Un semn suficient al existenței unui extremum. Extreme ale funcției

Primul semn suficient al unui extremum este formulat pe baza modificării semnului primei derivate la trecerea prin punctul critic. Al doilea semn al unui extremum va fi discutat mai jos în § 6.4.

Teorema (primul semn al unui extremum) : În cazul în care unX 0 este punctul critic al funcțieiy=f(X) și într-o vecinătate a punctuluiX 0 , trecând prin ea de la stânga la dreapta, derivata își schimbă semnul invers, apoiX 0 este punctul extremum. Mai mult, dacă semnul derivatei se schimbă de la „+” la „-”, atunciX 0 este punctul maxim șif(X 0 ) - maximul funcției, iar dacă derivata își schimbă semnul din „-” în „+”, atunciX 0 este punctul minim șif(X 0 ) este minimul funcției.

Extremul considerat este local(local) și atinge o mică vecinătate a punctului critic.

Punctele extreme și punctele de discontinuitate împart domeniul de definire a funcției în intervale de monotonitate.

Exemplul 6.3.În exemplul 6.1. am găsit puncte critice X 1 =0 și X 2 =2.

Să aflăm dacă în aceste puncte funcția y=2x 3 -6x 2 +1 are un extremum. Înlocuiește în derivatul său
valorile X luate la stânga și la dreapta punctului X 1 =0 într-un cartier destul de apropiat, de exemplu, x=-1și x=1. obține . Deoarece derivata își schimbă semnul de la „+” la „-”, atunci X 1 =0 este punctul maxim și maximul funcției
. Acum să luăm două valori x=1 și x=3 dintr-un cartier de alt punct critic X 2 =2 . S-a demonstrat deja că
, A
. Deoarece derivata își schimbă semnul din „-” în „+”, atunci X 2 =2 este punctul minim. Și minimul funcției
.

Pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții continuă pe un segment
trebuie să-i calculați valoarea în toate punctele critice și la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mare și cel mai mic dintre ele.

6.3. Semne de convexitate și concavitate ale graficului funcției. Puncte de inflexiune

Graficul unei funcții diferențiabile se numeșteconvexpe un interval dacă este situat sub oricare dintre tangentele sale pe acel interval;concav (convex în jos), dacă este situat deasupra oricărei tangente pe interval.

6.3.1. Semne necesare și suficiente de convexitate și concavitate ale graficului

a) Caracteristici necesare

Dacă graficul funcţieiy=f(X) convex pe interval(A, b) , apoi derivata a doua
pe acest interval; dacă programulconcav pe(A, b) , apoi
pe(A, b) .

P graficul st al funcției y=f(X) convex (A, b) (Fig.6.3a). Dacă o tangentă alunecă de-a lungul unei curbe convexe de la stânga la dreapta, atunci panta ei scade (
), în același timp, și panta tangentei scade, ceea ce înseamnă că prima derivată scade
pe (A, b) . Dar atunci derivata primei derivate ca derivată a unei funcții descrescătoare trebuie să fie negativă, adică
pe (A, b) .

Dacă graficul funcţiei concav pe (A, b) , apoi, argumentând în mod similar, vedem că atunci când tangentei alunecă de-a lungul curbei (Fig. 6.3b), panta tangentei crește (
), panta crește odată cu ea și, prin urmare, derivata. Și atunci derivata derivatei ca funcție crescătoare trebuie să fie pozitivă, adică
pe (A, b) .

b ) Caracteristici suficiente

Daca pentru functiey=f(X) în toate punctele unui anumit interval va fi
, apoi graficul funcțieiconcav pe acest interval, iar dacă
, apoiconvex .

„Regula ploii” : Pentru a vă aminti ce semn al derivatei a doua să îl asociați cu un convex și pe care unul cu un arc concav al graficului, vă recomandăm să rețineți: „plus apă” într-o gaură concavă, „minus apă” - într-o gaură convexă (Fig. 6.4).

punct grafic functie continua, în care convexitatea se schimbă în concavitate sau invers, se numeștepunct de inflexiune .

Teoremă (un criteriu suficient pentru existența unui punct de inflexiune).

În cazul în care un la punct funcţie
este de două ori diferențiabilă și derivata a doua în acest punct este egală cu zero sau nu există și dacă la trecerea prin punctul derivata a doua
schimbă semnul, apoi punctul există un punct de inflexiune. Coordonatele punctului de inflexiune
.

Punctele în care derivata a doua dispare sau nu există sunt numite puncte critice de al doilea fel.

Exemplul 6.4. Găsiți punctele de inflexiune și determinați intervalele de convexitate și concavitate ale curbei
(curba Gauss).

R soluţie. Găsim prima și a doua derivată:
,. A doua derivată există pentru orice . Echivalează-l cu zero și rezolvă ecuația rezultată
, Unde
, apoi
, Unde
,
sunt puncte critice de al doilea fel. Să verificăm schimbarea de semn a derivatei a doua la trecerea prin punctul critic
. În cazul în care un
, De exemplu,
, apoi
, si daca
, De exemplu,
, apoi
, adică derivata a doua își schimbă semnul. Prin urmare,
- abscisa punctului de inflexiune, coordonatele acestuia
. Deoarece funcția este pară
, punct
, simetric la punct
, va fi, de asemenea, un punct de inflexiune.

Biletul numărul 1

funcția antiderivatăTeoremaDovada integrală nedefinită

Se numește punctul (X 0 ;Y 0). punct maxim punct minim funcții: pentru toate punctele (x;y) altele decât (X 0 ;Y 0), din vecinătatea δ a punctului (X 0 ;Y 0) este valabilă următoarea inegalitate: f(x;y)>f(X 0;Y 0).

Dovada:

Biletul numărul 2

Dovadasens geometric

spor privat derivat parțial sens geometric

Biletul numărul 3

19. Determinarea punctelor maxime și minime ale funcției z=f(x,y). Se numește punctul (X 0 ;Y 0). punct maxim funcția z=f(x;y) dacă există o vecinătate δ a punctului (X 0 ;Y 0) astfel încât inegalitatea f(x;y) punct minim funcții: pentru toate punctele (x;y) altele decât (X 0 ;Y 0), din vecinătatea δ a punctului (X 0 ;Y 0) este valabilă următoarea inegalitate: f(x;y)>f(X 0;Y 0). Fie că în punctul staționar (X 0 ;Y 0) și o parte din vecinătatea acestuia funcția f(x;y) are derivate parțiale continue până la ordinul doi inclusiv. Calculați în punctul (X 0 ;Y 0) valorile A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy ( X 0;Y 0). Notăm Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Atunci: 1) dacă Δ><0; минимум, если A>0; 2) dacă Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Biletul numărul 4 integrala definita Proprietăți Dovada.cea mai mare valoare funcțiile y=f(x) pe segmentul , (a în punctul cu coordonatele (x;y;z) Să presupunem că funcția u(x;y;z) este continuă și are derivate continue față de argumentele sale din domeniul D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu /δy)Δy+(δu/δz)Δz+E1Ax+E2Ay+E3Az, unde E1, E2, E3 tind spre zero ca Δl→0. Să împărțim întreaga egalitate la Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/ A1)+E3 (Az/Al). Δx/Al=cosα; Ay/Al=cosp; Δz/Δl=cosγ. Egalitatea poate fi reprezentată astfel: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. Trecând la limită, obținem Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

Biletul numărul 5

1. Funcția antiderivată. Teoremă privind diferența a două antiderivate (cu dovezi). Integrală nedefinită: Definiție Se numește funcția F(x). funcția antiderivată f(x) pe intervalul (a;b) dacă pentru orice x∈(a;b) este valabilă egalitatea F"(x)=f(x). Teorema. Dacă funcția F(x) este antiderivată a funcției f(x) pe (a;b), atunci mulțimea tuturor antiderivatelor pentru f(x) este dată de formula F(x)+C, unde С= const. Dovada. Funcția F(x)+C este antiderivată a lui f(x). Într-adevăr, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). Fie F(x) o altă funcție antiderivată f(x) diferită de F(x), adică. Ф"(х)=f(x). Atunci pentru orice x∈(a;b) avem (Ф(х)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f( x)-f(x)=0. Și asta înseamnă că F(x)-F(x)=C, C=const. Prin urmare, Ф(x)=F(x)+C. Mulțimea tuturor funcțiilor antiderivate F(x)+C pentru f(x) se numește integrală nedefinită pe funcția f(x) și se notează cu simbolul ∫f(x)dx.

19. Determinarea punctelor maxime și minime ale funcției z=f(x,y). Se numește punctul (X 0 ;Y 0). punct maxim funcția z=f(x;y) dacă există o vecinătate δ a punctului (X 0 ;Y 0) astfel încât inegalitatea f(x;y) punct minim funcții: pentru toate punctele (x;y) altele decât (X 0 ;Y 0), din vecinătatea δ a punctului (X 0 ;Y 0) este valabilă următoarea inegalitate: f(x;y)>f(X 0;Y 0). 20. Un criteriu suficient pentru existența unui extremum al funcției z=f(x;y). (cuvântare). Fie că în punctul staționar (X 0 ;Y 0) și o parte din vecinătatea acestuia funcția f(x;y) are derivate parțiale continue până la ordinul doi inclusiv. Calculați în punctul (X 0 ;Y 0) valorile A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy ( X 0;Y 0). Notăm Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Atunci: 1) dacă Δ>0, atunci funcția f(x;y) în punctul (X 0 ;Y 0) are un extrem: maxim dacă A<0; минимум, если A>0; 2) dacă Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Biletul numărul 6

3. Calculul unei integrale definite pe un segment. Formula Newton-Leibniz (derivare). Dacă funcția y=f(x) este continuă pe segment și F(x) este oricare dintre antiderivatele sale pe (F"(x)=f(x)), atunci formula ∫(de la a la b) f( x )dx=F(b)-F(a).Această formulă este formula Newton-Leibniz. Luați în considerare identitatea: F(b)-F(a)=F(x n)-F(x 0)=(F (x n) -F(x n -1))+(f(x n -1)-F(x n -2))+…(F(x 2)-F(x 1))+(F(x 1)- F(x 0)). Transformăm fiecare diferență între paranteze după formula Lagrange: f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a).Se obține F(b)-F(a) =F'(c n)( x n -x n -1)+F'(c n -1)(x n -1 -x n -2)+F'(c 2)(x 2 -x 1)+F'(c 1) )(x 1 -x 0 )= ΣF'(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi, adică F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi, unde Ci este un punct al intervalului (X i -1 ,X i).deoarece o funcție y=f(x) este continuă pe , atunci este integrabilă pe .Deci, există o limită a sumei integrale egală cu integrala definită a lui f(x) pe .Se trece la limita la λ=maxΔXi→0, se obține F(b)-F( a)=lim Σf(Ci)ΔXi, adică ∫(de la a la b) f(x)dx=F(b)-F(a ).

Se apelează funcția z=f(x;y). diferentiabil

11. Proprietatea unei funcții diferențiabile: relația dintre diferențiabilitatea funcției z=f(x;y) și continuitatea funcției z=f(x;y) într-un punct (enunț, demonstrație). Dacă funcția z=f(x;y) este diferențiabilă în punctul M(x;y), atunci este continuă în acest punct, are derivate parțiale la ea. Dovada. Fie funcția y=f(x) diferențiabilă în punctul x 0 . Să dăm un increment Δx argumentului în acest moment. Funcția va primi un increment Δу. Să găsim limΔx→0(Δy). limΔx→0(Δy)= limΔx→0((Δy*Δx)/Δx))= limΔx→0(Δy/Δx)* limΔx→0(Δx)=f"(x0)*0=0. Prin urmare, y =f(x) este continuă la x 0 .

Biletul numărul 7

Un semn necesar al unui extremum.

Dacă o funcție continuă z=z(x,y) are un extrem în punctul P0(x0,y0), atunci toate derivatele sale parțiale de ordinul întâi în acest punct sunt fie egale cu zero, fie nu există

Dovada: Derivata parțială a funcției z=f(x,y) față de x în punctul P0(x0,y0) este derivata funcției unei variabile φ(x)=f(x,y0) în punctul x-x0. Dar în acest moment funcția φ(x) are în mod evident un extremum. Prin urmare, φ'(x0)=0. )=0 . Teorema a fost demonstrată.

Biletul numărul 8

6. Teorema valorii medii (formulare, demonstrare, sens geometric). Dacă funcția f(x) este continuă pe segmentul , atunci există un punct С∈ astfel încât ∫(de la a la b) f(x)dx=f(c)*(b-a). Dovada. Prin formula Newton-Leibniz, avem ∫(de la a la b) f(x)dx=F(x)|(de la a la b)=F(b)-F(a), unde F"(x) =f( x). Aplicând la diferența F(b)-F(a) teorema Lagrange (teorema asupra incrementului finit al unei funcții), obținem F(b)-F(a)=F"(c) *(b-a)=f(c) *(b-a). sens geometric. Teorema pentru f(x)≥0 are o semnificație geometrică simplă: valoarea integralei definite este, pentru unele С∈ (a;b), aria unui dreptunghi cu înălțimea f(c) și baza b-a. Numărul f(c)=1/(b-a)∫(de la a la b) f(x)dx se numește valoarea medie a funcției f(x) pe intervalul .

8. Creșteri parțiale ale funcției z=f(x;y). Derivate parțiale: definiție și semnificația lor geometrică. Fie dată funcția z=f(x; y). Deoarece x și y sunt variabile independente, una dintre ele se poate schimba, în timp ce cealaltă rămâne constantă. Dăm variabilei x un increment ∆x, păstrând valoarea variabilei y neschimbată. Apoi funcția z va primi un increment, pe care îl vom apela spor privat z în x și notăm ∆ x z. Deci, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). În mod similar, obținem o creștere parțială a lui z față de y: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y).Dacă există o limită lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), atunci se numește derivat parțial funcțiile z \u003d f (x; y) în punctul M (x; y) din variabila x și este notat cu unul dintre simbolurile: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. sens geometric. Graficul funcției z=f(x;y) este o suprafață. Graficul funcției z \u003d f (x 0; y 0) este linia de intersecție a acestei suprafețe cu planul y \u003d y 0. Bazat sens geometric derivată pentru o funcție a unei variabile, concluzionăm că f "x (x 0; y 0) \u003d tgα, unde α este unghiul dintre axa Ox și tangenta trasată la curba z \u003d f (x 0; y 0) în punctul M 0 ( x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). În mod similar f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Biletul numărul 9

Dovada sens geometric

Plan tangent Normal la suprafață

Biletul numărul 10

10. Definiția unei funcții diferențiabile z=f(x;y) într-un punct. Definirea diferenţialului total dz şi a formei acesteia. Se apelează funcția z=f(x;y). diferentiabilîn punctul M(x;y), dacă incrementul său total în acest punct poate fi reprezentat ca: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, unde α=α( ∆ x;∆y)→0 și β=β(∆x;∆y)→0 pentru ∆x→0 și ∆y→0. Partea principală a incrementului funcției z=f(x;y), liniară în raport cu ∆x și ∆y, se numește diferenţial complet această funcție și se notează cu simbolul dz: dz=A*∆x+B*∆y. dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy.

Biletul numărul 11

4. Definiție integrala definita de-a lungul segmentului. Proprietățile de bază ale unei integrale definite peste un segment (cu demonstrarea unuia dintre ele). integrala definita de-a lungul segmentului din funcția f(x) limita sumei integrale Σf(c i)Δx i se numește dacă această limită există și nu depinde de împărțirea segmentului în părți și nici de alegerea punctelor t în interiorul fiecăruia. a părților, cu condiția ca lungimea celui mai mare dintre segmentele parțiale (∆xi) să tinde spre zero, adică ∫(de la a la b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i . Proprietăți: 1) Dacă c este un număr constant și funcția f(x) este integrabilă pe , atunci ∫(de la a la b) с*f(x)dx=с*∫(de la a la b) f(x)dx .2) Dacă funcțiile f 1 (x) b f 2 (x) sunt integrabile pe , atunci suma lor este integrabilă și ∫(de la a la b) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫(din a la b) f 1 (x)dx+∫(de la a la b) f 2 (x)dx. 3)∫(de la a la b) f(x)dx= -∫(de la b la a) f(x)dx. 4) Dacă funcția f(x) este integrabilă pe și a

10. Definiția unei funcții diferențiabile z=f(x;y) într-un punct. Se apelează funcția z=f(x;y). diferentiabilîn punctul M(x;y), dacă incrementul său total în acest punct poate fi reprezentat ca: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, unde α=α( ∆ x;∆y)→0 și β=β(∆x;∆y)→0 pentru ∆x→0 și ∆y→0.

12. Proprietatea unei funcții diferențiabile: legătură între diferențiabilitatea funcției z=f(x,y) și existența derivatelor parțiale la un punct (enunț, demonstrație). Teoremă: Dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct, atunci în acest punct există derivate parțiale finite, egale numeric cu A și B Demonstrație: Să dăm x 0 →Δx, y=y 0 =>Δ x z=(A*Δx+ 0(│x│). ρ=√(Δx 2 +Δy 2)=│Δx│. Δ x z/Δx=A +0(│x│)/Δx.LimΔx→0 (Δx z/Δx)=lim= A.δz/Δx(x 0 ;y 0)=A. În mod similar: Y 0 →Δy, x=x 0 => Δy Z. δz/Δy(x 0 ;y 0)=B.

Biletul numărul 12

Dovada

8. Creșteri parțiale ale funcției z=f(x;y). Derivate parțiale: definiție și semnificația lor geometrică. Fie dată funcția z=f(x; y). Deoarece x și y sunt variabile independente, una dintre ele se poate schimba, în timp ce cealaltă rămâne constantă. Dăm variabilei x un increment ∆x, păstrând valoarea variabilei y neschimbată. Apoi funcția z va primi un increment, pe care îl vom apela spor privat z în x și notăm ∆ x z. Deci, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). În mod similar, obținem o creștere parțială a lui z față de y: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y).Dacă există o limită lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), atunci se numește derivat parțial funcțiile z \u003d f (x; y) în punctul M (x; y) din variabila x și este notat cu unul dintre simbolurile: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. sens geometric. Graficul funcției z=f(x;y) este o suprafață. Graficul funcției z \u003d f (x 0; y 0) este linia de intersecție a acestei suprafețe cu planul y \u003d y 0. Pe baza semnificației geometrice a derivatei pentru o funcție a unei variabile, concluzionăm că f "x (x 0; y 0) \u003d tgα, unde α este unghiul dintre axa Ox și tangenta trasată la curba z \ u003d f (x 0; y 0) în punctul M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). În mod similar f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Biletul numărul 13

2. Problema ariei unui trapez curbiliniu, care duce la conceptul de integrală definită peste un segment. Definiția unei integrale definite pe un segment. Fie dată pe segment funcția y=f(x)≥0. O figură mărginită de sus de graficul funcției y=f(x), de jos - de axa Ox, din lateral de drepte x=a și x=b, se numește trapez curbiliniu. Găsiți aria acestui trapez. f(c 1)Δx 1 +f(c 2)Δx 2 +..+f(c n)Δx n =Σf(c i)Δx i =Sn. Odată cu o scădere a tuturor valorilor lui Δx i, precizia aproximării unui trapez curbiliniu printr-o cifră în trepte și precizia formulei rezultate cresc. Prin urmare, valoarea exactă a ariei S a unui trapez curbiliniu este luată ca limită S, spre care tinde aria figurii în trepte Sn atunci când n crește nedefinit, astfel încât λ=maxΔx i →0: S=lim n→ ∞ Sn=lim n→∞(λ→0 ) Σf(c i)Δx i , adică S=∫(de la a la b) f(x)dx. Deci, integrala definită a funcției nedefinite este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu Dacă, în acest caz, suma integrală Sn are o limită I, care nu depinde de modul în care segmentul este împărțit în numeric segmente, nici asupra alegerii punctelor din ele, atunci numărul I se numește integrală definită a funcției y=f(x) pe segment și se notează cu ∫(de la a la b) f(x)dx. Astfel, ∫(de la a la b) f(x)dx=lim n→∞(λ→0) Σf(c i)Δx i .

17. Plan tangent și normal la suprafață (definiție).Plan tangent la suprafață într-un punct M, un plan care trece prin acest punct al suprafeței se numește dacă unghiul dintre acest plan și secanta care trece prin punctul M și orice alt punct M 1 al suprafeței tinde spre zero, deoarece M tinde spre M. 1. Normal la suprafațăîn punctul M se numeşte dreptă care trece prin acest punct perpendicular pe planul tangent.

Biletul numărul 14

5. Teorema privind evaluarea unei integrale definite asupra unui segment (formulare, demonstrare, sens geometric). Estimare integrală. Dacă m și M sunt, respectiv, cea mai mică și, respectiv, cea mai mare valoare a funcției y=f(x) pe segment, (a Dovada. Deoarece pentru orice x∈ avem m≤f(x)≤M, atunci ∫(de la a la b) mdx≤ ∫(de la a la b) f(x)dx≤∫(de la a la b) Mdx. Se obține: m(b-a)≤∫(de la a la b) f(x)dx≤M(b-a). sens geometric. Aria unui trapez curbiliniu este cuprinsă între ariile dreptunghiurilor a căror bază este și ale căror înălțimi sunt m și M.

8. Creșteri parțiale ale funcției z=f(x;y). Derivate parțiale: definiție și semnificația lor geometrică. Fie dată funcția z=f(x; y). Deoarece x și y sunt variabile independente, una dintre ele se poate schimba, în timp ce cealaltă rămâne constantă. Dăm variabilei x un increment ∆x, păstrând valoarea variabilei y neschimbată. Apoi funcția z va primi un increment, pe care îl vom apela spor privat z în x și notăm ∆ x z. Deci, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). În mod similar, obținem o creștere parțială a lui z față de y: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y).Dacă există o limită lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), atunci se numește derivat parțial funcțiile z \u003d f (x; y) în punctul M (x; y) din variabila x și este notat cu unul dintre simbolurile: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. sens geometric. Graficul funcției z=f(x;y) este o suprafață. Graficul funcției z \u003d f (x 0; y 0) este linia de intersecție a acestei suprafețe cu planul y \u003d y 0. Pe baza semnificației geometrice a derivatei pentru o funcție a unei variabile, concluzionăm că f "x (x 0; y 0) \u003d tgα, unde α este unghiul dintre axa Ox și tangenta trasată la curba z \ u003d f (x 0; y 0) în punctul M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). În mod similar f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Biletul numărul 15

8. Creșteri parțiale ale funcției z=f(x;y). Derivate parțiale: definiție și semnificația lor geometrică. Fie dată funcția z=f(x; y). Deoarece x și y sunt variabile independente, una dintre ele se poate schimba, în timp ce cealaltă rămâne constantă. Dăm variabilei x un increment ∆x, păstrând valoarea variabilei y neschimbată. Apoi funcția z va primi un increment, pe care îl vom apela spor privat z în x și notăm ∆ x z. Deci, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). În mod similar, obținem o creștere parțială a lui z față de y: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y).Dacă există o limită lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), atunci se numește derivat parțial funcțiile z \u003d f (x; y) în punctul M (x; y) din variabila x și este notat cu unul dintre simbolurile: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. sens geometric. Graficul funcției z=f(x;y) este o suprafață. Graficul funcției z \u003d f (x 0; y 0) este linia de intersecție a acestei suprafețe cu planul y \u003d y 0. Pe baza semnificației geometrice a derivatei pentru o funcție a unei variabile, concluzionăm că f "x (x 0; y 0) \u003d tgα, unde α este unghiul dintre axa Ox și tangenta trasată la curba z \ u003d f (x 0; y 0) în punctul M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). În mod similar f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

Biletul numărul 16

21. Derivată a funcției u=u(x;y;z) în direcția l (definiție). Se numește limita LimΔl→0(Δu/Δl). derivată a funcției u(x;y;z) în direcția vectorului lîn punctul cu coordonatele (x;y;z).

22. Gradientul funcției u=u(x;y;z) într-un punct (definiție). Vectorul cu coordonatele (δu/δx; δu/δy; δu/δz) se numește

Biletul numărul 17

7. Integrală cu limită superioară variabilă. Teoremă asupra derivatei unei integrale cu limită superioară variabilă (enunț, demonstrație). Derivata unei integrale definite fata de limita superioara a variabilei este egala cu integrandul in care variabila de integrare este inlocuita cu aceasta limita, adica (∫(de la a la x) f(t)dt)" x = f(x ). Dovada. Conform formulei Newton-Leibniz, avem: ∫(de la a la x) f(t)dt=F(t)|(de la a la x)=F(x)-F(a). Prin urmare, (∫(de la a la x) f(t)dt)" x =(F(x)-F(a))" x =F"(x)-0=f(x). Aceasta înseamnă că o integrala definită cu limită superioară variabilă este una dintre antiderivatele integrandului.

increment complet continuu continuu

Biletul numărul 18

1. Funcția antiderivată. Teoremă privind diferența a două antiderivate (cu dovezi). Integrală nedefinită: definiție, cele mai simple proprietăți ale unei integrale nedefinite (cu demonstrarea uneia dintre ele). Se numește funcția F(x). funcția antiderivată f(x) pe intervalul (a;b) dacă pentru orice x∈(a;b) este valabilă egalitatea F"(x)=f(x). Teorema. Dacă funcția F(x) este antiderivată a funcției f(x) pe (a;b), atunci mulțimea tuturor antiderivatelor pentru f(x) este dată de formula F(x)+C, unde С= const. Dovada. Funcția F(x)+C este antiderivată a lui f(x). Într-adevăr, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). Fie F(x) o altă funcție antiderivată f(x) diferită de F(x), adică. Ф"(х)=f(x). Atunci pentru orice x∈(a;b) avem (Ф(х)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f( x)-f(x)=0. Și asta înseamnă că F(x)-F(x)=C, C=const. Prin urmare, Ф(x)=F(x)+C. Mulțimea tuturor funcțiilor antiderivate F(x)+C pentru f(x) se numește integrală nedefinită pe funcția f(x) și se notează cu simbolul ∫f(x)dx. Proprietăți: 1) Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul, iar derivata integralei nedefinite este egală cu integrandul d(∫f(x)dx)=f(x)dx, (∫f(x)dx )"=f(x).d (∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F"(x)dx=f(x)dx. și (∫f(x)dx)"=(F(x)+C)"=F"(x)+0=f(x).2) Integrala nedefinită a diferențialei unei funcții este egală cu suma a acestei funcții și o constantă arbitrară: ∫dF(x)=F(x)+C.∫dF(x)=F"(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.3) Factorul constant poate fi scos din semnul integral: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.4) Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții continue este egală cu suma algebrică a integralele termenilor funcţiilor: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f (x)dx±∫g(x)dx.5) (Invarianţa formulei de integrare). Dacă ∫f(x)dx=F(x)+C, atunci ∫f(u)du=F(u)+C, unde u=φ(x) este o funcție arbitrară cu derivată continuă.

22. Gradientul funcției u=u(x;y;z) într-un punct (definiție, proprietăți). Relația dintre derivata direcțională și gradientul unei funcții (justificare). Vectorul cu coordonatele (δu/δx; δu/δy; δu/δz) se numește gradient de funcție u=f(x;y;z)și se notează gradU=(δu/δx; δu/δy; δu/δz). gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Proprietăți: 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU, unde u*v sunt produse scalare ale vectorilor u și v. Conexiune. Fie dată funcția u=u(x;y;z) și câmpul gradienților gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Atunci derivata Δu/Δl în direcția unui vector l este egală cu proiecția vectorului GradU pe vectorul l.

Biletul numărul 19

4. Definirea unei integrale definite peste un segment. Proprietățile de bază ale unei integrale definite peste un segment (cu demonstrarea unuia dintre ele). integrala definita de-a lungul segmentului din funcția f(x) limita sumei integrale Σf(c i)Δx i se numește dacă această limită există și nu depinde de împărțirea segmentului în părți și nici de alegerea punctelor t în interiorul fiecăruia. a părților, cu condiția ca lungimea celui mai mare dintre segmentele parțiale (∆xi) să tinde spre zero, adică ∫(de la a la b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i . Proprietăți: 1) Dacă c este un număr constant și funcția f(x) este integrabilă pe , atunci ∫(de la a la b) c*f(x)dx=c*∫(de la a la b) f(x)dx . Dovada. Să facem o sumă integrală pentru funcția с*f(x). Avem Σс*f(c i)Δx i =с*Σf(c i)Δx i . Atunci lim n→∞ Σс*f(c i)Δx i =c*lim n→∞ f(c i)=с*∫(de la a la b) f(x)dx. Aceasta implică faptul că funcția c*f(x) este integrabilă și formula ∫(de la a la b) c*f(x)dx= c*∫(de la a la b) f(x)dx.2) f 1 (x) b f 2 (x) sunt integrabile pe , atunci suma lor este integrabilă pe (x)dx+∫(de la a la b) f 2 (x)dx. 3)∫(de la a la b) f(x)dx= -∫(de la b la a) f(x)dx. 4) Dacă funcția f(x) este integrabilă pe și a

17. Plan tangent și normal la suprafață (definiție). Teorema existenței planului tangent (enunț, demonstrație). Plan tangent la suprafață într-un punct M, un plan care trece prin acest punct al suprafeței se numește dacă unghiul dintre acest plan și secanta care trece prin punctul M și orice alt punct M 1 al suprafeței tinde spre zero, deoarece M tinde spre M. 1. Normal la suprafațăîn punctul M se numeşte dreptă care trece prin acest punct perpendicular pe planul tangent. Teorema. Dacă δF/δx; 5F/5y; δF/δz sunt definite în vecinătatea punctului Mo și sunt continue în punctul M 0 însuși și nu dispar în același timp, atunci toate liniile tangente la liniile de pe suprafață se află în același plan. Dovada. L: sistem(x=x(t); y=y(t); z=z(t)). Linie tangentă (M 0 ;P) y=(x"(t 0); y"(t o); z"(t 0)). L∈Q (suprafață). F(x(t), y(t) , z(t))=0 este o funcție complexă a variabilei t. Folosim regula de derivabilitate a unei funcții complexe: (δF/δx)*(dx/dt)+(δF/δy)*(dy/dt) +(δF/δz)*( dz/dt)=0;(δF(M 0)/δx)*x"(t 0)+(δF(M 0)/δy)*y"(t 0)+( 5F(M0)/5z) *z"(t0)=0; g=(x"(t0),y"(t0),z"(t0)); notăm n=(5F(M0)/δx; 5F(M0)/δy; 5F(M0) /δz); n⊥g. Deoarece printr-un punct dat poate fi trasat un set infinit de drepte situate pe suprafață și un set infinit de drepte tangente la ele, prin urmare, toate liniile tangente se află în același plan.

Biletul numărul 20

9. Incrementul complet al funcției z=f(x;y). Continuitatea funcției z=f(x;y) într-un punct (două definiții). Fie dată funcția z=f(x;y). Dăm variabilei independente x un increment ∆x, iar variabilei y un increment ∆y. Apoi increment complet∆z al funcției este definită prin egalitatea: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). 1) Se numește funcția z \u003d f (x; y). continuuîn punctul M 0 (x 0; y 0)∈ D(z), dacă limita sa în acest punct coincide cu valoarea funcţiei în acest punct, adică. limX→X 0 \Y→Y 0 (f(x;y))= f(x 0 ;y 0). 2) Funcția z \u003d f (x; y) continuu pe un set dacă este continuu în fiecare punct al acestui set

Biletul numărul 21

21. Derivată a funcției u=u(x;y;z) în direcția l (definiție, formulă de calcul, derivarea formulei de calcul). Se numește limita LimΔl→0(Δu/Δl). derivată a funcției u(x;y;z) în direcția vectorului lîn punctul cu coordonatele (x;y;z).Δu/Δl=LimΔl→0(Δl u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ Să presupunem că funcția u(x;y;z) este continuă și are derivate continue în raport cu argumentele sale din domeniul D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+E 1 Δx+E2Δy+E3Δz, unde E1, E2, E3 tind spre zero ca Δl→0. Să împărțim întreaga egalitate la Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/ A1)+E3 (Az/Al). Δx/Al=cosα; Ay/Al=cosp; Δz/Δl=cosγ. Egalitatea poate fi reprezentată astfel: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. Trecând la limită, obținem Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

Biletul numărul 22

20. Un criteriu suficient pentru existența unui extremum al funcției z=f(x;y). (cuvântare). Fie că în punctul staționar (X 0 ;Y 0) și o parte din vecinătatea acestuia funcția f(x;y) are derivate parțiale continue până la ordinul doi inclusiv. Calculați în punctul (X 0 ;Y 0) valorile A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy ( X 0;Y 0). Notăm Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Atunci: 1) dacă Δ>0, atunci funcția f(x;y) în punctul (X 0 ;Y 0) are un extrem: maxim dacă A<0; минимум, если A>0; 2) dacă Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Biletul numărul 23

17. Plan tangent la suprafață (definiție).Plan tangent la suprafață într-un punct M, un plan care trece prin acest punct al suprafeței se numește dacă unghiul dintre acest plan și secanta care trece prin punctul M și orice alt punct M 1 al suprafeței tinde spre zero, deoarece M tinde spre M. 1.

18. Ecuații ale unui plan tangent la o suprafață date explicitEvident. z=f(x;y) în punctul Mo(Xo;Yo;Zo). K: (δz/δx)|M0 (X-X0)+(δz/δy)|M0 (Y-Y0)-(Z-Z0)=0

Biletul numărul 24

Semne de creștere și scădere locală a unei funcții.

Una dintre sarcinile principale ale studiului unei funcții este de a găsi intervalele de creștere și scădere a acesteia. Un astfel de studiu este ușor de realizat folosind derivatul. Să formulăm afirmațiile corespunzătoare.

Criteriu suficient pentru creșterea funcției. Dacă f'(x) > 0 în fiecare punct al intervalului I, atunci funcția f crește cu I.

Un criteriu suficient pentru ca o funcție să scadă. Dacă f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Dovada acestor trăsături se realizează pe baza formulei lui Lagrange (vezi Sec. 19). Luați oricare două numere x 1 și x2 din interval. Fie x 1 există un număr с∈(х 1 , x 2 ), astfel încât

(1)

Numărul c aparține intervalului I, deoarece punctele x 1 și x2 aparțin lui I. Dacă f"(x)>0 pentru x∈I atunci f'(с)>0 și, prin urmare, F(x 1 )) — aceasta rezultă din formula (1), întrucât x 2-x1 >0. Aceasta demonstrează că funcția f crește pe I. Dacă f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (x 2 ) rezultă din formula (1), deoarece x 2-x1 >0. Demonstrăm că funcția f scade pe I.

Semnificația vizuală a semnelor este clară din raționamentul fizic (pentru certitudine, luați în considerare semnul creșterii).

Fie ca un punct care se mișcă de-a lungul axei y la momentul t are ordonata y = f(t). Atunci viteza acestui punct la momentul t este egală cu f"(t) (vezi Fig. Viteza instantanee ). Dacă f’ (t)>0 în fiecare moment de timp din intervalul t, atunci punctul se mișcă în direcția pozitivă a axei y, adică dacă t 1 ). Aceasta înseamnă că funcția f crește pe intervalul I.

Observație 1.

Dacă funcția f este continuă la oricare dintre capetele intervalului de creștere (scădere), atunci acest punct este atașat acestui interval.

Observația 2.

Pentru a rezolva inegalitățile f „(x)>0 și f” (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Condiții necesare și suficiente pentru existența unui extremum al unei funcții într-un punct.

Condiție necesară pentru un extremum

Funcția g(x) într-un punct are un extremum (maxim sau minim) dacă funcția este definită într-o vecinătate cu două fețe a punctului și pentru toate punctele x ale unei arii: , respectiv, inegalitatea

(în cazul unui maxim) sau (în cazul unui minim).

Extremul funcției poate fi găsit din condiția: dacă derivata există, i.e. egalați prima derivată a funcției cu zero.

Condiție extremum suficientă

1) Prima condiție suficientă:

a) f(x) este o funcție continuă și este definită într-o vecinătate a unui punct, astfel încât derivata întâi la punctul dat este egală cu zero sau nu există.

b) f(x) are o derivată finită în vecinătatea specificației și continuității funcției

c) derivata retine un anumit semn la dreapta punctului si la stanga aceluiasi punct, atunci punctul poate fi caracterizat astfel

Această condiție nu este foarte convenabilă, deoarece trebuie să verificați o mulțime de condiții și să memorați tabelul, dar dacă nu se spune nimic despre derivatele de ordin superior, atunci aceasta este singura modalitate de a găsi extremul funcției.

2) A doua condiție suficientă

Dacă funcția g(x) are o derivată a doua și, la un moment dat, derivata întâi este egală cu zero, iar derivata a doua este diferită de zero. Apoi punctul funcția extremum g(x), iar dacă , atunci punctul este maxim; dacă , atunci punctul este minimul.

Pentru a găsi maximele și minimele funcției, puteți utiliza oricare dintre cele trei semne suficiente ale unui extremum. Deși cel mai comun și convenabil este primul dintre ele.

Prima condiție suficientă pentru un extremum.

Lasă funcția y = f(x) este diferențiabilă într-o vecinătate a punctului și este continuă în punctul însuși. Apoi

Cu alte cuvinte:

Algoritm.

Găsirea domeniului de aplicare al funcției.

Găsim derivata funcției pe domeniul definiției.

Determinăm zerourile numărătorului, zerourile numitorului derivatei și punctele domeniului în care derivata nu există (aceste puncte se numesc puncte de extremum posibil, trecând prin aceste puncte, derivata doar își poate schimba semnul).

Aceste puncte împart domeniul funcției în intervale în care derivata își păstrează semnul. Determinăm semnele derivatei pe fiecare dintre intervale (de exemplu, calculând valoarea derivatei funcției în orice punct dintr-un singur interval).

Alegem puncte în care funcția este continuă și, trecând prin care, derivata își schimbă semnul.

Exemplu. Aflați extremele funcției.
Decizie.
Domeniul unei funcții este întregul set de numere reale, cu excepția x=2.
Găsim derivata:

Zerourile numărătorului sunt punctele x=-1și x=5, numitorul dispare când x=2. Marcați aceste puncte pe dreapta numerică

Determinăm semnele derivatei pe fiecare interval, pentru aceasta calculăm valoarea derivatei în oricare dintre punctele fiecărui interval, de exemplu, la puncte x=-2, x=0, x=3și x=6.

Prin urmare, derivata este pozitivă pe interval (în figură punem semnul plus peste acest interval). În mod similar

Prin urmare, punem un minus peste al doilea interval, un minus peste al treilea și un plus peste al patrulea.

Rămâne de ales punctele în care funcția este continuă și derivata ei își schimbă semnul. Acestea sunt punctele extreme.
La punctul x=-1 funcția este continuă și derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, conform primului semn al unui extremum, x=-1 este punctul maxim, corespunde maximului funcției .
La punctul x=5 funcția este continuă și derivata își schimbă semnul de la minus la plus, prin urmare, x=-1 este punctul minim, corespunde minimului funcției .
Ilustrație grafică.

Răspuns: .

Al doilea criteriu suficient pentru extremul funcției.
Lasa ,

dacă , atunci - punct minim;

dacă , atunci este punctul maxim.

După cum puteți vedea, această caracteristică necesită existența unei derivate cel puțin până la ordinul doi la punctul .
Exemplu. Aflați extremele funcției.
Decizie.
Să începem cu domeniul de aplicare:

Să diferențiem funcția originală:

Derivatul dispare când x=1, adică este punctul unui posibil extremum.
Găsim derivata a doua a funcției și calculăm valoarea acesteia la x=1:

Prin urmare, prin a doua condiție extremă suficientă, x=1- punct maxim. Atunci este maximul funcției.
Ilustrație grafică.

Răspuns: .
Al treilea criteriu suficient pentru extremul unei funcții.
Lasă funcția y = f(x) are derivate până la n-ordinea în -vecinătatea unui punct și derivate până la n+1 ordinea în punctul însuși. Lasă și .
Apoi,

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține:

Algebră și geometrie analitică. Conceptul de matrice, operații pe matrice și proprietățile acestora

Conceptul de operații cu matrice pe matrice și proprietățile acestora .. o matrice este un tabel dreptunghiular format din numere care nu pot fi .. iar adunarea matricei este o operație în funcție de elemente ..

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele sociale:

Toate subiectele din această secțiune:

Definiţia differentiability
Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere a unei funcții. Se spune că o funcție este diferențiabilă la un moment dat dacă are o derivată finită în acel punct și

Regula de diferențiere
Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Sensul geometric al derivatului. Ecuația tangentei
Unghiul de înclinare al dreptei y \u003d kx + b este unghiul măsurat din poziție

Semnificația geometrică a derivatei unei funcții într-un punct
Se consideră secanta AB a graficului funcției y = f(x) astfel încât punctele A și B au coordonate, respectiv

Decizie
Funcția este definită pentru toate numerele reale. Deoarece (-1; -3) este punctul de contact, atunci

Condiții necesare pentru un extrem și condiții suficiente pentru un extrem
Definiția unei funcții crescătoare. Funcția y = f(x) crește pe intervalul X dacă pentru oricare

Condiții pentru monotonitatea și constanța unei funcții
Condiție pentru monotonitatea (nestrict) a unei funcții pe un interval. Fie ca funcția să aibă o derivată la fiecare

Definiția unui antiderivat
O funcție antiderivată f(x) pe intervalul (a; b) este o funcție F(x) astfel încât egalitatea

Examinare
Pentru a verifica rezultatul, diferențiem expresia rezultată: Ca rezultat, obține

Antiderivată a produsului dintre o constantă și o funcție este egală cu produsul dintre o constantă și o funcție antiderivată
O condiție suficientă pentru existența unei antiderivate pentru o funcție dată pe un segment este

Definiție
Lasă-l să fie definit pe

sens geometric
Integrala definită este numeric egală cu aria figurii delimitată de axa absciselor, linii drepte

Proprietățile Integralei Definite
Proprietățile de bază ale unei integrale definite. Proprietatea 1. Derivata unei integrale definite fata de limita superioara este egala cu integrandul in care, in loc de o variabila, este integrata

Formula Newton-Leibniz (cu dovezi)
formula Newton-Leibniz. Fie funcția y = f(x) continuă pe un segment și F(x) una dintre antiderivatele funcției pe acest segment, atunci

Teoremă (prima condiție suficientă pentru un extremum). Fie ca funcția să fie continuă într-un punct, iar derivata să schimbe semnul când trece printr-un punct. Apoi - punctul de extremum: maxim, dacă semnul se schimbă de la „+” la „-”, iar minim, dacă de la „-” la „+”.

Dovada. Lasă la și la .

Prin teorema lui Lagrange , unde.Atunci dacă, atunci; De aceea , prin urmare, , sau . Daca atunci ; De aceea , prin urmare, sau .

Astfel, se demonstrează că în orice puncte apropiate de , i.e. este punctul maxim al funcției .

Demonstrarea teoremei pentru punctul minim se realizează într-un mod similar. Teoremă demonstrată.

Dacă derivata nu își schimbă semnul la trecerea printr-un punct, atunci nu există un extremum în punctul respectiv.

Teoremă (a doua condiție suficientă pentru un extremum). Fie derivata unei funcții de două ori diferențiabile într-un punct să fie egală cu 0 (), iar derivata a doua a acesteia în acest punct să fie diferită de zero () și să fie continuă într-o vecinătate a punctului. Atunci este punctul extremum; at este punctul minim, iar at este punctul maxim.

Algoritm pentru găsirea extremelor unei funcții folosind prima condiție extremă suficientă.

1. Găsiți derivata.

2. Găsiți punctele critice ale funcției.

3. Examinați semnul derivatei la stânga și la dreapta fiecărui punct critic și trageți o concluzie despre prezența extremei.

4. Găsiți valorile extreme ale funcției.

Algoritm pentru găsirea extremelor unei funcții folosind a doua condiție extremă suficientă.

1. Găsiți derivata.

2. Găsiți derivata a doua.

3. Găsiți acele puncte în care .

4. Determinați semnul în aceste puncte.

5. Faceți o concluzie despre existența și natura extreme.

6. Găsiți valorile extreme ale funcției.

Exemplu. Considera . Sa gasim . Mai mult, la și la . Să studiem punctele critice folosind prima condiție extremum suficientă. Avem asta pentru și pentru , și pentru . La puncte și derivata își schimbă semnul: la de la „+” la „-” și de la „-” la „+”. Aceasta înseamnă că funcția are un maxim într-un punct și un minim într-un punct; . Pentru comparație, studiem punctele critice folosind a doua condiție extremă suficientă. Să găsim derivata a doua. Avem: , ceea ce înseamnă că funcția are un maxim într-un punct și un minim într-un punct.

Conceptul de asimptotă a graficului unei funcții. Asimptote orizontale, oblice și verticale. Exemple.

Definiție. O asimptotă a unui grafic al unei funcții este o dreaptă care are proprietatea că distanța de la un punct la această linie dreaptă tinde spre zero cu o distanță nelimitată de la originea punctului grafic.

Există asimptote verticale (Fig. 6.6 a), orizontale (Fig. 6.6 b) și oblice (Fig. 6.6 c).

Pe fig. Este prezentat 6.6a asimptotă verticală.

În figura 6.6b - asimptotă orizontală.

Pe fig. 6,6 V - asimptotă oblică.

Teorema 1.În punctele asimptotelor verticale (de exemplu, ) funcția suferă o întrerupere, limita sa la stânga și la dreapta punctului este egală cu:

Teorema 2. Să fie definită funcția pentru suficient de mari și să existe limite finite

Și .

Atunci linia dreaptă este asimptota oblică a graficului funcției .

Teorema 3. Să fie definită funcția pentru suficient de mare și să existe limita funcției. Atunci linia este asimptota orizontală a graficului funcției .

Asimptota orizontală este un caz special al asimptotei oblice când . Prin urmare, dacă o curbă are o asimptotă orizontală în orice direcție, atunci nu există nicio asimptotă oblică în acea direcție și invers.

Exemplu. Găsiți asimptotele graficului funcției.

Decizie. La punctul, funcția nu este definită, găsim limitele funcției la stânga și la dreapta punctului:

; .

Prin urmare, este o asimptotă verticală.

Schema generală de studiere a funcţiilor şi de construire a graficelor acestora. Exemplu.

Schema generală a cercetării funcționale și complotând-o.

1. Găsiți domeniul definiției.

2. Investigați funcția pentru egalitate - ciudat.

3. Găsiți asimptote verticale și puncte de discontinuitate (dacă există).

4. Investigați comportamentul funcției la infinit; găsiți asimptotele orizontale și oblice (dacă există).

5. Găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției.

6. Aflați punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate și, dacă este necesar pentru construcția schematică a graficului, găsiți puncte suplimentare.

7. Construiți schematic un grafic.

Schema detaliată a studiului funcției și complotând .

1. Găsiți domeniul .

A. Dacă y are un numitor, acesta nu trebuie să meargă la 0.

b. Expresia rădăcină a rădăcinii unui grad par trebuie să fie nenegativă (mai mare sau egală cu zero).

c. Expresia sublogaritmică trebuie să fie pozitivă.

2. Investigați funcția pentru par - impar.

A. Dacă , atunci funcția este pară.

b. Dacă , atunci funcția este impară.

c. Dacă nici nu este îndeplinită nici , atunci este o funcție de formă generală.

3. Găsiți asimptote verticale și puncte de întrerupere (dacă există).

A. O asimptotă verticală poate apărea numai la limita domeniului funcției.

b. Dacă ( sau ), atunci este asimptota verticală a graficului .

4. Investigați comportamentul unei funcții la infinit; găsiți asimptotele orizontale și oblice (dacă există).

A. Dacă , atunci este asimptota orizontală a graficului .

b. Dacă , atunci linia dreaptă este asimptota oblică a graficului.

c. Dacă limitele indicate în paragrafele a, b există numai atunci când unilateral tind spre infinit ( sau ), atunci asimptotele rezultate vor fi unilaterale: stângaci ca și dreptaci ca .

5. Găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției.

A. Găsiți derivată.

b. Găsiți puncte critice (acele puncte în care sau unde nu există).

c. Pe axa numerică, marcați domeniul de definiție și punctele sale critice.

d. Pe fiecare dintre intervalele numerice obținute se determină semnul derivatei.

e. Pe baza semnelor derivatului, trageți o concluzie despre prezența extremei în y și tipul lor.

f. Găsiți valori extreme.

g. În funcție de semnele derivatului, trageți o concluzie despre creștere și scădere.

6. Găsiți punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate și, dacă este necesar pentru construcția schematică a graficului, găsiți puncte suplimentare.

A. Pentru a găsi punctele de intersecție ale graficului cu axa, este necesar să se rezolve ecuația. Punctele, unde sunt zerouri, vor fi punctele de intersecție ale graficului cu axa.

b. Punctul de intersecție a graficului cu axa are forma . Există numai dacă punctul se află în domeniul de aplicare al funcției.

8. Construiți schematic un grafic.

A. Construiți un sistem de coordonate și asimptote.

b. Marcați punctele extreme.

c. Marcați punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate.

d. Construiți schematic un grafic astfel încât să treacă prin punctele marcate și să se apropie de asimptote.

Exemplu. Investigați funcția și trasați schematic graficul acesteia.

2. este o funcţie generală.

3. Deoarece și , apoi liniile și sunt asimptote verticale; puncte și sunt puncte de întrerupere. , for nu este inclus în domeniul definiției funcției