Viteza instantanee este viteza corpului într-un moment dat în timp sau într-un punct dat al traiectoriei. Aceasta este o mărime fizică vectorială, numeric egală cu limita la care tinde viteza medie pe o perioadă de timp infinit de mică:

Cu alte cuvinte, viteza instantanee este prima derivată a vectorului rază în raport cu timpul.

2. viteza medie.

viteza medie într-o anumită zonă se numește valoare egală cu raportul dintre deplasarea și intervalul de timp în care s-a produs această deplasare.

3. Viteza unghiulară. Formulă. SI.

Viteza unghiulară este o mărime fizică vectorială egală cu prima derivată a unghiului de rotație al corpului în raport cu timpul. [rad/s]

4. Comunicare viteză unghiulară cu o perioadă de rotație.

Rotația uniformă se caracterizează printr-o perioadă de rotație și o frecvență de rotație.

5. Accelerația unghiulară. Formulă. SI.

Aceasta este o mărime fizică egală cu prima derivată a vitezei unghiulare sau cu cea de-a doua derivată a unghiului de rotație al corpului în raport cu timpul. [rad/s 2]

6. Cum este direcționat vectorul viteză unghiulară/accelerație unghiulară.

În plus, vectorul viteză unghiulară este direcționat de-a lungul axei de rotație, astfel încât rotația văzută de la capătul vectorului viteză unghiulară are loc în sens invers acelor de ceasornic (regula dreaptă).

Cu rotația accelerată, vectorul accelerație unghiulară este co-direcționat cu vectorul viteză unghiulară, iar cu rotația lentă, este opus acestuia.

7/8. Relația dintre accelerația normală și viteza unghiulară/Relația dintre accelerația tangenţială și unghiulară.

9. Ce determină și cum este direcționată componenta normală a accelerației totale? Accelerație SI normală. Accelerația normală determină rata de schimbare a vitezei în direcție și este îndreptată spre centrul de curbură al traiectoriei.

în SI accelerație normală[m/s 2]

10. Ce determină și cum este direcționată componenta tangențială a accelerației totale.

Accelerația tangențială este egală cu prima derivată temporală a modulului de viteză și determină viteza de modificare modulo a vitezei și este direcționată tangențial la traiectorie.

11. Accelerația tangențială în SI.

12. Accelerație completă corp. Modulul acestei accelerații.

13. Liturghie. Putere. legile lui Newton.

Greutate este o mărime fizică, care este o măsură a proprietăților inerțiale și gravitaționale ale corpului. Unitatea de masă în SI [ m] = kg.

Putere este o mărime fizică vectorială, care este o măsură a impactului mecanic asupra corpului de la alte corpuri sau câmpuri, în urma căruia corpul este deformat sau accelerat. Unitatea de forță SI este Newton; kg*m/s 2

Prima lege a lui Newton (sau legea inerției): dacă asupra corpului nu acţionează forţe sau acţiunea lor este compensată, atunci corp dat este în repaus sau uniformă mișcare rectilinie.

A doua lege a lui Newton : accelerația unui corp este direct proporțională cu forțele rezultante aplicate acestuia și invers proporțională cu masa acestuia. A doua lege a lui Newton ne permite să rezolvăm problema de bază a mecanicii. De aceea se numește ecuația de bază a dinamicii mișcării de translație.

a treia lege a lui Newton : Forța cu care un corp acționează asupra altuia este egală ca mărime și opusă ca direcție forței cu care al doilea corp acționează asupra primului.

Partea 1

Calculul vitezei instantanee

1. Începeți cu o ecuație. Pentru a calcula viteza instantanee, trebuie să cunoașteți ecuația care descrie mișcarea corpului (poziția acestuia la un anumit moment în timp), adică o astfel de ecuație, pe o parte a căreia se află s (mișcarea corpului) și pe de altă parte sunt termeni cu variabila t (timp). De exemplu:
   

   s = -1,5t2 + 10t + 4

   • În această ecuație: deplasare = s. Deplasare - calea parcursă de obiect. De exemplu, dacă corpul s-a deplasat cu 10 m înainte și 7 m înapoi, atunci mișcarea totală a corpului este 10 - 7 = 3m(și la 10 + 7 = 17 m). Timp = t. De obicei, măsurată în secunde.

2. Calculați derivata ecuației. Pentru a găsi viteza instantanee a unui corp ale cărui deplasări sunt descrise de ecuația de mai sus, trebuie să calculați derivata acestei ecuații. Derivata este o ecuație care vă permite să calculați panta graficului în orice moment (în orice moment). Pentru a găsi derivata, diferențiați funcția după cum urmează: dacă y = a*x n , atunci derivată = a*n*x n-1. Această regulă se aplică fiecărui termen al polinomului.

   • Cu alte cuvinte, derivata fiecărui termen cu variabila t este egală cu produsul factorului (înaintea variabilei) și puterea variabilei, înmulțit cu variabila la o putere egală cu puterea inițială minus 1. Termenul liber (termenul fără variabilă, adică numărul) dispare deoarece se înmulțește cu 0. În exemplul nostru:
     

     s = -1,5t2 + 10t + 4
     (2)-1,5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
     -3t1 + 10t0
     -3t+10

3. Înlocuiți „s” cu „ds/dt” pentru a indica faptul că noua ecuație este derivata ecuației originale (adică derivata lui s din t). Derivata este panta graficului la un anumit punct (la un anumit moment în timp). De exemplu, pentru a găsi panta dreptei descrise de funcția s = -1,5t 2 + 10t + 4 la t = 5, trebuie doar să introduceți 5 în ecuația derivată.

   • În exemplul nostru, ecuația derivată ar trebui să arate astfel:
     

     ds/dt = -3t + 10

4. Înlocuiți valoarea corespunzătoare a lui t în ecuația derivată pentru a găsi viteza instantanee la un anumit moment în timp. De exemplu, dacă doriți să găsiți viteza instantanee la t = 5, introduceți doar 5 (în loc de t) în ecuația derivată ds/dt = -3 + 10. Apoi rezolvați ecuația:
   

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3(5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 m/s

   • Atenție la unitatea de măsură a vitezei instantanee: m/s. Deoarece ni se dă valoarea deplasării în metri, iar timpul este în secunde, iar viteza este egală cu raportul deplasării în timp, atunci unitatea de m / s este corectă.

   Partea 2

   Evaluarea grafică a vitezei instantanee

   1. Construiți un grafic al mișcării corpului.În capitolul anterior, ați calculat viteza instantanee folosind o formulă (o ecuație derivată care vă permite să găsiți panta unui grafic într-un anumit punct). Prin trasarea mișcării corpului, îi puteți găsi panta în orice punct și, prin urmare determina viteza instantanee la un anumit moment în timp.

      • Pe axa Y, trasează mișcarea, iar pe axa X, timpul. Obțineți coordonatele punctelor (x, y) înlocuind diferite valori ale lui t în ecuația de deplasare inițială și calculând valorile corespunzătoare ale lui s.
      • Graficul poate scădea sub axa X. Dacă graficul mișcării corpului cade sub axa X, atunci aceasta înseamnă că corpul se mișcă în direcție inversă din punctul de plecare. De regulă, graficul nu se extinde dincolo de axa y ( valori negative x) - nu măsurăm viteza obiectelor care se deplasează înapoi în timp!

   2. Selectați un punct P pe grafic (curbă) și un punct Q aproape de acesta. Pentru a găsi panta graficului în punctul P, folosim conceptul de limită. Limită - o stare în care valoarea secantei trasate prin 2 puncte P și Q situate pe curbă tinde spre zero.

      • De exemplu, luați în considerare punctele P(1,3)și Q(4,7)și calculați viteza instantanee în punctul P.

   3. Aflați panta segmentului PQ. Panta segmentului PQ este egală cu raportul dintre diferența dintre valorile coordonatelor „y” ale punctelor P și Q și diferența dintre valorile coordonatelor „x” ale punctelor P și Q. Cu alte cuvinte, H = (y Q - y P)/(x Q - x P), unde H este panta segmentului PQ. În exemplul nostru, panta segmentului PQ este:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7 - 3)/(4 - 1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Repetați procesul de mai multe ori, aducând punctul Q mai aproape de punctul P. Cu cât distanța dintre două puncte este mai mică, cu atât valoarea pantei segmentelor obținute este mai apropiată de panta graficului în punctul P. În exemplul nostru, vom efectua calcule pentru punctul Q cu coordonatele (2.4.8), (1.5). .3.95) și (1.25.3.49) (coordonatele punctului P rămân aceleași):
      

      Q = (2.4.8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
      H = (1,8)/(1) = 1.8

      Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. Cu cât distanța dintre punctele P și Q este mai mică, cu atât valoarea lui H este mai apropiată de panta graficului în punctul P Dacă distanța dintre punctele P și Q este extrem de mică, valoarea lui H va fi egală cu panta graficului. în punctul P Întrucât nu putem măsura sau calcula distanţa extrem de mică dintre două puncte mod grafic oferă o estimare a pantei graficului în punctul P.

      • În exemplul nostru, când Q se apropie de P, obținem următoarele valori H: 1,8; 1.9 și 1.96. Deoarece aceste numere tind spre 2, putem spune că panta graficului în punctul P este egală cu 2 .
      • Amintiți-vă că panta graficului într-un punct dat este egală cu derivata funcției (pe care este desenat acest grafic) în acel punct. Graficul afișează mișcarea corpului în timp și, așa cum sa menționat în secțiunea anterioară, viteza instantanee a corpului este egală cu derivata ecuației deplasării acestui corp. Astfel, putem afirma că la t = 2 viteza instantanee este 2 m/s(aceasta este o estimare).

   Partea 3

   Exemple

   1. Calculați viteza instantanee la t = 4 dacă mișcarea corpului este descrisă de ecuația s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9. Acest exemplu este similar cu problema din prima secțiune, singura diferență fiind că este o ecuație de ordinul trei (nu una de ordinul doi).

      • Mai întâi, calculăm derivata acestei ecuații:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
        15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
        15t (2) - 6t + 2

      • Acum înlocuim valoarea t = 4 în ecuația derivată:
        

        s = 15t (2) - 6t + 2
        15(4) (2) - 6(4) + 2
        15(16) - 6(4) + 2
        240 - 24 + 2 = 22 m/s

   2. Să estimăm valoarea vitezei instantanee în punctul cu coordonatele (1,3) de pe graficul funcției s = 4t 2 - t.În acest caz, punctul P are coordonatele (1,3) și este necesar să găsim mai multe coordonate ale punctului Q, care se află aproape de punctul P. Apoi calculăm H și găsim valorile estimate ale vitezei instantanee. .

      • În primul rând, găsim coordonatele Q la t = 2, 1,5, 1,1 și 1,01.
        

        s = 4t2 - t

        t=2: s = 4(2) 2 - (2)
        4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, deci Q = (2,14)

        t = 1,5: s = 4(1,5) 2 - (1,5)
        4(2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, deci Q = (1,5,7,5)

        t = 1,1: s = 4(1,1) 2 - (1,1)
        4(1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, deci Q = (1,1,3,74)

        t = 1,01: s = 4(1,01) 2 - (1,01)
        4(1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, deci Q = (1,01,3,0704)

Dacă un punct material este în mișcare, atunci coordonatele sale pot fi modificate. Acest proces poate fi rapid sau lent.

Definiția 1

Se numește valoarea care caracterizează viteza de schimbare a poziției coordonatei viteză.

Definiția 2

viteza medie este o mărime vectorială, numeric egală cu deplasarea pe unitatea de timp, și co-direcțională cu vectorul deplasare υ = ∆ r ∆ t ; υ ∆ r .

Poza 1. Viteza medie este co-direcționată către mișcare

Modulul vitezei medii de-a lungul traseului este egal cu υ = S ∆ t .

Viteza instantanee caracterizează mișcarea la un anumit moment în timp. Expresia „viteza unui corp la un moment dat” este considerată incorectă, dar aplicabilă în calculele matematice.

Definiția 3

Viteza instantanee este limita la care tinde viteza medie υ atunci când intervalul de timp ∆t tinde spre 0:

υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ .

Direcția vectorului υ este tangentă la traiectoria curbilinie, deoarece deplasarea infinitezimală d r coincide cu elementul infinitezimal al traiectoriei d s .

Figura 2. Vector viteză instantanee υ

Expresia existenta υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ in coordonate carteziene identic cu ecuațiile de mai jos:

υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙ .

Înregistrarea modulului vectorului υ va lua forma:

υ \u003d υ \u003d υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 \u003d x 2 + y 2 + z 2.

Pentru a trece de la coordonatele dreptunghiulare carteziene la curbilinii, aplicați regulile de diferențiere funcții complexe. Dacă vectorul rază r este o funcție de coordonatele curbilinii r = r q 1 , q 2 , q 3 , atunci valoarea vitezei se scrie ca:

υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i .

Figura 3. Deplasarea și viteza instantanee în sistemele de coordonate curbilinie

Pentru coordonatele sferice, să presupunem că q 1 = r ; q 2 \u003d φ; q 3 \u003d θ, atunci obținem υ prezentat sub această formă:

υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ , unde υ r = r ˙ ; υ φ = r φ ˙ sin θ ; υ θ = r θ ˙ ; r ˙ = d r d t ; φ ˙ = d φ d t ; θ ˙ = d θ d t ; υ \u003d r 1 + φ 2 sin 2 θ + θ 2.

Definiția 4

viteza instantanee numiți valoarea derivatei funcției de mișcare în timp în momentul dat, raportat la deplasarea elementară prin relația d r = υ (t) d t

Exemplul 1

Având în vedere legea mișcării rectilinie a unui punct x (t) = 0 , 15 t 2 - 2 t + 8 . Determinați viteza sa instantanee la 10 secunde după începerea mișcării.

Soluţie

Viteza instantanee este de obicei numită prima derivată a vectorului rază în raport cu timpul. Apoi intrarea sa va arăta astfel:

υ (t) = x ˙ (t) = 0 . 3 t - 2 ; υ (10) = 0 . 3 × 10 - 2 = 1 m/s.

Răspuns: 1 m/s.

Exemplul 2

Trafic punct material este dat de ecuația x = 4 t - 0,05 t 2 . Calculați momentul de timp t aproximativ cu t când punctul se oprește din mișcare și viteza sa medie la sol υ.

Soluţie

Calculați ecuația vitezei instantanee, înlocuiți expresiile numerice:

υ (t) = x ˙ (t) = 4 - 0 , 1 t .

4 - 0 , 1 t = 0 ; t aproximativ cu t \u003d 40 s; υ 0 = υ (0) = 4; υ = ∆ υ ∆ t = 0 - 4 40 - 0 = 0 , 1 m / s.

Răspuns: punct dat opriți după 40 de secunde; valoarea vitezei medii este de 0,1 m/s.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Aceasta este o mărime fizică vectorială, numeric egală cu limita la care tinde viteza medie pe o perioadă de timp infinit de mică:

Cu alte cuvinte, viteza instantanee este vectorul rază în timp.

Vectorul viteză instantanee este întotdeauna direcționat tangențial la traiectoria corpului în direcția mișcării corpului.

Viteza instantanee oferă informații precise despre mișcarea la un anumit moment în timp. De exemplu, în timp ce conduceți într-o mașină la un moment dat, șoferul se uită la vitezometru și vede că dispozitivul arată 100 km/h. După un timp, acul vitezometrului indică 90 km / h, iar după câteva minute - la 110 km / h. Toate citirile vitezometrului enumerate sunt valorile vitezei instantanee a mașinii în anumite momente în timp. Viteza în fiecare moment de timp și în fiecare punct al traiectoriei trebuie cunoscută la andocare stații spațiale, la aterizarea aeronavei etc.

Conceptul de „viteză instantanee” sens fizic? Viteza este o caracteristică a schimbării în spațiu. Cu toate acestea, pentru a determina cum s-a schimbat mișcarea, este necesar să se observe mișcarea pentru ceva timp. Chiar și cele mai avansate dispozitive de măsurare a vitezei, cum ar fi instalațiile radar, măsoară viteza pe o perioadă de timp - deși una destul de mică, dar acesta este încă un interval de timp finit și nu un moment în timp. Expresia „viteza unui corp la un moment dat de timp” din punct de vedere al fizicii nu este corectă. Cu toate acestea, conceptul de viteză instantanee este foarte convenabil în calculele matematice și este utilizat în mod constant.

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Viteză instantanee”

EXEMPLUL 1

EXEMPLUL 2

Exercițiu	Legea mișcării unui punct de-a lungul unei drepte este dată de ecuație. Găsiți viteza instantanee a punctului la 10 secunde după începerea mișcării.
Soluţie	Viteza instantanee a unui punct este vectorul rază în timp. Prin urmare, pentru viteza instantanee, putem scrie: La 10 secunde de la începerea mișcării, viteza instantanee va avea valoarea:
Răspuns	La 10 secunde după începerea mișcării, viteza instantanee a punctului este m/s.

EXEMPLUL 3

Exercițiu	Corpul se deplasează în linie dreaptă, astfel încât coordonatele sale (în metri) să se schimbe conform legii. În câte secunde după începerea mișcării se va opri corpul?
Soluţie	Aflați viteza instantanee a corpului: