerația Coriolis caracterizează: 1) o modificare a modulului și direcției vitezei portabile a unui punct datorită mișcării sale relative; 2) modificarea direcției vitezei relative a punctului datorită mișcării de translație de rotație. Modulul de accelerație Coriolis: ac = 2×|we ×vr |×sin(we ^ vr), direcția vectorului este determinată de regula produsului vectorial, sau de regula Jukovski: proiecția vitezei relative pe o perpendiculară plană. la viteza unghiulară de translație trebuie rotită cu 90 o în sensul de rotație.

Coriolis = 0 în trei cazuri: 1) w e =0, i.e. în cazul mișcării portabile de translație sau în momentul circulației unghiului. viteza la 0; 2) v r =0; 3) sin(w e ^ v r)=0, i.e. Ð(w e ^ v r)=0 când viteza relativă v r este paralelă cu axa de rotație de translație. În cazul mișcării într-un singur plan, unghiul dintre v r și vectorul w e \u003d 90 o, sin90 o \u003d 1 și c \u003d 2 × w e × v r. Mișcarea complexă a unui corp rigid

Când se adună două mișcări de translație, mișcarea rezultată este și de translație, iar viteza mișcării rezultate este egală cu suma vitezelor mișcărilor componente. Adăugarea rotațiilor TV. corpuri în jurul axelor care se intersectează. Se numește axa de rotație, a cărei poziție în spațiu se schimbă cu timpul. axa instantanee de rotație a corpului. Vectorul viteză unghiulară este un vector de alunecare direcționat de-a lungul axei instantanee de rotație. Viteza unghiulară absolută a corpului = suma geometrică a vitezelor rotațiilor constitutive - regula paralelogramului vitezelor unghiulare.

. Dacă corpul participă simultan la rotații instantanee în jurul mai multor axe care se intersectează într-un punct, atunci . Cu mișcarea sferică a unui corp rigid, unul dintre punctele căruia rămâne nemișcat pe toată durata mișcării, avem ecuațiile mișcării sferice: Y=f 1 (t); q=f2 (t); j=f3 (t). Y este unghiul de precesiune, q este unghiul de nutație, j este unghiul de rotație adecvată - unghiurile Euler. Viteza unghiulară de precesiune, arc. rata de nutație, arc. sk. propria rotatie.

, este modulul vitezei unghiulare a corpului în jurul axei instantanee. Prin proiecții pe axe de coordonate fixe: - Ecuațiile cinematice ale lui Euler. Adăugarea rotațiilor în jurul a 2 axe paralele. 1)

Rotațiile sunt direcționate într-o singură direcție. w \u003d w 2 + w 1, С este centrul instantaneu al vitezelor și axa instantanee de rotație trece prin el,

. 2) Rotațiile sunt direcționate în direcții diferite.

, w=w 2 -w 1

C - inst. centru și inst. axa de rotatie,

. Vectorii viteză unghiulară în timpul rotației în jurul axelor ||-a se adaugă în același mod ca vectorii forțelor paralele. 3) Pereche de rotiri– rotațiile în jurul axelor ||-lea sunt direcționate în direcții diferite, iar vitezele unghiulare sunt egale în valoare absolută (este o pereche de viteze unghiulare). În acest caz, v A \u003d v B, mișcarea rezultată a corpului este o mișcare de translație (sau de translație instantanee) cu o viteză v \u003d w 1 × AB - momentul unei perechi de viteze unghiulare (mișcarea de translație a pedala bicicletei în raport cu cadrul). instant centrul vitezei este la infinit. Adăugarea mișcărilor de translație și rotație. 1) Viteza mișcării de translație ^ la axa de rotație - mișcare plan-paralelă - rotație instantanee în jurul axei Рр cu o viteză unghiulară w \u003d w ". 2) mișcarea șurubului– mișcarea corpului este compusă din mișcare de rotație în jurul axei Aa cu viteză unghiulară. w și translație cu viteza v||Aa. Axa Aa este axa șurubului. Dacă v și w sunt în aceeași direcție, atunci șurubul este dreapta, dacă în direcții diferite, este stânga. Distanța parcursă în timpul unei rotații de orice punct al corpului situat pe axa șurubului, numit. pasul șurubului - h. Dacă v și w sunt constante, atunci h = = const, cu pas constant, orice (×) M care nu se află pe axa șurubului descrie o spirală.

îndreptată tangenţial la spirală. 3) Viteza mișcării de translație formează un unghi arbitrar cu axa de rotație, în acest caz mișcarea poate fi considerată ca o sumă a unei serii de mișcări elicoidale instantanee, în jurul axelor elicoidale în schimbare continuă - o mișcare elicoidal instantaneu.

Sunt luate în considerare metode de rezolvare a problemelor de echilibru cu un sistem spațial arbitrar de forțe. Este dat un exemplu de rezolvare a problemei de echilibru a unei plăci susținute de tije în spațiu tridimensional. Se arată cum, datorită alegerii axelor la compilarea ecuațiilor de echilibru, este posibilă simplificarea soluției problemei.

Conţinut

Procedura de rezolvare a problemelor de echilibru cu un sistem spațial arbitrar de forțe

Pentru a rezolva problema echilibrului unui corp rigid cu un sistem spațial arbitrar de forțe, este necesar să alegeți un sistem de coordonate dreptunghiular și, în raport cu acesta, să compuneți ecuațiile de echilibru.

Ecuațiile de echilibru pentru un sistem arbitrar de forțe distribuite în spațiul tridimensional sunt două ecuații vectoriale:
suma vectoriala a fortelor care actioneaza asupra corpului este zero
(1) ;
suma vectoriala a momentelor fortelor, raportata la origine, este egala cu zero
(2) .

Lasă Oxyz să fie sistemul nostru de coordonate ales. Proiectând ecuațiile (1) și (2) pe axa acestui sistem, obținem șase ecuații:
sumele proiecțiilor forțelor pe axa xyz sunt egale cu zero
(1.x) ;
(1.a) ;
(1.z) ;
sumele momentelor forțelor în jurul axelor de coordonate sunt egale cu zero
(2.x) ;
(2.a) ;
(2.z) .
Aici considerăm că asupra corpului acţionează n forţe, inclusiv forţele de reacţie ale suporturilor.

Fie ca o forță arbitrară, cu componente, să fie aplicată corpului într-un punct. Atunci momentele acestei forțe în raport cu axele de coordonate sunt determinate de formulele:
(3.x) ;
(3.a) ;
(3.z) .

Astfel, procedura de rezolvare a problemei, pentru echilibrul cu un sistem spațial arbitrar de forțe, este următoarea.

Aruncăm suporturile și le înlocuim cu forțe de reacție. Dacă suportul este o tijă sau un fir, atunci forța de reacție este direcționată de-a lungul tijei sau filetului.
Alegem un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz .
Găsim proiecțiile vectorilor de forță pe axele de coordonate, , și punctele lor de aplicare, . Punctul de aplicare a forței poate fi mutat de-a lungul unei linii drepte trasate prin vectorul forță. De la o astfel de deplasare, valorile momentelor nu se vor schimba. Prin urmare, alegem punctele cele mai convenabile pentru calculul aplicării forțelor.
Compunem trei ecuații de echilibru pentru forțele (1.x,y,z).
Pentru fiecare forță, după formulele (3.x,y,z), găsim proiecțiile momentelor de forță pe axele de coordonate.
Compunem trei ecuații de echilibru pentru momentele forțelor (2.x, y, z).
Dacă numărul de variabile este mai mare decât numărul de ecuații, atunci problema este static nedeterminată. Nu poate fi rezolvată prin metode statice. Este necesar să se utilizeze metode de rezistență a materialelor.
Rezolvăm ecuațiile rezultate.

Simplificarea calculelor

În unele cazuri, este posibil să se simplifice calculele folosind o condiție de echilibru echivalentă în loc de ecuația (2).
Suma momentelor forțelor în jurul unei axe arbitrare AA′ este egală cu zero:
(4) .

Adică, puteți selecta mai multe axe suplimentare care nu coincid cu axele de coordonate. Și referitor la aceste axe să facem ecuații (4).

Un exemplu de rezolvare a problemei de echilibru a unui sistem spațial arbitrar de forțe

Echilibrul plăcii, în spațiul tridimensional, este menținut printr-un sistem de tije.

Aflați reacțiile tijelor care susțin o placă orizontală uniformă subțire în trei dimensiuni. Sistemul de atașare a tijei este prezentat în figură. Placa este afectată de: gravitația G; și forța P aplicată în punctul A, îndreptată de-a lungul laturii AB.

Dat:
G= 28 kN; P= 35 kN; a = 7,5 m; b= 6,0 m; c= 3,5 m.

Rezolvarea problemei

În primul rând, vom rezolva această problemă într-un mod standard aplicabil unui sistem spațial arbitrar de forțe. Și apoi obținem o soluție mai simplă, bazată pe geometria specifică a sistemului, datorită alegerii axelor la compilarea ecuațiilor de echilibru.

Rezolvarea problemei într-un mod standard

Deși această metodă ne va conduce la calcule destul de greoaie, ea este aplicabilă unui sistem spațial arbitrar de forțe și poate fi utilizată în calcule computerizate.

Să aruncăm legăturile și să le înlocuim cu forțe de reacție. Conexiunile aici sunt tijele 1-6. În locul lor, introducem forțe direcționate de-a lungul tijelor. Direcțiile forțelor sunt alese la întâmplare. Dacă nu ghicim cu direcția vreunei forțe, vom obține o valoare negativă pentru aceasta.

Desenați un sistem de coordonate Oxyz cu originea în punctul O .

Găsim proiecțiile forțelor pe axele de coordonate.

Pentru putere avem:
.
Aici α 1 - unghiul dintre LQ si BQ. Din triunghiul dreptunghic LQB:
m;
;
.

Forțele și sunt paralele cu axa z. Componentele lor:
;
;
.

Pentru putere găsim:
.
Aici α 3 - unghiul dintre QT si DT . Din triunghiul dreptunghic QTD:
m;
;
.

Pentru putere:
.
Aici α 5 - unghiul dintre LO si LA . Din triunghiul dreptunghic LOA:
m;
;
.

Forța este direcționată de-a lungul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic. Are următoarele proiecții pe axele de coordonate:
.
Iată cosinusurile direcției diagonalei AQ:
m;
;
;
.

Selectăm punctele de aplicare a forțelor. Să profităm de faptul că ele pot fi deplasate de-a lungul liniilor trasate prin vectorii de forță. Deci, ca punct de aplicare a forței, puteți lua orice punct de pe dreapta TD. Să luăm un punct T, pentru că pentru el coordonatele x și z - sunt egale cu zero:
.
În mod similar, selectăm punctele de aplicare a forțelor rămase.

Ca rezultat, obținem următoarele valori ale componentelor forței și punctelor de aplicare a acestora:
; (punctul B);
; (punctul Q);
; (punctul T);
; (punctul O);
; (punctul A);
; (punctul A);
; (punctul A);
; (punctul K).

Compunem ecuațiile de echilibru pentru forțe. Sumele proiecțiilor forțelor pe axele de coordonate sunt egale cu zero.

;

;

.

Găsim proiecțiile momentelor de forțe pe axele de coordonate.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Compunem ecuațiile de echilibru pentru momentele forțelor. Sumele momentelor de forță în jurul axelor de coordonate sunt egale cu zero.

;

;

;

Deci, avem următorul sistem de ecuații:
(P1) ;
(P2) ;
(P3) ;
(P4) ;
(P5) ;
(L6) .

Acest sistem are șase ecuații și șase necunoscute. În plus, aici puteți înlocui valori numerice și puteți obține soluția sistemului folosind un program matematic pentru calcularea unui sistem de ecuații liniare.

Dar, pentru această problemă, puteți obține o soluție fără a utiliza tehnologia computerizată.

O modalitate eficientă de a rezolva o problemă

Vom profita de faptul că ecuațiile de echilibru pot fi scrise în mai multe moduri. Puteți alege în mod arbitrar sistemul de coordonate și axele în funcție de care sunt calculate momentele. Uneori, datorită alegerii axelor, se pot obține ecuații care se rezolvă mai simplu.

Să profităm de faptul că, în echilibru, suma momentelor forțelor în jurul oricărei axe este zero. Să luăm axa AD. Suma momentelor forțelor în jurul acestei axe este zero:
(P7) .
Mai mult, rețineți că toate forțele cu excepția traversează această axă. Prin urmare, momentele lor sunt egale cu zero. Doar o singură forță nu traversează axa AD. De asemenea, nu este paralelă cu această axă. Prin urmare, pentru ca ecuația (A7) să se țină, forța N 1 ar trebui să fie zero:
N 1 = 0 .

Acum să luăm axa AQ. Suma momentelor forțelor relativ la acesta este egală cu zero:
(P8) .
Această axă este străbătută de toate forțele cu excepția . Deoarece forța nu este paralelă cu această axă, atunci pentru ca ecuația (A8) să fie satisfăcută, este necesar ca
N 3 = 0 .

Acum să luăm axa AB. Suma momentelor forțelor relativ la acesta este egală cu zero:
(P9) .
Această axă este străbătută de toate forțele cu excepția , și . Dar N 3 = 0 . De aceea
.
Momentul de la forța în jurul axei este egal cu produsul dintre brațul forței și proiecția forței pe planul perpendicular pe axă. Umărul este egal cu distanța minimă dintre axă și linia dreaptă trasată prin vectorul forță. Dacă răsucirea este în direcția pozitivă, atunci cuplul este pozitiv. Dacă este negativ, atunci este negativ. Apoi
.
De aici
kN.

Forțele rămase pot fi găsite din ecuațiile (P1), (P2) și (P3). Din ecuația (P2):
N 6 = 0 .
Din ecuațiile (P1) și (P3):
kN;
kN

Astfel, rezolvând problema în al doilea mod, am folosit următoarele ecuații de echilibru:
;
;
;
;
;
.
Ca urmare, am evitat calculele greoaie legate de calcularea momentelor de forță în raport cu axele de coordonate și am obținut un sistem liniar de ecuații cu o matrice diagonală de coeficienți, care a fost rezolvat imediat.

N 1 = 0 ; N 2 = 14,0 kN; N 3 = 0 ; N 4 = -2,3 kN; N 5 = 38,6 kN; N 6 = 0 ;

Semnul minus indică faptul că forța N 4 îndreptată în direcția opusă celei prezentate în figură.