Definiția 1

Antiderivata $F(x)$ pentru funcția $y=f(x)$ pe segmentul $$ este o funcție care este diferențiabilă în fiecare punct al acestui segment și următoarea egalitate este valabilă pentru derivata sa:

Definiția 2

Mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date $y=f(x)$ definite pe un anumit segment se numește integrală nedefinită a funcției date $y=f(x)$. Integrala nedefinită se notează cu simbolul $\int f(x)dx $.

Din tabelul derivatelor și Definiția 2, obținem un tabel cu integrale de bază.

Exemplul 1

Verificați validitatea formulei 7 din tabelul de integrale:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Să diferențiem partea dreaptă: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Exemplul 2

Verificați validitatea formulei 8 din tabelul de integrale:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Diferențiază partea dreaptă: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 3

Verificați validitatea formulei 11" din tabelul de integrale:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Diferențiază partea dreaptă: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 4

Verificați validitatea formulei 12 din tabelul de integrale:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(ax) \right|+ C,\, \, C=const.\]

Diferențiază partea dreaptă: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(ax) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(ax) ) \cdot \left(\frac(a+x)(ax) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(ax)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((ax)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(ax)(a+x) \cdot \ frac(2a)((ax)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Derivata este egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 5

Verificați validitatea formulei 13 "din tabelul de integrale:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Diferențiază partea dreaptă: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 6

Verificați validitatea formulei 14 din tabelul de integrale:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=const.\]

Diferențiază partea dreaptă: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 7

Găsiți integrala:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Să folosim teorema sumei integrale:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Să folosim teorema pentru a scoate factorul constant din semnul integral:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Conform tabelului de integrale:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Când calculăm prima integrală, folosim regula 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Prin urmare,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Integrale principale pe care fiecare elev ar trebui să le cunoască

Integralele enumerate sunt baza, baza fundațiilor. Aceste formule, desigur, trebuie amintite. Când calculați integrale mai complexe, va trebui să le utilizați în mod constant.

Acordați o atenție deosebită formulelor (5), (7), (9), (12), (13), (17) și (19). Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la răspuns atunci când integrați!

Integrala unei constante

∫ A d x = A x + C (1)

Integrarea funcției de putere

De fapt, ne-am putea limita la formulele (5) și (7), dar restul integralelor din acest grup sunt atât de comune încât merită să le acordăm puțină atenție.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale ale funcției exponențiale și ale funcțiilor hiperbolice

Desigur, formula (8) (poate cea mai convenabilă de reținut) poate fi considerată ca un caz special al formulei (9). Formulele (10) și (11) pentru integralele sinusului hiperbolic și cosinus hiperbolic sunt ușor derivate din formula (8), dar este mai bine să ne amintim doar aceste relații.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrale de bază ale funcțiilor trigonometrice

O greșeală pe care elevii o fac adesea: confundă semnele în formulele (12) și (13). Reținând că derivata sinusului este egală cu cosinusul, din anumite motive mulți oameni cred că integrala funcției sinx este egală cu cosx. Nu este adevarat! Integrala sinusului este „minus cosinus”, dar integrala cosx este „doar sinusul”:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrale reducând la funcții trigonometrice inverse

Formula (16), care duce la arc tangentă, este în mod natural un caz special al formulei (17) pentru a=1. În mod similar, (18) este un caz special al lui (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrale mai complexe

Aceste formule sunt, de asemenea, de dorit de reținut. De asemenea, sunt folosite destul de des, iar producția lor este destul de obositoare.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Reguli generale de integrare

1) Integrala sumei a două funcții este egală cu suma integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrala diferenței a două funcții este egală cu diferența integrale corespunzătoare: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Constanta poate fi scoasă din semnul integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Este ușor de observat că proprietatea (26) este pur și simplu o combinație de proprietăți (25) și (27).

4) Integrala a functie complexa, dacă functie interioara este liniară: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Aici F(x) este antiderivată pentru funcția f(x). Rețineți că această formulă funcționează numai atunci când funcția interioară este Ax + B.

Important: nu există o formulă universală pentru integrala produsului a două funcții, precum și pentru integrala unei fracții:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (treizeci)

Aceasta nu înseamnă, desigur, că o fracțiune sau un produs nu poate fi integrat. Doar că de fiecare dată când vezi o integrală ca (30), trebuie să inventezi o modalitate de a „lupta” cu ea. În unele cazuri, integrarea pe părți vă va ajuta, undeva va trebui să faceți o schimbare de variabilă, iar uneori chiar și formulele „școlare” de algebră sau trigonometrie vă pot ajuta.

Un exemplu simplu pentru calcularea integralei nedefinite

Exemplul 1. Aflați integrala: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Folosim formulele (25) și (26) (integrala sumei sau diferenței de funcții este egală cu suma sau diferența integralelor corespunzătoare. Se obține: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx − ∫ 7 exdx + ∫ 12 dx

Reamintim că constanta poate fi scoasă din semnul integral (formula (27)). Expresia este convertită în formă

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Acum să folosim doar tabelul integralelor de bază. Va trebui să aplicăm formulele (3), (12), (8) și (1). Să ne integrăm functie de putere, sinus, exponent și constantă 1. Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la sfârșit:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

După transformări elementare obținem răspunsul final:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testați-vă cu diferențierea: luați derivata funcției rezultate și asigurați-vă că este egală cu integrandul original.

Tabel rezumativ al integralelor

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Descărcați tabelul de integrale (partea a II-a) de pe acest link

Dacă studiezi la o universitate, dacă ai dificultăți cu matematica superioara(analiză matematică, algebră liniară, teoria probabilităților, statistică), dacă ai nevoie de serviciile unui profesor calificat, mergi pe pagina unui tutor la matematică superioară. Să vă rezolvăm problemele împreună!

S-ar putea să te intereseze și tu

Integrarea este una dintre operațiile de bază în analiza matematică. Tabelele cu antiderivate cunoscute pot fi utile, dar acum, după apariția sistemelor de algebră computerizată, acestea își pierd semnificația. Mai jos este o listă cu cele mai comune antiderivate.

Tabelul integralelor de bază

O altă versiune compactă

Tabel de integrale din funcții trigonometrice

Din funcţii raţionale

Din funcții iraționale

Integrale ale funcțiilor transcendentale

„C” este o constantă de integrare arbitrară, care este determinată dacă valoarea integralei la un moment dat este cunoscută. Fiecare funcție are un număr infinit de antiderivate.

Majoritatea școlarilor și elevilor au probleme cu calculul integralelor. Aceasta pagina contine tabele de integrale din funcții trigonometrice, raționale, iraționale și transcendentale care vor ajuta la rezolvare. Tabelul derivatelor vă va ajuta și el.

Video - cum să găsiți integralele

Dacă nu sunteți complet clar cu privire la acest subiect, urmăriți videoclipul, care explică totul în detaliu.

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru elită. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar știu puțin sau nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?

Dacă singura utilizare a integralei pe care o știi este să obții ceva util din locuri greu accesibile cu un cârlig în formă de pictogramă integrală, atunci bine ai venit! Învață cum să rezolvi integrale simple și alte integrale și de ce nu te poți descurca fără ea la matematică.

Studiem conceptul « integrală »

Integrarea era cunoscută în Egiptul antic. Desigur, nu într-o formă modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris foarte multe cărți pe această temă. Deosebit de distins newton Și Leibniz dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază. analiză matematică. Informațiile despre , care sunt și necesare pentru înțelegerea integralelor, sunt deja pe blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Integrala nedefinită a funcției f(x) se numeste o astfel de functie F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, despre cum să citești în articolul nostru.

Primitivul există pentru toată lumea funcții continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a unei integrale se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula constant primitivele functii elementare, este convenabil să le rezumați într-un tabel și să folosiți valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei figurii, a masei unui corp neomogen trecut prin mișcare neuniformă cale și nu numai. Trebuie amintit că integrala este suma infinitului un numar mare termeni infinitezimali.

Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții.

Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de un grafic al unei funcții? Cu ajutorul unei integrale! Să despărțim trapezul curbiliniu, mărginit de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinitezimale. Astfel, figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este integrala definită, care se scrie după cum urmează:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechin

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici vom lua în considerare proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile în rezolvarea exemplelor.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Adevărat și pentru diferență:

Proprietățile Integralei Definite

• Linearitate:

• Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt inversate:

• La orice puncte A, bȘi din:

Am aflat deja că integrala definită este limita sumei. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta, există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos luăm în considerare integrala nedefinită și exemplele cu soluții. Vă oferim să înțelegeți în mod independent complexitățile soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesional pentru studenți și orice triplu sau integrală curbilinie pe o suprafață închisă va fi în puterea ta.

Funcția antiderivată și integrală nedefinită

Faptul 1. Integrarea este opusul diferențierii și anume refacerea unei funcții din derivata cunoscută a acestei funcții. Funcția restabilită în acest fel F(X) se numește primitiv pentru functie f(X).

Definiție 1. Funcție F(X f(X) pe un anumit interval X, dacă pentru toate valorile X din acest interval egalitatea F "(X)=f(X), adică funcţie dată f(X) este derivata funcției antiderivative F(X). .

De exemplu, funcția F(X) = păcat X este antiderivată pentru funcție f(X) = cos X pe întreaga dreaptă numerică, deoarece pentru orice valoare a lui x (păcat X)" = (cos X) .

Definiție 2. Integrală nedefinită a unei funcții f(X) este colecția tuturor antiderivatelor sale. Aceasta folosește notația

∫

f(X)dx

,

unde este semnul ∫ se numește semn integral, funcție f(X) este un integrand și f(X)dx este integrantul.

Astfel, dacă F(X) este un antiderivat pentru f(X) , apoi

∫

f(X)dx = F(X) +C

Unde C - constantă arbitrară (constant).

Pentru a înțelege semnificația mulțimii de antiderivate ale unei funcții ca integrală nedefinită, este potrivită următoarea analogie. Să fie o ușă (o ușă tradițională de lemn). Funcția sa este „a fi o ușă”. Din ce este făcută ușa? Dintr-un copac. Aceasta înseamnă că mulțimea de antiderivate ale integrandului „a fi o ușă”, adică integrala sa nedefinită, este funcția „a fi un arbore + C”, unde C este o constantă, care în acest context poate desemna, pt. de exemplu, o specie de copac. La fel cum o uşă este făcută din lemn cu unele unelte, derivata unei funcţii este „facut” din funcţia antiderivată cu formula pe care am învățat-o studiind derivata .

Apoi tabelul de funcții ale obiectelor comune și primitivele lor corespunzătoare ("a fi o ușă" - "a fi un copac", "a fi o lingură" - "a fi un metal", etc.) este similar cu tabelul de integrale nedefinite de bază, care vor fi date mai jos. Tabelul de integrale nedefinite enumeră funcțiile comune, indicând antiderivatele din care sunt „alcătuite” aceste funcții. Ca parte a sarcinilor de găsire a integralei nedefinite, sunt date astfel de integranți care pot fi integrați direct fără eforturi deosebite, adică conform tabelului de integrale nedefinite. În problemele mai complexe, integrandul trebuie mai întâi să fie transformat astfel încât să poată fi utilizate integralele tabelare.

Faptul 2. Restabilind o funcție ca antiderivată, trebuie să luăm în considerare o constantă (constant) arbitrară C, iar pentru a nu scrie o listă de antiderivate cu diverse constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivate cu o constantă arbitrară C, astfel: 5 X³+C. Deci, o constantă arbitrară (constant) este inclusă în expresia antiderivatei, deoarece antiderivatul poate fi o funcție, de exemplu, 5 X³+4 sau 5 X³+3 și la diferențierea 4 sau 3 sau orice altă constantă dispare.

Punem problema de integrare: pentru o functie data f(X) găsiți o astfel de funcție F(X), al cărui derivat este egal cu f(X).

Exemplul 1 Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Soluţie. Pentru această funcție, antiderivată este funcția

Funcţie F(X) se numește antiderivată pentru funcție f(X) dacă derivata F(X) este egal cu f(X), sau, ceea ce este același lucru, diferența F(X) este egal cu f(X) dx, adică

(2)

Prin urmare, funcția este antiderivată pentru funcția . Cu toate acestea, nu este singurul antiderivat pentru . Sunt și funcții

Unde DIN este o constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există o singură antiderivată pentru o funcție, atunci pentru aceasta există un set infinit de antiderivate care diferă printr-un sumand constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teoremă (enunțul formal al faptului 2). Dacă F(X) este antiderivată pentru funcție f(X) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivat pentru f(X) pe același interval poate fi reprezentat ca F(X) + C, Unde DIN este o constantă arbitrară.

În exemplul următor, ne întoarcem deja la tabelul de integrale, care va fi dat în paragraful 3, după proprietățile integralei nedefinite. Facem acest lucru înainte de a ne familiariza cu întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în întregime la integrare.

Exemplul 2 Găsiți seturi de antiderivate:

Soluţie. Găsim seturi de funcții antiderivate din care aceste funcții sunt „facute”. Când menționăm formule din tabelul integralelor, deocamdată, acceptați doar că există astfel de formule și vom studia tabelul integralelor nedefinite în întregime puțin mai departe.

1) Aplicând formula (7) din tabelul de integrale pentru n= 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul de integrale pentru n= 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi conform formulei (7) la n= -1/4 găsi

Sub semnul integral, ei nu scriu funcția în sine f, și produsul său prin diferenţial dx. Acest lucru se face în primul rând pentru a indica ce variabilă este căutată antiderivatul. De exemplu,

, ;

aici în ambele cazuri integrandul este egal cu , dar integralele sale nedefinite în cazurile luate în considerare se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a unei variabile X, iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Sensul geometric al integralei nedefinite

Să fie necesar să se găsească o curbă y=F(x)și știm deja că tangentei pantei tangentei în fiecare dintre punctele sale este funcţie dată f(x) abscisa acestui punct.

Conform sens geometric derivată, tangentă a pantei tangentei într-un punct dat al curbei y=F(x) egal cu valoarea derivatei F"(x). Deci, trebuie să găsim o astfel de funcție F(x), pentru care F"(x)=f(x). Funcția necesară în sarcină F(x) este derivat din f(x). Condiția problemei este satisfăcută nu de o curbă, ci de o familie de curbe. y=F(x)- una dintre aceste curbe, și orice altă curbă poate fi obținută din aceasta transfer paralel de-a lungul axei Oi.

Să numim graficul funcției antiderivative de f(x) curba integrala. Dacă F"(x)=f(x), apoi graficul funcției y=F(x) este o curbă integrală.

Faptul 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric prin familia tuturor curbelor integrale ca in poza de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la origine este determinată de o constantă (constant) arbitrară de integrare C.

Proprietățile integralei nedefinite

Faptul 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul.

Faptul 5. Teorema 2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii f(X) este egală cu funcția f(X) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproc inverse.

Faptul 6. Teorema 3. Factorul constant din integrand poate fi scos din semnul integralei nedefinite , adică