Studiul funcției de continuitate într-un punct se realizează conform schemei de rutină deja rulată, care constă în verificarea a trei condiții de continuitate:
Exemplul 1
Soluţie:
1) Singurul punct cade sub vedere, unde funcția nu este definită.
Limitele unilaterale sunt finite și egale.
Astfel, la un moment dat, funcția suferă o discontinuitate discontinuabilă.
Cum arată graficul acestei funcții?
Aș dori să fac o simplificare și pare a fi o parabolă obișnuită. DAR funcția originală nu este definită la punctul , așa că este necesară următoarea avertizare:
Să executăm desenul:
Răspuns: functia este continua pe toata dreapta numerica cu exceptia punctului in care sufera o discontinuitate.
Funcția poate fi redefinită într-un mod bun sau nu atât de bun, dar acest lucru nu este cerut de condiție.
Spui că exemplul este exagerat? Deloc. Sa întâmplat de zeci de ori în practică. Aproape toate sarcinile site-ului provin din muncă reală independentă și de control.
Să defalcăm modulele noastre preferate:
Exemplul 2
Investigați funcția pentru continuitate. Determinați natura întreruperilor de funcție, dacă există. Executați desenul.
Soluţie: din anumite motive, elevilor le este frică și nu le plac funcțiile cu un modul, deși nu este nimic complicat la ele. Am atins deja puțin despre astfel de lucruri în lecție. Transformări ale diagramei geometrice. Deoarece modulul este nenegativ, se extinde după cum urmează: , unde „alfa” este o expresie. În acest caz, și funcția noastră ar trebui să semneze pe bucăți:
Dar fracțiile ambelor piese trebuie reduse cu . Reducerea, ca în exemplul precedent, nu va fi fără consecințe. Funcția originală nu este definită la punctul, deoarece numitorul dispare. Prin urmare, sistemul ar trebui să specifice în plus condiția și să facă prima inegalitate strictă:
Acum pentru un truc FOARTE UTIL: înainte de finalizarea sarcinii pe o schiță, este benefic să se realizeze un desen (indiferent dacă este cerut de condiție sau nu). Acest lucru vă va ajuta, în primul rând, să vedeți imediat punctele de continuitate și punctele de întrerupere și, în al doilea rând, vă va scuti 100% de erori atunci când găsiți limite unilaterale.
Hai să facem trucul. În conformitate cu calculele noastre, în stânga punctului este necesar să desenați un fragment de parabolă (albastru), iar la dreapta - o bucată de parabolă (roșu), în timp ce funcția nu este definită în punctul însuși :
Când aveți îndoieli, luați câteva x-uri, conectați-le la funcție (amintindu-vă că modulul va distruge un posibil semn minus) și verificați graficul.
Investigăm funcția pentru continuitate analitic:
1) Funcția nu este definită la punctul , așa că putem spune imediat că nu este continuă la ea.
2) Să stabilim natura discontinuității, pentru aceasta calculăm limite unilaterale:
Limitele unilaterale sunt finite și diferite, ceea ce înseamnă că funcția suferă o discontinuitate de primul fel cu un salt în punctul . Rețineți că nu contează dacă funcția la punctul de întrerupere este definită sau nu.
Acum rămâne să transferați desenul din schiță (a fost făcut, așa cum ar fi, cu ajutorul cercetării ;-)) și să finalizați sarcina:
Răspuns: functia este continua pe toata dreapta numerica cu exceptia punctului in care sufera o discontinuitate de primul fel cu un salt.
Uneori este necesară indicarea suplimentară a saltului de discontinuitate. Se calculează elementar - limita din stânga trebuie scăzută din limita dreaptă: , adică la punctul de rupere, funcția noastră a sărit cu 2 unități în jos (despre care ne spune semnul minus).
Exemplul 3
Investigați funcția pentru continuitate. Determinați natura întreruperilor de funcție, dacă există. Faceți un desen.
Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, un exemplu de soluție la sfârșitul lecției.
Să trecem la versiunea cea mai populară și comună a sarcinii, când funcția constă din trei piese:
Exemplul 4
Investigați funcția pentru continuitate și trasați graficul funcției
Soluţie: este evident că toate cele trei părți ale funcției sunt continue pe intervalele corespunzătoare, așa că rămâne să verificăm doar două puncte de „joncțiune” între piese. În primul rând, să facem un desen pe o schiță, am comentat tehnica de construcție suficient de detaliat în prima parte a articolului. Singurul lucru este să urmărim cu atenție punctele noastre singulare: din cauza inegalității, valoarea aparține dreptei (punct verde), iar din cauza inegalității, valoarea aparține parabolei (punct roșu):
Ei bine, în principiu, totul este clar =) Rămâne de întocmit o decizie. Pentru fiecare dintre cele două puncte „cap la cap”, verificăm 3 condiții de continuitate ca standard:
eu)
Limitele unilaterale sunt finite și diferite, ceea ce înseamnă că funcția suferă o discontinuitate de primul fel cu un salt în punctul .
Să calculăm saltul de discontinuitate ca diferență între limitele din dreapta și din stânga:
, adică graficul a sărit cu o unitate în sus.
II) Examinăm punctul de continuitate
1) - funcția este definită la un punct dat.
2) Găsiți limite unilaterale:
Limitele unilaterale sunt finite și egale, deci există o limită comună.
În etapa finală, transferăm desenul într-o copie curată, după care punem acordul final:
Răspuns: functia este continua pe toata dreapta numerica, cu exceptia punctului in care sufera o discontinuitate de primul fel cu un salt.
Exemplul 5
Investigați funcția pentru continuitate și construiți graficul acesteia.
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, o soluție scurtă și o mostră aproximativă a problemei la sfârșitul lecției.
Se poate avea impresia că la un moment dat funcția trebuie să fie neapărat continuă, iar la un alt punct trebuie neapărat să existe o discontinuitate. În practică, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Încercați să nu neglijați exemplele rămase - vor exista câteva caracteristici interesante și importante:
Exemplul 6
Dată o funcție. Investigați funcția pentru continuitate în puncte. Construiți un grafic.
Soluţie: și din nou executați imediat desenul pe proiect:
Particularitatea acestui grafic este că pentru funcția pe bucăți este dată de ecuația axei absciselor. Această zonă este afișată aici în verde, iar într-un caiet este de obicei evidențiat cu aldine cu un simplu creion. Și, bineînțeles, nu uitați de oile noastre: valoarea se referă la ramura tangentă (punct roșu), iar valoarea aparține liniei drepte.
Totul este clar din desen - funcția este continuă pe întreaga linie numerică, rămâne să se elaboreze o soluție care este adusă la un automatism complet după 3-4 exemple similare:
eu) Examinăm punctul de continuitate
1) - funcția este definită la un punct dat.
2) Calculați limitele unilaterale:
Deci există o limită generală.
A fost o mică întorsătură aici. Cert este că am creat o mulțime de materiale despre limitele funcției, și de câteva ori mi-am dorit, dar de câteva ori am uitat de unul o chestiune simplă. Și așa, cu un efort de voință incredibil, m-am forțat să nu-mi pierd gândul =) Cel mai probabil, unii cititori-„maniști” se îndoiesc: care este limita constantei? Limita unei constante este egală cu constanta însăși. În acest caz, limita lui zero este egală cu zero însuși (limita din stânga).
3) - limita unei funcții într-un punct este egală cu valoarea acestei funcții într-un punct dat.
Astfel, o funcție este continuă într-un punct prin definiția unei funcții fiind continuă într-un punct.
II) Examinăm punctul de continuitate
1) - funcția este definită la un punct dat.
2) Găsiți limite unilaterale:
Și aici, în limita din dreapta - limita unității este egală cu unitatea în sine.
Există o limită generală.
3) - limita unei funcții într-un punct este egală cu valoarea acestei funcții într-un punct dat.
Astfel, o funcție este continuă într-un punct prin definiția unei funcții fiind continuă într-un punct.
Ca de obicei, după studiu, ne transferăm desenul într-o copie curată.
Răspuns: functia este continua la punctele .
Vă rugăm să rețineți că în condiția nu am fost întrebați nimic despre studiul întregii funcții pentru continuitate și este considerată o formă matematică bună de a formula precisă și clară răspuns la întrebarea pusă. Apropo, dacă în funcție de condiție nu este necesar să construiți un grafic, atunci aveți tot dreptul să nu îl construiți (deși mai târziu profesorul vă poate obliga să faceți acest lucru).
Un mic "șochet" matematic pentru o soluție independentă:
Exemplul 7
Dată o funcție.
Investigați funcția pentru continuitate în puncte. Clasificați punctele de întrerupere, dacă există. Executați desenul.
Încercați să „pronunțați” corect toate „cuvintele” =) Și desenați graficul mai precis, acuratețe, nu va fi de prisos peste tot ;-)
După cum vă amintiți, v-am recomandat să desenați imediat pe o ciornă, dar din când în când întâlniți astfel de exemple în care nu vă puteți da seama imediat cum arată graficul. Prin urmare, într-o serie de cazuri, este avantajos să găsim mai întâi limite unilaterale și abia apoi, pe baza studiului, să descriem ramurile. În ultimele două exemple, vom învăța și tehnica calculării unor limite unilaterale:
Exemplul 8
Investigați funcția pentru continuitate și construiți graficul schematic al acesteia.
Soluţie: punctele proaste sunt evidente: (transformă numitorul exponentului la zero) și (transformă numitorul întregii fracții la zero). Nu este clar cum arată graficul acestei funcții, ceea ce înseamnă că este mai bine să efectuați mai întâi un studiu:
eu) Examinăm punctul de continuitate
2) Găsiți limite unilaterale:
fi atent la o metodă tipică pentru calcularea unei limite unilaterale: în funcție în loc de „X” înlocuim . Nu există nicio crimă în numitor: „adăugarea” „minus zero” nu joacă un rol și rezultă „patru”. Dar în numărător există un mic thriller: mai întâi, omorâm -1 și 1 în numitorul indicatorului, în urma căruia obținem . unitate împărțită la , este egal cu „minus infinit”, prin urmare: . Și în sfârșit, cei „doi” în infinit de mare grad negativ egal cu zero: . Sau, mai detaliat: .
Să calculăm limita din dreapta:
Și aici - în loc de „x” înlocuim . La numitor, „aditiv” din nou nu joacă un rol: . În numărător, se efectuează acțiuni similare cu limita anterioară: distrugem numerele opuse și împărțim unitatea la :
Limita din dreapta este infinită, ceea ce înseamnă că funcția suferă o discontinuitate de al 2-lea fel în punctul .
II) Examinăm punctul de continuitate
1) Funcția nu este definită în acest moment.
2) Calculați limita din stânga:
Metoda este aceeași: înlocuim în funcție în loc de „x”. Nu există nimic interesant în numărător - se dovedește un număr pozitiv finit. Și în numitor deschidem parantezele, eliminăm „triplele”, iar „aditivul” joacă un rol decisiv.
Ca rezultat, un număr pozitiv finit împărțit la număr pozitiv infinitezimal, dă „plus infinit”: .
Limita dreaptă, ca un frate geamăn, cu singura excepție care apare la numitor număr negativ infinitezimal:
Limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că funcția suferă o discontinuitate de al 2-lea fel în punctul .
Astfel, avem două puncte de pauză și, evident, trei ramuri ale diagramei. Pentru fiecare ramură, este recomandabil să se realizeze o construcție punct cu punct, adică. luați mai multe valori ale lui "x" și înlocuiți-le în . Rețineți că condiția permite construirea unui desen schematic, iar o astfel de relaxare este naturală pentru munca manuală. Construiesc grafice folosind un program, așa că nu am astfel de dificultăți, iată o imagine destul de precisă:
Sunt directe asimptote verticale pentru graficul acestei funcţii.
Răspuns: functia este continua pe toata dreapta numerica, cu exceptia punctelor in care sufera discontinuitati de al 2-lea fel.
O funcție mai simplă pentru o soluție de tip do-it-yourself:
Exemplul 9
Investigați funcția pentru continuitate și faceți un desen schematic.
Un eșantion de soluție la sfârșit care s-a strecurat neobservat.
Ne vedem în curând!
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 3:Soluţie
: transforma functia: . Având în vedere regula de extindere a modulului si faptul ca , rescriem funcția sub formă de bucăți:
Investigăm funcția pentru continuitate.
1) Funcția nu este definită la punctul .
Limitele unilaterale sunt finite și diferite, ceea ce înseamnă că funcția suferă o discontinuitate de primul fel cu un salt la punct . Să executăm desenul:
Răspuns: funcția este continuă pe întreaga linie numerică cu excepția punctului , în care suferă o discontinuitate de primul fel cu un salt. Salt de gol: (două unități în sus).
Exemplul 5:Soluţie
: fiecare dintre cele trei părți ale funcției este continuă pe intervalul său.
eu)
1)
2) Calculați limitele unilaterale:
, deci există o limită comună.
3)
- limita unei funcţii într-un punct este egală cu valoarea acestei funcţii într-un punct dat.
Deci funcția continuu la punct prin definiţia continuităţii unei funcţii într-un punct.
II)
Examinăm punctul de continuitate
1) - funcția este definită la punctul dat. functia sufera o discontinuitate de al 2-lea fel, la punct
Cum să găsiți domeniul de aplicare al unei funcții?
Exemple de soluții
Dacă ceva lipsește undeva, atunci este ceva undeva
Continuăm să studiem secțiunea „Funcții și grafice”, iar următoarea stație a călătoriei noastre este Domeniul de aplicare a funcției. Discuție activă acest conceptînceput în prima lecție despre graficele de funcții unde am trecut în revistă functii elementare, și, în special, domeniile lor de definiție. Prin urmare, recomand ca manechinele să înceapă cu elementele de bază ale subiectului, deoarece nu mă voi opri din nou asupra unora dintre punctele de bază.
Se presupune că cititorul cunoaște zonele de definire a principalelor funcții: funcții liniare, pătratice, cubice, polinoame, exponent, logaritm, sinus, cosinus. Ele sunt definite pe . Pentru tangente, arcsinus, așa să fie, vă iert =) Graficele mai rare nu sunt amintite imediat.
Domeniul definiției pare a fi un lucru simplu și apare o întrebare firească, despre ce va fi articolul? În această lecție, voi lua în considerare sarcinile comune pentru găsirea domeniului unei funcții. În plus, vom repeta inegalități cu o variabilă, abilitățile de rezolvat care vor fi necesare în alte sarcini matematica superioara. Materialul, apropo, este tot școlar, așa că va fi util nu numai elevilor, ci și elevilor. Informația, desigur, nu se pretinde a fi enciclopedică, dar, pe de altă parte, nu există aici exemple exagerate de „morți”, ci castane prăjite, care sunt preluate din adevărate lucrări practice.
Să începem cu o tăietură expresă a subiectului. Pe scurt despre principalul lucru: vorbim despre o funcție a unei variabile. Domeniul său de definire este set de valori „x”., pentru care exista sensul de „jocuri”. Luați în considerare un exemplu ipotetic:
Domeniul acestei funcții este uniunea intervalelor:
(pentru cei care au uitat: - pictograma îmbinare). Cu alte cuvinte, dacă luăm orice valoare a lui "x" din intervalul , sau din , sau din , atunci pentru fiecare astfel de "x" va exista o valoare a lui "y".
În linii mari, acolo unde este domeniul definiției, există un grafic al funcției. Dar semi-intervalul și punctul „ce” nu sunt incluse în zona de definiție, așa că nu există nici un grafic acolo.
Apropo, dacă ceva nu este clar din terminologia și/sau conținutul primelor paragrafe, este mai bine să reveniți la articol Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare.
Cursul 4
Continuitatea funcțiilor
1. Continuitatea unei funcții într-un punct
Definiția 1. Lasă funcția y=f(X) este definită la punctul X 0 iar într-o vecinătate a acestui punct. Funcţie y=f(X) se numește continuă la x 0 , dacă există o limită a funcției în acest punct și este egală cu valoarea funcției în acest punct, i.e.
Astfel, condiţia pentru continuitatea funcţiei y=f(X) la punct X 0 este asta:
pentru că 
, atunci egalitatea (32) poate fi scrisă ca
(33)
Aceasta înseamnă că atunci când aflarea limitei unei functii continuef(X) se poate trece la limita sub semnul functiei, i.e. într-o funcție f(X) în loc de un argument Xînlocuiți valoarea limită a acestuia X 0 .
lim sin X=păcat(lim X);
lim arctg X= arctg (lim X); (34)
lim log X= jurnal (lim X).
Sarcina. Găsiți limita: 1) 
;
2)
.
Să dăm o definiție a continuității unei funcții, pe baza conceptelor de creștere a unui argument și a unei funcții.
pentru că termeni 
Și 
sunt aceleași (Fig. 4), atunci egalitatea (32) ia forma:
sau 
.
Definiția 2. Funcţie y=f(X) se numește continuă la x 0 , dacă este definită la punct X 0 și vecinătatea sa, iar un increment infinitezimal al argumentului corespunde unui increment infinitezimal al funcției.
Sarcina. Investigați continuitatea unei funcții y=2X 2 1.
Proprietăți ale funcțiilor continue într-un punct
1. Dacă funcţiile f(X) Și φ
(X) sunt continue la punct X 0, apoi suma lor 
, muncă 
și privat 
(cu conditia 
) sunt funcții continue la punct X 0 .
2. Dacă funcţia la=f(X) este continuă la punct X 0 și f(X 0)>0, atunci există o vecinătate a punctului X 0 , în care f(X)>0.
3. Dacă funcţia la=f(u) este continuă în punctul u 0 , iar funcția u= φ (X) este continuă la punct u 0 = φ (X 0 ), apoi functie complexa y=f[φ (X)] este continuă la punct X 0 .
2. Continuitatea unei funcții într-un interval și pe un interval
Funcția y=f(X) se numește continuă în interval (A; b) dacă este continuă în fiecare punct al acestui interval.
Funcția y=f(X) se numește continuu pe segment
[A;
b] dacă este continuă în intervalul ( A;
b), iar la punct X=dar continuă pe dreapta (adică 
), iar la punct X=b este continuă pe stânga (adică 
).
3. Punctele de întrerupere ale unei funcții și clasificarea lor
Se numesc punctele în care se întrerupe continuitatea unei funcții puncte de rupere această funcție.
Dacă X=X 0 punctul de întrerupere a funcției y=f(X), atunci cel puțin una dintre condițiile primei definiții a continuității unei funcții nu este îndeplinită în aceasta.
Exemplu.
1.
. 2.
3)
4)
.
▼ Punct de rupere X 0 se numește punct de întrerupere primul fel funcții y=f(X) dacă în acest punct există limite finite ale funcției în stânga și în dreapta (limite unilaterale), i.e. 
Și 
. în care:
Valoare | A 1 -A 2 | numit functie de salt la punctul de discontinuitate al primului fel. ▲
▼ Punct de rupere X 0 se numește punct de întrerupere al doilea fel funcții y=f(X) dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale (stânga sau dreapta) nu există sau este egală cu infinitul. ▲
Sarcina. Găsiți puncte de întrerupere și aflați tipul lor pentru funcții:
1)
;
2)
.
4. Teoreme de bază asupra funcţiilor continue
Teoremele de continuitate pentru funcții decurg direct din teoremele limită corespunzătoare.
Teorema 1. Suma, produsul și câtul a două funcții continue este o funcție continuă (pentru cât, cu excepția acelor valori ale argumentului în care divizorul nu este egal cu zero).
Teorema 2. Lasă funcțiile u=φ (X) este continuă la punct X 0 și funcția y=f(u) este continuă la punct u=φ (X 0 ). Apoi funcția complexă f(φ (X)) constând din funcții continue este continuă la punct X 0 .
Teorema 3. Dacă funcţia y=f(X) este continuă și strict monotonă pe [ A; b] axa Oh, apoi funcția inversă la=φ (X) este, de asemenea, continuă și monotonă pe intervalul corespunzător [ c;d] axa OU.
Fiecare funcție elementară este continuă în fiecare punct în care este definită.
5. Proprietăţile funcţiilor continue pe un interval
Teorema Weierstrass. Dacă o funcție este continuă pe un segment, atunci ea își atinge valorile maxime și minime pe acest segment.
Consecinţă. Dacă o funcție este continuă pe un interval, atunci este mărginită pe interval.
Teorema Bolzano-Cauchy. Dacă funcţia y=f(X) este continuă pe intervalul [ A;
b] și ia valori inegale la capete f(A)=AȘi f(b)=B,
, apoi oricare ar fi numărul DINîntre DARȘi ÎN, există un punct
astfel încât f(c)=C.
Geometric teorema este evidentă. Pentru orice număr DINîntre DARȘi ÎN, există un punct c în interiorul acestui segment astfel încât f(DIN)=C. Drept la=DIN intersectează graficul funcției cel puțin într-un punct.
Consecinţă. Dacă funcţia y=f(X) este continuă pe intervalul [ A; b] și ia valori ale diferitelor semne la capete, apoi în interiorul segmentului [ A; b] există cel puțin un punct din, în care funcția y=f(X) dispare: f(c)=0.
Geometric sensul teoremei: dacă graficul unei funcții continue trece dintr-o parte a axei Oh la altul, apoi traversează axa Oh.
Acest articol este despre continuu functie numerica. Pentru mapări continue în diferite ramuri ale matematicii, consultați cartografierea continuă.
funcție continuă- o funcție fără „sărituri”, adică una în care mici modificări ale argumentului duc la mici modificări ale valorii funcției.
O funcție continuă, în general, este un sinonim pentru conceptul de mapare continuă, cu toate acestea, cel mai adesea acest termen este folosit într-un sens mai restrâns - pentru mapările între spații numerice, de exemplu, pe o linie reală. Acest articol este dedicat în mod specific funcțiilor continue definite în subsetul numere realeși luând valori reale.
YouTube enciclopedic
1 / 5
✪ Continuitatea funcției și punctele de întrerupere a funcției
✪ 15 Funcție continuă
✪ Caracteristici continue
✪ Analiza matematică, Lecția 5, Continuitatea funcției
✪ Continuă valoare aleatorie. functie de distributie
Subtitrări
Definiție
Dacă „corectăm” funcția f (\displaystyle f)în punctul de discontinuitate şi pus f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x)), atunci obținem o funcție care este continuă în acest punct. O astfel de operație asupra unei funcții este numită extinderea funcției la continuu sau extinderea funcţiei prin continuitate, care justifică numele punctului, ca puncte de unică folosință decalaj.
Punct de salt
Un „salt” de discontinuitate apare dacă
lim x → a - 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)\neq \lim \limits _(x) \la a+0)f(x)).Punct de rupere „pol”
O discontinuitate „pol” apare dacă una dintre limitele unilaterale este infinită.
lim x → a − 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)=\pm \infty ) sau lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a+0)f(x)=\pm \infty ). [ ]Punct de pauză semnificativ
În punctul unei discontinuități semnificative, una dintre limitele unilaterale este complet absentă.
Clasificarea punctelor singulare izolate în R n , n>1
Pentru funcții f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\la \mathbb (R) ^(n))Și f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \to \mathbb (C) ) nu este nevoie să lucrați cu puncte de întrerupere, dar de multe ori trebuie să lucrați cu puncte speciale (puncte în care funcția nu este definită). Clasificarea este similară.
Lipsește conceptul de „săritură”. Ce este în R (\displaystyle \mathbb (R) ) este considerat un salt, în spațiile dimensionale superioare este un punct singular esențial.
Proprietăți
Local
- Funcția continuă într-un punct a (\displaystyle a), este mărginit într-o vecinătate a acestui punct.
- Dacă funcţia f (\displaystyle f) continuu la punct a (\displaystyle a)Și f (a) > 0 (\displaystyle f(a)>0)(sau fa)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), apoi f (x) > 0 (\displaystyle f(x)>0)(sau f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) pentru toți x (\displaystyle x), destul de aproape de a (\displaystyle a).
- Dacă funcţiile f (\displaystyle f)Și g (\displaystyle g) continuu la punct a (\displaystyle a), apoi funcțiile f+g (\displaystyle f+g)Și f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g) sunt de asemenea continue la punct a (\displaystyle a).
- Dacă funcţiile f (\displaystyle f)Și g (\displaystyle g) continuu la punct a (\displaystyle a) si in care g (a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), apoi funcția f / g (\displaystyle f/g) este, de asemenea, continuu la punct a (\displaystyle a).
- Dacă funcţia f (\displaystyle f) continuu la punct a (\displaystyle a)și funcția g (\displaystyle g) continuu la punct b = f (a) (\displaystyle b=f(a)), apoi compoziția lor h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f) continuu la punct a (\displaystyle a).
Global
- set compact) este uniform continuu pe acesta.
- O funcție care este continuă pe un segment (sau orice altă mulțime compactă) este mărginită și își atinge valorile maxime și minime pe ea.
- Gama de funcții f (\displaystyle f), continuu pe segmentul , este segmentul [ min f , max f ] , (\displaystyle [\min f,\\max f],) unde minimul și maximul sunt luate de-a lungul segmentului [ a , b ] (\displaystyle ).
- Dacă funcţia f (\displaystyle f) continuu pe segment [ a , b ] (\displaystyle )Și f(a) ⋅ f(b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} atunci există un punct în care f (ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
- Dacă funcţia f (\displaystyle f) continuu pe segment [ a , b ] (\displaystyle ) si numarul φ (\displaystyle \varphi ) satisface inegalitatea fa)<
φ
<
f
(b)
{\displaystyle f(a)<\varphi
- O mapare continuă de la un segment la o linie reală este injectivă dacă și numai dacă funcţie dată este strict monoton pe interval.
- Funcție monotonă pe un segment [ a , b ] (\displaystyle ) este continuă dacă și numai dacă domeniul său este un segment cu capete f (a) (\displaystyle f(a))Și f (b) (\displaystyle f(b)).
- Dacă funcţiile f (\displaystyle f)Și g (\displaystyle g) continuu pe segment [ a , b ] (\displaystyle ), și fa)<
g
(a)
{\displaystyle f(a)
Exemple
Funcții elementare
Această funcție este continuă în fiecare punct x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0).
Punctul este punctul de rupere primul fel, în plus
lim x → 0 − f (x) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to 0-)f(x)=-1\neq 1= \lim \limits _(x\la 0+)f(x)),în timp ce funcția dispare în punctul însuși.
functie de pas
O funcție pas definită ca
f (x) = ( 1 , x ≥ 0 0 , x< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }este continuă peste tot, cu excepția unui punct x = 0 (\displaystyle x=0), unde funcția suferă o discontinuitate de primul fel. Cu toate acestea, la punctul x = 0 (\displaystyle x=0) există o limită din dreapta care coincide cu valoarea funcției la un punct dat. Deci această funcție este un exemplu dreapta continua funcții în întregul domeniu al definiţiei.
În mod similar, funcția pas definită ca
f (x) = ( 1 , x > 0 0 , x ≤ 0 , x ∈ R (\displaystyle f(x)=(\begin(cases)1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end( cazuri)),\quad x\in \mathbb (R) )este un exemplu stânga continuă funcții în întregul domeniu al definiţiei.
Funcția Dirichlet
f (x) = ( 1 , x ∈ Q 0 , x ∈ R ∖ Q (\displaystyle f(x)=(\begin(cases)1,&x\in \mathbb (Q) \\0,&x\in \ mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) \end(cases)))Continuitatea unei funcții într-un punct
Fie definită funcția f(x) într-o vecinătate O(x0) a punctului x0 (inclusiv punctul x0 însuși).
O funcție f(x) se numește continuă într-un punct x0 dacă există limx → x0 f(x) egală cu valoarea funcției f(x) în acest punct: lim
f(x) = f(x0), (1)
acestea. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) X f(x) O O(f(x0)) .
Cometariu. Egalitatea (1) se poate scrie ca: lim
acestea. sub semnul unei funcţii continue se poate trece la limită.
Fie Δx = x − x0 incrementul argumentului, Δy = f(x) − f(x0) incrementul corespunzător al funcției.
Necesar și condiție suficientă continuitatea unei funcții într-un punct
Funcția y = f(x) este continuă la x0 dacă și numai dacă
Cometariu. Condiția (2) poate fi interpretată ca a doua definiție a continuității unei funcții într-un punct. Ambele definiții sunt echivalente.
Fie definită funcția f(x) în intervalul .
Se spune că o funcție f(x) este lăsată continuă într-un punct x0 dacă există o limită unilaterală.
Continuitatea sumei, produsului și coeficientului a două funcții continue
Teorema 1. Dacă funcțiile f(x) și g(x) sunt continue în punctul x0, atunci f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) sunt continue în acest punct
Continuitatea unei funcții complexe
Teorema 2. Dacă funcția u(x) este continuă în punctul x0, iar funcția f(u) este continuă în punctul corespunzător u0 = f(x0), atunci funcția compusă f(u(x)) este continuă în punctul x0.
Toate funcțiile elementare sunt continue în fiecare punct al domeniilor lor.
Proprietăți locale ale funcțiilor continue
Teorema 3 (mărginirea unei funcții continue). Dacă funcția f(x) este continuă în punctul x0, atunci există o vecinătate O(x0) în care f(x) este mărginit.
Dovada rezultă din afirmația că o funcție care are o limită este mărginită.
Teorema 4 (stabilitatea semnului unei funcții continue). Dacă funcția f(x) este continuă în punctul x0 și f(x0) ≠ 0, atunci există o vecinătate a punctului x0 unde f(x) ≠ 0, iar semnul lui f(x) în această vecinătate coincide cu semnul lui f(x0).
Clasificarea punctelor de întrerupere
Condiția (1) a continuității funcției f(x) în punctul x0 este echivalentă cu condiția f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)
unde f(x 0 − 0) = lim
f(x) și f(x0 + 0) = lim
f(x) - limitele unilaterale ale funcției f(x) în punctul x0.
Dacă condiția (3) este încălcată, punctul x0 se numește punctul de discontinuitate al funcției f(x). În funcție de tipul de încălcare a condiției (3), punctele de întrerupere au un caracter diferit și sunt clasificate după cum urmează:
1. Dacă într-un punct x0 există limite unilaterale f(x0 − 0), f (x0 + 0) și
f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), atunci punctul x0 se numește punctul de discontinuitate al funcției f(x) (Fig. 1).
Cometariu. În punctul x0, este posibil ca funcția să nu fie definită.
2. Dacă în punctul x0 există limite unilaterale f(x0 − 0), f (x0 + 0) și
f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), atunci punctul x0 se numește punct de discontinuitate cu un salt finit al funcției f(x) (Fig. 2).
Cometariu. La punctul de discontinuitate cu un salt finit, valoarea funcției poate fi orice sau poate să nu fie definită.
Punctele unei discontinuități amovibile și ale unui salt finit se numesc puncte de discontinuitate de primul fel. Caracteristica lor distinctivă este existența limitelor unilaterale finite f(x0 − 0) și
3. Dacă în punctul x0 cel puțin una dintre limitele unilaterale f(x0 − 0), f (x0 + 0) este egală cu infinitul sau nu există, atunci 
x0 se numește punct de discontinuitate de al 2-lea fel (Fig. 3).
Dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale f(x0 − 0), f (x0 + 0) este egală cu infinit, atunci linia x = x 0 se numește asimptota verticală a graficului funcției y = f( X).
Definiție. O funcție f(x) definită într-o vecinătate a unui punct x0 se numește continuă în punctul x0 dacă limita funcției și valoarea ei în acest punct sunt egale, i.e.
Același fapt poate fi scris diferit:
Definiție. Dacă funcția f(x) este definită într-o vecinătate a punctului x0, dar nu este continuă în punctul x0 însuși, atunci se numește funcție discontinuă, iar punctul x0 este numit punct de discontinuitate.
Definiție. Funcția f(x) se numește continuă în punctul x0 dacă pentru oricare număr pozitiv e>0 există un astfel de număr D>0 încât pentru orice x care satisface condiția
adevărata inegalitate.
Definiție. Funcția f(x) se numește continuă în punctul x = x0 dacă incrementul funcției în punctul x0 este o valoare infinitezimală.
f(x) = f(x0) + a(x)
unde a(x) este infinit mic pentru x®x0.
Proprietățile funcțiilor continue.
1) Suma, diferența și produsul funcțiilor continue în punctul x0 este o funcție continuă în punctul x0.
2) Coeficientul a două funcții continue este o funcție continuă cu condiția ca g(x) să nu fie egal cu zero în punctul x0.
3) Suprapunerea funcțiilor continue este o funcție continuă.
Această proprietate poate fi scrisă după cum urmează:
Dacă u = f(x), v = g(x) sunt funcții continue în punctul x = x0, atunci funcția v = g(f(x)) este de asemenea o funcție continuă în acest punct.
Valabilitatea proprietăților de mai sus poate fi demonstrată cu ușurință folosind teoremele limită
Proprietățile funcțiilor continue pe un interval.
Proprietatea 1: (Prima teoremă a lui Weierstrass (Weierstrass Karl (1815-1897) - matematician german)). O funcție continuă pe un interval este mărginită pe acest interval, adică. condiția –M £ f(x) £ M este îndeplinită pe interval.
Dovada acestei proprietăți se bazează pe faptul că o funcție care este continuă în punctul x0 este mărginită într-o vecinătate a acesteia, iar dacă împărțim segmentul într-un număr infinit de segmente care se „contractează” la punctul x0, atunci se formează o anumită vecinătate a punctului x0.
Proprietatea 2: O funcție care este continuă pe interval își ia valorile maxime și minime.
Acestea. există valori x1 și x2 astfel încât f(x1) = m, f(x2) = M și
Remarcăm aceste valori maxime și minime pe care funcția le poate lua pe un segment și de mai multe ori (de exemplu - f (x) = sinx).
Diferența dintre valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții pe un segment se numește oscilația unei funcții pe un segment.
Proprietatea 3: (Teorema a doua Bolzano–Cauchy). O funcție care este continuă pe un segment ia pe acest segment toate valorile dintre două valori arbitrare.
Proprietatea 4: Dacă funcția f(x) este continuă în punctul x = x0, atunci există o vecinătate a punctului x0 în care funcția își păstrează semnul.
Proprietatea 5: (Prima teoremă a lui Bolzano (1781-1848) - Cauchy). Dacă funcția f(x) este continuă pe un segment și are valori de semne opuse la capetele segmentului, atunci există un punct în interiorul acestui segment în care f(x) = 0.
Acestea. dacă semn(f(a)) ¹ semn(f(b)), atunci $ x0: f(x0) = 0.
Definiție. Funcția f(x) se numește uniform continuă pe segment dacă pentru orice e>0 există D>0 astfel încât pentru orice puncte x1О și x2О astfel încât
х2 – х1п< D
inegalitatea ïf(x2) – f(x1)ï< e
Diferența dintre continuitatea uniformă și continuitatea „obișnuită” este că pentru orice e există propriul D care nu depinde de x, în timp ce pentru continuitatea „obișnuită” D depinde de e și x.
Proprietatea 6: Teorema lui Cantor (Kantor Georg (1845-1918) - matematician german). O funcție care este continuă pe un segment este uniform continuă pe acesta.
(Această proprietate este valabilă numai pentru segmente, nu pentru intervale și semiintervale.)
Definiţia continuity
O funcție f (x) se numește continuă într-un punct a dacă: f () pp
1) funcția f(x) este definită în punctul a,
2) are o limită finită ca x→ a 2) are o limită finită ca x→ a,
3) această limită este egală cu valoarea funcției în acest punct:
Continuitate pe interval
Funcția f (x) se numește continuă pe intervalul X dacă f () pp py
Este continuă în fiecare punct al acestui interval.
Afirmație. Toate funcțiile elementare sunt continue în
Domenii ale definirii lor.
funcţie mărginită
O funcție se numește mărginită pe un segment dacă
există un număr M astfel încât pentru tot x ∈
inegalitate:| f(x)| ≤M.
Două teoreme ale lui Weierstrass
Prima teoremă a lui Weierstrass. Dacă funcția f (x p p p fu f (
este continuă pe segmentul , apoi este mărginită pe acest segment
A doua teoremă a lui Weierstrass. Dacă funcția f(x
este continuu pe segmentul , atunci trebuie sa ajunga pe acest segment
cea mai mică valoare m și cea mai mare valoare M.
Teorema Bolzano-Cauchy
Dacă funcția f (x) este continuă pe interval și pe fu f () pp p
la capetele acestui segment f(a) și f(b) au semne opuse,
atunci în interiorul segmentului există un punct c∈ (a,b) astfel încât f (c) = 0. ur p () f ()