Viteza punctului.

Să trecem la rezolvarea celei de-a doua probleme principale a cinematicii unui punct - determinarea vitezei și a accelerației în funcție de vectorul, coordonatele sau mișcarea naturală deja date.

1. Viteza unui punct este o mărime vectorială care caracterizează viteza și direcția de mișcare a unui punct. În sistemul SI, viteza se măsoară în m/s.

A) Determinarea vitezei cu metoda vectoriala de precizare a miscarii .

Să fie dată mișcarea punctului mod vectorial, adică se cunoaşte ecuaţia vectorială (2.1): .

Orez. 2.6. Pentru a determina viteza unui punct

Lasă timp Dt vector raza punctului M se va schimba prin . Apoi viteza medie puncte M pe parcursul Dt se numește mărime vectorială

Reamintind definiția unei derivate, concluzionăm:

Aici și în cele ce urmează, semnul denotă diferențierea în funcție de timp. Când te străduiești Dt la zero vectorul și, în consecință, vectorul se rotesc în jurul punctului M iar în limită coincid cu tangenta la traiectorie în acest punct. În acest fel, vectorul viteză este egal cu derivata întâi a vectorului rază în raport cu timpul și este întotdeauna direcționat tangențial la traiectoria punctului.

b) Viteza punctului la modul de coordonare sarcini de mișcare.

Să derivăm formule pentru determinarea vitezei cu metoda coordonatelor de specificare a mișcării. Conform expresiei (2.5), avem:

Deoarece derivatele vectorilor unitari constante în mărime și direcție sunt egale cu zero, obținem

Un vector, ca orice vector, poate fi exprimat în termenii proiecțiilor sale:

Comparând expresiile (2.6) și (2.7) vedem că derivatele temporale ale coordonatelor au o valoare bine definită. sens geometric- sunt proiecții ale vectorului viteză pe axele de coordonate. Cunoscând proiecțiile, este ușor de calculat modulul și direcția vectorului viteză (Fig. 2.7):

Orez. 2.7.Determinarea mărimii și direcției vitezei

c) Determinarea vitezei cu modul firesc de stabilire a mişcării.

Orez. 2.8. Viteza punctului cu setare de mișcare naturală

Conform (2.4),

Unde - vector unitar tangentă. În acest fel,

Valoare V=dS/dt se numește viteza algebrică. Dacă dS/dt>0, apoi funcția S = S(t) crește și punctul se mișcă în direcția de creștere a coordonatei arcului S, acestea. punctul se deplasează într-o direcție pozitivă dS/dt<0 , apoi punctul se mișcă în direcția opusă.

2. accelerație punctuală

Accelerația este o mărime vectorială care caracterizează viteza de schimbare a modulului și direcția vectorului viteză. În sistem SI accelerația se măsoară în m/s 2 .

A) Determinarea accelerației cu metoda vectorială de specificare a mișcării .

Lasă punctul M atunci t este pe poziție M(t)și are o viteză V(t), iar la momentul de timp t + Dt este pe poziție M(t + Dt)și are o viteză V(t + Dt)(A se vedea figura 2.9).

Orez. 2.9. Accelerațiile unui punct cu metoda vectorială de specificare a mișcării

Accelerație medie pe o perioadă de timp Dt este raportul dintre schimbarea vitezei la Dt, acestea.

Limită la Dt® 0 se numește instantanee (sau pur și simplu accelerație) punctului M atunci t

Conform (2.11), accelerația cu metoda vectorială de specificare a mișcării este egală cu derivata vectorială a vitezei în raport cu timpul.

b). La accelerații cu metoda coordonatelor de specificare a mișcării .

Înlocuind (2.6) în (2.11) și diferențiind produsele dintre paranteze, găsim:

Având în vedere că derivatele vectorilor unitari sunt egale cu zero, obținem:

Un vector poate fi exprimat în termenii proiecțiilor sale:

Comparația dintre (2.12) și (2.13) arată că derivatele a doua de timp ale coordonatelor au o semnificație geometrică bine definită: ele sunt egale cu proiecțiile accelerației totale pe axele de coordonate, i.e.

Cunoscând proiecțiile, este ușor de calculat modulul de accelerație total și cosinusurile direcției care determină direcția acestuia:

în). Accelerația unui punct cu un mod natural de a specifica mișcarea

Să prezentăm câteva informații din geometria diferențială necesare pentru a determina accelerația în modul natural de precizare a mișcării.

Lasă punctul M se deplasează de-a lungul unei curbe spațiale. Fiecare punct al acestei curbe este asociat cu trei direcții reciproc ortogonale (tangențială, normală și binormală) care caracterizează în mod unic orientarea spațială a unui element infinit de mic al curbei în apropierea punctului dat. Mai jos este o descriere a procesului de determinare a acestor direcții.

Pentru a desena o tangentă la o curbă într-un punct M, desenați prin ea și un punct din apropiere M 1 secantă MM 1.

Orez. 2.10. Definirea unei tangente la traiectoria unui punct

Tangent la o curbă într-un punct M definită ca poziția limită a secantei MM 1în timp ce se străduiește pentru un punct M 1 până la punctul M(Fig. 2.10). Vectorul tangent unitar este de obicei notat cu litera greacă.

Să desenăm vectori unitari de tangente la traiectorie în puncte MȘi M 1. Mutați vectorul într-un punct M(Fig. 2.11) și formează un plan care trece prin acest punct și vectorii și . Repetarea procesului de formare a unor planuri similare în timp ce se străduiește pentru un punct M 1 până la punctul M, obtinem in limita un plan numit învecinat avion.

Orez. 2.11. Definiția unui plan de atingere

Evident, pentru o curbă plană, planul de contact coincide cu planul în care se află această curbă în sine. Avion care trece printr-un punct M iar perpendiculara pe tangenta in acel punct se numeste normal avion. Intersecția planului contiguu și normal formează o dreaptă numită principalul normal (Fig. 2.12).

Sunt date formulele de bază ale cinematicii unui punct material, derivarea lor și prezentarea teoriei.

Conţinut

Vezi si: Un exemplu de rezolvare a problemei (metoda coordonate de specificare a mișcării unui punct)

Formule de bază pentru cinematica unui punct material

Prezentăm formulele de bază pentru cinematica unui punct material. După aceea, dăm derivarea lor și prezentarea teoriei.

Vector rază al unui punct material M într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz :
,
unde sunt vectori unitari (orturi) în direcția axelor x, y, z.

Viteza punctului:
;
.
.
Vector unitar în direcția tangentei la calea punctului:
.

Accelerația punctului:
;
;
;
; ;

Accelerația tangențială (tangențială):
;
;
.

Accelerație normală:
;
;
.

Vector unitar îndreptat către centrul de curbură al traiectoriei punctului (de-a lungul normalei principale):
.

.

Vector rază și traiectorie punct

Se consideră mișcarea unui punct material M . Alegem un sistem de coordonate dreptunghiular fix Oxyz centrat într-un punct fix O . Atunci poziția punctului M este determinată în mod unic de coordonatele sale (x, y, z). Aceste coordonate sunt componente ale vectorului rază a punctului material.

Vectorul rază al punctului M este vectorul tras de la originea sistemului de coordonate fix O până la punctul M .
,
unde sunt vectorii unitari în direcția axelor x, y, z.

Pe măsură ce punctul se mișcă, coordonatele se schimbă cu timpul. Adică sunt funcții ale timpului. Apoi sistemul de ecuații
(1)
poate fi privită ca o ecuație a unei curbe dată de ecuații parametrice. O astfel de curbă este traiectoria unui punct.

Traiectoria unui punct material este linia de-a lungul căreia se mișcă punctul.

Dacă punctul se mișcă într-un plan, atunci puteți alege axele și sistemele de coordonate astfel încât să se afle în acest plan. Atunci traiectoria este determinată de două ecuații

În unele cazuri, timpul poate fi exclus din aceste ecuații. Atunci ecuația traiectoriei va avea o dependență de forma:
,
unde este o funcție. Această dependență conține doar variabile și . Nu contine un parametru.

Viteza punctului material

Viteza unui punct material este derivata în timp a vectorului său rază.

Conform definiției vitezei și definiției derivatei:

Derivatele timpului, în mecanică, sunt notate cu un punct deasupra simbolului. Înlocuiți aici expresia pentru vectorul rază:
,
unde am indicat în mod explicit dependența coordonatelor de timp. Primim:

,
Unde
,
,

- proiecţii de viteză pe axele de coordonate. Ele se obțin prin diferențierea în timp a componentelor vectorului rază
.

În acest fel
.
Modulul de viteza:
.

Tangent la cale

Din punct de vedere matematic, sistemul de ecuații (1) poate fi considerat drept ecuația unei linii (curbe) dată de ecuații parametrice. Timpul, în această considerație, joacă rolul unui parametru. Din cursul analizei matematice, se știe că vectorul direcție pentru tangenta la această curbă are următoarele componente:
.
Dar acestea sunt componentele vectorului viteză punctuală. i.e viteza punctului material este îndreptată tangenţial la traiectorie.

Toate acestea pot fi demonstrate direct. Fie ca în momentul de timp punctul să fie în poziție cu vectorul rază (vezi figura). Și la momentul de timp - într-o poziție cu un vector de rază. Desenați o linie dreaptă prin puncte. Prin definiție, o tangentă este o linie la care tinde linia când .
Să introducem notația:
;
;
.
Apoi vectorul este îndreptat de-a lungul liniei drepte.

Când tinde, linia dreaptă tinde către tangentă, iar vectorul tinde către viteza punctului în momentul de timp:
.
Deoarece vectorul este direcționat de-a lungul dreptei, iar linia dreaptă este la , atunci vectorul viteză este direcționat de-a lungul tangentei.
Adică, vectorul viteză al punctului material este direcționat de-a lungul tangentei la traiectorie.

Să vă prezentăm vector de direcție tangentă lungime unitară:
.
Să arătăm că lungimea acestui vector este egală cu unu. Într-adevăr, pentru că
, apoi:
.

Atunci vectorul viteza punctului poate fi reprezentat ca:
.

Accelerația punctului material

Accelerația unui punct material este derivata vitezei sale în raport cu timpul.

Similar cu cea precedentă, obținem componentele accelerației (proiecții accelerației pe axele de coordonate):
;
;
;
.
Modul de accelerare:
.

Accelerații tangenţiale (tangenţiale) şi normale

Acum luați în considerare întrebarea direcției vectorului de accelerație în raport cu traiectoria. Pentru a face acest lucru, aplicați formula:
.
Diferențiați-l în funcție de timp folosind regula de diferențiere a produsului:
.

Vectorul este direcționat tangențial la traiectorie. În ce direcție este îndreptată derivata sa de timp?

Pentru a răspunde la această întrebare, folosim faptul că lungimea vectorului este constantă și egală cu unu. Atunci pătratul lungimii sale este, de asemenea, egal cu unu:
.
Aici și mai jos, doi vectori în paranteze indică produsul scalar al vectorilor. Diferențiază ultima ecuație în funcție de timp:
;
;
.
Deoarece produsul scalar al vectorilor și este egal cu zero, acești vectori sunt perpendiculari unul pe celălalt. Deoarece vectorul este tangent la cale, vectorul este perpendicular pe tangente.

Prima componentă se numește accelerație tangențială sau tangențială:
.
A doua componentă se numește accelerație normală:
.
Atunci accelerația totală este:
(2) .
Această formulă este o descompunere a accelerației în două componente reciproc perpendiculare - tangentă la traiectorie și perpendiculară pe tangentă.

De atunci
(3) .

Accelerație tangenţială (tangenţială).

Înmulțiți ambele părți ale ecuației (2) scalar la:
.
Pentru că atunci . Apoi
;
.
Aici punem:
.
Din aceasta se poate observa că accelerația tangențială este egală cu proiecția accelerației totale pe direcția tangentei la traiectorie sau, ceea ce este aceeași, pe direcția vitezei punctului.

Accelerația tangențială (tangențială) a unui punct material este proiecția accelerației sale complete pe direcția tangentei la traiectorie (sau pe direcția vitezei).

Notăm prin simbol vectorul de accelerație tangențială direcționat de-a lungul tangentei la traiectorie. Atunci este o valoare scalară egală cu proiecția accelerației totale pe direcția tangentei. Poate fi atât pozitiv, cât și negativ.

Înlocuind , avem:
.

Inlocuieste in formula:
.
Apoi:
.
Adică accelerația tangențială este egală cu derivata în timp a modulului vitezei punctului. În acest fel, accelerația tangențială duce la o modificare a valorii absolute a vitezei punctului. Pe măsură ce viteza crește, accelerația tangențială este pozitivă (sau direcționată de-a lungul vitezei). Pe măsură ce viteza scade, accelerația tangențială este negativă (sau opusă vitezei).

Acum să examinăm vectorul.

Se consideră vectorul unitar al tangentei la traiectorie. Îi plasăm originea la originea sistemului de coordonate. Apoi capătul vectorului va fi pe o sferă cu raza unitară. Când mutați un punct material, capătul vectorului se va deplasa de-a lungul acestei sfere. Adică se va învârti în jurul originii sale. Fie viteza unghiulară instantanee de rotație a vectorului în timp . Atunci derivata sa este viteza de mișcare a capătului vectorului. Este îndreptată perpendicular pe vector. Să aplicăm formula pentru mișcarea de rotație. Modulul vectorial:
.

Acum luați în considerare poziția punctului pentru doi timpi apropiati. Fie în momentul de timp punctul este în poziție, iar în momentul de timp - în poziție. Fie și vectori unitari direcționați tangențial la traiectorie în aceste puncte. Prin punctele și desenați plane perpendiculare pe vectorii și . Fie o dreaptă formată prin intersecția acestor plane. Aruncă o perpendiculară de la un punct la o dreaptă. Dacă pozițiile punctelor și sunt suficient de apropiate, atunci mișcarea punctului poate fi considerată ca o rotație de-a lungul unui cerc de rază în jurul axei, care va fi axa instantanee de rotație a punctului material. Deoarece vectorii și sunt perpendiculari pe planele și , unghiul dintre aceste plane este egal cu unghiul dintre vectorii și . Atunci viteza instantanee de rotație a punctului în jurul axei este egală cu viteza instantanee de rotație a vectorului:
.
Aici este distanța dintre puncte și .

Astfel, am găsit modulul derivatei în timp a vectorului:
.
După cum am subliniat mai devreme, vectorul este perpendicular pe vector. Din raționamentul de mai sus se poate observa că este îndreptat către centrul de curbură instantaneu al traiectoriei. Această direcție se numește normală principală.

Accelerație normală

Accelerație normală

îndreptată de-a lungul vectorului . După cum am aflat, acest vector este îndreptat perpendicular pe tangentă, spre centrul de curbură instantaneu al traiectoriei.
Fie un vector unitar îndreptat de la un punct material către centrul instantaneu de curbură al traiectoriei (de-a lungul normalei principale). Apoi
;
.
Deoarece ambii vectori și au aceeași direcție - spre centrul de curbură al traiectoriei, atunci
.

Din formula (2) avem:
(4) .
Din formula (3) găsiți modulul accelerație normală:
.

Înmulțiți ambele părți ale ecuației (2) scalar la:
(2) .
.
Pentru că atunci . Apoi
;
.
Aceasta arată că modulul de accelerație normală este egal cu proiecția accelerației totale pe direcția normalei principale.

Accelerația normală a unui punct material este proiecția accelerației sale totale pe direcția perpendiculară pe tangenta la traiectorie.

Să înlocuim. Apoi
.
Adică, accelerația normală determină o schimbare a direcției vitezei punctului și este legată de raza de curbură a traiectoriei.

De aici puteți găsi raza de curbură a traiectoriei:
.

În cele din urmă, observăm că formula (4) poate fi rescris sub următoarea formă:
.
Aici am aplicat formula pentru produsul încrucișat a trei vectori:
,
în care s-au încadrat
.

Deci avem:
;
.
Să echivalăm modulele părților din stânga și din dreapta:
.
Dar vectorii și sunt reciproc perpendiculari. De aceea
.
Apoi
.
Aceasta este o formulă binecunoscută din geometria diferențială pentru curbura unei curbe.

Vezi si: 1. Metode de precizare a mișcării unui punct într-un sistem de referință dat

Sarcinile principale ale cinematicii punctuale sunt:

1. Descrierea modalităților de a specifica mișcarea unui punct.

2. Determinarea caracteristicilor cinematice ale mișcării unui punct (viteză, accelerație) după o lege dată a mișcării.

mișcare mecanică − modificarea pozitiei unui corp fata de altul (corp de referință), care este asociat cu un sistem de coordonate numit sistem de referință .

Locul pozițiilor succesive ale unui punct în mișcare în cadrul de referință luat în considerare este numit traiectorie puncte.

Pune mișcare − este de a oferi o cale prin care se poate determina poziția unui punct în orice moment de timp față de cadrul de referință ales. Principalele modalități de a specifica mișcarea unui punct sunt:

vector, coordonat și natural .

1.Modul vectorial de a seta mișcarea (Fig. 1).

Poziția unui punct este determinată de un vector rază trasat dintr-un punct fix asociat corpului de referință: − ecuația vectorială a mișcării punctului.

2. Modul coordonat de a pune mișcarea (Fig. 2).

În acest caz, coordonatele punctului sunt date în funcție de timp:

- ecuațiile de mișcare ale unui punct sub formă de coordonate.

Acestea sunt ecuațiile parametrice ale traiectoriei unui punct în mișcare, în care timpul joacă rolul unui parametru. Pentru a-și scrie ecuația în formă explicită, este necesar să excludem din ele. În cazul unei traiectorii spațiale, excluzând , obținem:

În cazul unei traiectorii plane

eliminând , obținem:

Sau .

3. Modul natural de a defini mișcarea (Fig. 3).

În acest caz, setați:

1) traiectoria punctului,

2) punct de referință pe traiectorie,

3) direcția de referință pozitivă,

4) legea modificării coordonatei arcului: .

Această metodă este convenabilă de utilizat atunci când traiectoria punctului este cunoscută dinainte.

2. Viteza și punctul de accelerație

Luați în considerare mișcarea unui punct pe o perioadă scurtă de timp(Fig. 4):

Apoi − viteza medie a unui punct pentru o perioadă de timp.

Viteza unui punct la un moment dat de timp se găsește ca limită a vitezei medii la :

Viteza punctului − este măsura cinematică a mișcării sale, egală cu derivată în timp a vectorului rază a acestui punct în cadrul de referinţă luat în considerare.

Vectorul viteză este direcționat tangențial la traiectoria punctului în direcția mișcării.

Accelerația medie caracterizează modificarea vectorului viteză pe o perioadă scurtă de timp(Fig. 5).

Accelerația unui punct la un moment dat se găsește ca limită a accelerației medii la :

Accelerația punctuală − este o măsură a modificării vitezei sale, egală cu derivata în timp de la viteza acestui punct sau derivata a doua a vectorului rază a punctului în timp .

Accelerația unui punct caracterizează modificarea vectorului viteză în mărime și direcție. Vectorul accelerație este îndreptat spre concavitatea traiectoriei.

3. Determinarea vitezei și accelerației unui punct cu metoda coordonatelor de specificare a mișcării

Relația dintre metoda vectorială de specificare a mișcării și metoda coordonatelor este dată de relația

(Fig. 6).

Din definiția vitezei:

Proiecțiile vitezei pe axele de coordonate sunt egale cu derivatele coordonatelor corespunzătoare în raport cu timpul

, , . .

Modulul și direcția vitezei sunt determinate de expresiile:

Aici și mai jos, punctul de mai sus indică diferențierea în funcție de timp

Din definiția accelerației:

Proiecțiile accelerației pe axele de coordonate sunt egale cu derivatele a doua de timp ale coordonatelor corespunzătoare:

, , .

Modulul și direcția de accelerație sunt determinate de expresiile:

, , .

4 Viteza și accelerația unui punct cu un mod natural de a specifica mișcarea

4.1 Axele naturale.

Determinarea vitezei și accelerației unui punct cu un mod natural de specificare a mișcării

Axele naturale (tangentă, normală principală, binormală) sunt axele unui sistem de coordonate dreptunghiular în mișcare cu originea în punctul în mișcare. Poziția lor este determinată de traiectoria mișcării. Tangenta (cu vector unitar ) este îndreptată tangențial în direcția pozitivă a coordonatei arcului și se găsește ca poziție limită a secantei care trece prin punctul dat (Fig. 9). Un plan de contact trece prin tangentă (Fig. 10), care se găsește ca poziție limită a planului p întrucât punctul M1 tinde spre punctul M. Planul normal este perpendicular pe tangente. Linia de intersecție a planurilor normale și contigue este normala principală. Vectorul unitar al normalei principale este îndreptat spre concavitatea traiectoriei. Binormalul (cu vectorul unitar ) este direcționat perpendicular pe tangentă și normala principală astfel încât ortele , și să formeze triplul drept al vectorilor. Planurile de coordonate ale sistemului de coordonate în mișcare introdus (contiguu, normal și rectificativ) formează un triedru natural care se mișcă cu punctul în mișcare ca un corp rigid. Mișcarea sa în spațiu este determinată de traiectorie și legea de schimbare a coordonatei arcului.

Din definiția vitezei punctului

unde , este vectorul unitar al tangentei.

Apoi

, .

Viteza algebrică − proiecția vectorului viteză pe tangentă egală cu derivata în timp a coordonatei arcului. Dacă derivata este pozitivă, atunci punctul se mișcă în direcția pozitivă a referinței de coordonate arcului.

Din definiția accelerației

− vector direcţional şi

Derivata este determinata doar de tipul de traiectorie in vecinatatea unui punct dat, introducand in considerare unghiul de rotatie al tangentei, avem

Acum să fie cunoscută funcția. Pe fig. 5.10
Și
 vectorii viteză ai punctului în mişcare la momente tși  t. Pentru a obține incrementul vectorului viteză
muta vectorul în paralel
exact M:

Accelerația medie a unui punct pe o perioadă de timp  t este raportul dintre incrementul vectorului viteză
la intervalul de timp t:

Prin urmare, accelerația unui punct la un moment dat de timp este egală cu prima derivată temporală a vectorului viteză al punctului sau cu derivata a doua temporală a vectorului rază

. (5.11)

accelerație punctuală aceasta este o mărime vectorială care caracterizează viteza de schimbare a vectorului viteză în raport cu timpul.

Să construim un hodograf de viteză (Fig.5.11). Prin definiție, hodograful vitezei este curba pe care o trasează capătul vectorului viteză atunci când punctul se mișcă, dacă vectorul viteză este reprezentat din același punct.

Determinarea vitezei unui punct cu metoda coordonatelor de precizare a mișcării acestuia

Fie dată mișcarea unui punct într-un mod de coordonate într-un sistem de coordonate carteziene

X = X(t), y = y(t), z = z(t)

Raza-vector al unui punct este egal cu

.

Deoarece vectorii unitari
constantă, apoi prin definiție

. (5.12)

Să notăm proiecțiile vectorului viteză pe axe Oh, OUȘi Oz peste V X , V y , V z

(5.13)

Comparând egalitățile (5.12) și (5.13) obținem

(5.14)

În cele ce urmează, derivata în timp va fi notată printr-un punct de sus, adică,

.

Modulul de viteză punctual este determinat de formulă

. (5.15)

Direcția vectorului viteză este determinată de cosinusurile direcției:

Determinarea accelerației unui punct cu metoda coordonatelor de precizare a mișcării acestuia

Vectorul viteză în sistemul de coordonate carteziene este

.

Prin definitie

Să notăm proiecțiile vectorului accelerație pe axe Oh, OUȘi Oz peste dar X , dar y , dar z respectiv, și extinde vectorul viteză de-a lungul axelor:

. (5.17)

Comparând egalitățile (5.16) și (5.17) obținem

Modulul vectorului de accelerație punctual este calculat în mod similar cu modulul vectorului viteza punctului:

, (5.19)

iar direcția vectorului de accelerație este direcția cosinusului:

Determinarea vitezei și accelerației unui punct cu o modalitate naturală de precizare a mișcării acestuia

Această metodă utilizează axe naturale cu originea în poziția curentă a punctului M pe traiectorie (Figura 5.12) și pe vectorii unitari Vector unitar direcționat tangențial la traiectorie în direcția referinței pozitive a arcului, vectorul unitar îndreptat de-a lungul normalei principale a traiectoriei spre concavitatea acesteia, vectorul unitar îndreptată de-a lungul binormalului către traiectoria în punct M.

Horts Și se află în plan contigu, orts Și în plan normal, orts Și  în plan de îndreptare.

Triedrul rezultat se numește natural.

Să fie dată legea mișcării unui punct s = s(t).

vector rază puncte M cu privire la un punct fix va fi o funcție complexă a timpului
.

Din geometria diferenţială se cunosc formulele Serre-Fresnet, care stabilesc legături între vectorii unitari ai axelor naturale şi funcţia vectorială a curbei.

unde  este raza de curbură a traiectoriei.

Folosind definiția vitezei și formula Serre Frenet, obținem:

. (5.20)

Indicând proiecția vitezei pe tangente iar ținând cont că vectorul viteză este direcționat tangențial, avem

. (5.21)

Comparând egalitățile (5.20) și (5.21), obținem formule pentru determinarea vectorului viteză în mărime și direcție

Valoare este pozitiv dacă punctul M se deplasează în direcția de referință a arcului pozitiv s si negativ in rest.

Folosind definiția accelerației și formula Serre Frenet, obținem:

Indicați proiecția accelerației punctuale la o tangentă , principal normal și binormal
respectiv.

Atunci accelerația este

Din formulele (5.23) și (5.24) rezultă că vectorul accelerație se află întotdeauna în planul contiguu și se extinde în direcțiile Și :

(5.25)

Proiecția accelerației pe o tangentă
numit tangentă sau accelerație tangențială. Caracterizează modificarea mărimii vitezei.

Proiecția accelerației pe normala principală
numit accelerație normală. Caracterizează schimbarea vectorului viteză în direcție.

Modulul vectorului de accelerație este egal cu
.

Dacă Și un semn, atunci mișcarea punctului va fi accelerată.

Dacă Și semne diferite, atunci mișcarea punctului va fi lentă.

Viteza unui punct este un vector care determină în fiecare moment dat viteza și direcția de mișcare a punctului.

Viteza mișcării uniforme este determinată de raportul dintre traseul parcurs de un punct într-o anumită perioadă de timp și valoarea acestei perioade de timp.

Viteză; S- cale; t- timp.

Viteza se măsoară în unități de lungime împărțite la o unitate de timp: m/s; cm/s; km/h etc.

În cazul mișcării rectilinie, vectorul viteză este direcționat de-a lungul traiectoriei în direcția mișcării sale.

Dacă un punct parcurge trasee inegale în intervale de timp egale, atunci această mișcare se numește neuniformă. Viteza este o variabilă și este o funcție de timp.

Viteza medie a unui punct într-o anumită perioadă de timp este viteza unei astfel de mișcări rectilinie uniforme la care punctul ar primi aceeași mișcare în această perioadă de timp ca în mișcarea sa considerată.

Să considerăm un punct M care se deplasează de-a lungul unei traiectorii curbilinii dată de lege

În timpul intervalului de timp?t, punctul M se va deplasa în poziția M 1 de-a lungul arcului MM 1. Dacă intervalul de timp?t este mic, atunci arcul MM 1 poate fi înlocuit cu o coardă și, în prima aproximare, găsiți viteza medie a punctului

Această viteză este direcționată de-a lungul coardei de la punctul M la punctul M 1 . Găsim viteza adevărată mergând la limita când t> 0

Când?t> 0, direcția coardei în limită coincide cu direcția tangentei la traiectorie în punctul M.

Astfel, viteza unui punct este definită ca limita raportului dintre creșterea traseului și intervalul de timp corespunzător, deoarece acesta din urmă tinde spre zero. Direcția vitezei coincide cu tangenta la traiectorie în punctul dat.

accelerație punctuală

Rețineți că, în cazul general, atunci când vă deplasați de-a lungul unei traiectorii curbilinii, viteza unui punct se modifică atât în ​​direcție, cât și în mărime. Modificarea vitezei pe unitatea de timp este determinată de accelerație. Cu alte cuvinte, accelerația unui punct este o mărime care caracterizează rata de schimbare a vitezei în timp. Dacă pentru un interval de timp t viteza se modifică cu o valoare, atunci accelerația medie

Adevărata accelerație a unui punct la un moment dat t este valoarea la care tinde accelerația medie când? t\u003e 0, adică

Cu un interval de timp care tinde spre zero, vectorul de accelerație se va schimba atât în ​​mărime, cât și în direcție, tinzând spre limita sa.

Dimensiunea accelerației

Accelerația poate fi exprimată în m/s 2 ; cm/s 2 etc.

În cazul general, când mișcarea unui punct este dată într-un mod natural, vectorul accelerație este de obicei descompus în două componente direcționate de-a lungul tangentei și de-a lungul normalei la traiectoria punctului.

Atunci accelerația unui punct la momentul t poate fi reprezentată ca

Să notăm limitele constituente prin și.

Direcția vectorului nu depinde de mărimea intervalului de timp?t.

Această accelerație coincide întotdeauna cu direcția vitezei, adică este direcționată tangențial la traiectoria punctului și de aceea se numește accelerație tangențială sau tangențială.

A doua componentă a accelerației punctului este îndreptată perpendicular pe tangenta la traiectorie în acest punct spre concavitatea curbei și afectează schimbarea direcției vectorului viteză. Această componentă a accelerației se numește accelerație normală.

Deoarece valoarea numerică a vectorului este egală cu incrementul vitezei punctului pe intervalul de timp considerat?t, atunci valoarea numerică a accelerației tangențiale

Valoarea numerică a accelerației tangențiale a unui punct este egală cu derivata în timp a valorii numerice a vitezei. Valoarea numerică a accelerației normale a unui punct este egală cu pătratul vitezei punctului împărțit la raza de curbură a traiectoriei în punctul corespunzător al curbei

Accelerație completă cu neuniform mișcare curbilinie punctul se formează geometric din accelerațiile tangențiale și normale.