Punctul extremum al unei funcții este punctul din domeniul funcției, la care valoarea funcției ia minimul sau valoare maximă. Valorile funcției din aceste puncte sunt numite extreme (minime și maxime) ale funcției.

Definiție. Punct X1 domeniul de aplicare al funcției f(X) se numește punctul maxim al funcției , dacă valoarea funcției în acest punct este mai mare decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 maxim.

Definiție. Punct X2 domeniul de aplicare al funcției f(X) se numește punctul minim al funcției, dacă valoarea funcției în acest punct este mai mică decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). În acest caz, se spune că funcția are la punctul X2 minim.

Să spunem ideea X1 - punctul maxim al functiei f(X). Apoi în intervalul până la X1 funcția crește, deci derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(X) > 0 ), iar în intervalul de după X1 funcția este în scădere, deci derivată de funcție mai putin de zero ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Să presupunem, de asemenea, că ideea X2 - punctul minim al functiei f(X). Apoi în intervalul până la X2 funcția este descrescătoare și derivata funcției este mai mică decât zero ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funcția este în creștere și derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(X) > 0). În acest caz și la punct X2 derivata functiei este zero sau nu exista.

teorema lui Fermat ( caracteristică necesară existența unui extremum al funcției). Dacă punct X0 - punctul extremum al funcției f(X), atunci în acest moment derivata funcției este egală cu zero ( f "(X) = 0 ) sau nu există.

Definiție. Sunt numite punctele în care derivata unei funcții este egală cu zero sau nu există puncte critice .

Exemplul 1 Să luăm în considerare o funcție.

La punctul X= 0 derivata functiei este egala cu zero, deci punctul X= 0 este punctul critic. Cu toate acestea, după cum se poate observa pe graficul funcției, aceasta crește în întregul domeniu de definiție, deci punctul X= 0 nu este un punct extrem al acestei funcții.

Astfel, condițiile ca derivata unei funcții într-un punct să fie egală cu zero sau să nu existe sunt condiții necesare pentru un extremum, dar nu suficiente, deoarece pot fi date și alte exemple de funcții pentru care aceste condiții sunt îndeplinite, dar funcția nu are un extremum în punctul corespunzător. De aceea trebuie să aibă suficiente indicații, care permit să se judece dacă există un extremum într-un anumit punct critic și care - un maxim sau un minim.

Teoremă (primul criteriu suficient pentru existența unui extremum al unei funcții). Punct critic X0 f(X) , dacă derivata funcției își schimbă semnul la trecerea prin acest punct, iar dacă semnul se schimbă din „plus” în „minus”, atunci punctul maxim, iar dacă din „minus” în „plus”, atunci punctul minim .

Dacă aproape de punct X0 , la stânga și la dreapta acesteia, derivata își păstrează semnul, asta înseamnă că funcția fie scade, fie crește doar într-o vecinătate a punctului X0 . În acest caz, la punctul X0 nu există extremum.

Asa de, pentru a determina punctele extreme ale funcției, trebuie să faceți următoarele :

1. Aflați derivata unei funcții.
2. Echivalează derivata cu zero și determină punctele critice.
3. Mental sau pe hârtie, marcați punctele critice pe axa numerică și determinați semnele derivatei funcției în intervalele rezultate. Dacă semnul derivatei se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul critic este punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul critic este punctul minim.
4. Calculați valoarea funcției la punctele extreme.

Exemplul 2 Găsiți extremele unei funcții .

Soluţie. Să găsim derivata funcției:

Echivalează derivata cu zero pentru a găsi punctele critice:

.

Deoarece pentru orice valoare a lui „x” numitorul nu este egal cu zero, atunci echivalăm numărătorul cu zero:

Am un punct critic X= 3 . Determinăm semnul derivatei în intervalele delimitate de acest punct:

în intervalul de la minus infinit la 3 - semnul minus, adică funcția scade,

în intervalul de la 3 la plus infinit - un semn plus, adică funcția crește.

Adică punct X= 3 este punctul minim.

Găsiți valoarea funcției în punctul minim:

Astfel, punctul extremum al funcției se găsește: (3; 0) , și este punctul minim.

Teoremă (al doilea criteriu suficient pentru existența unui extremum al unei funcții). Punct critic X0 este punctul extremum al funcției f(X), dacă derivata a doua a funcției în acest punct nu este egală cu zero ( f ""(X) ≠ 0 ), în plus, dacă derivata a doua este mai mare decât zero ( f ""(X) > 0 ), atunci punctul maxim și dacă derivata a doua este mai mică decât zero ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Observaţie 1. Dacă la un punct X0 atât prima cât și a doua derivată dispar, apoi în acest moment este imposibil să judecăm prezența unui extremum pe baza celui de-al doilea semn suficient. În acest caz, trebuie să utilizați primul criteriu suficient pentru extremul funcției.

Observația 2. Al doilea criteriu suficient pentru extremul unei funcții este de asemenea inaplicabil atunci când derivata întâi nu există în punctul staționar (atunci nici derivata a doua nu există). În acest caz, este necesar să se folosească și primul criteriu suficient pentru extremul funcției.

Natura locală a extremelor funcției

Din definițiile de mai sus rezultă că extremul unei funcții are un caracter local - este cel mai mare și cea mai mică valoare caracteristici comparativ cu valorile din apropiere.

Să presupunem că luați în considerare câștigurile dvs. într-un interval de timp de un an. Dacă în luna mai ați câștigat 45.000 de ruble, iar în aprilie 42.000 de ruble, iar în iunie 39.000 de ruble, atunci câștigurile din mai sunt funcția de câștig maxim față de cele mai apropiate valori. Dar în octombrie ai câștigat 71.000 de ruble, în septembrie 75.000 de ruble și în noiembrie 74.000 de ruble, deci câștigurile din octombrie sunt minimul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Și puteți observa cu ușurință că maximul dintre valorile lunilor aprilie-mai-iunie este mai mic decât cel minim din septembrie-octombrie-noiembrie.

În general, o funcție poate avea mai multe extreme pe un interval și se poate dovedi că orice minim al funcției este mai mare decât orice maxim. Deci, pentru funcția prezentată în figura de mai sus, .

Adică, nu trebuie să credem că maximul și minimul unei funcții sunt, respectiv, valorile maxime și minime ale acesteia pe întregul segment luat în considerare. În punctul maxim, funcția are cea mai mare valoare numai în comparație cu acele valori pe care le are în toate punctele suficient de aproape de punctul maxim, iar în punctul minim, valoarea cea mai mică numai în comparație cu acele valori care are în toate punctele suficient de aproape de punctul minim.

Prin urmare, putem rafina conceptul de puncte extreme ale unei funcții prezentate mai sus și putem numi punctele minime puncte minime locale, iar punctele maxime - puncte maxim local.

Căutăm împreună extremele funcției

Exemplul 3

Rezolvare.Funcția este definită și continuă pe întreaga dreaptă numerică. Derivatul său există și pe întreaga linie numerică. Prin urmare, în acest caz, numai cele la care , adică, servesc ca puncte critice. , de unde și . Puncte critice și împărțiți întregul domeniu al funcției în trei intervale de monotonitate: . Selectăm câte un punct de control în fiecare dintre ele și găsim semnul derivatei în acest punct.

Pentru interval, punctul de referință poate fi : găsim . Luând un punct în interval, obținem , iar luând un punct în interval, avem . Deci, în intervalele și , și în intervalul . Conform primei semn suficient extremum, nu există extremum în punct (deoarece derivata își păstrează semnul în intervalul ), iar în punct funcția are un minim (deoarece derivata își schimbă semnul din minus în plus când trece prin acest punct). Găsiți valorile corespunzătoare ale funcției: , și . În interval, funcția scade, deoarece în acest interval , iar în interval crește, deoarece în acest interval.

Pentru a clarifica construcția graficului, găsim punctele de intersecție ale acestuia cu axele de coordonate. Când obținem o ecuație ale cărei rădăcini și , adică două puncte (0; 0) și (4; 0) ale graficului funcției se găsesc. Folosind toate informațiile primite, construim un grafic (vezi la începutul exemplului).

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator de derivate online .

Exemplul 4 Găsiți extremele funcției și construiți graficul acesteia.

Domeniul funcției este întreaga dreaptă numerică, cu excepția punctului, adică. .

Pentru a scurta studiul, putem folosi faptul că această funcție este pară, deoarece . Prin urmare, graficul său este simetric față de axă Oi iar studiul poate fi efectuat numai pentru intervalul .

Găsirea derivatei și punctele critice ale funcției:

1) ;

2) ,

dar funcția suferă o întrerupere în acest punct, deci nu poate fi un punct extremum.

În acest fel, funcţie dată are două puncte critice: și . Ținând cont de paritatea funcției, verificăm doar punctul după al doilea semn suficient al extremului. Pentru a face acest lucru, găsim derivata a doua si determinam semnul acestuia la : obtinem . Deoarece și , atunci este punctul minim al funcției, în timp ce .

Pentru a obține o imagine mai completă a graficului funcției, să aflăm comportamentul acesteia la limitele domeniului de definiție:

(aici simbolul indică dorința X la zero în dreapta și X rămâne pozitiv; în mod similar înseamnă aspirație X la zero în stânga și X rămâne negativ). Astfel, dacă , atunci . În continuare, găsim

,

acestea. daca atunci .

Graficul funcției nu are puncte de intersecție cu axele. Poza este la începutul exemplului.

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator de derivate online .

Continuăm să căutăm împreună extreme ale funcției

Exemplul 8 Aflați extremele funcției.

Soluţie. Găsiți domeniul funcției. Deoarece inegalitatea trebuie să se mențină, obținem din .

Să găsim prima derivată a funcției.

Semne de creștere și scădere locală a unei funcții.

Una dintre sarcinile principale ale studiului unei funcții este de a găsi intervalele de creștere și scădere a acesteia. Un astfel de studiu este ușor de realizat folosind derivatul. Să formulăm afirmațiile corespunzătoare.

Criteriu suficient pentru creșterea funcției. Dacă f'(x) > 0 în fiecare punct al intervalului I, atunci funcția f crește cu I.

Un criteriu suficient pentru ca o funcție să scadă. Dacă f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Dovada acestor trăsături se realizează pe baza formulei lui Lagrange (vezi Sec. 19). Luați oricare două numere x 1 și x2 din interval. Fie x 1 există un număr с∈(х 1 , x 2 ), astfel încât

(1)

Numărul c aparține intervalului I, deoarece punctele x 1 și x2 aparțin lui I. Dacă f"(x)>0 pentru x∈I atunci f'(с)>0 și, prin urmare, F(x 1 )) — aceasta rezultă din formula (1), întrucât x 2-x1 >0. Aceasta demonstrează că funcția f crește pe I. Dacă f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (x 2 ) rezultă din formula (1), întrucât x 2-x1 >0. Demonstrăm că funcția f scade pe I.

Semnificația vizuală a semnelor este clară din raționamentul fizic (pentru certitudine, luați în considerare semnul creșterii).

Fie ca un punct care se deplasează de-a lungul axei y la momentul t are ordonata y = f(t). Atunci viteza acestui punct la momentul t este egală cu f"(t) (vezi Fig. Viteza instantanee ). Dacă f’ (t)>0 în fiecare moment de timp din intervalul t, atunci punctul se mișcă în direcția pozitivă a axei y, adică dacă t 1 ). Aceasta înseamnă că funcția f crește pe intervalul I.

Observație 1.

Dacă funcția f este continuă la oricare dintre capetele intervalului de creștere (scădere), atunci acest punct este atașat acestui interval.

Observația 2.

Pentru a rezolva inegalitățile f „(x)>0 și f” (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Condiții necesare și suficiente pentru existența unui extremum al unei funcții într-un punct.

Condiție necesară pentru un extremum

Funcția g(x) într-un punct are un extremum (maxim sau minim) dacă funcția este definită într-o vecinătate cu două fețe a punctului și pentru toate punctele x ale unei arii: , respectiv, inegalitatea

(în cazul unui maxim) sau (în cazul unui minim).

Extremul funcției poate fi găsit din condiția: dacă derivata există, i.e. egalați prima derivată a funcției cu zero.

Condiție extremum suficientă

1) Prima condiție suficientă:

a) f(x) este o funcție continuă și este definită într-o vecinătate a unui punct, astfel încât derivata întâi la punctul dat este egală cu zero sau nu există.

b) f(x) are o derivată finită în vecinătatea specificației și continuității funcției

c) derivata retine un anumit semn la dreapta punctului si la stanga aceluiasi punct, atunci punctul poate fi caracterizat astfel

Această condiție nu este foarte convenabilă, deoarece trebuie să verificați o mulțime de condiții și să memorați tabelul, dar dacă nu se spune nimic despre derivatele de ordin superior, atunci aceasta este singura modalitate de a găsi extremul funcției.

2) A doua condiție suficientă

Dacă funcția g(x) are o derivată a doua și, la un moment dat, derivata întâi este egală cu zero, iar derivata a doua este diferită de zero. Apoi punctul funcția extremum g(x), iar dacă , atunci punctul este maxim; dacă , atunci punctul este minimul.

Primul semn suficient al unui extremum este formulat pe baza modificării semnului primei derivate la trecerea prin punctul critic. Al doilea semn al unui extremum va fi discutat mai jos în § 6.4.

Teorema (primul semn al unui extremum) : În cazul în care unX 0 este punctul critic al funcțieiy=f(X) și într-o vecinătate a punctuluiX 0 , trecând prin ea de la stânga la dreapta, derivata își schimbă semnul invers, apoiX 0 este punctul extremum. Mai mult, dacă semnul derivatei se schimbă de la „+” la „-”, atunciX 0 este punctul maxim șif(X 0 ) - maximul funcției, iar dacă derivata își schimbă semnul din „-” în „+”, atunciX 0 este punctul minim șif(X 0 ) este minimul funcției.

Extremul considerat este local(local) și atinge o mică vecinătate a punctului critic.

Punctele extreme și punctele de discontinuitate împart domeniul de definire a funcției în intervale de monotonitate.

Exemplul 6.3.În exemplul 6.1. am găsit puncte critice X 1 =0 și X 2 =2.

Să aflăm dacă în aceste puncte funcția y=2x 3 -6x 2 +1 are un extremum. Înlocuiește în derivatul său
valorile X luate la stânga și la dreapta punctului X 1 =0 într-un cartier destul de apropiat, de exemplu, x=-1și x=1. obține . Deoarece derivata își schimbă semnul de la „+” la „-”, atunci X 1 =0 este punctul maxim și maximul funcției
. Acum să luăm două valori x=1 și x=3 dintr-un cartier de alt punct critic X 2 =2 . S-a demonstrat deja că
, A
. Deoarece derivata își schimbă semnul din „-” în „+”, atunci X 2 =2 este punctul minim. Și minimul funcției
.

Pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții continuă pe un segment
trebuie să-i calculați valoarea în toate punctele critice și la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mare și cel mai mic dintre ele.

6.3. Semne de convexitate și concavitate ale graficului funcției. Puncte de inflexiune

Graficul unei funcții diferențiabile se numeșteconvexpe un interval dacă este situat sub oricare dintre tangentele sale pe acel interval;concav (convex în jos), dacă este situat deasupra oricărei tangente pe interval.

6.3.1. Semne necesare și suficiente de convexitate și concavitate ale graficului

a) Caracteristici necesare

Dacă graficul funcţieiy=f(X) convex pe interval(A, b) , apoi derivata a doua
pe acest interval; dacă graficulconcav pe(A, b) , apoi
pe(A, b) .

P graficul st al funcției y=f(X) convex (A, b) (Fig.6.3a). Dacă o tangentă alunecă de-a lungul unei curbe convexe de la stânga la dreapta, atunci panta ei scade (
), în același timp, și panta tangentei scade, ceea ce înseamnă că prima derivată scade
pe (A, b) . Dar atunci derivata primei derivate ca derivată a unei funcții descrescătoare trebuie să fie negativă, adică
pe (A, b) .

Dacă graficul funcţiei concav pe (A, b) , apoi, argumentând în mod similar, vedem că atunci când tangentei alunecă de-a lungul curbei (Fig. 6.3b), panta tangentei crește (
), panta crește odată cu ea și, prin urmare, derivata. Și atunci derivata derivatei ca funcție crescătoare trebuie să fie pozitivă, adică
pe (A, b) .

b ) Caracteristici suficiente

Daca pentru functiey=f(X) în toate punctele unui anumit interval va fi
, apoi graficul funcțieiconcav pe acest interval, iar dacă
, apoiconvex .

„Regula ploii” : Pentru a vă aminti ce semn al derivatei a doua să îl asociați cu un convex și pe care unul cu un arc concav al graficului, vă recomandăm să rețineți: „plus apă” într-o gaură concavă, „minus apă” - într-o gaură convexă (Fig. 6.4).

Punctul de pe graficul unei funcții continue la care convexitatea se schimbă în concavitate sau invers se numeștepunct de inflexiune .

Teoremă (un criteriu suficient pentru existența unui punct de inflexiune).

În cazul în care un la punct funcţie
este de două ori diferențiabilă și derivata a doua în acest punct este egală cu zero sau nu există și dacă la trecerea prin punctul derivata a doua
schimbă semnul, apoi punctul există un punct de inflexiune. Coordonatele punctului de inflexiune
.

Punctele în care derivata a doua dispare sau nu există sunt numite puncte critice de al doilea fel.

Exemplul 6.4. Găsiți punctele de inflexiune și determinați intervalele de convexitate și concavitate ale curbei
(curba Gauss).

R soluţie. Găsim prima și a doua derivată:
,. A doua derivată există pentru orice . Echivalează-l cu zero și rezolvă ecuația rezultată
, Unde
, apoi
, Unde
,
sunt puncte critice de al doilea fel. Să verificăm schimbarea de semn a derivatei a doua la trecerea prin punctul critic
. În cazul în care un
, de exemplu,
, apoi
, și dacă
, de exemplu,
, apoi
, adică derivata a doua își schimbă semnul. Prin urmare,
- abscisa punctului de inflexiune, coordonatele acestuia
. Deoarece funcția este pară
, punct
, simetric la punct
, va fi, de asemenea, un punct de inflexiune.

Semnul necesar al unui extremum mai poate fi formulat astfel: dacă punctul M(x0, y 0) este un punct extremum local al funcției diferențiabile z = f(X, y), atunci vectorul gradient al acestei funcții în acest punct va fi un vector zero, adică. .

Sunt numite punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi ale unei funcții a două variabile sunt egale cu zero punctele staţionare.

Pentru a formula un criteriu suficient pentru extremul unei funcții a două variabile, avem nevoie de matricea diferenţialului de ordinul doi a acestei funcţii, scrisă sub forma unei forme pătratice:

Precum și determinantul acestei matrice, care poate fi scris sub următoarea formă:

Semn suficient de extremum

Cometariu. Dacă într-un punct staționar M: Δ = AB – De la 2= 0, atunci prezența unui extremum este posibilă, dar aceasta necesită cercetări suplimentare.

EXEMPLU: Găsiți extremele unei funcții

Să calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi și al doilea al acestei funcții:

Pentru a găsi puncte staționare, echivalăm derivatele parțiale de ordinul întâi cu zero și obținem un sistem de ecuații:

sau:

Rezolvând acest sistem, obținem două puncte staționare M(0, 0) și N(1, 1/2).

Pentru a afla prezența extremelor și caracterele lor în aceste puncte, calculăm succesiv valorile derivatelor parțiale de ordinul doi în fiecare punct.

Pentru un punct staționar M(0, 0) obținem:

Deoarece: Δ = AB – De la 2 = - 36 < 0, в этой стационарной точке экстре­му­ма нет.

Pentru un punct staționar N(1, 1/2) obținem:

Deoarece Δ ​​= AB – De la 2= 108 > 0 și A= 6 > 0, concluzionăm că în acest punct staționar va exista un minim local al acestei funcții. Mai mult, valoarea funcției în punctul minim va fi egală cu 0.

Metoda celor mai mici pătrate

În aplicaţiile practice, inclusiv în cele economice, se pune adesea problema netezirii unor dependenţe obţinute experimental. Adică, sarcina este de a reflecta cât mai exact posibil tendința generală a dependenței y din X, excluzând abaterile aleatorii de la această tendință generală din cauza erorilor inevitabile în datele experimentale sau statistice. O astfel de dependență netezită este de obicei căutată sub forma unei formule. În acest caz, formulele care servesc pentru reprezentarea analitică a dependențelor datelor experimentale sau experimentale sunt de obicei numite empiric.

Sarcina de a găsi o formulă empirică adecvată este de obicei împărțită în două etape principale. Primul pas este stabilirea sau alegerea forma generala o astfel de dependență y=f(X), adică decide dacă o relație dată este liniară, pătratică, exponențială, logaritmică etc. Această alegere implică adesea considerații suplimentare, de obicei de natură non-matematică. În a doua etapă, parametrii necunoscuți ai selectați funcţie empirică, folosind doar o serie de date obţinute experimental.

Conform celor mai frecvente şi fundamentate teoretic cele mai mici pătrate ca parametri necunoscuţi ai funcţiei empirice f(X) alegeți astfel de valori încât suma pătratelor „reziduurilor” δ i (abaterile valorilor „teoretice” ale funcției de la valorile obținute experimental) să fie minimă, adică:

unde și sunt date experimentale și n este numărul total de perechi ale acestor date.

Luați în considerare cea mai simplă problemă de acest gen. Lăsa funcție liniară, adică (Fig. 22), și este necesar să se găsească astfel de valori ale parametrilor Ași b, care va oferi minimumul funcției: .

În mod evident, funcția va fi o funcție a două variabile Ași b până când valorile lor „cele mai bune” sunt găsite și fixate, deoarece totul sunt numere constante găsite experimental. Prin urmare, pentru a găsi parametrii liniei drepte, care este cel mai potrivit cu datele experimentale, este suficient să rezolvăm sistemul de ecuații:

După calcule adecvate ale derivatelor și transformări identice, acest sistem poate fi reprezentat ca sisteme de ecuații normale :

Acest sistem ecuatii lineare are o soluție unică care poate fi găsită prin regula lui Cramer:

;

Astfel, cea mai bună aproximare liniară a dependenței experimentale conform metodei celor mai mici pătrate va fi o linie dreaptă.

EXEMPLU: Relația dintre profitul întreprinderii Yși costul mijloacelor fixe X, exprimat în unități convenționale, este dat de tabel.

X
Y

Pentru a clarifica forma formulei relației empirice, reprezentăm grafic dependența experimentală (cercurile din Fig. 23). În funcție de locația punctelor experimentale pe grafic, se poate presupune că relația dintre Xși Y este liniară, adică se pare ca:

Pentru a determina valorile numerice ale parametrilor Ași b vom calcula coeficienții sistemului de ecuații normale și, pentru comoditate, vom rezuma calculele într-un tabel.

Conform tabelului:

Înlocuirea valorilor găsite (ținând cont de faptul că n= 7) în formule pentru calcularea parametrilor Ași b, găsim:

Astfel, dependența empirică are forma (Fig. 23 arată o linie continuă): y= 0,557X- 5,143.

ÎNTREBĂRI pentru autocontrolul cunoștințelor pe tema 6:

1. Ecuația definește o funcție a mai multor variabile?

Se numește funcția y = f(x). crescând (în scădere) într-un anumit interval dacă pentru x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Dacă o funcție diferențiabilă y = f(x) pe un segment crește (descrește), atunci derivata sa pe acest segment f "(x) > 0

(f "(x)< 0).

Punct x o numit punct maxim local (minim) a funcției f(x) dacă există o vecinătate a punctului x o, pentru toate punctele în care inegalitatea f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)) este adevărată.

Se numesc punctele maxime și minime puncte extremum, iar valorile funcției în aceste puncte sunt ale acesteia extrema.

Conditiile necesare extremum. Dacă punct x o este un punct extrem al funcției f (x), atunci fie f "(x o) \u003d 0, fie f (x o) nu există. Astfel de puncte sunt numite critic, unde funcția în sine este definită în punctul critic. Extremele unei funcții ar trebui căutate printre punctele sale critice.

Prima condiție suficientă. Lăsa x o- punct critic. Dacă f "(x) la trecerea printr-un punct x o schimbă semnul plus în minus, apoi la punctul x o functia are un maxim, altfel are un minim. Dacă derivata nu își schimbă semnul la trecerea printr-un punct critic, atunci la punctul x o nu există extremum.

A doua condiție suficientă. Fie ca funcția f(x) să aibă o derivată
f „(x) în vecinătatea unui punct x o iar derivata a doua chiar în punctul x o. Dacă f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка x o este un punct minim (maxim) local al funcției f(x). Dacă =0, atunci trebuie fie să folosiți prima condiție suficientă, fie să implicați derivate mai mari.

Pe un segment, funcția y = f(x) poate atinge valoarea minimă sau maximă fie în punctele critice, fie la capetele segmentului.

Investigarea condițiilor și complot.

Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Găsiți punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate

Găsiți intervale de semne de constanță

Examinați pentru par, impar

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Găsiți intervalele de monotonitate ale unei funcții

Găsiți extremele unei funcții

Găsiți intervale convexe și puncte de inflexiune

Asimptote ale graficelor de funcții. Schema generală a funcţiilor de cercetare şi trasare. Exemple.

vertical

Asimptotă verticală - o linie dreaptă a formei supusă existenței unei limite .

De regulă, atunci când se determină asimptota verticală, ei caută nu o limită, ci două unilaterale (stânga și dreapta). Acest lucru se face pentru a determina modul în care funcția se comportă pe măsură ce se apropie de asimptota verticală din direcții diferite. De exemplu:

Notă: acordați atenție semnelor infinitului din aceste egalități.

[editează] Orizontală

Asimptotă orizontală - o linie dreaptă a formei supusă existenței unei limite

.

[editează] Înclinat

Asimptotă oblică - o linie dreaptă a formei supusă existenței limitelor

Exemplu de asimptotă oblică

1.

Notă: o funcție nu poate avea mai mult de două asimptote oblice (orizontale)!

Notă: Dacă cel puțin una dintre cele două limite menționate mai sus nu există (sau este egală cu ), atunci asimptota oblică la (sau ) nu există!

Relația dintre asimptotele oblice și orizontale

Dacă, la calcularea limitei , atunci este evident că asimptota oblică coincide cu cea orizontală. Care este relația dintre aceste două tipuri de asimptote?

Faptul, că asimptota orizontală este un caz special al oblicului la , și din observațiile de mai sus rezultă că

1. O funcție are fie o singură asimptotă oblică, fie o asimptotă verticală, fie una oblică și una verticală, fie două oblice, fie două verticale, fie nicio asimptotă.

2. Existenţa asimptotelor indicate la pct. 1.) este direct legată de existenţa limitelor corespunzătoare.

Graficul unei funcții cu două asimptote orizontale

]Găsirea asimptotelor

Ordinea găsirii asimptotelor

1. Găsirea asimptotelor verticale.

2. Găsirea a două limite

3. Găsirea a două limite:

dacă la punctul 2.), atunci , iar limita este căutată prin formula asimptotă orizontală, .