O egalitate de forma F(x, y) = 0 se numește ecuație cu două variabile x, y, dacă nu este valabilă pentru nicio pereche de numere x, y. Ei spun că două numere x \u003d x 0, y \u003d y 0 satisfac o ecuație de forma F (x, y) \u003d 0, dacă atunci când aceste numere sunt înlocuite cu variabilele x și y din ecuație, este stânga. laterala dispare.
Ecuația unei linii date (în sistemul de coordonate atribuit) este o ecuație în două variabile care este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct situat pe această dreaptă și nu este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct care nu se află pe ea.
În cele ce urmează, în loc de expresia „dată fiind ecuația dreptei F(x, y) = 0”, vom spune adesea mai scurt: având în vedere linia F(x, y) = 0.
Dacă sunt date ecuațiile a două drepte F(x, y) = 0 și Ф(x, y) = 0, atunci soluția comună a sistemului
F(x, y) = 0, F(x, y) = 0
dă toate punctele lor de intersecție. Mai precis, fiecare pereche de numere care este o soluție comună a acestui sistem determină unul dintre punctele de intersecție,
157. Punctele date *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M6 (3; -2). Determinați care dintre punctele date se află pe dreapta definită de ecuația x + y = 0 și care nu se află pe ea. Care linie este definită de această ecuație? (Arată-l pe desen.)
158. Pe dreapta definită de ecuația x 2 + y 2 \u003d 25, găsiți puncte ale căror abscise sunt egale cu următoarele numere: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; pe aceeași linie, găsiți puncte ale căror ordonate sunt egale cu următoarele numere: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Care linie este definită de această ecuație? (Arată-l pe desen.)
159. Determinați ce drepte sunt determinate de următoarele ecuații (construiți-le pe desen): 1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy \u003d 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + cu + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Se dau drepte: l)x + y = 0; 2)x - y \u003d 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Să se determine care dintre ele trec prin origine.
161. Se dau drepte: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Aflați punctele de intersecție a acestora: a) cu axa x; b) cu axa Oy.
162. Aflați punctele de intersecție a două drepte:
1) x 2 + y 2 - 8; x - y \u003d 0;
2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;
3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.
163. Punctele M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) și M 5 ( 1; 2/3π) ). Determinați care dintre aceste puncte se află pe linia definită în coordonate polare ecuația p = 2cosΘ, și care nu se află pe ea. Ce linie este determinată de această ecuație? (Arată-l pe desen.)
164. Pe dreapta definită de ecuația p \u003d 3 / cosΘ, găsiți puncte ale căror unghiuri polare sunt egale cu următoarele numere: a) π / 3, b) - π / 3, c) 0, d) π / 6 . Care linie este definită de această ecuație? (Construiți-l pe desen.)
165. Pe dreapta definită de ecuația p \u003d 1 / sinΘ, găsiți puncte ale căror raze polare sunt egale cu următoarele numere: a) 1 6) 2, c) √2. Care linie este definită de această ecuație? (Construiți-l pe desen.)
166. Determinați ce drepte sunt determinate în coordonate polare prin următoarele ecuații (construiți-le pe desen): 1) p \u003d 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. Construiți pe desen următoarele spirale ale lui Arhimede: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p \u003d -Θ / π.
168. Construiţi pe desen următoarele spirale hiperbolice: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р= - π/Θ
169. Construiți următoarele spirale logaritmice în desen: 1) p \u003d 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ .
170. Determinați lungimea segmentelor în care spirala arhimediană p = 3Θ taie fasciculul care părăsește polul și înclinat față de axa polară la un unghi Θ = π / 6. Faceți un desen.
171. Punctul C este luat pe spirala arhimediană p \u003d 5 / πΘ, a cărei rază polară este de 47. Stabiliți câte părți taie această spirală raza polară a punctului C. Faceți un desen.
172. Pe o spirală hiperbolică P \u003d 6 / Θ, găsiți un punct P, a cărui rază polară este 12. Faceți un desen.
173. Pe o spirală logaritmică p \u003d 3 Θ găsiți un punct P, a cărui rază polară este 81. Faceți un desen.
Dacă se specifică o regulă conform căreia un anumit număr u este asociat fiecărui punct M al planului (sau unei părți a planului), atunci se spune că în plan (sau pe o parte a planului) „funcția de se acordă un punct; atribuirea unei funcţii este exprimată simbolic printr-o egalitate de forma u=f(M). Numărul u asociat cu punctul M se numește valoarea acestei funcție în punctul M. De exemplu, dacă A este un punct fix al planului, M este un punct arbitrar, atunci distanța de la A la M este o funcție de punctul M. În acest caz, f (m) \u003d AM .
Să fie dată o funcție u=f(M) și, în același timp, să fie introdus un sistem de coordonate. Atunci un punct arbitrar M este determinat de coordonatele x, y. În consecință, valoarea acestei funcții în punctul M este determinată de coordonatele x, y sau, după cum se spune, u=f(M) este funcția a două variabile x și y. O funcție a două variabile x și y se notează cu simbolul f(x; y): dacă f(M)=f(x;y), atunci formula u=f(x; y) se numește expresia acestei funcţionează în sistemul de coordonate ales. Deci, în exemplul anterior f(M)=AM; dacă introducem un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian cu originea în punctul A, obținem expresia pentru această funcție:
u=sqrt(x^2 + y^2)
PROBLEMA 3688 Dată o funcție f (x, y)=x^2–y^2–16.
Dată o funcție f (x, y)=x^2–y^2–16. Definiți expresia acestei funcții în sistem nou coordonate, dacă axele de coordonate rotit cu -45 de grade.Ecuații de linii parametrice
Notați cu literele x și y coordonatele unui punct M; luați în considerare două funcții ale argumentului t:
x=φ(t), y=ψ(t) (1)
Când t se schimbă, valorile x și y se vor schimba, în general, prin urmare, punctul M se va deplasa. Egalitățile (1) se numesc ecuații parametrice ale dreptei, care este traiectoria punctului M; argumentul t este numit după parametru. Dacă parametrul t poate fi exclus din egalitățile (1), atunci obținem ecuația pentru traiectoria punctului M sub forma
Descărcați din Depositfiles
GEOMETRIE ANALITĂ
Prelegerea nr 7. Tema 1 : drepte în plan și ecuațiile lor
1.1. Liniile și ecuațiile lor în Sistemul cartezian coordonate
LA geometrie analitică liniile de pe plan sunt considerate drept locul punctelor (f.m.t.) având aceeași proprietate comună tuturor punctelor dreptei.
Definiție. Ecuația liniilor 
este o ecuație cu două variabileXși la, care este satisfăcut de coordonatele oricărui punct de pe linie și nu este satisfăcut de coordonatele niciunui alt punct care nu se află pe această dreaptă.
Este adevărat și invers, adică. orice ecuațiela
de forma , în general vorbind, în carteziană 
sistemul de coordonate (DSC) definește o linie
ca H.M.T., ale cărui coordonate satisfac 
această ecuație. O 
X
Observație 1. Nu orice tip de ecuație definește o linie. De exemplu, pentru ecuație 
nu există puncte, coordonate, care să satisfacă această ecuație. Astfel de cazuri nu vor fi luate în considerare în continuare.Acesta este cazul așa-numitelor linii imaginare.
P 
exemplu 1.Scrieți o ecuație pentru un cerc cu razăR
centrat pe un punct 
.
Pentru orice punct mințilaM
pe un cerc, prin definițieR
cercuri ca g.m.t., echidistante 
din punctul , obținem ecuațiaX
1.2. Ecuații parametrice linii
Există o altă modalitate de a defini o dreaptă pe un plan folosind ecuații numiteparametrice:
Exemplul 1 Linia este dată de ecuații parametrice 
Este necesar să se obțină ecuația acestei linii în DSC.
Excludeți parametrult . Pentru a face acest lucru, pătram ambele părți ale acestor ecuații și adunăm
Exemplul 2 Linia este dată de ecuații parametrice
A
Este necesar pentru a obține ecuația
această linie în DSC. —a a
Să facem la fel, apoi vom obține
— A
Observația 2. Trebuie remarcat faptul că parametrult în mecanică este timpul.
1.3. Ecuația dreaptă în coordonate polare
DSC nu este singura modalitate de a determina poziția unui punct și, prin urmare, ecuația unei drepte. Într-un avion, este adesea oportun să se folosească așa-numitul sistem de coordonate polare (PSC).
P 
SC se va determina prin precizarea unui punct O - stâlp și grindă OR , emanând din acest punct, care se numește axa polară. Atunci poziția oricărui punct este determinată de două numere: raza polară 
și unghiul polar 
este unghiul dintre
axa polară și raza polară. 
Direcție de referință pozitivă 
unghi polar față de axa polară
numărat în sens invers acelor de ceasornic.
Pentru toate punctele avionului 
,
O R
iar pentru unicitatea unghiului polar se consideră 
.
Dacă începutul DSC este combinat cu
pol și axa O X trimite prin
axa polară, este ușor de verificatla
în legătură între polar şi
coordonate carteziene:
O X R
Înapoi,
(1)
Dacă ecuația dreaptă din DSC are forma , atunci în PSC - Atunci din această ecuație puteți obține o ecuație sub forma 
Exemplul 3 Scrieți ecuația cercului în UCS dacă centrul cercului este la pol.
Folosind formulele de tranziție (1) de la DSC la PSC, obținem
P 
exemplu 4.Scrieți o ecuație pentru un cerc
dacă polul se află pe cerc și pe axa polarăla
trece prin diametru.
Să facem la fel
Cam 2 R X
R
Se poate obține și această ecuație
din reprezentări geometrice (vezi fig.).
P 
exemplu 5.Plot Line
Să trecem la PSC. Ecuația
va lua forma 
O
Vom trasa linia cuA
ținând cont de simetria acesteia și ODZ
caracteristici: 
Această linie se numeștelemniscate Bernoulli.
1.4. Transformarea sistemului de coordonate.
Ecuație de linii în noul sistem de coordonate
1.
Transferul paralel al DSC.la
Luați în considerare două DSC-uri care auM
aceeași direcție a axelor, dar 
origini diferite. 
În sistemul de coordonate O hu punct
referitor la sistem 
O X
are coordonate 
. Atunci noi avem
și 
În formă de coordonate, egalitatea vectorială rezultată are forma
sau 
. (2)
Formulele (2) sunt formule pentru trecerea de la sistemul de coordonate „vechi”. O hula „noul” sistem de coordonate și invers.
Exemplul 5 Obțineți ecuația unui cerc făcând transfer paralel sisteme de coordonatespre centrul cercului.
Și 
din formulele (2) rezultă 
la O
Să repetăm * Ce este o ecuație pătratică? * Ce ecuații se numesc ecuații pătratice incomplete? * Care ecuație pătratică numit redus? * Care este rădăcina unei ecuații pătratice? * Ce înseamnă să rezolvi o ecuație pătratică? Ce este o ecuație pătratică? Ce ecuații se numesc ecuații pătratice incomplete? Ce ecuație pătratică se numește redusă? Care este rădăcina unei ecuații pătratice? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație pătratică? Ce este o ecuație pătratică? Ce ecuații se numesc ecuații pătratice incomplete? Ce ecuație pătratică se numește redusă? Care este rădăcina unei ecuații pătratice? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație pătratică?
Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice: 1. Stabiliți care este modul mai rațional pentru a rezolva o ecuație pătratică 2. Alegeți cel mai rațional mod de rezolvare 3. Determinarea numărului de rădăcini ale unei ecuații pătratice 4. Găsirea rădăcinilor unui tabel de ecuații pătratice ...
Condiție suplimentară Ecuație Rădăcini Exemple 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, a 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c \u003d 0, a 0, c 0 ax 2 + c \u003d 0 4. a 0 ax 2 + bx + c \u003d 0 x 1,2 \u003d (-b ± D) / 2 a, unde D \u003d în 2 - 4 ca, D0 5. c este un număr par (b \u003d 2k), dar 0, la 0, cu 0 ax 2 + 2kx + c \u003d 0 x 1,2 \u003d (-b ± D) / a, D 1 \u003d k 2 - ac, unde k \u003d 6. Teorema este opusul teoremei Vieta x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q
II. Metode speciale 7. Metoda extragerii pătratului unui binom. Scop: Scrieți o ecuație vedere generala la o ecuație pătratică incompletă. Notă: metoda este aplicabilă pentru orice ecuație pătratică, dar nu este întotdeauna convenabilă de utilizat. Folosit pentru a demonstra formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Exemplu: se rezolvă ecuația x 2 -6 x + 8 = 0 8. Metoda „transferului” coeficientului superior. Rădăcinile ecuațiilor pătratice ax 2 + bx + c = 0 și y 2 +by+ac=0 sunt legate prin relațiile: și Notă: metoda este bună pentru ecuațiile pătratice cu coeficienți „convenienți”. În unele cazuri, vă permite să rezolvați o ecuație pătratică pe cale orală. Exemplu: rezolvați ecuația 2 x 2 -9 x-5=0 Pe baza teoremelor: Exemplu: rezolvați ecuația 157 x x-177=0 9. Dacă în ecuația pătratică a + b + c = 0, atunci unul dintre rădăcinile sunt 1, iar a doua, conform teoremei Vieta, este egală cu c / a 10. Dacă în ecuația pătratică a + c \u003d b, atunci una dintre rădăcini este egală cu -1, iar a doua, conform teoremei Vieta, este egal cu - c / a Exemplu: rezolvați ecuația 203 x x + 17 \u003d 0 x 1 \u003d y 1 / a, x 2 \u003d y 2 / a
III. Metode generale rezolvarea ecuațiilor 11. Metoda factorizării. Scop: Aducerea unei ecuații pătratice generale la forma A(x)·B(x)=0, unde A(x) și B(x) sunt polinoame în raport cu x. Metode: Bracketing factorul comun; Utilizarea formulelor de înmulțire abreviate; metoda de grupare. Exemplu: se rezolvă ecuația 3 x 2 +2 x-1=0 12. Metoda de introducere a unei noi variabile. O alegere bună a unei noi variabile face ca structura ecuației să fie mai transparentă Exemplu: rezolvați ecuația (x 2 +3 x-25) 2 -6 (x 2 +3 x-25) = - 8
Dacă două drepte sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci sunt paralele.3. Ce teoremă se numește inversul acestei teoreme? Dați exemple de teoreme care sunt inverse datelor. 4. Demonstrați că atunci când două drepte paralele intersectează o secante, unghiurile situate sunt egale. 5. Demonstrați că dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.6.Demonstrați că la intersecția a două drepte paralele ale unei secante: a) unghiurile corespunzătoare sunt egale; b) suma unghiurilor unilaterale este de 180°.
Ajutor Vă rugăm cu întrebări despre geometrie (clasa a 9-a)! 2) Ce înseamnă a descompune un vector în douăvectori dați. 9) Care este raza vectorului unui punct?Demonstrați că coordonatele unui punct sunt egale cu coordonatele corespunzătoare ale vectorilor. 10) Deduceți formule pentru calcularea coordonatelor unui vector din coordonatele începutului și sfârșitului acestuia. 11) Deduceți formule pentru calcularea coordonatelor unui vector din coordonatele capetelor acestuia. 12) Deduceți o formulă pentru calcularea lungimii unui vector după coordonatele sale. 13) Deduceți o formulă pentru calcularea distanței dintre două puncte după coordonatele lor. 15) Ce ecuație se numește ecuația acestei drepte?Dați un exemplu. 16) Deduceți ecuația unui cerc de o rază dată centrat într-un punct dat.
1) Formulați și demonstrați o lemă despre vectorii coliniari.
3) Formulați și demonstrați o teoremă privind expansiunea unui vector în doi vectori necoliniari.
4) Explicați cum este introdus un sistem de coordonate dreptunghiulare.
5) Ce sunt vectorii de coordonate?
6) Formulați și demonstrați afirmația despre descompunerea unui vector arbitrar în vectori de coordonate.
7) Ce sunt coordonatele vectoriale?
8) Formulați și demonstrați regulile de aflare a coordonatelor sumei și diferenței vectorilor, precum și a produsului unui vector printr-un număr în funcție de coordonatele date ale vectorilor.
10) Deduceți formule pentru calcularea coordonatelor unui vector din coordonatele începutului și sfârșitului acestuia.
11) Deduceți formule pentru calcularea coordonatelor unui vector din coordonatele capetelor acestuia.
12) Deduceți o formulă pentru calcularea lungimii unui vector după coordonatele sale.
13) Deduceți o formulă pentru calcularea distanței dintre două puncte după coordonatele lor.
14) Dați un exemplu de soluție problema geometrica folosind metoda coordonatelor.
16) Deduceți ecuația unui cerc de o rază dată centrat într-un punct dat.
17) Scrieți ecuația pentru un cerc de rază dată centrat la origine.
18) Deduceți ecuația acestei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular.
19) Scrieți ecuația dreptelor care trec prin punct dat M0 (X0: Y0) și paralel cu axele coordonate.
20) Scrieți ecuația axelor de coordonate.
21) Dați exemple de utilizare a ecuațiilor unui cerc și unei drepte în rezolvarea problemelor geometrice.
Vă rog, este foarte necesar! De preferat cu desene (unde este cazul)!
CLASA 9 GEOMETRIE.1) Formulați și demonstrați o lemă despre vectorii coliniari.
2) Ce înseamnă descompunerea unui vector în doi vectori dați.
3) Formulați și demonstrați o teoremă privind expansiunea unui vector în doi vectori necoliniari.
4) Explicați cum este introdus un sistem de coordonate dreptunghiulare.
5) Ce sunt vectorii de coordonate?
6) Formulați și demonstrați afirmația despre descompunerea unui vector arbitrar în vectori de coordonate.
7) Ce sunt coordonatele vectoriale?
8) Formulați și demonstrați regulile de aflare a coordonatelor sumei și diferenței vectorilor, precum și a produsului unui vector printr-un număr în funcție de coordonatele date ale vectorilor.
9) Care este vectorul rază al unui punct? Demonstrați că coordonatele punctului sunt egale cu coordonatele corespunzătoare ale vectorilor.
14) Dați un exemplu de rezolvare a unei probleme geometrice folosind metoda coordonatelor.
15) Ce ecuație se numește ecuația acestei drepte? Dă un exemplu.
17) Scrieți ecuația pentru un cerc de rază dată centrat la origine.
18) Deduceți ecuația acestei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular.
19) Scrieți ecuația dreptelor care trec prin punctul dat M0 (X0: Y0) și paralele cu axele de coordonate.
20) Scrieți ecuația axelor de coordonate.
21) Dați exemple de utilizare a ecuațiilor unui cerc și unei drepte în rezolvarea problemelor geometrice.