1°

1°. Ecuații ale planului tangent și ale normalei pentru cazul unei specificații explicite a suprafeței.

Luați în considerare una dintre aplicațiile geometrice ale derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile. Lasă funcția z = f(X;y) diferentiabil la un punct (x0; la 0) vreo zonă DÎ R2. Să tăiem suprafața S,înfățișând funcția z, avioane x = x 0Și y = y 0(Fig. 11).

Avion X = x0 traversează suprafața S de-a lungul vreunei linii z 0 (y), a cărei ecuație se obține prin substituție în expresia funcției inițiale z==f(X;y)în loc de X numerele x 0 . Punct M 0 (x 0 ;y0,f(x 0 ;y 0)) aparține curbei z 0 (y). Datorita functiei diferentiabile z la punct M 0 funcţie z 0 (y) este, de asemenea, diferențiabilă la punct y = y 0 . Prin urmare, în acest punct al avionului x = x 0 la curbă z 0 (y) tangenta poate fi trasa l 1 .

Efectuarea unui raționament similar pentru secțiune la = y 0 , construiți o tangentă l 2 la curbă z 0 (X ) la punct X = x 0 - Direct 1 1 Și 1 2 defini un plan numit plan tangent la suprafata S la punct M 0 .

Să facem o ecuație pentru el. Deoarece avionul trece prin punct lună(x 0 ;y0;z0), atunci ecuația sa poate fi scrisă ca

A (x - ho) + B (y - yo) + C (z - zo) \u003d 0,

care poate fi rescris astfel:

z -z 0 \u003d A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(împărțind ecuația la -C și notând ).

Sa gasim A 1și B1.

Ecuații tangente 1 1 Și 1 2 arată ca

respectiv.

Tangentă l 1 se află în avion a , de aici coordonatele tuturor punctelor l 1 satisface ecuația (1). Acest fapt poate fi scris ca un sistem

Rezolvând acest sistem în raport cu B 1 , obținem că.Efectuând un raționament similar pentru tangente l 3, este ușor de stabilit că .

Înlocuirea valorilor A 1și B 1 în ecuația (1), obținem ecuația dorită a planului tangent:

Linie care trece printr-un punct M 0 iar perpendicular pe planul tangent construit în acest punct de pe suprafață se numește ei normal.

Folosind condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan, este ușor de obținut ecuațiile canonice ale normalei:

Cometariu. Formulele pentru planul tangent și normala la suprafață sunt obținute pentru punctele obișnuite, adică nu singulare, de pe suprafață. Punct M 0 suprafata se numeste special, dacă în acest moment toate derivatele parțiale sunt egale cu zero sau cel puțin una dintre ele nu există. Nu luăm în considerare astfel de puncte.

Exemplu. Scrieți ecuațiile planului tangent și normala la suprafață în punctul său M(2; -1; 1).

Soluţie. Găsiți derivatele parțiale ale acestei funcții și valorile lor în punctul M

Prin urmare, aplicând formulele (2) și (3), vom avea: z-1=2(x-2)+2(y+1) sau 2x+2y-z-1=0- ecuaţia planului tangent şi sunt ecuațiile normale.

2°. Plan tangent și ecuații normale pentru cazul specificației implicite a suprafeței.

Dacă suprafaţa S dat de ecuaţie F(X; y;z)= 0, apoi ecuațiile (2) și (3), ținând cont de faptul că derivatele parțiale pot fi găsite ca derivate ale unei funcții implicite.

Ecuație plană normală

Plan tangent și normal de suprafață

Să fie dată o suprafață, A este un punct fix al suprafeței și B este un punct variabil al suprafeței,

(Fig. 1).

Vector diferit de zero

→

numit vector normal la suprafata in punctul A daca

lim

B→A

j =

Un punct de suprafață F (x, y, z) = 0 se numește obișnuit dacă în acest punct

derivatele parțiale F " x , F " y , F " z sunt continue;
(F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Dacă cel puțin una dintre aceste condiții este încălcată, se numește un punct de pe suprafață punct singular al suprafeței .

Teorema 1. Dacă M(x 0 , y 0 , z 0 ) este un punct obișnuit al suprafeței F (x , y , z) = 0 , atunci vectorul

→

\u003d grad F (x 0, y 0, z 0) \u003d F "x (x 0, y 0, z 0)

→

+ F "y (x 0 , y 0 , z 0 )

→

+ F "z (x 0 , y 0 , z 0 )

→

(1)

este normală acestei suprafețe în punctul M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Dovada dat în carte de I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Curs matematica superioara: Calcul integral. Funcțiile mai multor variabile. Ecuatii diferentiale. M.: Editura MEI, 2002 (p. 128).

Normal la suprafață la un anumit punct se numește dreptă al cărei vector de direcție este normal cu suprafața în acest punct și care trece prin acest punct.

Canonic ecuații normale poate fi reprezentat ca

x − x0

F "x (x 0, y 0, z 0)

y − y0

F "y (x 0 , y 0 , z 0 )

z−z0

F "z (x 0, y 0, z 0)

(2)

Plan tangent la suprafata la un punct se numeste plan care trece prin acest punct perpendicular pe normala la suprafata in acel punct.

Din această definiţie rezultă că ecuația planului tangent se pare ca:

(3)

Dacă un punct de pe suprafață este singular, atunci în acest punct vectorul normal la suprafață poate să nu existe și, în consecință, suprafața poate să nu aibă un plan normal și un plan tangent.

sens geometric diferenţial total funcţiile a două variabile

Fie funcția z = f (x , y) diferențiabilă în punctul a (x 0 , y 0 ) . Graficul său este suprafața

f (x, y) − z = 0.

Să punem z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Atunci punctul A (x 0 , y 0 , z 0 ) aparține suprafeței.

Derivatele parțiale ale funcției F (x , y , z) = f (x , y) − z sunt

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

și în punctul A (x 0 , y 0 , z 0 )

sunt continue;
F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .

Prin urmare, A este un punct obișnuit al suprafeței F (x, y, z) și în acest punct există un plan tangent la suprafață. Conform (3), ecuația planului tangent are forma:

f "x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Deplasarea verticală a unui punct pe planul tangent în timpul tranziției de la punctul a (x 0 , y 0 ) la un punct arbitrar p (x , y) este B Q (Fig. 2). Incrementul de aplicare corespunzător este

(z - z 0 ) \u003d f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Aici, în partea dreaptă este diferența d z al funcției z = f (x, y) în punctul a (x 0 , x 0 ). Prin urmare,
d f (x 0 , y 0 ). este incrementul aplicatei punctului planului tangent la graficul funcției f (x, y) în punctul (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )).

Din definirea diferenţialului rezultă că distanţa dintre punctul P de pe graficul funcţiei şi punctul Q de pe planul tangent este un infinitezimal mai mare. ordin înalt decât distanța de la punctul p la punctul a.

Graficul unei funcții de 2 variabile z = f(x, y) este o suprafață proiectată pe avion XOYîn domeniul funcției D.
Luați în considerare suprafața σ , dat de ecuația z = f(x,y) , unde f(x,y) este o funcție derivabilă, și fie M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) un punct fix pe suprafața σ , i.e. z0 = f(x0,y0). Programare. Calculatorul online este conceput pentru a găsi plan tangent și ecuații normale de suprafață. Decizia este luată în format Word. Dacă trebuie să găsiți ecuația tangentei la curbă (y = f(x)), atunci trebuie să utilizați acest serviciu.

Reguli de introducere a funcției:

Plan tangent la suprafață σ la punctul ei M 0 este planul în care se află tangentele la toate curbele trasate pe suprafață σ printr-un punct M 0 .
Ecuația planului tangent la suprafață, dat de ecuaţie z = f(x,y) , în punctul M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) are forma:

z - z 0 \u003d f 'x (x 0, y 0) (x - x 0) + f ' y (x 0, y 0) (y - y 0)

Vectorul se numește vector normal de suprafață σ în punctul M 0 . Vectorul normal este perpendicular pe planul tangent.
Normal la suprafață σ la punct M 0 este o dreaptă care trece prin acest punct și are direcția vectorului N.
Ecuațiile canonice ale normalei la suprafață date de ecuația z = f(x,y) în punctul M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), unde z 0 = f(x 0 ,y 0), au forma:

Exemplul #1. Suprafața este dată de ecuația x 3 +5y . Aflați ecuația planului tangent la suprafață în punctul M 0 (0;1).
Soluţie. Să scriem ecuațiile tangentei în vedere generala: z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
Prin condiția problemei x 0 = 0, y 0 = 1, atunci z 0 = 5
Aflați derivatele parțiale ale funcției z = x^3+5*y:
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" y = 5
În punctul M 0 (0,1), valorile derivatelor parțiale:
f"x(0;1) = 0
f" y (0; 1) = 5
Folosind formula, obținem ecuația planului tangent la suprafață în punctul M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) sau -5 y + z = 0

Exemplul #2. Suprafața este dată implicit y 2 -1/2*x 3 -8z. Aflați ecuația planului tangent la suprafață în punctul M 0 (1;0;1).
Soluţie. Găsim derivate parțiale ale funcției. Deoarece funcția este dată într-o formă implicită, căutăm derivate prin formula:

Pentru funcția noastră:

Apoi:

La punctul M 0 (1,0,1) valorile derivatelor parțiale:
f "x (1; 0; 1) \u003d -3 / 16
f"y(1;0;1) = 0
Folosind formula, obținem ecuația planului tangent la suprafață în punctul M 0: z - 1 \u003d -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) sau 3 / 16 x + z- 19 / 16 \u003d 0

Exemplu. Suprafaţă σ dat de ecuaţie z= y/x + X y – 5X 3 . Aflați ecuația planului tangent și normala la suprafață σ la punct M 0 (X 0 ,y 0 ,z 0) aparținând acesteia dacă X 0 = –1, y 0 = 2.
Să găsim derivatele parțiale ale funcției z= f(X,y) = y/x + X y – 5X 3:
f x '( X,y) = (y/x + X y – 5X 3)' x \u003d - y / x 2 + y – 15X 2 ;
f y' ( X,y) = (y/x + X y – 5X 3)' y = 1/x + X.
Punct M 0 (X 0 ,y 0 ,z 0) aparține suprafeței σ , ca să putem calcula z 0, înlocuind data X 0 = -1 și y 0 = 2 în ecuația de suprafață:

z= y/x + X y – 5X 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
La punctul M 0 (–1, 2, 1) valori ale derivatelor parțiale:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; fy'( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Folosind formula (5), obținem ecuația planului tangent la suprafață σ la punct M 0:
z – 1= –15(X + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15X – 15 – 2y + 4 15X + 2y + z + 10 = 0.
Folosind formula (6), obținem ecuațiile canonice ale normalei la suprafață σ la punct M 0:

.
Răspunsuri: ecuația planului tangent: 15 X + 2y + z+ 10 = 0; ecuatii normale:

Exemplul #1. Având în vedere o funcție z \u003d f (x, y) și două puncte A (x 0, y 0) și B (x 1, y 1). Necesar: 1) se calculează valoarea z 1 a funcției în punctul B; 2) se calculează valoarea aproximativă z 1 a funcției în punctul B pe baza valorii z 0 a funcției în punctul A, înlocuind incrementul funcției în timpul trecerii de la punctul A la punctul B cu o diferenţială; 3) alcătuiți ecuația planului tangent la suprafața z = f(x,y) în punctul C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Soluţie.
Scriem ecuațiile tangente în formă generală:
z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
După condiția problemei x 0 = 1, y 0 = 2, atunci z 0 = 25
Aflați derivatele parțiale ale funcției z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" x \u003d 2 x + 3 y 3
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" y \u003d 9 x y 2
La punctul M 0 (1.2), valorile derivatelor parțiale:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
Folosind formula, obținem ecuația planului tangent la suprafață în punctul M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
sau
-26x-36y+z+73 = 0

Exemplul #2. Scrieți ecuațiile planului tangent și normala la paraboloidul eliptic z = 2x 2 + y 2 în punctul (1;-1;3).

Definiția 1 : Planul tangent la suprafața într-un punct dat P (x 0, y 0, z 0) este planul care trece prin punctul P și care conține toate tangentele construite în punctul P la toate curbele posibile de pe această suprafață care trece prin punctul P.

Fie suprafața s dată de ecuație F (X, la, z) = 0 și punct P (X 0 ,y 0 , z 0) aparține acestei suprafețe. Să alegem o curbă pe suprafață L trecând prin punct R.

Lasa X = X(t), la = la(t), z = z(t) - ecuații parametrice linii L.

Să presupunem că: 1) funcția F(X, la, z) este diferențiabilă la punct Rși nu toate derivatele sale parțiale în acest punct sunt egale cu zero; 2) caracteristici X(t), la(t), z(t) sunt de asemenea diferențiabile.

Întrucât curba aparține suprafeței s, coordonatele oricărui punct al acestei curbe, fiind substituite în ecuația suprafeței, o vor transforma într-o identitate. Astfel, egalitatea identică este adevărată: F [X(t), la(t), z (t)]= 0.

Diferențierea acestei identități în raport cu variabila t, folosind regula lanțului, obținem o nouă egalitate identică care este valabilă în toate punctele curbei, inclusiv în punctul P (X 0 ,y 0 , z 0):

Fie punctul P să corespundă valorii parametrului t 0, adică X 0 = X (t 0), y 0 = y (t 0), z 0 = z (t 0). Apoi ultima relație calculată la punctul R, ia forma

Această formulă este produs scalar doi vectori. Primul este un vector constant

independent de alegerea curbei pe suprafață.

Al doilea vector este tangent la un punct R la linie L, ceea ce înseamnă că depinde de alegerea dreptei de pe suprafață, adică este un vector variabil.

Cu notația introdusă, egalitatea:

rescrie cum.

Sensul său este următorul: produsul scalar este egal cu zero, prin urmare, vectorii și sunt perpendiculari. Prin alegerea tuturor curbelor posibile care trec prin punct R pe suprafața s, vom avea diferiți vectori tangenți construiți în punct R la aceste linii vectorul nu depinde de această alegere și va fi perpendicular pe oricare dintre ei, adică toți vectorii tangenți sunt situați în același plan, care, prin definiție, este tangent la suprafața s, iar punctul Rîn acest caz se numește punctul de atingere. Vectorul este vectorul direcției normalei la suprafață.

Definiție 2: Normala la suprafața s în punctul P este dreapta care trece prin punctul P și perpendiculară pe planul tangent construit în acest punct.

Am demonstrat existența unui plan tangent și, în consecință, a unei normale la suprafață. Să le scriem ecuațiile:

Ecuația planului tangent construit în punctul P (x0, y0, z0) la suprafața s, dată de ecuația F(x, y, z) = 0;

Ecuația unei normale construite într-un punct R la suprafata s.

Exemplu: Aflați ecuația suprafeței formate prin rotația parabolei:

z 2 = 2p (y +2)

în jurul axei y, calculați presupunând că punctul M(3, 1, - 3) aparține suprafeței. Aflați ecuațiile planului normal și tangent la suprafață în punctul M.

Soluţie. Folosind regula pentru scrierea unei suprafețe de revoluție, obținem:

z 2 + X 2 = 2p (y +2) .

Înlocuind coordonatele punctului M în această ecuație, calculăm valoarea parametrului p: 9 + 9 = 2p(1 + 2) . Notăm forma finală a suprafeței de revoluție care trece prin punct M:

z 2 + X 2 = 6 (y +2).

Acum să găsim ecuațiile planului normal și tangent folosind formulele, pentru care mai întâi calculăm derivatele parțiale ale funcției:

F(x, y) = z 2 + X 2- 6 (a +2):

Atunci ecuația planului tangent ia forma 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 sau x - y - z - 5 = 0;