Un segment N al seriei naturale este mulțimea numerelor naturale care nu depășesc numar natural a, adică N = (x|x N și x a).
De exemplu, N este mulțimea numerelor naturale care nu depășesc 7, adică. N =(1,2,3,4,5,6,7).
Remarcăm două proprietăți importante ale segmentelor din seria naturală:
1) Orice segment N conține o unitate. Această proprietate rezultă din definiția unui segment al seriei naturale.
2) Dacă numărul x este conținut în segmentul N și x a, atunci numărul x + 1 imediat care le urmează este și el conținut în N.
O mulțime A se numește finită dacă este echivalentă ca mărime cu un segment N al seriei naturale. De exemplu, mulțimea A a vârfurilor unui triunghi, mulțimea B de litere din cuvântul „lume” sunt mulțimi finite, deoarece sunt echivalente cu segmentul N = (1,2,3), adică. A~B~N .
Dacă o mulțime finită nevide A este echivalentă cu un segment N, atunci un număr natural a se numește numărul de elemente ale mulțimii A și se scrie n(A) = a. De exemplu, dacă A este mulțimea vârfurilor unui triunghi, atunci n(A) = 3.
Orice mulțime finită nevidă este echivalentă cu unul și doar un segment al seriei naturale, adică fiecare mulțime finită A poate fi asociată cu un număr definit unic, astfel încât mulțimea A este mapată unu-la-unu pe segment. N.
Stabilirea unei corespondențe unu-la-unu între elementele unei mulțimi finite nevide A și un segment al seriei naturale se numește numărarea elementelor mulțimii A. Deoarece un singur număr natural corespunde oricărui non- set finit gol, întregul set de mulțimi finite este împărțit în clase de mulțimi la fel de puternice. O clasă va conține toate seturile de un element, alta va conține seturile de două elemente și așa mai departe. Și acest număr poate fi considerat ca proprietate comună clasa de multimi echivalente finite. Astfel, din punct de vedere teoretic al mulțimilor, un număr natural este o proprietate generală a unei clase de mulțimi echipotente finite.
Numărul 0 are și o interpretare teoretică a mulțimii - este pus în corespondență cu mulțimea goală: n() = 0.
Deci, un număr natural a ca caracteristică a cantității poate fi considerat din două poziții:
1) ca număr de elemente din mulţimea A, obţinut prin numărare;
2) ca proprietate generală a clasei de mulțimi echivalente finite.
Legătura stabilită între mulțimi finite și numere naturale ne permite să oferim o interpretare teoretică a mulțimii relației „mai puțin decât”.
Dacă a = n(A), b = n(B), atunci numărul a este mai mic decât numărul b dacă și numai dacă mulțimea A este echivalentă cu propria sa submulțime a mulțimii B, adică. A ~ B, unde B B, B B, B (Fig. 1) . Sau când un segment din seria naturală N este o submulțime propriu-zisă a segmentului N , i.e. N N .
Numerele a și b sunt egale dacă sunt determinate de mulțimi egale: a = k A~B, unde n(A) = a, n (B) = k. De exemplu, 2 = 2, deoarece n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Proprietățile relației „mai puțin decât” pentru numerele naturale primesc și o interpretare teoretică a mulțimii: tranzitivitatea și antisimetria acestei relații sunt legate de faptul că relația „fii o submulțime” este tranzitivă și antisimetrică.
Să arătăm, folosind interpretarea teoretică a mulțimii a relației „mai puțin decât” pentru numerele naturale, că 2
Luați o mulțime A care conține 2 elemente și o mulțime B care conține 5 elemente, adică. n(A) = 2, n(B) = 5. De exemplu, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Din mulțimea B, se poate evidenția o submulțime B, care este echivalentă cu mulțimea A: de exemplu, B = (c, d) și A~B. Conform definiției „mai puțin decât”, 2
Valabilitatea acestei inegalități rezultă și din faptul că N
Această inegalitate poate fi văzută în Figura 2. Fie 2 numărul de cercuri și 5 numărul de pătrate. Dacă suprapunem cercuri pe pătrate, vom vedea că unele dintre pătrate rămân neacoperite.
Aceasta înseamnă că numărul de cercuri este mai mic decât numărul de pătrate, adică. 2
Teoretic sens plural inegalități 0
Compararea numerelor în curs primar se efectuează matematica căi diferite- se bazează pe toate abordările pe care le-am avut în vedere pentru interpretarea relaţiei „mai puţin”.
Teoreme privind „cel mai mare” și „cel mai mic” întreg
Teorema 4 (pe „cel mai mic” întreg). Fiecare set nevid de numere întregi mărginite mai jos conține cel mai mic wuslo. (Aici, ca și în cazul numerelor naturale, se folosește cuvântul „mult” în locul cuvântului „subset”
Dovada. Fie O A C Z și A mărginite de jos, adică. 36? Zva? A(b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Fie acum b A.
Apoi Wa e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >DESPRE).
Formăm o mulțime M de toate numerele de forma a - b, unde a trece prin mulțimea A, adică. M \u003d (c [ c \u003d a - b, a E A)
Este evident că mulțimea M nu este goală, deoarece A 74 0
După cum sa menționat mai sus, M C N . În consecință, după teorema numerelor naturale (54, Cap. III), mulțimea M conține cel mai mic număr natural m. Atunci m = a1 - b pentru un număr a1? A și, deoarece m este cel mai mic din M, atunci Va? La< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Teorema 5 (pe „cel mai mare” întreg). Orice set de numere întregi nevid, mărginit de mai sus, conține cel mai mare număr.
Dovada. Fie O 74 A C Z și A mărginite de sus de numărul b, adică. ? ZVa și A(a< Ь). Тогда -а >b pentru toate numerele a? DAR.
În consecință, mulțimea M (cu r = -a, a? A) nu este goală și este mărginită de jos de numărul (-6). Prin urmare, conform teoremei anterioare, mulțimea M conține cel mai mic număr, adică. as? MU? M (cu< с).
Asta înseamnă wah? La fel de< -а), откуда Уа? А(-с >dar)
3. Diverse forme ale metodei de inducție matematică pentru numere întregi. Teorema împărțirii cu rest
Teorema 1 (prima formă a metodei inducției matematice). Fie P(c) un predicat de un loc definit pe mulțimea Z de numere întregi, 4 . Atunci, dacă pentru un NUMĂR a Z urmează P(K -4- 1) propoziția P(o) și pentru un întreg arbitrar K > a din P(K), atunci propoziția P(r) este valabilă pentru toate numere întregi, t numere c > a (adică pe mulțimea Z este adevărat următoarea formulă calculul predicatelor:
P(a) ceapă > + 1)) Vc > aP(c)
pentru orice număr întreg fix a
Dovada. Să presupunem că pentru propoziţia P(c) tot ceea ce se spune în condiţia teoremei este adevărat, adică.
1) P(a) - adevărat;
2) UK SC la + este, de asemenea, adevărat.
Din contra. Să presupunem că există un astfel de număr
b > a, acel RF) - fals. Este evident că b a, deoarece P(a) este adevărată. Formăm mulțimea M = (z? > a, P(z) este falsă).
Atunci mulţimea M 0 , deoarece b? M și M- este mărginit de jos de numărul a. Prin urmare, după teorema celui mai mic întreg (Teorema 4, 2), mulțimea M conține cel mai mic întreg c. Prin urmare, c > a, care la rândul său implică c - 1 > a.
Să demonstrăm că P(c-1) este adevărată. Dacă c-1 = a, atunci P(c-1) este adevărată în virtutea condiției.
Fie c-1 > a. Atunci ipoteza că P(c - 1) este falsă implică apartenența la 1? M, care nu poate fi, deoarece numărul c este cel mai mic din mulțimea M.
Astfel c - 1 > a și P(c - 1) este adevărată.
Prin urmare, în virtutea condiției acestei teoreme, propoziția Р((с- 1) + 1) este adevărată, adică. R(s) este adevărat. Acest lucru contrazice alegerea numărului c, deoarece c? M Se demonstrează teorema.
Rețineți că această teoremă generalizează Corolarul 1 din axiomele lui Peano.
Teorema 2 (a doua formă a metodei inducției matematice pentru numere întregi). Fie P(c) un prefix de un loc definit pe mulțimea Z de numere întregi. Atunci, dacă prepoziția P(c) este valabilă pentru un întreg K și pentru un întreg arbitrar s K din validitatea propoziției P(c) pentru toate numerele întregi care satisfac inegalitatea K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >LA.
Demonstrarea acestei teoreme repetă în mare măsură demonstrarea unei teoreme similare pentru numerele naturale (Teorema 1, 55, Cap. III).
Teorema 3 (a treia formă a metodei inducției matematice). Fie P(c) un predicat de un loc definit pe mulțimea Z de numere întregi. Atunci, dacă P(c) este adevărat Pentru toate numerele unei submulțimi infinite M a mulțimii numerelor naturale și Pentru un întreg arbitrar a, din adevărul lui P(a) rezultă că P (a - 1) este adevărată, atunci propoziția P(c) este adevărată pentru toate numerele întregi.
Demonstrarea este similară cu demonstrarea teoremei corespunzătoare pentru numerele naturale.
Îl oferim ca un exercițiu interesant.
Rețineți că, în practică, a treia formă de inducție matematică este mai puțin comună decât celelalte. Acest lucru se explică prin faptul că pentru aplicarea sa este necesară cunoașterea unei submulțimi infinite M a mulțimii numerelor naturale”, care este menționată în teoremă. Găsirea unui astfel de set poate fi o sarcină dificilă.
Dar avantajul celei de-a treia forme față de celelalte este că cu ajutorul ei se demonstrează propoziția P(c) pentru toate numerele întregi.
Mai jos dăm un exemplu interesant de aplicare a celei de-a treia forme. Dar mai întâi, să oferim un concept foarte important.
Definiție. Valoarea absolută a unui număr întreg a este numărul determinat de regulă
0 dacă a O a dacă a > O
Și dacă a< 0.
Astfel, dacă a este 0, atunci ? N.
Invităm cititorul ca exercițiu pentru a demonstra următoarele proprietăți ale unei valori absolute:
Teoremă (la împărțirea cu rest). Pentru orice numere întregi a și b, unde b 0, există și, în plus, o singură pereche de numere q U m astfel încât a r: bq + T A D.
Dovada.
1. Existența unei perechi (q, m).
Să fie a, b? Z și 0. Să arătăm că există o pereche de numere q și care îndeplinesc condițiile
Demonstrarea se realizează prin inducție în forma a treia asupra numărului a pentru un număr fix b.
M = (mlm = n lbl, n? N).
Evident, M C lt este o mapare f: N M definită de regula f(n) = nlbl pentru orice n? N, este o bijecție. Aceasta înseamnă că M N, adică. M este nesfârșit.
Să demonstrăm că pt număr arbitrar dar? M (și b-fix) este adevărată afirmația teoremei asupra existenței unei perechi de numere q și m.
Într-adevăr, fie a (- M. Apoi un pf! pentru unele n? N.
Dacă b > 0, atunci a = n + 0. Acum stabilind q = n și m 0, obținem perechea necesară de numere q și m. Dacă b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Să facem acum o presupunere inductivă. Să presupunem că pentru un întreg arbitrar c (și un fix arbitrar b 0) afirmația teoremei este adevărată, adică, există o pereche de numere (q, m) astfel încât
Să demonstrăm că este adevărat și pentru numărul (cu 1) . Egalitatea c = bq -4- implică bq + (m - 1). (unu)
Cazurile sunt posibile.
1) m > 0. Atunci 7" - 1 > 0. În acest caz, stabilind - m - 1, se obține c - 1 - bq + Tl, unde perechea (q, 7" 1,) îndeplinește în mod evident condiția
0. Atunci с - 1 bq1 + 711 , unde q1
Putem demonstra cu ușurință că 0< < Д.
Astfel, afirmația este valabilă și pentru perechea de numere
Se demonstrează prima parte a teoremei.
P. Unicitatea perechii q etc.
Să presupunem că pentru numerele a și b 0 există două perechi de numere (q, m) și (q1, apoi îndeplinesc condițiile (*)
Să demonstrăm că ele coincid. Asa ca lasa
și un bq1 L O< Д.
Aceasta implică faptul că b(q1 -q) m - 7 1 1. Din această egalitate rezultă că
Dacă presupunem acum că q ql , atunci q - q1 0, de unde lq - q1l 1. Înmulțind aceste inegalități termen cu termen cu numărul lbl, obținem φ! - q11 D. (3)
În același timp, din inegalitățile 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Exerciții:
1. Completați demonstrațiile teoremelor 2 și 3 din 5 1.
2. Demonstrați corolarul 2 al teoremei 3, 1.
3. Demonstrați că submulțimea H ⊂ Z, formată din toate numerele de formă< п + 1, 1 >(n? N), este închis la adunare și înmulțire.
4. Fie H înseamnă aceeași mulțime ca în exercițiul 3. Demonstrați că maparea j : M îndeplinește condițiile:
1) j - bijectie;
2) j(n + m) = j(n) + j(m) și j(nm) = j(n) j(m) pentru orice numere n, m (adică j realizează un izomorfism al algebrelor ( N, 4 şi (H, +,).
5. Completați demonstrația teoremei 1 din 2.
6. Demonstrați că pentru orice numere întregi a, b, c sunt adevărate următoarele implicații:
7. Demonstrați teorema a doua și a treia din 3.
8. Demonstrați că inelul Z de numere întregi nu conține divizori zero.
Literatură
1. Bourbaki N. Teoria multimilor. M.: Mir, 1965.
2. I. M. Vinogradov, Fundamentele teoriei numerelor. M.: Nauka, 1972. Z. Demidov, I. T. Fundamentele aritmeticii. Moscova: Uchpedgiz, 1963.
4. M. I. Kargapolov și Yu. I. Merzlyakov, Fundamentele teoriei grupurilor.
Moscova: Nauka, 1972.
5. A. I. Kostrikin, Introducere în algebră. Moscova: Nauka, 1994.
b. Kulikov L. Ya. Algebră și teoria numerelor. M.: Mai sus. scoala, 1979.
7. Kurosh A.G. Curs de algebră superioară. Moscova: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky V. A. Concepte de bază ale matematicii școlare. M.: Iluminismul, 1987.
9. Lyapin UE. și alte exerciții de teorie de grup. Moscova: Nauka, 1967.
10. Maltsev A. I. Sisteme algebrice. Moscova: Nauka, 1970.
11. MenDelson E. Introducere în logica matematică. Moscova: Nauka, 1971.
12. Nechaev V. I. Sisteme numerice. M.: Educație, 1975.
13. Novikov P.S. Elemente de logică matematică. M.. Nauka, 1973.
14. Petrova V. T. Prelegeri de algebră şi geometrie.: La ora 14.00.
CHL. M.: Vlados, 1999.
15. Bazele moderne ale cursului școlar de matematică Avt. colaborator: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. Moscova: Educație, 1980.
16. L. A. Skornyakov, Elemente de algebră. Moscova: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Teorii multime, logice, axiomatice. M.; Iluminismul, 1968.
18. Stolyar A. A. Introducere logică în matematică. Minsk: VYSHEYSH. scoala, 1971.
19. V. P. Filippov, Algebra și teoria numerelor. Volgograd: vgpi, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Fundamentele teoriei multimilor. M.: Mir, 1966.
21. Fuchs L. Sisteme parțial ordonate. M.: Mir, 1965.
Ediție educațională
Vladimir Konstantinovici Kartashov
INTRODUCERE ÎN MATEMATICĂ
Pregătire editorială de O. I. Molokanova Macheta originală pregătită de A. P. Boshchenko
„PR 020048 din 20.12.96
Semnat spre publicare la 28 august 1999. Format 60x84/16. Imprimare de birou. Bum. tip. M 2. Uel. cuptor l. 8.2. Uch.-ed. l. 8.3. Tiraj 500 de exemplare. Comanda 2
Editura „Schimbarea”
Un număr natural este un număr folosit la numărarea obiectelor. A apărut din nevoile practice ale omului. Dezvoltarea conceptului de număr natural poate fi împărțită în mai multe etape: 1. oamenii antici, pentru a compara un set, corespondențe stabilite: de exemplu, cât un deget pe o mână. Dezavantajul este că seturile comparate trebuiau să fie vizibile în același timp. 2. Mulți - intermediari, de exemplu, pietre, scoici, bețe. Conceptul de număr nu a fost încă format. Și numerele sunt legate de elemente specifice. 3. Apariția unui număr (Desemnarea unui număr sub formă de numere). Originea aritmeticii. Aritmetica ca știință își are originea în țările din Orientul Antic - China, India, Egipt, dezvoltate în continuare în Grecia. Termenul „număr natural” a fost folosit pentru prima dată de omul de știință roman Boethius. Este necesară o numărare pentru a determina cantitatea unui set. Să împărțim toate mulțimile cantitative în clase de echivalență, de exemplu, într-o clasă de echivalente. va include seturi de vârfuri de triunghiuri, laturile unui pătrat, un set de litere din cuvântul lume. Dacă continuăm acest proces, atunci datorită faptului că în raport cu echivalența - totul este o relație la fel de puternică. Seturile finite vor fi pe clase. Acea. teoretic - sensul plural al unui număr natural cantitativ - este o proprietate generală a unei clase de mulțimi echivalente finite. Fiecare clasă are propria sa valoare numerică. Zero este setat pentru a se potrivi cu setul gol.
Se spune că numerele A și B sunt egale dacă sunt determinate de mulțimi egale.
Această metodă este folosită în clasele elementare.
Metodologie de lucru la sarcini care dezvăluie sens specific operatii aritmetice.
Problemele de aritmetică din cursul matematicii ocupă un loc semnificativ. Aproape jumătate din timpul lecțiilor de matematică este dedicat rezolvării problemelor. Acest lucru se datorează rolului lor mare de educație și educație pe care îl joacă în predarea copiilor. Rezolvarea problemelor aritmetice ajută la dezvăluirea sensului principal al operațiilor aritmetice, la concretizarea acestora, la conectarea lor cu o anumită situație de viață. Sarcinile contribuie la asimilarea conceptelor, relațiilor, tiparelor matematice. Atunci când rezolvă probleme, copiii dezvoltă atenție voluntară, observație, gandire logica, vorbire, inteligență. Rezolvarea problemelor contribuie la dezvoltarea unor astfel de procese activitate cognitivă precum analiza, sinteza, compararea, generalizarea.
În procesul de rezolvare a problemelor aritmetice, elevii învață să-și planifice și să-și controleze activitățile, să stăpânească tehnicile, autocontrolul (verificarea unei probleme, estimarea problemelor etc.), își dezvoltă perseverența, voința, interesul pentru a găsi o soluție pentru o problemă. Rolul rezolvării problemelor în pregătirea copiilor pentru viață, pentru activitatea lor de muncă ulterioară este mare. Când rezolvă probleme plotului, elevii învață să traducă relațiile dintre obiecte și cantități în „limbajul matematicii”. În problemele de aritmetică se folosește material numeric care reflectă succesul țării în diverse sectoare ale economiei naționale, cultură, știință etc. Acest lucru ajută la extinderea orizontului elevilor, îmbogățindu-i cu noi cunoștințe despre realitatea înconjurătoare. Capacitatea de a rezolva probleme de aritmetică elevii stăpânesc cu mare dificultate.
Motivele pentru soluțiile eronate la problemele copiilor se află în primul rând în particularitățile gândirii lor. În procesul de învățare a rezolvării problemelor, ar trebui să se evite antrenamentul în rezolvarea problemelor de un anumit tip, trebuie să predea o abordare conștientă a rezolvării problemelor, să înveți să navighezi într-o anumită situație de viață descrisă în problemă, să înveți selecția conștientă a datelor sarcinii , alegerea conștientă a acțiunilor. În procesul de lucru la orice problemă aritmetică, se pot distinge următoarele etape:
1. Lucrați la conținutul sarcinii.
2. Căutați o soluție la problemă.
3. Rezolvarea problemei.
4. Formularea răspunsului.
5. Verificarea soluționării problemei.
6. Lucrări ulterioare la problema rezolvată.
Ar trebui să se acorde multă atenție lucrului la conținutul sarcinii, de ex. supraînțelegerea situației expuse în problemă, stabilirea relației dintre date și cele dorite. Secvența de lucru privind stăpânirea conținutului sarcinii;
a) analizarea cuvintelor sau expresiilor de neînțeles;
b) citirea textului sarcinii de către profesor și elevi;
c) înregistrarea stării problemei;
d) repetarea sarcinii pe întrebări.
Lectura expresivă a textului problemei ar trebui predată elevilor. Trebuie amintit că copiii trebuie să fie învățați în mod specific citirea expresivă, nu pot citi problema corect singuri, nu pot pune accent logic etc.
Odată cu specificarea conținutului sarcinii cu ajutorul obiectelor, șabloanelor și desenelor, următoarele forme de înregistrare a conținutului sarcinii sunt utilizate pe scară largă în practica profesorilor din școli:
1. O formă abreviată de scriere, în care datele numerice sunt scrise din textul problemei și numai acele cuvinte și expresii care sunt necesare pentru înțelegerea sensului logic al problemei.
2. O formă structurală prescurtată de notație, în care fiecare parte logică a problemei este scrisă dintr-o nouă linie.
3. Forma schematică a scrierii.
4. Forma grafică a înregistrării.
Deoarece funcția de control la copii este slăbită, verificarea soluționării unei probleme are nu numai valoare educațională, ci și educativă. În clasele inferioare ai nevoie de:
1. Verificați sarcinile formulate verbal prin efectuarea unei acțiuni asupra obiectelor.
2. Verificați realitatea răspunsului.
3. Verificați conformitatea răspunsului cu condiția și întrebarea problemei. Verificarea soluționării problemei în alte moduri de rezolvare a acesteia se poate încă din clasa a IV-a.
Pentru a controla corectitudinea soluționării problemei se folosesc și unele elemente de învățare programată. Acest element este foarte util prin faptul că elevul primește imediat întăriri pentru corectitudinea sau, dimpotrivă, eroarea acțiunilor sale. Dacă decizia este greșită, el caută soluții noi.
Un profesor de la școală adesea nu poate fi sigur că soluția unei probleme este înțeleasă de toți elevii. Prin urmare, este foarte util să lucrați la remedierea soluției acestei probleme. Lucrările de rezolvare a problemei pot fi efectuate în diferite moduri.
1. Se pun întrebări nodale cu privire la conținutul sarcinii.
2. Se propune să se povestească întregul curs al rezolvării problemei cu rațiunea alegerii acțiunilor.
3. Întrebările sunt puse la acțiuni sau întrebări separate. Pentru elevi, este important nu numărul de sarcini similare rezolvate, ci înțelegerea situației subiectului în raport cu datele. Acest scop este servit de munca ulterioară asupra problemei rezolvate, care poate fi considerată o tehnică importantă care formează abilitățile de rezolvare a problemelor de acest tip. O mai bună înțelegere a conținutului subiectului sarcinilor, a relației dintre date și dorit este facilitată prin rezolvarea problemelor cu date numerice în plus sau lipsă, scrise nu în cifre, ci în cuvinte. Observațiile arată că cei mai buni profesori folosesc pe scară largă, ca una dintre metodele de predare de rezolvare a problemelor, compilarea problemelor de către elevii înșiși.
Elaborarea sarcinilor îi ajută pe copii să înțeleagă mai bine semnificația vitală și practică a sarcinii, să înțeleagă mai bine structura acesteia și, de asemenea, să facă distincția între sarcini de diferite tipuri și să înțeleagă metodele de rezolvare a acestora. Formularea problemei se realizează în paralel cu soluția sarcini gata. Experiența și observația arată că este cel mai ușor pentru elevi să compună parțial sarcini. Elevii ar trebui încurajați să compună sarcini cu o varietate de intrări. Acest lucru contribuie la dezvoltarea imaginației lor, ingeniozitatea, inițiativa. Este foarte util atunci când elevii desenează din materialul pe care îl „obțin” în timpul excursiilor, din cărți de referință, ziare, reviste etc. pentru a compune sarcini. Elevii de liceu trebuie să fie învățați cum să completeze și să scrie documente de afaceri legate de anumite calcule. De exemplu, scrieți o procură, completați un formular pentru un transfer de bani etc. Toate metodele de mai sus pot fi utilizate pe scară largă în rezolvarea tuturor tipurilor de probleme.
O problemă de aritmetică simplă este o problemă care poate fi rezolvată cu o singură operație aritmetică. Problemele simple joacă un rol extraordinar în predarea matematicii elevilor. Sunt sarcini simple care fac posibilă dezvăluirea sensului principal și concretizarea operațiilor aritmetice, pentru a forma anumite concepte matematice. Sarcinile simple sunt parte integrantă a sarcinilor complexe și, prin urmare, prin formarea capacității de a le rezolva, profesorul pregătește elevii să rezolve probleme complexe.
În fiecare an universitar, studenții sunt introduși în noi tipuri de probleme simple. Introducerea lor treptată se explică prin diferite grade de dificultate a conceptelor matematice, locul de studiu al acelor operații aritmetice, al căror sens specific le dezvăluie. O atenție nu mai puțin atentă a profesorului atunci când alege sarcini de acest tip merită atât concretizare, cât și conținut. În final, profesorul învață să concretizeze conținutul problemei, dezvăluind relația dintre date și dorit folosind diverse forme de scriere scurtă.
Experiența celor mai buni profesori arată că pregătirea pentru rezolvarea problemelor de aritmetică trebuie să înceapă cu îmbogățirea și dezvoltarea experienței practice a elevilor, orientarea acestora în realitatea înconjurătoare. Elevii trebuie să fie conduși în acea situație de viață în care trebuie să numere, să rezolve probleme aritmetice și să facă schimbări. Mai mult decât atât, aceste situații nu trebuie create artificial la început, ele trebuie doar atrase și direcționate în atenția elevilor. Profesorul organizează observarea modificării numărului de elemente ale disciplinei seturi a conținutului vaselor etc., ceea ce contribuie la dezvoltarea ideilor elevilor despre număr pentru a-i familiariza cu o anumită terminologie, care va fi ulterior. întâlnite în formularea verbală a sarcinilor: a devenit, totul este lăsat, au luat, au crescut, au scăzut etc. Este necesar să se organizeze activitățile ludice și practice ale elevilor în așa fel încât, participanți direcți la această activitate, precum și observatori, elevii înșiși să poată trage o concluzie în fiecare caz în parte; numarul de elemente ale multimii a crescut sau a scazut si ce operatie si expresie verbala corespunde acestei cresteri sau scaderi. Această etapă a lucrărilor pregătitoare coincide cu începerea lucrărilor asupra numerelor primelor zece și familiarizarea cu operațiile aritmetice, cu rezolvarea și compilarea exemplelor de operații cu mulțimi de obiecte.
Înainte de a începe să învețe cum să rezolve probleme de aritmetică, profesorul trebuie să-și imagineze clar ce cunoștințe, abilități și abilități trebuie să fie oferite elevilor. Pentru a rezolva problema, elevii trebuie să rezolve exemple aritmetice, să asculte și apoi să citească problema, să repete problema prin întrebări, dintr-o scurtă notă, din memorie, să evidențieze componentele problemei, să rezolve problema și să verifice corectitudinea soluției. . În clasa I, elevii învață să rezolve probleme pentru a găsi suma și restul. Aceste sarcini sunt introduse pentru prima dată când se învață numerele primelor zece. Când predați să rezolvați probleme pentru găsirea sumei termenilor identici, împărțirea în părți egale sau împărțirea după conținut, ar trebui să se bazeze pe înțelegerea de către elevi a esenței operațiilor aritmetice de înmulțire și împărțire. Înainte de a rezolva problema pentru comparație diferită, elevii trebuie să dea conceptul de comparare a obiectelor dintr-o mulțime, două seturi de subiecte, cantități, numere, stabilind relații de egalitate și inegalitate între ele. O problemă de aritmetică compusă sau complexă este o problemă care se rezolvă prin două sau un numar mare operatii aritmetice. Cercetare psihologică privind studiul caracteristicilor rezolvării problemelor aritmetice compuse arată că copiii nu recunosc probleme simple familiare în contextul unei noi probleme compuse. Munca pregatitoare pentru a rezolva probleme compuse ar trebui să fie un sistem de exerciții, tehnici, care să conducă în mod intenționat elevii la stăpânirea soluției problemelor compuse. Profesorul poate trece la rezolvarea problemelor compuse atunci când este convins că elevii au însuşit tehnicile de rezolvare a problemelor simple care vor fi incluse în problema compusă, ei înşişi pot compune o problemă simplă de un anumit tip. Când rezolvă probleme compuse, elevii trebuie fie să pună întrebări datelor, fie să selecteze datele pentru întrebare. Prin urmare, în perioada pregătitoare, i.e. pe parcursul primului an și la începutul celui de-al doilea an de studiu, studenților ar trebui să li se atribuie sarcini:
1. În starea de pregătire, ridicați întrebări.
2. Cu privire la problemă, creați o sarcină selectând datele numerice lipsă.
Compilând probleme simple și compuse, elevii vor învăța treptat să recunoască problemele simple într-o problemă compusă, exercițiile care au fost deja în experiența rezolvării lor sunt exerciții foarte utile pentru compilarea problemelor complexe. Acest lucru va contribui la o mai bună asimilare a tipurilor de sarcini simple, la capacitatea de a le recunoaște într-o sarcină compusă și va ajuta elevii să analizeze mai conștient sarcinile. La rezolvarea problemelor compuse, elevii ar trebui să li se învețe metodele generale de lucru asupra unei probleme; capacitatea de a analiza conținutul sarcinii, evidențiind datele cunoscute, cele dorite (adică stabilirea a ceea ce trebuie să știți în sarcină), să determinați ce date lipsesc pentru a răspunde la întrebarea principalăîn sarcină. În practica activității școlii, metoda de lucru cu cărți, care stabilește succesiunea lucrărilor la sarcină, s-a justificat. La rezolvarea problemelor, proiectarea soluției sale este înregistrată cu întrebări sau fiecare acțiune este înregistrată și explicată. Dezvoltarea unei metode generalizate de rezolvare a problemelor de acest tip este asigurată prin rezolvarea multiple a problemelor cu diverse tipuri, diagrame, rezolvarea problemelor care sunt gata făcute și întocmite de către elevi înșiși, comparând probleme de acest tip cu tipuri de probleme rezolvate anterior, etc.
1. Explicați tehnica de calcul pentru cazurile 40+20, 50-30, 34+20, 34+2, 48-30, 48-3, toate tehnicile de calcul din concentratorul o sută.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d=2d=20
3) 34+20= 3d+4ed+2d=5d 4ed=54
4) 34+2 \u003d 3d + 4ed + 2ed \u003d 3d 6ed \u003d 36
5) 48-30 \u003d 4d + 8ed-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18
6) 48-3= 4d+8w-3w=4d 5w=45
Toate metodele de calcul sunt orale și sunt efectuate pe baza cifrelor de adunare și scădere.
După cum știți, mulțimea numerelor naturale poate fi ordonată folosind relația „mai puțin decât”. Dar regulile de construire a unei teorii axiomatice cer ca această relație să fie nu numai definită, ci și făcută pe baza unor concepte deja definite în teoria dată. Acest lucru se poate face prin definirea raportului „mai mic decât” prin adăugare.
Definiție. Numărul a este mai mic decât numărul b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
În aceste condiții, se mai spune că numărul b Mai mult dar si scrie b > a.
Teorema 12. Pentru orice numere naturale darȘi b are loc una și numai una dintre următoarele trei relații: a = b, a > b, dar < b.
Omitem demonstrarea acestei teoreme.. Din această teoremă rezultă că dacă
a ¹ b, fie dar< b, sau a > b acestea. relația „mai puțin decât” are proprietatea conexiunii.
Teorema 13. Dacă dar< b Și b< с. apoi dar< с.
Dovada. Această teoremă exprimă proprietatea de tranzitivitate a relației „mai puțin decât”.
pentru că dar< b Și b< с. apoi, prin definiția relației „mai puțin decât”, există astfel de numere naturale la si ce b = a + k și c = b + I. Dar apoi c = (a + k)+ / și pe baza proprietății de asociativitate a adunării obținem: c = a + (k +/). În măsura în care k + I - număr natural, atunci, conform definiției „mai puțin decât”, dar< с.
Teorema 14. Dacă dar< b, nu este adevărat că b< а. Dovada. Această teoremă exprimă proprietatea antisimetrie relație „mai puțin”.
Să demonstrăm mai întâi că pentru orice număr natural dar nu tu-!>! ■ )atitudinea ei dar< dar. Să presupunem contrariul, adică ce dar< а apare. Apoi, prin definiția relației „mai puțin decât”, există un astfel de număr natural din, ce dar+ din= dar, iar acest lucru contrazice teorema 6.
Să demonstrăm acum că dacă dar< b, atunci nu este adevărat că b < dar. Să presupunem contrariul, adică ce-ar fi dacă dar< b , apoi b< а efectuat. Dar din aceste egalități, prin Teorema 12, avem dar< а, ceea ce este imposibil.
Deoarece relația „mai mică decât” pe care am definit-o este antisimetrică și tranzitivă și are proprietatea de conexiune, este relația ordine liniară, și mulțimea numerelor naturale mulţime ordonată liniar.
Din definiția „mai puțin decât” și proprietățile sale, se pot deduce proprietățile cunoscute ale mulțimii numerelor naturale.
Teorema 15. Dintre toate numerele naturale, unul este cel mai mic număr, adică. eu< а для любого натурального числа a¹1.
Dovada. Lasa dar - orice număr natural. Atunci sunt posibile două cazuri: a = 1 și un ¹ 1. Dacă a = 1, atunci există un număr natural b, urmată de a: a \u003d b " \u003d b + I = 1 + b, adică prin definiția „mai puțin decât”, 1< dar. Prin urmare, orice număr natural este egal cu 1 sau mai mare decât 1. Sau, unul este cel mai mic număr natural.
Relația „mai puțin decât” este legată de adunarea și înmulțirea numerelor prin proprietățile monotonității.
Teorema 16.
a = b => a + c = b + c și a c = b c;
dar< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c și ac > bc.
Dovada. 1) Valabilitatea acestei afirmații rezultă din unicitatea adunării și înmulțirii.
2) Dacă dar< b,
atunci există un număr natural k, ce dar
+ k = b.
Apoi b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ la)= (a + c) + k. Egalitate b+ c = (a + c) + kînseamnă că a + c< b
+ din.
În același mod, se demonstrează că dar< b =>as< bс.
3) Dovada este similară.
Teorema 17(conversați cu teorema 16).
1) dar+ c = b + c sau ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с sau as< bcÞ dar< Ь:
3) a + c > b+ cu sau ac > bcÞ a > b.
Dovada. Să demonstrăm, de exemplu, că as< bс ar trebui să dar< b Să presupunem contrariul, adică că concluzia teoremei nu este valabilă. Atunci nu poate fi a = b. pentru că atunci egalitatea ar ține ac = bc(Teorema 16); nu poate fi dar> b, pentru că atunci ar fi ac > bc(Teorema!6). Prin urmare, conform teoremei 12, dar< b.
Din teoremele 16 și 17 se pot deduce regulile binecunoscute pentru adunarea și înmulțirea inegalităților termen cu termen. Le aruncăm.
Teorema 18. Pentru orice numere naturale darȘi b; există un număr natural n astfel încât n b> a.
Dovada. Pentru oricine dar există un astfel de număr P, ce n > a. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați n = a + 1. Înmulțirea termen cu termen a inegalităților P> darȘi b> 1, obținem pb > dar.
Proprietățile considerate ale relației „mai puțin decât” implică trăsături importante ale mulțimii numerelor naturale, pe care le prezentăm fără dovezi.
1. Nu pentru orice număr natural dar nu există un astfel de număr natural P, ce dar< п < а +
1. Această proprietate se numește proprietate
discretie seturi de numere naturale și numerele darȘi un + am sunat vecine.
2.
Orice submulțime nevidă de numere naturale conține
cel mai mic număr.
3. Dacă M- submulțime nevidă a mulțimii numerelor naturale
și există un număr b, că pentru toate numerele x de la M neefectuată
egalitatea x< b, apoi în mulţime M este cel mai mare număr.
Să ilustrăm proprietățile 2 și 3 cu un exemplu. Lasa M este un set de numere din două cifre. pentru că M este o submulțime de numere naturale și pentru toate numerele acestei mulțimi inegalitatea x< 100, то в множестве M este cel mai mare număr 99. Cel mai mic număr conținut în mulțimea dată M, - numarul 10.
Astfel, relația „mai puțin decât” ne-a permis să luăm în considerare (și în unele cazuri să dovedim) un număr semnificativ de proprietăți ale mulțimii numerelor naturale. În special, este ordonat liniar, discret, are cel mai mic număr 1.
Cu raportul „mai puțin” („mai mare”) pentru numerele naturale, elevii mai tineri se familiarizează chiar de la începutul antrenamentului. Și adesea, alături de interpretarea ei teoretică a mulțimilor, se folosește implicit și definiția dată de noi în cadrul teoriei axiomatice. De exemplu, elevii pot explica că 9 > 7 deoarece 9 este 7+2. Utilizarea adesea și implicită a proprietăților de monotonitate ale adunării și înmulțirii. De exemplu, copiii explică că „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Exerciții
1 De ce multimea numerelor naturale nu poate fi ordonata dupa relatia „urmeaza imediat”?
Formulați o definiție a unei relații a > bși să demonstreze că este tranzitivă și antisimetrică.
3. Demonstrează că dacă a, b, c sunt numere naturale, atunci:
dar) dar< b Þ ас < bс;
b) dar+ din< b + su> dar< Ь.
4. Ce teoreme despre monotonitatea adunării și înmulțirii pot
utilizare şcolari juniori, efectuând sarcina „Comparați fără a efectua calcule”:
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27-8 ... 27-18.
5. Ce proprietăți ale mulțimii numerelor naturale sunt utilizate implicit de către elevii mai mici la îndeplinirea următoarelor sarcini:
A) Notați numerele care sunt mai mari de 65 și mai mici de 75.
B) Numiți numerele anterioare și ulterioare în raport cu numărul 300 (800.609.999).
C) Care este cel mai mic și cel mai mare număr de trei cifre.
Scădere
În construcția axiomatică a teoriei numerelor naturale, scăderea este de obicei definită ca operația inversă a adunării.
Definiție. Scăderea numerelor naturale a și b este o operație care îndeplinește condiția: a - b \u003d c dacă și numai dacă b + c \u003d a.
Număr a - b se numește diferența dintre numerele a și b, număr dar- în scădere, număr b- subtractabil.
Teorema 19. Diferența numerelor naturale dar- b există dacă și numai dacă b< а.
Dovada. Lasă diferența dar- b există. Apoi, prin definiția diferenței, există un număr natural din, ce b + c = a, iar asta înseamnă că b< а.
Dacă b< а, apoi, prin definiția relației „mai mic decât”, există un număr natural c astfel încât b + c = a. Apoi, prin definiția diferenței, c \u003d a - b, acestea. diferență a - b există.
Teorema 20. Dacă diferenţa numerelor naturale darȘi b există, atunci este unic.
Dovada. Să presupunem că există două valori diferite ale diferenței dintre numere darȘi b;: a - b= c₁Și a - b= c₂, și c₁¹ c₂. Atunci, prin definiția diferenței, avem: a = b + c₁,Și a = b + c₂ : . De aici rezultă că b+ c ₁ = b + c₂ :și pe baza teoremei 17 concluzionăm, c₁ = c₂.. Am ajuns la o contradicție cu ipoteza, ceea ce înseamnă că este falsă, iar această teoremă este adevărată.
Pe baza definiției diferenței numerelor naturale și a condițiilor de existență a acesteia, se pot fundamenta regulile binecunoscute de scădere a unui număr dintr-o sumă și a unei sume dintr-un număr.
Teorema 21. Lasa dar. bȘi din- numere întregi.
si daca a > c, atunci (a + b) - c = (a - c) + b.
b) Dacă b > c. apoi (a + b) - c - a + (b - c).
c) Dacă a > c și b > c. atunci poți folosi oricare dintre aceste formule.
Dovada. În cazul a) diferenţa de numere darȘi c există pentru că a > c. Să o notăm prin x: a - c \u003d x. Unde a = c + x. Dacă (dar+ b) - c = y. apoi, prin definiția diferenței, dar+ b = din+ la. Să substituim în această egalitate în loc de dar expresie c + x:(c + x) + b = c + y. Să folosim proprietatea de asociativitate a adunării: c + (x + b) = c+ la. Transformăm această egalitate pe baza proprietății monotonității adunării, obținem:
x + b = y..Inlocuind x in aceasta ecuatie cu expresia a - c, vom avea (dar - G) + b = y. Astfel, am demonstrat că dacă a > c, atunci (a + b) - c = (a - c) + b
Dovada se face în mod similar în cazul b).
Teorema demonstrată poate fi formulată ca o regulă ușor de reținut: pentru a scădea un număr din sumă, este suficient să scădem acest număr dintr-un termen al sumei și să adaugi un alt termen rezultatului obținut.
Teorema 22. Lasa a, b și c - numere întregi. Dacă a > b+ c, atunci dar- (b + c) = (a - b) - c sau a - (b + c) \u003d (a - c) - b.
Dovada acestei teorii este similară cu demonstrația teoremei 21.
Teorema 22 poate fi formulată de regulă, pentru a scădea suma numerelor dintr-un număr, este suficient să scădem succesiv din acest număr fiecare termen unul după altul.
În predarea elementară a matematicii, definiția scăderii ca invers al adunării, în vedere generala, de regulă, nu este dat, dar este utilizat în mod constant, începând cu efectuarea de operații pe numere cu o singură cifră. Elevii ar trebui să fie conștienți de faptul că scăderea este legată de adunare și să folosească această relație atunci când calculează. Scăzând, de exemplu, numărul 16 din numărul 40, elevii motivează astfel: „Scădeți numărul 16 din 40 - ce înseamnă să găsești un număr care, adăugat la numărul 16, dă 40; acest număr va fi 24, deoarece 24 + 16 = 40. Deci. 40 - 16 = 24".
Regulile pentru scăderea unui număr dintr-o sumă și a unei sume dintr-un număr într-un curs elementar de matematică sunt baza teoretica diverse metode de calcul. De exemplu, valoarea expresiei (40 + 16) - 10 poate fi găsită nu numai calculând suma dintre paranteze, apoi scăzând numărul 10 din aceasta, ci și în acest fel;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
Exerciții
1. Este adevărat că fiecare număr natural se obține din cel imediat următor scăzând unul?
2. Care este particularitatea structurii logice a teoremei 19? Poate fi formulat folosind cuvintele „necesar și suficient”?
3. Demonstrați că:
si daca b > c, apoi (a + b) - c \u003d a + (b - c);
b) dacă a > b + c, apoi a - (b+ c) = (a - b) - c.
4. Este posibil, fără a efectua calcule, să spunem care expresii vor fi egale:
a) (50 + 16) - 14; d) 50 + (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16 - 14.
5. Ce proprietăți ale scăderii stau la baza teoretică a următoarelor metode de calcul studiate în cursul inițial de matematică:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 \u003d 16-6 - P;
c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Descrieți modalități posibile de calculare a valorii unei expresii de formă. a - b- dinși ilustrează-le cu exemple specifice.
7. Demonstrează că pt b< а iar orice natural c egalitatea (a - b) c \u003d ac - bc.
Instruire. Dovada se bazează pe Axioma 4.
8. Determinați valoarea expresiei fără a efectua calcule scrise. Justificați răspunsurile.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5: b) 957 × 11 - 957; c) 12 × 36 - 7 × 36.
Divizia
În construcția axiomatică a teoriei numerelor naturale, diviziunea este de obicei definită ca operația inversă a înmulțirii.
Definiție. Împărțirea numerelor naturale a și b este o operație care îndeplinește condiția: a: b = c dacă și numai dacă, la când b× c = a.
Număr a:b numit privat numerele darȘi b, număr dar divizibil, număr b- separator.
După cum se știe, diviziunea pe mulțimea numerelor naturale nu există întotdeauna și nu există un criteriu atât de convenabil pentru existența unui coeficient precum cel pentru o diferență. Este doar conditie necesara existență privată.
Teorema 23. Pentru ca un cât de două numere naturale să existe darȘi b, este necesar să b< а.
Dovada. Fie câtul numerelor naturale darȘi b există, adică există un număr natural c astfel încât bc = a. Deoarece pentru orice număr natural 1 inegalitatea 1 £ din, apoi, înmulțindu-și ambele părți cu un număr natural b, primim b£ bc. Dar bc \u003d a, Prin urmare, b£ dar.
Teorema 24. Dacă câtul numerelor naturale darȘi b există, atunci este unic.
Demonstrarea acestei teoreme este similară cu demonstrarea teoremei privind unicitatea diferenței numerelor naturale.
Pe baza definiției numerelor naturale parțiale și a condițiilor de existență a acestuia, se pot fundamenta regulile binecunoscute de împărțire a unei sume (diferență, produs) la un număr.
Teorema 25. Dacă numerele darȘi bîmpărțit la număr din, apoi suma lor a + b este divizibil cu c, iar câtul obținut prin împărțirea sumei dar+ b pe număr din, este egală cu suma câturilor obținute prin împărțire dar pe dinȘi b pe din, adică (a + b):c \u003d a: c + b:din.
Dovada. De la numărul dar impartit de din, atunci există un număr natural x = dar; cu ce a = cx.În mod similar, există un număr natural y = b:din, ce
b= su. Dar apoi a + b = cx+ su = - c(x + y).Înseamnă că a + b este divizibil cu c, iar câtul obținut prin împărțirea sumei dar+ b la numărul c, este egal cu x + y, acestea. ax + b: c.
Teorema demonstrată poate fi formulată ca regulă pentru împărțirea unei sume la un număr: pentru a împărți suma la un număr este suficient să împărțim fiecare termen la acest număr și să adunăm rezultatele obținute.
Teorema 26. Dacă numerele naturale darȘi bîmpărțit la număr dinȘi a > b apoi diferența a - b este divizibil cu c, iar câtul obținut prin împărțirea diferenței la numărul c este egal cu diferența câte obținute prin împărțirea dar pe dinȘi b la c, adică (a - b):c \u003d a:c - b:c.
Demonstrarea acestei teoreme se realizează în mod similar cu demonstrarea teoremei anterioare.
Această teoremă poate fi formulată ca o regulă pentru împărțirea unei diferențe la un număr: pentru Pentru a împărți diferența la un număr, este suficient să împărțiți minuendul și scăderea cu acest număr și să scădeți pe al doilea din primul cât.
Teorema 27. Dacă un număr natural dar este divizibil cu un număr natural c, apoi pentru orice număr natural b muncă ab se împarte în p. În acest caz, coeficientul obținut prin împărțirea produsului ab la numărul de la , este egal cu produsul coeficientului obținut prin împărțire dar pe din, si numere b: (a × b):c - (a:c) × b.
Dovada. pentru că dar impartit de din, atunci există un număr natural x astfel încât a:c= x, de unde a = cx.Înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu b, primim ab = (cx)b. Deoarece înmulțirea este asociativă, atunci (cx) b = c(x b). De aici (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b. Teorema poate fi formulată ca regulă pentru împărțirea unui produs la un număr: pentru a împărți un produs la un număr, este suficient să împărțiți unul dintre factori la acest număr și să înmulțiți rezultatul cu al doilea factor.
În învățământul elementar de matematică, definiția împărțirii ca operație a inversului înmulțirii, de regulă, nu este dată într-o formă generală, ci este utilizată constant, începând de la primele lecții de familiarizare cu împărțirea. Elevii ar trebui să fie conștienți de faptul că împărțirea este legată de înmulțire și să folosească această relație în calcule. Când împărțim, de exemplu, 48 la 16, elevii raționează astfel: „A împărți 48 la 16 înseamnă a găsi un număr care, înmulțit cu 16, va fi 48; acest număr va fi 3, deoarece 16 × 3 = 48. Prin urmare, 48: 16 = 3.
Exerciții
1. Demonstrați că:
a) dacă câtul numerelor naturale a și b există, atunci este unic;
b) dacă numere a și b sunt împărțite în dinȘi a > b apoi (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Este posibil să afirmăm că toată egalitatea dată este adevărată:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 = 850:10:17.
Care regulă este o generalizare a acestor cazuri? Formulează-l și dovedește-l.
3. Pentru ce proprietăți ale diviziunii stau baza teoretică
îndeplinirea următoarelor sarcini oferite şcolarilor școală primară:
este posibil, fără a efectua împărțirea, să spunem care expresii vor avea aceleași valori:
a) (40+ 8): 2; c) 48:3; e) (20+ 28): 2;
b) (30 + 16):3; d)(21+27):3; f) 48:2;
Sunt egalitățile adevărate:
a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Descrieți modalități posibile de a calcula valoarea unei expresii
tip:
dar) (dar+ b):c; b) dar:b: de la; in) ( a × b): din .
Ilustrați metodele propuse cu exemple specifice.
5. Găsiți valorile expresiei într-un mod rațional; al lor
justifica actiuni:
a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Justificați următoarele metode de împărțire la un număr din două cifre:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. Fără a împărți printr-un colț, găsiți cel mai rațional
cale privată; justificați metoda aleasă:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Cursul 34 numere nenegative
1. Mulțimea numerelor întregi nenegative. Proprietăți ale mulțimii numerelor întregi nenegative.
2. Conceptul de segment al seriei naturale de numere și numărarea elementelor unei mulțimi finite. Numerele naturale ordinale și cantitative.
LA examen de stat după specialitate
1. Spațiu liniar (vector) peste un câmp. Exemple. Subspații, cele mai simple proprietăți. Dependență liniarăși independența vectorului.
2. Baza și dimensiunea spațiu vectorial. Matricea de coordonate a unui sistem de vectori. Trecerea de la o bază la alta. Izomorfismul spațiilor vectoriale.
3. Închiderea algebrică a câmpului numere complexe.
4. Inel de numere întregi. Ordonarea numerelor întregi. Teoreme despre „cel mai mare” și „cel mai mic” întreg.
5. Grup, exemple de grupuri. Cele mai simple proprietăți ale grupurilor. Subgrupuri. Omomorfismul și izomorfismul grupurilor.
6. Proprietăți de bază ale divizibilității numerelor întregi. Numere simple. Infinitul mulțimii numerelor prime. Extindere canonică numar compusși unicitatea ei.
7. Teorema Kronecker-Capelli (criteriul de compatibilitate a sistemului ecuatii lineare).
8. Proprietăţile de bază ale comparaţiilor. Sisteme complete și reduse de reziduuri modulo. Inel de clasa de reziduuri Modulo. teoremele lui Euler și lui Fermat.
9. Aplicarea teoriei comparațiilor la derivarea criteriilor de divizibilitate. Conversia unei fracții într-o zecimală și determinarea lungimii perioadei acesteia.
10. Conjugarea rădăcinilor imaginare ale unui polinom cu coeficienți reali. Ireductibil peste teren numere reale polinomiale.
11. Comparații liniare cu o variabilă (criteriul de rezoluție, metode de rezolvare).
12. Sisteme echivalente de ecuații liniare. Metoda eliminării succesive a necunoscutelor.
13. Sună. exemple de inele. Cele mai simple proprietăți ale inelelor. Subring. Omomorfisme și izomorfisme ale inelelor. Camp. Exemple de teren. Cele mai simple proprietăți. Minimitatea câmpului numerelor raționale.
14. Numerele naturale (bazele teoriei axiomatice a numerelor naturale). Teoreme privind „cel mai mare” și „cel mai mic” număr natural.
15. Polinoame peste un câmp. Teorema împărțirii cu rest. Cel mai mare divizor comun al două polinoame, proprietățile sale și metodele de găsire.
16. Relații binare. Relația de echivalență. Clasele de echivalență, setul de factori.
17. Inducția matematică pentru numere naturale și întregi.
18. Proprietăţile numerelor prime relativ. Cel mai mic multiplu comun al numerelor întregi, proprietățile și metodele sale de găsire.
19. Câmp de numere complexe, câmpuri de numere. Reprezentarea geometrică și formă trigonometrică număr complex.
20. Teorema împărțirii cu rest pentru numere întregi. Cel mai mare divizor comun al numerelor întregi, proprietățile sale și metodele de găsire.
21. Operatori liniari ai spațiului vectorial. Kernel și imaginea unui operator liniar. Algebra operatorilor liniari ai spațiului vectorial. Valori propriiși vectorii proprii ai operatorului liniar.
22. Transformări afine ale planului, proprietățile lor și metodele de atribuire. grup transformări afine avionul și subgrupurile sale.
23. Poligoane. Aria poligonului. Teorema existenței și unicității.
24. Poligoane echivalente și egale.
25. Geometria lui Lobaciovski. Consistența sistemului de axiome ale geometriei lui Lobaciovski.
26. Conceptul de paralelism în geometria lui Lobaciovski. Aranjament reciproc linii drepte pe planul Lobaciovski.
27. Formule ale mișcărilor. Clasificarea mișcărilor plane. Aplicații pentru rezolvarea problemelor.
28. Dispunerea reciprocă a două plane, o linie dreaptă și un plan, două drepte în spațiu (într-o prezentare analitică).
29. Transformări proiective. Teorema existenței și unicității. Formule pentru transformări proiective.
30. Scalar, vector și lucrări mixte vectori, aplicarea lor la rezolvarea problemelor.
31. Sistemul axiomelor lui Weyl ale spațiului euclidian tridimensional și consistența sa semnificativă.
32. Mișcările plane și proprietățile lor. Grup de mișcări avioanelor. Teorema existenței și unicității mișcării.
33. Planul proiectiv și modelele acestuia. Transformări proiective, proprietățile lor. Grup de transformări proiective.
34. Transformări de similaritate plană, proprietățile lor. Grupul de transformare a similarității plane și subgrupurile sale.
35. Suprafețe netede. Prima formă de suprafață pătratică și aplicațiile ei.
36. Proiectare paralelă și proprietățile sale. Imaginea figurilor plate și spațiale într-o proiecție paralelă.
37. Linii netede. Curbura unei curbe spațiale și calculul acesteia.
38. Elipsa, hiperbola și parabola ca secțiuni conice. Ecuații canonice.
39. Proprietate director a elipsei, hiperbolei și parabolei. Ecuații polare.
40. Raportul dublu dintre patru puncte ale unei drepte, proprietățile și calculul acesteia. Separarea armonică a perechilor de puncte. Patrulater complet și proprietățile sale. Aplicație la rezolvarea problemelor de construcție.
41. Teoremele lui Pascal și Brianchon. Poli și polari.
Exemple de întrebări pentru analiză matematică