Notând momentul de forță relativ la axele , și , putem scrie:

unde , și module de proiecții ale forțelor pe plane perpendiculare pe axa față de care este determinat momentul; l - umerii egali ca lungime

perpendiculare de la punctul de intersecție a axei cu planul până la proiecție sau continuarea acesteia; semnul plus sau minus este plasat în funcție de direcția în care se întoarce umărul l vectorul de proiecție, dacă priviți planul de proiecție din direcția pozitivă a axei; când vectorul de proiecție tinde să rotească brațul în sens invers acelor de ceasornic, suntem de acord să considerăm momentul ca pozitiv și invers.

Prin urmare, moment de forță în jurul axei numită mărime algebrică (scalară) egală cu momentul proiecției forței pe un plan perpendicular pe axă, raportat la punctul de intersecție a axei cu planul.

Figura anterioară ilustrează succesiunea determinării momentului de forță în jurul axei Z. Dacă forța este dată și axa este selectată (sau specificată), atunci: a) este selectat un plan perpendicular pe axă (planul XOY) ; b) se proiectează forţa F pe acest plan şi se determină modulul acestei proiecţii; c) din punctul 0 al intersecției axei cu planul se coboară perpendiculara OS pe proiecție și se determină umărul l = OS; d) privind planul XOU din direcția pozitivă a axei Z (adică, în acest caz, de sus), vedem că OS este rotit de vector contra cronometru, ceea ce înseamnă

Momentul forței în jurul axei este zero dacă forța și axa se află în același plan: a) forța intersectează axa (în acest caz l = 0);

b) forța este paralelă cu axa ();

c) forța acționează de-a lungul axei ( l=0 și ).

Sistem spațial de forțe localizate în mod arbitrar.

Stare de echilibru

Anterior, procesul de aducere a forțelor la un punct a fost descris în detaliu și s-a dovedit că orice sistem plat de forțe se reduce la o forță - vectorul principal și o pereche, al cărui moment se numește momentul principal și forța. iar perechea echivalentă cu acest sistem de forțe acționează în același plan cu sistemul dat. Astfel, dacă punctul principal reprezentați ca vector, atunci vector principalși punctul principal sistem plat forțele sunt întotdeauna perpendiculare între ele.

Argumentând în mod similar, se poate aduce în mod constant la punctul de forță al sistemului spațial. Dar acum vectorul principal este vectorul de închidere al poligonului forței spațiale (mai degrabă decât plat); momentul principal nu mai poate fi obținut prin adăugarea algebrică a momentelor acestor forțe față de punctul de reducere. Când sunt reduse la un punct al unui sistem spațial de forțe, perechile atașate acționează în planuri diferite și este recomandabil să-și reprezinte momentele sub formă de vectori și să le adunăm geometric. Prin urmare, vectorul principal obținut ca urmare a reducerii sistemului spațial de forțe ( suma geometrică forțele sistemului) și momentul principal (suma geometrică a momentelor forțelor față de punctul de reducere), în general, nu sunt perpendiculare unul pe celălalt.

Egalități vectoriale și exprimă necesarul și condiție suficientă echilibrul unui sistem spațial de forțe situate arbitrar.

Dacă vectorul principal este egal cu zero, atunci proiecțiile sale pe trei axe reciproc perpendiculare sunt, de asemenea, egale cu zero. Dacă momentul principal este egal cu zero, atunci trei dintre componentele sale de pe aceeași axă sunt egale cu zero.

Aceasta înseamnă că un sistem spațial arbitrar de forțe este determinabil static numai dacă numărul de necunoscute nu depășește șase.

Printre problemele staticii se numara adesea acelea in care asupra corpului actioneaza un sistem spatial de forte paralele intre ele.

LA sistem spațial nu ar trebui să existe mai mult de trei forțe paralele necunoscute, altfel problema devine static nedeterminată.

Capitolul 6

Concepte de bază de cinematică

Ramură a mecanicii care se ocupă de studiul mișcării corpuri materiale fără a lua în considerare masele lor și forțele care acționează asupra lor, se numește cinematică.

Mişcare- principala formă de existență a întregii lumi materiale, pace și echilibru- cazuri speciale.

Orice mișcare, inclusiv mișcarea mecanică, are loc în spațiu și timp.

Toate corpurile constau din puncte materiale. Pentru a vă face o idee corectă despre mișcarea corpurilor, trebuie să începeți să studiați cu mișcarea unui punct. Mișcarea unui punct în spațiu este exprimată în metri, precum și în unități submultiple (cm, mm) sau multiple (km) de lungime, timp - în secunde. În practică sau în situații de viață, timpul este adesea exprimat în minute sau ore. Când luăm în considerare una sau alta mișcare a unui punct, timpul se numără de la un anumit moment inițial prestabilit ( t= 0).

Locul pozițiilor unui punct în mișcare în cadrul de referință luat în considerare este numit traiectorie. După tipul de traiectorie, mișcarea unui punct este împărțită în rectilinieși curbilinii. Traiectoria unui punct poate fi definită și prestabilită. De exemplu, traiectorii sateliți artificiali Stațiile terestre și interplanetare sunt calculate în avans, sau dacă luăm autobuze care se deplasează prin oraș pt puncte materiale, atunci se cunosc și traiectoriile (traseele) acestora. În astfel de cazuri, poziția unui punct în fiecare moment de timp este determinată de distanța (coordonata arcului) S, adică. lungimea secțiunii traiectoriei, socotită din unele dintre punctele sale fixe, luate ca origine. Numărarea distanțelor de la începutul traiectoriei poate fi efectuată în ambele direcții, prin urmare, numărarea într-o direcție este considerată condiționat ca pozitivă, iar în

opus - pentru negativ , acestea. distanța S este o mărime algebrică. Poate fi pozitiv (S > 0) sau negativ (S<0).

Când se mișcă, un punct pentru o anumită perioadă de timp trece cale L , care se măsoară de-a lungul căii în direcția de mers.

Dacă punctul a început să se miște nu de la originea O, ci de la o poziție la distanța inițială S o atunci

Se numește mărimea vectorială care caracterizează la un moment dat direcția și viteza de mișcare a unui punct viteză.

Viteza unui punct în orice moment al mișcării sale este direcționată tangențial la traiectorie.

Rețineți că această egalitate vectorială caracterizează numai poziția și modulul vitezei medii în timp:

unde este calea parcursă de punctul în timp.

Modulul vitezei medii este egal cu distanța parcursă împărțit la timpul în care a fost parcursă această cale.

Se numește mărimea vectorială care caracterizează viteza de schimbare a direcției și valoarea numerică a vitezei accelerare.

Cu mișcare uniformă de-a lungul unei traiectorii curbilinii, punctul are și accelerație, deoarece în acest caz se schimbă și direcția vitezei.

Unitatea de accelerație este de obicei luată ca .

6.2. Metode de precizare a mișcării unui punct

Există trei moduri: natural, coordona, vector.

Modul natural de a specifica mișcarea unui punct. Dacă pe lângă traiectoria pe care este marcată originea O, dependenţa

între distanța S și timpul t, această ecuație se numește legea mișcării unui punct de-a lungul unei traiectorii date.

Să fie dată, de exemplu, o traiectorie, mișcarea unui punct de-a lungul căreia este determinată de ecuația . Apoi, la timp, i.e. punctul este la originea O; la un moment dat, punctul se află la o distanţă; la un moment dat, punctul se află la o distanță de originea O.

Metoda de coordonare de specificare a mișcării punctului. Când traiectoria unui punct nu este cunoscută în prealabil, poziția punctului în spațiu este determinată de trei coordonate: abscisa X, ordonata Y și aplicata Z.

Sau excluzând timpul.

Aceste ecuații exprimă legea mișcării unui punct dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular (OXYZ).

În cazul particular, dacă punctul se mișcă într-un plan, legea mișcării punctului este exprimată prin două ecuații: sau .

de exemplu. Mișcarea unui punct într-un sistem de coordonate plan este dată de ecuațiile și ( Xși Y– cm, t – c). Apoi la timp și , i.e. punctul este la origine; la un moment dat coordonatele punctului , ; la un moment dat coordonatele punctului , etc.

Cunoscând legea mișcării unui punct dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular, se poate determina ecuația traiectoriei punctului.

De exemplu, eliminând timpul t din ecuațiile de mai sus și , obținem ecuația traiectoriei . După cum puteți vedea, în acest caz punctul se mișcă de-a lungul unei linii drepte care trece prin origine.

6.3. Determinarea vitezei unui punct în mod natural
sarcinile mișcării ei

Fie că punctul A se mișcă pe o traiectorie dată conform ecuației, este necesar să se determine viteza punctului la momentul t.

Pentru o perioadă de timp, punctul a parcurs o cale , se numește valoarea vitezei medii pe această cale tangentă, sau accelerația tangențială. Modulul de accelerație tangențială

,

egală cu derivata vitezei la un moment dat în timp, sau, în caz contrar, derivata a doua a distanței în timp, caracterizează viteza de modificare a valorii vitezei.

Se dovedește că vectorul este perpendicular pe tangente în orice moment, așa că se numește accelerație normală.

Aceasta înseamnă că modulul de accelerație normală este proporțional cu a doua putere a modulului de viteză la un moment dat, invers proporțional cu raza de curbură a traiectoriei la un punct dat și caracterizează viteza de schimbare a direcției vitezei. .

Modul de accelerare

Moment de forță în jurul axei este momentul proiecției unei forțe pe un plan perpendicular pe axă, raportat la punctul de intersecție a axei cu acest plan

Momentul în jurul unei axe este pozitiv dacă forța tinde să rotească un plan perpendicular pe axa în sens invers acelor de ceasornic atunci când este privită spre axă.

Momentul de forță în jurul axei este 0 în două cazuri:

Dacă forța este paralelă cu axa

Dacă forța traversează axa

Dacă linia de acțiune și axa se află în același plan, atunci momentul forței în jurul axei este 0.

27. Relația dintre momentul de forță în jurul unei axe și momentul vector al forței în jurul unui punct.

Mz(F)=Mo(F)*cosαMomentul forței, raportat la axă, este egal cu proiecția vectorului momentului forțelor, raportat la punctul axei, pe această axă.

28. Teorema principală a staticii despre aducerea sistemului de forțe la un centru dat (teorema lui Poinsot). Vectorul principal și momentul principal al sistemului de forțe.

Orice sistem spațial de forțe în cazul general poate fi înlocuit cu un sistem echivalent format dintr-o forță aplicată într-un punct al corpului (centrul de reducere) și egală cu vectorul principal al acestui sistem de forțe și o pereche de forțe, al cărui moment este egal cu momentul principal al tuturor forțelor raportat la centrul de referință selectat.

Vectorul principal al sistemului de forțe numit vector R egală cu suma vectorială a acestor forțe:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F eu .

Pentru un sistem plat de forțe, vectorul său principal se află în planul de acțiune al acestor forțe.

Momentul principal al sistemului de forțe despre centrul O se numește vector L O , egală cu suma momentelor vectoriale ale acestor forțe relativ la punctul O:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).

Vector R nu depinde de alegerea centrului O și a vectorului L O când se schimbă poziția centrului O se poate schimba în general.

Teorema lui Poinsot: Un sistem spațial arbitrar de forțe poate fi înlocuit cu o forță cu vectorul principal al sistemului de forțe și o pereche de forțe cu momentul principal fără a perturba starea corpului rigid. Vectorul principal este suma geometrică a tuturor forțelor care acționează asupra unui corp rigid și este situat în planul de acțiune al forțelor. Vectorul principal este considerat prin proiecțiile sale pe axele de coordonate.

Pentru a aduce forțe într-un anumit centru aplicate într-un punct al unui corp rigid, este necesar: 1) să se transfere forța către sine în paralel cu un anumit centru fără a modifica modulul de forță; 2) într-un centru dat, aplicați o pereche de forțe, al căror moment vectorial este egal cu momentul vectorial al forței transferate față de noul centru, această pereche se numește pereche atașată.

Dependența momentului principal de alegerea centrului de reducere. Momentul principal relativ la noul centru de reducere este egal cu suma geometrică a momentului principal relativ la vechiul centru de reducere și produsul vectorial al vectorului rază care leagă noul centru de reducere cu cel vechi și vectorul principal.

29 Cazuri speciale de reducere a sistemului spațial de forțe

	Valorile vectorului principal și ale momentului principal	Rezultatul turnării
		Sistemul de forțe se reduce la o pereche de forțe, al căror moment este egal cu momentul principal (momentul principal al sistemului de forțe nu depinde de alegerea centrului de reducere O).
		Sistemul de forțe se reduce la o rezultantă egală cu trecerea prin centrul O.
		Sistemul de forțe este redus la o rezultantă egală cu vectorul principal și paralelă cu acesta și separată de acesta la distanță. Poziția liniei de acțiune a rezultantei trebuie să fie astfel încât direcția momentului său relativ la centrul de reducere O să coincidă cu direcția relativă la centrul O.
	, iar vectorii nu sunt perpendiculari	Sistemul de forțe este redus la un dinam (șurub de putere) - o combinație între o forță și o pereche de forțe situate într-un plan perpendicular pe această forță.
		Sistemul de forțe aplicate unui corp rigid este echilibrat.

30. Reducerea la dinamism.În mecanică, un dinam este un astfel de set de forțe și o pereche de forțe () care acționează asupra unui corp rigid, în care forța este perpendiculară pe planul de acțiune al perechii de forțe. Folosind momentul vectorial al unui cuplu de forțe, se poate defini și un dinam ca o combinație a unei forțe și a unui cuplu a cărui forță este paralelă cu momentul vectorial al unui cuplu de forțe.

Ecuația axei elicoidale centrale Să presupunem că în centrul de reducere, luat ca origine, se obține vectorul principal cu proiecții pe axele de coordonate și momentul principal cu proiecții.Când sistemul de forțe este adus în centrul de reducere O 1 (Fig. 30) , se obține un dinam cu vectorul principal și momentul principal , Vectori și ca formând un linam. sunt paralele și deci pot diferi doar printr-un factor scalar k 0. Avem, deoarece .Momentele principale și , satisfac relația

Studiul proprietăților unei perechi de forțe, care este unul dintre elementele de bază ale staticii, necesită introducerea unui concept important al momentului de forță relativ la un punct.

Fie ca o forță să fie aplicată corpului în punctul A (Fig. 89). Alegem orice punct din spațiul O (de obicei, originea coordonatelor este aleasă ca acest punct) și desenăm din el vectorul rază care merge la punctul de aplicare a acestei forțe.

Momentul vectorial de forță relativ la punctul O se numește vector liber, determinat de produsul încrucișat de

Denotând-o prin avem

Vectorul modulo este egal cu dublul aria unui triunghi construit pe vectori și vectorul este îndreptat perpendicular pe planul definit de vectori, astfel încât dacă priviți acest plan de la capătul său, atunci forța va tinde să se rotească corpul în jurul punctului O în sens invers acelor de ceasornic. De obicei, un vector este considerat a fi atașat la un punct. Dacă forța este diferită de zero, atunci momentul vectorial este zero numai dacă punctul O se află pe linia de acțiune a forței. În sistemul SI de unități, dimensiunea momentului de forță relativ la un punct este

Din definiția momentului vectorial rezultă că acesta nu se modifică dacă forța este deplasată de-a lungul liniei de acțiune a acesteia. Într-adevăr, în acest caz, planul definit de vectori nu își schimbă

locația în spațiu, iar aria triunghiului construit pe acești vectori nu se modifică (Fig. 89).

Din această proprietate rezultă că conceptul de moment al unui vector în raport cu un punct este strâns legat de conceptul de vector de alunecare.

Momentul algebric al forței

Dacă se consideră un sistem plan de forțe sau forțe situate în același plan, atunci este recomandabil să se introducă conceptul de moment algebric al forței.

Modulul momentului vectorial, așa cum este indicat, este egal cu dublul aria unui triunghi construit pe vectori Dacă unghiul dintre vectori este a, atunci

Dar munca

este lungimea perpendicularei de la punctul O la linia de acțiune a forței. Valoarea se numeste umarul fortei fata de punctul O. Sa o plasam in planul definit de vectori si axele de coordonate, in timp ce axa z va fi situata perpendicular pe acest plan (Fig. 90). Momentul algebric al forței este produsul dintre umărul forței și modulul forței

Semnul momentului algebric va fi plus dacă, pentru un observator situat de-a lungul axei z pozitive, forța tinde să se rotească în jurul punctului O în sens invers acelor de ceasornic. În caz contrar, semnul momentului algebric va fi negativ.

Moment de forță în jurul axei

Conceptul de moment al forței despre un punct este strâns legat de conceptul de moment al forței despre o axă.

Momentul de forță în jurul unei axe este proiecția momentului de forță în jurul unui punct arbitrar de pe axă pe axă.

Pentru ca această definiție să aibă sens, este necesar să se demonstreze că proiecțiile pe axa momentelor de forță față de două puncte arbitrare de pe axă sunt egale.

Pentru a demonstra acest lucru, să desenăm un plan perpendicular pe axă (Fig. 91) și să proiectăm un vector pe acest plan.

Se notează cu a unghiul format de vector cu axa.Atunci momentul vectorului în raport cu axa este determinat de formula:

Prin urmare, deoarece valoarea nu depinde de poziția punctului O pe axă (Fig. 92), atunci

Formula care determină momentul axial vă permite să stabiliți o regulă geometrică pentru calcularea acestuia. Această regulă este următoarea: desenați un plan perpendicular pe axă, proiectați un vector pe acesta

Aria dublă a triunghiului format de această proiecție și punctul de intersecție a axei cu planul determină mărimea momentului axial.

Semnul momentului va fi pozitiv dacă, pentru un observator situat de-a lungul direcției pozitive a axei, proiecția vectorului tinde să se rotească în jurul punctului de intersecție al axei cu planul în sens invers acelor de ceasornic; dacă proiecția tinde să se rotească în sensul acelor de ceasornic, atunci semnul momentului va fi negativ.

Formule pentru determinarea momentelor prin proiecții

Ca punct O, relativ la care se calculează momentul vectorului de alunecare, se alege de obicei originea coordonatelor. Apoi momentul forței va fi aplicat la originea coordonatelor și proiecțiile sale pe axă vor fi momentele axiale corespunzătoare. Din definiția și regula geometrică de calcul a momentului axial rezultă că acesta va fi egal cu zero dacă vectorul este paralel cu axa, sau linia lui de acțiune intersectează axa. Dacă forța este dată de proiecțiile ei și sunt cunoscute proiecțiile vectorului rază care definește punctul de aplicare al forței (sau pur și simplu coordonatele acestui punct), atunci momentul vectorului relativ la punctul O și momentele

relativ la axele de coordonate, după cum urmează din cea precedentă, sunt determinate de formula:

Momentul unei perechi de forțe

Momentul forței relativ la un punct (centru) este un vector egal numeric cu produsul dintre modulul forței și brațul, i.e. cea mai scurtă distanță de la punctul specificat până la linia de acțiune a forței și direcționată perpendicular pe planul care trece prin punctul ales și linia de acțiune a forței în direcția din care „rotația” efectuată de forța în jurul valorii punctul pare să apară în sens invers acelor de ceasornic. Momentul forței îi caracterizează acțiunea de rotație.

În cazul în care un O- punctul relativ la care se afla momentul fortei F, atunci momentul forței este notat prin simbol L o (F). Să arătăm că dacă punctul de aplicare al forţei F determinat de vectorul rază r, apoi relația

M o (F)=r×F. (3.6)

Conform acestui raport momentul forței este egal cu produsul vectorial al vectorului r la vectorul F.

Într-adevăr, modulul produsului încrucișat este

M o ( F)=RF păcat= Fh, (3.7)

Unde h- brațul forței. Rețineți, de asemenea, că vectorul L o (F)îndreptată perpendicular pe planul care trece prin vectori rși F, în direcția din care este cea mai scurtă tură a vectorului r pe direcția vectorului F pare a fi în sens invers acelor de ceasornic. Astfel, formula (3.6) determină complet modulul și direcția momentului de forță F.

Uneori este util să scrieți formula (3.7) în forma

M o ( F)=2S, (3.8)

Unde S- aria unui triunghi OAB.

Lasa X, y, z sunt coordonatele punctului de aplicare a forței și Fx, Fy, Fz sunt proiecțiile forțelor pe axele de coordonate. Atunci dacă punctul O situat la origine, momentul forței se exprimă după cum urmează:

Rezultă că proiecțiile momentului de forță pe axele de coordonate sunt determinate de formulele:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Să introducem acum conceptul de proiecție a unei forțe pe un plan.

Fie ca putere să fie dată F si ceva avion. Să aruncăm perpendiculare pe acest plan de la începutul și sfârșitul vectorului forță.

Proiecția forței pe un plan numit vector , al căror început și sfârșit coincid cu proiecția începutului și proiecția sfârșitului forței pe acest plan.

Dacă luăm avionul ca plan considerat hoy, apoi proiecția forței F pe acest plan va exista un vector Fhu.

Moment de putere Fhu relativ la punct O(punctele de intersecție ale axei z cu avionul hoy) poate fi calculată prin formula (3.9) dacă luăm z=0, Fz=0. obține

MO(Fhu)=(xF y -yF x)k.

Astfel, momentul este direcționat de-a lungul axei z, și proiecția sa pe axă z coincide exact cu proiecția pe aceeași axă a momentului de forță F relativ la punct O. Cu alte cuvinte,

M Oz(F)=M Oz(Fhu)= xF y -yF x. (3.11)

Evident, același rezultat poate fi obținut prin proiectarea forței F la orice alt plan paralel cu hoy. În acest caz, punctul de intersecție al axei z cu planul va fi diferit (notăm noul punct de intersecție prin O unu). Cu toate acestea, toate cantitățile din partea dreaptă a egalității (3.11) X, la, F x, F rămân neschimbate și, prin urmare, putem scrie

M Oz(F)=M O 1 z ( Fhu).

Cu alte cuvinte, proiecția momentului de forță în jurul unui punct de pe axa care trece prin acest punct nu depinde de alegerea unui punct de pe axă . Prin urmare, în cele ce urmează, în locul simbolului M Oz(F) vom folosi simbolul Mz(F). Acest moment se numește proiecția moment de forță în jurul axei z. Calculul momentului unei forțe în jurul unei axe se face adesea mai convenabil prin proiecția forței. F pe un plan perpendicular pe axă și calculând cantitatea Mz(Fhu).

Conform formulei (3.7) și ținând cont de semnul proiecției, obținem:

Mz(F)=Mz(Fhu)=± F xy h*. (3.12)

Aici h*- brațul forței Fhu relativ la punct O. Dacă observatorul vede din partea direcției pozitive a axei z, că forța Fhu tinde să rotească corpul în jurul unei axe zîn sens invers acelor de ceasornic, apoi se ia semnul „+”, iar în caz contrar - semnul „-”.

Formula (3.12) face posibilă formularea următoarei reguli pentru calcularea momentului de forță în jurul axei. Pentru asta ai nevoie de:

selectați un punct arbitrar pe axă și construiți un plan perpendicular pe axă;

proiectează o forță pe acest plan;

Determinați brațul de proiecție al forței h*.

Momentul forței în jurul axei este egal cu produsul modulului proiecției forței pe umărul acesteia, luat cu semnul corespunzător (vezi regula de mai sus).

Din formula (3.12) rezultă că momentul forței în jurul axei este zero în două cazuri:

· când proiecția forței pe un plan perpendicular pe axă este egală cu zero, adică. când forța și axa sunt paralele ;

când proiecția umărului h* este egal cu zero, adică când linia de acțiune traversează axa .

Ambele cazuri pot fi combinate într-unul singur: momentul forței în jurul axei este zero dacă și numai dacă linia de acțiune a forței și axa sunt în același plan .

Sarcina 3.1. Calculați relativ la un punct O moment de putere F aplicat la obiect DARși o față îndreptată în diagonală a unui cub cu latură A.

La rezolvarea unor astfel de probleme, este indicat să calculați mai întâi momentele de forță F raportat la axele de coordonate X, y, z. Coordonatele punctului DAR aplicarea forței F voi

Proiecții de forță F pe axele de coordonate:

Înlocuind aceste valori în egalități (3.10), găsim

, , .

Aceleași expresii pentru momentele de forță F raportat la axele de coordonate se poate obține folosind formula (3.12). Pentru a face acest lucru, proiectăm o forță F pe un plan perpendicular pe ax Xși la. Este evident că . Aplicând regula de mai sus, obținem, așa cum era de așteptat, aceleași expresii:

, , .

Modulul momentului este determinat de egalitate

.

Să introducem acum conceptul de moment al unei perechi. Să aflăm mai întâi care este suma momentelor forțelor care alcătuiesc perechea, raportată la un punct arbitrar. Lasa O este un punct arbitrar în spațiu și Fși F"- forţe care alcătuiesc un cuplu.

Apoi M o (F)= OA × F, M o (F") = OV × F",

Mo (F) + Mo (F ") = OA × F+ OV × F",

dar de atunci F= -F", apoi

Mo (F) + Mo (F ") = OA × F- OV × F=(OA-OV)× F.

Tinand cont de egalitate OA-OV=VA , găsim în sfârșit:

Mo (F) + Mo (F ") = VA × F.

Prin urmare, suma momentelor forțelor care alcătuiesc perechea nu depinde de poziția punctului față de care sunt luate momentele .

produs vectorial VA × Fși a sunat moment de pereche . Momentul perechii este notat prin simbol M(F, F"), și

M(F, F")=VA × F= AB × F",

sau, pe scurt,

M=VA × F= AB × F". (3.13)

Având în vedere partea dreaptă a acestei egalități, observăm că momentul unei perechi este un vector perpendicular pe planul perechii, egal în valoare absolută cu produsul dintre modulul uneia dintre forțele perechii și brațul perechii (adică cea mai scurtă distanță dintre liniile de acțiunea forțelor care alcătuiesc perechea) și îndreptate în direcția din care se vede că „rotația” perechii are loc în sens invers acelor de ceasornic. . În cazul în care un h este umărul perechii, atunci M(F, F")=h×F.

Din definiția însăși se poate observa că momentul unei perechi de forțe este un vector liber, a cărui linie de acțiune nu este definită (justificare suplimentară pentru această remarcă rezultă din Teoremele 2 și 3 din acest capitol).

Pentru ca o pereche de forțe să formeze un sistem echilibrat (un sistem de forțe echivalent cu zero), este necesar și suficient ca momentul perechii să fie egal cu zero. Într-adevăr, dacă momentul perechii este zero, M=h×F, atunci fie F=0, adică nicio putere, sau umărul unui cuplu h este egal cu zero. Dar în acest caz, forțele cuplului vor acționa într-o linie dreaptă; întrucât sunt egale în valoare absolută și direcționate în direcții opuse, atunci, pe baza axiomei 1, vor constitui un sistem echilibrat. În schimb, dacă două forțe F1și F2, care alcătuiesc o pereche, sunt echilibrate, apoi, pe baza aceleiași axiome 1, acţionează de-a lungul unei linii drepte. Dar, în acest caz, pârghia perechii h este egal cu zero și, prin urmare M=h×F=0.

Teoreme de perechi

Să demonstrăm trei teoreme prin care transformările echivalente de perechi devin posibile. În toate considerentele, trebuie amintit că se referă la perechi care acționează asupra oricărui corp solid.

Teorema 1. Două perechi situate în același plan pot fi înlocuite cu o pereche situată în același plan cu un moment egal cu suma momentelor celor două perechi date.

Pentru a demonstra această teoremă, luăm în considerare două perechi ( F1,F" 1) și ( F2,F" 2) și transferă punctele de aplicare a tuturor forțelor de-a lungul liniilor de acțiune a acestora către puncte DARși LA respectiv. Adunând forțele conform axiomei 3, obținem

R=F1+F2și R"=F" 1+F" 2,

dar F1=-F" 1și F2=-F" 2.

Prin urmare, R=-R", adică putere Rși R" formează un cuplu. Să găsim momentul acestei perechi folosind formula (3.13):

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F1+F2)=VA× F1+VA× F2. (3.14)

Atunci când forțele care alcătuiesc perechea sunt transferate de-a lungul liniilor de acțiune a acestora, nici brațul și nici sensul de rotație al perechilor nu se modifică, prin urmare, nici momentul perechii nu se modifică. Mijloace,

VA × F 1 \u003d M(F1,F" 1)=M 1, VA× F 2 \u003d M(F2,F" 2)=M 2

iar formula (3.14) ia forma

M \u003d M 1 + M 2, (3.15)

ceea ce demonstrează validitatea teoremei de mai sus.

Să facem două observații asupra acestei teoreme.

1. Liniile de acţiune ale forţelor care alcătuiesc perechile se pot dovedi a fi paralele. Teorema rămâne valabilă și în acest caz, dar pentru a o demonstra, ar trebui să folosim regula adunării forțelor paralele.

2. După adăugare, se poate dovedi că M(R, R")=0; Pe baza observației făcute mai devreme, aceasta implică faptul că mulțimea celor două perechi ( F1,F" 1, F2,F" 2)=0.

Teorema 2. Două perechi cu momente egale din punct de vedere geometric sunt echivalente.

Lasă corpul în avion eu un cuplu ( F1,F" 1) cu moment M 1. Să arătăm că această pereche poate fi înlocuită cu alta cu perechea ( F2,F" 2) situat în avion II, chiar dacă este momentul M 2 egală M 1(conform definiției (vezi 1.1) aceasta va însemna că perechile ( F1,F" 1) și ( F2,F" 2) sunt echivalente). În primul rând, observăm că avioanele euși II trebuie să fie paralele, în special pot coincide. Într-adevăr, din paralelismul momentelor M 1și M 2(în cazul nostru M 1=M 2) rezultă că planurile de acţiune ale perechilor, perpendiculare pe momente, sunt şi ele paralele.

Să introducem o nouă pereche ( F3,F" 3) și aplicați-l împreună cu perechea ( F2,F" 2) la corp, plasând ambele perechi în plan II. Pentru a face acest lucru, conform Axiomei 2, trebuie să alegem o pereche ( F3,F" 3) cu moment M 3 astfel încât sistemul aplicat de forțe ( F2,F" 2, F3,F" 3) a fost echilibrat. Acest lucru se poate face, de exemplu, după cum urmează: setăm F3=-F" 1și F" 3 =-F1și să combinăm punctele de aplicare a acestor forțe cu proiecțiile DAR 1 și LA 1 puncte DARși LA spre avion II. Conform construcției, vom avea: M 3 \u003d -M 1 sau având în vedere că M1 = M2,

M2 + M3 = 0.

Ținând cont de a doua remarcă la teorema anterioară, obținem ( F2,F" 2, F3,F" 3)=0. Deci perechile ( F2,F" 2) și ( F3,F" 3) sunt echilibrate reciproc și atașarea lor de corp nu încalcă starea acestuia (axioma 2), astfel încât

(F1,F" 1)= (F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F" 3). (3.16)

Pe de altă parte, forțe F1și F3, precum și F" 1și F" 3 pot fi adăugate după regula adunării forțelor paralele îndreptate într-o singură direcție. Modulo, toate aceste forțe sunt egale între ele, deci rezultanta lor Rși R" trebuie aplicat în punctul de intersecție al diagonalelor dreptunghiului ABB 1 DAR unu ; în plus, ele sunt egale în valoare absolută și direcționate în direcții opuse. Aceasta înseamnă că ele constituie un sistem echivalent cu zero. Asa de,

(F1,F" 1, F3,F" 3)=(R, R")=0.

Acum putem scrie

(F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F" 3)=(F3,F" 3). (3.17)

Comparând relațiile (3.16) și (3.17), obținem ( F1,F" 1)=(F2,F" 2), ceea ce urma să fie dovedit.

Din această teoremă rezultă că o pereche de forțe poate fi deplasată în planul acțiunii sale, transferate pe un plan paralel; în cele din urmă, într-o pereche, puteți schimba forțele și umărul în același timp, reținând doar direcția de rotație a perechii și modulul impulsului acesteia ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

În cele ce urmează, vom folosi pe scară largă astfel de transformări echivalente ale unei perechi.

Teorema 3. Două perechi situate în planuri care se intersectează sunt echivalente cu o pereche al cărei moment este egal cu suma momentelor celor două perechi date.

Lasă cuplurile ( F1,F" 1) și ( F2,F" 2) sunt situate în planuri care se intersectează euși II respectiv. Folosind corolarul teoremei 2, reducem ambele perechi la umăr AB situat pe linia de intersecție a planurilor euși II. Notăm perechile transformate prin ( Î1,Q" 1) și ( Q2,Q" 2). În acest caz, egalitățile

M1 =M(Î1,Q" 1)=M(F1,F" 1) și M2 =M(Q2,Q" 2)=M(F2,F" 2).

Să adunăm conform axiomei 3 forțele aplicate în puncte DARși LA respectiv. Apoi primim R \u003d Q 1 + Q 2și R"= Q" 1 +Q" 2. Dat fiind Q" 1 \u003d -Q 1și Q" 2 \u003d -Q 2, primim R=-R". Astfel, am demonstrat că sistemul a două perechi este echivalent cu o pereche ( R,R").

Să găsim un moment M acest cuplu. Pe baza formulei (3.13), avem

M(R,R")=VA× (Q1+Q2)=VA× Q1+ VA× Q2=

=M(Î1,Q" 1)+M(Q2,Q" 2)=M(F1,F" 1)+M(F2,F" 2)

M \u003d M 1 + M 2,

acestea. teorema este demonstrată.

Rețineți că rezultatul obținut este valabil și pentru perechile aflate în planuri paralele. Prin Teorema 2, astfel de perechi pot fi reduse la un singur plan, iar prin Teorema 1, ele pot fi înlocuite cu o singură pereche al cărei moment este egal cu suma momentelor perechilor componente.

Teoremele perechilor demonstrate mai sus conduc la o concluzie importantă: momentul perechii este un vector liber și determină complet acțiunea perechii asupra unui corp absolut rigid . Într-adevăr, am demonstrat deja că, dacă două perechi au aceleași momente (și prin urmare se află în același plan sau în plane paralele), atunci ele sunt echivalente între ele (Teorema 2). Pe de altă parte, două perechi situate în planuri care se intersectează nu pot fi echivalente, deoarece aceasta ar însemna că una dintre ele și perechea opusă celeilalte sunt echivalente cu zero, ceea ce este imposibil, deoarece suma momentelor unor astfel de perechi este diferită. de la zero.

Astfel, conceptul introdus de moment al unui cuplu este extrem de util, deoarece reflectă complet acțiunea mecanică a unui cuplu asupra unui corp. În acest sens, putem spune că momentul reprezintă în mod exhaustiv acţiunea unei perechi asupra unui corp rigid.

Pentru corpurile deformabile, teoria perechilor de mai sus nu este aplicabilă. Două perechi opuse, care acționează, de exemplu, asupra capetelor tijei, sunt echivalente cu zero din punctul de vedere al staticii unui corp rigid. Între timp, acțiunea lor asupra tijei deformabile provoacă torsiunea acesteia și cu atât mai mult, cu atât modulele momentelor sunt mai mari.

Să trecem la rezolvarea primei și a doua probleme de statică, când asupra corpului acționează doar perechi de forțe.