Mișcarea curbilinie este o mișcare a cărei traiectorie este o linie curbă. (De exemplu, cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă). Un exemplu de mișcare curbilinie este mișcarea planetelor, capătul acelui ceasului de pe cadran etc. În cazul general, viteza în timpul mișcării curbilinie se modifică în mărime și în direcție.
Mișcare curbilinie punct material este considerată mișcare uniformă dacă modulul vitezei este constant (de exemplu, mișcare uniformăîn jurul unui cerc) și uniform accelerat dacă modulul și direcția vitezei se schimbă (de exemplu, mișcarea unui corp aruncat într-un unghi față de orizont).
Orez. unu
Când se deplasează de-a lungul unei traiectorii curbilinii, vectorul de deplasare este direcționat de-a lungul coardei (Fig. 1) și l- lungimea traiectoriei. Viteza instantanee a corpului (adică viteza corpului într-un punct dat al traiectoriei) este direcționată tangențial în acel punct al traiectoriei în care se află în prezent corpul în mișcare (Fig. 2).
Orez. 2
Mișcarea curbilinie este întotdeauna mișcare accelerată. Adică, accelerația în timpul mișcării curbilinie este întotdeauna prezentă, chiar dacă modulul de viteză nu se modifică, ci se schimbă doar direcția vitezei. Modificarea vitezei pe unitatea de timp este accelerația tangențială:
Unde v f , v 0 - magnitudinea vitezelor la momentul de timp t 0 + DtȘi t 0 respectiv.
Accelerația tangențială într-un punct dat al traiectoriei în direcție coincide cu direcția vitezei corpului sau este opusă acesteia.
Accelerația normală este schimbarea vitezei în direcție pe unitatea de timp:
Accelerația normală este direcționată de-a lungul razei de curbură a traiectoriei (spre axa de rotație). Accelerația normală este perpendiculară pe direcția vitezei.
Accelerația centripetă este accelerația normală în mișcare circulară uniformă.
Accelerația totală pentru mișcarea curbilinie uniformă a corpului este:
Mișcarea unui corp de-a lungul unei traiectorii curbilinii poate fi reprezentată aproximativ ca mișcare de-a lungul arcurilor unor cercuri (Fig. 3).
În unele probleme se folosește conceptul de „flotabilitate”, adică diferența dintre forța de ridicare a lui Arhimede și forța gravitației. Problemele de complexitate crescută sunt marcate cu un asterisc (opțiunile 116–123).
Problema 91. Un submarin care nu avea un curs, care a primit puțină flotabilitate R = 0.01mg m. T = 0.01mg. Luați forța de rezistență proporțională cu prima putere a vitezei V si egali R=–0.1mV.Determinați traiectoria ambarcațiunii și distanța parcursă de aceasta pe orizontală până la momentul ascensiunii.
Problema 92. Determinați legea mișcării X (t), y (t) punct material greu M mase m = 5 kg O forță direct proporțională cu distanța până la aceasta. Mișcarea are loc în vid, forța de atracție, k = 20 din –1 g = 9.8 Domnișoară, v X 0 = 200 Domnișoară, . Axă Bou orizontală și axului Oi
Problema 93. Submarinul, care nu avea curs, era la suprafață la distanță m de Jos. Câștigă flotabilitate negativă R= 0.1mg, ea începe să evite urmărirea cu o viteză foarte liniștită, care este asigurată de o mică forță orizontală constantă a motorului T = 0.001mg. Componenta orizontală a forței de rezistență poate fi neglijată, iar componenta sa verticală poate fi luată egală cu R = –0.05mgV, unde este viteza verticală a bărcii care se scufundă. Determinați legea mișcării ambarcațiunii și distanța pe care a parcurs-o orizontal până când atinge fundul.
Problema 94. Punct M mase m = 5 kg O k = 20 c –1 , r este vectorul rază al punctului. În momentul inițial, punctul M avea coordonate M 0 (A,0), a = 24 m, iar viteza v 0 cu proiecțiile v X 0 = 0,v y 0 = 4 Domnișoară. Determinați legea mișcării și traiectoria unui punct M
Problema 95. R = 0.001mg, începe să se ridice din adâncime m.În același timp, motorul care a început să funcționeze oferă o forță de tracțiune orizontală constantă. Componenta verticală a forței de tracțiune poate fi neglijată, iar componenta sa orizontală poate fi luată egală cu, unde este viteza orizontală a bărcii. Determinați traiectoria bărcii și distanța parcursă de aceasta pe orizontală până la momentul ascensiunii.
Problema 96. Submarin care se deplasează la suprafață cu viteză mică U 0 = 0.5 Domnișoară R = 0.5mg, a început o scufundare de urgență cu motoarele oprite. Componenta orizontală a forței de tracțiune poate fi neglijată, iar componenta sa verticală poate fi luată egală cu, unde este viteza pe verticală a ambarcațiunii care se scufundă. Determinați legea mișcării ambarcațiunii și distanța pe care a parcurs-o orizontal până când se scufundă la adâncime m.
Problema 97. corp M mase m = 8 kg, luat ca punct material și situat pe un plan neted înclinat cu un unghi de înclinare față de orizont = 30 ° (Fig. 19), viteza inițială este raportată v 0 = 18 Domnișoară, îndreptată la un unghi = 45° față de axă Xși întins într-un avion hu. Axă y g = 9.8 Domnișoară X (t), y(t).
Fig.19
Problema 98. Un submarin care se deplasează la suprafață cu o viteză U 0 = 0.5 Domnișoară, având o flotabilitate negativă R = 0.1mg, a început scufundarea cu motoarele oprite. Luați forța de rezistență proporțională cu prima putere a vitezei Vși egal.Determină traiectoria bărcii și distanța pe care a parcurs-o orizontal până când se scufundă la adâncime. m.
Problema 99. Cea mai mare rază orizontală a proiectilului m realizat la un unghi de aruncare față de orizont. Determinați cu ce este egală viteza inițială a proiectilului v 0. Accelerare cădere liberă g = 9.8 Domnișoară Viteza inițială a proiectilului v 0 la părăsirea țevii pistolului este fixă.
Sarcina 100. Pistolul de coastă situat la înălțime m deasupra nivelului mării, trage proiectile care au o viteză de U 0 = 1500 Domnișoară. Determinați intervalul de lovire a unei ținte cu o lovitură orizontală și legea mișcării proiectilului X(t), y (t), dacă componenta verticală a forței de tracțiune poate fi neglijată, iar componenta orizontală a acesteia poate fi luată egală cu, unde este viteza orizontală a proiectilului.
Sarcina 101. Determinați legea mișcării X (t), y (t) punct material M mase m = 8 kg, atras de centrul fix O k = 12 c-unu . La momentul inițial al timpului () X 0 = 18 m, v y 0 = 6 Domnișoară. Ignora gravitația pământului.
Sarcina 102. Punctul de masă material m Oxy . Modulul de forță se modifică conform legii. viteza de pornire Domnișoarăîndreptată sub un unghi () față de linia de acțiune a forței. Obțineți ecuația traiectoriei unui punct y (X).
Problema 103. Punct M mase m = 8 kg se deplasează sub acţiunea unei forţe de respingere dintr-un centru fix O, care variază conform legii, unde k = 12 c –1 , r g = 9.8 Domnișoară 2. La momentul inițial al timpului () X 0 = 20 m, v y 0 = 50 Domnișoară. Axă Bou orizontală și axului Oi X (t), y(t) și traiectoria y (X) puncte M.
Sarcina 104. Punctul de masă material m deplasându-se pe un plan orizontal neted Oxy sub influența unei forțe îndreptate paralel cu axa la(vezi fig. 19). Modulul de forță se modifică conform legii. viteza de pornire Domnișoarăîndreptată perpendicular pe linia de acţiune a forţei. Găsiți legea mișcării X (t), y (t) și ecuația traiectoriei punctului y = y (X).
Problema 105. corp M mase m = 20 kg, luat ca punct material si situat pe un plan neted inclinat cu un unghi de inclinare fata de orizont = 60° (vezi Fig. 19), se raporteaza viteza initiala v 0 = 2 Domnișoară Xși întins într-un avion hu. Axă y orizontală. Accelerația gravitației g = 9.8 Domnișoară 2. Determinați legea mișcării unui corp de-a lungul unui plan înclinat X (t), y (t).
Problema 106. Cu un unghi de aruncare \u003d 60 ° față de orizont, proiectilul are o rază de zbor orizontală m. Determinați cu ce este egală viteza inițială a proiectilului v 0 în acest caz. Găsiți, de asemenea, intervalul orizontal și înălțimea maximă a traiectoriei la un unghi de aruncare de 30°. Accelerația gravitației g = 9.8 Domnișoară
Problema 107. Determinați legea mișcării X (t), y (t) punct material greu M mase m = 6 kg, atras de centrul fix O forță direct proporțională cu distanța până la aceasta. Mișcarea are loc în vid, forța de atracție este egală, k = 8 c g = 9.8 Domnișoară 2. La momentul inițial al timpului () X 0 = 24 m, la 0 = 40 m, . Axă Bou orizontală și axului Oiîndreptată vertical în sus.
Problema 108. Punct M mase m = 4 kg se deplasează sub acţiunea unei forţe de respingere dintr-un centru fix O, care variază conform legii, unde k = 10 c –1 , r este vectorul rază al punctului. Accelerația gravitației g = 9.8 Domnișoară 2. La momentul inițial al timpului () X 0 = 2 m, v X 0 = 4 Domnișoară, . Axă Bou orizontală și axului Oiîndreptată vertical în sus. Determinați legea mișcării X (t), y(t) și traiectoria y (X) puncte M.
Problema 109. parașutist în masă cade cu parașuta deschisă pe Pământ în aer calm pe verticală, cu o viteză constantă Domnișoară. La inaltime m deasupra suprafeței Pământului, el, după ce a tras liniile, capătă o viteză orizontală Domnișoară. Determinați mărimea abaterii orizontale a parașutistului de la direcția inițială a mișcării sale în momentul aterizării și legea mișcării sale, dacă menține liniile în aceeași poziție în timpul coborârii ulterioare. Componenta orizontală a forței de tracțiune care acționează asupra parașutistului în fluxul de aer, Rx = –0.01mV x, unde este viteza orizontală a parașutistului. Ignorați modificarea componentei verticale a forței de tracțiune cauzată de înclinarea copertinei parașutei.
Sarcina 110. Pornind de la suprafața Pământului, o rachetă de masă kg se mișcă în primele 10 din sub acţiunea unei forţe de tracţiune îndreptată în unghi faţă de orizontală. Apoi forța de tracțiune este oprită. Determinați traiectoria proiectilului și raza de acțiune a acestuia. Ignorați forța de rezistență a aerului.
Sarcina 111. corp M mase m = 28 kg, luat ca punct material și situat pe un plan neted înclinat cu un unghi de înclinare față de orizont = 45 ° (vezi Fig. 19), viteza inițială v 0 = 34 Domnișoară, îndreptată la un unghi = 30° față de axă Xși întins într-un avion hu. Axă y orizontală. Accelerația gravitației g = 9.8 Domnișoară 2. Determinați legea mișcării unui corp de-a lungul unui plan înclinat X (t), y (t).
Problema 112. Un submarin care nu avea un curs, care a primit o mică flotabilitate pozitivă p = 0.01mg, începe să se ridice din adâncime m.În același timp, motorul care a început să funcționeze oferă o forță de tracțiune orizontală constantă. T = 0.01mg. Componenta verticală a forței de rezistență poate fi neglijată, iar componenta sa orizontală poate fi luată egală cu R = –0.01mV x unde este viteza orizontală a bărcii. Determinați traiectoria ambarcațiunii y(X) și distanța parcursă orizontal de acesta până la momentul ascensiunii.
Problema 113. Cu un unghi de aruncare \u003d 42 ° față de orizont, proiectilul are o rază de zbor orizontală m. Determinați care este viteza inițială a proiectilului v 0 când părăsiți țeava pistolului. Aflați de asemenea distanța orizontală a proiectilului și timpul de zbor al proiectilului către țintă la un unghi de aruncare = 35° și aceeași viteză inițială v 0 . Accelerația gravitației g = 9.8 Domnișoară 2. Ignorați rezistența aerului.
Problema 114. Determinați unghiul de înclinare a țevii pistolului față de orizont pentru a lovi o țintă detectată pe același plan orizontal cu pistolul la distanță m. În plus, determinați înălțimea maximă a traiectoriei și timpul de zbor al proiectilului către țintă. Viteza inițială a proiectilului v 0 = 600 Domnișoară. Accelerația gravitației g = 9.8 Domnișoară 2. Ignorați rezistența aerului.
Problema 115. Determinați dependența intervalului orizontal al proiectilului, înălțimea maximă a traiectoriei sale și timpul de zbor de unghiul de înclinare a țevii pistolului față de orizont. Găsiți și valorile acestor mărimi pentru = 38°. Viteza inițială a proiectilului v 0 = 980 Domnișoară. Accelerația gravitației g = 9.8 Domnișoară 2. Ignorați rezistența aerului.
Problema 116*. Balon de masă m sub forță de plutire F = 1.1mgîncepe să se ridice. Componenta orizontală a forței de rezistență a aerului este proporțională cu pătratul componentei orizontale a vitezei mingii în raport cu aerul: Rx = –0.1mV, unde este viteza sa relativă orizontală. Neglijați componenta verticală a forței de rezistență a aerului. Determinați legea mișcării mingii X (t), y (t) dacă un vânt orizontal bate cu o viteză Domnișoară.
Problema 117*. Corp M mase m = 8 kg k = 20 c O 1 (–A,0) și O 2 (A,0),A = 24 m. Mișcarea începe într-un punct A 0 (–2A,0) cu viteza, v la 0 = 18 Domnișoară. Determinați legea mișcării X (t), y (t) și traiectoria y (X) puncte M Bou, și calculați coordonatele sale în aceste momente. Ignorați forța gravitației.
Problema 118*. Corp M mase m = 2 kg este sub influența a două forțe de atracție, k = 120 c–1 direcționat către două centre fixe O 1 (–A,0) și O 2 (A,0),dar = 12 m. Accelerația gravitației g = 9.8 Domnișoară 2. Mișcarea începe într-un punct A 0 (2A,0) cu viteza, v la 0 = 12 Domnișoară. Axă Bou orizontală și axului Oiîndreptată vertical în sus. Determinați legea mișcării X (t), y (t) și traiectoria y (X) puncte M. Găsiți orele când traversează axa Bou, și calculați coordonatele sale în aceste momente.
Problema 119*. Punct material M F = 0.1mg, forțe de rezistență R= –0.1mV,Unde V- viteza punctului și ridicarea verticală Q = 2m v X, unde este viteza orizontală a punctului. Obține legea mișcării unui punct de-a lungul axei verticale, dacă în momentul inițial de timp poziția lui a coincis cu originea sistemului de coordonate, iar viteza sa inițială este orizontală și egală cu Domnișoară.
Problema 120*. Corpul în masă în sus m deasupra suprafeței Pământului avea o viteză Domnișoarăîndreptată vertical în jos. Apoi intră în fluxul de aer, care se mișcă orizontal cu o viteză constantă. Domnișoară. Ca urmare, o forță acționează asupra ei unde V r este viteza corpului în raport cu fluxul. Determinați mărimea abaterii orizontale a corpului de la direcția inițială a mișcării sale în momentul căderii pe Pământ.
Problema 121*. Un parașutist de masă, făcând un salt în lungime, cade pe Pământ în aer calm vertical, cu o viteză constantă. Domnișoară. La o anumită înălțime față de suprafața Pământului, intră într-un curent de aer care se mișcă orizontal cu o viteză constantă. u 0 = 0.5 Domnișoară, și în același timp deschide parașuta. Componenta orizontală a forței care acționează asupra parașutistului în fluxul de aer, Rx = –0.01mV rx, unde este viteza orizontală a corpului în raport cu fluxul de aer. Componenta verticală a forței de tracțiune care acționează asupra parașutistului este Ry = –0.1mV, unde este viteza sa verticală. Determinați legea de mișcare a parașutistului X (t), y (t) după deschiderea parașutei.
Problema 122*. Punct material M masa se mișcă într-un plan vertical sub acțiunea gravitației, o forță de împingere orizontală constantă F = 0.2mg, forțe de rezistență R = –0.1mV, Unde V este viteza punctului, iar ridicarea verticală, unde este viteza orizontală a punctului. Obține legea mișcării unui punct în direcția axei orizontale, dacă la momentul inițial de timp poziția lui a coincis cu originea sistemului de coordonate, iar viteza sa inițială este orizontală și egală cu Domnișoară.
Problema 123*. Un parașutist în masă cu o parașută deschisă cade vertical cu o viteză constantă Domnișoară. La inaltime m deasupra suprafeței Pământului, intră într-un curent de aer care se mișcă orizontal cu o viteză constantă Domnișoară. Determinați mărimea abaterii orizontale a parașutistului de la direcția inițială a mișcării sale în momentul aterizării și legea mișcării sale X (t), y (t). Componenta orizontală a forței de tracțiune care acționează asupra parașutistului în fluxul de aer, R x = –0.01mV x, unde este viteza orizontală a parașutistului în raport cu fluxul de aer.
Exemplul 13 Submarin de cercetare de formă și masă sferică m= = 1,5×10 5 kgîncepe să se scufunde cu motoarele oprite, având o viteză orizontală v X 0 = 30 Domnișoarăși flotabilitate negativă R 1 = 0.01mg, Unde - suma vectoriala forță de plutire Qși gravitația mg acţionând asupra navei (Fig. 20). forta de rezistenta la apa, kg/s. Determinați ecuațiile de mișcare ale bărcii și traiectoria acesteia.
Fig.20
Soluţie. Alegem originea coordonatelor în poziția inițială a bărcii, axa Bou punct orizontal, iar axa Oi– vertical în jos (vezi Fig. 20). Există trei forțe care acționează asupra navei: P=mg- greutatea bărcii Q- Forța de plutire arhimediană, în plus, și forța de rezistență R. Să luăm barca ca punct material M. Atunci a doua lege a lui Newton se va scrie astfel: . În proiecții pe axă BouȘi Oi va arăta astfel: , . Să rescriem aceste ecuații sub forma unui sistem de ecuații de ordinul întâi
Integrându-le prin metoda separării variabilelor, obținem
După integrarea și înlocuirea valorilor numerice ale parametrilor și a datelor inițiale, găsim
Găsim legea mișcării din soluție ecuatii diferentiale
Este descris de relații
În cele din urmă, găsim traiectoria y (X). Pentru a face acest lucru, din prima ecuație, exprimăm timpul t prin coordonata X
Înlocuind această expresie în a doua ecuație, găsim
Mișcare curbilinie uniform accelerată
Mișcări curbilinii - mișcări ale căror traiectorii nu sunt drepte, ci linii curbe. Planetele și apele râurilor se deplasează pe traiectorii curbilinii.
Mișcarea curbilinie este întotdeauna mișcare cu accelerație, chiar dacă valoarea absolută a vitezei este constantă. Mișcarea curbilinie cu accelerație constantă are loc întotdeauna în planul în care se află vectorii de accelerație și vitezele inițiale ale punctului. În cazul mișcării curbilinii cu accelerație constantă în avionul xOy proiecțiile vx și vy ale vitezei sale pe axele Ox și Oy și coordonatele x și y ale punctului în orice moment t sunt determinate de formulele
Mișcare neuniformă. Viteză cu mișcare neuniformă
Niciun corp nu se mișcă cu o viteză constantă tot timpul. Începând mișcarea, mașina se mișcă din ce în ce mai repede. Pentru o vreme se poate mișca uniform, dar apoi încetinește și se oprește. În acest caz, mașina parcurge diferite distanțe în același timp.
O mișcare în care un corp parcurge segmente inegale ale traseului în intervale egale de timp se numește neuniformă. Cu o astfel de mișcare, mărimea vitezei nu rămâne neschimbată. În acest caz, putem vorbi doar despre viteza medie.
viteza medie arată care este deplasarea pe care o trece corpul pe unitatea de timp. Este egal cu raportul dintre mișcarea corpului și timpul de mișcare. Viteza medie, ca și viteza unui corp în mișcare uniformă, se măsoară în metri împărțit la o secundă. Pentru a caracteriza mișcarea mai precis, în fizică se folosește viteza instantanee.
Viteza unui corp într-un moment dat în timp sau într-un punct dat al traiectoriei se numește viteză instantanee. Viteza instantanee este o mărime vectorială și este direcționată în același mod ca vectorul deplasare. Puteți măsura viteza instantanee cu un vitezometru. În System Internationale, viteza instantanee este măsurată în metri împărțit la o secundă.
viteza de deplasare a punctului neuniform
Mișcarea corpului într-un cerc
În natură și tehnologie, mișcarea curbilinie este foarte frecventă. Este mai complicat decât unul rectiliniu, deoarece există multe traiectorii curbilinii; această mișcare este întotdeauna accelerată, chiar și atunci când modulul de viteză nu se modifică.
Dar mișcarea de-a lungul oricărei traiectorii curbilinii poate fi reprezentată aproximativ ca mișcare de-a lungul arcurilor de cerc.
Când un corp se mișcă într-un cerc, direcția vectorului viteză se schimbă de la un punct la altul. Prin urmare, atunci când vorbesc despre viteza unei astfel de mișcări, se referă la viteza instantanee. Vectorul viteză este direcționat de-a lungul tangentei la cerc, iar vectorul deplasării - de-a lungul coardelor.
Mișcarea uniformă într-un cerc este o mișcare în timpul căreia modulul vitezei de mișcare nu se modifică, ci se schimbă doar direcția. Accelerația unei astfel de mișcări este întotdeauna îndreptată spre centrul cercului și se numește centripetă. Pentru a afla accelerația unui corp care se mișcă într-un cerc, este necesar să se împartă pătratul vitezei la raza cercului.
Pe lângă accelerație, mișcarea unui corp într-un cerc este caracterizată de următoarele mărimi:
Perioada de rotație a unui corp este timpul necesar corpului pentru a face o revoluție completă. Perioada de rotație este notă cu litera T și se măsoară în secunde.
Frecvența de rotație a corpului este numărul de rotații pe unitatea de timp. Viteza de rotație este indicată printr-o literă? și se măsoară în herți. Pentru a găsi frecvența, este necesar să împărțiți unitatea la perioadă.
Viteza liniară - raportul dintre mișcarea corpului și timp. Pentru a găsi viteza liniară a unui corp de-a lungul unui cerc, este necesar să împărțim circumferința la perioadă (circumferința este de 2? ori raza).
Viteza unghiulara - cantitate fizica, egal cu raportul dintre unghiul de rotație al razei cercului de-a lungul căruia se mișcă corpul, cu timpul de mișcare. Viteza unghiulară este notată cu o literă? și se măsoară în radiani împărțit la o secundă. Puteți găsi viteza unghiulară împărțind 2? pentru o perioadă de. Viteza unghiulară și viteza liniară. Pentru a găsi viteza liniară, este necesar să înmulțim viteza unghiulară cu raza cercului.
Figura 6. Mișcarea în cerc, formule.
Cu ajutorul acestei lecții, veți putea studia în mod independent subiectul „Mișcare rectilinie și curbilinie. Mișcarea unui corp într-un cerc cu o viteză modulo constantă. În primul rând, caracterizăm mișcarea rectilinie și curbilinie luând în considerare modul în care, în aceste tipuri de mișcare, vectorul viteză și forța aplicată corpului sunt legate. În continuare, luăm în considerare un caz special când corpul se mișcă de-a lungul unui cerc cu o viteză modulo constantă.
În lecția anterioară, ne-am uitat la probleme legate de lege gravitatie. Tema lecției de astăzi este strâns legată de această lege, ne vom referi la mișcarea uniformă a unui corp într-un cerc.
Mai devreme am spus asta mișcare - aceasta este o schimbare în timp a poziției unui corp în spațiu față de alte corpuri. Mișcarea și direcția mișcării sunt caracterizate, printre altele, de viteză. Modificarea vitezei și tipul de mișcare în sine sunt asociate cu acțiunea unei forțe. Dacă o forță acționează asupra unui corp, atunci corpul își schimbă viteza.
Dacă forța este îndreptată paralel cu mișcarea corpului, atunci o astfel de mișcare va fi direct(Fig. 1).
Orez. 1. Mișcare rectilinie
curbilinii va exista o astfel de mișcare atunci când viteza corpului și forța aplicată acestui corp sunt direcționate una față de cealaltă la un anumit unghi (fig. 2). În acest caz, viteza își va schimba direcția.
Orez. 2. Mișcare curbilinie
Deci, la mișcare rectilinie vectorul viteză este direcționat în aceeași direcție cu forța aplicată corpului. DAR mișcare curbilinie este o astfel de mișcare atunci când vectorul viteză și forța aplicată corpului sunt situate la un anumit unghi unul față de celălalt.
Luați în considerare un caz special de mișcare curbilinie, când corpul se mișcă într-un cerc cu o viteză constantă în valoare absolută. Când un corp se mișcă într-un cerc cu o viteză constantă, se schimbă doar direcția vitezei. Modulo rămâne constant, dar direcția vitezei se schimbă. O astfel de schimbare a vitezei duce la prezența unei accelerații în corp, care se numește centripetă.
Orez. 6. Mișcarea de-a lungul unei căi curbe
Dacă traiectoria mișcării corpului este o curbă, atunci aceasta poate fi reprezentată ca un set de mișcări de-a lungul arcurilor de cerc, așa cum se arată în Fig. 6.
Pe fig. 7 arată cum se modifică direcția vectorului viteză. Viteza în timpul unei astfel de mișcări este direcționată tangențial la cercul de-a lungul arcului căruia se mișcă corpul. Astfel, direcția sa este în continuă schimbare. Chiar dacă viteza modulo rămâne constantă, o modificare a vitezei duce la o accelerație:
În acest caz accelerare va fi îndreptată spre centrul cercului. De aceea se numește centripet.
De ce accelerație centripetă spre centru?
Amintiți-vă că, dacă un corp se mișcă pe o cale curbă, atunci viteza lui este tangențială. Viteza este o mărime vectorială. Un vector are o valoare numerică și o direcție. Viteza în care corpul se mișcă își schimbă continuu direcția. Adică, diferența de viteze în diferite momente de timp nu va fi egală cu zero (), spre deosebire de o mișcare uniformă rectilinie.
Deci, avem o schimbare de viteză într-o anumită perioadă de timp. Relația cu este accelerația. Ajungem la concluzia că, chiar dacă viteza nu se modifică în valoare absolută, un corp care realizează mișcare uniformă într-un cerc are o accelerație.
Unde este îndreptată această accelerație? Luați în considerare fig. 3. Un corp se mișcă curbiliniu (în arc). Viteza corpului în punctele 1 și 2 este tangențială. Corpul se mișcă uniform, adică modulele vitezelor sunt egale: , dar direcțiile vitezelor nu coincid.
Orez. 3. Mișcarea corpului în cerc
Scădeți viteza din și obțineți vectorul. Pentru a face acest lucru, trebuie să conectați începuturile ambilor vectori. În paralel, mutăm vectorul la începutul vectorului. Construim până la un triunghi. A treia latură a triunghiului va fi vectorul diferenței de viteză (Fig. 4).
Orez. 4. Vector diferență de viteză
Vectorul este îndreptat spre cerc.
Se consideră un triunghi format din vectorii viteză și vectorul diferențelor (Fig. 5).
Orez. 5. Triunghi format din vectori viteză
Acest triunghi este isoscel (modulele de viteză sunt egale). Deci unghiurile de la bază sunt egale. Să scriem ecuația pentru suma unghiurilor unui triunghi:
Aflați unde este direcționată accelerația într-un punct dat al traiectoriei. Pentru a face acest lucru, începem să aducem punctul 2 mai aproape de punctul 1. Cu o astfel de diligență nelimitată, unghiul va tinde spre 0, iar unghiul - spre. Unghiul dintre vectorul de schimbare a vitezei și vectorul viteză în sine este . Viteza este direcționată tangențial, iar vectorul de schimbare a vitezei este îndreptat spre centrul cercului. Aceasta înseamnă că accelerația este îndreptată și spre centrul cercului. De aceea se numește această accelerație centripetă.
Cum să găsești accelerația centripetă?
Luați în considerare traiectoria pe care se mișcă corpul. În acest caz, acesta este un arc de cerc (Fig. 8).
Orez. 8. Mișcarea corpului în cerc
Figura prezintă două triunghiuri: un triunghi format din viteze și un triunghi format din raze și vectorul deplasare. Dacă punctele 1 și 2 sunt foarte apropiate, atunci vectorul deplasare va fi același cu vectorul cale. Ambele triunghiuri sunt isoscele cu aceleași unghiuri de vârf. Deci triunghiurile sunt asemănătoare. Aceasta înseamnă că laturile corespunzătoare ale triunghiurilor sunt în același raport:
Deplasarea este egală cu produsul dintre viteză și timp: . Înlocuind această formulă, putem obține următoarea expresie pentru accelerația centripetă:
Viteză unghiulară notat cu litera greacă omega (ω), indică în ce unghi se rotește corpul pe unitatea de timp (Fig. 9). Aceasta este mărimea arcului, în grade, străbătută de corp într-un anumit timp.
Orez. 9. Viteza unghiulară
Rețineți că dacă un corp rigid se rotește, atunci viteza unghiulară pentru orice puncte de pe acest corp va fi o valoare constantă. Punctul este mai aproape de centrul de rotație sau mai departe - nu contează, adică nu depinde de rază.
Unitatea de măsură în acest caz va fi fie grade pe secundă (), fie radiani pe secundă (). Adesea, cuvântul „radian” nu este scris, ci simplu scris. De exemplu, să aflăm care este viteza unghiulară a Pământului. Pământul face o rotație completă într-o oră, iar în acest caz putem spune că viteza unghiulară este egală cu:
De asemenea, acordați atenție relației dintre vitezele unghiulare și cele liniare:
Viteza liniară este direct proporțională cu raza. Cu cât raza este mai mare, cu atât mai mult viteza liniei. Astfel, îndepărtându-ne de centrul de rotație, ne creștem viteza liniară.
Trebuie remarcat faptul că mișcarea într-un cerc cu o viteză constantă este un caz special de mișcare. Cu toate acestea, mișcarea circulară poate fi, de asemenea, neuniformă. Viteza se poate schimba nu numai în direcție și rămâne aceeași în valoare absolută, ci și în valoarea sa, adică, pe lângă schimbarea direcției, există și o schimbare a modulului de viteză. În acest caz, vorbim despre așa-numita mișcare circulară accelerată.
Ce este un radian?
Există două unități de măsură pentru unghiuri: grade și radiani. În fizică, de regulă, măsura radianilor unui unghi este cea principală.
Să construim un unghi central, care se bazează pe un arc de lungime.
Imaginați-vă un punct material care se mișcă de-a lungul unei traiectorii curbilinii. Scriem viteza în formă
și rețineți că vectorul
Acesta este un vector unitar tangent la traiectorie și care coincide în direcție cu vectorul viteză. Diferențiem vectorul viteză scris în această reprezentare și obținem
Am prezentat accelerația sub forma a doi termeni. În primul rând, observăm că termenii sunt ortogonali unul față de celălalt. Într-adevăr, deoarece vectorul este unitar, atunci
Diferențiându-l produs scalar, primim
prin proprietatea produsului scalar.
Astfel, am descompus accelerația în suma a două componente reciproc ortogonale, le notăm cu și:
Sa discutam sens fizic fiecare termen. termen
Acest accelerația tangențială, care caracterizează viteza de modificare a modulului de viteză. Această parte a accelerației totale este direcționată fie de-a lungul vitezei, când derivată dv/dt > 0, adică mișcarea este accelerată, sau în direcția opusă vitezei, când această derivată dv/dt< 0 adică mișcare lentă. Dacă mișcarea este uniformă dv/dt = 0, adică viteza, dacă se schimbă, atunci numai în direcție, atunci partea tangențială a accelerației este zero:
termen
îndreptat de-a lungul normalei la traiectorie - perpendicular pe tangenta la traiectorie și se numește accelerație normală. Dacă accelerația tangențială determină viteza cu care modul vector viteză, atunci accelerația normală determină viteza cu care direcţie vector viteză.
Orez. 2.10. La definirea curburii traiectoriei
Luați în considerare o traiectorie curbilinie plată „suficient de netedă”, altfel arbitrară. Plat, adică toate punctele traiectoriei se află într-un anumit plan - numai pentru a simplifica calculele, obținute în baza acestei ipoteze, rezultatul este potrivit și pentru orice curbă spațială „suficient de netedă”, ale cărei puncte nu pot fi așezate într-un singur plan. Nu vom lua în considerare această din urmă împrejurare aici; este dovedită riguros prin metode de geometrie analitică. Cuvintele „suficient de netedă” înseamnă că curba este descrisă functie continua, care are derivate prima și a doua continue. Din punct de vedere al aplicațiilor fizice, cerința existenței primelor două derivate continue nu este de fapt o restricție asupra formei traiectoriei, deoarece este aproape întotdeauna satisfăcută. Mai simplu spus, calea nu ar trebui să aibă „colțuri” de tipul prezentat în Figura 2.11.
Orez. 2.11.
O astfel de curbă „netedă” pe oricare dintre ele regiune infinitezimală poate fi înlocuit (Fig. 2.12) cu o secțiune de cerc de o anumită rază. Raza acestui cerc, care aproximează traiectoria pe secțiunea sa infinit de mică în vecinătatea unui punct, este de obicei numită raza de curbură a traiectoriei in acest punct. Centrul acestui cerc se numește centru de curbură traiectorie la un punct dat. Curbura traiectoriei se numeste cantitate C=1/R. Subliniem că raza de curbură, precum și centrul de curbură al traiectoriei, sunt caracteristicile sale locale: fiecare punct al traiectoriei are propria sa rază de curbură și propriul centru de curbură. Excepțiile sunt: 1) un cerc, raza sa de curbură în toate punctele sale este aceeași și egală cu raza cercului, centrul de curbură este „unul pentru toți” și coincide cu centrul cercului și 2 ) o linie dreaptă, pentru orice punct al unei linii drepte, raza de curbură este infinită, iar centrul de curbură este într-un punct la infinit de linie dreaptă. Acest lucru este ușor de înțeles: să creștem raza cercului, cu cât raza cercului este mai mare, cu atât oricare dintre secțiunile sale terminale este mai aproape de secțiunea dreaptă. Pe o câmpie, cel mai bine pe o plajă, de la o înălțime de creștere umană până la orizont nu mai mult de cinci kilometri - în aceste limite Pământul este plat.
Orez. 2.12. La definirea razei de curbură a traiectoriei
Să calculăm modulul derivatei , care este inclus în expresia pentru accelerația normală. Vectorul este îndreptat de-a lungul normalei la traiectoria spre centru spre centrul de curbură, ceea ce explică Fig. 2.13.
Orez. 2.13. Definiție grafică raza de curbură a traiectoriei
Pentru a face acest lucru, în primul rând, trecem de la diferențiere în funcție de timp la diferențiere în raport cu „calea”: , avem:
Prin definiție, derivatul 
curbura curbei C, iar reciproca sa este egală cu raza de curbură a curbei R. Punând totul împreună, pentru o accelerație normală, obținem în sfârșit:
unde normala este perpendiculară pe tangentă și întotdeauna îndreptată spre centrul de curbură, vezi fig. unsprezece.
Să dăm o explicație suplimentară figurii 11. Să luăm nu departe de idee 1 punct 2 . Să construim tangente în aceste puncte vectori unitari 1 și 2. Perpendicularele pe aceste tangente se vor intersecta la un moment dat O2. Rețineți că pentru o curbă care nu este un cerc, distanțele R1Și R2 va fi ușor diferit. Dacă acum punct 2 aborda un punct 1 , intersecția perpendicularelor O2 se va deplasa de-a lungul unei linii drepte O 2 1 si in limita va fi la un moment dat O 1. distante R1Și R2 va tinde către o limită comună R egal cu raza de curbură și punctul O 1și va fi centrul de curbură pentru punct 1 . Într-adevăr, un cerc cu o rază R centrat pe 0 trece printr-un punct 1 și este tangentă la traiectorie (deoarece raza este ortogonală cu vectorul lui 1). Mai mult, prin construcție, un punct infinit de aproape 2 se află și pe acest cerc. Astfel, cercul construit într-adevăr „contopește” cu traiectoria în punct 1 .