Adăugarea rotațiilor unui corp rigid în jurul axelor paralele. Adăugarea rotațiilor pe axe paralele

Pe fig. 54 prezintă un corp care performează miscare complexa- rotatie in jurul unei axe, care ea insasi se roteste in jurul altei axe, fixa. Desigur, prima rotație ar trebui să fie numită mișcarea relativă a corpului, a doua - portabilă și să desemneze axele corespunzătoare și .

Fig.54

Mișcarea absolută este rotația în jurul punctului de intersecție al axelor O. (Dacă corpul este mai mare, atunci punctul său coincide cu O, va rămâne staționar tot timpul). Vitezele unghiulare ale rotației de translație și ale rotației relative sunt reprezentate prin vectori și reprezentate grafic dintr-un punct fix O, puncte de intersecție ale axelor, de-a lungul axelor corespunzătoare.

Găsiți viteza absolută a unui punct M corp, a cărui poziţie este determinată de vectorul rază (Fig. 54).

După cum știți, este format din două viteze, relativă și figurativă: . Dar mișcarea relativă a punctului (folosind regula de oprire) este rotația cu viteza unghiulară în jurul axei, determinată de vectorul rază . De aceea, .

Fig.11.1.

Mișcarea portabilă a unui punct la un moment dat de timp, folosind din nou regula de oprire, este de asemenea o rotație, dar în jurul axei cu o viteză unghiulară și va fi determinată de același vector rază. Prin urmare, viteza portabilă.

Viteza absolută este viteza de rotație în jurul unui punct fix. O, cu mișcare sferică, se determină în mod similar , unde este viteza unghiulară absolută direcționată de-a lungul axei instantanee de rotație R.

Conform formulei de adăugare a vitezelor, obținem: sau .

Adică viteza unghiulară instantanee, viteza unghiulară a mișcării absolute este suma vectoriala viteze unghiulare mișcări portabile și relative. Și axa instantanee de rotație P, îndreptată de-a lungul vectorului, coincide cu diagonala paralelogramului construit pe vectorii și (Fig. 54).

Cazuri speciale:

1. Axele de rotație și sunt paralele, direcțiile de rotație sunt aceleași (Fig. 55).

Fig.55

Deoarece vectorii și sunt paraleli și direcționați în aceeași direcție, viteza unghiulară absolută este egală ca mărime cu suma modulelor lor, iar vectorul său este îndreptat în aceeași direcție. Axa de rotație instantanee Rîmparte distanța dintre axe în părți invers proporționale cu și:

. (Asemănător cu rezultanta forțelor paralele).

În acest caz particular, corpul DAR efectuează o mișcare plan-paralelă. Centrul instantaneu al vitezelor se află pe axă R.

2.Axele de rotație sunt paralele, sensurile de rotație sunt opuse (Fig. 56).

Fig.56

În acest caz (pentru ). Axa instantanee de rotație și centrul instantaneu de viteze sunt în spatele vectorului vitezei unghiulare mai mari la distanțe astfel încât (din nou, prin analogie cu definiția rezultantei forțelor paralele).

3.Axele de rotație sunt paralele, sensurile de rotație sunt opuse și vitezele unghiulare sunt egale.

Viteza unghiulară a mișcării absolute și, prin urmare, corpul realizează mișcarea de translație. Acest caz se numește câteva rotiri, prin analogie cu o pereche de forțe.

Exemplul 16 Raza discului R se rotește în jurul unei axe orizontale cu o viteză unghiulară, iar această axă, împreună cu cadrul, se rotește în jurul unei axe fixe verticale cu o viteză unghiulară (Fig. 57).

Fig.57

Axa orizontală este axa de rotație relativă; axa verticală este axa de rotaţie de translaţie. În consecință, vectorii lor viteză unghiulară sunt direcționați de-a lungul axelor și.

Viteza unghiulară absolută și valoarea acesteia, deoarece,

Viteza punctului DAR, de exemplu, poate fi găsită sau ca suma vitezelor de translație și relative: , unde

sau ca în mișcare absolută, în rotație în jurul unei axe instantanee R, .

Vectorul viteză va fi situat într-un plan perpendicular pe vector și pe axă R.

Exemplul 17. purtător OA cu două roți 2 și 3 fixate pe acesta se rotește în jurul axei O cu viteza unghiulara. În acest caz, roata 2 se va rostogoli peste o roată fixă 1 și va face roata 3 să se rotească. Să găsim viteza unghiulară a acestei roți. Razele roții (Fig. 58).

Fig.58

Roata 3 este implicată în două mișcări. Rotiți împreună cu suportul în jurul axei O si despre axa. Axă O va fi o axă portabilă, axa va fi relativă. Viteza unghiulară portabilă a roții 3 este viteza unghiulară a suportului , îndreptată în sensul acelor de ceasornic, ca .

Pentru a determina viteza unghiulară a mișcării relative, observatorul trebuie să fie pe purtător. El va vedea purtătorul staționar, roata 1 rotindu-se în sens invers acelor de ceasornic cu viteză (Fig. 59), iar roata 3 rotindu-se cu viteza unghiulară relativă, în sens invers acelor de ceasornic. De atunci . Axele de rotație sunt paralele, sensurile de rotație sunt opuse. Prin urmare, este direcționat în același mod ca , în sens invers acelor de ceasornic. În special, dacă , atunci și . Roata 3 se va deplasa înainte.

Fig.59

Studiul mișcării altor structuri similare (cutii de viteze planetare și diferențiale, angrenaje) se realizează într-un mod similar.

Viteza unghiulară portabilă este viteza unghiulară a purtătorului (cadre, cruci etc.), iar pentru a determina viteza relativă a oricărei roți, suportul trebuie oprit, iar roata staționară trebuie făcută să se rotească la purtător. viteza unghiulara, dar in sens invers.

Accelerațiile unghiulare ale unui corp în mișcare absolută pot fi căutate ca o derivată a , unde . Să arătăm (Fig. 60) vectori unitariși (orțile axelor și ), și scriem vectorii viteză unghiulară astfel: , . și , ca viteza la capătul vectorului . Modul suplimentar de accelerație unghiulară, unde este unghiul dintre axe.

Desigur, dacă axele de rotație sunt paralele, această accelerație unghiulară va fi zero, deoarece .

Trei cazuri ar trebui luate în considerare.

1) Rotațiile au aceleași direcții. Corpul participă la două rotații: portabil cu viteza unghiulară și relativ cu viteza unghiulară (Fig. 71). Un astfel de corp este discul prezentat în Fig. 72. Să intersectăm axa de rotație cu o dreaptă perpendiculară. Obținem punctele de intersecție și , la care vectorii viteză unghiulară și pot fi transferați. Pe segmentul corpului în momentul considerat există un punct , a cărui viteză este egală cu zero. Într-adevăr, prin teorema de adiție a vitezei pentru un punct, avem

Punctele corpului, pentru care vitezele de translație și relative sunt paralele și opuse, pot fi situate numai pe segmentul dintre punctele și . Viteza unui punct este egală cu zero dacă Dar , . Prin urmare,

O linie dreaptă perpendiculară pe axele de rotație poate fi trasată la orice distanță. În consecință, există o axă, fixată pe corp și paralelă cu axele de rotație, ale cărei viteze ale punctelor sunt egale cu zero la un moment dat. Ea este axa de rotație instantanee la momentul luat în considerare.

Pentru a determina viteza unghiulară de rotație a corpului în jurul axei instantanee, calculăm viteza punctului, considerând mișcarea acestuia ca fiind complexă. Primim:

Prin urmare,

Pentru viteza unui punct când corpul se rotește în jurul axei instantanee, avem

Echivalând vitezele punctului obținut în două moduri, avem

Conform (138)

Formula (138) poate fi reprezentată ca:

Formând o proporție derivată și folosind formula (139), obținem

În acest fel, la adăugarea a două rotații ale corpului în jurul axe paraleleîn aceleaşi direcţii se obţine rotaţia în jurul unei axe paralele în aceeaşi direcţie cu o viteză unghiulară egală cu suma vitezelor unghiulare ale rotaţiilor componentelor. Axa instantanee a rotației rezultate împarte segmentul dintre axele rotațiilor constitutive în părți invers proporționale cu vitezele unghiulare ale rotațiilor, intern. Punctul din această împărțire este situat între punctele și.

Opusul este adevărat. Rotația în jurul unei axe cu viteză unghiulară poate fi descompusă în două rotații în jurul a două axe paralele cu viteze unghiulare și .

Un corp care participă la două rotații în jurul axelor paralele efectuează o mișcare plană. mișcare plată corp solid poate fi reprezentat ca două rotații, de translație și relativă, în jurul axelor paralele. Mișcarea plană a roții satelit 2 de-a lungul roții fixe 1 (Fig. 73) este un exemplu de mișcare care poate fi înlocuită cu două rotații în jurul axelor paralele în aceeași direcție, de exemplu în sens invers acelor de ceasornic. Roata satelit efectuează rotația de translație împreună cu manivela în jurul axei care trece prin punctul cu viteză unghiulară și rotație relativă în jurul axei care trece prin punctul cu viteza unghiulară. Ambele rotații au aceleași direcții. Rotația absolută are loc în jurul axei care trece prin punctul , care este în prezent MCS. Este situată în punctul de contact al roților, dacă roata mobilă se rostogolește fără alunecare pe cea staționară. Viteza unghiulară de rotație absolută

Rotația absolută cu această viteză unghiulară are loc în aceeași direcție ca și componentele mișcării.

2) Rotațiile au direcții opuse. Luați în considerare cazul când (Fig. 74). obține următoarele formule:

Pentru a obține aceste formule, descompunem o rotație cu o viteză unghiulară în două rotații în aceeași direcție în jurul a două axe paralele cu viteze unghiulare și . Să luăm axa uneia dintre rotațiile cu viteza unghiulară care trece prin punct și alegem . O altă rotație cu viteză unghiulară va trece prin punct (Fig. 75). Pe baza (139) și (140) avem

Valabilitatea formulelor (141) și (142) a fost dovedită. În acest fel, la adăugarea a două rotații ale unui corp rigid în jurul axelor paralele în direcții opuse, se obține o rotație în jurul unei axe paralele cu o viteză unghiulară, diferenta egala viteze unghiulare ale rotațiilor componentelor în sensul de rotație cu o viteză unghiulară mai mare. Axa de rotație absolută împarte segmentul dintre axele rotațiilor constitutive în părți invers proporționale cu vitezele unghiulare ale acestor rotații în interior. Punctul cu această împărțire se află pe segmentul dincolo de punctul prin care axa de rotație trece cu o viteză unghiulară mai mare.

De asemenea, este posibil să descompuneți o rotație în două în jurul axelor paralele cu direcții opuse de rotație. Un exemplu de mișcare plană a unui corp rigid, care poate fi reprezentat prin două rotații în jurul axelor paralele în direcții opuse, este mișcarea unei roți satelit care se rostogolește în interiorul unei roți staționare fără alunecare (Fig. 76). Portabilă în acest caz este rotirea roții 2 împreună cu manivela cu o viteză unghiulară în jurul axei care trece prin punctul . Relativă va fi rotația roții 2 în jurul axei care trece prin punctul cu viteza unghiulară , iar absolută va fi rotația acestei roți în jurul axei care trece prin MCS, punctul , cu viteza unghiulară . În acest caz și deci viteza unghiulară de rotație absolută . Această rotație în direcție coincide cu direcția de rotație, care are o viteză unghiulară mare. Axa de rotație absolută este situată în afara segmentului din spatele axei de rotație cu o viteză unghiulară mai mare.

3) Câteva rotații. Câteva rotiri numită mulţimea a două rotaţii ale unui corp rigid, portabil şi relativ, în jurul axelor paralele cu aceleaşi viteze unghiulare în direcţii opuse (Fig. 77). În acest caz . Considerând mișcarea unui corp ca fiind complexă, conform teoremei de adunare a vitezelor pentru un punct, avem

Componentele mișcării sunt rotații cu viteze unghiulare și . Conform formulei lui Euler pentru ei, obținem

După aceea, pentru viteza absolută pe care o avem

deoarece . Având în vedere asta, obținem

pentru că produs vectorial atunci poate fi numit momentul vitezei unghiulare în jurul punctului

Este egal cu momentul vectorial al unei perechi de rotații, care poate fi exprimat și prin momentul vectorial al uneia dintre vitezele unghiulare relativ la orice punct situat pe axa de rotație a unui corp cu o viteză unghiulară diferită inclusă în pereche. a rotaţiilor. Viteza de translație a unui corp care participă la o pereche de rotații depinde numai de caracteristicile perechii de rotații. Este perpendicular pe axele perechii de rotații. Valoarea sa numerică poate fi exprimată ca

unde este cea mai scurtă distanță dintre axele perechii sau brațul perechii.

O pereche de rotații este similară cu o pereche de forțe care acționează asupra unui corp rigid. Vitezele unghiulare de rotație ale corpului, în mod similar forțelor, sunt vectori de alunecare. Momentul vectorial al unei perechi de forțe este un vector liber. Momentul vectorial al unei perechi de rotații are o proprietate similară.

Dacă un segment drept este fixat cu angrenajul 2, atunci acesta va rămâne paralel cu poziția inițială în timpul mișcării mecanismului. Dacă acest segment orizontal este aliniat cu fundul paharului cu apă, atașând paharul la un angrenaj mobil, atunci apa nu se va revărsa din sticlă atunci când mecanismul se mișcă într-un plan vertical.

La mișcare înainte traiectoriile tuturor punctelor corpului sunt aceleași. Punctul descrie un cerc cu raza . Traiectoriile tuturor celorlalte puncte ale angrenajului mobil vor fi, de asemenea, cercuri de aceeași rază. Corpul care participă la o pereche de rotații efectuează o mișcare plană de translație.

Luați în considerare cazul când mișcarea relativă a corpului este rotația cu o viteză unghiulară în jurul axei, montată pe o manivela în jurul axei cu o viteză unghiulară.

Dacă și sunt paralele, atunci mișcarea corpului va fi plan-paralelă față de planul perpendicular pe axele.

Să studiem separat cazurile în care rotațiile sunt direcționate într-o direcție și în direcții diferite.

6.2.1. Rotațiile sunt direcționate într-o singură direcție.

Să reprezentăm secțiunea (S) a corpului printr-un plan perpendicular pe axele. Urmele axelor din secțiunea (S) sunt afișate prin literele A și B. Este ușor de observat că punctul A, ca situat pe axa Aa /, primește viteză doar din rotirea în jurul axei Bv /, așadar. Similare. În acest caz, vectorii și sunt paraleli între ei (ambele sunt perpendiculare pe AB) și direcționați în direcții diferite. Atunci punctul C este MCS () și, prin urmare, axa Cc / , paralelă cu axele Aa / și Bv / este axa de rotație instantanee corp.

Pentru a determina viteza unghiulară a rotației absolute a corpului în jurul axei Сс / și poziția axei în sine, i.e. punctul C, folosim egalitatea

Din proprietățile proporțiilor, obținem

Înlocuind și , obținem:

Deci, dacă corpul participă simultan la două rotații direcționate în aceeași direcție în jurul axelor paralele, atunci mișcarea sa rezultată va fi o rotație instantanee cu o viteză unghiulară absolută în jurul unei axe instantanee paralele cu cea dată.

În timp, axa instantanee de rotație Cc / își va schimba poziția, descriind o suprafață cilindrică.

6.2.2. Rotațiile sunt direcționate în direcții diferite.

Să definim. Argumentând ca în cazul precedent

În același timp, ele sunt direcționate într-o singură direcție.

Apoi axa instantanee de rotație trece prin punctul C și

sau proprietăţi ale proporţiilor

Înlocuind valorile și , obținem

Deci, în acest caz, mișcarea rezultată este și o rotație instantanee cu viteză unghiulară absolută în jurul axei Сс / , a cărei poziție este determinată de proporția

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține:

Sectiunea mecanica teoretica

Mecanica tehnica.. sectiunea mecanică teoretică.. Orașul Tver..

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele sociale:

Toate subiectele din această secțiune:

Axiomele staticii
Aceste axiome sunt formulate pe baza observației și studiului fenomenelor din lumea reală care ne înconjoară. Unele legi de bază ale mecanicii Galileo-Newton sunt în același timp axe

Sistemul de forțe convergente
2.1.1 Echilibrul unui corp rigid căruia i se aplică un sistem de forțe convergente. Forțele convergente se numesc forțe, drepte ale căror acțiuni se intersectează într-un punct. Teorema. Siste

Sistemul de forțe plan arbitrar
2.2.1 Echilibrul unui corp rigid în prezență sistem plat forte. Cazul forțelor paralele. Rezultanta a două forțe paralele îndreptate în aceeași direcție este egală în mod

Sisteme de forțe convergente
Rezultanta sistemului spațial de forțe poate fi determinată prin construirea unui multiplicator spațial

Sistem spațial arbitrar de forțe
3.2.1. Moment de forță în jurul unui punct. Moment de forță în jurul axei. Teoria perechilor în spațiu. În cazul unui sistem plat de forțe, momentul de forță relativ la un punct este definit ca un algebric

Centrul de greutate
Gravitația este rezultanta forțelor de atracție către Pământ, este distribuită în întregul volum al corpului. Forțele de atracție aplicate particulelor unui corp solid formează un sistem de forțe,

Cinematică
1. INTRODUCERE Cinematica este o ramură a mecanicii care studiază mișcarea punctelor materiale și a corpurilor din spațiu dintr-un punct geometric

Mișcarea de translație a corpului
Mișcarea de translație a unui corp rigid este o astfel de mișcare în care orice linie dreaptă, sârmă

Mișcarea de rotație a unui corp rigid
Rotația este mișcarea unui corp rigid în care punctele corpului se mișcă în planuri perpendiculare pe o dreaptă fixă, numită axa de rotație a corpului și descrie cercuri, centrul

Ecuații de rotație uniformă a corpului
Rotația unui corp cu o viteză unghiulară constantă se numește Prointegr uniform

Ecuații de rotație a corpului cu variabile egale
Rotația unui corp, în care accelerația unghiulară este constantă, se numește rotație la fel de variabilă. Dacă valoarea

Adăugarea de viteze
Luați în considerare un punct M care face o mișcare complexă. Fie ca acest punct, deplasându-se de-a lungul traiectoriei sale relative AB, să facă o perioadă de timp

Adăugarea de accelerații. Teorema Coriolis
Găsiți relația dintre absolut, relativ

Centrul instantaneu de viteze (MVS)
MCC este un punct al unei figuri plate, a cărei viteză la un moment dat este egală cu zero. Teorema. Dacă viteza unghiulară a unei figuri plate nu este egală cu zero, atunci MCC există. Inainte de

Determinarea vitezei unui punct al unei figuri plane folosind MCS
Să alegem ca pol un punct P. Apoi viteza unui punct arbitrar A, deoarece

Accelerațiile punctelor în mișcare plană
Vom arăta că accelerația oricărui punct M al corpului într-o mișcare plană sau paralelă (precum și viteza) este suma accelerațiilor pe care le primește în mișcare de translație și rotație.

Centrul instantaneu de accelerație (ICC)
MCU este un punct al unei figuri plate, a cărei accelerație este egală cu zero. Dacă la un moment dat este dată accelerația unui punct A -

Cazuri speciale de determinare a MCC
1. Se cunoaște un punct a cărui accelerație este zero. Acest punct este MCC. De exemplu, să

Modalități de bază de a calcula accelerația unghiulară în mișcarea plană
1. Dacă legea modificării unghiului de rotație sau a vitezei unghiulare din timp este cunoscută, atunci accelerația unghiulară

Adăugarea mișcărilor de translație
Lasă un corp rigid să avanseze cu o viteză

Pereche de rotiri
Să luăm în considerare un caz special când rotațiile în jurul axelor paralele sunt direcționate în direcții diferite, dar modulo

Adăugarea rotațiilor în jurul axelor care se intersectează
Să luăm în considerare cazul adunării de rotație în jurul a două axe care se intersectează. Când ab

Adăugarea mișcărilor de translație și rotație
6.5.1. Viteza de translație perpendiculară pe axa de rotație (┴

Legile dinamicii
Dinamica se bazează pe legi stabilite prin generalizarea rezultatelor unui număr de experimente și observații. Aceste legi au fost formulate pentru prima dată sistematic de I. Newton în lucrarea sa clasică „Mat.

Probleme de dinamică pentru un punct material liber și neliber
Pentru un punct material liber, sarcinile dinamicii sunt: 1. Cunoașterea legii mișcării, determinați forța care acționează asupra acesteia (prima sarcină a dinamicii) 2. Cunoașterea forței care acționează, determinați

Mișcarea rectilinie a unui punct
Din cinematică se știe că mișcare rectilinie viteza și accelerația unui punct sunt întotdeauna direcționate de-a lungul aceleiași drepte. Deoarece direcția de accelerație este aceeași cu direcția de acțiune cu

Mișcarea curbilinie a unui punct
Luați în considerare un punct material liber care se mișcă sub acțiunea forțelor

Momentul și energia cinetică a unui punct
Acestea sunt principalele caracteristici dinamice ale mișcării. Momentul unui punct este o mărime vectorială

Impulsul de forta
Pentru a caracteriza acţiunea exercitată asupra corpului de către o forţă într-o anumită perioadă de timp, introducem conceptul de impuls al forţei. Un impuls elementar de forță este o mărime vectorială

Teorema privind modificarea impulsului unui punct
Deoarece masa punctului este constantă, iar accelerația sa, ecuația (3) (

Munca de forță. Putere
Pentru a caracteriza acțiunea exercitată de o forță asupra unui corp în timpul unora dintre deplasările acestuia, introducem

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct
Să considerăm un punct de masă m care se mișcă sub acțiunea forțelor aplicate acestuia din poziția M0, unde avea o viteză V0 până la poziția M1,

Teorema privind modificarea momentului unghiular
(teorema momentelor). Uneori, atunci când studiem mișcarea unui punct, în loc să schimbi vectorul în sine (m

Fluctuațiile rectilinie ale unui punct
4.1. Vibrații libere fără a ține cont de forțele de rezistență. Să considerăm un punct M care se mișcă sub acțiunea unei singure forțe de restabilire F, îndreptată spre

Oscilații libere cu rezistență proporțională cu viteza (oscilații amortizate)
Să vedem cum afectează vibratii libere rezistența mediului, presupunând că forța de rezistență este proporțională cu prima putere a vitezei:

Vibrații forțate. Rezonanţă
Să luăm în considerare cazul oscilațiilor, când un punct, pe lângă forța de restabilire F, este afectat și de o forță care se schimbă periodic în timp.

sistem mecanic
Un sistem mecanic de puncte sau corpuri materiale este un astfel de set al acestora în care poziția sau mișcarea fiecărui punct depinde de poziția și mișcarea tuturor celorlalți. mate

Masa sistemului. Centrul de masă
Mișcarea sistemului, pe lângă forțele care acționează, depinde de masa sa totală și de distribuția maselor. Masa sistemului este egală cu suma aritmetică a maselor tuturor punctelor sau corpurilor, arr

Ecuații diferențiale ale mișcării sistemului
Luați în considerare un sistem format din „n” puncte materiale. Să evidențiem un punct al sistemului cu masa mk. Să notăm rezultantele tuturor aplicate la punct

Teorema asupra mișcării centrului de masă
Adăugăm termen cu termen părțile din stânga și din dreapta ecuației (3). (4) Să transformăm le

Legea conservării mișcării centrului de masă
Consecințele importante pot fi obținute din teorema asupra mișcării centrului de masă. unu). Fie suma forțelor externe care acționează asupra sistemului să fie egală cu zero

Cantitatea sistemului de mișcare
Mărimea mișcării sistemului va fi numită mărime vectorială egală cu cea geometrică

Teorema privind modificarea impulsului
Luați în considerare un sistem format din „n” puncte materiale, vom compune pentru acest sistem ecuatii diferentiale mișcarea (2) și adăugați-le termen cu termen

Legea conservării impulsului
Consecințele importante pot fi obținute din teorema privind modificarea impulsului unui sistem. unu). Fie suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului să fie egală cu zero:

Momentul de inerție al corpului față de axă
Poziția centrului de masă caracterizează incomplet distribuția de masă a sistemului.

Momentul principal de impuls al sistemului
Momentul principal de impuls (sau momentul cinematic) al sistemului relativ la acest centru Aproximativ se numește valoarea lui K0, egală cu suma geometrică număr de momente

Teorema privind modificarea momentului principal al impulsului sistemului (teorema momentelor)
Teorema momentelor, demonstrată pentru un punct material, va fi valabilă pentru fiecare dintre punctele sistemului. Prin urmare, dacă luăm în considerare un punct al sistemului cu o masă mk, care are o viteză

Legea conservării momentului principal al impulsului
Următoarele corolare importante pot fi obținute din teorema momentului. unu). Fie suma momentelor în jurul centrului O a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului să fie egală cu zero:

Energia cinetică a sistemului
Energia cinetică a unui sistem este valoarea scalară T, care este egală cu suma aritmetică a energiilor cinetice ale tuturor punctelor din sistem.

Unele cazuri de calcul al muncii
Luați în considerare următoarele cazuri. unu). Lucrarea gravitației care acționează asupra sistemului. Lucrul gravitației care acționează asupra unei particule cu greutatea Pk va fi egal cu

Teorema privind modificarea energiei cinetice a sistemului
Arată în paragraful 3.5. teorema este valabilă pentru orice punct al sistemului. Prin urmare, dacă luăm în considerare un punct al sistemului cu masa mk și viteza Vk, atunci

Câmp de forță potențial și funcție de forță
Lucrați pentru a deplasa forța F aplicată într-un punct

Energie potențială
Pentru forțele potențiale, se poate deriva conceptul de energie potențială, ca cantitate care „caracterizează stocul de muncă” care punct materialîn acest paragraf câmpul de forță

Luați în considerare cazul când mișcarea relativă a corpului este o rotație cu o viteză unghiulară în jurul unei axe montate pe o manivelă (Fig. 198, a), iar mișcarea figurativă este o rotație a manivelei în jurul unei axe paralele cu o viteză unghiulară. Atunci mișcarea corpului va fi plan-paralelă față de un plan perpendicular pe axele. Aici sunt posibile trei cazuri speciale.

1. Rotațiile sunt direcționate într-o singură direcție. Să descriem secțiunea S a corpului printr-un plan perpendicular pe axele (Fig. 198, b). Notăm urmele axelor din secțiunea 5 cu literele A și B. Este ușor de observat că punctul A, așa cum se află pe axă, primește viteză doar din rotirea în jurul axei B, așadar, în același mod

În acest caz, vectorii sunt paraleli între ei (ambele perpendiculare pe AB) și direcționați în direcții diferite. Atunci punctul C (vezi § 56, Fig. 153, b) este centrul instantaneu al vitezelor și, în consecință, axa paralelă cu axele și Bb este axa instantanee de rotație a corpului.

Pentru a determina viteza unghiulară din rotația absolută a corpului în jurul axei și poziția axei în sine, adică punctul C, folosim egalitatea [vezi. § 56, formula (57)]

Ultimul rezultat se obține din proprietățile proporției. Înlocuind aceste egalități, găsim în cele din urmă:

În timp, axa instantanee de rotație își schimbă poziția, descriind o suprafață cilindrică.

2. Rotațiile sunt direcționate în direcții diferite. Să desenăm din nou o secțiune S a corpului (Fig. 199) și să presupunem, pentru definiție, că wcos. Apoi, argumentând ca în cazul precedent, constatăm că vitezele punctelor A și B vor fi numeric egale: în același timp, sunt paralele între ele și direcționate în aceeași direcție.

Apoi axa instantanee de rotație trece prin punctul C (Fig. 199) și

Ultimul rezultat se obține și din proprietățile proporției. Înlocuind valorile în aceste egalități, găsim în cele din urmă:

Deci, în acest caz, mișcarea rezultată este și o rotație instantanee cu viteză unghiulară absolută în jurul axei, a cărei poziție este determinată de proporțiile (100).

3. Câteva rotații. Să luăm în considerare un caz special când rotațiile în jurul axelor paralele sunt direcționate în direcții diferite (Fig. 200), dar modulo .

Un astfel de set de rotații se numește pereche de rotații, iar vectorii formează o pereche de viteze unghiulare. În acest caz, obținem, Atunci (vezi § 56, Fig. 153, a) centrul instantaneu al vitezelor este la infinit și toate punctele corpului la un moment dat de timp au aceeași viteză.

În consecință, mișcarea rezultată a corpului va fi o mișcare de translație (sau instantanee de translație) cu o viteză egală numeric și direcționată perpendicular pe planul care trece prin vectori.Direcția vectorului v este determinată în același mod ca și direcția vectorului. momentul unei perechi de forțe a fost determinat în statică (vezi § 9). Cu alte cuvinte, o pereche de rotații este echivalentă cu mișcarea de translație (sau de translație instantanee) cu o viteză v egală cu momentul perechii de viteze unghiulare ale acestor rotații.

Dacă mișcările relative și portabile ale corpului sunt de rotație în jurul axei paralele (Fig. 133), atunci distribuția vitezelor absolute în corp la un moment dat este aceeași ca și în timpul mișcării de rotație în jurul axei instantanee, care este paralelă cu axele de rotație ale componentelor și împarte distanța dintre ele intern (dacă direcțiile rotațiilor de translație și relative coincid) sau extern (dacă direcțiile acestor rotații sunt înapoi) în părți invers proporționale cu vitezele unghiulare relative și de translație, adică.

unde sunt vitezele unghiulare de translație, relativă și, respectiv, absolută.

Dacă direcțiile vitezelor unghiulare și coincid (Fig. 133, a), atunci viteza unghiulară absolută este îndreptată în aceeași direcție și este egală în valoare absolută cu suma modulelor lor:

Dacă vectorii și sunt direcționați în direcții opuse (Fig. 133, b), atunci viteza unghiulară absolută este îndreptată către cea mai mare dintre ei și este egală în valoare absolută cu diferența dintre modulele lor, adică.

Dacă vitezele unghiulare relative și portabile formează o pereche de viteze unghiulare, adică (Fig. 133, c), atunci distribuția vitezelor absolute în corp este aceeași ca în mișcarea de translație și viteza absolută a oricărui punct al corpului la un moment dat este egal cu vectorul - momentul cuplurilor specificate:

Când se rezolvă probleme de adunare a rotațiilor în jurul axelor paralele, acestea operează adesea nu cu modulele vitezelor unghiulare, ci cu valorile lor algebrice, care sunt proiecții ale vitezelor unghiulare pe o axă paralelă cu axele rotațiilor luate în considerare. Alegerea direcției pozitive a axei indicate este arbitrară.

În acest caz, vitezele unghiulare dintr-o direcție sunt pozitive, iar cele din sens opus sunt valori negative, iar viteza unghiulară absolută este exprimată ca sumă algebrică a componentelor vitezelor unghiulare.

Exemplul 94. Într-un mecanism diferențial (Fig. 134, a și b), verigile conducătoare sunt roata 1 și purtătorul H, purtând axa satelitului dublu. Cunoscând vitezele unghiulare și roata 1 și purtătorul H, precum și numărul de dinți ai tuturor roților, găsiți viteza unghiulară a roții 3.

Soluţie. metoda (metoda Willis). Esența metodei constă în reducerea problemei analizei mecanismelor planetare și diferențiale la analiza mecanismelor obișnuite de angrenaj prin trecerea de la mișcarea absolută a legăturilor mecanismului planetar considerat la acestea. mișcare relativăîn raport cu șoferul.

Să presupunem că avem un mecanism planetar, ale cărui axe ale roților sunt paralele. Notați prin valorile algebrice ale vitezelor unghiulare absolute, respectiv, ale legăturilor și purtătorului H.

Pentru a trece la mișcare în raport cu purtătorul, să informăm mental întregul sistem de rotație în jurul axei purtătorului cu o viteză unghiulară (adică, egală cu viteza unghiulară a purtătorului, dar îndreptată în direcția opusă). Apoi purtătorul se va opri, iar legăturile și, pe baza teoremei de adunare a rotației, vor primi viteze unghiulare. Deoarece cu un suport fix obținem un mecanism obișnuit de angrenaj, ale cărui legături se rotesc în jurul axelor fixe, atunci formula (97) pentru rapoartele de transmisie poate fi aplicată acestui mecanism, ceea ce ne conduce la așa-numita formulă Willis:

unde este raportul de transmisie dintre legături și în mișcarea acestora față de purtătorul H (așa cum este indicat de superscript). Acest raport de transmisie, așa cum sa menționat deja, poate fi exprimat în termeni de design și parametrii geometrici ai mecanismului (numărul de dinți sau razele cercurilor inițiale care se află în cuplarea roților).

În problema noastră, aplicăm formula Willis la legăturile 1 și 3:

(raportul de transmisie între roțile 5 și 2 este pozitiv, deoarece roțile au angrenaj intern);

(aici raportul de transmisie este negativ, deoarece roțile 2 au transmisie externă).

În acest fel,

Fie, de exemplu, și, în plus, roata și suportul H se rotesc în aceeași direcție cu viteze unghiulare și . În acest caz . Dacă roata și suportul H s-au rotit în direcții opuse, atunci viteza unghiulară a uneia dintre aceste legături ar trebui să fie considerată o valoare pozitivă, iar cealaltă negativă.

În acest caz, cu aceleași valori absolute ale vitezelor unghiulare ale legăturilor și H, am avea:

adică roata 3 s-ar roti în aceeași direcție cu purtătorul, deoarece semnele vitezelor lor unghiulare coincid.

Dacă fixăm roata, obținem un mecanism planetar simplu. Formula Willis în acest caz rămâne în vigoare, este necesar doar să introduceți această formulă, care dă:

Metoda a 2-a (metoda centrelor de viteze instantanee). Deoarece legăturile unui mecanism planetar sau diferențial cu axe paralele realizează mișcare plan-paralelă, atunci când se analizează un astfel de mecanism, se poate aplica teoria mișcării plan-paralel și, în special, se poate folosi metoda centrelor instantanee de viteze. Este util să însoțiți soluția problemei cu construcția triunghiurilor de viteză, care sunt de obicei scoase din mecanism (Fig. 134, c). Razele roților mecanismului considerat vor fi notate cu . Atunci noi avem.