Acum să fie cunoscută funcția. Pe fig. 5.10
și
 vectorii viteză ai punctului în mişcare la momente tși  t. Pentru a obține incrementul vectorului viteză
muta vectorul în paralel
exact M:

Accelerația medie a unui punct pe o perioadă de timp  t este raportul dintre incrementul vectorului viteză
la intervalul de timp t:

Prin urmare, accelerația unui punct la un moment dat de timp este egală cu prima derivată temporală a vectorului viteză al punctului sau cu derivata a doua temporală a vectorului rază

. (5.11)

accelerație punctuală aceasta este o mărime vectorială care caracterizează viteza de schimbare a vectorului viteză în raport cu timpul.

Să construim un hodograf de viteză (Fig.5.11). Prin definiție, hodograful vitezei este curba pe care o trasează capătul vectorului viteză atunci când punctul se mișcă, dacă vectorul viteză este reprezentat din același punct.

Determinarea vitezei unui punct cu metoda coordonatelor de precizare a mișcării acestuia

Fie dată mișcarea unui punct într-un mod de coordonate într-un sistem de coordonate carteziene

X = X(t), y = y(t), z = z(t)

Raza-vector al unui punct este egal cu

Deoarece vectorii unitari
constantă, apoi prin definiție

. (5.12)

Să notăm proiecțiile vectorului viteză pe axe Oh, OUși Oz prin V X , V y , V z

(5.13)

Comparând egalitățile (5.12) și (5.13) obținem

(5.14)

În cele ce urmează, derivata în timp va fi notată printr-un punct de sus, adică,

Modulul de viteză punctual este determinat de formulă

. (5.15)

Direcția vectorului viteză este determinată de cosinusurile direcției:

Determinarea accelerației unui punct cu metoda coordonatelor de precizare a mișcării acestuia

Vectorul viteză în sistemul de coordonate carteziene este

Prin definitie

Să notăm proiecțiile vectorului accelerație pe axe Oh, OUși Oz prin A X , A y , A z respectiv, și extinde vectorul viteză de-a lungul axelor:

. (5.17)

Comparând egalitățile (5.16) și (5.17) obținem

Modulul vectorului de accelerație punctual este calculat în mod similar cu modulul vectorului viteza punctului:

, (5.19)

iar direcția vectorului de accelerație este direcția cosinusului:

Determinarea vitezei și a accelerației unui punct cu un mod natural de precizare a mișcării acestuia

Această metodă utilizează axe naturale cu originea în poziția curentă a punctului M pe traiectorie (Figura 5.12) și pe vectorii unitari
Vector unitar direcționat tangențial la traiectorie în direcția referinței pozitive a arcului, vector unitar îndreptat de-a lungul normalei principale a traiectoriei spre concavitatea acesteia, vectorul unitar îndreptată de-a lungul binormalului către traiectoria în punctul respectiv M.

Horts și Se află în plan contiguu, orts și în plan normal, orts și  în plan de îndreptare.

Triedrul rezultat se numește natural.

Să fie dată legea mișcării unui punct s = s(t).

vector rază puncte M cu privire la un punct fix va fi o funcție complexă a timpului
.

Din geometria diferenţială se cunosc formulele Serre-Fresnet, care stabilesc legături între vectorii unitari ai axelor naturale şi funcţia vectorială a curbei.

unde  este raza de curbură a traiectoriei.

Folosind definiția vitezei și formula Serre Frenet, obținem:

. (5.20)

Indicând proiecția vitezei pe tangente iar ținând cont că vectorul viteză este direcționat tangențial, avem

. (5.21)

Comparând egalitățile (5.20) și (5.21), obținem formule pentru determinarea vectorului viteză în mărime și direcție

Valoare este pozitiv dacă punctul M se deplasează în direcția de referință a arcului pozitiv s si negativ in rest.

Folosind definiția accelerației și formula Serre Frenet, obținem:

Indicați proiecția accelerației punctuale la o tangentă , principal normal și binormal
respectiv.

Atunci accelerația este

Din formulele (5.23) și (5.24) rezultă că vectorul accelerație se află întotdeauna în planul contiguu și se extinde în direcțiile și :

(5.25)

Proiecția accelerației pe o tangentă
numit tangentă sau accelerația tangențială. Caracterizează modificarea mărimii vitezei.

Proiecția accelerației pe normala principală
numit accelerație normală. Caracterizează schimbarea vectorului viteză în direcție.

Modulul vectorului de accelerație este egal cu
.

În cazul în care un și un semn, atunci mișcarea punctului va fi accelerată.

În cazul în care un și semne diferite, atunci mișcarea punctului va fi lentă.

Mișcarea mecanică este o schimbare în timp a poziției în spațiu a punctelor și a corpurilor față de orice corp principal de care este atașat cadrul de referință. Cinematica studiază mișcarea mecanică a punctelor și a corpurilor, indiferent de forțele care provoacă aceste mișcări. Orice mișcare, ca și odihna, este relativă și depinde de alegerea cadrului de referință.

Traiectoria unui punct este o linie continuă descrisă de un punct în mișcare. Dacă traiectoria este o linie dreaptă, atunci mișcarea punctului se numește rectilinie, iar dacă este o curbă, atunci este curbilinie. Dacă traiectoria este plată, atunci mișcarea punctului se numește plată.

Mișcarea unui punct sau a unui corp este considerată dată sau cunoscută dacă pentru fiecare moment de timp (t) este posibilă indicarea poziției punctului sau corpului față de sistemul de coordonate selectat.

Poziția unui punct în spațiu este determinată de sarcina:

a) traiectoriile punctuale;

b) inceputul citirii distantei O 1 de-a lungul traiectoriei (Figura 11): s = O 1 M - coordonata curbilinie a punctului M;

c) direcția citirii pozitive a distanțelor s;

d) ecuația sau legea mișcării unui punct de-a lungul unei traiectorii: S = s(t)

Viteza punctului. Dacă un punct parcurge distanțe egale în intervale de timp egale, atunci mișcarea lui se numește uniformă. Viteza mișcării uniforme este măsurată prin raportul dintre traseul z parcurs de un punct într-o anumită perioadă de timp și valoarea acestei perioade de timp: v = s / 1. Dacă un punct parcurge trasee inegale în intervale egale de timp, atunci mișcarea sa se numește neuniformă. Viteza în acest caz este de asemenea variabilă și este o funcție de timp: v = v(t). Luați în considerare punctul A, care se mișcă de-a lungul unei traiectorii date conform unei anumite legi s = s(t) (Figura 12):

Pentru o perioadă de timp t t. A sa mutat în poziţia A 1 de-a lungul arcului AA. Dacă intervalul de timp Δt este mic, atunci arcul AA 1 poate fi înlocuit cu o coardă și, în prima aproximare, valoarea viteza medie deplasarea punctului v cp = Ds/Dt. Viteza medie este direcționată de-a lungul coardei de la t. A la t. A 1.

Viteza adevărată a punctului este direcționată tangențial la traiectorie, iar valoarea sa algebrică este determinată de prima derivată a căii în raport cu timpul:

v = limΔs/Δt = ds/dt

Unitatea de măsură a vitezei punctului: (v) = lungime/timp, de exemplu m/s. Dacă punctul se mișcă în direcția creșterii coordonatei curbilinii s, atunci ds > 0 și, prin urmare, v > 0, în caz contrar ds< 0 и v < 0.

Accelerație punctuală. Modificarea vitezei pe unitatea de timp este determinată de accelerație. Considerăm mișcarea punctului A de-a lungul unei traiectorii curbilinii în timp Δt de la poziția A la poziția A 1 . În poziţia A, punctul avea viteza v , iar în poziţia A 1 - viteza v 1 (Figura 13). acestea. viteza punctului s-a schimbat în mărime și direcție. Găsim diferența geometrică, viteze Δv, prin construirea unui vector v 1 din punctul A.

Accelerația unui punct se numește vector ", egală cu prima derivată a vectorului viteză al punctului în raport cu timpul:

Vectorul de accelerație găsit a poate fi descompus în două componente reciproc perpendiculare, dar tangenta și normala la traiectoria mișcării. Accelerația tangențială a 1 coincide în direcție cu viteza în timpul mișcării accelerate sau este opusă acesteia în timpul mișcării înlocuite. Caracterizează modificarea valorii vitezei și este egală cu derivata în timp a valorii vitezei

Vectorul normal de accelerație a este îndreptat de-a lungul normalei (perpendiculare) pe curba spre concavitatea traiectoriei și modulul acesteia este egal cu raportul pătratul vitezei punctului la raza de curbură a traiectoriei în punctul luat în considerare.

Accelerația normală caracterizează schimbarea vitezei de-a lungul
direcţie.

Valoarea completă a accelerației: , m/s 2

Tipuri de mișcare a punctelor în funcție de accelerație.

Uniformă mișcare rectilinie (mișcarea prin inerție) se caracterizează prin faptul că viteza de mișcare este constantă, iar raza de curbură a traiectoriei este egală cu infinitul.

Adică r = ¥, v = const, atunci ; prin urmare . Deci, atunci când un punct se mișcă prin inerție, accelerația lui este zero.

Mișcare rectilinie neuniformă. Raza de curbură a traiectoriei este r = ¥, iar n = 0, prin urmare, a = a t și a = a t = dv/dt.

Fie dată mișcarea punctului M într-un mod vectorial, adică vectorul rază a punctului este dat în funcție de timp

Linia descrisă de sfârșitul unui vector variabil, al cărui început este la un punct fix dat, se numește hodograful acestui vector. De aici și din definirea traiectoriei urmează următoarea regulă: traiectoria unui punct este hodograful raze-vectorului său.

Fie la un moment dat t punctul ocupă poziţia M şi are un vector rază, iar la un moment dat - o poziţie şi un vector rază (Fig. 78).

Un vector care conectează pozițiile succesive ale punctelor la cele specificate

momente, se numește vectorul deplasării punctului în timp. Vectorul deplasare este exprimat în termeni de valori ale funcției vectoriale (5) după cum urmează:

Dacă vectorul deplasare este împărțit la valoarea intervalului, obținem vectorul vitezei medii a punctului în timp.

Acum vom micșora intervalul , tinzându-l la zero. Limita către care tinde vectorul viteză medie cu o scădere nelimitată a intervalului se numește viteza punctului în momentul t sau pur și simplu viteza punctului 0. Conform celor spuse pentru viteză, obținem:

Deci, vectorul viteză al unui punct este egal cu derivata în timp a vectorului său rază:

Deoarece secanta din limită (la ) se transformă într-o tangentă , concluzionăm că vectorul viteză este direcționat tangențial la traiectorie în direcția mișcării punctului.

În cazul general, viteza unui punct este, de asemenea, variabilă, iar cineva poate fi interesat de viteza de schimbare a vitezei. Rata de schimbare a vitezei se numește accelerația punctului.

Pentru a determina accelerația a, alegem un punct fix A și trasăm vectorul viteză u din acesta în diferite momente de timp.

Linia pe care o descrie capătul vectorului N viteză este hodograful vitezei (Fig. 79). Modificarea vectorului viteză este exprimată prin faptul că punctul geometric N se mișcă de-a lungul hodografului vitezei, iar viteza acestei mișcări servește, prin definiție, ca accelerație a punctului M.

1. Metode de precizare a mișcării unui punct într-un sistem de referință dat

Principalele sarcini ale cinematicii punctuale sunt:

1. Descrierea modalităților de a specifica mișcarea unui punct.

2. Determinarea caracteristicilor cinematice ale mișcării unui punct (viteză, accelerație) după o lege dată a mișcării.

mișcare mecanică − modificarea pozitiei unui corp fata de altul (corp de referință), care este asociat cu un sistem de coordonate numit sistem de referință .

Locul pozițiilor succesive ale unui punct în mișcare în cadrul de referință luat în considerare este numit traiectorie puncte.

Pune mișcare − este de a oferi o cale prin care se poate determina poziția unui punct în orice moment de timp față de cadrul de referință ales. Principalele modalități de a specifica mișcarea unui punct sunt:

vector, coordonat și natural .

1.Modul vectorial de a seta mișcarea (Fig. 1).

Poziția unui punct este determinată de un vector rază trasat dintr-un punct fix asociat corpului de referință: − ecuația vectorială a mișcării punctului.

2. Modul coordonat de a pune mișcarea (Fig. 2).

În acest caz, coordonatele punctului sunt date în funcție de timp:

- ecuațiile de mișcare ale unui punct sub formă de coordonate.

Aceasta și ecuații parametrice traiectoriile unui punct în mișcare, în care timpul joacă rolul unui parametru. Pentru a-și scrie ecuația în formă explicită, este necesar să excludem din ele. În cazul unei traiectorii spațiale, excluzând , obținem:

În cazul unei traiectorii plane

eliminând , obținem:

Sau .

3. Modul natural de a defini mișcarea (Fig. 3).

În acest caz, setați:

1) traiectoria punctului,

2) punct de referință pe traiectorie,

3) direcția de referință pozitivă,

4) legea modificării coordonatei arcului: .

Această metodă este convenabilă de utilizat atunci când traiectoria punctului este cunoscută dinainte.

2. Viteza și punctul de accelerație

Luați în considerare mișcarea unui punct pe o perioadă scurtă de timp(Fig. 4):

Apoi − viteza medie a unui punct pentru o perioadă de timp.

Viteza unui punct la un moment dat de timp se găsește ca limită a vitezei medii la :

Viteza punctului − este măsura cinematică a mișcării sale, egală cu derivată în timp a vectorului rază a acestui punct în cadrul de referinţă luat în considerare.

Vectorul viteză este direcționat tangențial la traiectoria punctului în direcția mișcării.

Accelerația medie caracterizează modificarea vectorului viteză pe o perioadă scurtă de timp(Fig. 5).

Accelerația unui punct la un moment dat se găsește ca limită a accelerației medii la :

Accelerația punctuală − este o măsură a modificării vitezei sale, egală cu derivata în timp de la viteza acestui punct sau derivata a doua a vectorului rază a punctului în timp .

Accelerația unui punct caracterizează modificarea vectorului viteză în mărime și direcție. Vectorul accelerație este îndreptat spre concavitatea traiectoriei.

3. Determinarea vitezei și accelerației unui punct la modul de coordonare sarcini de mișcare

Relația dintre metoda vectorială de specificare a mișcării și metoda coordonatelor este dată de relația

(Fig. 6).

Din definiția vitezei:

Proiecțiile vitezei pe axele de coordonate sunt egale cu derivatele coordonatelor corespunzătoare în raport cu timpul

, , . .

Modulul și direcția vitezei sunt determinate de expresiile:

Aici și mai jos, punctul de mai sus indică diferențierea în funcție de timp

Din definiția accelerației:

Proiecțiile accelerației pe axele de coordonate sunt egale cu derivatele a doua temporale ale coordonatelor corespunzătoare:

, , .

Modulul și direcția de accelerație sunt determinate de expresiile:

, , .

4 Viteza și accelerația unui punct cu un mod natural de a specifica mișcarea

4.1 Axele naturale.

Determinarea vitezei și accelerației unui punct cu un mod natural de specificare a mișcării

Axele naturale (tangentă, normală principală, binormală) sunt axele unui sistem de coordonate dreptunghiular în mișcare cu originea în punctul în mișcare. Poziția lor este determinată de traiectoria mișcării. Tangenta (cu vectorul unitar ) este îndreptată tangențial în direcția pozitivă a referinței de coordonate arc și se găsește ca poziție limită a secantei care trece prin punct dat(Fig. 9). Un plan de contact trece prin tangentă (Fig. 10), care se găsește ca poziție limită a planului p întrucât punctul M1 tinde spre punctul M. Planul normal este perpendicular pe tangente. Linia de intersecție a planurilor normale și contigue este normala principală. Vectorul unitar al normalei principale este îndreptat spre concavitatea traiectoriei. Binormalul (cu vectorul unitar ) este îndreptat perpendicular pe tangentă și normala principală astfel încât ortele , și să formeze triplul drept al vectorilor. Avioane coordonate din sistemul de coordonate în mișcare introdus (contiguu, normal și rectificator) formează un triedru natural, care se mișcă împreună cu punctul de mișcare, ca solid. Mișcarea sa în spațiu este determinată de traiectorie și de legea schimbării coordonatei arcului.

Din definiția vitezei punctului

unde , este vectorul unitar al tangentei.

Apoi

, .

Viteza algebrică − proiecția vectorului viteză pe tangentă egală cu derivata în timp a coordonatei arcului. Dacă derivata este pozitivă, atunci punctul se mișcă în direcția pozitivă a referinței de coordonate arcului.

Din definiția accelerației

− vector direcţional şi

Derivata este determinata doar de tipul de traiectorie in vecinatatea unui punct dat, introducand in considerare unghiul de rotatie al tangentei, avem

Și de ce este nevoie. Știm deja ce sunt un cadru de referință, relativitatea mișcării și un punct material. Ei bine, este timpul să trecem mai departe! Aici ne vom uita la conceptele de bază ale cinematicii, reunind cele mai multe formule utile pe bazele cinematicii și dați un exemplu practic de rezolvare a problemei.

Să rezolvăm următoarea problemă: Un punct se deplasează într-un cerc cu o rază de 4 metri. Legea mișcării sale este exprimată prin ecuația S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. În ce moment al timpului accelerație normală punctul este 9 m/s^2? Găsiți viteza, tangențială și accelerație totală puncte pentru acest moment în timp.

Rezolvare: știm că pentru a găsi viteza, trebuie să luăm derivata primară a legii mișcării, iar accelerația normală este egală cu pătratul privat al vitezei și cu raza cercului de-a lungul căruia se mișcă punctul . Înarmați cu aceste cunoștințe, găsim valorile dorite.

Ai nevoie de ajutor pentru rezolvarea problemelor? Un serviciu profesionist pentru studenți este gata să-l ofere.