Spațiu vectorial. Exemple și cele mai simple proprietăți ale spațiilor vectoriale Dependența liniară și independența unui sistem de vectori Baza și rangul unui sistem finit de vectori.

Spațiul liniar sau vectorial L(P) peste câmpul P este o mulțime L nevidă pe care se introduc operațiile:

1. adiție, adică fiecărei perechi de elemente ale mulțimii i se atribuie un element din aceeași mulțime, notat cu x + yϵL

2. înmulțirea cu un scalar (adică un element al câmpului P), adică orice element λ ϵ P și orice element x ϵ L sunt asociate unui singur element din L(P), notat cu λx ϵ L( P).

În acest caz, se impun următoarele condiții operațiunilor:

1. X+ y= y+ x, pentru orice x,y ϵ L.

2.X+ (y + z) = (x + y) + z, x, y, z ϵ L. (asociativitatea contracției)

3.există așa θ ϵ L, care X+ θ =x pentru orice x ϵ L (existența unui element neutru în raport cu adăugarea), în special, nu este gol;

4. pentru orice x ϵ L există un element -x ϵ L astfel încât X+(-x)= θ (existența elementului opus față de adunare).

5.(αβ)х=α(βх), (asociativitatea înmulțirii cu un scalar)

6.1*x=x (unitate: înmulțirea cu un element neutru (prin multiplicare) al câmpului P păstrează vectorul).

7.(α+ β)* x= α* x+ β*x, (distributivitatea înmulțirii cu un vector în raport cu adăugarea scalarilor);

8. α * (x + y) = α*x+ α *y, (distributivitatea înmulțirii cu un scalar în raport cu adunarea vectorială).

Elementele mulțimii L se numesc vectori, iar elementele câmpului P se numesc scalari. Proprietățile 1-4 coincid cu axiomele grupului abelian.

Cei mai simpli sfinți:

1. Un spațiu vectorial este un grup abelian prin adunare.

2. Pentru orice x ϵ L, elementul opus -x ϵ L este singurul

3. 0*X=θ, pentru orice x ϵ L

4. 1*(-x)=-x pentru oricine x ϵ L

5.α * θ = θ ,pentru orice αϵ L

Un exemplu de VP yav-Xia m \ în matrici cu componente reale de acelaşi ordin cu o definiţie firească a operaţiilor de adunare şi înmulţire. Matrici pe număr de substanță

Dependență liniară \ (nu) un sistem de vectori (definiții, proprietăți)

Teorema. (O condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară a unui sistem de vectori.)

Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial este dependent liniar dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai acestui sistem.

Dovada. Nevoie. Fie sistemul e 1 ..e n dependent liniar. Apoi, prin definiție, reprezintă vectorul nul într-un mod netrivial, i.e. există o combinație liniară netrivială a acestui sistem de vectori egală cu vectorul zero:

α 1 e 1 +..+ α n e n =0, unde cel puțin unul dintre coeficienții acestei combinații liniare nu este egal cu zero. Fie α k ≠0 ,kϵ 1,2…n Împărțiți ambele părți ale egalității anterioare la acest coeficient diferit de zero (adică înmulțiți cu α k -1 *(α 1 e 1 +..+ αa n e n) =0

Notam: α k -1 α m =β m unde mϵ 1,2…,k-1,k+1,..,n Atunci β 1 e 1+ … +β 1 e n =0 i.e. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem etc.

Adecvarea. Fie ca unul dintre vectorii sistemului să fie exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem: e k =γ 1 e 1+..+ γ n e n

Deoarece coeficientul la vectorul e k este egal cu -1≠0, atunci avem o reprezentare netrivială a zero printr-un sistem de vectori e 1 ..e n ceea ce înseamnă că acest sistem de vectori este dependent liniar etc.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă.

1. Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.

2. Un sistem de vectori care conțin un vector zero sau doi vectori egali este dependent liniar.

Consecinţă.

Un sistem format dintr-un singur vector este liniar independent dacă și numai dacă acest vector este diferit de zero.

Baza - un set de vectori dintr-un spațiu vectorial astfel încât orice vector al acestui spațiu poate fi singura cale reprezentată ca o combinație liniară de vectori din această mulțime - vectori de bază.

Numărul de vectori incluși în orice subsistem independent liniar maxim al unui sistem dat de vectori se numește rang sisteme.

Teorema. Să fie date două sisteme P- vectori dimensionali:

A 1 ,A 2,¼, A r (9)

b 1 ,b 2,¼, bs, (10)

nu neapărat independent liniar, iar rangul sistemului (9) este egal cu numărul k, rangul sistemului (10) este numărul l. Dacă primul sistem este exprimat liniar în termenii celui de-al doilea, atunci k £ l. Dacă acestea sistemele sunt echivalente, apoi k = l.

Numărul de elemente (cardinalitate) al submulțimii maxime liniar independentă a spațiului nu depinde de alegerea acestei submulțimi și se numește rangul, sau dimensiunea spațiului, iar această submulțime în sine se numește bază.

În acest articol, vom acoperi:

• ce sunt vectorii coliniari;
• care sunt condițiile pentru vectorii coliniari;
• care sunt proprietățile vectorilor coliniari;
• care este dependența liniară a vectorilor coliniari.

Definiția 1

Vectorii coliniari sunt vectori care sunt paraleli cu aceeași linie sau se află pe aceeași linie.

Exemplul 1

Condiții pentru vectorii coliniari

Doi vectori sunt coliniari dacă oricare dintre următoarele condiții este adevărată:

• starea 1 . Vectorii a și b sunt coliniari dacă există un număr λ astfel încât a = λ b ;
• starea 2 . Vectorii a și b sunt coliniari cu un raport egal de coordonate:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• starea 3 . Vectorii a și b sunt coliniari cu condiția ca produsul vectorial și vectorul zero să fie egali:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Observație 1

Condiția 2 nu se aplică dacă una dintre coordonatele vectoriale este zero.

Observația 2

Condiția 3 aplicabil numai acelor vectori care sunt dați în spațiu.

Exemple de probleme pentru studiul coliniarității vectorilor

Exemplul 1

Examinăm vectorii a \u003d (1; 3) și b \u003d (2; 1) pentru coliniaritate.

Cum să decizi?

În acest caz, este necesar să se folosească a doua condiție de coliniaritate. Pentru vectori dați, arată astfel:

Egalitatea este greșită. Din aceasta putem concluziona că vectorii a și b sunt necoliniari.

Răspuns : a | | b

Exemplul 2

Ce valoare m a vectorului a = (1 ; 2) și b = (- 1 ; m) este necesară pentru ca vectorii să fie coliniari?

Cum să decizi?

Folosind a doua condiție coliniară, vectorii vor fi coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale:

Aceasta arată că m = - 2 .

Răspuns: m = - 2 .

Criterii de dependență liniară și independență liniară a sistemelor de vectori

Teorema

Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial este dependent liniar numai dacă unul dintre vectorii sistemului poate fi exprimat în termeni de restul vectorilor sistemului.

Dovada

Fie sistemul e 1 , e 2 , . . . , e n este dependent liniar. Să scriem combinație liniară al acestui sistem egal cu vectorul zero:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

în care cel puţin unul dintre coeficienţii combinaţiei nu este egal cu zero.

Fie a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Împărțim ambele părți ale egalității cu un coeficient diferit de zero:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Denota:

A k - 1 a m , unde m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

În acest caz:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

sau e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Rezultă că unul dintre vectorii sistemului este exprimat în termenii tuturor celorlalți vectori ai sistemului. Ceea ce se cerea să fie dovedit (p.t.d.).

Adecvarea

Fie ca unul dintre vectori să fie exprimat liniar în termenii tuturor celorlalți vectori ai sistemului:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Transferăm vectorul e k în partea dreaptă a acestei egalități:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Deoarece coeficientul vectorului e k este egal cu - 1 ≠ 0 , obținem o reprezentare netrivială a zero printr-un sistem de vectori e 1 , e 2 , . . . , e n , iar aceasta, la rândul său, înseamnă că acest sistem vectorii este dependent liniar. Ceea ce se cerea să fie dovedit (p.t.d.).

Consecinţă:

• Un sistem de vectori este liniar independent atunci când niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat în termenii tuturor celorlalți vectori ai sistemului.
• Un sistem vectorial care conține un vector nul sau doi vectori egali este dependent liniar.

Proprietăți ale vectorilor liniar dependenți

1. Pentru vectorii 2- și 3-dimensionali, condiția este îndeplinită: doi vectori dependenți liniar sunt coliniari. Doi vectori coliniari sunt dependenți liniar.
2. Pentru vectorii tridimensionali este îndeplinită condiția: trei liniare vectori dependenți- coplanare. (3 vectori coplanari - dependenti liniar).
3. Pentru vectorii n-dimensionali este îndeplinită condiția: n + 1 vectori sunt întotdeauna dependenți liniar.

Exemple de rezolvare a problemelor pentru dependența liniară sau independența liniară a vectorilor

Exemplul 3

Să verificăm vectorii a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 pentru independență liniară.

Decizie. Vectorii sunt dependenți liniar deoarece dimensiunea vectorilor este mai mică decât numărul de vectori.

Exemplul 4

Să verificăm vectorii a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 pentru independența liniară.

Decizie. Găsim valorile coeficienților la care combinația liniară va fi egală cu vectorul zero:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Scriem ecuația vectorială sub forma uneia liniare:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Rezolvăm acest sistem folosind metoda Gauss:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Din a 2-a linie scădem prima, din a 3-a - prima:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Scădeți al 2-lea din prima linie, adăugați al 2-lea la a 3-a:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Din soluție rezultă că sistemul are multe soluții. Aceasta înseamnă că există o combinație diferită de zero a valorilor unor astfel de numere x 1 , x 2 , x 3 pentru care combinația liniară a , b , c este egală cu vectorul zero. Prin urmare, vectorii a , b , c sunt dependent liniar. ​​​​​​​

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Def. Sistem de elemente x 1 ,…,x m lin. producția V se numește dependentă liniar dacă ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) astfel încât λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ .

Def. Un sistem de elemente x 1 ,…,x m ∈ V se numește liniar independent dacă din egalitatea λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0.

Def. Un element x ∈ V se numește combinație liniară de elemente x 1 ,…,x m ∈ V dacă ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ astfel încât x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .

Teorema (criteriul dependenței liniare): Un sistem de vectori x 1 ,…,x m ∈ V este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin un vector al sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți.

Doc. Nevoie: Fie x 1 ,…,x m dependent liniar ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) astfel încât λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ m x m = θ. Să presupunem că λ m ≠ 0, atunci

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Adecvarea: Fie ca cel puțin unul dintre vectori să fie exprimat liniar în termenii celorlalți vectori: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,x m - sunt liniar independente.

Ven. condiție de dependență liniară:

Dacă sistemul conține un element zero sau un subsistem dependent liniar, atunci este dependent liniar.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – sistem liniar dependent

1) Fie x 1 = θ, atunci această egalitate este valabilă pentru λ 1 =1 și λ 1 =…= λ m =0.

2) Fie λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 un subsistem dependent liniar ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . Atunci pentru λ 1 =0 se obține și |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 este un sistem dependent liniar.

Baza unui spațiu liniar. Coordonatele vectoriale în baza dată. Coordonatele sumelor vectorilor și produsul unui vector cu un număr. Condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară a unui sistem de vectori.

Definiție: Un sistem ordonat de elemente e 1, ..., e n al unui spațiu liniar V se numește bază a acestui spațiu dacă:

A) e 1 ... e n sunt liniar independente

B) ∀ x ∈ α 1 … α n astfel încât x= α 1 e 1 +…+ α n e n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – extinderea elementului x în baza e 1, …, e n

α 1 … α n ∈ ℝ sunt coordonatele elementului x în baza e 1, …, e n

Teorema: Dacă în spațiu liniar V are o bază e 1, …, e n apoi ∀ x ∈ V coloana de coordonate x în baza e 1, …, e n este determinată în mod unic (coordonatele sunt determinate în mod unic)

Dovada: Fie x=α 1 e 1 +…+ α n e n și x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ, adică e 1, …, e n sunt liniar independente, atunci - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

Teorema: fie e 1, …, e n baza spațiului liniar V; x, y sunt elemente arbitrare ale spațiului V, λ ∈ ℝ - număr arbitrar. Când se adună x și y, se adună coordonatele lor, când x este înmulțit cu λ, coordonatele lui x sunt, de asemenea, înmulțite cu λ.

Dovada: x= (e 1, …, e n) și y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Lema 1: (condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară a unui sistem de vectori)

Fie e 1 …e n baza spațiului V. Sistemul de elemente f 1 , …, f k ∈ V este dependent liniar dacă și numai dacă coloanele de coordonate ale acestor elemente din baza e 1, …, e n sunt dependent liniar

Dovada: extinde f 1 , …, f k în baza e 1, …, e n

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] adică λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = după caz.

13. Dimensiunea unui spațiu liniar. Teoremă privind relația dintre dimensiune și bază.
Definiție: Un spațiu liniar V se numește spațiu n-dimensional dacă există n elemente liniar independente în V și un sistem de orice n + 1 elemente ale spațiului V este dependent liniar. În acest caz, n se numește dimensiunea spațiului liniar V și se notează dimV=n.

Un spațiu liniar se numește infinit-dimensional dacă ∀N ∈ ℕ în spațiul V există un sistem liniar independent care conține N elemente.

Teorema: 1) Dacă V este un spațiu liniar n-dimensional, atunci orice sistem ordonat de n elemente liniar independente ale acestui spațiu formează o bază. 2) Dacă în spațiul liniar V există o bază formată din n elemente, atunci dimensiunea lui V este egală cu n (dimV=n).

Dovada: 1) Fie dimV=n ⇒ în V ∃ n elemente liniar independente e 1, …,e n . Demonstrăm că aceste elemente formează o bază, adică demonstrăm că ∀ x ∈ V poate fi extins în termeni de e 1, …,e n . Să adăugăm x la ele: e 1, …,e n , x – acest sistem conține n+1 vectori, ceea ce înseamnă că este dependent liniar. Deoarece e 1, …,e n este liniar independentă, atunci prin teorema 2 X exprimat liniar prin e 1, …,e n i.e. ∃ ,…, astfel încât x= α 1 e 1 +…+ α n e n . Deci e 1, …,e n este baza spațiului V. 2) Fie e ​​1, …,e n baza lui V, deci există n elemente liniar independente în V ∃ n. Luați arbitrar f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 elemente. Să arătăm dependența lor liniară. Să le defalcăm în termeni de:

f m =(e 1, …,e n) = unde m = 1,…,n Să creăm o matrice de coloane de coordonate: A= Matricea conține n rânduri ⇒ RgA≤n. Numărul de coloane n+1 > n ≥ RgA ⇒ Coloanele matricei A (adică coloanele de coordonate f 1 ,…,f n ,f n +1) sunt dependente liniar. Din lema 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 sunt dependente liniar ⇒ dimV=n.

Consecinţă: Dacă orice bază conține n elemente, atunci orice altă bază a acestui spațiu conține n elemente.

Teorema 2: Dacă sistemul de vectori x 1 ,… ,x m -1 , x m este liniar dependent, iar subsistemul său x 1 ,… ,x m -1 este liniar independent, atunci x m - se exprimă liniar prin x 1 ,… ,x m -1

Dovada: pentru că x 1 ,… ,x m -1 , x m este dependent liniar, atunci ∃ , …, , ,

, …, | , | astfel încât . Dacă , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 sunt liniar independente, ceea ce nu poate fi. Deci m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

Dependența liniară și independența liniară a vectorilor.
Baza vectorilor. Sistem de coordonate afin

În public există un cărucior cu bomboane de ciocolată, iar astăzi fiecare vizitator va primi un cuplu dulce - geometrie analitică cu algebră liniară. Acest articol va acoperi două secțiuni simultan. matematica superioarași vom vedea cum se înțeleg într-un singur pachet. Ia o pauză, mănâncă Twix! ... la naiba, ei bine, argumentând prostii. Deși bine, nu voi înscrie, în final, ar trebui să existe o atitudine pozitivă de a studia.

Dependența liniară a vectorilor, independența liniară a vectorilor, baza vectoriala iar alți termeni au nu doar o interpretare geometrică, ci, mai presus de toate, un sens algebric. Însuși conceptul de „vector” din punctul de vedere al algebrei liniare nu este întotdeauna vectorul „obișnuit” pe care îl putem reprezenta într-un plan sau în spațiu. Nu trebuie să cauți departe pentru o dovadă, încearcă să desenezi un vector de spațiu cu cinci dimensiuni . Sau vectorul meteo pe care tocmai am fost la Gismeteo pentru: - temperatura si Presiunea atmosferică respectiv. Exemplul, desigur, este incorect din punctul de vedere al proprietăților spațiului vectorial, dar, cu toate acestea, nimeni nu interzice formalizarea acestor parametri ca vector. Respirația de toamnă...

Nu, nu am de gând să te încarc cu teorie, liniară spații vectoriale, sarcina este să a intelege definiții și teoreme. Termenii noi (dependență liniară, independență, combinație liniară, bază etc.) sunt aplicabili tuturor vectorilor din punct de vedere algebric, dar exemplele vor fi date geometric. Astfel, totul este simplu, accesibil și vizual. Pe lângă problemele de geometrie analitică, vom lua în considerare și câteva sarcini tipice algebră. Pentru a stăpâni materialul, este indicat să vă familiarizați cu lecțiile Vectori pentru manechineși Cum se calculează determinantul?

Dependența liniară și independența vectorilor plani.
Baza plană și sistemul de coordonate afine

Luați în considerare planul biroului computerului dvs. (doar o masă, noptieră, podea, tavan, orice doriți). Sarcina va consta din următoarele acțiuni:

1) Selectați baza avionului. În linii mari, blatul mesei are o lungime și o lățime, așa că este intuitiv clar că sunt necesari doi vectori pentru a construi baza. Un vector nu este suficient, trei vectori sunt prea mult.

2) Pe baza alese setați sistemul de coordonate(grilă de coordonate) pentru a atribui coordonate tuturor elementelor de pe tabel.

Nu fi surprins, la început explicațiile vor fi pe degete. Mai mult, pe a ta. Vă rugăm să plasați degetul arătător al mâinii stângi pe marginea mesei astfel încât să se uite la monitor. Acesta va fi un vector. Acum loc degetul mic al mâinii drepte pe marginea mesei în același mod - astfel încât să fie îndreptat către ecranul monitorului. Acesta va fi un vector. Zâmbește, arăți grozav! Ce se poate spune despre vectori? Vectori de date coliniare, care înseamnă liniar exprimate unul prin altul:
, bine, sau invers: , unde este un număr diferit de zero.

Puteți vedea o imagine a acestei acțiuni în lecție. Vectori pentru manechine, unde am explicat regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr.

Vor stabili degetele tale baza pe planul mesei computerului? Evident nu. Vectorii coliniari călătoresc înainte și înapoi singur direcție, în timp ce un avion are o lungime și o lățime.

Astfel de vectori se numesc dependent liniar.

Referinţă: Cuvintele „liniar”, „liniar” denotă faptul că în ecuațiile, expresiile matematice nu există pătrate, cuburi, alte puteri, logaritmi, sinusuri etc. Există doar expresii și dependențe liniare (gradul I).

Doi vectori plani dependent liniar dacă și numai dacă sunt coliniare.

Încrucișează-ți degetele pe masă, astfel încât să existe orice unghi între ele, cu excepția 0 sau 180 de grade. Doi vectori planiliniar nu sunt dependente dacă și numai dacă nu sunt coliniare. Deci, baza este primită. Nu trebuie să vă simțiți jenat că baza s-a dovedit a fi „oblică” cu vectori neperpendiculari de diferite lungimi. Foarte curând vom vedea că nu numai un unghi de 90 de grade este potrivit pentru construcția sa, și nu numai vectori unitari de lungime egală

Orice vector plan singura cale extins din punct de vedere al bazei:
, unde sunt numerele reale . Se numesc numere coordonate vectorialeîn această bază.

Ei spun si asta vectorprezentat sub formă combinație liniară vectori de bază. Adică expresia se numește descompunere vectorialăbază sau combinație liniară vectori de bază.

De exemplu, puteți spune că un vector este extins pe o bază ortonormală a planului sau puteți spune că este reprezentat ca o combinație liniară de vectori.

Să formulăm definiția de bază oficial: pe bază de avion este o pereche de vectori liniar independenți (necoliniari), , în care orice vectorul plan este o combinație liniară a vectorilor de bază.

Punctul esențial al definiției este faptul că vectorii sunt luați într-o anumită ordine. bazele Acestea sunt două baze complet diferite! După cum se spune, degetul mic al mâinii stângi nu poate fi mutat în locul degetului mic al mâinii drepte.

Ne-am dat seama de bază, dar nu este suficient să setați grila de coordonate și să atribuiți coordonate fiecărui element de pe biroul computerului. De ce nu suficient? Vectorii sunt liberi și rătăcesc pe întregul plan. Deci, cum atribui coordonatele acelor puncte mici murdare de tabel rămase dintr-un weekend sălbatic? Este nevoie de un punct de plecare. Și un astfel de punct de referință este un punct familiar tuturor - originea coordonatelor. Înțelegerea sistemului de coordonate:

Voi începe cu sistemul „școlar”. Deja în lecția introductivă Vectori pentru manechine Am evidențiat câteva dintre diferențele dintre un sistem de coordonate dreptunghiular și o bază ortonormală. Iată imaginea standard:

Când vorbim despre sistem de coordonate dreptunghiular, atunci cel mai adesea ele înseamnă originea coordonatelor, axele de coordonateși scala de-a lungul axelor. Încercați să introduceți „sistem de coordonate dreptunghiulare” în motorul de căutare și veți vedea că multe surse vă vor spune despre axele de coordonate familiare din clasa a 5-a-6-a și cum să trasați punctele pe un plan.

Pe de altă parte, se are impresia că un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi bine definit în termeni de bază ortonormală. Și aproape că este. Formularea sună astfel:

origine, și ortonormal set de bază Sistemul de coordonate carteziene al planului . Adică un sistem de coordonate dreptunghiular categoric este definită de un singur punct și doi vectori ortogonali unitari. De aceea, vedeți desenul pe care l-am dat mai sus - în probleme geometrice adesea (dar nu întotdeauna) desenați atât vectori, cât și axele de coordonate.

Cred că toată lumea înțelege asta cu ajutorul unui punct (origine) și a unei baze ortonormale ORICE PUNCT al planului și ORICE VECTOR al planului pot fi atribuite coordonate. Figurat vorbind, „totul din avion poate fi numerotat”.

Vectorii de coordonate trebuie să fie unitar? Nu, pot avea o lungime arbitrară diferită de zero. Luați în considerare un punct și doi vectori ortogonali lungime arbitrară diferită de zero:

O astfel de bază se numește ortogonală. Originea coordonatelor cu vectori definește grila de coordonate, iar orice punct al planului, orice vector are propriile coordonate în baza dată. De exemplu, sau. Inconvenientul evident este că vectorii de coordonate în general au lungimi diferite, altele decât unitate. Dacă lungimile sunt egale cu unu, atunci se obține baza ortonormală obișnuită.

! Notă : în baza ortogonală, și, de asemenea, mai jos în baze afine sunt luate în considerare unitățile plane și spațiale de-a lungul axelor CONDIŢIONAL. De exemplu, o unitate de-a lungul abscisei conține 4 cm, o unitate de-a lungul ordonatei conține 2 cm. Aceste informații sunt suficiente pentru a converti coordonatele „non-standard” în „centimetrii noștri obișnuiți”, dacă este necesar.

Și a doua întrebare, la care de fapt s-a răspuns deja - este unghiul dintre vectorii de bază în mod necesar egal cu 90 de grade? Nu! După cum spune definiția, vectorii de bază trebuie să fie numai necoliniare. În consecință, unghiul poate fi orice, cu excepția 0 și 180 de grade.

Un punct din avion numit origine, și necoliniare vectori, , a stabilit sistemul de coordonate afín al planului :

Uneori se numește acest sistem de coordonate oblic sistem. Punctele și vectorii sunt prezentate ca exemple în desen:

După cum înțelegeți, sistemul de coordonate afine este și mai puțin convenabil, formulele pentru lungimile vectorilor și segmentelor, pe care le-am considerat în a doua parte a lecției, nu funcționează în el. Vectori pentru manechine, multe formule delicioase legate de produsul scalar al vectorilor. Dar sunt valabile regulile de adunare a vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr, formulele de împărțire a unui segment în acest sens, precum și alte tipuri de probleme pe care le vom lua în considerare în curând.

Iar concluzia este că cel mai convenabil caz special sistem afin coordonate este un sistem dreptunghiular cartezian. Prin urmare, ea, a ei, cel mai adesea trebuie văzută. ... Cu toate acestea, totul în această viață este relativ - există multe situații în care este potrivit să aveți un oblic (sau altul, de exemplu, polar) sistem de coordonate. Da, și umanoizii astfel de sisteme pot veni la gust =)

Să trecem la partea practică. Toate problemele din această lecție sunt valabile atât pentru un sistem de coordonate dreptunghiular, cât și pentru cazul afin general. Nu este nimic complicat aici, tot materialul este disponibil chiar și unui școlar.

Cum se determină coliniaritatea vectorilor plani?

Lucru tipic. Pentru doi vectori plani sunt coliniare, este necesar și suficient ca coordonatele lor respective să fie proporționale.În esență, aceasta este o rafinare coordonată cu coordonată a relației evidente.

Exemplul 1

a) Verificați dacă vectorii sunt coliniari .
b) Vectorii formează o bază? ?

Decizie:
a) Aflați dacă există pentru vectori coeficient de proporționalitate, astfel încât egalitățile să fie îndeplinite:

Cu siguranță vă voi spune despre versiunea „foppish” a aplicării acestei reguli, care funcționează destul de bine în practică. Ideea este să întocmești imediat o proporție și să vezi dacă este corectă:

Să facem o proporție din rapoartele coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor:

Scurtăm:
, astfel coordonatele corespunzătoare sunt proporționale, prin urmare,

Relația ar putea fi făcută și invers, aceasta este o opțiune echivalentă:

Pentru autotestare, se poate folosi faptul că vectorii coliniari sunt exprimați liniar unul prin celălalt. În acest caz, există egalități . Corectitudinea lor poate fi ușor verificată prin actiuni elementare cu vectori:

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Examinăm vectorii pentru coliniaritate . Să creăm un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , din a doua ecuație rezultă că , ceea ce înseamnă, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor nu sunt proporționale.

Concluzie: vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

O versiune simplificată a soluției arată astfel:

Compuneți proporția din coordonatele corespunzătoare ale vectorilor :
, prin urmare, acești vectori sunt independenți liniar și formează o bază.

De obicei, recenzenții nu resping această opțiune, dar apare o problemă în cazurile în care unele coordonate sunt egale cu zero. Ca aceasta: . Sau cam asa: . Sau cam asa: . Cum să rezolvi proporția aici? (Serios, nu poți împărți la zero). Din acest motiv am numit soluția simplificată „foppish”.

Răspuns: a), b) formă.

Un mic exemplu creativ pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

La ce valoare a vectorilor parametri va fi coliniar?

În soluția de probă, parametrul se găsește prin proporție.

Există o modalitate algebrică elegantă de a verifica coliniaritatea vectorilor. Să ne sistematizăm cunoștințele și să le adăugăm doar ca al cincilea punct:

Pentru doi vectori plani, următoarele afirmații sunt echivalente:

2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coliniari;

+ 5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Respectiv, următoarele afirmații opuse sunt echivalente:
1) vectorii sunt dependenți liniar;
2) vectorii nu formează o bază;
3) vectorii sunt coliniari;
4) vectorii pot fi exprimați liniar unul prin altul;
+ 5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este egal cu zero.

Sper cu adevărat că în acest moment înțelegeți deja toți termenii și afirmațiile care au apărut.

Să aruncăm o privire mai atentă la noul, al cincilea punct: doi vectori plani sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:. Pentru a utiliza această caracteristică, desigur, trebuie să fii capabil găsiți determinanți.

Vom decide Exemplul 1 în al doilea mod:

a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor :
, deci acești vectori sunt coliniari.

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Să calculăm determinantul compus din coordonatele vectorilor :
, prin urmare vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

Răspuns: a), b) formă.

Pare mult mai compact și mai frumos decât soluția cu proporții.

Cu ajutorul materialului considerat, se poate stabili nu numai coliniaritatea vectorilor, ci și să se demonstreze paralelismul segmentelor, liniilor drepte. Luați în considerare câteva probleme cu forme geometrice specifice.

Exemplul 3

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că patrulaterul este un paralelogram.

Dovada: Nu este nevoie să construiți un desen în problemă, deoarece soluția va fi pur analitică. Amintiți-vă definiția paralelogramului:
Paralelogram Se numește patrulater, în care laturile opuse sunt paralele pe perechi.

Astfel, este necesar să se dovedească:
1) paralelismul laturilor opuse și;
2) paralelismul laturilor opuse și .

Demonstrăm:

1) Găsiți vectorii:

2) Găsiți vectorii:

Rezultatul este același vector („conform școlii” - vectori egali). Coliniaritatea este destul de evidentă, dar este mai bine să iei decizia corect, cu aranjamentul. Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor:
, deci acești vectori sunt coliniari și .

Concluzie: Laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele pe perechi, deci este un paralelogram prin definiție. Q.E.D.

Cifre mai bune și diferite:

Exemplul 4

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că patrulaterul este un trapez.

Pentru o formulare mai riguroasă a dovezii, este mai bine, desigur, să obțineți o definiție a unui trapez, dar este suficient doar să vă amintiți cum arată.

Aceasta este o sarcină pentru o decizie independentă. Soluție completă la sfarsitul lectiei.

Și acum este timpul să trecem încet din avion în spațiu:

Cum se determină coliniaritatea vectorilor spațiali?

Regula este foarte asemănătoare. Pentru ca doi vectori spațiali să fie coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționale cu.

Exemplul 5

Aflați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:

A) ;
b)
în)

Decizie:
a) Verificați dacă există un coeficient de proporționalitate pentru coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

Sistemul nu are soluție, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

„Simplificat” se face prin verificarea proporției. În acest caz:
– coordonatele corespunzătoare nu sunt proporționale, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

Răspuns: vectorii nu sunt coliniari.

b-c) Acestea sunt puncte pentru o decizie independentă. Încercați-l în două moduri.

Există o metodă pentru verificarea coliniarității vectorilor spațiali și printr-un determinant de ordinul trei, aceasta metoda tratate în articol Produsul încrucișat al vectorilor.

La fel ca în cazul planului, instrumentele luate în considerare pot fi folosite pentru a studia paralelismul segmentelor și liniilor spațiale.

Bun venit la a doua secțiune:

Dependența liniară și independența vectorilor spațiali tridimensionali.
Baza spațială și sistemul de coordonate afine

Multe dintre regularitățile pe care le-am luat în considerare în avion vor fi valabile și pentru spațiu. Am încercat să minimizez rezumatul teoriei, deoarece partea leului din informații a fost deja mestecată. Cu toate acestea, vă recomand să citiți cu atenție partea introductivă, deoarece vor apărea termeni și concepte noi.

Acum, în loc de planul mesei computerului, să examinăm spațiul tridimensional. În primul rând, să-i creăm baza. Cineva este acum în interior, cineva este în aer liber, dar în orice caz, nu putem scăpa de trei dimensiuni: lățime, lungime și înălțime. Prin urmare, pentru a construi o bază, trei vector spațial. Unul sau doi vectori nu sunt de ajuns, al patrulea este de prisos.

Și din nou ne încălzim pe degete. Vă rugăm să ridicați mâna și să vă întindeți în direcții diferite degetul mare, arătător și mijlociu. Aceștia vor fi vectori, arată în direcții diferite, au lungimi diferite și au unghiuri diferite între ei. Felicitări, baza spațiului tridimensional este gata! Apropo, nu trebuie să le demonstrați profesorilor acest lucru, indiferent cum vă răsuciți degetele, dar nu puteți scăpa de definiții =)

În continuare, punem o întrebare importantă, dacă oricare trei vectori formează o bază a unui spațiu tridimensional? Vă rugăm să apăsați cu trei degete ferm pe blatul mesei computerului. Ce s-a întâmplat? Trei vectori sunt localizați în același plan și, aproximativ vorbind, am pierdut una dintre măsurători - înălțimea. Astfel de vectori sunt coplanareși, destul de evident, că baza spațiului tridimensional nu este creată.

Trebuie remarcat faptul că vectorii coplanari nu trebuie să se afle în același plan, ei pot fi în plane paralele(doar nu o face cu degetele, doar Salvador Dali a iesit asa =)).

Definiție: se numesc vectorii coplanare dacă există un plan cu care sunt paralele. Aici este logic să adăugăm că dacă un astfel de plan nu există, atunci vectorii nu vor fi coplanari.

Trei vectori coplanari sunt întotdeauna dependenți liniar, adică sunt exprimate liniar unul prin celălalt. Pentru simplitate, imaginați-vă din nou că se află în același plan. În primul rând, vectorii nu sunt doar coplanari, ci pot fi și coliniari, apoi orice vector poate fi exprimat prin orice vector. În al doilea caz, dacă, de exemplu, vectorii nu sunt coliniari, atunci al treilea vector este exprimat prin ei într-un mod unic: (și de ce este ușor de ghicit din materialele din secțiunea anterioară).

Este adevărat și invers: trei vectori necoplanari sunt întotdeauna liniar independenți, adică nu sunt în niciun fel exprimate unul prin altul. Și, evident, doar astfel de vectori pot sta la baza unui spațiu tridimensional.

Definiție: Baza spațiului tridimensional se numește un triplu de vectori liniar independenți (necoplanari), luate într-o anumită ordine, în timp ce orice vector al spațiului singura cale se extinde în baza dată, unde sunt coordonatele vectorului în baza dată

Ca reamintire, puteți spune, de asemenea, că un vector este reprezentat ca combinație liniară vectori de bază.

Conceptul de sistem de coordonate este introdus exact în același mod ca și pentru carcasă plată, un punct și oricare trei liniare vectori independenți:

origine, și necoplanare vectori, luate într-o anumită ordine, a stabilit sistem de coordonate afine al spațiului tridimensional :

Desigur, grila de coordonate este „oblică” și incomodă, dar, cu toate acestea, sistemul de coordonate construit ne permite să categoric determinați coordonatele oricărui vector și coordonatele oricărui punct din spațiu. Similar cu planul, unele formule pe care le-am menționat deja nu vor funcționa în sistemul de coordonate afine al spațiului.

Cel mai familiar și convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine, după cum toată lumea poate ghici, este sistem de coordonate spațiale dreptunghiulare:

punct din spațiu numit origine, și ortonormal set de bază Sistemul de coordonate carteziene al spațiului . poza familiara:

Înainte de a trece la sarcinile practice, sistematizăm din nou informațiile:

Pentru trei vectori spațiali, următoarele afirmații sunt echivalente:
1) vectorii sunt liniar independenți;
2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coplanari;
4) vectorii nu pot fi exprimați liniar unul prin altul;
5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Afirmațiile opuse, cred, sunt de înțeles.

Dependența liniară/independența vectorilor spațiali este în mod tradițional verificată folosind determinantul (articolul 5). Sarcinile practice rămase vor fi de natură algebrică pronunțată. Este timpul să atârnați un băț geometric pe un cui și să mânuiți o bâtă de baseball algebră liniară:

Trei vectori spațiali sunt coplanare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero: .

Vă atrag atenția asupra unei mici nuanțe tehnice: coordonatele vectorilor pot fi scrise nu numai în coloane, ci și în rânduri (valoarea determinantului nu se va schimba de aici - vedeți proprietățile determinanților). Dar este mult mai bine în coloane, deoarece este mai benefic pentru rezolvarea unor probleme practice.

Pentru acei cititori care au uitat puțin metodele de calculare a determinanților, sau poate că sunt deloc prost orientați, recomand una dintre cele mai vechi lecții ale mele: Cum se calculează determinantul?

Exemplul 6

Verificați dacă următorii vectori formează baza unui spațiu tridimensional:

Decizie: De fapt, întreaga soluție se rezumă la calcularea determinantului.

a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor (determinantul este extins pe prima linie):

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar (nu coplanari) și formează baza unui spațiu tridimensional.

Răspuns: acești vectori formează baza

b) Acesta este un punct de decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Există și sarcini creative:

Exemplul 7

La ce valoare a parametrului vor fi vectorii coplanari?

Decizie: Vectorii sunt coplanari dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:

În esență, este necesar să se rezolve o ecuație cu un determinant. Zburăm în zerouri ca zmeele în jerboas - cel mai profitabil este să deschidem determinantul în a doua linie și să scăpăm imediat de minusuri:

Efectuăm simplificări suplimentare și reducem problema la cel mai simplu ecuație liniară:

Răspuns: la

Este ușor să verificați aici, pentru aceasta trebuie să înlocuiți valoarea rezultată în determinantul inițial și să vă asigurați că prin redeschiderea acestuia.

În concluzie, să luăm în considerare o altă problemă tipică, care este mai mult de natură algebrică și este inclusă în mod tradițional în cursul algebrei liniare. Este atât de comun încât merită un subiect separat:

Demonstrați că 3 vectori formează baza unui spațiu tridimensional
și găsiți coordonatele celui de-al 4-lea vector în baza dată

Exemplul 8

Se dau vectori. Arătați că vectorii formează o bază a spațiului tridimensional și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Decizie: Să ne ocupăm mai întâi de condiție. După condiție, sunt dați patru vectori și, după cum puteți vedea, ei au deja coordonate într-o anumită bază. Care este baza - nu ne interesează. Și următorul lucru este de interes: trei vectori pot forma o nouă bază. Și primul pas este complet același cu soluția din Exemplul 6, este necesar să se verifice dacă vectorii sunt într-adevăr independenți liniar:

Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor:

, prin urmare vectorii sunt independenți liniar și formează o bază a unui spațiu tridimensional.

! Important : coordonate vectoriale neapărat scrie în coloane determinant, nu șiruri. În caz contrar, va exista confuzie în algoritmul de soluție ulterioară.

Definiție 18.2 Sistem de funcțiif, ..., f pnumitli-nape o h a în și c și m. o d în decalaj(A, (3) dacă unele netriviale 5 combinația liniară a acestor funcții este egală cu zero pe acest interval în mod identic:

Definiție 18.3 Sistem vectorial f 1 , ..., x n se numește liniar în a și c și m o d dacă o combinație netrivială, liniară a acestor vectori este egală cu vectorul marcator:

L Pentru a evita confuziile, vom nota numărul componentei vectoriale (vector-funcție) cu indicele inferior, iar numărul vectorului însuși (dacă există mai mulți astfel de vectori) cu cel superior.

„Vă reamintim că o combinație liniară se numește non-trivială dacă nu toți coeficienții din ea sunt zero.

Definiție 18.4 Sistemul de funcții vectoriale x 1 ^),..., x n (t) se numește liniar h și în și cu și despre mine în intervalul,(A, /3) dacă o combinație liniară netrivială a acestor funcții vectoriale este identic egală cu vectorul zero pe acest interval:

Este important să înțelegem legătura dintre aceste trei concepte (dependența liniară a funcțiilor, vectorilor și funcțiilor vectoriale) între ele.

În primul rând, dacă prezentăm formula (18.6) în formă extinsă (reținând că fiecare dintre x g (1) este un vector)

atunci va fi echivalent cu sistemul de egalităţi

adică dependență liniară componenta zîn sensul primei definiţii (ca funcţii). Ei spun că o relație liniară funcții vectorialeîi atrage componenta cu componenta dependență liniară.

Reversul nu este în general adevărat: este suficient să luăm în considerare exemplul unei perechi de funcții vectoriale

Primele componente ale acestor funcții vectoriale pur și simplu coincid, ceea ce înseamnă că sunt dependente liniar. Cele doua componente sunt proporționale, deci. sunt, de asemenea, dependente liniar. Totuși, dacă încercăm să construim combinația lor liniară egală cu zero în mod identic, atunci din relație

obțineți imediat sistemul

care are singura solutie C - C-2 - 0. Astfel, funcțiile noastre vectoriale sunt liniar independente.

Care este motivul unei proprietăți atât de ciudate? Care este trucul care vă permite să construiți funcții vectoriale liniar independente din funcții dependente cu bună știință?

Rezultă că întregul punct nu este atât în ​​dependența liniară a componentelor, cât în ​​proporția de coeficienți care este necesar pentru a obține zero. În cazul unei dependențe liniare a funcțiilor vectoriale, același set de coeficienți servește tuturor componentelor, indiferent de număr. Dar, în exemplul nostru, pentru o componentă era necesară o proporție de coeficienți, iar pentru alta, alta. Așadar trucul este într-adevăr simplu: pentru a obține o dependență liniară a întregii funcții vectoriale dintr-o dependență liniară „component-cu-component”, este necesar ca toate componentele să fie dependente liniar „în aceeași proporție”.

Să ne întoarcem acum la studiul relației dintre dependența liniară a funcțiilor vectoriale și vectori. Aici, este aproape evident că dependența liniară a funcțiilor vectoriale implică faptul că pentru fiecare fix t* vector

va fi dependent liniar.

Reversul, în general, nu este valabil: din dependența liniară a vectorilor pentru fiecare t nu urmează o dependență liniară a funcțiilor vectoriale. Acest lucru este ușor de văzut în exemplul a două funcții vectoriale

La t=1, t=2 și t=3 obținem perechi de vectori

respectiv. Fiecare pereche de vectori este proporțională (cu coeficienții 1,2 și respectiv 3). Este ușor de văzut asta pentru orice fix t* perechea noastră de vectori va fi proporțională cu coeficientul t*.

Dacă încercăm să construim o combinație liniară de funcții vectoriale care este identic egală cu zero, atunci primele componente ne oferă deja relația

ceea ce este posibil numai dacă Cu = Cu2 = 0. Astfel, funcțiile noastre vectoriale s-au dovedit a fi liniar independente. Din nou, explicația pentru acest efect este că, în cazul unei dependențe liniare a funcțiilor vectoriale, același set de constante Cj servește tuturor valorilor. t, iar în exemplul nostru pentru fiecare valoare t a cerut propria proporţie între coeficienţi.