METODA MISCĂRII PUNCTULUI DE CALITATE

Determinarea vitezei unui punct

Viteza este o mărime vectorială care caracterizează viteza și direcția de mișcare a unui punct dintr-un cadru de referință dat.

La mod vectorial sarcină de mișcare, poziția unui punct în mișcare în fiecare moment de timp este determinată de vectorul rază, care este o funcție de timp. Lasă momentan t punctul ocupă o poziție M, determinat de vectorul rază , iar în acest moment - poziția M 1 , determinată de vectorul rază (Fig. 8.6). Dintr-un triunghi OMM 1,

Orez. 8.6 Fig. 8.7

Când un punct este mutat, vectorul lui rază este incrementat:

Din ultimele două egalități rezultă că vectorul deplasării punctului este o creștere a vectorului raza punctului pe intervalul de timp t.

Raportul dintre vectorul deplasare și intervalul de timp t, în timpul căreia a avut loc această mișcare, este vectorul vitezei medii a mișcării imaginare a punctului de-a lungul coardei MM 1:

Direcția vectorului este aceeași cu direcția lui Δ . Cu intervalul de timp Δ descrescător tşi apropiindu-se de zero, vectorul Δ tinde de asemenea spre zero, iar vectorul - la o oarecare limită. Această limită este vectorul viteză al punctului în acest moment t:

Deoarece Δ t- spor argument scalar t, iar Δ este incrementul funcției-vector , atunci limita relației la este derivata vectorială a lui on t:

Prin urmare, vectorul viteză al punctului la un moment dat este egal cu derivata vectorului-rază a punctului în raport cu timpul.

Vectorul este îndreptat de-a lungul coardei MM 1 în direcția mișcării punctului. Când Δ t merge la punctul zero M 1 tinde spre un punct M, adică poziția limită a secantei MM 1 este tangentă.

Rezultă că vectorul viteză punctului este direcționat tangențial la traiectorie în direcția mișcării punctului.

Când un punct se deplasează de-a lungul unei traiectorii curbilinii, direcția vectorului viteză se schimbă continuu (Fig. 8.8).

Viteza punctată la neuniform mișcare curbilinie variază atât în mărime cât și în direcție.

Observați un număr de poziții ale punctului de mișcare pe traiectorie M 1 , M 2 , M 3 , M 4 și arată în aceste poziții vitezele punctului (Fig. 8.8, a).

Alegand in spatiu unele punct fix O 1, lăsăm deoparte din acest punct vectorii egali geometric cu vitezele (Fig. 8.8, b). Dacă dintr-un punct O 1 deoparte viteze corespunzătoare tuturor pozițiilor punctului M pe curbă AB,și conectați capetele acestor vectori, obțineți o linie CD, fiind odograf de viteză.

Prin urmare, hodograful vitezei este locul capetelor vectorilor de viteză ai unui punct în mișcare, reprezentați grafic din același punct arbitrar din spațiu.

Să reprezentăm în fig. 8.9, A traiectoria punctului ABși viteza acesteia în orice moment de timp t, iar în fig. 8.9, b - odograf de viteză CD acest punct.

Să trecem prin punct O 1 axă de coordonate X, Y, Z, paralel cu axele principale x,y,z. Apoi vectorul rază a oricărui punct N odograf de viteză CD va fi viteza și coordonatele punctelor hodograf X, Y, Z va fi egală cu proiecțiile vitezei pe axele de coordonate:

Aceste ecuații sunt ecuații parametrice odograf de viteză.

Determinarea accelerației unui punct

Cu mișcarea curbilinie neuniformă a unui punct, modulul și direcția vitezei acestuia se modifică. Accelerația unui punct caracterizează viteza de schimbare a modulului și direcția vitezei punctului.

Să presupunem că la momentul respectiv t punctul ocupă o poziție Mși are viteză și la timp ea ia o pozitie M 1 și are o viteză (Fig. 8.10, a).

Găsiți incrementul vectorului viteză pe intervalul de timp Δ t. Pentru a face acest lucru, lăsați deoparte din punct M viteza și construiți un paralelogram în acest punct, una dintre laturile căruia va fi viteza , iar diagonala este viteza.

Atunci a doua latură a paralelogramului va fi incrementul vectorului viteză, deoarece

Împărțirea incrementului vectorului viteză la intervalul de timp Δ t, obținem vectorul accelerației medii a punctului pentru acest interval:

Acest vector are o direcție și, prin urmare, este îndreptat spre concavitatea curbei. Prin construirea unui hodograf de viteză CD(Fig. 13,b), lăsați deoparte vitezele vși v 1 , increment vector de viteză , precum și vectorul de accelerație medie direcționat de-a lungul coardei NN 1 odograf de viteză. Limita la care tinde vectorul de accelerație medie când Δ t tinde spre zero, este vectorul de accelerație al punctului α la un moment dat t: se află în planul care trece prin punctul tangent la traiectorie Mși o dreaptă paralelă cu tangenta în punct M 1 (Fig. 10a). Poziția limită a acestui plan ca punct tinde M 1 la obiect M numit plan contigu.

Rezultă că vector de accelerație punctual situatîn plan contiguu şi este îndreptată spre concavitatea curbei.

Dacă curba este plată, atunci planul tangent este planul curbei, iar vectorul de accelerație se află în acest plan.

Viteza unui punct este un vector care determină în fiecare moment dat viteza și direcția de mișcare a punctului.

Viteză mișcare uniformă este determinată de raportul dintre traseul parcurs de un punct într-o anumită perioadă de timp și valoarea acestei perioade de timp.

Viteză; S- cale; t- timp.

Viteza se măsoară în unități de lungime împărțite la o unitate de timp: m/s; cm/s; km/h etc.

În cazul mișcării rectilinie, vectorul viteză este direcționat de-a lungul traiectoriei în direcția mișcării sale.

Dacă un punct parcurge trasee inegale în intervale egale de timp, atunci această mișcare se numește neuniformă. Viteza este o variabilă și este o funcție de timp.

Viteza medie a unui punct într-o anumită perioadă de timp este viteza unei astfel de mișcări rectilinie uniforme la care punctul ar primi aceeași mișcare în această perioadă de timp ca în mișcarea sa considerată.

Să considerăm un punct M care se deplasează de-a lungul unei traiectorii curbilinie dată de lege

De-a lungul intervalului de timp?t, punctul M se va deplasa în poziția M 1 de-a lungul arcului MM 1. Dacă intervalul de timp?t este mic, atunci arcul MM 1 poate fi înlocuit cu o coardă și, în prima aproximare, găsi viteza medie mișcarea punctului

Această viteză este direcționată de-a lungul coardei de la punctul M la punctul M 1 . Găsim viteza adevărată mergând la limita când t> 0

Când?t> 0, direcția coardei în limită coincide cu direcția tangentei la traiectorie în punctul M.

Astfel, valoarea vitezei unui punct este definită ca limita raportului dintre creșterea traseului și intervalul de timp corespunzător, deoarece acesta din urmă tinde spre zero. Direcția vitezei coincide cu tangenta la traiectorie în punctul dat.

accelerație punctuală

Rețineți că, în cazul general, atunci când vă deplasați de-a lungul unei traiectorii curbilinii, viteza unui punct se modifică atât în direcție, cât și în mărime. Modificarea vitezei pe unitatea de timp este determinată de accelerație. Cu alte cuvinte, accelerația unui punct este o mărime care caracterizează rata de schimbare a vitezei în timp. Dacă pentru un interval de timp t viteza se modifică cu o valoare, atunci accelerația medie

Adevărata accelerație a unui punct la un moment dat t este valoarea la care tinde accelerația medie când? t\u003e 0, adică

Cu un interval de timp care tinde spre zero, vectorul de accelerație se va schimba atât în mărime, cât și în direcție, tinzând spre limita sa.

Dimensiunea accelerației

Accelerația poate fi exprimată în m/s 2 ; cm/s 2 etc.

În cazul general, când mișcarea unui punct este dată într-un mod natural, vectorul accelerație este de obicei descompus în două componente direcționate de-a lungul tangentei și de-a lungul normalei la traiectoria punctului.

Atunci accelerația unui punct la momentul t poate fi reprezentată ca

Să notăm limitele constituente prin și.

Direcția vectorului nu depinde de mărimea intervalului de timp?t.

Această accelerație coincide întotdeauna cu direcția vitezei, adică este direcționată tangențial la traiectoria punctului și de aceea se numește accelerație tangențială sau tangențială.

A doua componentă a accelerației punctului este îndreptată perpendicular pe tangenta la traiectorie în acest punct spre concavitatea curbei și afectează schimbarea direcției vectorului viteză. Această componentă de accelerație se numește accelerație normală.

Deoarece valoarea numerică a vectorului este egală cu incrementul vitezei punctului pe intervalul de timp considerat?t, atunci valoarea numerică a accelerației tangențiale

Valoarea numerică a accelerației tangențiale a unui punct este egală cu derivata în timp a valorii numerice a vitezei. Valoarea numerică a accelerației normale a unui punct este egală cu pătratul vitezei punctului împărțit la raza de curbură a traiectoriei în punctul corespunzător al curbei

Accelerația totală în cazul mișcării curbilinii neuniforme a unui punct este compusă geometric din accelerațiile tangențiale și normale.

De exemplu, o mașină care pornește se mișcă mai repede pe măsură ce își mărește viteza. La punctul de pornire, viteza mașinii este zero. Începând mișcarea, mașina accelerează până la o anumită viteză. Dacă trebuie să încetinești, mașina nu se va putea opri instantaneu, ci pentru ceva timp. Adică, viteza mașinii va tinde spre zero - mașina va începe să se miște încet până când se va opri complet. Dar fizica nu are termenul de „decelerație”. Dacă corpul se mișcă, scăzând viteza, acest proces se mai numește accelerare, dar cu semnul „-”.

Accelerație medie este raportul dintre modificarea vitezei și intervalul de timp în care a avut loc această modificare. Calculați accelerația medie folosind formula:

unde este . Direcția vectorului de accelerație este aceeași cu direcția schimbării vitezei Δ = - 0

unde 0 este viteza inițială. La un moment dat t1(vezi figura de mai jos) corpul are 0 . La un moment dat t2 corpul are viteză. Pe baza regulii de scădere a vectorului, determinăm vectorul schimbării vitezei Δ = - 0 . De aici calculăm accelerația:

În sistemul SI unitate de accelerație se numește 1 metru pe secundă pe secundă (sau metru pe secundă pătrat):

Un metru pe secundă pătrat este accelerația unui punct care se mișcă în linie dreaptă, la care viteza acestui punct crește cu 1 m/s în 1 s. Cu alte cuvinte, accelerația determină gradul de modificare a vitezei unui corp în 1 s. De exemplu, dacă accelerația este de 5 m/s 2, atunci viteza corpului crește cu 5 m/s în fiecare secundă.

Accelerarea instantanee a corpului ( punct material) la un moment dat este o mărime fizică care este egală cu limita la care tinde accelerația medie atunci când intervalul de timp tinde spre 0. Cu alte cuvinte, aceasta este accelerația dezvoltată de corp într-o perioadă foarte mică de timp:

Accelerația are aceeași direcție ca și schimbarea vitezei Δ în intervale de timp extrem de mici în care viteza se modifică. Vectorul de accelerație poate fi setat folosind proiecții pe axele de coordonate corespunzătoare dintr-un sistem de referință dat (proiecții a X, a Y , a Z).

Cu accelerat mișcare rectilinie viteza corpului crește modulo, adică v 2 > v 1 , iar vectorul accelerație are aceeași direcție ca vectorul viteză 2 .

Dacă viteza modulo a corpului scade (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем accelerație negativă(accelerația este negativă și< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Dacă există o mișcare de-a lungul unei traiectorii curbilinii, atunci modulul și direcția vitezei se modifică. Aceasta înseamnă că vectorul de accelerație este reprezentat ca 2 componente.

Accelerație tangenţială (tangenţială). numiți acea componentă a vectorului de accelerație, care este direcționată tangențial la traiectoria într-un punct dat al traiectoriei de mișcare. Accelerația tangențială descrie gradul de modificare a vitezei modulo atunci când se efectuează o mișcare curbilinie.

La vectori de accelerație tangențialăτ (vezi figura de mai sus) direcția este aceeași cu cea a viteza liniară sau opus lui. Acestea. vectorul accelerației tangențiale se află în aceeași axă cu cercul tangent, care este traiectoria corpului.

Introducem un vector unitar τ asociat cu punctul de mișcare A și direcționat tangențial la traiectorie în direcția de creștere a coordonatei arcului (Fig. 1.6). Evident, τ este un vector variabil: depinde de l. Vectorul viteză v al punctului A este direcționat tangențial la traiectorie, deci poate fi reprezentat după cum urmează

unde v τ =dl/dt este proiecția vectorului v pe direcția vectorului τ, iar v τ este o mărime algebrică. Mai mult, |v τ |=|v|=v.

accelerație punctuală

Diferențiați (1.22) în funcție de timp

(1.23)

Să transformăm ultimul termen al acestei expresii

(1.24)

Să definim incrementul vectorului τ cu dl (Fig. 1.7).

După cum se poate observa din fig. 1,7, unghi , de unde , și la .

Introducând un vector unitar n al normalei traiectoriei în punctul 1, îndreptat spre centrul de curbură, scriem ultima egalitate în formă vectorială

Inlocuim (1.23) in (1.24) iar expresia rezultata in (1.22). Ca urmare, găsim

(1.26)

Aici se numește primul termen tangenţial a τ , al doilea - normal un n .

Prin urmare, accelerație totală a puncte pot fi reprezentate ca suma geometrică accelerații tangențiale și normale.

Modul de accelerare punct complet

(1.27)

Este îndreptată spre concavitatea traiectoriei la un unghi α față de vectorul viteză și .

Dacă unghiul α este ascuțit, atunci tgα>0, prin urmare, dv/dt>0, deoarece v 2 /R>0 este întotdeauna.

În acest caz, mărimea vitezei crește cu timpul - se numește mișcarea accelerat(Fig. 1.8).

În cazul în care viteza scade în amploare în timp, se numește mișcarea încet(Fig. 1.9).

Dacă unghiul α=90°, tgα=∞, adică dv/dt=0. În acest caz, viteza nu se schimbă în mărime în timp, iar accelerația totală va fi egală cu cea centripetă.

(1.28)

În special, accelerația totală a unei uniforme mișcare de rotație(R=const, v=const) da accelerație centripetă, egală ca mărime cu a n \u003d v 2 /R și îndreptată tot timpul spre centru.

În mișcarea rectilinie, dimpotrivă, accelerația totală a corpului este egală cu cea tangențială. În acest caz, a n =0, deoarece o traiectorie dreaptă poate fi considerată un cerc de rază infinit de mare, iar când R→∞; v2/R=0; a n =0; a=a τ .

Acum să fie cunoscută funcția. Pe fig. 5.10
și
 vectorii viteză ai punctului în mişcare la momente tși  t. Pentru a obține incrementul vectorului viteză
muta vectorul în paralel
exact M:

Accelerația medie a unui punct pe o perioadă de timp  t este raportul dintre incrementul vectorului viteză
la intervalul de timp t:

Prin urmare, accelerația unui punct la un moment dat de timp este egală cu prima derivată temporală a vectorului viteză al punctului sau cu derivata a doua temporală a vectorului rază

. (5.11)

accelerație punctuală aceasta este o mărime vectorială care caracterizează viteza de schimbare a vectorului viteză în raport cu timpul.

Să construim un hodograf de viteză (Fig.5.11). Prin definiție, hodograful vitezei este curba pe care o trasează capătul vectorului viteză atunci când punctul se mișcă, dacă vectorul viteză este reprezentat din același punct.

Determinarea vitezei unui punct cu metoda coordonatelor de precizare a mișcării acestuia

Fie dată mișcarea unui punct într-un mod de coordonate în Sistemul cartezian coordonatele

X = X(t), y = y(t), z = z(t)

Raza-vector al unui punct este egal cu

Deoarece vectorii unitari
constantă, apoi prin definiție

. (5.12)

Să notăm proiecțiile vectorului viteză pe axe Oh, OUși Oz prin V X , V y , V z

(5.13)

Comparând egalitățile (5.12) și (5.13) obținem

(5.14)

În cele ce urmează, derivata în timp va fi notată printr-un punct de sus, adică,

Modulul de viteză punctual este determinat de formulă

. (5.15)

Direcția vectorului viteză este determinată de cosinusurile direcției:

Determinarea accelerației unui punct cu metoda coordonatelor de precizare a mișcării acestuia

Vectorul viteză în sistemul de coordonate carteziene este

A-prioriu

Să notăm proiecțiile vectorului accelerație pe axe Oh, OUși Oz prin A X , A y , A z respectiv, și extinde vectorul viteză de-a lungul axelor:

. (5.17)

Comparând egalitățile (5.16) și (5.17) obținem

Modulul vectorului de accelerație punctuală este calculat în mod similar cu modulul vectorului viteza punctului:

, (5.19)

iar direcția vectorului de accelerație este direcția cosinusului:

Determinarea vitezei și accelerației unui punct cu un mod natural de precizare a mișcării acestuia

Această metodă utilizează axe naturale cu originea în poziția curentă a punctului M pe traiectorie (Figura 5.12) și pe vectorii unitari
Vector unitar direcționat tangențial la traiectorie în direcția referinței pozitive a arcului, vectorul unitar îndreptat de-a lungul normalei principale a traiectoriei spre concavitatea acesteia, vectorul unitar îndreptată de-a lungul binormalului către traiectoria în punct M.

Horts și Se află în plan contigu, orts și în plan normal, orts și  în plan de îndreptare.

Triedrul rezultat se numește natural.

Să fie dată legea mișcării unui punct s = s(t).

vector rază puncte M cu privire la un punct fix va fi o funcție complexă a timpului
.

Din geometria diferenţială se cunosc formulele Serre-Fresnet, care stabilesc legături între vectorii unitari ai axelor naturale şi funcţia vectorială a curbei.

unde  este raza de curbură a traiectoriei.

Folosind definiția vitezei și formula Serre Frenet, obținem:

. (5.20)

Indicând proiecția vitezei pe tangente iar ținând cont că vectorul viteză este direcționat tangențial, avem

. (5.21)

Comparând egalitățile (5.20) și (5.21), obținem formule pentru determinarea vectorului viteză în mărime și direcție

Valoare este pozitiv dacă punctul M se deplasează în direcția de referință a arcului pozitiv s si negativ in rest.

Folosind definiția accelerației și formula Serre Frenet, obținem:

Indicați proiecția accelerației punctuale la o tangentă , principal normal și binormal
respectiv.

Atunci accelerația este

Din formulele (5.23) și (5.24) rezultă că vectorul accelerație se află întotdeauna în planul contiguu și se extinde în direcțiile și :

(5.25)

Proiecția accelerației pe o tangentă
numit tangentă sau accelerație tangențială. Caracterizează modificarea mărimii vitezei.

Proiecția accelerației pe normala principală
numit accelerație normală. Caracterizează schimbarea vectorului viteză în direcție.

Modulul vectorului de accelerație este egal cu
.

În cazul în care un și un semn, atunci mișcarea punctului va fi accelerată.

În cazul în care un și semne diferite, atunci mișcarea punctului va fi lentă.